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专题 44 推理与证明、算法初步
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
推理与证明、算法初步近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2020年新课标II（文科），第7题,5分 程序框图
2020年新课标I（文科），第9题,5分 程序框图
2021年新高考I卷，第16题,5分 归纳推理
2022年全国乙（理科），第6题,5分
程序框图
2022年全国乙（文科），第7题,5分
2023年北京卷，第10题,5分 数学归纳法
2023年全国甲（理科），第3题,5分
程序框图
2023年全国甲（文科），第6题,5分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.主要考察的是逻辑推理能力。需要掌握并运用各种推理方法，如归纳推理、类比推理等。
同时需要注意，推理过程需要符合逻辑，结论需要经过证明才能确定为真；
2.主要考察的是编程和算法基础。需要理解算法的概念、表示方法、基本结构等，同时需要
掌握一些基本的算法，如排序、查找等。在解题时，需要能够分析算法的时间复杂度、空间
复杂度等，并能够根据问题选择合适的算法进行解决；
【备考策略】1.需要理解推理与证明和算法初步的基本概念和基础知识，如基本概念的定义、性质、定理
等，以及算法的基本结构和步骤；
2.需要学习和掌握一些经典的推理和证明方法，如直接证明、间接证明、数学归纳法、反证
法等，以及常用的算法，如排序、查找等；
3..结合实际应用场景来学习和理解推理与证明和算法初步的知识，如利用算法解决实际问题、
利用逻辑推理解决争议等；
4.在解题时，需要注意细节和规范，如逻辑推理的严密性、算法实现的正确性等；
【命题预测】1.推理与证明：这部分的命题可能会涉及各种逻辑推理和证明方法，如归纳推理、类比推理、
反证法等。题目可能会给出一些条件，要求考生根据这些条件进行推理和证明。同时，考生需要注意推理过程的严密性和正确性；
2.算法初步：这部分的命题可能会涉及各种算法，如排序、查找、动态规划等。题目可能会
要求考生根据问题选择合适的算法进行解决，并分析算法的时间复杂度和空间复杂度。此外，
还可能涉及到程序设计和代码实现等方面；
知识讲解
一、合情推理
(1)归纳推理
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由
个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征
的推理称为类比推理(简称类比)．
②特点：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出
猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
二、演绎推理
(1)演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是
由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三、直接证明
(1)综合法
①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所
要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：―→―→―→…―→
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．
③思维过程：由因导果．
(2)分析法
①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：―→―→―→…―→
(其中Q表示要证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
四、间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛
盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当 取第一个值 时命题成立；
(2)(归纳递推)假设当 时命题成立，证明当 时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立．
五、算法
1．算法的概念
（1）古代定义：指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。
（2）现代定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
（3）应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。
2．算法的特征：
①指向性：能解决某一个或某一类问题；
②精确性：每一步操作的内容和顺序必须是明确的；算法的每一步都应当做到准确无误，从开始的“第一
步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确.“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前
一步”的继续.
③有限性：必须在有限步内结束并返回一个结果；算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.
④构造性：一个问题可以构造多个算法，算法有优劣之分。
3．算法的表示方法：
（1) 用自然语言表示算法: 优点是使用日常用语, 通俗易懂；缺点是文字冗长, 容易出现歧义；
（2) 用程序框图表示算法：用图框表示各种操作，优点是直观形象, 易于理解。
注：泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体。
六、流程图
1. 流程图的概念：
流程图，是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符合表示操作的
内容，流程线表示操作的先后次序。
2.流程图常用符号：
图形符号 名称 含义
开始/结束框
用于表示算法的开始与结束
输入/输出框
用于表示数据的输入或结果的输出
处理框
描述基本的操作功能，如“赋值”操作、数
学运算等
判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标
明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或
“N”
流程线
表示流程的路径和方向
连接点
用于连接另一页或另一部分的框图
注释框
框中内容是对某部分流程图做的解释说明
3.画流程图的规则：
(1)使用标准的框图的符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框图外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框是具有超过一个退出点的唯一符
号；
(4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种
不同的结果；
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
4.算法的三种基本逻辑结构：（1)顺序结构：由若干个按从上到下的顺序依次进行的处理步骤（语句或框）组成。这是任何一个算法都
离不开的基本结构。
（2)条件结构：算法流程中通过对一些条件的判断，根据条件是否成立而取不同的分支流向的结构。它是
依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。
（3)循环结构：根据指定条件，决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构。
七、基本算法语句
程序设计语言由一些有特定含义的程序语句构成，与算法程序框图的三种基本结构相对应，任何程序设计
语言都包含输入输出语句 、赋值语句、条件语句和循环语句。以下均为BASIC语言。
1.输入语句
这个语句的一般格式是：INPUT “提示内容”；变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。每次运行程序时，计算机每次都把新输入的值赋
给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
注：
①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开，但最后的变量的后面不需要。
2.输出语句
它的一般格式是：PRINT “提示内容”；表达式
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息；
（2）输出数值计算的结果。
3.赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。它的一般格式是：变量=表达式
赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：
先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。
注：
①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”与“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）。
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
4.条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。
它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则
执行ELSE后的语句2。
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）
IF 条件 THEN
语句
END IF
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行 判
断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语
句。
注：条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。
需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。
5.循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有
当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构，即WHILE语句和UNTIL语句。
（1）WHILE语句的一般格式是：
WHILE 条件
循环体
WEND
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体
或跳出循环体的。当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND
之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一
次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。
因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
（2）UNTIL语句的一般格式是：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
考点一、归纳推理
1．观察下列等式：；
；
；
；
……
照此规律，
.
