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专题 4.1 平面向量的概念及线性运算【六大题型】
【新高考专用】
1、平面向量的概念及线性运算
平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的概念、平
面向量的线性运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函
数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.
【知识点1 平行向量有关概念的归纳】
1．平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量 与 的关系： 是与 同方向的单位向量.
【知识点2 平面向量线性运算问题的解题策略】
1．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加
减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中
位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2．向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法
运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3．利用共线向量定理解题的策略：
(1) 是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线 共线.
(3)若 与 不共线且 ，则 .
(4) (λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【方法技巧与总结】
1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 .
2． (λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二
是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【题型1 平面向量的基本概念】
【例1】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（ ）
A．体积 B．距离
C．拉力 D．质量
【解题思路】由向量的定义即可判断
【解答过程】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向
故选:C.
【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
|⃗a|=|⃗b| ⃗a=⃗b |⃗a|>|⃗b| ⃗a>⃗b
C．若⃗a=⃗b，则⃗a ∥ ⃗b D．若⃗a ∥ ⃗b,⃗b ∥ ⃗c，则⃗a ∥ ⃗c【解题思路】根据向量的概念逐一判断.
【解答过程】对于A：若 ，则 只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
|⃗a|=|⃗b| ⃗a,⃗b
对于B：向量不能比较大小，B错误；
对于C：若⃗a=⃗b，则⃗a,⃗b方向相同，C正确；
对于D：若⃗a ∥ ⃗b,⃗b ∥ ⃗c，如果⃗b为零向量，则不能推出⃗a,⃗c平行，D错误.
故选：C.
【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的
【解题思路】根据向量的相关概念直接判断即可.
【解答过程】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；
速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；
零向量方向任意，D错误.
故选：B.
【变式1-3】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量⃗a如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用⃗MN表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
【解题思路】根据向量的几何表示，直接进行判断即可.
【解答过程】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．
故选D．
【题型2 向量的几何表示与向量的模】
【例2】（2024·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足⃗AB+⃗BC=2⃗AM，则
（ ）
|⃗MD|=
1 √2
A． B．1 C． D．√2
2 2
【解题思路】根据几何关系求解.
【解答过程】1 √2
如图，⃗AB+⃗BC=⃗AC=2⃗AM，所以M是AC的中点，|⃗MD|= BD= ；
2 2
故选：C.
【变式2-1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行150km，再向南飞行350km，记
飞机飞行的路程为s，位移为⃗a，则（ ）
A．s>|⃗a| B．s=|⃗a| C．s<|⃗a| D．s与|⃗a|不能比较大小
【解题思路】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.
【解答过程】由题意，作图如下：
则该飞机由A先飞到B，再飞到C，则AB=150km，BC=350km，⃗a=⃗AC，
则飞机飞行的路程为 ， ，
s=500km |⃗a|=√1502+3502=50√58km
所以s>|⃗a|.
故选：A.
【变式2-2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半
圆上一点，且 ， ，则 等于（ ）
∠OCB=30° |⃗AB|=2 |⃗AC|A．1 B．√2 C．√3 D．2
【解题思路】根据 ，可得 ，进一步得出答案.
|⃗OC|=|⃗OB| ∠ABC=∠OCB=30°
【解答过程】如图，连接AC，
由 ，得 .
|⃗OC|=|⃗OB| ∠ABC=∠OCB=30°
因为C为半圆上的点，所以∠ACB=90°，
1
所以|⃗AC|= |⃗AB|=1．
2
故选：A.
【变式2-3】（23-24高一下·上海·课后作业）若⃗a是任一非零向量，⃗b是单位向量，下列各式：①
⃗a
|⃗a|>|⃗b|；②⃗a//⃗b；③|⃗a|>0；④|⃗b|=1；⑤ =⃗b，其中正确的有（ ）
|⃗a|
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
【解题思路】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、
④；根据单位向量的概念可判断⑤.
