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专题 42 统计大题专项训练（文科）
（核心考点精讲精练）
题型一、用样本估计总体
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进
行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个
用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ，
．试验结果如下：
试验序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记 ，记 的样本平均数为 ，样本方差为 ．
(1)求 ， ；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否
则不认为有显著提高）
【答案】(1) ， ；
(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出 ，再得到所有的 值，最后计算出方差即可；
（2）根据公式计算出 的值，和 比较大小即可.
【详解】（1） ，
，
，
的值分别为: ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故
（2）由（1）知: ， ，故有 ,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产
品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1） ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显
著提高.
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1） ，
，
，
.
（2）依题意， ， ，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2019年全国统一高考数学试题（文科）（新课标Ⅱ））某行业主管部门为了解本行业中小企业的生
产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布
表.
的分
组
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（精确到0.01）
附： .
【答案】(1) 增长率超过 的企业比例为 ，产值负增长的企业比例为 ；（2）平均数 ；标准
差 .
【分析】(1)本题首先可以通过题意确定 个企业中增长率超过 的企业以及产值负增长的企业的个
数，然后通过增长率超过 的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；
(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果．
【详解】(1)由题意可知，随机调查的 个企业中增长率超过 的企业有 个，
产值负增长的企业有 个，
所以增长率超过 的企业比例为 ，产值负增长的企业比例为 ．
(2)由题意可知，平均值 ，
标准差的平方：
，
所以标准差 ．
【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题
中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题．
4．（2019年全国统一高考数学试题（文科）（新课标Ⅲ））为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 两组，每组100只，其中 组小鼠给服甲离子溶液， 组
小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算
出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 ”，根据直方图得到 的估计值为 .
（1）求乙离子残留百分比直方图中 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) ， ；(2) ， .
【分析】(1)由 及频率和为1可解得 和 的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】(1)由题得 ，解得 ，由 ，解得 .
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为
，
乙离子残留百分比的平均值为
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
5．（2019年北京市高考数学试题（文科））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，
移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校
所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使
用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现
他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于
2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】（Ⅰ）400人；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；
(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；
(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.
【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，
由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，
所以样本中两种支付方式都使用的有 ，
所以全校学生中两种支付方式都使用的有 （人）.
（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，
所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为 ，
因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，
依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于
2000元的人数有变化，且比上个月多.
【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
6．（2019年天津市高考数学试题（文科））2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女
教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、
青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的
享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如下
表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
A B C D E F
项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
【答案】（I）6人，9人，10人；（II）（i）见解析；（ii） .
【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概
率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
, , , ,
共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , ,
, ,共11种，
所以，事件M发生的概率 .
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公
式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
7．某险种的基本保费为 （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其
上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次
0 1 2 3 4
数
保费
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4
频数 60 50 30 30 20 10
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估
计值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
【答案】（I） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1.1925a．
【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P
（A）的估计值；
（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后
求P（B）的估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
【详解】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝
110，该险种的200名续保，
P（A）的估计值为： ；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数
为：30+30＝60，P（B）的估计值为： ；
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为
1.1925a．
【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．
8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））从某企业生产的某种产品中抽取
100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分
[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
组
频数 6 26 38 22 8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要
占全部产品的80%”的规定？
【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量
指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
【详解】（1）直方图如图，
（2）质量指标值的样本平均数为
.
质量指标值的样本方差为
.
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全
部产品80%”的规定.
9．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））某公司为了了解用户对其产品的满
意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评
分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频率分布表
满意度评分分组
频数 2 8 14 10 6
（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均
值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
满意度评
低于70分 70分到89分 不低于90分
分
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】满意度等
不满意 满意 非常满意
级
估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【详解】试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分
的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比
较分散.（II）由直方图得 的估计值为 , 的估计值为 ,所以A地区的用户的满意度等级为
不满意的概率大.
试题解析：（Ⅰ）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满
意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
记 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”； 表示事件“B地区的用户的满意度等级为不
满意”.
由直方图得 的估计值为 ,
的估计值为 ,
所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计.
10．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为了比较两种治疗失眠症的药
（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用
一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？
（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？
【答案】（1）服用A药睡眠时间平均增加2.3；服用B药睡眠时间平均增加1.6；从计算结果来看，服用A
药的效果更好；
（2）茎叶图见解析，从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二
段，故A药的药效好.
【详解】(1)设A药观测数据的平均数为 ，B药观测数据的平均数为 .由观测结果可得：
×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2
＋3.5)＝2.3，
×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8
＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得 ，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有 的叶
集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．
考点：茎叶图、平均数.
