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小专题05：含参问题、最值问题、存在性问题
考点1：含参问题
题型一：根据一次函数图象的性质求参数
例1．（1）已知一次函数 图象不经过第二象限，求 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到： ， ．
【详解】解： 一次函数 图象不经过第二象限，
， ．解得 ．故答案是： ．
【点睛】查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数 的性质．当 ， 随 的增大而
增大，图象一定过第一、三象限；当 ， 随 的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当 ，
图象与 轴的交点在 轴上方；当 ，图象过原点；当 ，图象与 轴的交点在 轴下方．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 在直线 与直线 之间，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】计算出当 在直线 上时 的值，再计算出当 在直线 上时 的值，即可得答
案．
【详解】解：当 在直线 上时， ，
当 在直线 上时， ，则 ，故答案为： ；
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右
相等．
（3）若点 在函数 的图象上，则代数式 的值为 ．
【答案】6
【分析】直接把点 代入函数 得到 ，再利用等式的基本性质变形即可得出结论．
【详解】解： 点 代入函数 的图象上，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，运用到整体代入思想．熟知一次函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【练习1】若一次函数 不过第二象限，则 0， 0．
【答案】 ，
【分析】一次函数 的图象不经过第二象限，有两种情况：①图象经过一、三象限；②图象经过一、
三、四象限．
【详解】解：由一次函数 的图象经过第一、三、四象限，又有 时，直线必经过一、三象限，
故知 ．
再由图象过三、四象限或者原点，所以 ．故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 、 的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与 、 的符号有直接的关系． 时，直线必经过一、三象限； 时，直线必
经过二、四象限； 时，直线与 轴正半轴相交； 时，直线过原点； 时，直线与 轴负半轴
相交．
【练习2】若直线 经过第一、三、四象限，则常数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线所经过的象限列出关于 的不等式组，然后解不等式组即可．
【详解】解： 一次函数 的图象经过第一、三、四象限，
且 ，解得： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数 经过第一、三、四象限 ，
．
【练习3】若点 ， 和点 在同一个正比例函数图象上，则 的值是 ．
【答案】1
【分析】根据题意，先设出正比例函数解析式，然后即可求得 的值，从而可以求得 的值．
【详解】解：设正比例函数解析式为 ，
点 ， 和点 在同一个正比例函数图象上，
， ， ，
， ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解
答．
题型二：根据一次函数图象交点情况求参数
例2．（1）如图，在平面直角坐标系中，点 、 ，若直线 与线段 有公共点，则
的值可以为 ．（写出一个即可）【答案】
【分析】把 代入 得到 ，根据已知可得 点应该在直线 的左侧，从而分析出
的取值范围，依此判断即可．
【详解】解：当 时， ．
若直线 与线段 有公共点，
则 点应该在直线 的左侧，即 ．
的值可以为 ．（不唯一， 即可）．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握一次函数的性质．
（2）在平面坐标系中，已知点 ， ，直线 与线段 有交点，则 的取值范围
为 ．
【答案】
【分析】由直线解析式可得直线过定点 ，然后分别将 ， ，代入一次函数求 ，进而求解．
【详解】解： 经过定点 ，
当图象经过点 时，把 代入解析式得 ，
解得 ，
当图象经过点 时，把 代入解析式得 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．【练习4】已知一次函数 与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，若 ，则 的值是
．
【答案】2或
【分析】根据题意可以求得 与两坐标轴的交点坐标，然后根据 ，从而可以求得 的值．
【详解】解： ，
当 时， ，当 时， ，
一次函数 与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，
， ，
， ，
解得， 或 ，故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用一次函数的性质解答．
【练习5】平面直角坐标系中， ， ，直线 为常数）与线段 有公共点，则
的取值范围 ．
【答案】
【分析】将点 、 的坐标分别代入直线方程，分别求得 的两最值．
【详解】解：把 代入直线 ，得 ．解得 ．
把 代入直线 ，得 ．解得 ．
故 的取值范围为： ．故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系和一次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求得
