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专题 5.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【九大题
型】
【新高考专用】
1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
三角函数是高考的重点、热点内容，同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简
求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数
的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答
题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等，需要灵活求解.【知识点1 同角三角函数关系式的常用结论】
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 可
以实现角 的弦切互化.
(2)形如 等类型可进行弦化切.
2．同角三角函数关系式的常用变形
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【知识点2 诱导公式及其应用】
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
2．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
3．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再
进行运算.
4．同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三
角函数值符号的影响.
【知识点3 三角恒等变换几类问题的解题策略】
1．给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求
出相应角的三角函数值，代入即可.
2．给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数
而得解.
3．给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化
为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想
解决相关问题.【题型1 正、余弦齐次式的计算】
sinα−cosα
【例1】（2025·广东惠州·模拟预测）已知tanα=−2，则 =（ ）
3cosα+sinα
1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
【解题思路】利用弦化切方法即可直接求解.
sinα−cosα tanα−1 −2−1
【解答过程】由tanα=−2得 = = =−3.
3cosα+sinα 3+tanα 3+(−2)
故选：A.
1 sinα−cosα
【变式1-1】（2024·吉林·模拟预测）已知tanα= ，则 =（ ）
2 sinα+3cosα
2 1 1 1
A． B．− C． D．−
3 7 2 2
【解题思路】利用齐次式法求值，代入计算即可得答案.
1
−1
1 sinα−cosα tanα−1 2 1
【解答过程】由于tanα= ，故 = = =− .
2 sinα+3cosα tanα+3 1 7
+3
2
故选：B.
【变式1-2】（2024·陕西咸阳·三模）已知方程sin2α+2sinαcosα−2sinα−4cosα=0，则
cos2α−sinαcosα=（ ）
4 3 3 4
A．− B． C．− D．
5 5 5 5
【解题思路】由sin2α+2sinαcosα−2sinα−4cosα=0，变形为(sinα+2cosα)(sinα−2)=0，得
cos2α−sinαcosα
到tanα=−2，再由cos2α−sinαcosα=
，利用商数关系求解.
cos2α+sin2α
【解答过程】解：因为方程sin2α+2sinαcosα−2sinα−4cosα=0，
所以sinα(sinα+2cosα)−2(sinα+2cosα)=0，
即(sinα+2cosα)(sinα−2)=0，则sinα+2cosα=0或sinα−2=0（舍去），
所以tanα=−2，
cos2α−sinαcosα
所以cos2α−sinαcosα=
，
cos2α+sin2α1−tanα 1−(−2) 3
= = =
，
1+tan2α 1+(−2) 2 5
故选：B.
【变式1-3】（2025·四川·模拟预测）已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点
sin2α
P(−2,√5)，则 = （ ）
cos2α+1
7√5 4√5 13√5 2√5
A．− B．− C．− D．−
2 13 4 7
【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.
√5
【解答过程】由题意知tanα=− ，
2
2sinαcosα 2tanα −√5 4√5
= = = =−
则原式 2cos2α+sin2α 2+tan2α 5 13 .
2+
4
故选：B.
【题型2 “和”“积”转换】
1
【例2】（2024·海南·模拟预测）若α∈(0,π)，且cosα−sinα= ，则tanα=（ ）
2
4+√7 4−√7 4+√7 4−√7
A． B． C． D．
5 5 3 3
3
【解题思路】先左右两边平方，得出sinαcosα= ，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值.
8
1 1
【解答过程】因为cosα−sinα= ，所以(cosα−sinα) 2= ，
2 4
1 3
即1−2sinαcosα= ，所以sinαcosα= ，
4 8
sinαcosα 3 tanα 3
= =
所以 ，得 ，
sin2α+cos2α 8 1+tan2α 8
4+√7 4−√7
解得tanα= 或tanα= ，
3 3
1
因为α∈(0,π)，且cosα−sinα= >0，
2
( π ) 4−√7
所以α∈ 0, ，所以00.
