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专题 43 统计大题专项训练（理科）
（核心考点精讲精练）
题型 一 、 求统计相关的基本量
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进
行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个
用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ，
．试验结果如下：
试验序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记 ，记 的样本平均数为 ，样本方差为 ．
(1)求 ， ；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否
则不认为有显著提高）
【答案】(1) ， ；
(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出 ，再得到所有的 值，最后计算出方差即可；
（2）根据公式计算出 的值，和 比较大小即可.
【详解】（1） ，
，
，
的值分别为: ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故
（2）由（1）知: ， ，故有 ,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产
品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1） ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显
著提高.
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1） ，
，
，
.
（2）依题意， ， ，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
3．（2019年全国统一高考数学试题（文科）（新课标Ⅲ））为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程
度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 两组，每组100只，其中 组小鼠给服甲离子溶液， 组
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算
出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 ”，根据直方图得到 的估计值为 .
（1）求乙离子残留百分比直方图中 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) ， ；(2) ， .
【分析】(1)由 及频率和为1可解得 和 的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】(1)由题得 ，解得 ，由 ，解得 .
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为
，
乙离子残留百分比的平均值为
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试题（新课标Ⅰ））从某企业生产的某种产品中抽
取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值 和样本方差 （同一组的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，
近似为样本方差 .
（i）利用该正态分布，求 ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位于区间
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的产品件数.利用（i）的结果，求 .
附：
若 则 ， ．
【答案】（I） ；（II）（i） ；（ii） ．
【详解】试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数
据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为 的点．均值为每个
矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）
由已知得，
，故 ；（ii）某用户从该企业购买
了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间 的
产品件数 ，故期望 ．
试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值 和样本方差 分别为
，
．
（II）（i）由（I）知， 服从正态分布 ，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为 ，依题意知
，所以 ．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的 原则；3、二项分布的期望．
5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试题（四川卷））我国是世界上严重缺水的国家，
某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准
（吨）、一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费.为了了解居民用水情
况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 ,
分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求直方图中 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使 的居民每月的用水量不超过标准 （吨），估计 的值，并说明理由.
【答案】（1） ；（2） 万；（3） .
【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、
解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；
第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，
计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x
的值.
试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，
0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.30．
（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12="36" 000．
（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，
解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
【考点】频率分布直方图
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、
解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为
1，这是解题的关键，也是识图的基础．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】题型 二 、 求概率（比赛问题）
1．（2020年全国统一高考数学试题（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定
赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空
者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至
其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的
概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概
率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 甲赢，记事件 丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于中等题.
2．（2019年全国统一高考数学试题（理科）（新课标Ⅱ））11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某
局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比
赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方
10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【答案】（1） ；（2）0.1
【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出 所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计
算出每种事件的概率并求和即可得出结果；
(2)本题首先可以通过题意推导出 所包含的事件为“前两球甲乙各得 分，后两球均为甲得分”，
然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知， 所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
(2)由题意可知， 包含的事件为“前两球甲乙各得 分，后两球均为甲得分”
所以
【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出 以及 所包含的事件是解决
本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．
3．（2024届贵州省高三适应性联考（一）数学试题）某校为丰富教职工业余文化活动，在教师节活动中
举办了“三神杯”比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，每一局比赛中甲组
获胜的概率为 ，且甲组最终获得冠军的概率为 （每局比赛没有平局）.
(1)求 ；
(2)已知冠军奖品为28个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如果比赛继续进
行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个篮球?
【答案】(1)
(2)甲组应获得21个篮球，乙获得7个篮球比较合理.
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式列式计算即可；
（2）先求出在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛的事件概率，即可求解.
【详解】（1）令事件 ：甲组在第 局获胜， .甲组胜的概率为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
解得 .
（2）由题意知，在甲组第一局获胜的情况下，甲组输掉比赛事件为：甲组接下来的比赛中连输两场，
即 ，即甲获胜的概率为 ，
故甲组、乙组应按照3：1的比例来分配比赛奖品，
即甲组应获得21个篮球，乙组获得7个篮球比较合理.
4．（2023届重庆市模拟数学试题）为提升教师的命题能力，重庆市第一中学定期举办教师命题大赛，大
赛分初赛和复赛，初赛共进行4轮比赛，4轮比赛命制的题目均可适用于高一，高二，高三年级，每轮比
赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解
答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，4轮比赛中，至少获得3次“优秀
奖”的教师将进入复赛．为了能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训
练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标
准．
(1)若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师
甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获得“优秀奖”的概率；
(2)若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，
经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化
训练前大 ，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？
【答案】(1)
(2)教师甲不能进入复赛
【分析】（1）考虑教师甲获得优秀奖的三种情况，分别计算概率相加得到答案.
（2）计算教师甲获得“优秀奖”的概率为 ，则 ， ，得到答案．
【详解】（1）设 为事件：“在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件 发生的所有情况有：
①符合入选标准的非解答题入选1道，解答题入选2道的概率为 ；
②符合入选标准的非解答题入选2道，解答题入选1道的概率为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③符合入选标准的非解答题，解答题各入选2道的概率为 ．
所以 ．
（2）强化训练后，每道非解答题入选的概率为 ，每道解答题入选的概率为 ，
则强化训练后，教师甲在一轮比赛中可获得“优秀奖”的概率为：
，
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行4轮比赛可看作4重伯努利试验．
用 表示教师甲在4轮比赛中获得“优秀奖”的次数，则 ．
，故教师甲不能进入复赛．
题型 三 、 求概率
1．（2023年北京高考数学真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价
格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用
“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天
中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)不变
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）计算表格中的 的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；
（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第 天的情况.
【详解】（1）根据表格数据可以看出， 天里，有 个 ，也就是有 天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这 天里，有 天上涨， 天下跌， 天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是 ，
， ，
于是未来任取 天， 天上涨， 天下跌， 天不变的概率是
（3）由于第 天处于上涨状态，从前 次的 次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 次，不变的
有 次，下跌的有 次，
因此估计第 次不变的概率最大.
2．（2023年内蒙古模拟理科数学试题）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学
科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招
生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学
科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知
甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每
门科目通过的概率均为 ，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ，其中 .
(1)若 ，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，
当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和二项分布的概率公式求解即可；
（2）该考生报考甲大学通过的科目数为 ，报考乙大学通过的科目数为 ，进而结合二项分布求解
，根据独立事件的乘法公式求解 的分布列及其期望，进而结合题意求解.