【解答过程】①｜⃗a｜＞｜⃗b｜不正确，⃗a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；
②⃗a∥⃗b，则⃗a与⃗b为共线向量，故不正确；
③|⃗a|>0，向量的模长是非负数，故正确；
④｜⃗b｜=1，故正确；
⃗a
⑤ 是单位向量，⃗b是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.
|⃗a|
故选：D.
【题型3 向量加、减法的几何意义】
【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）在△OMN中，⃗ON−⃗MN+⃗MO=（ ）
A．0⃗ B．2⃗MO C．2⃗OM D．0
【解题思路】根据平面向量的加减法运算计算即可.
【解答过程】⃗ON−⃗MN+⃗MO=⃗ON+⃗NM+⃗MO=⃗OM+⃗MO=0⃗.故选：A.
1
【变式3-1】（2024·宁夏石嘴山·二模）如图，已知△ABC中，D是AB边上一点，若⃗DB= ⃗AD，
2
3⃗CD=⃗CA+m⃗CB，则m=（ ）
A．−2 B．2 C．−1 D．3
【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.
【解答过程】连接CD，如图所示：
1
因为⃗DB= ⃗AD，
2
2 2 1 2
所以⃗CD=⃗CA+⃗AD=⃗CA+ ⃗AB=⃗CA+ (⃗CB−⃗CA)= ⃗CA+ ⃗CB，
3 3 3 3
所以3⃗CD=⃗CA+2⃗CB，所以m=2.
故选：B.
【变式3-2】（2024·浙江·二模）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则
⃗MA+2⃗MB+2⃗MC+⃗MD=（ ）
1
A．⃗AB B．⃗CD C．2⃗AB D． ⃗CD
2
【解题思路】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.
【解答过程】M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则⃗MA=−⃗MC,⃗MD=−⃗MB,
所以⃗MA+2⃗MB+2⃗MC+⃗MD=⃗MA+⃗MC+⃗MC+⃗MB+⃗MB+⃗MD=⃗MC+⃗MB=⃗MB−⃗MA=⃗AB.
故选：A.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若⃗AC=⃗m，⃗AM=⃗n，则⃗BD=
（ ）
A．4⃗m−3⃗n B．4⃗m+3⃗nC．3⃗m−4⃗n D．3⃗m+4⃗n
【解题思路】作图，根据图像和向量的关系，得到⃗BC=2(⃗AC−⃗AM)=2⃗m−2⃗n和⃗AB=⃗AC−⃗BC
=⃗m−2⃗m+2⃗n=2⃗n−⃗m，进而利用⃗BD=⃗BC+⃗CD=⃗BC−⃗AB，可得答案.
【解答过程】
如图，⃗AC=⃗m，⃗AM=⃗n，且在正方形ABCD中，⃗AB=⃗DC
1
∵⃗AC−⃗AM=⃗MC= ⃗BC，∴⃗BC=2(⃗AC−⃗AM)=2⃗m−2⃗n，
2
∵⃗AC=⃗AB+⃗BC，∴⃗AB=⃗AC−⃗BC =⃗m−2⃗m+2⃗n=2⃗n−⃗m，
∴⃗BD=⃗BC+⃗CD=⃗BC−⃗AB= 2⃗m−2⃗n−2⃗n+⃗m=3⃗m−4⃗n
故选：C.
【题型4 向量的线性运算】
【例4】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知向量 ，则 （ ）
⃗a,⃗b 2(⃗a+⃗b)−(⃗a−⃗b)=
A．⃗a+⃗b B．⃗a−⃗b
C．3⃗a+⃗b D．⃗a+3⃗b
【解题思路】直接由向量的线性运算即可求解.
【解答过程】由题意 .
2(⃗a+⃗b)−(⃗a−⃗b)=2⃗a+2⃗b−⃗a+⃗b=⃗a+3⃗b
故选：D.
