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小专题06：二元一次方程（组）的含参问题
考点：含参问题
题型一：根据二元一次方程的定义求参数
例1．（1）若 是关于 ， 的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面
考虑．
【详解】解： 是关于 ， 的二元一次方程，
且 ，解得 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方
程．
（2）若 是二元一次方程，则
A．1 B．2 C．3 D．1或2
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数次数为 1这一方面考虑，先
求出常数 、 的值，再进一步计算．
【解答】解：由 是二元一次方程，得
， ．解得 ， ， ，故选： ．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程是含有两个未知数且未知数的次
数都为1，运用二元一次方程的定义可以求出字母常数的值，同时注意结合有理数的运算
确定字母的取值．
【练习1】若关于 ， 的方程 是二元一次方程，则 ．
【答案】【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方
程，据此解答即可．
【解答】解：根据题意得： ，
解得 ．故答案为： ．
【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，解题的关键是熟悉掌握二元一次方程的形式
及其特点：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程．
【练习2】已知方程 是二元一次方程，求 ， 的值．
【答案】见详解
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是
1，像这样的方程叫做二元一次方程可得 ， ； ， ，再
解即可．
【解答】解：由题意得： ， ，
解得： ， ， ，解得： ．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件
①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．
题型二：已知解求参数
例2.（1）已知 是关于 ， 的二元一次方程组 的解，则 的值为
．
【答案】7
【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．
【详解】解：由题得： ， ． ， ．
．故答案为：7．
【点睛】本题主要看考查二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是
解决本题的关键．（2）已知 是关于 、 的二元一次方程组 的解，则 ．
【答案】8
【分析】根据方程组的解代入得出一个含有 、 的方程组，求解得出 、 的值，再代入
计算即可．
【详解】解：把 代入关于 、 的二元一次方程组 得，
，所以 ， ，所以 ，故答案为：8．
【点睛】本题考查二元一次方程组，理解方程组的解的意义，掌握方程组求解的方法是正
确解答的关键．
【练习3】已知 是关于 ， 的二元一次方程 的解，则 的值是
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】将 代入关于 ， 的二元一次方程 得到关于 的方程，解这
个方程即可得到 的值．
【详解】解：将 代入关于 ， 的二元一次方程 得：
． ．故选： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，将方程的解代入原方程是
解题的关键．
【练习4】若 是方程 的一个解，则 的值为 ．
【答案】【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．
【详解】解：由题意得： ． ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题
的关键．
【练习5】若方程 有两个解 和 ，则 的值为 ．
【答案】12
【分析】根据题意得出关于 ， 的等式进而求出答案．
【详解】解：由题意 ，
① ② ，得 ，解得 ，
把 代入①，得 ，解得 ，所以 ．故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是学会用转化的思想思考问题
正确求出 ， 的值．
题型三：已知解的特征求参数
例3.（1）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解中 ， 均为整数，且 为
正整数，则 的值为
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
【答案】B
【分析】先求解二元一次方程组得 ，再由 是整数， 为正整数，可得
或 ，求出 的值，再验证 值是否符合，即可求解．
【详解】解： ，
① ②，得 ，合并同类项，得 ，解得 ，
是整数， 为正整数， ， 或 ， 或 ，当 时， ， （舍 ，当 时， ， ， ，故选： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，根据题意对所
求的根进行验证是解题的关键．
（2）若关于 ， 的二元一次方程组 的解，也是二元一次方程 的
解，则 的值为
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先解方程组，用含 的代数式表示 、 ，再把 、 的值代入二元一次方程
中，求出 ．
【详解】解： ，① ② ，得 ，
，代入②中，得 ，解得： ，
二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，
，解得： ，故选： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，题目难度不大，掌握解二元一
次方程组的方法是解决本题的关键．
（3）已知 ， 互为相反数且满足二元一次方程组 ，则 的值是
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据 ， 互为相反数得到 ，然后与原方程组中的方程联立新方程组，
解二元一次方程组，求得 和 的值，最后代入求值．【详解】解：由题意可得 ，
② ①，得： ，把 代入①，得： ，解得： ，
把 ， 代入 中， ，故选： ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一
次方程组的步骤是解题关键．
【练习6】方程组 的解适合方程 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据方程组的特点，① ②得到 ，组成一元一次方程求解即可．
【详解】解： ，
① ②，得： ， ，
， ，解得： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握加减消元法解二次一次方程组的一般步
骤是解题的关键．
【练习7】满足方程组 的解 与 的和是2，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】两方程相加求出 ，根据已知得出关于 的方程，求出方程的解即可．
【详解】解： ，
① ②得： ， ，
由题意得： ，所以 ，解得： ，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次一次方程组的解，解一元一次方程的应用，能得出关于 的方程
是解此题的关键．
题型四：已知解相同求参数
例4.已知关于 ， 的方程组 和 的解相同，求 的值．
【答案】见详解
【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于 、 的方程组，求出 、 的值，再
将 、 的值代入含 、 的两个方程中，得到关于 、 的二元一次方程组求出 、 的
