文档内容
不同行不同列元素乘积的代数和（完全展开式）（共n！项）
概
念
行列式只针对方阵，其他类型矩阵没有讨论的资格，
并且行列式最终是个常数.
deta = ∣a∣ = a，即常数的行列式是它自己.
a a
11 12
= a a − a a
a a 11 22 21 12
21 22
a a a
11 12 13
性质一：计算原则 a a a = a a a + a a a + a a a −
21 22 23 11 22 33 21 32 13 31 12 23
a a a
31 32 33
a a a − a a a − a a a ，注意四阶以上的行列式不适用.
13 22 31 11 23 32 12 21 33
a a ⋯ a a 0 ⋯ 0 a 0 ⋯ 0
11 12 1n 11 11
0 a ⋯ a a a ⋯ 0 0 a ⋯ 0
22 2n 21 22 22
= = =
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ a a a ⋯ a 0 0 ⋯ a
nn n1 n2 nn nn
a a ⋯a
11 22 nn
行
性质二：两行（列）互换行列式需变号；特别地，两行（列）
列
相等，行列式值为零；两行（列）成比例，行列式值为零.
式
的
性质三：经转置行列式的值不
性
变.
质
性质四：某行（列）有公因式k，可以把k提到行列式外；特
别地，某行（列）元素全为零，则行列式的值为零.
性质五：某行（列）所有元素都是两个数的和，则可写成两
个行列式的和.
性质六：某行（列）的k倍加到另一行，行列式值不变.
① n阶行列式等于它任意一行（一列）元素乘以其对应的代数余子式之和.
余子式：在n阶行列式中划去元素a 所在的第i行、第j
ij
② 某一行的元素与另外一行的代数余子式的乘积之和为零；
列，由剩下的元素按原来的排法构成一个n − 1阶行列
某一列的元素与另外一列的代数余子式的乘积之和为零.
式，称为a 的余子式，记为M .
ij ij
行 a a ⋯ a
11 12 1n
a a ⋯ a
列 21 22 2n
③ n阶行列式D = ，对任意实数b ,b …b ：
代数余子式：在n阶行列式中划去元素a 所在的第i行、 1 2 n
ij ⋮ ⋮ ⋮
式
第j列，由剩下的元素按原来的排法构成一个n − 1阶行 a a ⋯ a
n1 n2 nn
展
列式，称(−1) i+jM 为a 的代数余子式，记为A . b 1 A i1 + b 2 A i2 + ⋯b n A in 就等于用b 1 ,b 2 …b n 取代原行列式的第i行；
ij ij ij
开 b A + b A ⋯ + b A 就等于取代原行列式的第j列.
1 ij 2 2j n nj
定
理 ∣A∣ = a A + a A + ⋯ + a A
i,1 i,1 i,2 i,2 i,n i,n
（按第i行展开）
∣A∣ = a A + a A + ⋯ + a A
1,j 1,j 2,j 2,j n,j n,j
（按第j列展开）
主对角线行列式：
a a ⋯ a a 0 ⋯ 0 a 0 ⋯ 0
11 12 1n 11 11
0 a ⋯ a a a ⋯ 0 0 a ⋯ 0 n
22 2n 21 22 22
= = = a
ii
∏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
i=1
0 0 ⋯ a a a ⋯ a 0 0 ⋯ a
nn n1 n2 nn nn
行
副对角线行列式：
列
0 ⋯ 0 a 0 ⋯ 0 a
1n 1n
0 ⋯ a a 0 ⋯ a 0
2,n−1 2n 2,n−1
n(n−1)
= = (−1) a a ⋯a
式
2 1n 2,n−1 n1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a ⋯ a a a ⋯ 0 0
n1 n,n−1 nn n1
爪型行列式：
a 1 ⋯ 1
公 1
1 a 0 ⋮
比如 2 (a = 0)，通常处理手法是将第一列的元素依次减去第i列的 1 (i = 2..n)
i
数 a i
众 ⋮ ⋱ 0
字 1 0 ⋯ a
n
a − 1 − … − 1 1 1 … 1
号
型 1 a
2
0
a
n
a
2
行
则会得到D = 0 a （主对角线行列式，套公式即可）
n 3
⋯ ⋯
列
：
化为几种特殊形式行列式 0 ⋯ a
n
式 常用恒等变形技巧：
①按零元素最多的行或列展开
考 计
②把第1行（列）的k 倍加到第i行（列） 各行元素和相等型行列式：
i
算 x a a a
③把每行（列）都加到第1行（列）
a x a a
研 ： ④逐行相加 比如 ，通常处理手法是累加法，将第i(i = 2…n)行都加到第一行，再对第一行提
a a x a
a a a a x
ij
经 取公因式，化为主对角线行列式.
已
给
验 1 1 ⋯ 1
出 x x ⋯ x
1 2 n
x2 x2 ⋯ x2
范德蒙行列式： 1 2 n = (x j − x i ),n ⩾ 2.
超 ∏
⋮ ⋮ ⋮ 1⩽i