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，⃗NA+⃗NC=0⃗,⃗BM=2⃗MC，则（ ）
1 1 1 1
A．⃗NM=− ⃗AB− ⃗AC B．⃗NM= ⃗AB− ⃗AC
3 6 3 6
1 1 1 1
C．⃗NM=− ⃗AB+ ⃗AC D．⃗NM= ⃗AB+ ⃗AC
3 6 3 6
【解题思路】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【解答过程】在△ABC中，因为⃗NA+⃗NC=0⃗，所以N为AC的中点，
又因为⃗BM=2⃗MC，所以M为线段BC的靠近C的三等分点，
1 1 1 1 1 1
所以⃗NM=⃗CM−⃗CN= ⃗CB− ⃗CA= (⃗AB−⃗AC)+ ⃗AC= ⃗AB+ ⃗AC．
3 2 3 2 3 6故选：D．
1
【变式4-2】（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） (⃗a+2⃗b−3⃗c)−3(⃗a−2⃗b−⃗c)= （ ）
2
5 5
A．− ⃗a−4⃗c B．− ⃗a+4⃗b−2⃗c
2 2
5 3 5 9
C．− ⃗a+7⃗b+ ⃗c D．− ⃗a+5⃗b− ⃗c
2 2 2 2
【解题思路】根据向量的加减法即可得到答案.
1 5 3
【解答过程】 (⃗a+2⃗b−3⃗c)−3(⃗a−2⃗b−⃗c)=− ⃗a+7⃗b+ ⃗c.
2 2 2
故选：C.
1
【变式4-3】（2024·四川德阳·模拟预测）在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 BD= BC，E为AD
3
的中点，则 ⃗AC=（ ）
A．2⃗AB+6⃗AE B．6⃗AB+2⃗AE C．−2⃗AB+6⃗AE D．6⃗AB−2⃗AE
【解题思路】由⃗BC=3⃗BD及向量的加减运算即可解．
【解答过程】如图所示：
因为 ，所以 ，
⃗BC=3⃗BD ⃗AC−⃗AB=3(⃗AD−⃗AB)
得⃗AC=3⃗AD−2⃗AB,
得⃗AC=3×2⃗AE−2⃗AB,
得⃗AC=−2⃗AB+6⃗AE,
故选：C.
【题型5 根据向量线性运算求参数】
【例5】（2024·山东·模拟预测）在正六边形ABCDEF中，⃗CH=2⃗HD，若⃗AH=x⃗AB+ y⃗AF，则x+ y=
（ ）
8 10 11
A． B．3 C． D．
3 3 3
【解题思路】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.2 1 2
【解答过程】⃗AH=⃗AB+⃗BC+⃗CH=⃗AB+⃗BC+ ⃗CD=⃗AB+ ⃗AD+ ⃗AF
3 2 3
2 5
=⃗AB+⃗AB+⃗AF+ ⃗AF=2⃗AB+ ⃗AF，
3 3
5 11
所以x=2,y= ，所以x+ y= .
3 3
故选：D.
【变式5-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且
2
⃗BP= ⃗BA+m⃗BC，则m=（ ）
3
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 5
【解题思路】设⃗AP=λ⃗AM，根据图形由向量的加法法则运算即可．
1
【解答过程】设⃗AP=λ⃗AM，因为M是边BC的中点，所以⃗BM= ⃗BC，
2
1
所以⃗AM=⃗BM−⃗BA= ⃗BC−⃗BA，
2
1 1
⃗BP=⃗BA+⃗AP=⃗BA+λ⃗AM=⃗BA+ λ⃗BC−λ⃗BA=(1−λ)⃗BA+ λ⃗BC，
2 2
2 1
又⃗BP= ⃗BA+m⃗BC，所以¿，解得m= ．
3 6
故选：A．
【变式5-2】（2024·广西·模拟预测）在△ABC中，⃗AB=4⃗AD，⃗CE=2⃗ED.若⃗BC=λ⃗AE+μ⃗CD，则
（ ）
λ
A．λ+μ=5 B．λ−μ=1 C．λμ=6 D． =3
μ
【解题思路】将向量⃗AE，⃗CD看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到⃗BC=
−3⃗AE−2⃗CD即可.【解答过程】依题意，⃗AB=4⃗AD，
所以⃗BC=⃗DC−⃗DB=−⃗CD−3⃗AD=−⃗CD−3(⃗AE+⃗ED)，
又因为⃗CE=2⃗ED，
所以⃗BC =−⃗CD−3⃗AE−3⃗ED=−⃗CD−3⃗AE−⃗CD=−3⃗AE−2⃗CD，
所以λ=−3，μ=−2，
λ 3
所以λ+μ=−5，λ−μ=−1，λμ=6， = ，只有选项C正确；
μ 2
故选：C．
【变式5-3】（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，
AC与MD相交于点P，若⃗AP=x⃗AB+ y⃗AD，则xy=（ ）
2 9 3 4
A． B． C． D．
3 16 4 9
AP
【解题思路】利用平行分线段成比例得到 =3，进而利用向量加法的平行四边形法则即可得解.