1 4
因为(sinα−cosα) 2=sin2α−2sinαcosα+cos2α=1+ = ，
3 3
2√3
所以sinα−cosα= .
3故选：B.
1 π π sinαcosα
【变式2-3】（2024·山西·模拟预测）已知sinα−cosα= ,α∈ ( − , ) ，则 =（ ）
5 2 2 sinα+cosα
12 12 12 12
A．− B． C．− D．
5 5 35 35
【解题思路】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
1 12
【解答过程】由题意可得：(sinα−cosα) 2=1−2sinαcosα= ，整理得sinαcosα= >0，
25 25
π π π
( ) ( )
且α∈ − , ，可得α∈ 0, ，
2 2 2
即sinα>0,cosα>0，可得sinα+cosα>0，
49 7
因为(sinα+cosα) 2=1+2sinαcosα= ，可得sinα+cosα= ，
25 5
12
sinαcosα 25 12
所以 = = .
sinα+cosα 7 35
5
故选：D.
【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】
【例3】（2024·浙江·模拟预测）已知α∈ ( 0,
π
) ，sin( α−
π
)=
1
，则cos ( α+
2π
) =（ ）
2 10 3 5
2√2 2√2 1 1
A．− B． C．− D．
3 3 3 3
【解题思路】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.
【解答过程】cos ( α+ 2π ) =cos [( α− π )+ π] =−sin ( α− π )=− 1 .
5 10 2 10 3
故选：C.
【变式3-1】（2024·河北沧州·一模）已知cos(
π
+x )=
1
，则sin
(5π
−x ) =（ ）
4 3 4
1 1 2√2 2√2
A．− B． C． D．−
3 3 3 3
5π 3π π
【解题思路】根据 −x= − ( +x ) 结合诱导公式求解即可.
4 2 4【解答过程】 sin (5π −x ) =sin [3π − ( π +x )] =−cos ( π +x )=− 1 .
4 2 4 4 3
故选：A.
π
【变式3-2】（2024·四川·模拟预测）已知角α+ 的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过
3
点P
(1
,
√3)
，则
cos(
α−
π )=
（ ）
2 2 6
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
π
【解题思路】利用三角函数的定义可求出
sin( α+ )
的值，再根据诱导公式求解即可.
3
π (1 √3)
【解答过程】因为角α+ 的终边经过点P , ，
3 2 2
√3
π 2 √3
sin( α+ )= =
所以 ，
3 √ (1) 2 (√3) 2 2
+
2 2
π π π π √3
所以cos( α− )=cos( α+ − )=sin( α+ )= .
6 3 2 3 2
故选：D.
( 2π ) 2 (19π ) ( 13π )
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知cos θ− = ，则2sin −θ +cos θ+ =
5 3 10 5
（ ）
2 2
A．−2 B．2 C．− D．
3 3
【解题思路】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.
2π 2π 2
【解答过程】令m=θ− ，则θ=m+ ,cosm= ，
5 5 3
(19π ) ( 13π ) [19π ( 2π )] [( 2π ) 13π]
从而2sin −θ +cos θ+ =2sin − m+ +cos m+ +
10 5 10 5 5 5(3π
)
=2sin −m +cos(m+3π)=−3cosm=−2.
2
故选：A.
【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】
(π ) 1 sin3θ+2cos3θ
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知tan +θ = ，则 =（ ）
2 2 sin(π+θ)
3 5 5 3
A． B． C．− D．−
5 6 6 5
【解题思路】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得.
(π )
sin +θ
2 cosθ 1
【解答过程】由题意得 = = ，则tanθ=−2，
(π ) −sinθ 2
cos +θ
2
sin3θ+2cos3θ sin3θ+2cos3θ sin3θ+2cos3θ
故
= =−
sin(π+θ) −sinθ sinθ(sin2θ+cos2θ)
sin3θ+2cos3θ tan3θ+2 −8+2 3
=− =− =− =− .
sin3θ+sinθcos2θ tan3θ+tanθ −8−2 5
故选：D.