【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件 ，“该考生报考乙
大学恰好通过一门笔试科目”为事件 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据题意可得 ，
（2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为 ，报考乙大学通过的科目数为 ，
根据题意可知， ，所以， ，
，
，
.
则随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
，
若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以， 的取值范围是 .
3．（2022年全国新高考II卷数学试题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的
年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1) 岁；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，根据对立事件的概率公式 即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，所以
．
（3）设 “任选一人年龄位于区间[40,50)”， “从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类
第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
型
电影部
140 50 300 200 800 510
数
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得
到人们喜欢，“ ”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 ， ，
， ， ， 的大小关系．
【答案】(1) 概率为0.025
(2) 概率估计为0.35
(3) > > = > >
【详解】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有1
部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这
两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从0-1
分布，因此 ，即得 > > = > > ．
详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为 ．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（ ）=P（ ）+P（ ）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ） > > = > > ．
点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则 ，独立事件概率乘法公式:若A,B
相互独立，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））某公司为了解用户对其产品的满意
度，从A、B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 95 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分
散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评
低于70分 70分到89分 不低于90分
分
满意度等
不满意 满意 非常满意
级
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互
独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）0.44
【分析】（Ⅰ）根据调查数据和茎叶图的定义，可做出茎叶图，通过图中的数据的分散程度，可得结论；
（Ⅱ）事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，分为两种情况：第一种情况
是：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，同时“B地区用户满意度等级为不满意”；第二种情
况是“A地区用户满意度等级为非常满意”，同时“B地区用户满意度等级为满意”，分别求出其概率，
再运用概率的加法公式可得值；
【详解】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的如下
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户
满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
（Ⅱ）记 表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；
表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；
表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；
表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．
则 与 独立， 与 独立， 与 互斥， ．
．
由所给数据得 ， ， ， 发生的概率分别为 ， ， ， ．
故 ， ， ，
故 ．
【点睛】本题考查茎叶图和特征数，求互斥事件和独立事件的概率，关键在于将事件分成相互独立互斥事
件，分别求其概率，再运用概率的加法公式，属于中档题．
6．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））A，B，C三个班共有100名学生，为
调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.8
（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小
时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断
和 的大小.（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）40；（Ⅱ） ；（III） .
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据图表，结合分层抽样的抽样比计算C班的学生人数；
（Ⅱ）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由相互独立事件概率公式求解.
（Ⅲ）根据平均数公式进行判断即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意知，抽出的 名学生中，来自C班的学生有 名.根据分层抽样方法，C班的学生
人数估计为 .
（Ⅱ）设事件 为“甲是现有样本中A班的第 个人”， ，
事件 为“乙是现有样本中C班的第 个人”， ，
由题意可知， ， ； ， .
, , .
设事件 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，
.
因此
.
（Ⅲ） .
【考点】分层抽样、相互独立事件的概率、平均数
【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件
概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式
，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到
底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比
较简便.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）） ， 两组各有7位病人，他们服用
某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从 ， 两组随机各选1人， 组选出的人记为甲， 组选出的
人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当 为何值时， ， 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ） ，（Ⅲ） 或
【详解】试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为 ；如果 ，甲、
乙随机各取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为 ，
由于A组数据为10，11，12，13，14，15，16；B组数据调整为 ，12，13，14，15，16，17，或12，
13，14，15，16，17， ，由于 ， 两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以 或 .
试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率 ；
(Ⅱ) 如果 ，从 ， 两组随机各选1人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙共有49种取
法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），
（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率 .
(Ⅲ)把B组数据调整为 ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17， ，可见当 或
时，与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)
考点：1、古典概型；2、样本的方差
8．（2023届湖北省调研数学试题）中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解
析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为 ，
且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为 ．现甲乙
两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．
(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若甲抛掷 次，乙抛掷n次， ，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率 ，根据对称性可知则甲正面朝上次数大于
乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等可得答案；
（2）分①出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数；②出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数；③出
现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，由对称性可得答案．
【详解】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率 ，
，
由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率
相等，故 ；
（2）可以先考虑甲乙各抛赛n次的情形，
①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为 ，则第 次甲必须再抛掷出证明
朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数；
②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第 次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然不大于
乙正面朝上次数，将该情形概率设为 ；
③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第 次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然大于乙
正面朝上次数，将该情形概率设为 ，由对称性可知 ，
故 ，而由 ，
可得 ．
题型 四 、 离散型随机变量的分布列、期望及方差（比赛问题）
1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项
目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在
三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，
利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知， 的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知， 的可能取值为 ，所以，
,
，
，
.
即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 .
2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加
比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回
答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每
个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能
正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序
无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与
（1）类似，找出先回答 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
3．（2022年北京市高考数学试题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达
到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、
丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A,乙获得优秀为事件A，丙获得优秀为事件A
1 2 3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得9.80的概率为 ，
乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
4．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两
人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星
队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．
各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）分布列见解析，
【详解】试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和
互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量 的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】斥性，得到 的分布列，根据期望公式求解.
试题解析：
（Ⅰ）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，
由事件的独立性与互斥性，
,
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为 .
（Ⅱ）由题意，随机变量 的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
,
,
,
,
,
.
可得随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4 6
P
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以数学期望 .
【考点】独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和数学期望
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期
望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互
斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.
5．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.
(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；
(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为 ，求 的分布列、期望 和方差 .
【答案】(1) ；(2) 的分布列见解析，期望 为 ，方差 为 .
【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)结合题意写出 可能的取值，分别求出相应的概率即可
得到 的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.
【详解】(1)从袋中任取3个球，共有 种情况，若从袋中任取3个球中，恰好取到2个黄球共有 种，
故从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率为 ；
(2)由题意可知， 可能取值为，0，1，2，
， ， ，
故 的分布列如下表：
0 1 2
从而期望 ，
方差 .
6．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，
回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等
级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为 ，答错的概率为 ，回答完5个问题后，记甲上的台阶等级数为
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求 ；
（2）求 的分布列及数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【分析】（1）分析 时甲答对的问题数，然后根据独立重复试验的概率公式求解出 ；
（2）分析 的可取值，然后计算出每个 的取值对应的概率，由此得到 的分布列并计算出数学期望值.
【详解】当 时，则甲答对了 个问题，答错了 个问题，
所以 ；
（2）由题意可知， 的可取值有： ，
，
，
；
；
；
；
所以 的分布列为：
所以 .