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））某市为了考核甲，乙两部门的工作
情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘
制茎叶图如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；
（2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率；
（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价．
【答案】（1）该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67；（2） ；（3）详
见解析．
【详解】试题分析：（1）50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的平均数即为甲部门
评分的中位数．同理可得乙部门评分的中位数．（2）甲部门的评分高于90的共有5个，所以所求概率为
；乙部门的评分高于90的共8个，所以所求概率为 ．（3）市民对甲部门的评分的中位数高于乙部
门的评分的中位数，且甲部门的评分较集中，乙部门的评分相对分散，即甲部门的评分的方差比乙部门的
评分的方差小．
试题解析：解：（1）由所给茎叶图知，将50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是
75，75，故甲样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数估计值是75．
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为 ，所
以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67．
（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲，乙部门的评分高于90的比率为 ，故该市的市民
对甲，乙部门的评分高于90的概率的估计分别为 ；
（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大
致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高，评价
较为一致，对乙部门的评价较低，评价差异较大．（注：考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样
给分）．
考点：1平均数，古典概型概率；2统计．
12．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽
取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如
下频率分布直方图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男
生和女生人数的比例．
【答案】（1）0.4 （2）15人 （3）3∶2
【分析】（1）根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，用频率估计概率值；
（2）计算样本中分数小于50的频率和频数，估计总体中分数在区间 ， 内的人数；
（3）由题意计算样本中分数不小于70的学生人数以及男生、女生人数，求男生和女生人数的比例．
【详解】解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4．
所以从总体的300名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4．
（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
故样本中分数小于50的频率为0.1，
故分数在区间[40，50)内的人数为100×0.1－5＝5．
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为 ．
（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为
(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为 ．
所以样本中的男生人数为30×2＝60，
女生人数为100－60＝40，
男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2．
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理应用问题，属于中档题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷））我国是世界上严重缺水的国家，某市
为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量
（单位：吨），将数据按照 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月用水量的中位数.
【答案】(1) ； (2)36000；（3） .
【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题
的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第
（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，
计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月
均用水量的中位数.
【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，
0.06，0.04，0.02.
由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.
（Ⅲ）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
【考点】频率分布直方图
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为
1，这是解题的关键，也是识图的基础．
14．某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过 立方米的部分按4元/立方米收费，超出 立方米
的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到
如下频率分布直方图：
（1）如果 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米， 至少定
为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 时，估计该市居民该月的人均水费．
【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.
【详解】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过 立方米的居民占 ，所以 至
少定为 ；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可.
试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间 内的频率依次为 ．
所以该月用水量不超过 立方米的居民占 ，用水量不超过 立方米的居民占 ．依题意， 至少定
为
（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组
频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
（元）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点：1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.
15．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷））某车间 名工人年龄数据如下表：
年龄（岁） 工人数（人）
合计
（1）求这 名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 名工人年龄的茎叶图；
（3）求这 名工人年龄的方差.
【答案】（1）众数为 ，极差为 ；（2）详见解析；（3） .
【详解】试题分析：（1）根据频率分布表中的相关信息结合众数与极差的定义求出众数与极差；（2）根
据频率分布表中的信息以及茎叶图的作法作出这 名工人年龄的茎叶图；（3）根据茎叶图所反映的信息，
先求出平均数，然后根据方差的计算公式求出这 名工人年龄的方差.
（1）这 名工人年龄的众数为 ，极差为 ；
（2）茎叶图如下：
（3）年龄的平均数为 ，
故这 名工人年龄的方差为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
考点：本题考查茎叶图、样本的数字特征，考查茎叶图的绘制，以及样本的众数、极差、平均数以及方差
的计算，属于中等题.
题型二、求概率
1．（2023年河南省核心模拟卷（中）理科数学（四）试题）某平台为了解某地区不同年龄用户在该平台
观看文娱新闻等的同时是否从平台上推荐的购物车购物的情况，在该地区随机抽取了200人进行调查，调
查结果整理如下：
年龄段 20以下 70以上
购物人数 20 30 26 28 6 8 0
未曾购物人数 10 5 14 12 24 12 5
(1)从被抽取的年龄在 的购物人群中，随机抽取3人进一步了解情况，求这3人年龄都在 的
概率；
(2)视频率为概率，用随机抽样的方法从该地区抽取40名市民进行调查，其中年龄在 的人数为 ，
试问当 取何值时， 最大？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据组合的知识，结合古典概型求解即可；
（2）由题知 ，进而根据二项分布的概率公式，解不等式组 即可得
答案.