1
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知cos(π+α)= ，sinα<0，则tanα=（ ）
3
√2 √2
A．−2√2 B．− C． D．2√2
4 4
【解题思路】利用诱导公式求出cosα，再利用同角公式计算即得.
1 1
【解答过程】由cos(π+α)=−cosα= ，得cosα=− ，又sinα<0，
3 3
√ 1 2 2√2 sinα
则sinα=−√1−cos2α=− 1−(− ) =− ，所以tanα= =2√2.
3 3 cosα
故选：D.
1 sin( α+ π ) −cos (3π −α )
【变式4-2】（2024·辽宁·三模）已知tanα= ，则 2 2 （ ）
2 =
cos(−α)−sin(π−α)
A．−1 B．1 C．−3 D．3【解题思路】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.
sin( α+ π ) −cos (3π −α ) 1+ 1
2 2 cosα+sinα 1+tanα 2
【解答过程】 = = = =3，
cos(−α)−sin(π−α) cosα−sinα 1−tanα 1
1−
2
故选：D.
(2023π ) 1
【变式4-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知α为第二象限角，若sin −α = ,则tanα=（ ）
2 4
√15 √15
A．−√15 B．√15 C．− D．
15 15
【解题思路】根据诱导公式以及同角三角函数的关系式，可得答案.
(2023π ) 1 1
【解答过程】由sin −α =−cos(−α)=−cosα= ，则cosα=− ，
2 4 4
√15 sinα
由α为第二象限角，则sinα=√1−cos2α= ，所以tanα= =−√15.
4 cosα
故选：A.
【题型5 三角恒等变换的化简问题】
4
【例5】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知sin(α+β)=2cos(α−β)，tanα+tanβ= ，则
3
tanα⋅tanβ=（ ）
1 1
A．3 B．−3 C． D．−
3 3
【解题思路】利用两角和差公式可得tanα+tanβ=2+2tanαtanβ，结合题意即可得结果.
4
【解答过程】因为tanα+tanβ= ，则cosα≠0，cosβ≠0，
3
又因为sin(α+β)=2cos(α−β)，
则sinαcosβ+cosαsinβ=2cosαcosβ+2sinαsinβ①，
等式①的两边同时除以cosαcosβ
4 1
可得tanα+tanβ=2+2tanαtanβ= ，解得tanαtanβ=−
.
3 3
故选：D.
1
【变式5-1】（2024·安徽淮南·一模）下列各式的值为 的是（ ）
2
tan22.5°
A．sin15°cos15° B．cos215°−sin215°C． D．
1−tan222.5°1−2sin222.5°
【解题思路】利用二倍角的正弦、余弦以及正切公式分别化简计算.
1 1
【解答过程】对于A：sin15°cos15°= sin30∘= ，故A不正确；
2 4
√3
对于B：cos215°−sin215°=cos30∘= ，故B不正确；
2
tan22.5° 1 1
对于C： = tan45∘= ，故C正确；
1−tan222.5° 2 2
√2
对于D：1−2sin222.5°=cos45∘= ，故D不正确；
2
故选：C.
【变式5-2】（2024·江西·二模）已知tanα=3，tan(α+β)=−5，则tan(2α+β)=（ ）
1 1
A．8 B．−8 C． D．−
8 8
【解题思路】利用正切函数的和角公式，可得答案.
【解答过程】因为tanα=3，tan(α+β)=−5，
tanα+tan(α+β) 3−5 2 1
所以tan(2α+β)=tan[α+(α+β)]= = =− =−
.
1−tanαtan(α+β) 1−3×(−5) 16 8
故选：D.
