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拓展专题 01 勾股定理折叠动点和综合性问题
（7 种类型 42 道）
考点01 折叠问题求线段长
考点02 折叠问题求面积
考点03 勾股定理相关综合性问题
考点04 最值问题
考点05 动点求值
考点06 折叠与最值问题综合
考点07 折叠与动点问题综合
考点01 折叠问题求线段长
1．如图，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，使点 与 边上的点 重
合，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 在 中， ， ， ，
，
将 沿 翻折，使点 与 边上的点 重合，
， ， ，
，
设 ，
，
在 中， ，，解得 ，
即 ，
在 中， ．
故选：A．
2．如图，在 中， ，现将 进行折叠，使顶点 重合，则折
痕 的长为（ ）
A． B． C． D．5cm
【答案】C
【详解】解： ， ， ，
，
．
由折叠的性质可得 ， ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
，解得 ，
即 ，
，
．
故选C．
3．如图，在 中， ，点 为 边上一点，将 沿 翻折得到 ，若点 在
边上， ， ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键．
先在 中由勾股定理求出 ，再利用翻折的性质求出 ，再求 的长．
【详解】 在 中， ， ， ，
，
由翻折的性质知， ，
．
故选：B．
4．如图，在 中， ，将它的锐角A翻折，使得点A落在边 的中点D
处，折痕交 边于点E，交 边于点F，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出 ，由折叠的性质可得 ，设
，则 ，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解： 点D为 的中点，
，
由折叠的性质可得 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
，
解得： ，，
故选：D．
5．如图，在 中， ， ， ．点E、F分别是边 、 上的点，连结 ，
将 沿 翻折，使得点 的对称点落在边 的中点 处，则 的长为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理
和翻折的性质即可求解．
【详解】解： 点 是边 的中点，
，
由翻折的性质得， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
．
故选：A．
6．如图，已知正方形 ，边长为12．现将正方形沿 折叠，使得 点折到 边上的 点，且折痕
，则 的长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点N作 ，垂足为H，
∵正方形纸片 的边长为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵对称轴的性质可得知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，由翻折的性质可知 ，则 .
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ．
∴ ．
故选：D．
考点02 折叠问题求面积
7．如图，将直角三角形 纸片沿 折叠，使点 落在 延长线上的点 处．若 ， ，
则图中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠得 ， ，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积是 ，
故选：B．
8．如图一直角三角形纸片，两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折叠，使它落在
斜边 上，且与 重合，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关
键．首先由勾股定理求得 ，然后由翻折的性质求得 ，设 ，则 ，
，在 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解： 在 中， ， ，
．由折叠的性质可知： ， ， ，
， ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
，
∴ ．
故选：B．
9．如图，矩形 沿对角线 折叠，已知长 ，宽 ，那么折叠后重合部分的面积是
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质易得 ，那么可用 表示出 ，利用 的三边关系即可求得
长，然后三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解决此类问题，应利用折叠找到相应的直角三角形，利用
勾股定理求得所需线段长度．
10．在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为
EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（ ）cm2
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由矩形及折叠的性质可得AE=AF，再由勾股定理可求得AE的长，从而可求得重叠部分的面积．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠AFE=∠FEC
由折叠的性质知：∠AEF=∠FEC，AE=CE
∴∠AFE=∠AEF
∴AE=AF
设BE=xcm，则AE=CE=(4-x)cm
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
解得：
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理建立方程求
得AE的长是解题的关键．
11．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的
点F处，若AE＝5，BF＝3．则 FCD的面积是（ ）．A．24 B．40 C．48 D．54
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得AD=DF，设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x，然后利用勾股定理列出方程
求出x值，进而可以求出 CDF的面积．
【详解】解：由折叠的性质得，EF=AE=5，AD=DF，
△
