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小专题04：确定一次函数图象、规律问题、平移
考点1：确定一次函数的图象
题型一：确定单一函数的图象
例1.（1）若一次函数 ， 都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数 的
图象大致是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一次函数 图象在坐标平面内的位置关系先确定 ， 的取值范围，再根据 ， 的
取值范围确定一次函数 图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
【详解】解：一次函数 过一、二、四象限，则函数值 随 的增大而减小，因而 ；
图象与 轴的正半轴相交则 ，因而一次函数 的一次项系数 ，
随 的增大而增大，经过一三象限，常数项 ，则函数与 轴负半轴相交，
因而一定经过一三四象限，故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值 随 的增大而减小 ；函数值 随 的
增大而增大 ；一次函数 图象与 轴的正半轴相交 ，一次函数 图象与
轴的负半轴相交 ，一次函数 图象过原点 ．
（2）直线 经过二、三、四象限，则直线 的图象只能是图中的A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直线 经过二、三、四象限，可以得到 和 的正负情况，从而可以得到直线
的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【详解】解： 直线 经过二、三、四象限， ， ，
直线 的图象经过第一、二、四象限，故选： ．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质
解答．
【练习1】已知一次函数 中， 随 的增大而增大，这个函数的图象可能是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到 的正负，然后即可得到该函数的图象所
经过的象限，本题得以解决．
【详解】解： 一次函数 ， 随 增大而增大， ，解得， ，
， 此函数的图象经过一、三、四象限，故选： ．
【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质
解答．
【练习2】已知一次函数 ， 随 的增大而增大，且 ，则在直角坐标系中的大致图象是A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一次函数 ， 随 的增大而增大，且 ，可以得到 ， ，然后根据一
次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】解： 一次函数 ， 随 的增大而增大，且 ， ， ，
该函数的图象经过第一、三、四象限，故选： ．
【点睛】本题考查一次函数的图象、一次函数的性质，解答本题的关键是判断出 、 的正负情况，利用
数形结合的思想解答．
题型二：确定两个函数的图象
例2．一次函数 与 在同一平面直角坐标系内的图象大致是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答
本题．
【详解】解：当 ， 时，一次函数 的图象经过第一、二、三象限，
的图象经过第一、二、三象限，故选项 、 、 、 不符合题意；
当 ， 时，一次函数 的图象经过第一、三、四象限， 的图象经过
第一、二、四象限，故选项 、 、 不符合题意，选项 符合题意；
当 ， 时，一次函数 的图象经过第二、三、四象限， 的图象经过
第二、三、四象限，故选项 、 、 、 不符合题意；故选： ．【点睛】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【练习3】同一平面直角坐标系中，一次函数 与 ， 为常数）的图象可能是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：若 ， ，则一次函数 与 ， 为常数）都是增函数，且都交 轴
的正半轴，不符合题意；
若 ， ，则一次函数 是减函数，交 轴的正半轴， 、 为常数）是增函数，
交 轴的负半轴，符合题意；
若 ， ，则一次函数 是增函数，且交 轴负半轴， 、 为常数）是减函数，
且交 轴的正半轴，不符合题意；
若 ， ，则一次函数 与 ， 为常数）都是减函数，且都交 于 的负半轴，
不符合题意；故选： ．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数 的图象有四种情况：
①当 ， ，函数 的图象经过第一、二、三象限；
②当 ， ，函数 的图象经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限．
考点2：一次函数中的几何规律
题型一：点的规律例3．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 都在 轴上，点 ， ， 都在直线 上，△
，△ ，△ ，△ ，△ 都是等腰直角三角形，且 ，则点 的坐标
是 ．
【答案】 ，
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形性质一次先求出 ， 的坐标，发现变换
规律即可求出 的坐标．
【详解】解； ， 点 的坐标为 ，
△ 是等腰直角三角形， ， ，
△ 是等腰直角三角形， ， ，
△ 是等腰直角三角形， ， ，
同理可得： ， ， ， ， ， ， ，
的坐标为 ， ，即 ， ，故答案为： ， ．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数点的坐标特征以及等腰直角三角形的