π 3π π
【变式5-3】（2024·河南·模拟预测）已知 <α< ， <β<π，
2 4 2
(4α β)
4sinαcosα(1−2sin2α)(1+sinβ)+(1−cos4α)cosβ=0，则sin + =（ ）
3 3
√3 1 1 √3
A． B． C．− D．−
2 2 2 2
【解题思路】利用二倍角和和差角公式化简已知，得cos2α+sin(2α+β)=0，再由角的范围和诱导公式
7π
得4α+β= ，从而得解.
2
【解答过程】由4sinαcosα(1−2sin2α)(1+sinβ)+(1−cos4α)cosβ=0，
得2sin2αcos2α(1+sinβ)+2sin22αcosβ=0，
π 3π 3π
又 <α< ，所以π<2α< ，所以sin2α≠0，
2 4 2
所以cos2α(1+sinβ)+sin2αcosβ=0，即cos2α+sin(2α+β)=0，
(3π 5π
)
7π
(
5π
)
(3π 5π
)
因为2α+β∈ , ， −2α∈ 2π, ⊆ , ，
2 2 2 2 2 2
(7π
)
所以sin(2α+β)=−cos2α=sin −2α ，
2
(3π 5π
)
7π
且y=sinx在 , 上单调递增，所以2α+β= −2α，
2 2 2
7π 4α β 7π
所以4α+β= ，则 + = ，
2 3 3 6
(4α β) 7π 1
所以sin + =sin =− .
3 3 6 2
故选：C.
【题型6 三角恒等变换——给值求值型问题】
2 π
【例6】（2024·云南大理·一模）已知sinα+√3cosα= ，则cos( 2α− )=（ ）
3 3
63 7 24 4
A．− B．− C． D．
65 9 25 5
π
【解题思路】首先根据辅助角公式化简并求解sin ( α+ ) 的值，然后根据余弦二倍角公式求解
3
cos ( 2α+
2π
) 的值，最后利用诱导公式求解cos ( 2α−
π
) 的值即可.
3 3
2 π 2
【解答过程】由于sinα+√3cosα= ，可得： sinα+√3cosα=2sin( α+ )= ，即
3 3 3
π 1
sin( α+ )=
，
3 3
又由于cos ( 2α+ 2π ) =1−2sin2( α+ π )= 7 ，
3 3 9
cos( 2α− π )=cos [( 2α+ 2π ) −π ] =−cos ( 2α+ 2π ) =− 7 .
3 3 3 9
故选：B.
1 5
【变式6-1】（2024·宁夏吴忠·一模）已知cos(α+β)= ,cosαcosβ= ，则cos2α+cos2β=（ ）
2 12
3 4 7 9
A． B． C． D．
2 3 6 8【解题思路】先根据两角和的余弦公式求出sinαsinβ，再将sinαsinβ平方结合平方关系化简即可得解.
1 5
【解答过程】因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ= ,cosαcosβ= ，
2 12
1 1
所以sinαsinβ=− ，则sin2αsin2β= ，
12 144
1
即(1−cos2α)(1−cos2β)=
，
144
1
即1−(cos2α+cos2β)+cos2αcos2β=
，
144
25 1
即1−(cos2α+cos2β)+ = ，
144 144
7
所以cos2α+cos2β=
.
6
故选：C.
1 2
【变式6-2】（2024·河南·模拟预测）已知sin(α+β)= ,cos(α−β)= ，则
3 3
sinα cosβ cosα sinβ
+ + + =（ ）
cosβ sinα sinβ cosα
4 4 2 2
A．− B． C． D．−
3 3 3 3
【解题思路】根据两角和差的正弦、余弦公式进行恒等变换即可求解.