在长方形ABCD中，∠B=90°，
在Rt BEF中，由勾股定理得，
BE= ＝4，
∴AB=AE+BE=9，
折叠的性质得，AD=DF，
在长方形ABCD中，∠C=90°，BC=AD，CD=AB=9，
设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x，
在Rt CDF中，由勾股定理得， ，
∴ ，
∴x=12，
∴ CDF的面积 ．
故选：D．
12．如图，已知ABCD是长方形纸片， ，在CD上存在一点E，沿直线AE将 折叠，D恰好落
在BC边上的点F处，且 ，则 的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，，
∴ ，
∴BF=4，
∴AF= ，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，
解得，x= ，
∴ ，
故选：B．
考点03 勾股定理相关综合性问题
13．如图， ，点 为 边上的两点，且 ，连结
，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理
是解题的关键．
利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的
正确性即可．
【详解】解： ， ，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
，，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
在 中， ，
，故③正确；
，
，
，
，
在 中， ，
，
，故④正确；
由题干条件无法证明出 ，
综上所述，其中正确的有①③④，共3个．
故选C．
14．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，过点 作
于点 ，连接 ．则下列结论：
① 垂直平分 ； ② 的周长为8；
③ 的长是 ； ④ 的面积为 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证 ，可
判断①结论；由勾股定理求出 ，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设 ，利用
勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论．
【详解】解： 平分
，
，
，
又 ，
，
， ，
垂直平分 ，①结论正确；
在 中， ， ， ，
，
，
， ，
，
的周长 ，②结论正确；
设 ，则
在 中， ，
，
解得： ，
的长是 ，③结论正确；
在 中， ， ， ，
，
和 是等高三角形，
，
，④结论正确，
故选：D．
15．如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，过点 作 于点 ，过
点 作 于点 ，交 于点 ，若 ， ．则下列结论中正确的有：① ；②；③ ；④ ．（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运
用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据角平分线性质即可对结论①进行判断；
②根据 ， ，得 ，根据 平分 ，得
，进而得 ，再根据 ，得 ，由此可
对结论②进行判断；
③先由勾股定理求出 ，证明 ，得 ，进而得 ，设
，则 ，在 中，由勾股定理得 ，继而得
，由此可对结论③进行判断；④过点G作 于点H，根据角平分线性质得
，由三角形面积公式得 ，再由三角形的面积公式求出 ，进而由勾
股定理求出 ，继而得 ，由此可对结论④进行判断，综上所述即
可得出答案．
【详解】解：①∵ 平分 ， ， ，
∴ ，故结论①正确；
②在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，故结论②正确；
③在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，故结论③错误；
④过点G作 于点H，如图所示：
∵点G是 平分线上的点， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由三角形的面积公式得： ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②④．
故选：C．
16．如图，在 中， ， ，点D为 中点，在边 上取一点E，连接 ，过
点D作 交 边于点F，连接 ．下列结论正确的个数是（ ）① ；② 四边形 的面积等于 面积的一半；③ ；④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、
三角形的三边关系等知识．由 ， ，得 ， ，则
，而 ，即可证明 ，得 ，可判断①
正确；由 ，可推导出 ，可判断②正确；因为 ，所以
，可判断③正确；由 ， ，可推导出 ，而
，则 ，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【详解】解： ， ， 为 的中点，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，故①正确；
，故②正确；
，
，
，
，故③正确；
， ，
，
，
，，故④错误，
故选：B．
17．如图，点P是等边 内部一点，连接 ，且 ，现将 绕点A顺
时针旋转到 的位置，对于下列结论：① 是等边三角形；② ；③ ；
④ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意知旋转角 ，可得 是等边
三角形；由 知 ，可得 与 不全等；由勾股定理的逆定理可知 是
直角三角形，有 ；推出 ， ，
再根据三角形内角和定理可得 ；进而可得正确答案．
【详解】解：由题意知旋转角 ，
∴ 是等边三角形，故①正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与 不全等，故②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，故④正确；
综上，正确的有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆应用，三角形的内角和定理．解题的关键在于对知识的灵活运用．
18．如图，正方形 的边长为4， 为 上的点， ，将 沿 对折至 ，延长
交 于 ．连接 、 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①正确，根据 进行证明即可；
②正确．利用全等三角形的性质解决问题即可；
③错误，在 中，利用勾股定理求出 ， 即可解决问题；
④正确，根据 计算即可．
【详解】解：① 四边形 是正方形，
， ，