【详解】（1）解：由题知，被抽取的年龄在 的购物人数共有 人，年龄在 的
购物人数有 人，
所以，从被抽取的年龄在 的购物人群中，随机抽取3人，这3人年龄都在 的概率为
（2）解：由题知抽取的200人中，年龄在 的人数共有 ，
所以，根据频率估计概率，该地区市民中，年龄在 的之间的占比 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，从该地区抽取40名市民进行调查，其中年龄在 的人数为 满足 ，
所以 ，
由当 时， 取得最大值，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
因为 ，
所以，当 时， 取得最大值.
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品
(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别
收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂
可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接
加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接
加工业务?
【答案】（1）甲分厂加工出来的 级品的概率为 ，乙分厂加工出来的 级品的概率为 ；（2）选
甲分厂，理由见解析.
【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的一件产
品为 级品的概率为 ；
（2）甲分厂加工 件产品的总利润为 元，
所以甲分厂加工 件产品的平均利润为 元每件；
乙分厂加工 件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工 件产品的平均利润为 元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基
础题．
3．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降
价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气
温数据，得下面的频数分布表：
最高气
[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不
超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】（1） ．（2） ．
【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20
的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞
0，由此能估计估计Y大于零的概率．
【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p ．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P ．
【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查
推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知某校甲、乙、丙三个年级的学生
志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生
工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，
2人．
（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）= ．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中
抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年
级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，
C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）= ．
点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式
等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））电影公司随机收集了电影的有关数据，
经分类整理得到下表：
电影类
第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
型
电影部
数
好评率
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中
只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 ，哪类电影的好评率减少 ，使得
获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
【分析】（Ⅰ）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；
（Ⅱ）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；
（Ⅲ）根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..
【详解】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 ，
第四类电影中获得好评的电影部数是 ，
故所求概率为 ；
（Ⅱ）设“随机选取 部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有 部，
由古典概型概率公式得 ；
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.
【点睛】本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】试验的结果是否为等可能事件，设出事件 ；第二步，分别求出基本事件的总数 与所求事件 中所包含
的基本事件个数 ；第三步，利用公式 求出事件 的概率.
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））某校夏令营有3名男同学 和3
名女同学 ，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
用表中字母列举出所有可能的结果
设 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件 发生的概率.
【答案】(1)15,(2)
【详解】试题分析：(1)列举事件，关键是按一定顺序，做到不重不漏.从6名同学中随机选出2人参加知识
竞赛的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.(2) 为事件“选出
的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，其事件包含{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.
因此，事件 发生的概率
试题解析：解（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},
{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和
1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.因此，事件 发生的概率
考点：古典概型概率
7．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学试题）投到某杂志的稿件，先由两位初
审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，
否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各
专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
【答案】(I) 0.40.
(II)
【详解】本题主要考查独立事件与互斥事件的概率问题，考查考生分类讨论的思想和分析问题、解决问题
的能力．
(Ⅰ)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用.
则 D=A+B·C,
=
=
=0.25+0.5×0.3
=0.40.
(Ⅱ) 记 表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；
表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；
表示事件：4篇稿件中恰有2篇被录用；
= +
=0.1296+0.3456
=0.4752,
．
点评：概率问题是高考的必考题型，一般都在18、19题，试题的难度不大．主要考查考生对互斥事件、独
立事件等基本概率模型知识的掌握程度以及应用知识分析问题、解决问题的能力．新背景下的概率问题是
高考的亮点内容之一，估计明年高考对概率解答题的考查除了常规模式外，还可能与数列、不等式、统计
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】等交汇命题．
8．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））某花店每天以每枝5元的价格从农场
购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函
数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润
不少于75元的概率.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【详解】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
（2）①这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于
75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率
试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y＝85．
当日需求量n<17时，利润y＝10n－85．
所以y关于n的函数解析式为 （n∈N）．
（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，
16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，
所以这100天的日利润的平均数为 ×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．
②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，
故当天的利润不少于75元的概率为p＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．
考点：概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数.
9．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））经销商经销某种农产品，在一个
销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售
季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以
（单位：t，100≤ ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】产品的利润.
