文档内容
第 05 讲 空间向量的概念及其运算、
空间向量法求空间角与空间距离
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
面面角的向量求法及应用 证明线面平行
2024年新I卷，第17题,15分
由二面角大小求线段长度 证明面面垂直
锥体体积的有关计算
2024年新Ⅱ卷，第7题,15分 求线面角
台体体积的有关计算
求平面的法向量 证明线面垂直
2024年新Ⅱ卷，第17题,15分
面面角的向量求法 线面垂直证明线线垂直
空间位置关系的向量证明
2023年新I卷，第18题,12分 面面角的向量求法 无
已知面面角求其他量
证明线面垂直
2023年新Ⅱ卷，第20题,12分 面面角的向量求法
线面垂直证明线线垂直
求异面直线所成的角
2022年新I卷，第9题,5分 无
求线面角
求点面距离
2022年新I卷，第19题,5分 无
面面角的向量求法
2022年新Ⅱ卷，第20题,12分 面面角的向量求法 证明线面平行
求空间向量的数量积
2021年新I卷，第12题,5分 垂直关系
空间向量的坐标表示
锥体体积的有关计算
由二面角大小求线段长度或
2021年新I卷，第20题,12分 线面垂直证明线线垂直
距离
面面垂直证线面垂直
2021年新Ⅱ卷，第19题,12分 面面角的向量求法 证明面面垂直
2020年新I卷，第20题,12分 线面角的向量求法 证明线面垂直
2020年新I卷，第20题,12分 线面角的向量求法 证明线面垂直2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分
【备考策略】1.掌握空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会运用空间两点间的距离公式
2.理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其
坐标表示
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，会求
平面法向量
4.熟练掌握空间中点线面的位置关系，会运用空间向量证明平行、垂直关系
5.会运用空间向量求空间距离及空间角
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般在解答题中考查线面平行（垂直）、面面平行（垂
直）的判定及其性质，考查空间距离和空间角的求解，需强化巩固复习.
知识讲解
1．空间向量及其有关概念
概念 语言描述
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
(平行向量)共面向量 平行于同一个平面的向量
共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序
共面向量定理
实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯
空间向量基本定 一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
理及推论
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存
在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)
③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：
a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)
1 2 3 1 2 3
向量和 a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)
1 1 2 2 3 3
向量差 a－b＝(a－b，a－b，a－b)
1 1 2 2 3 3
数量积 a·b＝ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
共线 a∥b⇒a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R，b≠0)
1 1 2 2 3 3
垂直 a⊥b⇔ab＋ab＋ab＝0
1 1 2 2 3 3
夹角公式 cos〈a，b〉＝
3．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l
的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
4．空间位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则
(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；
线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R.
(2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；
线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0.
5．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l，l 的方向向量，则l 与l 所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝
1 2 1 26．直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，
则sin θ＝|cos β|＝.
7．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．
(2)如图②③，n，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
1 2
|cos θ|＝|cos〈n，n〉|，二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角(或其补角)．
1 2 1 2
8．空间两点间的距离公式
若 ， ，则 = .
9．点 到平面 的距离
（ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.