2．观察下列不等式： ， ， ，…，可归纳的一个
不等式是 （ 且 ）．
1．设函数 ，观察 ， ，
，根据以上事实，由归纳推理可得第5个等式为 .2．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难
题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是
__________．
考点 二 、类比推理
1．“已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 ”给有如下的一种解法：
解：由 的解集为 ，得 的解集为
即关于 的不等式 的解集为
类比上述解法：若关于 的解集为 ，则关于 的不等式
的解集为 ．2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则
与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表
无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 确定x＝2，则 ＝
．
1．①用数学归纳法证明不等式 ＜n（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k到n＝k+1，不
等式的左边增加了2k﹣1项.
②一段演绎推理的“三段论”是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′（x ）＝0，那x＝x 为函数f(x)的极值
0 0
点因为f(x)＝x3满足f′（0）＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点此三段论的结论错误是因为大前提错误；
③在直角△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径为r＝ .运用此类比推理，
若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，则该三棱锥外接球的半径为R＝
.
以上三个命题不正确的是 .2．在直角 中，若 ， ， ，则 外接圆半径为 ．运用此
类比推理，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，则该三棱锥外接球的半径为
．
考点 三、演绎推理
1．设m为实数,利用三段论求证:方程 有两个相异实根.
2．已知“三段论”中的三段：① 可化为 ；②
是周期函数；③ 是周期函数．其中为小前提的是_ _ _ _______．（填写序号）1．设有三个命题：“①0＜ ＜1.②函数f(x)＝ 是减函数．③当0＜a＜1时，函数 减
函数”．当它们构成三段论时，其“小前提”是________．(填序号)
2．利用导数和三段论证明：函数 在 上是增函数．（必须用三段论，否则0分）
考点 四、 综合法的应用
1．设 ，用综合法证明： ．
2．用综合法证明：如果 ，则 .1．已知a､b､c>0，求证： .
2．已知 .
（I）试猜想 与 的大小关系；
（II）证明（I）中你的结论.
3．已知： ；
；.
通过观察上述三个等式的规律，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．
考点 五、分析法的应用
1．已知a＞0，证明： － ≥a＋ －2.
2．用分析法证明：若a，b，m都是正数，且 ，则 .完成下列证明过程.
因为 ， ，所以要证原不等式成立，只需证明 ，即只需证明
.因为 ，所以只需证明 ，由已知显然成立，所以原不等式成立.1．若 ， ，则 的大小关系 .
2．要证明“ ”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是__________．（填序号）
①反证法 ②分析法 ③综合法
3．用综合法或分析法证明：
（1） ；
（2）如果 ， ，则 ．考点 六、反证法的应用
1．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于 .
1．（1）已知 ， .求证： ；（2）在 中，内角 的对边分别为 .若 ，用反证法证明： .
2．设x，y都是正数，且 ,证明： 和 中至少有一个成立.
3．（1）已知 ，证明：若 ，则a，b，c中至少有一个小于 ；
（2）已知 ，判断“ ”是“a，b，c中至少有一个小于 ”的什么条件？并说明理由.考点 七、 用数学归纳法证明等式
1．用数学归纳法证明：
2．用数学归纳法证明：
．3．用数学归纳法证明： ．
1．是否存在常数 使得等式 对一切正整数 都成立？若存在，求出
值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.
2．观察下列等式：
按照以上式子规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第 个等式；（ ）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立.（ ）
考点 八、 归纳—猜想—证明
1．如图，曲线 与直线 相交于 ，作 交 轴于 ，作 交曲线
于 ，……，以此类推.
（1）写出点 和 的坐标；
（2）猜想 的坐标，并用数学归纳法加以证明.2．设 为正整数，如果表达式 同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①
， ；② ；③当 时， （
）；④规定：当 时， 也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数 可以表示为“交错和” ，求证： ；
（3）对于任意正整数 ，判断 一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
1．数列 满足 ， ， ，其中 为实数.