题型 五 、 离散型随机变量的分布列、期望及方差
1．（2021年北京市高考数学试题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人
的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）① 次；②分布列见解析；期望为 ；（2） ．
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出 ，即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为 ，不在同一组的概率为 ，
则 .
2．（2023年安徽省模拟考试数学试题）网络购物相比于实体店购物更加方便、省时，成为大学生日常生
活中的购物新模式．某高校学生会分别随机抽取本校男、女学生各100人进行网络购物问卷调查，调查问
卷中有一项是“你每学年用于网购消费的金额”，经过数据整理，得到如下频数分布表：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】消费金额
男 6 19 27 28 16 4
性别
女 11 24 31 24 7 3
(1)试估计该高校学生网购消费金额低于900元的频率；
(2)以频率作为概率，若将每学年用于网购消费的金额不低于900元的学生称为“网购过度消费”，低于
900元的学生称为“非网购过度消费”，从该校“网购过度消费”的学生中随机抽取4名学生进一步了解
他们对网络购物的满意度，记抽到男生的人数为 ，求 的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）利用网购消费金额低于900元的学生人数与200的比值求出频率；
（2）先得到 ，利用二项分布知识求出分布列和期望.
【详解】（1）由题图可知，该高校学生网购消费金额低于900元的频率为：
；
（2）从该校“网购过度消费”的学生中，任取一名网购消费金额不低于900元的学生，该生是男生的概率
为 ，
随机抽取4名学生，抽到男生的人数为 ，易知 ，
， ， ，
， ，
的分布列为：
0 1 2 3 4
且 ．
3．（2024届陕西省联考模拟预测理科数学试题）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先
治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员
分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从
这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数 的分布列；
【答案】(1) ;(2)分布列见解析;
【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，进而可求解分布列.
【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为 ，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为 ；
（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．
； ； ．
所以分布列为：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
4．（2019年北京市高考数学试题（理科））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，
移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校
学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B
的学生的支付金额分布情况如下：
交付金额(元)
(0,1000] (1000,2000] 大于2000
支付方式
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000
元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发
现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)见解析.
【分析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；
(Ⅱ)首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.
(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.
【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为： 人，则：
该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率 .
(Ⅱ)由题意可知，
仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 ，金额大于1000的人数占 ，
仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 ，金额大于1000的人数占 ，
且X可能的取值为0,1,2.
， ， ，
X的分布列为：
X 0 1 2
其数学期望： .
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于
概率．
学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这
种现象可能是发生了“小概率事件”.
（答案不唯一，小概率事件发生也可认为是人数发生了变化）
【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列
的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.
5．（2019年天津市高考数学试题（理科））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天
数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分
布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，
故 ，从面 .
所以，随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .
且 .
由题意知事件 与 互斥，
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等
基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
6．某险种的基本保费为 （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次
0 1 2 3 4
数
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1.23．
【详解】试题分析：
试题解析：（Ⅰ）设 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件 发生当且仅当一年
内出险次数大于1，故
（Ⅱ）设 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 ”，则事件 发生当且仅当一年内出
险次数大于3，故
又 ，故
因此所求概率为
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为 ，则 的分布列为
因此续保人本年度的平均保费与
基本保费的比值为
【考点】条件概率，随机变量的分布列、期望
【名师点睛】条件概率的求法：
（1）定义法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝ ，求出P（B|A）；
（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的
基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；（2）求X取每
个值时的概率；（3）写出X的分布列；（4）由均值定义求出EX．
7．某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,
以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高
气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间 ,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求
量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高 [10, [15, [20, [25, [30, [35,
气温 15) 20) 25) 30) 35) 40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y
的数学期望达到最大值?
【答案】（1）详见解析；（2） .
【分析】（1）由题意知 的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列．
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑 ，根据
和 分类讨论．
【详解】解：（1）由题意知， 所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知
的分布列为
200 300 500
0.2 0.4 0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
当 时，若最高气温不低于25，则 ；
若最高气温位于区间 ，则 ；
若最高气温低于20，则
因此
当 时，若最高气温不低于20，则 ，
若最高气温低于20，则 ，
因此
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 时， 的数学期望达到最大值，最大值为520元．
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知某单位甲、乙、丙三个部门的员
工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；
（ii） ．
【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=
（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为 ．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为 ．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）= （k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望 ．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= ．
所以，事件A发生的概率为 ．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某
类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个
体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其
实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)
；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
9．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段
时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药
者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求 的
分布列和数学期望E（ ）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结
论）
【答案】（1）0.3（2）见解析（3）服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差.
【详解】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标 的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标 的值小于60的概率为 .
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标 的值大于1.7的有2人：A和C.
所以 的所有可能取值为0,1,2.
.
所以 的分布列为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0 1 2
故 的期望 .
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差.
【名师点睛】求分布列的三种方法：
（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；
（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随
机变量的分布列．
10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））在心理学研究中，常采用对比试验的
方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心
理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的
作用，现有6名男志愿者A ，A ，A ，A ，A ，A 和4名女志愿者B ，B ，B ，B ，从中随机抽取5人接受
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4
甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含 的频率．
1
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】（1） （2）见解析
【详解】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为M，计算即得
(II)由题意知X可取的值为： .利用超几何分布概率计算公式
得X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为
M，则
(II)由题意知X可取的值为： .则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望是 =
【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期
望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.
本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.
11．（2023届湖北省调研数学试题）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用
不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4
个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部
取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次
数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【答案】(1)
(2)6，答案见解析
【分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望 ；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为 和 ，利用独立事件概率公式求得
的概率，再由期望公式计算出期望 ，根据白球对取到黑球的影响说明期望的大
小关系．
【详解】（1）X可能取值为4，5，6，7，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为 和 ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，
所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
题型 六 、 统计基本量 + 离散型随机变量的分布列、期望及方差
1．（2023届新疆模拟考试数学（理）试题）“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，
意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你
生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生
的阅读时间，从该校随机抽取了 名学生进行调查，得到了这 名学生一周的平均阅读时间（单位：
小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)为进一步了解这 名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在 ， ， 三组内
的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 人，现从这 人中随机抽取 人，记周平均阅读时间在 内
的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取 名学生，用 表示这 名学生中恰有 名学
生周平均阅读时间在 内的概率，其中 ．当 最大时，写出 的值．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；数学期望
(3)
【分析】（1）根据频率和为 ，可构造方程求得 的值；
（2）根据分层抽样原则可确定 人中，周平均阅读时间在 ， ， 的人数，则可确定
所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得 每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期
望公式可求得期望值；
（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在 内的概率，利用二项分布概率公式可表示出
，由此可确定结果.
