文档内容
第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：条件概率................................................................................................................................2
题型二：相互独立事件的判断............................................................................................................3
题型三：相互独立事件概率的计算....................................................................................................4
题型四：相互独立事件概率的综合应用............................................................................................7
题型五：全概率公式及其应用..........................................................................................................10
题型六：贝叶斯公式及其应用..........................................................................................................11
题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用..............................................................................12
02 重难创新练....................................................................................................................................15
03 真题实战练....................................................................................................................................28题型一：条件概率
1．（2024·高三·江西南昌·开学考试）庆“七一”，教育局组织党史知识竞赛，经过激烈角逐，最后甲乙
两队争夺冠军.实行“三局两胜”制（无平局）.若甲队在每局比赛中获胜的概率均为 ，且每局比赛结果
相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为 .
【答案】 /0.4
【解析】设事件“甲获得冠军”为事件 ，比赛进行了三局为事件 ，
则 , ，
.
故答案为：
2．（2024·高三·河南·开学考试） ， ， ， 共4位同学报名参加学校组织的暑期社会实践活动，这次
社会实践活动共有：交通安全宣传，防火知识宣传，防水安全教育，养老院志愿者服务，国情宣传教育，
养老院志愿者服务，国情宣传教育5个项目，每人报目仅报其中一个项目.记事件 为“四名同学所报项
目互不相同”，事件 为“仅有 报了防火知识宣传”，则 ．
【答案】
【解析】由题意，事件 为“四名同学所报项目互不相同”，事件 为“仅有 报了防火知识宣传”，
可得 ， ，所以 ．
故答案为： .
3．（2024·广东·模拟预测）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、
震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八
卦中任取两卦，记事件 “两卦的六根线中恰有三根阳线”， “至少有一卦恰有两根阳线”，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个，
两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，
所以 ，
所以 .
故选：C
题型二：相互独立事件的判断
4．（2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到 三个不同的社区参加公益活动，
每个社区至少分配一名同学.设事件 “恰有两人在同一个社区”，事件 “甲同学和乙同学在同一个
社区”，事件 “丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（ ）
A．事件 与 相互独立 B．事件 与 是互斥事件
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 是对立事件
【答案】A
【解析】对于A，依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件 是必然事件， ，
显然 ， ，因此事件 与 相互独立，A正确；对于B，由 ，得事件 与 不是互斥事件，B错误；
对于C，显然事件事件 与 不可能同时发生，即 ，而 ，事件 与 相互不独立，
C错误；
对于D，显然事件 与 可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件 与 不是对立事件，D错误.
故选：A
5．若 ， ， ，则事件 与 的关系是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立
【答案】C
【解析】由 得 ，
因为 ， ，所以事件 与 相互独立，
无法判断事件 与 是否互斥.
故选：C.
6．（2024·全国·模拟预测）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件 为“第一次出现偶数点”，事件 为“第
二次出现奇数点”，则（ ）
A． 与 不独立 B．
C． 与 不互斥 D．
【答案】C
【解析】A：事件 和 的发生没有影响，相互独立，故A错误；
B：， ，故B错误；
C：事件 和 可以同时发生，所以 与 不互斥，故C正确；
D： ，故D错误；
故选：C.
题型三：相互独立事件概率的计算
7．（2024·山东枣庄·模拟预测）某人上楼梯，每步上1阶的概率为 ，每步上2阶的概率为 ，设该人从
第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ．【答案】
【解析】到达第3台阶的方法有两种：
第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为 ；第二种：
只上一步且上两个台阶，则概率为 ，
所以到达第3阶台阶的概率为 ，
故答案为： .
8．（2024·天津和平·二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．
在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．
已知甲回答正确的概率为 ，甲、丙两人都回答正确的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 ．若
规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三
名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 ， ， ，则这个问题回答正确的概
率为 ．
【答案】 /
【解析】根据题意，设甲回答正确为事件 ，乙回答正确为事件 ，丙回答正确为事件 ，
则 ， ， ，
所以 ， ，
若规定三名同学都回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率 ，
若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 ， ， ，
则这个问题回答正确的概率 ．
故答案为： ； ．
9．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点 出发，每隔 等可能
地向左或向右移动一个单位，共移动5次.该质点在有且仅有一次经过 位置的条件下，共经过两次1位置
的概率为 .【答案】 /
【解析】设事件 “有且仅有一次经过 ”，事件 “共经过两次位置1”，
按到 位置需要1步，3步，5步分类讨论.记 向左， 向右，
①若1步到位为事件 ，则满足要求的是 ， （第5步无关）， ， （第5步无
关），所以 ；
②若3步到位为事件 ，则满足要求的是 ，
所以 ；
③若5步到位为事件 ，则满足要求的是 ，
所以 ，
所以
满足 的情况有： ， ， ， ， ,所以
所以 .