由翻折可知： ， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，故①正确，
② ，
，
， ，
，故②正确，
③ ，
，
， ，
， ，
在 中， ， ， ，
根据勾股定理，得 ，即 ，
解得 ，
，
，
．故③错误．
④∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
，
∴ ，故④正确．
所以其中正确的是①②④，一共3个．
故选：C．
考点04 最值问题
19．如图， 中， ， ， ， 垂直平分 ，点P为直线 上一动点，则
周长的最小值为 ．
【答案】7
【详解】解： 垂直平分 ，
关于 对称，
如图，连接 ，
，，
∴当P和D重合时， 的值最小，
此时， ，
在 中， ， ， ，
，
周长的最小值是 ．
故答案为：7．
20．在四边形 中， ， ， ， ，在 、 上分别
找一点 、 ，使得 的周长最小，求 周长的最小值为
【答案】
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ，与 、 分别交于
点 、 ，则此时 的周长最小，
，
由轴对称的性质可得， ， ，
∴ 的周长 ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 的周长最小，为 ，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长最小值为 ，
故答案为： ．
21．如图，在 中， ， ， ， 是 的平分线．若点P和Q分
别是线段 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【详解】解：如图：作 关于直线 的对称点 ，过C作 于F，
∵ 是 的平分线
∴点 在直线 上，
∵点 和点 关于直线AD对称，
∴ ，
∴ ，
点 随着点 的运动而运动，当且仅当点 和点F重合时 有最小值 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ 的最小值 ，即 的最小值 ．
故答案为： ．
22．如图，在 中， ， 平分 ， 、 分别是 、 上的动点．若 ，
则 的最小值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，能够根据相关知识
得到 的最小值为 的长是解题的关键．
在 上取一点 ，使 ，连接 ，过点B作 于点H，可推出 的最小值
为 的长，再根据面积求出 的长即可解决问题．
【详解】解：如图，在 上取一点 ，使 ，连接 ，过点B作 于点H，
∵ 平分 ，
∴点 与点E关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 的长，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的最小值为8，
故答案为：8．
23．如图，在四边形 中， ， ， ， ，点E在线段 上运动，点F在线段 上， ，则 °，线段 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
求出 ，由三角形内角和定理得到 ，取 的中点 ，连接 、 ，由
直角三角形斜边中线的性质得到 ，由勾股定理求出 ，由三角形三边关系定理得 ，即
可得到 的最小值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
取 的中点 ，连接 、 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
由三角形三边关系定理得到： ．
故答案为： ．
24．如图，四边形 中， ， ， ， ，点 是 边上一动点，则
周长的最小值为 ．【答案】18
【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 证明 ，再计算 周长即可．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接
， ，
，
，
，
垂直平分线段 ，
，
，
的最小值为 ，
的周长最小值为 ．
考点05 动点求值
25．如图所示，等腰三角形 的底边 为 ，腰长为 ，一动点P在底边上从点B向点C以
的速度移动，请你探究：当P运动 秒时，P点与顶点A的连线 与腰垂直．
【答案】7或25
【详解】解：∵点P从点B向点C以 的速度移动，设运动的时间为t秒，
∴运动的路程 ，
∵P点与顶点A的连线 与腰垂直，
∴有以下两种情况：
①当 时，过点A作 于D，如图1所示：∴等腰三角形 的底边 为 ，腰长为 ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴当点P运动7秒时， ．
②当 时，过点A作 于D，如图2所示：
由①可知： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴当点P运动25秒时， ．
综上所述：当P运动7或25秒时，P点与顶点A的连线 与腰垂直，
故答案为：7或25．
26．如图，点P是长方形 边上的一个动点，从A点开始，沿 顺时针运动一周，
运动速度是 ．当运动时间t为 或 时，点P均满足 ，则 的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
利用“到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，确定点 位置，再证明 ，得
，运用勾股定理列式，代入数值得 ，求解得出 的长度．
【详解】解：∵ ，
∴点 在 的垂直平分线上，
连接
则长方形中 的垂直平分线是过 、 交点 ,
依题意，运动时间 时， 在 上， ；
依题意 时， 在 上， ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：12．
27．如图，已知 ， ，点 为 的边 上一动点，则当 时，
为直角三角形．
【答案】 或
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的动点问题，解题关键是掌握勾股定理．
分 为直角边或斜边来讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：若 为三角形的直角边，则 为该三角形的斜边；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
， ，
，解得： （负值舍去），
∴ ；
若 为斜边，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，解得： （负值舍去），
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
28．已知： 中， ， 于 ．点 为射线 上一动点，若为等腰三角形， 的值为 ．