【详解】（1） ， .
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在 ， ， 三组的频率之比为
，
人中，周平均阅读时间在 的人数为 人；在 的人数为 人；在
的人数为 人；
则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
数学期望 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取 名学生，周平均阅读时间在 内的概率
；
则 ，
若 最大，则 最大， 当 时， 取得最大值.
2．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有Ⅳ人参加，现将所有参加者按年龄
情况分为 ， ， ， ， ， ， 等七组，其频率分布直方图如
图所示，已知 这组的参加者是6人．
（1）根据此频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数；
（2）已知 和 这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组
的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率；
（3）组织者从 这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤
保障工作，其中女教师的人数为 ，求 的分布列和均值．
【答案】（1）35；
（2） ；
（3）见解析.
【分析】（1）先求出频率分布直方图中 矩形的高，使左右面积相等的垂直于x轴的直线所对应的
横坐标即为这个频率分布直方图的中位数．
（2）先分别求出这两组的总人数，再分两种情况去讨论，最后把得到的两个概率相加即可．
（3）超几何分布，X可能的值为1,2,3，分别求出相应的概率，列出分布列，再求均值．
【详解】（1）设矩形在 的高为 ，
∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .
由 ，
∴中位数为35.
（2）记事件 为“从年龄在 和 之间选出的2人中恰有1名数学教师”，
∵年龄在 之间的人数为8，年龄在 之间的人数为6，
.
（3）年龄在 之间的人数为6人，其中女教师4人，
∴ 的可能取值为1，2，3，
∵ ，
，
，
∴ 的分布列为：
1 2 3
.
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列和数学期望．
3．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额
外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决
策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损
零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求 ，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应选用哪个？
【答案】（1）见解析.
（2）见解析.
（3）见解析.
【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求
出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）= ，P（X≤19）= ．由此能确定满足P（X≤n）≥0．
5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额
外购买的费用，分别求出 时，费用的期望和当 时，费用的期望，从而得到买19个更合适．
【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11
的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而
；
；
；
；
；
；
．
所以 的分布列为
16 17 18 19 20 21 22
（2）由（1）知 ， ，故 的最小值为19．
（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.
当 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；
当 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.
可知当 时所需费用的期望值小于 时所需费用的期望值，故应选 ．
考点：离散型随机变量及其分布列
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．北京冬奥会期间，志愿者团队“Field Cast”从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100
人的年龄进行统计分析（抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内），经统计得出女运动员的年龄频率分布
直方图（图1）和男运动员的年龄扇形分布图（图2）．
回答下列问题：
(1)求图1中的a值；
(2)利用图2，估计参赛男运动员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)用分层抽样方法在年龄区间为[16，24）周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取4人；再从这9人
中随机抽取3人，记这3人中年龄低于20周岁运动员的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)26.8周岁．
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；
（2）根据饼形图得到各年龄区间的频率，再根据平均数公式计算可得；
（3）首先求出男、女运动员年龄在区间 和 各抽取的人数，则 的可能取值为 ，求出
所对应的概率，即可得到 的分布列与数学期望；
【详解】（1）解：依题意得： ，解得 ；
（2）解：用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，
由图2可知：年龄区间为 的频率分别为
，
所以参赛男运动员的平均年龄估值为：
即男运动员的平均年龄估值为26.8周岁．
（3）解：由图1可知，年龄区间为 周岁的女运动员有 人，年龄区间为 周
岁的女运动员有 人，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图2可知：年龄区间为 和 周岁的男运动员分别有10人和30人，
用分层抽样女运动员年龄在区间 和 应分别抽取2人与3人，
男运动员年龄在区间 和 应分别抽取1人和3人．
所以抽取的9人中年龄在区间 的有3人，在 的有6人，
所以 的可能取值为 ，所以
．
所以 的分布列为：
所以
5．（2023届四川省模拟理科数学试题）某地区为深入贯彻二十大精神，全面推进乡村振兴，进一步优化
农产品结构，准备引进一条农产品加工生产线．现对备选的甲、乙两条生产线进行考察，分别在甲、乙两
条生产线中各随机抽取了 件产品，并对每件产品进行评分，得分均在 内，制成如图所示的频
率分布直方图，其中得分不低于 产品为“优质品”．
(1)求在甲生产线所抽取 件产品的评分的均值（同一区间用区间中点值作代表）；
(2)将频率视作概率，用样本估计总体．在甲、乙两条生产线各随机选取 件产品，记“优质品”件数为 ，
求 的分布列和数学期望
【答案】(1)91.75分
(2)分布列见解析，
【分析】（1）用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（频率）的乘积之和估计均值即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由相互独立事件的概率求出 每个取值的概率，再求数学期望即可.
【详解】（1）甲生产线抽取 件产品中，评分在 ， ， ， ， 的频率
分别为 ， ， ， ， ．
则评分均值为 ．
∴甲生产线抽取 件产品的评分的均值为 分．
（2）由频率分布直方图知，甲生产线抽取到“优质品”的频率为 ，
乙生产线抽取到“优质品”的频率为 ，
∴将频率视作概率，用样本估计总体．甲、乙生产线抽取到“优质品”的概率分别为 ， ，
在甲、乙两条生产线各随机选取 件产品，记“优质品”件数为 ，则 .
则 ；
；
；
；
．
则 的分布列为
故 的数学期望为 ．
题型 七 、 回归方程
1．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为
估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）
和材积量（单位： ），得到如下数据：
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得 ．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．已
知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ．
【答案】(1) ； ；
(2) ；
(3) ；
【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木
平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估
计值．
【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ，
平均一棵的材积量为
（2）
则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得 ，解之得 ．
则该林区这种树木的总材积量估计为
2．（2020年全国统一高考数学试题（文科）（新课标Ⅱ））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改
善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些
地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和
yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ，
， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， .
【答案】（1）
（2）
（3）详见解析
【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式 计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】（1）样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本 (i=1，2，…，20)的相关系数为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，
是一道容易题.