（1）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
（2）设 ，证明： ；（3）设 ，证明： .
2．已知函数 ， （其中 ，且 ），
（1）若 ，求实数k的值；
（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．
3．已知数列 的前n项和为 ，其中 且 .
（1）求 ；
（2）猜想数列 的通项公式，并证明．考点 九、程序框图
1．为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A． B． C． D．
2．如图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入
（ ）A． 和
B． 和
C． 和
D． 和
3．执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．51．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．执行如图的程序框图，如果输入的 ，则输出 的值满足（ ）
A． B． C． D．
3．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的
， ，依次输入的 为2，2，5，则输出的 （ ）A．7 B．12 C．17 D．34
4．用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式 都成立．
5．证明不等式1＋ ＋ ＋…＋ <2 (n∈N*)．6．试比较 与 的大小关系，并用数学归纳法证明.
【基础过关】
1．执行如图所示的程序框图，则输出的 ___________.2．执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知 分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯， 是单纯由碳原
子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.
已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为 个.4．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A= B．A= C．A= D．A=
5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为 ，此类椭圆被称为
“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e等于 ．
6．运行如图所示的程序框图，若输入的 ， 的值分别为2，3，输出的 的值为111，则判断框中可以填
（ ）A． B． C． D．
7．执行下边的程序框图，则输出的 （ ）
A．87 B．89 C．91 D．93
8．执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）
A．171 B．190 C．210 D．231
10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位
良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道
我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道甲、丁两人的成绩 B．乙、丁可以知道自己的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道乙、丙两人的成绩
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））学生的语文、数学成绩均被评定为三
个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少
有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，
并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三
人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
13．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚
脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”
便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两
个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm
14．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷））我国古代数学名著《九章算术》中
“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出
了已知球的体积 ，求其直径 的一个近似公式 . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据
判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）
A． B． C． D．
15．（2011年江西省普通高中招生考试文科数学）.观察下列各式：则 ，…，则
的末两位数字为（ ）
A．01 B．43 C．07 D．49
【能力提升】1．执行如图所示的程序框图，若输出的结果 ，则 的取值范围是 ．
2．执行下面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）
A． B． C． D．
3．如图是计算 的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图，结果是（ ）A．11 B．12 C．13 D．14
5．设 ， （其中 ，且 ）
（1）请将 用 ， 来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广
6．已知 满足 ， ．
（1）求 ，并猜想 的表达式；
（2）用数学归纳法证明对 的猜想.7．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（辽宁卷））已知 ， ，其中
，设 ， ．
(1)写出 ；
(2)证明：对任意的 ，恒有 ．
8．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知数列 、 、 、 ，其中 、 、
、 是首项为 ，公差为 的等差数列； 、 、 、 是公差为 的等差数列； 、 、 、
是公差为 的等差数列 .
(1)若 ，求 ；
(2)试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围；
(3)续写已知数列，使得 、 、 、 是公差为 的等差数列， ，依次类推，把已知数列推广为无
穷数列.提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？9．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））在数列 中，若 是正整数，且
，则称 为“绝对差数列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）：
(2)若“绝对差数列” 中， ，数列 满足 ，分别判断当
时， 与 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
10．（2003年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））设 是定义在区间 上的函
数，且满足条件：
① ；
②对任意的 ，都有 ．
(1)证明：对任意的 ；
(2)证明：对任意的 ；
(3)在区间 上是否存在满足题设条件的奇函数 ；且使得 ，若
存在，请举一例；若不存在，请说明理由．11．（2003年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））设 是定义在区间 上的函
数，且满足条件：
① ；
②对任意的 ，都有 ．
(1)证明：对任意的 ；
(2)判断函数 是否满足题设条件；
(3)在区间 上是否存在满足题设条件的函数 ，且使得对任意的 ，都有
，若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．
12．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（福建））等差数列 的前 项和为
．
（Ⅰ）求数列 的通项 与前 项和 ；
（Ⅱ）设 ，求证：数列 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．13．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））设 和 是两个等差数列，记
，
其中 表示 这 个数中最大的数．
（Ⅰ）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，使得
是等差数列．
14．若无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称 具有性质 .
（1）若 具有性质 ，且 ， ，求 ；
（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列， ， ，
判断 是否具有性质 ，并说明理由；
（3）设 是无穷数列，已知 .求证：“对任意 都具有性质 ”的充要条件
为“ 是常数列”.【真题感知】
1．（2023年全国高考甲卷数学（理）试题）执行下面的程序框图，输出的 （ ）
A．21 B．34 C．55 D．89
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）执行下边的程序框图，输出的 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．63．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，
则输出的k为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023年北京高考数学真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