1
故答案为：
2
10．甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何
一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响. 若
甲在每个环节中获胜的概率都为 ，乙在每个环节中获胜的概率都为 ，且甲，乙两人在自主传球环节得
分之和为2的概率为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 .
2
【答案】
3
【解析】若甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2,则甲乙两人中一个人成功一个人失败，故概率为
，故 ，
“梦队”在比赛中得分不低于6分，则至少要赢3次，故概率为
,故答案为：
题型四：相互独立事件概率的综合应用
11．（2024·福建·模拟预测）为庆祝祖国 周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有
个除颜色外均相同的小球，其中 个是红球， 个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随
机取出 球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参
与奖”，并将该球放回盒中．
(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
(2)记 为第 个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列 的通项公式；
(3)设事件 为第 个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使 发生概率最大，求 的值．
【解析】（1）设第 位顾客中“特等奖”为事件 ，第 位顾客中“参与奖”为事件 ，
， ，
故 ，
所以在第 位顾客中“参与奖”的条件下，第 位顾客中“特等奖”的概率为 .
（2）由题意得 ， 个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等
奖”，前 位顾客中有一位中“特等奖”，
所以
，
故数列 的通项公式为 .
（3）设第 个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，则概率 ，
要使 最大，即使 最大，
所以 ，
即 ，化简得 ，且 ，
又 在(0,+∞)上单调递减，
所以 ，综上所述， .
12．（2024·云南大理·模拟预测）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙
比赛时，甲获胜的概率为 ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 ，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为 .
(1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜
利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场
比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设 ，且每
局比赛相互独立.
（ⅰ）求三人总积分为2分的概率；
（ⅱ）求比赛结束时，三人总积分 的分布列与期望
(2)若 ，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略
【解析】（1）（ⅰ）由题意可知，两场比赛后结束，即甲或乙连续获得两场胜利，有两种情况，
；
（ⅱ）由题意可知， ，
所以 ，
，
，
所以三人总积分 的分布列为
2 3 40.6 0.16 0.24
所以 .
（2）设事件 为“第一局乙对丙最终乙获胜”， 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，
为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，其中 包含三种情况，
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故 ；
同理可得 ；
；
显然 ，
故 ，
，
由于 ，故 ，
所以 ，故乙的最优指定策略是让乙和甲打第一局.
13．（2024·湖南邵阳·三模）为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题
人根据所获得的分数获得相应的奖品．工作人员给每位答题人提供了A，B两类题目．规定每位答题人共
需回答3道题目．现有两种方案供答题人任意选择：
甲方案：只答A类题目；
乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，则
下一次答B类题目．
已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分．若小李每道A类题
目能答对的概率均为 ，每道B类题目能答对的概率均为 ，且每道题能否答对与回答顺序无关．
(1)若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；
(2)若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？
【解析】（1）若“小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分”记为事件 ，
则小李至少答对 道A类题目，所以 .
（2）若小李采用甲方案答题，设他的得分为 ，则他答对的题数为 ，
且 ，所以 ，
则 ，
若小李采用乙方案答题，则设他的得分为 ， 的可能取值为 ，
， ，
， ，
， ，
所以 ，
因为 ，
所以小李想要答题得分的期望值更大，应该选择乙方案答题.
题型五：全概率公式及其应用
14．某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占 ， ，
且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为 ， ，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品
是优等品的概率为 ．
【答案】 /
【解析】记产品是优等品为事件 ，来自甲地为事件 ，来自乙地为事件 ，
则 ， ， ， ，
所以 ，
故从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为 .
故答案为：
15．（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计
分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手
机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第
二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为 .
【答案】 0.3 0.55【解析】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，
所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为 ，
由全概率公式知第三天不玩手机的概率为 .