1 2
【解答过程】sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= ，cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ= ，
3 3
8 5
∴cos2(α+β)=1−sin2(α+β)= ，sin2(α−β)=1−cos2(α−β)=
，
9 9
sin2α=sin[(α+β)+(α−β)]=sin(α+β)cos(α−β)+cos(α+β)sin(α−β)
2
= +cos(α+β)sin(α−β)，
9
sin2β=sin[(α+β)−(α−β)]=sin(α+β)cos(α−β)−cos(α+β)sin(α−β)
2
= −cos(α+β)sin(α−β)，
94 4 4 8 5 4
∴sin2α+sin2β= ,sin2αsin2β= −cos2(α+β)sin2(α−β)= − × =− ，
9 81 81 9 9 9
sinα cosβ cosα sinβ sinαsinβ+cosαcosβ cosαcosβ+sinαsinβ
∴ + + + = +
cosβ sinα sinβ cosα sinβcosβ sinαcosα
2 2
3 3 4( 1 1 ) 4 sin2α+sin2β 4.
= + = + = × =−
sinβcosβ sinαcosα 3 sin2β sin2α 3 sin2αsin2β 3
故选：A.
π √2
【变式6-3】（2024·山东淄博·二模）设β∈(0, )，若sinα=3sin(α+2β)，tanβ= ，则
2 2
tan(α+2β)=（ ）
√2 √2 √2 √2
A．− B． C．− D．
4 4 2 2
【解题思路】先对sinα=3sin(α+2β)变形，进而表示出tan(α+2β)，再代值计算即得.
【解答过程】由sinα=3sin(α+2β)，得sin[(α+2β)−2β]=3sin(α+2β)，
则sin(α+2β)cos2β−cos(α+2β)sin2β=3sin(α+2β)，即
sin(α+2β)(cos2β−3)=cos(α+2β)sin2β，
sin2β 2sinβcosβ 2sinβcosβ tanβ
因此tan(α+2β)= = = =−
，
cos2β−3 cos2β−sin2β−3cos2β−3sin2β −2cos2β−4sin2β 2tan2β+1
√2
√2 2 √2
而tanβ= ，所以 tan(α+2β)=− =− .
2 √2 2 4
2×( ) +1
2
故选：A.
【题型7 三角恒等变换——给值求角型问题】
cosα 1+sinα π
【例7】（2024·江苏无锡·三模）已知tanβ= ，tan(α+β)= ，若β∈ ( 0, ) ，则β=
1−sinα cosα 2
（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
【解题思路】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.
tan(α+β)−tanβ
【解答过程】因为tanα=tan(α+β−β)= ，
1+tan(α+β)⋅tanβcosα 1+sinα
又因为tanβ= ，tan(α+β)= ，
1−sinα cosα
1+sinα cosα (1+sinα)⋅(1−sinα)−cosα⋅cosα
−
cosα 1−sinα cosα(1−sinα)
所以tanα= = ，
1+sinα cosα cosα⋅(1−sinα)+cosα⋅(1+sinα)
1+ ⋅
cosα 1−sinα cosα(1−sinα)
(1+sinα)⋅(1−sinα)−cosα⋅cosα 1−sin2α−cos2α
所以tanα= =
cosα⋅(1−sinα)+cosα⋅(1+sinα) 2cosα
因为sin2α+cos2α=1，所以tanα=0，
所以α=kπ,k∈Z，
所以当k为奇数时，cosα=−1，sinα=0，
当k为偶数时，cosα=1，sinα=0，
cosα
因为tanβ= ，所以tanβ=±1，
1−sinα
π π
因为β∈ ( 0, ) ，所以β= .
2 4
故选：C.
√5 √2
【变式7-1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知α，β∈(0,π)，且cosα= ，sin(α+β)= ，则
5 10
α−β=（ ）
π 3π π π 3π 3π
A．− B． C．− 或 D． 或−
4 4 4 4 4 4
【解题思路】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小α与α+β的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍
角公式求得2α,α+β的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解.