PC
【解答过程】因为平行四边形ABCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，AC与MD相交于点P，
AP AD
所以 = =3，
PC CM
3 3 3 3
所以⃗AP= ⃗AC= (⃗AB+⃗AD)= ⃗AB+ ⃗AD，又⃗AP=x⃗AB+ y⃗AD，
4 4 4 4
3 9
所以x= y= ，xy= .
4 16
故选：B.【题型6 向量共线定理及其应用】
【例6】（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
⃗e ⃗e ⃗AB=⃗e +2⃗e
1 2 1 2
， ，则（ ）
⃗BC=−3⃗e +2⃗e ⃗DA=3⃗e −6⃗e
1 2 1 2
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
【解题思路】根据向量 共线则 判断即可.
⃗a,⃗b ⃗a=λ⃗b(λ∈R)
【解答过程】对A，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三
⃗AB=⃗e +2⃗e ⃗BC=−3⃗e +2⃗e λ ⃗AB=λ⃗BC A B C
1 2 1 2
点不共线，故A错误；
对B，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，故
⃗AB=⃗e +2⃗e ⃗DA=3⃗e −6⃗e λ ⃗AB=λ⃗DA A B D
1 2 1 2
B错误；
2
对C，因为⃗AC=⃗AB+⃗BC=−2⃗e +4⃗e ，⃗DA=3⃗e −6⃗e ，则⃗AC=− ⃗DA，故A、C、D三点共线，故
1 2 1 2 3
C正确；
对D，因为 ， ，不存在实数
⃗BC=−3⃗e +2⃗e ⃗BD=−⃗DA−⃗AB=⃗DA=−3⃗e +6⃗e −⃗e −2⃗e =−4⃗e +4⃗e
1 2 1 2 1 2 1 2
λ使得⃗BC=λ⃗BD，故B、C、D三点不共线，故D错误.
故选：C.
【变式6-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知⃗a，⃗b是两个不共线的向量，命题甲：向量t⃗a+⃗b与⃗a−2⃗b共线；
1
命题乙: t=− ，则甲是乙的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用向量共线定理即可判断.
【解答过程】对于命题甲，可设 ，即 ，
t⃗a+⃗b=λ(⃗a−2⃗b) t⃗a+⃗b=λ⃗a−2λ⃗b
1
则¿，所以t=λ=− ；
21 1
对于命题乙，t=− 时，t⃗a+⃗b=− (⃗a−2⃗b)，则有向量t⃗a+⃗b与⃗a−2⃗b共线.
2 2
故甲是乙的充要条件.
故选：C.
【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）已知点A,B,C是直线l上相异的三点，O为直线l外一点，且
2⃗OA=3⃗OB+λ⃗OC，则λ的值是（ ）
1 1
A．−1 B．1 C．− D．
2 2
3 λ
【解题思路】化简得⃗OA= ⃗OB+ ⃗OC，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可.
2 2
3 λ
【解答过程】2⃗OA=3⃗OB+λ⃗OC，即⃗OA= ⃗OB+ ⃗OC，
2 2
因为点A,B,C是直线l上相异的三点，则点A,B,C三点共线，
3 λ
则 + =1，解得λ=−1.
2 2
故选：A.