故答案为： ；
题型六：贝叶斯公式及其应用
16．（2024·高三·上海·开学考试）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，
第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组
学生的概率 .
【答案】
【解析】设事件 表示“选到第一组学生”，事件 表示“选到共青团员”，
由题意， ， ,
所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为 .
故答案为：
17．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为 ，三家产
品数所占比例为 ，混合在一起.现取到一件产品为正品，则它是由甲、乙、丙三个厂中 （填
甲、乙、丙）厂生产的可能性最大？
【答案】丙
【解析】“取到一件产品为正品”的概率为 ，
则它是甲厂的概率为 ，
是乙厂的概率为 ，
是丙厂的概率为 ，
所以它是丙厂生产的概率最大.
故答案为：丙
18．（2024·广东深圳·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工
的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是
第3台车床加工出来的概率为 ．
【答案】
【解析】记事件 ：车床加工的零件为次品，记事件 ：第 台车床加工的零件，
则 ， ， ， ， ， ，
任取一个零件是次品的概率为
如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为
.
故答案为： .
题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
19．（2024·高三·河北邢台·开学考试）某工厂生产的产品分为一等品､二等品和三等品.已知该工厂生产一
等品的概率为 ，生产二等品的概率为 ，生产三等品的概率为 .一等品在出厂时，通过质量检测的
概率为 ；二等品在出厂时，通过质量检测的概率为 ；三等品在出厂时，通过质量检测的概率为 .
(1)已知随机抽取的10件产品中，通过质量检测的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.现在从这8件通
过检测的产品中随机抽取3件，设其中一等品的数量为 ，求 分布列和期望，
(2)求随机抽取的一件产品通过质量检测的概率，
(3)若随机抽取的一件产品通过了质量检测，求该产品为一等品的概率
【解析】（1）因为通过质量检测的8件产品中，有2件二等品和1件三等品，则一等品的数量为
件，
所以 的可能取值为 ， ， ， ，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为：所以 ；
（2）设事件 表示产品通过质量检测， 表示产品为一等品， 表示产品为二等品， 表示产品为三等
品，
则 ， ， ， ， ， ，
所以
，
即随机抽取的一件产品通过质量检测的概率为 ；
（3）依题意所求概率为 .
20．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件
混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求：
(1)它是第1台机床生产的概率是多少?
(2)它是次品的概率是多少．
(3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明．
【解析】（1）由题意第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，
它是第1台机床生产的概率 ；
（2）设事件 “零件为第i台车床加工” ，事件 “零件为次品”，
，
，
现任取一个零件，它是次品的概率
（3） ，
，
，
而 ，所以它是第3台机床生产的可能性最大．21．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为 ．
(1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300，小果的单果平均
重量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均重量、方差；
(2)现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为 ，把小果筛选为大果的概率
为 ，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问这个“大果”是真的大果的概
率．
【解析】（1） 个苹果中，大果的个数为 ，小果的个数为 ，
设大果的单果平均重量为 ，方差为 ，小果的单果平均重量为 ，方差为 ，
则 ， ， ， ，
则100个苹果的平均重量为 ，
100个苹果的方差为：
.
故估计果园苹果的单果平均重量为 、方差为 ；
（2）记事件 放入水果分选机的苹果为大果，事件 放入水果分选机的苹果为小果，
记事件 水果分选机筛选的苹果为“大果”，则“大果是真大果”为 ，
则 ， ， ， ，
由全概率公式可得：
，
，
因此， .
22．（2024·河南·三模）某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生
占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个
班人数分别占总人数的 ， ， ．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
(1)求选到的学生是艺术生的概率；
(2)如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
【解析】（1）设 “任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”， “所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”．由题可知：
， ， ，
， ，
.