√5 √2 π π 2√5
【解答过程】因为cosα= < ,所以α∈( , ),则sinα= ,
5 2 4 2 5
2√5 √5 4
所以sin2α=2sinαcosα=2× × = ,
5 5 5
cos2α=1−2sin2α=1−2× (2√5) 2 =− 3 <0,则2α∈ ( π ,π) ，
5 5 2
(π 3π )
因为β∈(0,π)，所以α+β∈ , ，
4 2
√2 √2 (3π )
又00,即A,B均为锐角,
但C无法确定大小,故△ABC的形状不能确定.
故选:D.
1
【变式8-1】（23-24高一下·江西吉安·期末）在 ABC中，若sinAsinB= (1+cosC)，则 ABC是
2
△ △
（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形1
【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得sinAsinB=− [cos(A+B)−cos(A−B)]，再结合诱导公
2
式化简计算得出结果．
【解答过程】因为cos(A+B)=cosAcosB−sin AsinB
cos(A−B)=cosAcosB+sin AsinB
1
所以sin AsinB=− [cos(A+B)−cos(A−B)]，
2
1
因为sin AsinB= (1+cosC)
2
1 1
则− [cos(A+B)−cos(A−B)]= (1+cosC)
2 2
又A+B=π−C，
所以cosC=−cos(A+B),
1 1
所以− [cos(A+B)−cos(A−B)]= [1−cos(A+B)]
2 2
所以cos(A−B)=1.
又A,B为 ABC的内角，所以A−B=0.
所以A=B△，故 ABC为等腰三角形.
故选：C. △
【变式8-2】（2024高三·全国·专题练习）若△ABC中，sin(A+B)sin(A−B)=sin2C，则此三角形的形
状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解题思路】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状.
【解答过程】∵△ABC中，sin(A+B)=sinC，
∴已知等式变形得sinCsin(A−B)=sin2C，
∵00，
即sin(A−B)=sinC=sin(A+B)，
整理得sinAcosB−cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，即2cosAsinB=0，
∴cosA=0或sinB=0（不合题意，舍去）．
π
∵00,0≤θ≤ ) 的图象与y轴相交于
2
( 1) 5π
点 0, ，且在y轴右侧的第一个零点为 .
2 12
(1)求θ和ω的值；
(2)已知0<α<
π
<β<π，f
(α
−
π)
=
1
，f
(α+β
+
π)
=−
2√2
，求cosβ的值.
2 2 12 3 2 6 3
1 π T 5π T
【解题思路】（1）根据sinθ= 可得θ= ，即可根据周期关系得 < < ，结合中心对称即可求解
2 6 4 12 2
ω=2，
2√2
（2）根据同角关系可得cosα= ，进而根据和差角公式即可求解.
3
1 π π π
【解答过程】（1）由已知sinθ= ，∵0≤θ≤ ，∴θ= ，∴f(x)=sin ( ωx+ ) ，
2 2 6 6
5π π 2(6k−1)
由已知ω + =kπ ，k∈Z，∴ω= ，k∈Z，
12 6 5
T 5π T 2π 6 12
由图象可知 < < ，∵T= ，∴ <ω< ，∴ω=2
4 12 2 ω 5 5
π
（2）由（1）知f(x)=sin ( 2x+ ) ，
6∵f
(α
−
π)
=
1
，∴sinα=
1
，∵0<α<
π
，∴cosα=
2√2
；
2 12 3 3 2 3
π π π 3π
∵ <β<π ，∴ <α+ <α+β<α+π< ，
2 2 2 2
∴sin(α+π)0,cosθ>0，
2
sinθ 1
又因为tanθ= = ，则cosθ=2sinθ，
cosθ 2
√5 √5
且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sinθ= 或sinθ=− （舍去），
5 5
√5
所以sinθ−cosθ=sinθ−2sinθ=−sinθ=− .
5√5
故答案为：− .
5
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，
2√2
tanαtanβ=√2+1，则sin(α+β)= − .