【变式6-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b不共线，⃗AB=λ⃗a+⃗b,⃗AC=⃗a+μ⃗b，其中
λ>0,μ>0，若A,B,C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【解答过程】因为A,B,C三点共线，
所以存在实数k，使 → → ，即 ，
AB=k AC
λ⃗a+⃗b=k(⃗a+μ⃗b)
又向量⃗a,⃗b不共线，所以¿，
由λ>0,μ>0，所以λ+4μ≥2√4λμ=4，
当且仅当λ=4μ=2时，取等号，
即λ+4μ的最小值为4.
故选：B.
1．（2022·全国·高考真题）已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【解答过程】解：∵ 2，
|⃗a−2⃗b|2=|⃗a|2−4⃗a⋅⃗b+4|⃗b|
又∵|⃗a|=1,|⃗b|=√3,|⃗a−2⃗b|=3,
∴9=1−4⃗a⋅⃗b+4×3=13−4⃗a⋅⃗b，
∴⃗a⋅⃗b=1
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
⃗a,⃗b,⃗c |⃗a|=|⃗b|=1,|⃗c|=√2 ⃗a+⃗b+⃗c=0⃗
cos〈⃗a−⃗c,⃗b−⃗c〉=（ ）
4 2 2 4
A．− B．− C． D．
5 5 5 5
【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.
【解答过程】因为⃗a+⃗b+⃗c=0⃗,所以⃗a+⃗b=−⃗c,
即⃗a2+⃗b2+2⃗a⋅⃗b=⃗c2,即1+1+2⃗a⋅⃗b=2,所以⃗a⋅⃗b=0.
如图,设⃗OA=⃗a,⃗OB=⃗b,⃗OC=⃗c,
由题知,OA=OB=1,OC=√2,△OAB是等腰直角三角形,
√2 √2
AB边上的高OD= ,AD= ,
2 2
√2 3√2
所以CD=CO+OD=√2+ = ,
2 2
AD 1 3
tan∠ACD= = ,cos∠ACD= ,
CD 3 √10
cos〈⃗a−⃗c,⃗b−⃗c〉=cos∠ACB=cos2∠ACD=2cos2∠ACD−1
( 3 ) 2 4.
=2× −1=
√10 5
故选:D.3．（2023·全国·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C
两点，D为BC的中点，若|PO|=√2，则⃗PA⋅⃗PD的最大值为（ ）
1+√2 1+2√2
A． B．
2 2
C．1+√2 D．2+√2
【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得⃗PA⋅⃗PD
1 √2 ( π) 1 √2 ( π)
= − sin 2α− ，或⃗PA⋅⃗PD = + sin 2α+ 然后结合三角函数的性质即可确定⃗PA⋅⃗PD的
2 2 4 2 2 4
最大值.
π
【解答过程】如图所示，|OA|=1,|OP|=√2，则由题意可知:∠APO= ，
4
由勾股定理可得
|PA|=√OP2−OA2=1
π
当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设∠OPC=α,0≤α< ，
4
则：⃗PA⋅⃗PD =|⃗PA|⋅|⃗PD|cos ( α+ π)
4
( π)
=1×√2cosαcos α+
4
(√2 √2 )
=√2cosα cosα− sinα
2 2
=cos2α−sinαcosα
1+cos2α 1
= − sin2α
2 2
1 √2 ( π)
= − sin 2α−
2 2 4π π π π
0≤α< ，则− ≤2α− <
4 4 4 4
π π
∴当2α− =− 时，⃗PA⋅⃗PD有最大值1.
4 4
π
当点A,D位于直线PO同侧时，设∠OPCα,0<α< ，
4
⃗ ⃗ (π )
则：⃗PA⋅⃗PD =PA⋅PDcos −α
4
(π )
=1×√2cosαcos −α
4
(√2 √2 )
=√2cosα cosα+ sinα
2 2
=cos2α+sinαcosα
1+cos2α 1
= + sin2α
2 2
1 √2 ( π)
= + sin 2α+ ，
2 2 4
π π π 3π
0≤α< ，则 ≤2α+ <
4 4 4 4
π π 1+√2
∴当2α+ = 时，⃗PA⋅⃗PD有最大值 .
4 2 2
1+√2
综上可得，⃗PA⋅⃗PD的最大值为 .
2
故选：A.