性质，求出 ， 的坐标，发现变换规律是解题的关键．
例4．已知正方形 ， ， 按如图所示放置，点 ， ， 在直线 上，， ， 在 轴上，则 的坐标是 ．
【答案】 ，
【分析】先求得点 ， ， 的坐标，找出规律，即可得出答案．
【详解】解： 直线 与 轴交于点 ， 的坐标为 ，则 ，
四边形 是正方形， ，
把 代入 得： ， 的坐标为 ，
同理 的坐标为 ， 的坐标是 ， ，
的坐标是 ， ．故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征及正方形的性质，找到相关点的坐标规律是解题的关
键．
【练习4】如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， ，都在 轴正半轴上，点 ， ， ， ，
都在直线 上，△ ，△ ，△ ， ，都是等边三角形，且 ，则点 的纵
坐标是 ．【答案】
【分析】设△ 的边长为 ，根据直线的解析式得出 ，再结合等边三角形的性质及外
角的性质即可得出 ， ，从而得出 ，由点 的坐标为 ，得到
， ， ， ， ， ，即可解决问题．
【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，如图所示：
设△ 的边长为 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，
点 ， ， ， 是直线 上的第一象限内的点， ，
又 △ 为等边三角形， ，
， ， ，
， 点 的坐标为 ，
， ， ， ， ，
， ， 点 的纵坐标为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、规律型、以及三角形外角的性质，解直角三角
形等，解题的关键是找出规律 ．【练习5】正方形 ， ， 按如图的方式放置， ， ， 和点 ， ，
分别在直线 和 轴上，则点 的横坐标是 ．
【答案】
【分析】根据直线解析式先求出 ， ，得出 的横坐标是 ，再求出 的横坐标
是 ， 的纵坐标是 ，得出规律，即可得出结果．
【详解】解： 直线 ，当 时， ， ， ，
，其中 ， ， ， ，其中 ，
， ， ，其中 ，
点 的坐标是 ， ， 的坐标是 ， ，
点 的横坐标是 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出 、 、 的坐标得出
规律是解决问题的关键．
题型二：面积的规律
例5．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，如图所示，依次作正方形 ，
正方形 ， ，正方形 ，使得点 ， ， ， 在直线 上，点 ， ， ，在 轴正半轴上，则正方形 的面积是 ．
【答案】
【分析】由直线点的特点得到 ，分别可求 ， ， ，
，从而得到正方形边长的规律为 ，即可求正方形面积．
【详解】解：直线 与 轴交于点 ，设直线与 轴交于点 ，
，
， 的面积是1； ， ，
的面积是 ； ， ，
的面积是 ； ，
正方形 的面积是 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，探索正方形边长的规律，结
合正方形面积公式求解是关键．
【练习6】如图，在平面直角坐标系中，△ ，△ ，△ ， 都是等腰直角三角形，其直角顶点 ， ， ， 均在直线 上，设△ ，△ ，△ ， 的面积分别为
， ， ， 依据图形所反映的规律， ．
【答案】
【分析】过点 作 轴于点 ，利用等腰直角三角形的性质可得出 ，结合点 的坐
标可求出 的值，设点 的坐标为 ， ，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出 ， ， ，
的值，再利用三角形的面积公式即可得出 ， ， ， 的值，代入 即可求出结论．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，如图所示．
△ ，△ ，△ ， 都是等腰直角三角形，
， ， ， ， ．
点 的坐标为 ， ；
设点 的坐标为 ， ，则点 的坐标为 ， ．
点 在直线 上， ， ，
， 点 的坐标为 ， ，即 ， ．
点 在直线 上， ， ，
．， ， ， ， ，
， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，利用点的变
化，找出点 纵坐标的变化规律“ ”是解题的关键．
考点3：一次函数图象的平移
题型一：求平移后的表达式
例6．（1）在平面直角坐标系中，若将直线 向上平移 个单位长度得到直线 ，则 的值
为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据平移的规律得到平移后的直线为 ，即可得出 ，解得即可．
【详解】解：将直线 向上平移 个单位长度得到直线 ，
根据题意 ，解得 ，故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，关键是掌握直线 向上平移 个单位，则解析式为
，向下平移 个单位，则解析式为 ．
（2）在平面直角坐标系中，将直线 先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，则平移后
的新直线为
A． B． C． D．【答案】
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【详解】解：将直线 向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达
式为 ，即 ，故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【练习7】将函数 的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数 的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应