（Ⅰ）将T表示为 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）0.7
【详解】试题分析：（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最
后利用分段函数的形式进行综合即可．
（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率
为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．
解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000，
当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，
∴ ．
（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．
考点：频率分布直方图．
10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））某旅游爱好者计划从3个亚洲国家
A ，A ，A 和3个欧洲国家B ，B ，B 中选择2个国家去旅游.
1 2 3 1 2 3
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A ，但不包括B 的概率．
1 1
【答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：利用列举法把试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,
利用公式 求出事件A的概率.
试题解析：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共 个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：
,共 个，则所求事件的概率为： .
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共 个，
包含 但不包括 的事件所包含的基本事件有： ，共 个，
所以所求事件的概率为： .
【考点】古典概型
【名师点睛】(1)对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因
此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第
三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所
包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式 求出事件A的概率,
这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需
使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率
小于0.1，求k的最小值.
【答案】（1）0.31 （2）3
【分析】试题分析：（1）至少3人需使用设备分为恰好有3人使用的设备和4个人使用设备.这两个是事
件是互斥事件，首先利用独立事件的概率公式分别求出恰好有3人使用的设备和4个人使用设备的概率，
最后相加即可.
利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式计算出同一工作日4人需使用设备的概率.然后结合（1）
的结论即可得出结论.
【详解】试题解析：记A表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.
i
B表示事件：甲需使用设备.
C表示事件：丁需使用设备.
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.
E表示事件：同一工作日4人需使用设备.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.
（1）D=A ·B·C+A ·B+A · ·C
1 2 2
P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A)= .
i
所以P(D)=P(A ·B·C+A ·B+A · ·C)= P(A ·B·C)+P(A ·B)+P(A · ·C)
1 2 2 1 2 2
= P(A P)·P(B)·P(C)+P(A )·P(B)+P(A )·p( )·p(C)=0.31.
1 2 2
(2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.
又E=B·C·A ,P(E)=P(B·C·A )= P(B)·P(C)·P(A )=0.06；
2 2 2
若k=4，则P(F)=0.06<0.1.
所以k的最小值为3.
考点：1.独立事件的概率；2.互斥事件的概率.
12．甲､乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与 ，投中得1分，投不中得0分．
（1）甲､乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（2）甲､乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】(1)由题意首先确定 的取值，然后求解相应的概率值，最后由分布列计算数学期望即可；
(2)由题意结合对立事件概率公式求解这四次投球中至少一次命中的概率值即可.
【详解】（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，
，
，
，
则ξ概率分布为：
ξ 0 1 2
P
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为 .
（2）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、乙两人在罚球线
各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C的对立事件，
而
∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为
答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，对立事件公式及其应用等知识，意在
考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双
方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方
得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、
乙的一局比赛中，甲先发球．
（I） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（II） 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．
【答案】
【分析】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题．首先要理解发球的
具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论．
【详解】记 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得 分，
记 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得 分，
表示事件：第3次发球，甲得1分
表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1:2
表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先
（1） ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨
论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题．情景比较亲切，容易入手，但是在
讨论情况的时候，容易丢情况．
14．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷））一个盒子里装有三张卡片，分别标记
有数字 ， ， ，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 次，每次抽取 张，将抽取
的卡片上的数字依次记为 ， ， .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的概率.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】试题分析：（1）所有的可能结果 共有 种，而满足 的 共计3个，
由此求得“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；
（2）所有的可能结果 共有 种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字 、 、 完全
相同”的 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字 、 、 完全相同”的概率，再用1减去此
概率，即得所求．
试题解析：（1） 所有的可能结果 共有 种，
而满足 的 有 、 、 共计3个
故“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率为
（2） 所有的可能结果 共有 种
满足“抽取的卡片上的数字 、 、 完全相同”的 有 、 、 共计三个
故“抽取的卡片上的数字 、 、 完全相同”的概率为
所以“抽取的卡片上的数字 、 、 不完全相同”的概率为
考点：独立事件的概率．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求
其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能
重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
15．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））某商场举行有奖促销活动，顾客购买
一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球 和1个白球 的甲箱与装有2个红球
和2个白球 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说
明理由．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）说法不正确；
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红
球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；
试题解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：
（Ⅱ）不正确，理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为
共4种，所以中奖的概率为 ，不中奖的概率为 ，故这种
说法不正确．
考点：概率统计
【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有
序的，如（1,2）与（2,1）不同．有时也可以看成是无序的，如（1,2）（2,1）相同．
16．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国大纲卷））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习
赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概
率均为 各局比赛的结果都相互独立，第 局甲当裁判.
