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第 05 讲 新高考新结构命题下的
数列解答题综合训练
（15 类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
（1）三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
（2）三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独
特见解和创造力。
（3）三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思
考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。数列版块作
为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第 15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，
易于学生入手。同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时的分
值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能
涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新
结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指
南，以期在新高考中取得更好的成绩。考点一、 构造等差数列1．（2024·河北衡水·三模）已知数列 的前 项和为 ， ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)求数列 的前 项积．
2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 满足 ， .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项的积记为 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
4．（2024·湖南·模拟预测）已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
5．（2024·新疆·一模）非零数列 满足 ，且 ．
(1)设 ，证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求 的前 项和 ．
考点二、 构造等比数列
1．（2024·四川成都·二模）已知数列 的首项为3，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式，并判断数列 是否是等比数列.
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）设数列 的前n项和为 ，已知 ， ， ．(1)证明：数列 是等差数列；
(2)记 ， 为数列 的前n项和，求 ．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）设数列 的前n项和为 ， ．
(1)求证数列 为等比数列，并求数列 的通项公式 ．
(2)若数列 的前m项和 ，求m的值，
7．4．（2024·全国·模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的最大项为 ，求 的值．
5．（2024·全国·模拟预测）数列 的前 项和 满足 ．
(1)令 ，求 的通项公式；
(2)令 ，设 的前 项和为 ，求证： ．
考点三、 等差数列前 n 顶和
1．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）等差数列 中，已知 是其前 项和， , 求
与
2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的最小值.
3．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的最小值及取得最小值时n的值．
4．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求使 成立的n的取值集合.5．（2023·山西·模拟预测）已知等差数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，求 的最小值.
考点 四 、 等比数列前 n 项和
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等比数列 的公比 ，记其前 项和为 ，且 成
等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 .
3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列 中 ，且满足 （ 且 ）．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
4．（20-21高一下·贵州黔东南·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 是等比数列，且 ， ，求数列 的前 项和 .
5．（23-24高二上·北京·期中）已知数列 是等比数列，满足 ， ，数列 满足 ，
，设 ，且 是等差数列.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 的通项公式和前 项和 .
考点 五 、 裂项相消求和
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的各项均不小于1，前 项和为 是公差为1的
等差数列．
(1)求数列 的通项公式．(2)求数列 的前 项和 ．
2．（2024·山西临汾·二模）已知数列 满足 ．
(1)计算 ，并求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
3．（2024·四川·模拟预测）已知 为正项数列 的前 项和， 且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前10项和 ．
4．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列 的前 项和为 ， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
5．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列 满足： （ ）．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 （ ），数列 前 项和为 ，试比较 与 的大小并证明．
考点 六 、 错位相减求和
1．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列 的公差为2，记数列 的前 项和为 且满足
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，关于 的方程 有
两个相等的实数根．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）记 为数列 的前 项和．已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 ．
4．（2024·四川凉山·二模）设等比数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
5．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 （ ），数列 满足
．
(1)求 ， 的通项公式．
(2)求数列 的前 项和 ．
考点 七 、 周期与类周期求和
1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ，求数列 的前2023项和S．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知数列 满足 （ 为实数）， ，求 ．
6．3．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列 中， ， ．
(1)证明：数列 为常数列；
(2)求数列 的前2024项和．
4．（22-23高三上·贵州遵义·阶段练习）已知数列 满足 ， ， ．
(1)求 ， ， ，并写出一个符合题意的 的通项公式（不需要证明）；
(2)设 ，记 为数列 的前 项和，求 ．
5．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知正项数列 满足 ，且 ， .
(1)已知 ，求 的通项公式；(2)求数列 的前2023项和 .
考点 八 、 奇偶并项求和
1．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 成等比数列，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2024·河北石家庄·二模）已知数列 满足
(1)写出 ;
(2)证明:数列 为等比数列;
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
3．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .等比数列 是正项递增
数列，且 .
(1)求数列 的通项 和数列 的通项 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和.
4．（2024·河南新乡·二模）已知数列 满足 ， ．
(1)记 ，证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ，并证明 ．
5．（2023·山东·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， 且 ，数列 满足
，设 ．
(1)求 的通项公式，并证明： ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
考点 九 、 数列与不等式1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列 的前 项和为 ，且数列 是公比为2的等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，求证： .
2．（2024·江苏·三模）设数列 的前 项的和为 .
(1)若 是公差为 的等差数列，且 成等比数列，求 ；
(2)若 ，求证： .
3．（23-24高二下·福建福州·期中）记数列 的前 项和 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
4．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知 为数列 的前n项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前n项和，求证： ．
5．（2024·天津·模拟预测）数列 是等差数列，其前n项和为 ，数列 是等比数列， ，
， ， ， ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2) 的前n项和 ，求证： ．
考点 十 、 数列与极限、放缩
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和 ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列 满足 ， .
(1)求 的通项公式；(2)若 ，证明： 的前 项和 .