3．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））下图是我国2008年至2014年生
活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据： ， ，
， ≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数 的公式求出相关数据后，代入公式即可求得 的值，最后根据
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立 关于 的回归方程，然后预测．
试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
， ， ，
，
.
因为 与 的相关系数近似为0.99，说明 与 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的
关系.
（Ⅱ）由 及（Ⅰ）得 ，
.
所以， 关于 的回归方程为： .
将2016年对应的 代入回归方程得： .
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．
【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；
（2）将相关数据代入相关系数 公式求出 ，然后根据 的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照
公式求解，并一定要注意计算的准确性．
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））某公司为确定下一年度投入某种产
品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，
对近8年的年宣传费 和年销售量 （ =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计
量的值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中 ， =
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 , ，……， ,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）（ⅰ） ；（ⅱ）46.24
【详解】（Ⅰ）由散点图可以判断， 适合作为年销售 关于年宣传费用 的回归方程类型.
（Ⅱ）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于 = ，
∴ =563-68×6.8=100.6.
∴ 关于 的线性回归方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 关于 的回归方程为 .
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 =49时，年销售量 的预报值
=576.6，
年利润的预报值 .
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当 = ，即 时， 取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.
5．（2023届广东省二模数学试题）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，
为了调查年技术创新投入 （单位：千万元）对每件产品成本 （单位：元）的影响，对近 年的年技术
创新投入 和每件产品成本 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： ，
， ， ， .
(1)根据散点图可知，可用函数模型 拟合 与 的关系，试建立 关于 的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额 （单位：千万元）与每件产品成本 的关系为 .该
企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术
创新投入 为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据 、 、 、 ，其回归直线 的斜率和截距的最小乘估
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】计分别为： ， .
【答案】(1)
(2)当年技术创新投入为 千万元时，年利润的预报值取最大值
【分析】（1）令 ，可得出 关于 的线性回归方程为 ，利用最小二乘法可求出 、 的
值，即可得出 关于 的回归方程；
（2）由 可得 ，可计算出年利润 关于 的函数关系式，结合二次函数的基本性质
可求得 的最小值及其对应的 值.
【详解】（1）解：令 ，则 关于 的线性回归方程为 ，
由题意可得 ，
，则 ，
所以， 关于 的回归方程为 .
（2）解：由 可得 ，
年利润
，
当 时，年利润 取得最大值，此时 ，
所以，当年技术创新投入为 千万元时，年利润的预报值取最大值.
6．学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的“自主学习”，包括预习，复习，
归纳整理等等，现在人们普遍认为课后花的时间越多越好，某研究机构抽查了部分高中学生，对学生花在
课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下统计数据，请根据表格回答
问题：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x 60 70 80 90 100 110 120 130
y 92 109 114 120 119 121 121 122
(1)请根据所给数据绘制散点图，并且从以下三个函数从① ；② ：③
三个函数中选择一个作为学习时间x和平均y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说
明理由；
(2)根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；
(3)请根据此回归方程，阐述你对学习时长和成绩之间关系的看法．
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ．
参考数据：
【答案】(1)散点图见解析， 最合适
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据所给数据可得散点图，根据散点图可得函数模型；
（2）由（1）中模型可得 ，设 ， ，则 ，利用公式可求后者，从而
得到前者；
（3）根据回归方程可得相应的看法.
【详解】（1）散点图如图所示：
由图象可知 最合适.
（2）对 两边取以 为底的对数可得 ，
设 ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
， ，
故 即 ，
.
（3）此回归方程为关于时间的增函数，说明随着学习时间的增加，学习成绩是提高的，但是函数的增速
先快后慢，说明如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到120分左右
时，想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法.
7．（2023届高三冲刺卷（二）全国卷-理科数学试题）下面两个图分别是2016年-2020年中国家庭平均每
百户汽车拥有量和居民人均可支配年收入柱状图，为了分析居民家庭平均每百户汽车的拥有量与居民人均
可支配全年总收入的关系，根据这两个图，绘制每百户汽车拥有量y（单位：辆）与人均可支配收入x（单
位：万元）的散点图.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.82 32.56 0.46 5.27
附：线性回归模型 中， ， .
(1)由其散点图可以看出，可以用线性回归模型 拟合每百户拥有汽车量 关于人均可支配收入 的
关系，请建立 关于 的回归方程；
(2)如果从2020年开始，以后每年人均可支配年收入以6%的速度增长，当每百户汽车拥有量达到50辆时，
求每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度.
（附： ， ， ， ， ，
， ， .）
【答案】(1) ；
(2)每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度为 .
【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式计算作答.
（2）利用回归方程估计每百户汽车拥有量达到50辆时，人均可支配收入，进而求出对应的年限，再估算
增长速度作答.
【详解】（1）依题意， ， ，
所以y关于x的回归方程为 .
（2）当 时， ，则 ，而2020年人均年可支配收入为3.2189万元，
则 ， ，
于是2026年每百户汽车拥有量可以达到50辆，
从2020年起，设每百户汽车拥有量平均每年的增长速度为 ，
则 ， ， ，由 ，得 ，
所以每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度为 .
8．当前，短视频行业异军突起，抖音､快手､秒拍等短视频平台吸引了大量流量和网络博主的加入.红人榜
的数据推出是体现各平台 网络博主商业价值的榜单，每周一期，红人榜能反应最近一周 网络的
综合价值，以粉丝数､集均评论､集均赞，以及集均分享来进行综合衡量，红人榜单在统计时发现某平台一
网络博主的累计粉丝数 (百万)与入驻平台周次 (周 之间的关系如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，数据经过初步处理得： ，
， .(其中 ， 分别为观测数据中的周次和累计粉丝数)
（1）求出 关于 的线性回归模型 的相关指数 ，若用非线性回归模型 求得的相关
指数 ，试用相关指数 判断哪种模型的拟合效果较好(相关指数越接近于1，拟合效果越好)
（2）根据（1）中拟合效果较好的模型求出 关于 的回归方程，并由此预测入驻平台8周后，对应的累
计粉丝数 为多少？
附参考公式：相关指数 ， ， .参考数据： .
【答案】（1） ， 的拟合效果较好；（2） ，累计粉丝数 万.
【解析】（1）由已知求得 ，与 比较大小得结论；
（2）由已知数据求得 与 的值，可得 关于 的线性回归方程，取 求得 值即可.
【详解】（1）由已知可得 ，
，
， 的拟合效果较好；
（2）由题意， ， .
， .
回归方程为 .