（I）求第 局甲当裁判的概率；
（II）求前 局中乙恰好当 次裁判概率.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（I） （II）
【详解】（Ⅰ）记 表示事件“第2局结果为甲胜”，
表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”.
则 .
.
（Ⅱ）记 表示事件“第1局结果为乙胜”，
表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
B表示事件“前4局中恰好当1次裁判”.
则 .
.
（1）利用独立事件的概率公式求解，关键是明确A表示事件“第4局甲当裁判”和 表示事件“第2局结
果为甲胜”， 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”之间个独立关系；（2）明确X的可能取
值，然后利用独立事件和互斥事件的公式逐一求解.
【考点定位】本题考查独立事件和互斥事件的概率问题已经离散型数学期望，考查分析问题和计算能力.
17．海关对同时从 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单
位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量/件 50 150 100
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【答案】（1）1，3，2；（2） .
【解析】（1）由分层抽样的性质运算即可得解；
（2）利用列举法，结合古典概型概率的计算公式，即可得解.
【详解】（1）由题意，样品中来自A地区商品的数量为 ，
来自B地区商品的数量为 ，
来自C地区商品的数量为 ；
（2）设来自 地区的样品编号为 ，来自 地区的样品编号为 , , ，
来自 地区的样品编号为 , ，则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:
, , , , , , , ,
, , , , , , ,共15个；
抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:
, , , ,共4个；
故所求概率 .
【点睛】本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.
题型三、回归方程
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改
善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些
地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和
yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ，
， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， .
【答案】（1） ；（2） ；（3）详见解析
【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式 计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】（1）样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本 (i=1，2，…，20)的相关系数为
（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，
是一道容易题.
2．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））某公司为确定下一年度投入某种产
品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，
对近8年的年宣传费 和年销售量 （ =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计
量的值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中 ， =
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 , ，……， ,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）（ⅰ） ；（ⅱ）46.24
【详解】（Ⅰ）由散点图可以判断， 适合作为年销售 关于年宣传费用 的回归方程类型.
（Ⅱ）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于 = ，
∴ =563-68×6.8=100.6.
∴ 关于 的线性回归方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 关于 的回归方程为 .
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 =49时，年销售量 的预报值
=576.6，年利润的预报值 .
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，∴当 = ，即 时， 取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））下图是某地区2000年至2016年环境基础
设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据2000
年至2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ；根据2010年至
2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更
可靠．
【详解】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结
果;（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明
显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.
详解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010
年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，
这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立
的线性模型 =99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②
得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元
的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参
数，则根据回归直线方程恒过点 求参数.
4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为了监控某种零件的一条生产线
的生产过程，检验员每隔 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： ）．下面是检
验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次
1 2 3 4 5 6 7 8
序
零件尺
9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04
寸
抽取次
9 10 11 12 13 14 15 16
序
零件尺
10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95
寸
经计算得 ， ，
，其中 为抽取的第 个零件的尺寸， ．
（1）求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行
而系统地变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生
产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均
值与标准差．（精确到 ）附：样本 的相关系数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ．
【答案】（1）可以；（2）（ⅰ）需要；（ⅱ） ， .
【分析】（1）依公式求 ；
（2）（i）由 ，得抽取的第13个零件的尺寸在 以外，因此需对当天的生产
过程进行检查；（ii）剔除第13个数据，则均值的估计值为10.02，方差为0.09．
【详解】（1）由样本数据得 的相关系数为
.
由于 ，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
（2）（i）由于 ，
由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在 以外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为 ，
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 .
【点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以
“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和
生长点．
5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））下图是我国2008年至2014年生
活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据： ， ，
， ≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数 的公式求出相关数据后，代入公式即可求得 的值，最后根据
值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程，然后预测．
试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
， ， ，
，
.
因为 与 的相关系数近似为0.99，说明 与 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的
关系.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅱ）由 及（Ⅰ）得 ，
.
所以， 关于 的回归方程为： .
将2016年对应的 代入回归方程得： .
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．
【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；
（2）将相关数据代入相关系数 公式求出 ，然后根据 的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照
公式求解，并一定要注意计算的准确性．
6．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷））随着我国经济的发展，居民的储蓄存
款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号 1 2 3 4 5
储蓄存款 （千亿 5 6 7 8 10
元）
（Ⅰ）求y关于t的回归方程
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（ ）的人民币储蓄存款.
附：回归方程 中
【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ） 千亿元.