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，证明： ．
4．（23-24高三上·河北·期末）设 为数列 的前 项和，已知 为等比数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，设 ，记 为数列 的前 项和，证明： ．
5．（2021·贵州贵阳·模拟预测）数列 中， ， ，数列 是公比为 的等比数列.
（1）求使 成立的 的取值范围；
（2）若 ，求 的表达式；
（3）若 ，求 .
考点 十一 、 数列与参数综合
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，数列 是公差为 的等差数列，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列 满足 .(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 .
①求数列 的前n项和 ；
②若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和.若 对任意的 恒成立，求k的取值范围.
5．（2024·天津·二模）设 是等差数列，其前 项和 ， 是等比数列，且 ， ，
.
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)若对于任意的 不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
考点 十二 、 数列与三角综合
1．（2022·江西赣州·一模）设正项数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ， 是数列 的前 项和，求 .
2．（2024·浙江台州·二模）已知数列 满足 ， .
(1)求 （只需写出数值，不需要证明）；
(2)若数列 的通项可以表示成 的形式，求 ， .
3．已知数列 的通项公式
（1）求证： ；（2）设数列 的前 项和为 ，求证： ．
4．数列可以看作是定义在正整数集的特殊函数，具有函数的性质特征，有些周期性的数列和三角函数紧
密相连.记数列2， ， ，2， ， ，2， ，-1，…为 ，三角形式可以表达为 ，
其中 ， ， .
（1）记数列 的前n项和为 ，求 ， ， 及 ；
（2）求数列 的三角形式通项公式.
5．已知函数 ，方程 在 上的解按从小到大的顺序排成数列
．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求 的表达式．
考点 十三 、 数列与概率综合
1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游
戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元
礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是 ，若上一次获胜
则下一次获胜的概率也是 ，若上一次失败则下一次成功的概率是 ．记消费者甲第 次获胜的概率为 ，
数列 的前 项和 ，且 的实际意义为前 次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2次获胜的概率 ；
(2)证明： 为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
2．（2024·全国·模拟预测）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有
大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则
奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励
20元的奖券．记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额 的数学期望为 ．
(1)求 及 的分布列；
(2)写出 与 的递推关系式，并证明 为等比数列；(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据： ）
3．（2023高三·全国·专题练习）某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员
第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的 领取工资．
该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人
可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为
每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为 元．
(1)求 的通项公式．
(2)当 时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当 时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
4．（23-24高二下·陕西西安·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号
登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ；从第二次摸球开始，
若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 ．记该顾客第
次摸球抽中奖品的概率为 ．
(1)求 的值；
(2)探究数列 的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
5．（2024·山东泰安·模拟预测）在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门
将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正
确也有 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数 的
分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，
等可能地随机传向另外 人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外 人中的 人，如此不停地
传下去，假设传出的球都能接住．记第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，易知 ．
① 试证明： 为等比数列；
② 设第 次传球之前球在乙脚下的概率为 ，比较 与 的大小．
考点 十四 、 数列与导数综合1．已知函数 ．
（1）若 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值．
2．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
3．已知函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明: ；
（3）试比较 与 ，并证明你的结论．
4．（22-23高二下·四川成都·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的取值范围；
(3)若数列 满足 ，记 为数列 的前 项和．证明： ．
5．（2024·广西来宾·模拟预测）已知数列 满足： ， ，其中 为数列 的前n项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列 （ ），对任意正整数k，当 时，
都有 成立，求m的最大值．
考点 十五 、 数列与新定义综合
1．（2024·全国·模拟预测）约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 所得的商正好是整
数而没有余数，我们就称 为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数，即为 ，
.(1)若 ，求 的值；
(2)当 时，若 为等比数列，求正整数 ；
(3)记 ，证明： .
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）数列 的前n项和为 ，若存在正整数r，t，且 ，使得 ，
同时则称数列 为“ 数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列 是“ 数列”，求d的值；
(2)已知数列 为等比数列，公比为q．
①若数列 为“ 数列”， ，求q的值；
②若数列 为“ 数列”， ，求证：r为奇数，t为偶数．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）在数列 的第 项与第 项之间插入 个1，称为变换 ．数列 通
过变换 所得数列记为 ，数列 通过变换 所得数列记为 ，以此类推，数列
通过变换 所得数列记为 （其中 ）．
(1)已知等比数列 的首项为1，项数为 ，其前 项和为 ，若 ，求数列 的项
数；
(2)若数列 的项数为3， 的项数记为 ．
①当 时，试用 表示 ；
②求证： ．
4．（2024·重庆开州·模拟预测）设有穷数列 的项数为 ，若正整数 满足：
，则称 为数列 的“ 点”．
(1)若 ，求数列 的“ 点”；
(2)已知有穷等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．若数列 存在“ 点”，求正数 的取值
范围；
(3)若 ，数列 的“ 点”的个数为 ，证明： ．
5．（2024·浙江·模拟预测）定义: 表示 的整数部分， 表示 的小数部分，例如 .
数列 满足 其中 .若存在 ，使得当 时， 恒成立，则称数
为木来数.(1)分别写出当 时 的值.
(2)证明: 是木来数
(3)若 为大于1的有理数.且 .求证: 为木来数