当 时， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】预测入驻平台8周后，对应的累计粉丝数 为25.6百万 万.
【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题.
9．（2023年江苏省模拟数学试题）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了
一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体
中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用x表示注射疫苗后的天数，y表示人体中抗体含量水
平（单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示.
天数x 1 2 3 4 5 6
抗体含量水平y 5 10 26 50 96 195
根据以上数据，绘制了散点图.
(1)根据散点图判断， 与 （a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关
系的回归方程类型？（给出到断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水
平值；
(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取3天的数据作进一步的分析，求其中的y值小于50的天数
X的分布列及数学期望.
参考数据：其中 .
3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87
参考公式：； ， .
【答案】(1) 更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型
(2) ，该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为 miu/mL
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据散点图与方程的性质，可得答案；
（2）根据求回归直线方程的公式，将（1）中的回顾方程，整理，可得答案；
（3）根据题意，按照离散型分布列的步骤，写出分布列，利用均值公式，可得答案.
【详解】（1）根据散点图判断， 更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型.
理由：方程 表示的是直线，而方程 表示的是曲线，散点图表示的是曲线.
（2） ， ，设 ，则有 ，
， ，
，所以y关于x的回归方程为 .
当 时， ，
则该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为 miu/mL.
（3）由表中数据可知，前三天的 值小于50，故 的可能取值为0，1，2，3.
， ， ， ，
故 的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望 .
题型 八 、 统计基本量 + 独立性检验
1．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产
任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20
人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间
（单位：min）绘制了如下茎叶图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工
人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：
，
0.01
0.050 0.001
0
6.63
3.841 10.828
5
【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析;
（2）80;
（3）能;
【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．
（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．
（3）由公式计算出 ，再与6.635比较可得结果．
详解：（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用
第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率
更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生
产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大
致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对
称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式
完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率
更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知 .
列联表如下：
超过
不超过
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
（3）由于 ，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考查学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．
2．（2023届河南省押题信息卷（一）文科数学试题）某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对
顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中
选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比值为 ，商家认为一年以内（含一年）更换手机
为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按照性别采用分层抽样的方法随机抽取105人，并按性别
分为两组，得到如下表所示的频数分布表：
时间间隔
（月）
男性 8 9 19 12 8 4
女性 2 5 12 11 7 2
(1)计算表格中 的值；
(2)请根据频率分布表填写 列联表，并判断是否有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”？
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】频繁更换手
未频繁更换手机 合计
机
男性顾客
女性顾客
合计
附表及公式：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
，其中 ．
【答案】(1)
(2)表格见解析，没有
【分析】（1）根据男性顾客和女性顾客的比值、分层抽样的知识求得 .
（2）根据已知条件填写 列联表，计算 的值，由此作出判断.
【详解】（1）由题知男性顾客共有 人，女性顾客共有 人，
按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客 人，女性顾客 人；
所以 ．
（2）由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有20人，女性顾客中频繁更换
手机的有10人，据此可得 列联表：
频繁更换手
未频繁更换手机 合计
机
男性顾客 20 43 63
女性顾客 10 32 42
合计 30 75 105
所以 ．
因为 ，所以没有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.
2．（2023届四川省调查研究考试数学（理）试题）某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：
一般 良好 合计
男 20 100 120
女 30 50 80
合计 50 150 200
(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
(2)该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案.方案一：按原价的8折销售；方案二：
顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠
券的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠.已知该产品原价为260（元/件）.
顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你认为顾客甲选择哪种购买方案
较为合理？
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中 ， .
【答案】(1)有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系
(2) 元，选择方案二较为合理
【分析】（1）根据公式求出 ，再对照临界值表即可得出结论；
（2）设甲顾客按方案二购买一件产品需要出 元，写出 的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望
公式求出期望即可，再求出选择方案一所需的金额，即可得出结论.
【详解】（1） ，
所以有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系；
（2）若甲顾客按方案二购买一件产品，设需要出 元，则 可取 ，
，所以 （元），
所以顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付 元，
若甲顾客按方案一购买一件产品，则需要 （元），
因为 ，所以顾客甲选择方案二购买较为合理.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】题型 九 、 求概率 + 独立性检验
1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每
天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
[0，200] (200，400] (400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握
认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次
人次>400
≤400
空气质量好
空气质量不
好
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为 、 、 、 的概率分别为 、 、 、 ；
（2） ；（3）有，理由见解析.
【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为 、 、 、 的概率；
（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 列联表，计算出 的观测值，再结合临界值表可得结论.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 的概率为 ，等级为 的概
率为 ，等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3） 列联表如下：
人次 人次
空气质量好
空气质量不
好
，
因此，有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能
力，属于基础题.
2．（2022年全国新高考I卷数学试题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯
（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），
同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii) ；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)
根据（i）结合已知数据求 .
【详解】（1）由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为 ，
所以
所以 ，
(ii) 由已知 ， ，
又 ， ，
所以
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二
级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级
二级品 合计
品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）75%；60%；（2）能.
【分析】根据给出公式计算即可
【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 ,乙机床生产的产品中的一级品的频率为
.
（2） ,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品
质量有差异.
4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））海水养殖场进行某水产品的新、
旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其
频率分布直方图如下：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产
量不低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量≥50
箱产量＜50 kg
kg
旧养殖法
新养殖法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附： ，
【答案】(1) ；
(2)列联表见解析，有；
(3) .
【分析】（1）利用相互独立事件概率公式即可求得事件A的概率估计值.
（2）写出列联表计算 的观测值，即可确定有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）结合频率分布直方图估计中位数为 ．
【详解】（1）记 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 ” ， 表示事件“新养殖法的箱产量不低于
” ，
旧养殖法的箱产量低于 的频率为 ，
即 的估计值为0.62，
新养殖法的箱产量不低于 的频率为 ，
即 的估计值为0.66，
因此事件A的概率估计值为 .
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
箱产量 箱产量 合计
旧养殖
62 38 100
法
新养殖
34 66 100
法
合计 96 104 200
，
所以有 的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 的直方图面积为
，
箱产量低于 的直方图面积为 ，
所以新养殖法箱产量的中位数的估计值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5． 央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下 春晚现场表
演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺
到衣服内.