的函数关系式为 ．故选： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关
键．
【练习8】将直线 ，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线 ，则平移后得到直线
的解析式为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据上加下减，左加右减的法则可得出平移后的函数解析式．
【详解】解：将直线 ，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线 ，则平移后得到直
线 的解析式为 ，即 ．故选： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
题型二：求平移后的几何图形面积例7．在平面直角坐标系中，一次函数图象是由直线 平移得到的，且经过点 ，交 轴于点
．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点 为此一次函数图象上一点，且 的面积为10，求点 的坐标．
【答案】见详解
【分析】（1）由该一次函数是由直线 平移得到的可是此一次函数的表达式为 ，再根
据点 的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设点 的坐标为 ，将 代入一次函数解析式中求出 值，由此即可得出 的长度，再
根据三角形的面积公式结合 的面积为10即可得出关于 的含绝对值符号的一元一次方程，解之
即可得出 值，将其代入点 的坐标中即可得出结论．
【详解】解：（1）设此一次函数的表达式为 ，将 代入 ，
，解得： ． 此一次函数的表达式为 ．
（2）设点 的坐标为 ，当 时， ， 点 ， ．
，解得： 或 ． 点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变化、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及待定系
数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据三角形的面积公式结合 的面积为10列出关于 的含绝对值符号的一元一次方程．
【练习9】如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，点 的横坐标为
4，直线 交 轴负半轴于点 ，且 ．（1）求点 的坐标及直线 的函数表达式；
（2）现将直线 沿 轴向上平移5个单位长度，交 轴于点 ，交直线 于点 ，试求 的面积．
【答案】见详解
【分析】（1）利用直线 的解析式求出点 的坐标，再根据勾股定理求出 的长度，从而可以得到
的长度，根据图象求出点 的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线 的函数表达式；
（2）求得平移后的解析式，进而求得交点 的坐标，代入三角形的面积公式进行计算即可得解．
【详解】解：（1） 点 的横坐标为4， ， 点 的坐标是 ， ，
， ，
点 的坐标是 ，设直线 的表达式是 ，
则 ，解得 ，
直线 的函数表达式是 ；
（2）将直线 沿 轴向上平移5个单位长度得 ，
解 得交点的横坐标为6，
．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，求出点 、 的坐标是解题的关键．
1．已知一次函数 ， 随 的增大而减小，且 ，则在直角坐标系内它的大致图象是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意和一次函数的性质，可以判断该函数的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【详解】解： 一次函数 ， 随 的增大而减小，且 ，
， ，
该函数图象经过第二、三、四象限，故选： ．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质
解答．
2．一次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先设定一个为一次函数 的图象，再考虑另一条的 ， 的值，看看是否矛盾即可．
【详解】解： 、由 的图象可知， ， ；由 的图象可知， ， ，即 ，两结论
矛盾，故错误；
、由 的图象可知， ， ；由 的图象可知， ， ，即 ，两结论矛盾，故错误；、由 的图象可知， ， ；由 的图象可知， ， ，即 ，两结论相矛盾，故错
误；
、由 的图象可知， ， ；由 的图象可知， ， ，即 ，两结论符合，故正确．
故选： ．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数 的图象
有四种情况：
①当 ， ，函数 的图象经过第一、二、三象限；
②当 ， ，函数 的图象经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限．
3．将直线 向右平移1个单位长度，平移后直线的解析式为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知：把直线 向右平移1个单位长度后，其直线解析式为
．
故选： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．将直线 向右平移2个单位，再向上移动4个单位，所得的直线的解析式是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【详解】解： ．
故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
5．直线 沿 轴向右平移2个单位，再沿 轴向下平移3个单位所得直线解析式为 .
