文档内容
拓展专题 02 勾股定理实际应用
（13 种类型 78 道）
考点01 梯子问题
考点02 杯中筷子
考点03 小鸟飞行
考点04 折竹抵地
考点05 楼道铺地毯
考点06 水上航行中方位角的应用
考点07 求河的宽度
考点08 判断是否超速
考点09 判断是否受影响
考点10 测量旗杆高度
考点11 选择最佳地址
考点12 立体图形中的最短路径
考点13 平面图形中的最短路径
考点01 梯子问题
1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙 上，测得 米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯
子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子 的长度为（ ）
A．20米 B．16米 C．12米 D．24米
2．如图，已知消防云梯最长只能伸长到 ），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，
在完成从 高的 处救援后，还要完成比 处高 的点 处的救援，则消防车需要从点 处向点 处移动的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，梯子底端B到墙底部O的距离 为 ，如
果将梯子顶端A沿墙下滑 到C处，梯子底端B将外移的距离 为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑
动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1
5．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，
顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地
面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（ ）
A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米
6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙 上，测得 ，若梯子的顶端沿墙下滑 ，这时梯子的底端也下滑 ，则梯子 的长度为（ ）
A． B． C． D．
考点02 杯中筷子
7．如图将一根长为 的筷子，置于底面直径为 ，高为 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外
面的长度为 ，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为 ，高为 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外
面的长度为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是 ，一支铅笔长为 ，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，
这支铅笔在笔筒外面部分长度为 ．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度
不可能的是（ ）
A． B． C． D．
10．将一根 长的筷子置于底面圆直径为 、高为 的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外
面的长度为 ，则h的取值范围是（ ）A． B． C． D．
11．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是 和 ，．将一支铅笔按如图方式先后
放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为 和 ，，则铅笔的长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为
18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
考点03 小鸟飞行
13．如图，有两棵树，一棵高 米，另一棵高 米，两树相距 米 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的
树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
14．如图，有两棵树，一棵高 ，另一棵高 ，两树相距 ，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A． B． C． D．15．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．17 B．15 C．10 D．8
16．如图，学校操场上有两棵树 和 （都与水平地面 垂直），大树 高8米，树梢D到树
的水平距离 的长度为8米，小树 高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞
行的长度为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．16米
17．在水平地面上有一棵高 米的大树， 和一棵高 米的小树，两树之间的水平距离是 米，一只小鸟从
小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行( )
A．12米 B．13米 C．9米 D．17米
18．如图，有一只喜鹊在一棵 高的小树 上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（ ）为 的一棵
高的大树 上，喜鹊的巢位于树顶下方 的 处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它
飞行的速度为 ，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )A． B． C． D．
考点04 折竹抵地
19．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思
是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，
尺， 尺， 设 为x尺， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，
其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈 尺）？设原处的竹子还
有x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
21．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面
处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（ ）
A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米22．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道
“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一
丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高
度是多少尺？（ ）
A．4 B． C． D．
23．我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三
尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断
处距离地面多少尺？（ ）
A．4.5 B．5.625 C．4 D．6.375
24．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6
尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．3尺 B． 尺 C． 尺 D．4尺
考点05 楼道铺地毯
25．如图，某会展中心准备将高 ，长 ，宽 的楼道铺上地毯，若地毯每平方米 元，则铺完这
个楼道至少需要 元．
26．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米．
27．如图，某会展中心在会展期间准备将高 ，长 ，宽 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱．
28．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 米．
29．如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平
方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需 元．
30．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则
购买这种地毯至少需要 元．
考点06 水上航行中方位角的应用
31．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以
18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我
军巡逻艇的航行路程 海里．
32．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东 方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西 方
向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离
为 海里．
33．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以 海里 时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船
沿东北方向匀速航行， 小时后两艘轮船相距 海里，则乙轮船每小时航行 海里．
34．如图，两艘轮船 和 分别从港口 出发，轮船 以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船 以3
海里/时的速度从港口 出发向东南方向航行，行驶5个小时后， 两船的距离为 海里．
35．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到 处测得小岛 位于北偏东 方向上，继续向东航行 海里
到达点 处，测得小岛 在轮船的北偏东 方向上，此时轮船与小岛 的距离为 海里．
36．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方
向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是
海里．考点07 求河的宽度
37．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点 偏离了想到达的点 米．他在水
中游了 米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ．
38．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地
点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程 比河的宽度 多2米，则河的宽度
是 米．
39．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点
（即 ），其结果是他在水中实际游了 （即 ），则该河 处的宽度是
．
40．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在
水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米．41．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中
实际游了500 m，则该河流的宽度为 ．
42．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实
际游了520m，则该河流的宽度为 m.