（1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有 材
料、 材料供选择，研究人员对附着在 材料上再结晶做了 次试验，成功 次；对附着在 材料上再结
晶做了 次试验，成功 次.用二列联表判断：是否有 的把握认为试验是否成功与材料 和材料
的选择有关？
材料 材料
成功
不成功
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及 胶层；②石墨烯层；③
银浆线路；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为 ，每个环节不合格需要修复的费用均
为 元；第四环节生产合格的概率为 ，此环节不合格需要修复的费用为 元，问：一次生产出来的石
墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
附： ，其中 .
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【分析】（1）补全二联表，求出 下结论即可；（2）设 为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的
修复费用，写出X的可能取值，求概率进而求得期望即可
【详解】（1）列表
材
材料 合计
料
成功
不成
功
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】合计
没有 把握认为实验是否成功与材料 和材料 的选择有关．
（2）设 为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0，100，200，300，
400，500，600，700，计算概率：
【点睛】本题考查独立性检验，离散型随机变量的均值，准确列出二联表，准确计算各随机变量的概率是
关键，是基础题
6．（2023届河南省二模理科数学试题）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业
合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已
知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定
对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上
（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．
“编织巧 非“编织巧
总计
手” 手”
年龄 40岁 19
年龄 40岁 10
总计 40
(1)请完成答题卡上的 列联表，并判断能否有 的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；
(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”
的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中
恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有 的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；(2) .
【分析】（1）根据题意填写列联表，再由卡方公式计算，对比临界值表即可；
（2）根据分层抽样可得在40周岁以上（含40周岁）的有2人，年龄在40周岁以下的有4人，由组合数
公式结合古典概型的计算公式求解.
【详解】（1）年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，
年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．
列联表如下：
“编织巧 非“编织巧
总计
手” 手”
年龄
19 5 24
岁
年龄
6 10 16
岁
总计 25 15 40
由题中数据可得 ，
因为 ，所以有 的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关．
（2）由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的有2人，年龄在40周岁以下的有4人．
从这6人中随机抽取2人的情况有 种，
其中符合条件的情况有 种，
故所求概率 ．
题型 十 、 离散型随机变量的分布列、期望 + 独立性检验
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023年全国甲卷理数真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其
中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白
鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如
下列联表：
对照
组
实验
组
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加
量有差异．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i） ；列联表见解析，（ii）能
【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得 ，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【详解】（1）依题意， 的可能取值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ，
所以 的分布列为：
故 .
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位
与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为 ，第21位数据为 ，
所以 ，
故列联表为：
合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由（i）可得， ，
所以能有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
2．（2023届广东省二模数学试题）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，
目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年
轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:
飞盘运动
性别 合计
不爱好 爱好
男 6 16 22
女 4 24 28
合计 10 40 50
(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人
访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)依据小概率值 的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论
还一样吗？请解释其中的原因.
附: ，其中 .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；
(2)先求 再根据数表对应判断相关性即可，对比两次 的值可以得出结论说明原因.
【详解】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ，
按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人.
随机变量 的取值为: .
,
,
随机变量 的分布列为
随机变量 的数学期望 .
（2）零假设为 :爱好飞盘运动与性别无关联.
根据列联表重的数据，经计算得到
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为爱好
飞盘运动与性别无关联.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.
所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断
结论发生了变化.
3．（2023年四川省模拟数学理科试题）跑腿服务是随即时物流发展出现的非标准化服务，省时省力是消
费者使用跑腿服务的主要目的，随着消费者即时需求和节约时间需求的提升，跑腿经济的发展空间有望逐
步扩大，某跑腿服务公司随机统计了800名不同年龄消费者每月的跑腿服务使用频率得到如下频数分布表：
每月1次 50 40 40 90
每月2～4次 80 80 100 60
每月5～10次 60 75 56 47
每月10次以上 10 5 4 3
(1)若把年龄在 内的人称为青年，年龄在 内的人称为中年，每月使用跑腿服务低于5次的为使
用频率低，不低于5次的为使用频率高，补全下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为跑腿服务
的使用频率高低与年龄有关?
青
中年 合计
年
使用频率高
使用频率低
合计
(2)从样本中每月使用跑腿服务2～4次且年龄在 内的消费者中按照年龄段利用分层抽样的方法抽取8
人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 与 内的人数分别为X、Y，若 ，
求 的分布列与数学期望.
参考公式： ，其中
附：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有；(2)分布列见解析， .
【分析】（1）根据给定数表完善 列联表，再计算 的观测值并与临界值表比对作答.
（2）求出8人中两个年龄段的人数，求出 的可能值及各个值及各个对应的概率，列出分布列并求出期望
作答.
【详解】（1）补全的 列联表如下：
青
中年 合计
年
使用频率高 150 110 260
使用频率低 250 290 540
合计 400 400 800
所以 ，
所以有99%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在 ， 内的人数分别为5，3，
依题意， 的所有可能取值分别为为1，3，
所以 ，
，
所以 的分布列为：
1 3
P
所以 的数学期望为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023-2024学年吉林省摸底考试数学试题）吉林省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“
”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择且只能选择一个科目．某校高一年级
有2000名学生（其中女生900人），该校为了解高一年级学生对物理、历史的选科情况，采用比例分配的
分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，其中选择历史的男生有40人，选择物理的女生有30人．
(1)利用以上信息完成下面的 列联表，根据小概率值 的独立性检验，能否认为学生性别与选择
科目有关？
选择历
性别 选择物理 总计
史
男生
女生
总计
(2)某个外语学习小组共有7人，其中有3人选择了历史，4人选择了物理，随机抽取4人进行对话练习，
用 表示抽中的4人中，选择历史的同学人数，求 的分布列及期望．
附： ，其中
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析；能认为学生性别与选择科目有关；(2)分布列见解析； ；
【分析】（1）根据分层抽样得到抽取男生和女生的人数，进而得到列联表，求出 的值比较即可；
（2）根据排列组合的知识求出 各值时的概率即可，写出分布列，求出期望即可.
【详解】（1）根据采用比例分配的分层抽样得其中抽取男生的人数为 人，则抽取女生人
数为 人，则列联表如下：
选择历
性别 选择物理 总计
史
男生 70 40 110
女生 30 60 90
总计 100 100 200
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】能认为学生性别与选择科目有关；
（2） 可能取值为 ， ， ， ，
，
，
则 的分布列如：
.