【答案】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，直线 沿 轴向右平移2个单位所得直线的解析式为
由“上加下减”的原则可知，直线 沿 轴向下平移3个单位，所得直线的函
数关系式为 ，即 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．如图在平面直角坐标系中，△ ，△ ，△ 都是等腰直角三角形，其直角顶点 ，
， 均在直线 上，则点 的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】先求出 ，可设 ，将 代入 即可求 的纵坐标为 ；再设
，将 代入 即可求 的纵坐标为 ； ；可推导出 的纵坐标为 ，即可求的纵坐标 ．
【详解】解： △ 是等腰直角三角形， ，
，
△ 是等腰直角三角形，
设 ， ，
， 的纵坐标为 ；
，
△ 是等腰直角三角形，
设 ， ，
， 的纵坐标为 ；
，
的纵坐标为 ，
的纵坐标 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用等腰直角三角形的
性质，能由特殊到一般，探索出 的纵坐标为 是解题的关键．
7．如图，正方形 、 、 、 按如图所示的方式放置．点 、 、 、 和点
、 、 、 分别在直线 和 轴上，若点 ，则点 的坐标是 ．【答案】 ，
【分析】根据题意和函数图象，可以先写出 、 、 的坐标，然后即可发现横、纵坐标的变化特点，
即可写出点 的坐标．
【详解】解：由题意可得，
点 的坐标为 ，
点 的坐标 ，
点 的坐标 ，
，
则点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律性：点的坐标，解答本题的关键是发现点 的横纵
坐标的变化特点，写出其相应的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，如图所示依次作正方形 ，正方
形 正方形 为大于1的整数）使得点 ， ， 在直线上，点 ， ， ，
在 轴正半轴上，请解决下列问题（1）点 的坐标是 ；点 的坐标是 ；
（2）点 的坐标是 ，正方形 的面积是 ．
【答案】（1） ， ， ， ， ，2
，（2）
【分析】（1）由题意可得 ， ， ， 的坐标，可得点 坐标规律，由题意可得 ， ， 的坐标，
可求点 的坐标规律，即可求解．
（2）由（1）可得正方形边长，即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得正方形 边长为1，正方形 的边长为2，正方形 的
边长为4， 正方形 的边长为2 ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
坐标为 ， ， 坐标为 ，
故答案为： ， ， ，
（2）由（1）可知 ， ，正方形 的边长为2 ，
正方形 的面积 ．
故答案为： ， ，2
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的
横纵坐标的变化规律，利用数形结合的思想解答．9．如图，直线 是一次函数 的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向下平移5个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与 轴的交
点坐标．
【答案】见详解
【分析】（1）利用待定系数法确定该一次函数的解析式；
（2）根据平移规律“上加下减”写出平移后一次函数解析式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求
直线与 轴的交点坐标．
【详解】解：（1） 一次函数 的图象经过点 和点 ，
．
解得 ， ．
一次函数的解析式为： ；
（2） 一次函数 向下平移5个单位的解析式为 ，即 ．
当 时， ，
平移后的图象与 轴的交点坐标为 ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的性质是解答此题的关键．
10．如图，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，将直线 向下平移4个单位长度后得到直线 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求 的面积；
（2）直线 的函数表达式是 ．
（3）若点 是折线 上一点，且 ，请求点 的坐标．
【答案】见详解
【分析】（1）分别令 中 、 求出与之对应的 、 的值，由此即可得出点 、 的坐标，
再根据三角形的面积公式即可求出 的面积；
（2）根据直线 的函数表达式结合“上加下减”的平移规则即可得出直线 的函数表达式；
（3）根据直线 的函数表达式利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 、 的坐标，进而即可求
出 的值，设点 的横坐标为 ，根据三角形的面积公式结合 即可
得出关于 的一元一次方程，解之可得出 的值，再根据 的值利用一次函数图象上点的坐标特征即
可得出点 的坐标．
【详解】解：（1）当 时， ， 点 的坐标为 ；
当 时， ， 点 的坐标为 ． ．
（2） 将直线 向下平移4个单位长度后得到直线 ，
直线 的函数表达式是 ．故答案为： ．
（3）当 时， ， 点 的坐标为 ；当 时， ， 点 的坐标为 ， ．
．
设点 的横坐标为 ，
， ，解得： ，
，且当 时， ，
点 的坐标为 ， 和 ， ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解一元
一次方程，熟练掌握图形平移的规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．
