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专题 5.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【九大题
型】
【新高考专用】
1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
三角函数是高考的重点、热点内容，同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简
求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数
的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答
题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等，需要灵活求解.【知识点1 同角三角函数关系式的常用结论】
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 可
以实现角 的弦切互化.
(2)形如 等类型可进行弦化切.
2．同角三角函数关系式的常用变形
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【知识点2 诱导公式及其应用】
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
2．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
3．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再
进行运算.
4．同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三
角函数值符号的影响.
【知识点3 三角恒等变换几类问题的解题策略】
1．给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求
出相应角的三角函数值，代入即可.
2．给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数
而得解.
3．给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化
为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想
解决相关问题.【题型1 正、余弦齐次式的计算】
sinα−cosα
【例1】（2025·广东惠州·模拟预测）已知tanα=−2，则 =（ ）
3cosα+sinα
1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
1 sinα−cosα
【变式1-1】（2024·吉林·模拟预测）已知tanα= ，则 =（ ）
2 sinα+3cosα
2 1 1 1
A． B．− C． D．−
3 7 2 2
【变式1-2】（2024·陕西咸阳·三模）已知方程sin2α+2sinαcosα−2sinα−4cosα=0，则
cos2α−sinαcosα=（ ）
4 3 3 4
A．− B． C．− D．
5 5 5 5
【变式1-3】（2025·四川·模拟预测）已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点
sin2α
P(−2,√5)，则 =（ ）
cos2α+1
7√5 4√5 13√5 2√5
A．− B．− C．− D．−
2 13 4 7
【题型2 “和”“积”转换】
1
【例2】（2024·海南·模拟预测）若α∈(0,π)，且cosα−sinα= ，则tanα=（ ）
2
4+√7 4−√7 4+√7 4−√7
A． B． C． D．
5 5 3 3
7
【变式2-1】（2024·湖北荆州·三模）已知sinθ+cosθ= ，则sinθ−cosθ的值为（ ）
13
17 7 17 7
A． B． C．± D．±
13 13 13 13
√6
【变式2-2】（2024·山西·二模）已知sinα+cosα= ，0<α<π，则sinα−cosα=（ ）
3
2√3 2√3 √3 √3
A．− B． C．− D．
3 3 3 3
1 π π sinαcosα
【变式2-3】（2024·山西·模拟预测）已知sinα−cosα= ,α∈ ( − , ) ，则 =（ ）
5 2 2 sinα+cosα
12 12 12 12
A．− B． C．− D．
5 5 35 35【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】
【例3】（2024·浙江·模拟预测）已知α∈ ( 0,
π
) ，sin( α−
π
)=
1
，则cos ( α+
2π
) =（ ）
2 10 3 5
2√2 2√2 1 1
A．− B． C．− D．
3 3 3 3
【变式3-1】（2024·河北沧州·一模）已知cos(
π
+x )=
1
，则sin
(5π
−x ) =（ ）
4 3 4
1 1 2√2 2√2
A．− B． C． D．−
3 3 3 3
π
【变式3-2】（2024·四川·模拟预测）已知角α+ 的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过
3
点
P
(1
,
√3)，则 cos(
α−
π )= （ ）
2 2 6
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
( 2π ) 2 (19π ) ( 13π )
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知cos θ− = ，则2sin −θ +cos θ+ =
5 3 10 5
（ ）
2 2
A．−2 B．2 C．− D．
3 3
【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】
(π ) 1 sin3θ+2cos3θ
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知tan +θ = ，则 =（ ）
2 2 sin(π+θ)
3 5 5 3
A． B． C．− D．−
5 6 6 5
1
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知cos(π+α)= ，sinα<0，则tanα=（ ）
3
√2 √2
A．−2√2 B．− C． D．2√2
4 4
【变式4-2】（2024·辽宁·三模）已知 1，则sin( α+ π ) −cos (3π −α ) （ ）
tanα= 2 2
2 =
cos(−α)−sin(π−α)
A．−1 B．1 C．−3 D．3(2023π ) 1
【变式4-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知α为第二象限角，若sin −α = ,则tanα=（ ）
2 4
√15 √15
A．−√15 B．√15 C．− D．
15 15
【题型5 三角恒等变换的化简问题】
4
【例5】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知sin(α+β)=2cos(α−β)，tanα+tanβ= ，则
3
tanα⋅tanβ=（ ）
1 1
A．3 B．−3 C． D．−
3 3
1
【变式5-1】（2024·安徽淮南·一模）下列各式的值为 的是（ ）
2
tan22.5°
A．sin15°cos15° B．cos215°−sin215°C． D．
1−tan222.5°
1−2sin222.5°
【变式5-2】（2024·江西·二模）已知tanα=3，tan(α+β)=−5，则tan(2α+β)=（ ）
1 1
A．8 B．−8 C． D．−
8 8
π 3π π
【变式5-3】（2024·河南·模拟预测）已知 <α< ， <β<π，
2 4 2
(4α β)
4sinαcosα(1−2sin2α)(1+sinβ)+(1−cos4α)cosβ=0，则sin + =（ ）