的最大值和最小值．
考点2：最值问题
题型一：求单线段的最值
例3．如图，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 为线段 上的一个动点，过点分别作 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ，则 长的最小值为 ．
【答案】
【分析】经分析， 点可能在 点或在 点或在线段 上（除去端点），那么 会产生不同的情况，
故需分类讨论，进而确定 的最小值．
【详解】解：当 时， ，则 ，故 ．
当 时， ，则 ，那么 ，故 ．
设 ， ，则 ． ．
①当 不与 、 重合， ． ， ．
轴于点 ， 轴于点 ， 轴 轴， ．
在 中， ，
．
， 当 时， ．
当 在 点时，此时 ．当 在 点时，此时 ．
， 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的点的坐标的特征、勾股定理以及二次函数的最小值，熟练掌握一次函数
的点的坐标的特征、勾股定理以及二次函数的最小值是解决本题的关键．
【练习6】如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 为直线 上的一个动点， ，
，则 的最小值为 ．【答案】1.2
【分析】根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：点 的轨迹为直线，因此点 的轨迹也为直线．当 取 时， 在 ，
当 取 时， 在
因此可得 点轨迹为直线 ；
过原点 作该一次函数直线的垂线段 ，即为 的最小值，最小值 ．故答案为：1.2．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标的特征，根据题意转化为求最短距离是解决本题的关键．
题型二：求多线段和的最值
例4．如图所示，已知点 ，一次函数 的图象与两坐标轴分别交于 ， 两点，点 ，
分别是线段 ， 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】作点 关于 的对称点 ，则 ，过点 作 交 于 ，根据垂线
段最短得到这时 值最小，根据直线 的解析式为 ，推出 是等腰直角三
角形，由 长度即可求解．
【详解】解：如图，点 关于 的对称点 ，过点 作 交 于 ，则 的最小值 ，
直线 的解析式为 ， ， ，
， ， 是等腰直角三角形，
， ， 的最小值是 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称 最短路线问题，涉及到一次函数图象的性质、等腰三角形的性质和垂线段最短
等知识．解题的关键是作出最短路线时的图形，属于中考常考题型．
例5．如图所示，已知点 ，直线 与两坐标轴分别交于 ， 两点， ， 分别是线段 ，
上的动点，则 周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】点 关于 的对称点 ，点 关于直线 的对称点 ，连接 与 交于点 ，
与 交于点 ，此时 周长最小，可以证明这个最小值就是线段 ．
【 详 解 】 解 ： 如 图 ， 点 关 于 的 对 称 点 ， 点 关 于 直 线 的 对 称 点 ，直线 的解析式为 ， 直线 的解析式为 ，
由 解得： ， 直线 与直线 的交点坐标为 ，
是 中点， 可得 ．连接 与 交于点 ，与 交于点 ，此时 周长最小，
的周长 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称 最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点 、
点 位置，属于中考常考题型．
【练习7】已知在平面直角坐标系中， ，点 在 轴上，当 变化时，一次函数 都经
过一定点 ，则 最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出定点 的坐标，然后根据将军饮马模型得到线段的和的最小值等于 的长度，分别过 ，
作 ， 轴的垂线，交于点 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】解： ，
当 变化时，一次函数都过一定点， ， ， ， ，
点 关于 轴的对称点 ，
如图，连结 交 轴于点 ，此时 最小，即 ，
分别过 ， 作 ， 轴的垂线，交于点 ， ，
， ， ，故答案为： ．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，构造直角三角形，利用勾股定理求出 的长度是解题的关键．
【练习8】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
点 在线段 上， 轴于点 ，则 周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】当点 、 重合时， 最小，即可求解．
【详解】解：设点 ，则 ， ，
周长 ，
即 周长取得最小值时，只需要 最小即可，
故点 作 ，当点 、 重合时， 最小，
为等腰直角三角形，则 也为等腰三角形，
设： ，则 ，由勾股定理得： ，解得： ，故 周长的最小值 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征和最短路线问题，关键是通过设点 的坐标，确定周
长最小时，只需要 最小，进而求解．
考点3：存在性问题
例6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 、 坐标分别为 ， ， ．
（1）直接写出点 的坐标，并求出直线 的解析式；
（2）若 是直线 上的一个动点 与 、 不重合），当 的面积是3时，请求出点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使得 是不以点 为直角顶点的直角三角形．若存在，请求出 的
坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】见详解
【分析】（1）利用平行四边形的性质确定 点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）根据三角形面积公式求得 的高，然后利用一次函数图象上点的坐标特征求点 坐标；
（3）设 点坐标为 ，然后结合勾股定理列方程求解．
【详解】解：（1）在平行四边形 中， ， ，
又 顶点 、 坐标分别为 ， ， ， 点坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，将 ， ， 代入，得： ，解得： ，
直线 的解析式为： ；
（2） ，且 的面积是3， 设 的边 上的高为 ，则 ，
解得： ， 点纵坐标为 或 ，又 是直线 上的一个动点， 在 中，
当 时， ，解得： ，当 时， ，解得： ，
点坐标为 ， 或 ， ；
（3）设 点坐标为 ，由题意可得： ， ， ，
①当点 为直角顶点时， ， ，解得： ，
此时， 点坐标为 ；
②当点 为直角顶点时， ， ，
解得： ，此时， 点坐标为 ；
综上， 点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，理解相关性质定
理，利用分类讨论思想解题是关键．
【练习9】如图，在平面直角坐标系 中，已知次函数 的图象经过点 和点 ，直线
与 轴， 轴分别交于 ， 两点，与直线 相交于点 ，且 ．
（1）求一次函数 的解析式；
（2）求四边形 的面积 ；
（3）在坐标轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存
在，请说明理由．【答案】见详解
【分析】（1）利用待定系数法可得答案；
（2）根据 ， ，可得 的长，即点 的坐标，从而得 的解析式，根据函数交点坐标
的性质可得点 的坐标，最后由面积公式可得答案；
（3）根据两种情况进行讨论即可，当点 在 轴上时，设点 的坐标为 ；②当点 在 轴上时，设
点 的坐标为 ，由方程可得答案．
【详解】解：（1） 函数 的图象经过点 和点 ，
， ， 一次函数的解析式为： ．
（2） ， ， ，即 ， ，
， 直线 的解析式为 ，
直线 交 轴于点 ， ，
直线 与直线 于点 ， ， ，即 ，
．
（3）存在，分两种情况讨论：
①当点 在 轴上时，设点 的坐标为 ，由题意得： ，或 ， 此时点 的坐标为 ， ．
②当点 在 轴上时，设点 的坐标为 ，由题意得： ，
或 ， 此时点 的坐标为 ， ．
综上所述，在坐标轴上存在点 ，使得 ，其坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标
特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
1．（1）在正比例函数 中，若 随 的增大而减小，则 ．
【答案】
【分析】 的次数为1且 的系数为负．
【详解】解： ， ，
又 随 的增大而减小， ， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的概念与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
（2）已知直线 经过点 ， 、 ， ，当 时，有 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】先根据当 时，有 得出关于 的不等式，求出 的取值范围即可．
【详解】解： 直线 经过点 ， 、 ， ，当 时，有 ，
此函数是减函数， ，解得 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，先根据题意判断出 的取值范围是解答此题的关键．2．已知一次函数 图象不经过第一象限，求 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若函数 随 的增大而减小，则 ；函数的图象不经过第一象限，则 ；最后解两个
不等式确定 的范围．
【详解】解：根据一次函数的性质，函数 随 的增大而减小，则 ，解得 ；
函数的不图象经过第一象限，说明图象与 轴的交点在 轴下方或原点，即 ，解得 ；
所以 的取值范围为： ．故答案为：
【点睛】考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数 的性质．当 ， 随 的增大
而增大，图象一定过第一、三象限；当 ， 随 的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当
，图象与 轴的交点在 轴上方；当 ，图象过原点；当 ，图象与 轴的交点在 轴下方．
3．点 在直线 上，则代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】直接把点 代入函数 ，得到 ，再代入解析式即可得出结论．
【详解】解： 点 在函数 的图象上， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的
解析式是解答此题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 、 ，若直线 与线段 有公共点，
则 的取值范围为 ．
【答案】【分析】把点 、 的坐标分别代入一次函数解析式，求得 的最大值和最小值，易得 的取值范围．
【详解】解：把 代入 ，得 ．
把 代入 ，得 ．解得 ．
故 的取值范围为 ．故答案是： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于 的最值