值，代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解： 关于 ， 的方程组 和 的解相同，
这两个方程组的解也是方程组 的解，
解方程组 得， ，
把 ， 别代入 和 ，得方程组 ，
解这个方程组得， ， ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得
到关于 、 的方程组，求出 、 的值，再将 、 的值代入含 、 的方程组即可求出
、 的值，即可求出代数式的值．
【练习8】已知关于 、 的方程组 的解和 的解相同，求代数式
的平方根．
【答案】见详解
【分析】由已知解方程组 ，解得 ，将 代入 中，得，即可求解．
【详解】解： 方程组 的解和 的解相同，
与 的解相同， ，
① 得， ③，② 得， ④，
③ ④得， ，将 代入①得， ， 方程组的解为 ，
将 代入 中，得 ， 的平方根为 ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组
重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键．
题型五：根据错误解求参数
例5.已知方程组 ，由于甲看错了方程 中的 ，得到方程组的解为
，乙看错了方程中的 ，得到方程组的解为 ．求 ， 的值．
【答案】见详解
【分析】根据方程组的解的定义， 应满足方程 ，据此可得 的值；
应满足方程 ，据此可得 的值．
【详解】解：由于甲看错了方程 中的 ，解得 ，所以 ，
解得： ；由于看错了方程中的 ，解得 ，所以 ，解得 ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是二元一次方程组解
的定义．
【练习 9】已知方程组 由于甲看错了方程①中的 得到方程组的解为
；乙看错了方程②中的 得到方程组的解为 ，若按正确的 ， 计算，请你
求原方程组的解．
【答案】见详解
【分析】把甲的结果代入第二个方程求出 的值，把乙的结果代入第一个方程求出 的值，
确定出方程组，求出解即可．
【详解】解：把 代入②得： ，即 ；
把 代入①得： ，即 ，
方程组为 ，① ②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的
未知数的值．1．若 是关于 的二元一次方程 的解，则 的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把 与 的值代入方程计算即可求出 的值．
【详解】解：将 代入方程 ，得： ，解得： ，故选： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的
值．
2．已知 是二元一次方程组 的解，则 的值为
A．7 B．4 C．2 D．9
【答案】A
【分析】首先将 ， 的值代入方程组得到关于 、 的方程组，解方程组即可求出答案．
【详解】解：由题意可得： ，
解得： ，故 ．故选： ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确解方程组是解题关键．
3．如果方程组 的解是方程 的一个解，则 的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】两个方程具有相同的解，可运用加减消元法得出二元一次方程组的解，然后将得出的 、 的值代入 中，即可得出 的值．
【详解】解：解方程组 ，得 ，
将 代入 ，得 ，解得 ，故选： ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，解二元一次方程组常用加减消元法和代入
法，本题运用的是加减消元法．
4．已知方程组 的解满足 ，则 的值为
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】把 看作已知数表示出方程组的解，代入 计算即可求出 的值．
【详解】解： ，
① ② 得： ，② ① 得： ，
代入 中得： ，解得： ，故选： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的
未知数的值．
5．方程 是关于 、 的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义计算即可．
【详解】解：根据题意得： 且 ， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有
两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程，注意
前面的系数不等于0．6．若 是一个二元一次方程，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义得出 且 ，求出即可．
【详解】解： 方程 是关于 、 的二元一次方程，
且 ，解得： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟记定义是解此题的关键．
7．若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】方程组第二个方程与已知方程联立求出 与 的值，代入方程组第一个方程计算
即可求出 的值．
【详解】解：联立得： ，
① ②得： ，解得： ，
① ②得： ，解得： ，
把 ， 代入 得： ，解得： ．故答案为： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使
方程组中两方程都成立的未知数的值．
8．已知方程组 和方程组 的解相同，则 、 的值为 ．
【答案】2和1
【分析】由题意可得： ，解二元一次方程组从而可得其解，再代入相应方程求
、 的值即可．【详解】解： 方程组 和方程组 的解相同，
，解得： ，
把 代入 ，得： ，解得： ；
把 代入 ，得： ，解得： ．
故答案为：2和1．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是由题意得到 ，求得
方程的解．
9．若方程组 的解 与 是互为相反数，求 的值．
【答案】见详解
【分析】由于 与 是互为相反数，则把 分别代入两个方程求出 ，然后得到关于
的一次方程，再解此一次方程即可．
【详解】解： ，
把 代入①得 ，解得 ，
把 代入②得 ，解得 ，
所以 ，解得 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解
叫做二元一次方程组的解．
10．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，求实数 的值．【答案】见详解
【分析】将所给二元一次方程相减可得 ，再结合已知，得到 ，即可求
的值．
【详解】解：组 ，
② ①，得 ，
解得 ，
，
，
．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法求二元一次方
程组解的方法是解题的关键．
11．已知方程组 和方程组 的解相同，求 的值．
【答案】见详解
【分析】由方程组 可求出 、 的值，代入可得两个含有 、 的方程，组成
方程组求出 、 的值，代入求值即可．
【详解】解：由题意得，方程组 ，
解得 ，
把得 代入 得， ，方程组的解为 ，
．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，消元是求解二元一次方程组的基本思想，加减
消元、代入消元是两种基本方法．
12．甲、乙两人同时解方程组 甲解题看错了①中的 ，解得 ，乙解
题时看错②中的 ，解得 ，试求原方程组的解．
【答案】见详解
【分析】把甲的解代入②中求出 的值，把乙的解代入①中求出 的值；把 与 的值代
入方程组求出解即可．
【详解】解：（1）把 代入②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ；
把 ， 代入方程组得： ，
① ②得： ，即 ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值．