3 3
√3 1 1 √3
A． B． C．− D．−
2 2 2 2
【题型6 三角恒等变换——给值求值型问题】
2 π
【例6】（2024·云南大理·一模）已知sinα+√3cosα= ，则cos( 2α− )=（ ）
3 3
63 7 24 4
A．− B．− C． D．
65 9 25 5
1 5
【变式6-1】（2024·宁夏吴忠·一模）已知cos(α+β)= ,cosαcosβ= ，则cos2α+cos2β=（ ）
2 12
3 4 7 9
A． B． C． D．
2 3 6 8
1 2
【变式6-2】（2024·河南·模拟预测）已知sin(α+β)= ,cos(α−β)= ，则
3 3sinα cosβ cosα sinβ
+ + + =（ ）
cosβ sinα sinβ cosα
4 4 2 2
A．− B． C． D．−
3 3 3 3
π √2
【变式6-3】（2024·山东淄博·二模）设β∈(0, )，若sinα=3sin(α+2β)，tanβ= ，则
2 2
tan(α+2β)=（ ）
√2 √2 √2 √2
A．− B． C．− D．
4 4 2 2
【题型7 三角恒等变换——给值求角型问题】
cosα 1+sinα π
【例7】（2024·江苏无锡·三模）已知tanβ= ，tan(α+β)= ，若β∈ ( 0, ) ，则β=
1−sinα cosα 2
（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
√5 √2
【变式7-1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知α，β∈(0,π)，且cosα= ，sin(α+β)= ，则
5 10
α−β=（ ）
π 3π π π 3π 3π
A．− B． C．− 或 D． 或−
4 4 4 4 4 4
π 1
【变式7-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知α,β∈ ( 0, )，cos2α−sin2α= ，且
4 7
3sinβ=sin(2α+β)，则α+β的值为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
π
【变式7-3】（24-25高三·全国·期末）已知0<α<β< ,cos2α+cos2β+1=2cos(α−β)+cos(α+β)，
2
则（ ）
π π
A．α+β= B．α+β=
6 3
π π
C．β−α= D．β−α=
6 3
【题型8 利用三角恒等变换判断三角形的形状】
【例8】（2024·陕西·一模）在△ABC中,如果cos(2B+C)+cosC<0,那么△ABC的形状为（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
1
【变式8-1】（23-24高一下·江西吉安·期末）在 ABC中，若sinAsinB= (1+cosC)，则 ABC是
2
△ △
（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【变式8-2】（2024高三·全国·专题练习）若△ABC中，sin(A+B)sin(A−B)=sin2C，则此三角形的形
状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
sinA+sinB
【变式8-3】（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）在△ABC中，sinC= ，则△ABC的形状为
cosA+cosB
（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【题型9 三角恒等变换的综合应用】
π
【例9】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数f (x)=√3cos ( 2x− ) −2sin2x+1.
2
(1)求f (x)的单调区间；
π
( )
(2)当x∈ 0, 时，求f (x)的值域；
2
π 3 π
(3)若x∈ ( 0, ) 且f (x)= ，求f ( x− ) 的值.
6 2 12
π
【变式9-1】（2024·上海·模拟预测）已知函数f(x)=2cos2x+cos(2x− )−1．
3
(1)求函数f(x)的在[0,π]上单调递减区间；
(2)若函数f(x)在区间[0,m]上有且只有两个零点，求m的取值范围．π
【变式9-2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，函数f (x)=sin(ωx+θ) ( ω>0,0≤θ≤ ) 的图象与y轴相交于
2
( 1) 5π
点 0, ，且在y轴右侧的第一个零点为 .
2 12
(1)求θ和ω的值；
(2)已知0<α<
π
<β<π，f
(α
−
π)
=
1
，f
(α+β
+
π)
=−
2√2
，求cosβ的值.
2 2 12 3 2 6 3
π
【变式9-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数f(x)=2sin2x+3sinxcosx+cos2( x+ )+a．
4
(1)若x∈R，求函数f(x)的单调递减区间；
[ π]
(2)当x∈ 0, 时函数f(x)的最小值为2，求实数a的值．
2
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：sin2α+sin2β=1，乙：sinα+cosβ=0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
1 1
2．（2023·全国·高考真题）已知sin(α−β)= ,cosαsinβ= ，则cos(2α+2β)=（ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C．− D．−
9 9 9 91+√5 α
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知α为锐角，cosα= ，则sin =（ ）．
4 2
3−√5 −1+√5 3−√5 −1+√5
A． B． C． D．
8 8 4 4
4．（2024·广东江苏·高考真题）已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α−β)=（ ）
m m
A．−3m B．− C． D．3m
3 3
cosα π
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 =√3，则tan( α+ )=（ ）
cosα−sinα 4
√3
A．2√3+1 B．2√3−1 C． D．1−√3
2
π 1
6．（2023·全国乙卷·高考真题）若θ∈ ( 0, ) ,tanθ= ，则sinθ−cosθ= ．
2 2
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，
tanαtanβ=√2+1，则sin(α+β)= .
8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=sinx−√3cosx在[0,π]上的最大值是 ．
π
9．（2023·北京·高考真题）设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ ( ω>0,|φ|< ) ．
2
√3
(1)若f(0)=− ，求φ的值．
2
[ π 2π] (2π )
(2)已知f(x)在区间 − , 上单调递增，f =1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
3 3 3
选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．
π
条件①：f
( )=√2；
3
π
条件②：f
(
−
)=−1；
3
[ π π]
条件③：f(x)在区间 − ,− 上单调递减．
2 3
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