（2） ；
所以其来自丙班的可能性最高．
1．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，
在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出
场，
方法数为 ，
在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”，即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为 ，
因此所求概率为 ．
故选：A．
2．（2024·高三·江苏南京·开学考试）如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁
首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人
都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当
有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（ ）
0 1 2 3
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设事件“第 次划拳甲赢”为 ，事件“第 次划拳甲平局”为 ，事件“第
次划拳甲输”为 ，
则 ，
则游戏结束时恰好划拳3次的概率为
故选：D
3．（2024·安徽·一模）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次
品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，
30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率（ ）
A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525
【答案】D
【解析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件 、 、 ，该零件为次品为事件
，
则 ， ， ， ， ，
任取一个零件是次品的概率
，
故选：D4．（2024·安徽·模拟预测）某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为 ， ， ，且他们是否被
录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设甲，乙，丙被录取分别为事件 ，三人中恰有两人被录取为事件 ，则
，
．
故选：C．
5．在一个抽奖游戏中共有5扇关闭的门，其中2扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在
哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者
决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门获奖的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不换门：则与一开始随机选择一扇门的中奖概率一样，为 ；
假设换门：
若一开始选择的门有奖，则换门后的中奖概率为 ；
若一开始选择的门无奖，则换门后的中奖概率为 ．
所以换门的中奖概率为 ．
故选：C
6．在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有
的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为 ．现从这三个地区中随机选取一人，
则此人患过流感的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，
记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，
则 ，且 彼此互斥，
由题意可得 ， ， ，
， ， ，
由全概率公式可得
.
故选：A.
7．设某医院仓库中有10盒同样规格的 光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且
甲、乙、丙三厂生产该种 光片的次品率依次为 ， ， ，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任
取一张 光片，则取得的 光片是次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 =“任取一个X光片为次品”， =“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应 ）
则 ,且 两两互斥.
由题意可得： ,
.
故选：A.
8．（多选题）（2024·高三·重庆沙坪坝·开学考试）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件 ：两
次的点数之和为偶数， ：两次的点数之积为奇数， ：第一次的点数大于2，则（ ）
A． B．
C． 与 相互独立 D． 与 相互独立
【答案】ABD
【解析】由分步乘法计数原理得基本事件 的总数为 个，事件 包含的基本事件 为 ，
，共18个，
所以 ，
事件 包含的基本事件 为 ，共9个，
所以 ，故A正确;
事件 包含的基本事件 为 ，
，
，共有24个，
所以 ，故B正确，
而 包含的基本事件为 共有9个，
所以 ，而 ，故 ，
所以 与 不是相互独立事件，故C错误;
而 包含的基本事件为 ，共有6个，
所以 ，而 ，故 ，
所以 与 是相互独立事件，故D正确.
故选：ABD.
9．（多选题）（2024·高三·江苏南京·开学考试）对于随机事件A，B，若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对A：因为 ，故A错误；
对B：由 ，故B正确；
对C：因为 ，故C正确；对D： ，
所以： .
所以 .故D正确.
故选：BCD
10．（多选题）某箱中有若干个编号依次为 的球，每个球除编号外完全相同.现从箱中每
次不放回地取一个球，若第 次取出球的编号为 ，则记为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 则
B．若 则
C．若 则事件 和事件 相互独立
D．若 则事件 和事件 相互独立
【答案】BC
【解析】对于A，若 ，则只可能第1次取出的球编号为1，故 ， ，错误；
对于B，若 ，则第1次未取到编号为1的球，且总计4个球，
分情况讨论：若第1次取编号为2的球，第2次取编号为1号或3号或4号球，共3种情况；
若第1次取编号为3的球，第2次取编号为1号或2号或4号球，共3种情况；
若第1次取编号为4的球，第2次取编号为1号或2号或3号球，共3种情况，总计9种情况，
第2次取编号为2的球的情况共2种，故 ，故B正确；
对于C，若 ，则前两次均未取编号为1的球，
故 ， ，满足 ，故C正确；
对于D，若 ，则前两次均未取编号为1的球，且总计5个球，
前两次可取的只能为编号为2号或3号或4号或5号球. ，且 ，
而第2次取球需分情况讨论：若第1次取编号为3的球，第2次取编号为2号或4号或5号球，共3种情况；
若第1次取编号为2的球，第2次取编号为3号或4号或5号球，共3种情况；
若第1次取编号为4的球，第2次取编号为2号或3号或5号球，共3种情况；若第1次取编号为5的球，第2次取编号为2号或3号或4号球，共3种情况，总计12种情况，
第2次取编号为3的情况共3种，故 ， ，故D错误.
故选：BC.