【答案】 或 或 ．
【分析】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解决问题的关键，一定不要忘记讨
论某一种情况，围绕三个顶点、三条边分别讨论即可．
分三种情况讨论，分别为 或 或 ，应用等角对等边和勾股定理即可求解．
【详解】∵ 为等腰三角形，
∴分三种情况：
①若 ，则 ，
②若 ，
过点D作 于点E，如图1所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
③若PD＝PB，如图2所示：
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ 且 ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
综上所述：当 为等腰三角形时， 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
29．如图，在 中， ， 为射线 上一动点，连接 ，将 沿 对折，已知点
的对应点为点 ， ， ．当点 落在直线 上时，线段 的长为 ．
【答案】 或6
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．利用勾股定理求出 的长，然后分两种情况：当
点P在线段 上时，当点P在线段 的延长线上时，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
如图，当点P在线段 上时，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，∴ ，
解得： ，
即 ；
如图，当点P在线段 的延长线上时，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
综上所述， 的长为 或6．
故答案为： 或6．
30．如图，在 中， ， ， ，D是 的中点，E是 边上一动点．将
沿 折叠得到 ，连接 ．当 是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】3或6/6或3
【分析】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
分两种情形：当 时，当 时，由直角三角形的性质分别求解即可．
【详解】解：如图，当 时，∵ ，
∴ ，
∴点 共线，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，则有 ，
解得： ，
∴ ．
如图，当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，满足条件的 的值为3或6．
故答案为：3或6．
考点06 折叠与最值问题综合
31．如图，在 中， ， ， ，D，E分别是 ， 边上的点．把
沿直线 折叠，若B落在 边上的点 处，则 最小值是 ，最大值是
【答案】【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等
知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
本题分点 与点 重合，此时 的值最大，点 与点 重合，此时 的值最小，求出两个极值即可．
【详解】解：作 交 的延长线于点 ，
∴ ，如图1：
点 与点 重合，此时 的值最大，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴点 与点 关于直线 对称，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
点 与点 重合，此时 的值最小，如图2：
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，综上所述， 最小值是 ，最大值是 ，
故答案为： ， ；
32．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是AD的中点，点F是AB上一动点，将 AEF沿直线
EF折叠，点A落在 处，则 的最小值是 ．
【答案】4 ﹣4
【分析】根据勾股定理求出 ，利用折叠的性质 ，根据三角形三边关系和角的和差关系即可出
的最小值．
【详解】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝8，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝ ＝4，
∴CE＝ ＝4 ，
，
，
故答案为：4 ﹣4．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，
属于中考填空题中的压轴题．
33．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，M是AD的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在
直线折叠，得到△ ，连接 ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】根据矩形折叠的性质得到 ，确定出当点 在线段MC上时， 有最小值，利用勾
股定理计算即可；
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ，
∵M是AD的中点，
∴ ，
∵将△AMN沿MN所在直线折叠，
∴ ，
∴点 在以点M为圆心，AM为半径的圆上，
∴如图，当点 在线段MC上时， 有最小值，
∵ ，
∴ 的最小值 ；
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和翻转折叠的知识点，准确计算是解题的关键．
34．如图，在 中， ，点 为边 上一动点，将 沿 折叠得到
， 与 交于点 ，则 的最大值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作 于H点，
如图，先根据等腰三角形的性质得到 ，再利用勾股定理计算出 ，接着根据折叠的性
质得到 ，所以 ，从而可判断 最短时， 最大，根据垂线段最短，此时
，然后利用 面积法求出此时 的长，从而得到 的最大值．
【详解】解：过A点作 于H点，如图，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最短时， 最大，
此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为：6．
35．如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、4 ，点P、Q分别在边AB、BC上运动，连
接PQ，将 BQP沿着PQ翻折得到 B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD上，则AB的长为 ，
