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§5.1 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量
的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量
的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握
平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面
向量的线性运算性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b
求两个向量和的
加法 ＋a；结合律：(a＋
运算
b)＋c＝a＋(b＋c)求两个向量差的
减法 a－b＝a＋(－b)
运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与
a的方向相同； λ(μ a)＝(λμ)a；
求实数λ与向量
数乘 当λ<0时，λa与a的方向相 (λ＋μ)a＝λa＋μa；
a的积的运算
反； λ(a＋b)＝λa＋λb
当λ＝0时，λa＝0
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
微思考
1．三角形加法法则的推论是什么？
提示 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点
的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋A A＝A1An，特别地， 一个封闭图形，首尾连接
n－1 n
而成的向量和为零向量．
2．中点公式的向量形式是什么？
提示 中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋
OB)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × )
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × )
(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．( √ )
题组二 教材改编
2．(多选)下列命题中，正确的是( )
A.若a与b都是单位向量，则a＝b
B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
答案 CD
解析 A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大
小，故x轴，y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
3．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，
则OA＋OB＋OC＋OD等于( )
A.OM B．2OM C．3OM D．4OM
答案 D
解析 OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.
4．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC
＝________.(用a，b表示)
答案 b－a －a－b
解析 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
题组三 易错自纠
5．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.
若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，
故前者是后者的充分不必要条件．
6．(多选)下列四个命题中，错误的是( )
A．若a∥b，则a＝b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若|a|＝|b|，则a∥b
D．若a＝b，则|a|＝|b|
答案 ABC
题型一 平面向量的概念
1．(多选)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( )
A．向量AB的长度与向量BA的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同答案 BCD
解析 对于A，向量AB与向量BA，长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，
不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向
是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
答案 C
解析 因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量
a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分
条件．
3．(多选)下列命题中错误的有( )
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
答案 BC
解析 由平行向量和共线向量可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向
量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较
大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则
这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以 D是正确
的．
4．(多选)下列命题正确的有( )
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC”⇔“四边形ABCD是平行四边形”
答案 AD
解析 方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正
确；
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和
终点，故C错误；
A，B，C，D是不共线的点，AB＝DC，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平
行且相等，反之也成立，故D正确．思维升华 平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平
移混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例1 设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案 A
解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A.
方法二 ∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
故选A.
命题点2 向量的线性运算
例2 (2020·合肥质检)在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，AC＝b，则AD等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D.a－b
答案 A
解析 方法一 如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形
AEDF为平行四边形，所以AD＝AE＋AF.因为BD＝BC，所以AE＝AB，AF＝AC，所以AD
＝AB＋AC＝a＋b，故选A.方法二 AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，故选A.
方法三 由BD＝BC，得AD－AB＝(AC－AB)，所以AD＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋
b，故选A.
命题点3 根据向量线性运算求参数
例3 (2021·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC，点E是线段BC的中点，若
AE＝λAB＋μAD，则λ＋μ＝________.
答案
解析 取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.因为AE＝AB＋BE＝
AB＋BC＝AB＋(FC－FB)＝AB＋＝AB＋AD，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.
思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意
义；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，
求参数的值．
跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等
于( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
答案 A
解析 作出示意图如图所示．
EB＝ED＋DB＝AD＋CB
＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)
＝AB－AC.故选A.
(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB＝xAE＋yAF(x，y∈R)，
则x－y＝______.
答案 2
解析 由题意得AE＝AB＋BE＝AB＋AD，
AF＝AD＋DF＝AD＋AB，因为AB＝xAE＋yAF，
所以AB＝AB＋AD，
所以解得
所以x－y＝2.
题型三 共线定理的应用
例4 设两向量a与b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，
又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
思维升华 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练2 (1)(2021·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，
μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
答案 A
解析 ∵AB与AC有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t，使AB＝tAC，即
λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB＝a＋b，此时存在实数使
AB＝AC，故AB和AC共线．∵AB与AC有公共点A，∴A，B，C三点共线，故选A.
(2)(2020·郑州模拟)设e 与e 是两个不共线向量，AB＝3e ＋2e ，CB＝ke ＋e ，CD＝3e －
1 2 1 2 1 2 1
2ke，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
2
答案 －解析 由题意知，A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得AB＝λBD.
又AB＝3e＋2e，CB＝ke＋e，CD＝3e－2ke，
1 2 1 2 1 2
∴BD＝CD－CB＝3e－2ke－(ke＋e)
1 2 1 2
＝(3－k)e－(2k＋1)e，
1 2
∴3e＋2e＝λ(3－k)e－λ(2k＋1)e，
1 2 1 2
∴解得k＝－.
课时精练
1．(2021·湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正
确的是( )
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
答案 D
解析 因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，
所以a与b共线同向，故D正确．
2.如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于( )
A．0 B.BE
C.AD D.CF
答案 D
解析 根据正六边形的性质，
易得，BA＋CD＋EF
＝BA＋AF＋EF
＝BF＋CB＝CF.
3．已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是(
)
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部答案 C
解析 由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋PC＝PB－PA，即PC＝－2PA，故点P在线段AC上．
4．(2020·唐山模拟)已知O是正方形ABCD的中心．若DO＝λAB＋μAC，其中λ，μ∈R，则
等于( )
A．－2 B．－ C．－ D.
答案 A
解析 DO＝DA＋AO＝CB＋AO＝AB－AC＋AC＝AB－AC，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－
2.