考点一、 空间向量的基本概念及其运算
1．（广东·高考真题）若向量 ＝(1，1，x)， ＝(1，2，1)， ＝(1，1，1)满足条件 ，则x
＝ ．
2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设 ， ，且 ，则
（ ）
A． B．0 C．3 D．
3．（上海·高考真题）在平行六面体 中，M为AC与BD的交点，若 ， ，
，则下列向量中与 相等的向量是（ ）．A． B．
C． D．
1．（广东·高考真题）已知向量 ，则下列向量中与 成 的是
A． B． C． D．
2．（宁夏·高考真题）已知向量 ，且 ，则 ．
3．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图， 为四面体 的棱 的中点， 为 的中点，点 在线
段 上，且 ，设 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点二、 空间向量求异面直线所成角
1．（全国·高考真题）在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成
角的余弦值为
A． B． C． D．
2．（浙江·高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°．沿直线
AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是 ．1．3．（2024·安徽·模拟预测）设 与 为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为 且
，点M在线段AC上，且 ，将异面直线PD，QM所成的角记为 ，则sinθ的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）直三棱柱 中，底面 是以A为直角的腰长为2的等腰直角三
角形，侧棱长为 ， 为 上的点，若直线 与直线 所成角的余弦值为 ，则 长为（ ）
A．1 B． C． D．
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱 中， ， ， ，则
异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形 ， ，将 沿对角线 折起，使以
四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，
， 是棱 的中点， 是棱 上靠近点 的四等分点，则异面直线 与 所成角的大
小为（ ）A． B． C． D．
考点三、 空间向量求线面角
1．（2022·全国·高考真题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形，AB//DC， ， ，
， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的
中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
3．（2024·河南濮阳·模拟预测）如图所示，在等腰梯形 中， ， ， ，
E为CD中点，AE与BD相交于点O，将 沿AE折起，使点D到达点P的位置（ 平面 ）．(1)求证：平面 平面PBC；
(2)若 ，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面 所成角的正弦
值为 ，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由．
4．（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， .将
沿对角线 折到 的位置，点P在平面 内的射影H恰好落在直线 上.
(1)求二面角 的正切值；
(2)点F为棱 上一点，满足 ，在棱 上是否存在一点Q，使得直线FQ与平面 所成的角
为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
1．（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥 中， 底面 为 上一点，且平面 平面
，三棱锥 的体积为 .
(1)求证： 为 的中点；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.2．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，M，N分别为 的中点， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
3．（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台 中，平面 平面 ， ，
， ．
(1)求三棱台 的高；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
4．（2024·河北承德·二模）如图1，在直角 中， 为 中点， ，取 中
点 ，连接 ，现把 沿着 翻折，形成三棱锥 如图2，此时 ，取 中点 ，
连接 ，记平面 和平面 的交线为 为 上异于 的一点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度.考点 四 、 空间向量求二面角
1．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
2．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为 的
中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
3．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点 分别
在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
4．（2024·山东日照·三模）在五面体 中， ， .
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，点 到平面 的距离为 ，求二面角
的余弦值.
5．（2024·江苏·一模）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平
面 ⊥平面ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q在棱BC上．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正弦值为 ，求BQ的长．
1．1．1．1．1．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台 中，
， ， ．
(1)记平面 与平面 的交线为 ，证明： ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
2．（2024·河北保定·三模）如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 ，且
.E，F分别是PA，PD的中点，平面 与PB，PC分别交于M，N两点.
(1)证明： ；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 所成锐二面角的正弦值.
3．（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ．
（i）求证： 平面 ；
（ii）设平面 平面 ，求二面角 的正弦值．4．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别
为 ， 的中点， 为线段 上异于端点的一点.
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
5．（2024·山西·二模）如图，四棱锥 中，二面角 的大小为 ， ，
， 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与底面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
考点 五 、 空间向量求空间距离
1．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面
， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上，且
．
(1)求四棱锥 的表面积
(2)若点 在棱 上，且 到平面 的距离为 ，求点 到直线 的距离．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形，
.
(1)证明： ；
(2)若三棱柱 的体积为3，且直线 与平面ABC所成角为60°，求点 到平面 的距离.1．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直， ， 分别为 ，
的中点，点 在棱 上， ，直线 与平面 相交于点 .
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 的距离.
2．（2024·天津·二模）如图，直线 垂直于梯形 所在的平面， ， 为线段
上一点， ，四边形 为矩形.
(1)若 是 的中点，求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值：
(3)若点 到平面 的距离为 ，求 的长.
