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1.3.2 正方形的判定教学设计
课题 1.3.2正方形的判定 单元 1 学科 数学 年级 九
本课内容从属于“图形与几何”中的“图形的性质”，因而务必服务于演绎推理教学的远
期目标：“让学生经历‘探索—发现—猜想—证明’的过程，体会证明的必要性，掌握用
教 材
综合法证明的格式，初步感受公理化思想，发展空间观念”，同时也应力图在学习中逐步
分析
达成学生的有关情感态度目标．
理解正方形的概念，要求学生明确正方形是最最特殊的四边形，理解正方形的概念是探究
正方形性质和判定的出发点。经历对正方形性质和判定的理性思辨和归纳过程，形成对正
科 学
方形的完整认识，并能解决相关问题，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教
素养
学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力.
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .
学习
目标
重点 正方形的判定方法.
难点 正方形的判定方法.教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问： 复习与本课关系
什么是正方形？正方形有哪些性质？ 学生回答 密切的正方形的
性 质 ， 引 入 本
课，为本课的学
习做好准备。同
时板书课题.
讲授新课 如何判定一个四边形是正方形呢？。
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途
径有两条： 思考回答
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； 通过想一想与操
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角. 作环节，引出将
如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下
要探究的内容
一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后
的图形就是正方形.
通过活动探究当
你知道这样做的道理吗？ 矩形满足一组邻
想一想：满足什么条件的矩形是正方形？满足什 观察与思考 边相等或对角线
么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与 互相垂直时，所
同伴交流． 得的四边形是正
方形.
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展
开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验
证.
动手操作，交
流反馈
满足怎样条件的矩形是正方形？
预
【猜想1】当矩形的一组邻边相等时，会变成一个
正方形.【猜想2】当矩形的对角线互相垂直时，会变成一
个正方形.
证明 通过证明让学生
猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 明确正方形的判
说出猜想 定定理1、2，培
已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC.
养学生的逻辑推
求证：四边形ABCD是正方形.
理能力.
A D
B C
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，四边形ABCD是平行四边形
又∵ AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 熟悉证明过
已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC与 程
BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°.
通过归纳进一步
又∵ AC⊥BD，
熟悉正方形的判
∴△AOB ≌ △AOD（SAS）.
定定理，培养归
∴AB = AD.
纳概括能力.
∴四边形ABCD是正方形.（正方形的定义）.
【归纳】
正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形
是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
熟悉正方形的
判定定理1、 通过活动探
2及其几何语 究当菱形形满足
言 有一个角是直角
或 对 角 线 相 等
正方形的判定定理2：对角线互相垂直的矩形 时，所得的四边
是正方形. 形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形.把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，
观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
动手操作，交
流反馈
满足怎样条件的菱形是正方形？
【猜想3】当菱形的有一个角是直角时，会变成一
个正方形.
【猜想4】当菱形的对角线相等时，会变成一个正
方形. 说出猜想
【证明】
通过证明让
猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形.
学生明确正方形
已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°.
的判定定理3、
求证：四边形ABCD是正方形.
4，培养学生的
A D
逻辑推理能力.
B C
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
熟悉证明过
猜想4：对角线相等的菱形是正方形.
程
已知：四边形 ABCD是菱形，对角线 AC与
BD相交于点O，AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
又∵ AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=
∠COD=∠AOD=90°.∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都
是等腰直角三角形.
∴∠BAD=90°
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.
【归纳】
正方形的判定定理3：有一个角是直角的菱形
通过归纳进
是正方形.
一步熟悉正方形
符号语言：
的判定定理，培
∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，
养归纳概括能
∴四边形ABCD是正方形.
力.
定理4：对角线相等的菱形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，AC=BD，
熟悉正方形的
∴四边形ABCD是正方形.
判定定理及其
总结归纳 几何语言
正方形判定的几条途径：
让学生在探究过
学生试着归纳 程中进一步加深
正方形的判定 对正方形的判定
定理的认识和理
解，培养学生的
例1 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分
应用意识.
∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求
证：四边形 BECF 是正方形.
A D 明确例题的做
E
法 探究中点四边形
的问题，旨在综
B C
合应用平行四边
F 形及正方形的性
质定理和判定定
理，发展空间感
想一想
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为 念，培养学生解顶点可以组成一个平行四边形。 动手画一画， 决问题的能力.
任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组
观看图形猜测
成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
结论 利用类比的方法
分别提出了以菱
形、矩形以及平
以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方
行四边形各边中
形。
证明猜想 点为顶点所组成
图 形 的 形 状 问
题，除了让学生
猜测、证明外，
还希望学生能进
一步分析、概括
得到一个一般性
的结论：所得的
议一议
动手画一画， 四边形的形状取
菱形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四
观看图形猜测 决于原四边形两
边形会是什么形状？
结论 条对角线的位置
你能试着证明吗？
关 系 和 数 量 关
决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 系.
决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的
对角线的长度和位置关系.
课堂练习 1.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是
正方形，则添加的条件可以是( )
A．AB＝AD B．AB⊥BC 这个环节是巩固
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 本课知识点，通
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平 过设置一组由浅
分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添 由学生自己独 入深的练习，来
加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的 立思考完成， 检测学生的掌握
是( ) 并找出做的好 情况，在这部分
的同学谈谈自 的设计中，主要
己的思路和见 是发挥学生作为
解。 教学主体的主动
性，让学生感受
学习的乐趣和成
功的喜悦。
A．BC＝AC B．BD＝DFC．AC＝BF D．CF⊥BF
已知四边形 是平行四边形，再从
① ， ② ∠ ， ③ ，
3. ABCD
④ ⊥ 四个条件中，选两个作为补充条件后，
AB=BC ABC=90° AC=BD
使得四边形 是正方形，其中错误的是
AC BD
（只填写序号）．
ABCD
如图所示， 是正方形 边 上任意一
___________
点， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，若
4. E ABCD BC
厘米，则四边形 的周长是 厘米
EF BO F EG CO G AB = 10
EGOF _____ .
．已知：如图， ， 是正方形 的对角线
上的两点，且 ．
5 E F ABCD
求证：四边形 是菱形
BD BE=DF
AECF
．如图，在正方形 中， ， ， ， 分别
在它的四条边上，且 ．四边形
6 ABCD E F G H
是什么特殊四边形？你是如何判断的？
AE=BF=CG=DH
EFGH
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？
板书
课题： 1.3.2 正方形的判定
(1) 有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2) 对角线互相垂直的矩形是正方形；
(3) 有一个角是直角的菱形是正方形；
(4) 对角线相等的菱形是正方形。