是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，直线 与线段 有交点，则 的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】直线 恒过定点 ，因为直线 与线段 有交点，求得直线经过点 、
时的 的值，从而得到 的取值范围．
【详解】解： ， 直线 恒过定点 ，
直线 与线段 有交点， 当直线 过 时，则 ，
解得 ；当直线 过 时，则 ，解得 ，
的取值范围为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次
函数图象的性质．
6．如图，直线 的解析式 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 为线段 上一个动点，作
轴于点 ， 轴于点 ，则线段 的最短长度为 ．【答案】
【分析】在一次函数 中，分别令 和 ，解相应方程，可求得 、 两点的坐标，由
矩形的性质可知 ，可知当 最小时，则 有最小值，由垂线段最短可知当 时，根据
三角形面积公式求出 长，即可求得 的最小值．
【详解】解： 一次函数 中，令 ，则 ，令 ，则 ，
， ，
轴于点 ， 轴于点 ， 四边形 是矩形，且 ，
为定点， 在线段上 运动， 当 时， 取得最小值，此时 最小，
， ， ， ，
由勾股定理得： ，
由三角形面积公式得： ， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
7．函数 ， 为常数， ，若 ，当 时，函数有最大值2，则 ．
【答案】
【分析】需要分类讨论： 和 两种情况，结合一次函数图象的增减性解答．
【详解】解：①当 即 时，当 时， ，整理，得 ．联立方程组： ．解得 ．
②当 即 时，当 时， ，整理，得 ．
联立方程组： ．解得 （舍去）．
综上所述， 的值是 ．故答案是： ．
【点睛】此题主要考查了一次函数 的性质：当 ， 随 的增大而增大，函数从左到右
上升；当 ， 随 的增大而减小，函数从左到右下降．
8．已知点 ，直线 与 轴交于点 ，在 轴上存在一点 ，使得 的值最小，则点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于 ，连接 ，此时 的值最小．求出直
线 的解析式即可解决问题；
【详解】解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于 ，连接 ，此时 的值最小．
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得到 ，
解得 ， 直线 的解析式为 ，
令 ，得到 ， ， ，故答案为 ， ．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
9．如图，已知正比例函数 的图象与 轴相交所成的锐角为 ，定点 的坐标为 ， 为
轴上的一个动点， 、 为函数 的图象上的两个动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图所示直线 、 轴关于直线 对称，直线 、直线 关于 轴对称，点 是点
关于直线 的对称点，作 垂足为 ，交 轴于点 ，交直线 于 ，作 直线
垂足为 ，此时 最小（垂线段最短），在 △ 中利用
勾股定理即可解决．
【详解】解：如图所示，直线 、 轴关于直线 对称，直线 、直线 关于 轴对称，点
是点 关于直线 的对称点．
作 垂足为 ，交 轴于点 ，交直线 于 ，作 直线 垂足为 ，
， ， 最小（垂线段最短），
在 △ 中， ， ， ，
， ．
的最小值为 ．故答案为 ．【点睛】本题考查轴对称 最短问题、垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的
关键是利用轴对称性质正确找到等 的位置，题目有点难度．
10．如图1，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）如图2，直线 交 轴负半轴于点 ，且 ， 为线段 上一点，过点 作 轴的平行线
交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 与 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下， 为 延长线上一点，且 ，在线段 上是否存在点 ，使 是
以 为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见详解
【分析】（1）利用待定系数法即可得到问题的答案；
（2）利用勾股定理得点 的坐标，设直线 解析式为 ，利用待定系数法得解析式，根据点
的位置可得答案；
（3）过点 作 于 ，根据 得 ，由全等三角形的性质得 ，
，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，根据矩形的判定与性质、等腰三
角形的性质可得 ，再由全等三角形的判定与性质可得 ，最后根据待定系数法可得答案．
【详解】解：（1） 交 轴于点 ， ， ，
直线 解析式为 ，令 ， ， ．
（2） ， ， ， ，
， ， ， 点 ，
设直线 解析式为 ， ， ， 直线 解析式为 ，
在直线 上， 可设点 ，
轴，且点 在 上， ，
（3）过点 作 于 ， ，
轴， ，
， ， ， ， ，
过点 作 于 ，过点 作 于点 ， ，
四边形 是矩形， ，可设 ，
是以 为斜边的等腰直角三角形， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ， ， ，， 即 ，
在直线 上， ，
， ， ， ， ．
【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性
质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