3．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为
1， ，点G是线段BF的中点．
(1)证明： 平面DAF；(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离．
考点 六 、 立体几何小题综合
1．（2022·全国·高考真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
选项BCD解法二：
2．（2024·福建福州·模拟预测）四棱锥 的顶点均在球 的球面上，底面 为矩形，平面
平面 ， ， ， ，则 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知三棱柱 满足 ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广西贵港·模拟预测）（多选）如图，在正方体 中，P为线段 的中点，Q为
线段 上的动点（不包括端点），则（ ）A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得 平面
C．三棱锥 的体积是定值 D．二面角 的余弦值为
5．（2024·福建泉州·模拟预测）（多选）如图，棱长为2的正方体 中，点 是棱 的中
点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点 到平面 距离相等
B．若 平面 ，且 与 所成角是 ，则点 的轨迹是椭圆
C．三棱锥 的外接球的表面积为11π
D．若 线段 ，则 的最小值是
1．（2024·山西·三模）正方体 的棱长为2， 分别为 的中点， 为底面
的中心，则三棱锥 的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体 中， ，则下列结
论中正确的是（ ）
A． 平面 B．平面 平面C． 平面 D．平面 内存在与 平行的直线
3．（2024·山东临沂·二模）已知正方体 中，M，N分别为 ， 的中点，则（ ）
A．直线MN与 所成角的余弦值为 B．平面 与平面 夹角的余弦值为
C．在 上存在点Q，使得 D．在 上存在点P，使得 平面
4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）（多选）如图，已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别
为 ， ， 的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为 B． 平面
C． 平面 D．二面角 的余弦值为
5．（2024·重庆九龙坡·三模）（多选）在棱长为2的正方体 中，P，E，F分别为棱
的中点， 为侧面正方形 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 平面
B．直线 与平面 所成角的正切值为
C．三棱锥 的体积为
D．三棱锥 的外接球表面积为9π
考点 七 、 范围与最值问题
1．（2024·河南·一模）三棱锥 中， ， ， ， ，点M，N
分别在线段 ， 上运动.若二面角 的大小为 ，则 的最小值为 .
2．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 与平面 交于
点 ，与平面 交于点 ，点 分别在线段 上运动，则线段 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
3．（23-24高三下·全国·阶段练习）如图，在 中， ，在直角梯形 中，
， ，记二面角 的大小为 ，若 ，则
直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
4．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点 是圆台 的上底面圆 上的动点， 在下底面圆 上，
，则直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为 ．
5．（2024·山东枣庄·模拟预测）（多选）已知正方体 的棱长为2，点M，N分别为棱
的中点，点P为四边形 （含边界）内一动点，且 ，则（ ）
A． 平面 B．点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得 平面 D．点P到平面 距离的最大值为
6．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，底面 为直角
梯形， ， ， ， 是 的中点，点 ， 分别在线段 与 上，且， .
(1)若平面 平面 ，求 、 的值；
(2)若 平面 ，求 的最小值.
1．（2024·浙江金华·三模）四棱锥 的底面 为正方形， 平面 ，且 ，
．四棱锥 的各个顶点均在球O的表面上， ， ，则直线l与平面 所成夹角
的范围为 ．
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体 中，设点 为底面 内（含边
界）的动点，则点 到平面 距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·广东深圳·期中）在长方体 中， ，点 为侧面
内一动点，且满足 //平面 ，则 的最小值为 ，此时点 到直线 的距离
为 .
4．（2023·江西萍乡·二模）正方体 的棱长为 为该正方体侧面 内的动点（含边
界），若 分别与直线 所成角的正切值之和为 ，则四棱锥 的体积的取值范围为
.
5．（2024·山东·二模）（多选）如图，在直三棱柱 中， ， 分别为棱
上的动点，且 ， ， ，则（ ）A．存在 使得
B．存在 使得 平面
C．若 长度为定值，则 时三棱锥 体积最大
D．当 时，直线 与 所成角的余弦值的最小值为
6．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）如图，在直三棱柱 中，△ 为边长为2的正三角
形， 为 中点，点 在棱 上，且 .
(1)当 时，求证 平面 ；
(2)设 为底面 的中心，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时 的值.