11．（多选题）（2024·高三·江苏·开学考试）甲罐中有 个红球， 个白球，乙罐中有 个红球， 个白球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球． 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，
表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是
（ ）
A． 为互斥事件 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】A选项: 事件可以同时发生；显然不成立，故A选项错误；
B选项:当 发生时，乙罐中有 个红球， 个白球，此时 发生的概率为 ，∴ ，∴B选项
正确；
D选项: 当 发生时，乙罐中有 个红球， 个白球，此时 发生的概率为 ，
∴ , ∴ ，∴D选项正确；
C选项: ，∴C选项错误．
故选：BD.
12． 2024年巴黎奥运会女子乒乓球决赛，中国选手陈梦与孙颖莎奉献了一场精彩绝伦的巅峰对决，她们
技艺精湛，顽强拼搏，展现国球风采，为观众带来了视觉盛宴.现甲､乙两名乒乓球选手进行一场七局四胜
的比赛，即谁先赢4局的比赛，谁就获胜，比赛结束.已知每一局比赛甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，
且第一局乙获胜，则甲最终以 比 获胜的概率为 .
【答案】
【解析】甲最终以 比 获胜，即甲在第 ， ， ， 局比赛中胜 局，且第 局获胜，
事件甲最终以 比 获胜的概率为： ，
故答案为： .13．（2024·四川·一模）条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期
望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设 ， 是离散型随机变量，则 在给定事件 条件下的
期望为 ，其中 为 的所有可能取
值集合， 表示事件“ ”与事件“ ”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该
商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为 ，某人在该商场消费了1000元，
共获得4次抽奖机会.设 表示第一次抽中奖品时的抽取次数， 表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则
.
【答案】2
【解析】由题意可知 可取 ，
所以 ， ，
，
又因为 ，
所以
.
故答案为： .
14．（2024·高三·河北秦皇岛·开学考试）有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，
2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到的2个球均为红球，则停止取球；
否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记
“取了 次球后停止取球” ，则 ； ．
【答案】
【解析】（1）依题意第一次从两个口袋均取出红球，故 ；
（2）依题意前三次取球均不为两个红球，第4次取球为两个红球.
故 .
故答案为： ；
15．（2024·高三·全国·单元测试）已知有黑、白两种除颜色外完全相同的若干小球，放入三个相同的空箱
子中，已知三个箱子中小球的数量之比为 ，其中黑球占比分别为 ．若从三个箱子中各取一球，则取得的球均为黑球的概率为 ；若将三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得
一个白球的概率为 ．
1
【答案】 / /
20
【解析】设三个箱子中的球的个数分别为 ，所以总数为 ，
则第一个箱子中黑球个数为 ，白球个数为 ；
第二个箱子中黑球个数为 ，白球个数为 ；
第三个箱子中黑球个数为 ，白球个数为 ；
由古典概型的概率公式知，三个箱子中取到黑球的概率分别为 ，
记“从三个箱子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 ，因为从三个箱子中取球相互独立，所以，
；
记“三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得一个白球”为事件 ，
黑球总共有 个，白球共有 个，
所以由古典概型的概率公式从知， ．
故答案为：0.05；0.6.
16．在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名
学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频
率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
(2)求 的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为 ，乙复
赛获优秀等级的概率为 ，丙复赛获优秀等级的概率为 ，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人
中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
【解析】（1）从图中可知组距为 ，则 的频率分别为 ,
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时,成绩不高于50分的人数为 （人）.
（2）由图可知 ，解得 .
使用组中值与频率可估计平均数为
.
因为 且 ，
所以中位数在 内，
设估计的中位数为 ，则 ，得 .
（3）记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件 、 、 ，则
三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于
.
17．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力
推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发
展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午
餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”， ，已知推出
优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：
．
【解析】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为 ，
所以 ．
（2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3，
王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，
张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4，
记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，
所以 ， ，
所以X的分布列为
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望
（3）证明：由题知 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即： ，
所以 ，
即 .
18．在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后
甲再取，……，每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．
(1)求2个白球都被乙取出的概率；
(2)求2个白球都被甲取出的概率；
(3)求将球全部取出才停止取球的概率
【解析】（1）若2个白球都被乙取出记为事件 ，即第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取
出红球，第四次乙取出白球，结束取球，
则 ;
（2）若2个白球都被甲取出记为事件 ，三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，
其概率为 ；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，
其概率为 ；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为 ；
故 ．
（3）若将球全部取出才停止取球记为事件 ，则最后一次即第5次取出的一定是白球．
四种情况：
①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
故 ．
19．（2024·江西新余·模拟预测）小郅同学的左、右口袋中分别装有3个糖果，每次取糖他都有 的概率
从右口袋中取，每次取糖过程相互独立.当他发现某个口袋中没有糖时停止取糖.