5．（2024届四川省适应性考试（零诊）理科数学试题）第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月
8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，
绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷
购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就
是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：
无兴
有兴趣 合计
趣
男性运动员 80 40 120
女性运动员 40 40 80
合计 120 80 200
(1)是否有 的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；
(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名
运动员中男性有 名，求 的分布列与数学期望．
参考公式：
临界值表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)没有 的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关；(2)分布列见解析，期望为2；
【分析】（1）根据卡方的计算即可求解，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列.
【详解】（1）由已知
故没有 的把握认为“外国运动员对店装感兴趣与性别有关”
（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，则其中男性运动员4名，
女性运动员2名，则
的分布列如下表
1 2 3
6．（2023年辽宁省适应性测试（一）数学试题）某超市为了解顾客是否购买某件商品与该商品的摆放位
置的相关性，做了下面的试验：在第一个月内，将该商品摆放在收银台附近的位置，随机抽查200名顾客，
有40名顾客购买该商品：在第二个月内，将该商品摆放在距离收银台较远的柜架上，随机抽查200名顾客，
有20名顾客购买该商品.
(1)填写下面的 列联表，是否有99%的把握认为顾客是否购买该商品与摆放在收银台的距离远近有关?
购买人数 未购人数 合计
商品摆放在收银台附近
商品摆放在距离收银台较远的柜架
上
合计
(2)为了进一步调查顾客的购买情况，从两个月内购买该商品的顾客中按分层抽样抽取6人，再从这6人中
随机抽取3人进行电话回访，记抽到的3人中在第二个月内购买该商品的人数为X，求X的分布列和数学
期望.
附：
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意完成列联表即可，根据公式求出 ，再对照临界值表即可得出结论；
（2）根据分层抽样的定义分别求出两个月中所抽的人数，写出随机变量的可能取值，求出对应概率，即
可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【详解】（1）补充完整的 列联表如下：
购买人数 未购人数 合计
商品摆放在收银台附近 40 160 200
商品摆放在距离收银台较远的柜架
20 180 200
上
合计 60 340 400
所以 ，
故有99%的把握认为顾客购买该商品与摆放在收银台的距离远近有关；
（2）由题意，抽取人数中第一个月有 （人），第一个月有 （人），
则随机变量 可取 ， ， ， ，
所以分布列如下表：
X 0 1 2
P
所以 .
7．（2023届四川省模拟考试数学（理）试题）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛
（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生
课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100
名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足
不喜欢足球 合计
球
男生 40
女生 30
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】合计
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有 的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为 ，
女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附： .
【答案】(1)表格见解析，有
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）根据题意，得到 列联表，求得 ，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量的可能的取值，求得相应的概率得到分布列，利用期望公式，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，得到 列联表如下：
喜欢足
不喜欢足球 合计
球
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
可得 ，
所以有 的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）解：由题意， 人进球总次数 的所有可能取值为 ，
可得 ， ，
，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的数学期望为 .
8．（2023届浙江省名校联盟联考数学试题）“体育强则国家强，国运兴则体育兴”，多参加体育运动能
有效增强中学生的身体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运动，为调查喜爱运动项目与性别之间
的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中
喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.
(1)根据以上数据，填空下述 列联表：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
(2)根据以上数据，能否有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关?
(3)现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人发放礼品，
求这3人中在甲组中的人数 的概率分布列及其数学期望.
参考公式： ，其中 为样本容量.
参考数据：
0.50 0.05 0.01
0.455 3.841 6.635
【答案】(1)列联表见解析；(2)有95%的把握；(3)分布列见解析， ；
【分析】(1) 根据已知条件填 列联表;
(2) 计算 ,与表格数据比较 ,判断即可;
(3) 先应用分层抽样确定男女生人数，再应用古典概型计算概率，列出分布列，再求出数学期望.
【详解】（1） 列联表
甲组 乙组 合计
男生 18 32 50
女生 30 20 50
合计 48 52 100
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）零假设为 ：学生选排球还是篮球与性别无关
由 列联表可得
；
有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.
（3）按分层抽样，甲组中女生3人，乙组中女生2人
， ，
∴概率分布列为
1 2 3
数学期望 .
题型 十一 、 概率与函数、导数、数列等知识的综合应用
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此
人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次
投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医
学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率 ％时，求临界值c和误诊率 ；
(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最小值．
【答案】(1) ， ；
(2) ，最小值为 ．
【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出 ，再根据第二个图求出 的矩形面积即可解出；
（2）根据题意确定分段点 ，即可得出 的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
．
（2）当 时，
；
当 时，
,
故 ，
所以 在区间 的最小值为 ．
3．（2024届浙江省名校联盟新高考研究卷（全国I卷）数学试题（二））全民健身是全体人民增强体魄､
健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调
研，得到如下数据：
每周健身次
1次 2次 3次 4次 5次 6次及6次以上
数
男 4 6 5 3 4 28
女 7 5 8 7 6 17
附： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成 列联表，根据小概率值 的独
立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？
(2)假设杭州市民小红第一次去健身房 健身的概率为 ，去健身房 健身的概率为 ，从第二次起，若
前一次去健身房 ，则此次不去 的概率为 ；若前一次去健身房 ，则此次仍不去 的概率为 .记第
次去健身房 健身的概率为 ，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大？
【答案】(1) 列联表见解析，“喜欢健身”与“性别”无关
(2)第10次去 健身房健身的概率更大
【分析】（1）先绘制 列联表，计算 的值，从而确定正确答案.
（2）根据全概率公式、递推关系求得 ，从而求得 ，由此确定正确答案.
【详解】（1）依题意， 列联表如下：
喜欢健
不喜欢健身 合计
身
男
女
合计
，
所以“喜欢健身”与“性别”无关.
（2）依题意， ，当 时， ，
则 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以第10次去 健身房健身的概率更大.
4．（2021年全国新高考II卷数学试题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微
生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是
相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得 .
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 及极值点的范围可得 的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
5．（2019年全国统一高考数学试题（理科）（新课标Ⅰ））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，
希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．
对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当
其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为
了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，
乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都
未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ，
， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） .
【分析】（1）首先确定 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）
（i）求解出 的取值，可得 ，从而整理出符合等比数列定义的
形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合 和 的值可求得 ；
再次利用累加法可求出 .
【详解】（1）由题意可知 所有可能的取值为： ， ，
； ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 的分布列如下：
（2） ，
， ，
（i）
即
整理可得：
是以 为首项， 为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
， ，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲
药更有效的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公
式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对
学生分析和解决问题能力要求较高.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