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江·期中）空间点 ，则点 到直线 的距离 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）在正方体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东梅州·模拟预测）直三棱柱 中， ， ，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2024·河南开封·三模）在矩形 中， ， ，沿对角线 将矩形折成一个大小为
的二面角 ，当点B与点D之间的距离为3时 ．
5．（2024·广东茂名·模拟预测）已知四棱柱 的底面是正方形， ， ，点
在底面 的射影为 中点H，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
三、解答题
6．（2024·广西·模拟预测）在正四棱柱 中， ， ，E为 中点，直线 与
平面 交于点F．
(1)证明：F为 的中点；
(2)求直线AC与平面 所成角的余弦值．
7．（2024·四川成都·模拟预测）在平行六面体 中， ，
．(1)若空间有一点 满足： ，求 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值．
8．（2024·福建泉州·模拟预测）在四棱锥 中，
．
(1)求证：
(2)当点 到平面 的距离为 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
9．（2024·内蒙古包头·三模）如图，平行六面体 的体积为 ， ， ，
， ．
(1)求点A到平面 的距离；
(2)求二面角 的正弦值．
10．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·期末）四棱锥 中，四边形ABCD为菱形，
，平面 平面ABCD．
(1)证明： ；
(2)若PB=PD，且PA与平面ABCD成角为 ，点E在棱PC上，且 ，求平面EBD与平面BCD
的夹角的余弦值．一、单选题
1．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体 中，点E，F满足⃗D E=2⃗ED，
1
⃗ ⃗
BF=2FB ，则点E到直线 的距离为（ ）
1
3√35 2√35
A． B．
5 5
3√7 2√7
C． D．
5 5
2．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面 是边长为2的正方形，半圆面 底面 ，点 为
圆弧 上的动点．当三棱锥 的体积最大时，二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑
中， 平面 ，且 分别为 的中点， 是
内的动点（含边界），且 平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的外接球的体积为
B． 的取值范围为
C．直线 与平面 所成的角的正弦值的取值范围为D．当点 到平面 的距离与点 到平面 的距离之比为 时，
4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，正四棱锥 每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点M
在四边形ABCD内（包含边界）运动，N为PD的中点，则（ ）
A．当M为AD的中点时，异面直线MN与PC所成角为
B．当 平面PBC时，点M的轨迹长度为
C．当 时，点M到AB的距离可能为
D．存在一个体积为 的圆柱体可整体放入正四棱锥 内
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体 中，动点 ， 分别在棱 ， 上，
且满足 ，当 的体积最小时， 与平面 所成角的正弦值是 ．
四、解答题
6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，平面
平面 ．(1)证明： 平面ABC．
(2)若 ， ，求直线BC与平面 所成角的正弦值．
7．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥 中，
.
(1)求证： ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
8．（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
.
(1)当 时，求证： 平面 ；
(2)设二面角 的大小为 ，求 的取值范围.
9．（2024·浙江绍兴·三模）如图，在三棱锥 中， 是正三角形，平面 平面 ，
，点 是 的中点， ．
(1)求证： 为三棱锥 外接球的球心；(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)若 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值最大时 的值．
10．（2024·山东烟台·三模）如图，在直三棱柱 中， ，M，N分别为 ，
中点，且 ．
(1)证明： ；
(2)若D为棱 上的动点，当 与平面 所成角最大时，求二面角 的余弦值.
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中，BC//AD， ， ,点 在
上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
2．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，PD=DC=1，
为 的中点，且PB⊥AM．（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
3．（2020·北京·高考真题）如图，在正方体 中， E为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
4．（2020·江苏·高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，
AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
5．（2020·全国·高考真题）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ．是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
6．（2019·北京·高考真题）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，
PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 ．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且 ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
7．（2019·浙江·高考真题）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ，
分别是 的中点.（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
8．（2019·天津·高考真题）如图， 平面 ， ，
.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
9．（2019·全国·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，
1 1 1 1 1
E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A-MA-N的正弦值．
1
10．（2018·全国·高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， 为
的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面PAM所成角的正弦值．