考点08 判断是否超速
43．滨海西大道的限速为 （已知 ）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，
某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处（即 ），过了 后，行驶到B
处，测得小汽车与车速检测仪间距离 为 ，问：这辆小汽车超速了吗？
44．某条高速公路限速 ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对
面车速检测仪C处的正前方 的B处，过了 ，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距
离为 ．(1)求 的长．
(2)这辆大巴车超速了吗?
45．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 ．如图，一辆小汽车在一条城市街路上
直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方 处，过了 后，测得小汽车与车速检测仪间距
离为 ，这辆小汽车超速了吗？
46．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧
道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由 调整为 、大型汽车限速值由 调
整为 ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方
的C处（即 ），过了 小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长；
(2)这辆小汽车在 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据： ）
47．为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行
驶的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪 处的
正前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离 为 ．这辆观光电瓶车超速了
吗？
48．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过 高速路
边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示， 点装有一车速检测仪，它到公路边的距离
米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达 点时开始计时，离开 点时停止计时，依此计算车速，
已知 米．(1)若一辆汽车以 时速匀速通过监控区域，共用时几秒
(2)若另一辆车通过监控区域共用时 秒，该车是否超速 请说明理由．
考点09 判断是否受影响
49．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 由点 向点 移动，已知点 为一海港，且点 与 ， 两点
之间的距离 ， 分别为 ， ， ，以台风中心为圆心周围 以内（包括
）为受影响区域．
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若海港 受台风影响，且台风中心移动的速度为 ，台风影响海港 持续的时间有多长？（若海
港 不受台风影响，则忽略此问）
50．某市规划修建铁路 ，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场
C 的北偏西 方向，且 距离为 米，小区A位于商场C的南偏西 方向．火车在行驶的过程中，
以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以 米 秒的速度
沿铁路 低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪
音影响？
51．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日 市气象局测得沙尘中
心在 市正西方向 千米的 处，以 千米/时的速度向东偏南 的 方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域．
(1)问 市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由；
(2)若受影响请计算 市受影响的时间．
52．如图，有一台环卫车沿公路 由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线 上两点
A，B的距离分别为 和 ，又 ，环卫车周围 以内为受噪声影响区域．
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
53．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，
B两点的距离分别为 、 ，且 ，过点 作 于点 ，以台风中心为圆心，
半径为 的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为 ．
(1)求监测点A与监测点B之间的距离；
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明
理由．
54．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我
国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台风
影响）．如图，线段 是台风中心从 市移动到 市的大致路线， 是某个大型农场，且 ．若
之间相距 之间相距 ．(1)判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
考点10 测量旗杆高度
55．如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆 的高度，他发现绳子刚好比旗杆长1米，若把绳子往
外拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆底端的距离 恰好为 ，求旗杆 的高度．
56．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后他将绳子末端拉到距离旗杆
处，发现此时绳子末端距离地面 ，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计）
57．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰
好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．
(1)求旗杆的高度 ；
(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好
接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？58．实践与探究
八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计
了如下方案：
课题：测量风筝的高度 ．
工具：皮尺，计算器等．
测量示意图：如图1．
说明：如图1， 表示地面水平线， 表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且 垂直
于地面于点A，线段 表示风筝牵引线（近似为线段）， 表示风筝到地面的垂直高度， 于点
E， 于点D．
测量数值：点B到 的距离 米；风筝牵引线 的长度： 米； 的长度： 米；
(1)求风筝的垂直高度 ；
(2)如图2，如果风筝沿 方向上升28米至点F（ ）， 求风筝牵引线 的长．
59．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端 的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳
子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点 ，再测量绳子底端 与旗杆根部点 之间的距
离，测得距离为 ．
【解决问题】设旗杆的高度 为 ，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)用含 的式子表示 为_____ ；
(2)请你求出旗杆的高度．
60．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图12所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米，设旗杆 的高度
为x米．
(1)用含x的式子表示绳子 的长为________米；
(2)求旗杆的高度 ；
(3)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好
接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？
考点11 选择最佳地址
61．如图，在笔直的铁路上 、 两点相距 ， ， 为两村庄， 于点 ， 于点 ，
， ，现要在 上建一个中转站 ，使得 、 两村到 站的距离相等．求 应建在
距 多远处？
62．某市准备在铁路 上修建火车站 ，以方便铁路 两旁的 ， 两城的居民出行．如图， 城到
铁路 的距离 ， 城到铁路 的距离 ， ，经市政府与铁路部门协商
最后确定在到 ， 两城距离相等的 处修建火车站，求 ， 的长．
63．如图，铁路上A，B两点相距 ，C，D两点为两村庄， 于点A， 于点B，已知
， ，现在要在铁路 上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，
(1)E站应建在距A点多少千米处？(2)求 两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）．
64．如图，某学校（ 点）到公路（直线 ）的距离为300米，到公交站（ 点）的距离为500米，现要
在公路边上建一个商店（ 点），使之到学校 及到车站 的距离相等，求商店 与车站 之间的距离．
65．如图，某地方政府决定在相距 的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使
C、D两村到点E的距离相等，已知 于A， 于B， ， ，那么基地E
应建在离A站多少 的地方？
66．如图 ，铁路上有 、 两点（看作直线上两点）相距 千米， 、 为两村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，
使得 、 两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距 点 千米处的点 处，如图 ，则 千米．
(1) （______）千米；
(2)煤栈应建在距 点多少千米处？
考点12 立体图形中的最短路径
67．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？68．如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为 的正方形，高为 ．
(1)一只蚂蚁在 点（容器外部）发现容器的外部距离顶部 处的 点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以
最短的路程到达 处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？
(2)小明想用一根彩带从容器底面 点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达 点（假设彩带完美贴合长方体
的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？
69．如图， 是正方体，棱长为10 厘米，一只蚂蚁沿表面爬行，从点A至点 爬行的最短
的距离是多少？
70．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高
分别为20、3、2，A和 是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁
要到 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到 点的最短路程是多少？
【探究】
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连结 ，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点 的最短路程 的长为________．
【应用】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点A出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，求蚂蚁爬行的最短距离．
【拓展】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点A处有一滴蜂蜜，此时，
一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁外壁 处到内壁A处所爬行的最
短路程是________ ．（杯壁厚度不计）71．如图，长方体的长和宽分别为 和 ，高为 ．若一只蚂蚁从点 开始经过4个侧面爬行一圈
到达点 ，求蚂蚁爬行的最短路径的长度．
72．如图，长方体的长 ，宽 ，高 ，点M在 上．且 ．
(1)求线段 的长；
(2)一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?
考点13 平面图形中的最短路径
73．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他
的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
74．如图，某工厂 前面有一条笔直的公路 ，原来有两条路 ， 可以从工厂 到达公路，经测量
， ， ，现需要修建一条路，使工厂 到公路的路程最短．请你用尺规作图
画出最短路径（不写画法，保留作图痕迹），并求出新建路的长．
75．如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为 ， ，
，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
76．如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上
岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知 三点都在直线l上，
．
(1) 的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？
(2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行 到达点D，若从点D游至攀梯A，求 的长度（结果保留根号）．
77．如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为 ，现要为喷泉铺设供水管道 和 ，供
水点M在小路 上，供水点 M 到 的距离 的长为 ， 的长为 ．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路 的最短距离．
78．【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点 为线段 上一动点．分别过点 ， 作 ，连接 ， ．已知
．设 ，用含 的代数式表示 的长；
【数学思考】
（2）如图.2．在某河道 一侧有 ， 两家工厂，它们到河道的距离 ， 分别是 ． ，两工厂之间的距离 是 ．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点 ，且使得抽水点 到
两家工厂的距离之和最短．求 的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式 的最小值．