(1)求当他右口袋为空时，左口袋中剩余2个糖的概率 ，并求出 的值使 最大.
(2)若 ，求小郅最终发现其右口袋没有糖的概率.
(3)对于 ，求证成立不等式： .
【解析】（1）由题意可知： ，且 ，
则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取到最大值.
（2）设当他发现右口袋为空时左口袋剩 个糖果的概率为 ，则 ，所以
.
（3）设初始左、右口袋均有 个糖果，
则（2）中公式可化为： ，
下证： ，即证 ，
等价于 ，
等价于 ，
等价于 ，
依此类推等价于 ，这显然成立.
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
化简最终不等式得： ，
又因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
可知 ，可得 ，所以 .
20． A，B，C，D四位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：先将四位同学平均分成两组，每组进行一场
比赛决出胜负，获胜者进入胜者组，失败者进入败者组.胜者组和败者组中再各自进行一场比赛，胜者组中
获胜者获得冠军，失败者获得亚军，败者组中获胜者获得季军.设每场比赛双方获胜的概率都为 .
(1)求同学A获得冠军的概率；
(2)求A，B两人不能够在比赛中相遇的概率.
【解析】（1）同学A获得冠军，则要进入胜者组且在该组中获胜，其概率为 .（2）四位同学分组为 共3种，易知A，B两人在第一轮相遇
1
的概率为 ，
3
A，B两人在败者组相遇的概率为 ，
A，B两人在胜者组相遇的概率为 ，
所以A，B两人不能够在比赛中相遇的概率为 .
1．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送
0时，收到1的概率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到
1的概率为 . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传
输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；
三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
【答案】ABD
【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接
收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
2．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））某校举办科学竞技比赛，有 3种题库，
题库有5000道题， 题库有4000道题， 题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成 题库的
正确率是0.92， 题库的正确率是0.86， 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率
是 ．
【答案】0.85
【解析】由题意知， 题库的比例为： ，
各占比分别为 ，
则根据全概率公式知所求正确率 ．
故答案为：0.85．
3．（2024年天津高考数学真题） 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到 的概率为
；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 ．
【答案】
【解析】解法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到 有6种可能性： ，
则甲选到 得概率为： ；
乙选 活动有6种可能性： ，
其中再选则 有3种可能性： ，
故乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 .
解法二：
设甲、乙选到 为事件 ，乙选到 为事件 ，
则甲选到 的概率为 ；乙选了 活动，他再选择 活动的概率为
故答案为： ；
4．（2023年天津高考数学真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，
三个箱子中的球数之比为 ．且其中的黑球比例依次为 ．若从每个箱子中各随机摸出一
球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率
为 ．
【答案】 /
【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为 ，所以总数为 ，
所以甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
乙盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
丙盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 ，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 ，
黑球总共有 个，白球共有 个，
所以， ．
故答案为： ； ．
5．（2022年新高考天津数学高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A
的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【答案】
【解析】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则 .
故答案为： ； .
6．（2020年天津市高考数学试卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒
子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．
【答案】
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具
体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；
若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未
投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概
率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中
1次，
比赛成绩不少于5分的概率 .
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为 ，则 ， ，
则 ，
应该由甲参加第一阶段比赛.
8．（2023年北京高考数学真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价
格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用
“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天
中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【解析】（1）根据表格数据可以看出， 天里，有 个 ，也就是有 天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这 天里，有 天上涨， 天下跌， 天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是 ，
， ，
于是未来任取 天， 天上涨， 天下跌， 天不变的概率是
（3）由于第 天处于上涨状态，从前 次的 次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 次，不变的有 次，下跌的有 次，
因此估计第 次不变的概率最大.
9．（2022年新高考全国I卷数学真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯
（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），
同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【解析】（1）由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为 ，
所以
所以 ，
(ii)
由已知 ， ，又 ， ，
所以