3
【解题思路】法一：根据两角和与差的正切公式得tan(α+β)=−2√2，再缩小α+β的范围，最后结合同
角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
tanα+tanβ 4
【解答过程】法一：由题意得tan(α+β)= = =−2√2，
1−tanαtanβ 1−(√2+1)
因为α∈ ( 2kπ,2kπ+ π ) ,β∈ ( 2mπ+π,2mπ+ 3π ) ，k,m∈Z，
2 2
则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π)，k,m∈Z，
又因为tan(α+β)=−2√2<0，
(
3π
)
则α+β∈ (2m+2k)π+ ,(2m+2k)π+2π ，k,m∈Z，则sin(α+β)<0，
2
sin(α+β) 2√2
则 =−2√2，联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=− .
cos(α+β) 3
法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,
cosα 1 cosβ −1
cosα= = ，cosβ= =
，
√sin2α+cos2α √1+tan2α √sin2β+cos2β √1+tan2β
则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)
−4 −4 −4 2√2
=4cosαcosβ= = = =−
√1+tan2α√1+tan2β √(tanα+tanβ) 2+(tanαtanβ−1) 2 √42+2 3
2√2
故答案为：− .
3
8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=sinx−√3cosx在[0,π]上的最大值是 2 ．
【解题思路】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【解答过程】f (x)=sinx−√3cosx=2sin ( x− π ) ，当x∈[0,π]时，x− π ∈ [ − π , 2π] ，
3 3 3 3
π π 5π
当x− = 时，即x= 时，f (x) =2.
3 2 6 max
故答案为：2.π
9．（2023·北京·高考真题）设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ ( ω>0,|φ|< ) ．
2
√3
(1)若f(0)=− ，求φ的值．
2
[ π 2π] (2π )
(2)已知f(x)在区间 − , 上单调递增，f =1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
3 3 3
选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．
π
条件①：f
( )=√2；
3
π
条件②：f
(
−
)=−1；
3
[ π π]
条件③：f(x)在区间 − ,− 上单调递减．
2 3
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
π
【解题思路】（1）把x=0代入f(x)的解析式求出sinφ，再由|φ|< 即可求出φ的值；
2
[ π 2π]
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把f(x)的解析式化简，根据f(x)在 − , 上的单调性
3 3
π π
及函数的最值可求出T，从而求出ω的值；把ω的值代入f(x)的解析式，由f ( − )=−1和 |φ|< 即可
3 2
π
求出φ的值；若选条件③：由f(x)的单调性可知f(x)在x=− 处取得最小值−1，则与条件②所给的条件
3
一样，解法与条件②相同．
π
【解答过程】（1）因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,ω>0,|φ|<
2
√3
所以f(0)=sin(ω⋅0)cosφ+cos(ω⋅0)sinφ=sinφ=− ，
2
π π
因为
|φ|< ，所以φ=−
.
2 3
π
（2）因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,ω>0,|φ|< ，
2
π
所以f(x)=sin(ωx+φ),ω>0,|φ|< ，所以f(x)的最大值为1，最小值为−1.
2π
若选条件①：因为f(x)=sin(ωx+φ)的最大值为1，最小值为−1，所以f
( )=√2无解，故条件①不能使
3
函数f(x)存在；
若选条件②：因为f(x)在 [ − π , 2π] 上单调递增，且f (2π ) =1，f ( − π )=−1
3 3 3 3
T 2π π 2π
所以 = − ( − )=π ,所以T=2π,ω= =1,
2 3 3 T
所以f(x)=sin(x+φ)，
π π
又因为f ( − )=−1，所以sin ( − +φ )=−1，
3 3
π π
所以− +φ=− +2kπ,k∈Z，
3 2
π π π
所以φ=− +2kπ,k∈Z，因为|φ|< ，所以φ=−
.
6 2 6
π
所以ω=1，φ=−
；
6
[ π 2π] [ π π]
若选条件③：因为f(x)在 − , 上单调递增，在 − ,− 上单调递减，
3 3 2 3
π π
所以f(x)在x=− 处取得最小值−1，即f ( − )=−1.
3 3
以下与条件②相同．