5．(多选)下列说法中正确的是( )
A.AB＋BA＝0
B．若|a|＝|b|且a∥b，则a＝b
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．若a∥b，则有且只有一个实数λ，使得b＝λa
答案 AC
解析 由AB，BA互为相反向量，得AB＋BA＝0，故A正确；
由|a|＝|b|且a∥b，得a＝b或a＝－b，故B错误；
若a与b不共线，则a与b都是非零向量，故C正确；
根据向量共线基本定理可知D错误，因为要排除零向量．
故选AC.
6．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点
B．若AM＝2AB－AC，则点M在边BC的延长线上
C．若AM＝－BM－CM，则点M是△ABC的重心
D．若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
答案 ACD
解析 若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点，故A正确；
若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，
即BM＝CB，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若AM＝－BM－CM，
即AM＋BM＋CM＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，
可得2AM＝2xAB＋2yAC，
设AN＝2AM，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
故选ACD.
7．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________.
答案 2
解析 因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|AB＋AC|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|AB＋AC|＝2.
8．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
答案
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数
μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.
9．设 M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，D 是 AC 的中点，则＝
________.
答案
解析 ∵D是AC的中点，∴MA＋MC＝2MD，
又∵MB＋MA＋MC＝0，
∴MB＝－(MA＋MC)＝－×2MD，
即MB＝3DM，故MD＝BM，
∴＝.
10．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列
命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.
其中正确命题有________．
答案 ②③④
解析 BC＝a，CA＝b，AD＝AB＋AC＝(AC＋CB)＋AC＝CB＋AC＝－a－b，故①错；
BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；
CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．
所以正确命题序号为②③④.
11．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b
＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数 t的值，
若不存在，请说明理由．
解 由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，
CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，
所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
12.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分
点，且分别靠近A，D两点，设AB＝a，AC＝b.
(1)试用a，b表示BC，AD，BE；
(2)证明：B，E，F三点共线．
(1)解 在△ABC中，因为AB＝a，AC＝b，
所以BC＝AC－AB＝b－a，
AD＝AB＋BD＝AB＋BC
＝a＋(b－a)＝a＋b，
BE＝BA＋AE＝－AB＋AC＝－a＋b.
(2)证明 因为BE＝－a＋b，
BF＝BA＋AF＝－AB＋AD
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以BF＝BE，BF与BE共线，且有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
13．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量， 已知PQ＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π)，QR＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A. B. C. D.
答案 CD
解析 因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即QR≠0，因为P，Q，R三点
共线，所以PQ与QR共线，所以存在实数λ，使PQ＝λQR，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以
解得sin α＝－.又α∈(0,2π)，故α的值可为或.
14．(2020·广东六校联考)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上一点，若AP＝tAB＋
AC，则实数t的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 方法一 因为AN＝NC，所以AN＝AC.
设NP＝λNB，则AP＝AN＋NP＝AC＋λNB
＝AC＋λ(NA＋AB)＝AC＋λ
＝λAB＋(1－λ)AC.
又AP＝tAB＋AC，
所以tAB＋AC＝λAB＋(1－λ)AC，
得解得t＝λ＝，故选C.
方法二 因为AN＝NC，所以AC＝AN，
所以AP＝tAB＋AC＝tAB＋AN，
因为B，P，N三点共线，
所以t＋＝1，所以t＝，故选C.
15．(2020·滁州模拟)已知A ，A ，A 为平面上三个不共线的定点，平面上点 M满足A1M＝
1 2 3
λ(A1A2＋A1A3)(λ是实数)，且MA1＋MA2＋MA3是单位向量，则这样的点M有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
答案 C
解析 方法一 由题意得，MA1＝－λ(A1A2＋A1A3)，MA2＝MA1＋A1A2，MA3＝MA1＋
A1A3，
∴MA1＋MA2＋MA3＝(1－3λ)·(A1A2＋A1A3)，如图所示，设D为AA 的中点，
2 3∴(1－3λ)(A1A2＋A1A3)是与A1D共起点且共线的一个向量，显然直线AD与以A 为圆心的
1 1
单位圆有两个交点，故λ有两个值，即符合题意的点M有两个，故选C.
方法二 以A 为原点建立平面直角坐标系，
1
设A(a，b)，A(m，n)，
2 3
则A1A2＋A1A3＝(a＋m，b＋n)，
∴M(λ(a＋m)，λ(b＋n))，
∴MA1＝(－λ(a＋m)，－λ(b＋n))，
MA2＝(a－λ(a＋m)，b－λ(b＋n))，
MA3＝(m－λ(a＋m)，n－λ(b＋n))，
∴MA1＋MA2＋MA3＝((1－3λ)(a＋m)，(1－3λ)(b＋n))．
∵MA1＋MA2＋MA3是单位向量，
∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1，
∵A，A，A 是平面上三个不共线的定点，
1 2 3
∴(a＋m)2＋(b＋n)2>0，所以关于λ的方程有两解，
故满足条件的M有两个，故选C.
16．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，
m，n∈R*.
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值．
(1)证明 设OA＝a，OB＝b.
由题意知OG＝×(OA＋OB)＝(a＋b)，
PQ＝OQ－OP＝nb－ma，
PG＝OG－OP＝a＋b，
由P，G，Q三点共线得，
存在实数λ，使得PQ＝λPG，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而
消去λ得＋＝3.(2)解 由(1)知，＋＝3，
于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.
当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值，最小值为.