4．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
⃗a ⃗b (⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=0 ⃗a=−⃗b ⃗a=⃗b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0 |⃗a|=|⃗b|
【解答过程】因为 ，可得 ，即 ，
(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=⃗a2−⃗b2=0 ⃗a2=⃗b2 |⃗a|=|⃗b|
可知 等价于 ，
(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0 |⃗a|=|⃗b|
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
⃗a=⃗b ⃗a=−⃗b |⃗a|=|⃗b| (⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0
若 ，即 ，无法得出 或 ，
(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0 |⃗a|=|⃗b| ⃗a=⃗b ⃗a=−⃗b
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
⃗a=(1,0),⃗b=(0,1) |⃗a|=|⃗b| ⃗a≠⃗b ⃗a≠−⃗b
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0 ⃗a≠⃗b ⃗a≠−⃗b
故选：B.
5．（2024·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
⃗a,⃗b |⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2 (⃗b−2⃗a)⊥⃗b |⃗b|=
1 √2 √3
A． B． C． D．1
2 2 2
【解题思路】由 得 ，结合 ，得 ，由
(⃗b−2⃗a)⊥⃗b ⃗b2=2⃗a⋅⃗b |⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2 1+4⃗a⋅⃗b+4⃗b2=1+6⃗b2=4
此即可得解.
【解答过程】因为 ，所以 ，即 ，
(⃗b−2⃗a)⊥⃗b (⃗b−2⃗a)⋅⃗b=0 ⃗b2=2⃗a⋅⃗b
又因为 ，
|⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2
所以1+4⃗a⋅⃗b+4⃗b2=1+6⃗b2=4，
√2
从而|⃗b|= .
2
故选：B.
1
6．（2022·全国·高考真题）设向量 ⃑a，⃑b的夹角的余弦值为 ，且|⃑a|=1，|⃑b|=3，则(2⃑a+⃑b)⋅⃑b= 11 ．
3
1
【解题思路】设⃑a与⃑b的夹角为θ，依题意可得cosθ= ，再根据数量积的定义求出 ⃑a⋅⃑b，最后根据数量积
3
的运算律计算可得．1 1
【解答过程】解：设⃑a与⃑b的夹角为θ，因为⃑a与⃑b的夹角的余弦值为 ，即cosθ= ，
3 3
1
又|⃑a|=1，|⃑b|=3，所以⃑a⋅⃑b=|⃑a|⋅|⃑b|cosθ=1×3× =1，
3
所以 ．
(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=2⃑a⋅⃑b+⃑b2=2⃑a⋅⃑b+|⃑b| 2 =2×1+32=11
故答案为：11．
7．（2023·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
⃗a ⃗b |⃗a−⃗b|=√3 |⃗a+⃗b|=|2⃗a−⃗b| |⃗b|= √3
【解题思路】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令⃗c=⃗a−⃗b，结合数量积的
运算律运算求解.
【解答过程】法一：因为 ，即 ，
|⃗a+⃗b|=|2⃗a−⃗b| (⃗a+⃗b) 2 =(2⃗a−⃗b) 2
则⃗a2+2⃗a⋅⃗b+⃗b2=4⃗a2−4⃗a⋅⃗b+⃗b2，整理得⃗a2−2⃗a⋅⃗b=0，
又因为 ，即 ，
|⃗a−⃗b|=√3 (⃗a−⃗b) 2 =3
则 ，所以 .
⃗a2−2⃗a⋅⃗b+⃗b2=⃗b2=3 |⃗b|=√3
法二：设 ，则 ，
⃗c=⃗a−⃗b |⃗c|=√3,⃗a+⃗b=⃗c+2⃗b,2⃗a−⃗b=2⃗c+⃗b
由题意可得： ，则 ，
(⃗c+2⃗b) 2 =(2⃗c+⃗b) 2 ⃗c2+4⃗c⋅⃗b+4⃗b2=4⃗c2+4⃗c⋅⃗b+⃗b2
整理得： ，即 .
⃗c2=⃗b2 |⃗b|=|⃗c|=√3
故答案为：√3.