CQ长的最大值为 ．
△ △【答案】 4
【分析】设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，由折叠得： ，则点 时，
最小，即BQ最小，则CQ最大，根据菱形的性质，以及勾股定理即可解决本题．
【详解】解：设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，
由折叠得： ，
∴点 时， 最小，即BQ最小，则CQ最大，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB⊥BD，AB=BC， ， ，
∴ ，
∴AB=BC=AC=4，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAH=90°－∠ABH=30°，
∴ ， ，
∵AD∥BC，AH⊥BC， ，
∴ ，∴CQ的最大值= ，
故答案为：4， ．
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解决本
题的关键．
36．如图，矩形 中， ， ，P，Q分别是 上的两个动点， ， 沿EQ
翻折形成 ，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】4
【分析】如图作点D关于 的对称点 ，连接 ，由 ，推出 ，又
是定值，即可推出当E、F、P、 共线时， 定值最小，最小值 ．
【详解】解：如图作点D关于 的对称点 ，连接 ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是定值，
∴当E、F、P、 共线时， 定值最小，最小值 ，
∴ 的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之
间线段最短解决最短问题．
考点07 折叠与动点问题综合37．如图，在长方形 中， ， ，点 为边 上的一个动点，把 沿 折叠，若
点 的对应点 刚好落在边 上，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得： ， ，计算出
， ，设 ，则 ，由勾股定理可得 ，
，求出 的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键．
【详解】解： 在长方形 中， ， ，
， ， ，
由折叠的性质可得： ， ，
，
，
设 ，则 ，
由勾股定理可得 ，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
38．如图，在 中， ，D是 的中点，E是 上一动点，将 沿
折叠到 ，连接 ，当 是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键．
分三种情形，当 或 或 时，画出图形来解答．【详解】解：当 时，
∵将 沿 折叠到 ，
．
．
∴点A、 、 三点共线．
∵ ，D是 的中点，
∴ ，
，
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ．
∵在 中， ，
∴ ．
解得 ．
．
当 时， ，
∵ ，
．
．
当 时，
∵ ，
∴当 时，四边形 是矩形．
∴ ．但 ，
∴矛盾．
∴ 不可能为 ．
综上， 或 ．
故答案为：3或 ．
39．如图，在 中， ， ， ，D为斜边 上的一动点（不包含A，B两端
点），将 沿 折叠，点A落在点 处， 与 相交于点E，若 ，则 的长为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用．利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到
，即 ，再根据勾股定理可得 ，最后利用面积法得出
，可得 ，进而依据 ，即可得到 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠可得， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
又∵ ，∴ ，
故答案为： ．
40．如图，在矩形 中， ， ， 为边 上一点， ， 为边 上一动点，连接
、 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ，当 落在边 上时， 的长为 ．
【答案】 /
【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性
质、勾股定理是解题的关键．由折叠的性质可得 ， ,再由勾股定理求得
，得 ,最后由 列方程求解即可．
【详解】 在矩形 中， ， ， ，
， ， ， ,
将 沿 折叠，点 的对应点为点 ，
， ,
在 中， ，
∴ ,
，且
∴ .
解得 .
故答案为：
41．在矩形 中， ，点 为线段 上的动点，将 沿 折叠，使点 落在点
处，当点 落在矩形对角线 上时，则 的长为 ．
【答案】3【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理．熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键．
由折叠的性质得出 ， ， ，得出 ，
，设 ，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：∵矩形
∴
在 中，由勾股定理得： ，
由折叠的性质得： ， ， ，
， ，
设 ，
则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
的长为3．
故答案为：3．
42．如图，在 中， ，点E、F分别是 上的动点，沿 所在
直线折叠 ，使点B落在 上的点 处，当 是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】利用直角三角形的性质得到 ，由折叠的性质推出 ，然后分两种情况
讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质知： ， 是线段 的垂直平分线，
在 中， ，
取 的中点G，连接 ，则 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ， ，
当 时， 是直角三角形，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
当 时， 是直角三角形，如图：
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
∴ ，
综上，当 是直角三角形时， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