【详解】试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出 ， 的值，然后代入 求
得 ，再代入 求出 值，从而就可得到回归方程 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅱ）将 代入回归方程 可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．
试题解析： （1）列表计算如下
i
1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50
15 36 55 120
这里
又
从而 .
故所求回归方程为 .
（2）将 代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
考点：线性回归方程.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，
发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①
与模型；② 作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.
温度x/℃ 20 22 24 26 28 30 32
产卵数y/个 6 10 21 24 64 113 322
400 484 576 676 784 900 1024
1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.77
26 692 80 3.57
1157.54 0.43 0.32 0.00012
其中 ， ， ， .
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别
为： ， .
（1）根据表中数据，模型①、②的相关指数计算分别为 ， ，请根据相关指数判断哪个
模型的拟合效果更好.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据（1）中的判断，在拟合效果更好的模型下求y关于x的回归方程；并估计温度为30℃时的产卵
数.（ ， ， ， 与估计值均精确到小数点后两位）
（参考数据： ， ， ）
【答案】（1）模型②的拟合效果更好；（2） ，当 时，估计产卵数为 .
【分析】（1）根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣，相关指数越大，拟合效果越好；
（2）由（1）可知选模型② ，两边取对数得 ，再令 ，则 ，所以
先利用最小二乘法求 的回归系数，再代换回去即可.
【详解】解：（1）因为 ，所以模型②的拟合效果更好.
（2）由（1）知模型②的拟合效果更好，
对于模型②：设 ，则 ，
其中 ，
.
所以y关于x的回归方程为 ，
当 时，估计产卵数为 .
【点睛】此题考查了线性回归方程的应用问题，考查了相关指数的应用问题，属于中档题.
8．（2023届陕西省模拟数学（文）试题）下图是我国2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图．
注：年份代码1-7分别对应年份2014-2020（2021年后代码依次类推）．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2023年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ．
【答案】(1)答案见解析
(2) ，1.92亿吨
【分析】（1）根据相关系数的计算公式，直接计算求解即可；
（2）根据题意，列方程计算出回归方程，进而代入预测值，即可求解.
【详解】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 ， ， ，
，
所以 ，
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t
的关系．
（2）由 及（1）得 ，
所以，y关于t的回归方程为： ．
将2023年对应的 代入回归方程得： ，
所以预测2023年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨.
9．（2023届河北省模拟考试数学试题）某中药企业计划种植 两种药材，通过大量考察研究得到如下
统计数据.药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
年份 2018 2019 2010 2021 2022
年份编号 1 2 3 4 5
单价 （元/公斤） 18 20 23 25 29
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】药材 的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：
(1)若药材A的单价 （单位：元/公斤）与年份编号 间具有线性相关关系；请求出 关于 的回归直线方
程，并估计2024年药材A的单价；
(2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；
(3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.
参考公式：回归直线方程 ，其中 .
【答案】(1) ， 元/公斤
(2) 公斤
(3)应该种植药材A，理由见解析
【分析】（1）根据题中数据结合公式求得回归直线方程为 ，再令 代入运算即可得结果；
（2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；
（3）比较A、B两种药材的均值，即可判断.
【详解】（1）由题意可得： ，
，
则 ， ，
故回归直线方程为 ，
当 时， ，
即2024年药材A的单价预计为 元/公斤.
（2）由频率分布直方图可得：组距为20，自左向右各组的频率依次为 ，
故B药材的平均亩产量为 公斤.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）预计2024年药材A每亩产值为 元，
药材B每亩产值为 元 元，
所以药材A的每亩产值更高，应该种植药材A.
10．（2023年河南省普高联考学期测评（四）理科数学试题）某公司为了解年营销费用x（单位：万元）
对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用 和年销售量 ，得到的散
点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．
表中 ， ， ， ．已知 可以作为年销售量y关于年营销费用x的
回归方程．
(1)求y关于x的回归方程；
(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入
多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益 销售利润 营销费用 固定成本）
参考数据： ， ．
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ， ．
【答案】(1)
(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】(1)根据题目要求可知，y关于x的回归方程为非线性的，设 ，可得 ，代
入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，通过求导来求得最值.
【详解】（1）由 得， ，令 ， ， ，则 ．
由表中数据可得， ，
则 ，所以 ．
即 ，因为 ，所以 ，
故所求的回归方程为 ．
（2）设年收益为W万元，则 ，
对 求导，得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
因此，当 时W有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．
11．（2023届河南省模拟考试文科数学试题）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数
量有所增加．某研究小组为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地
块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据 ，其中 和 分别
表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，计算得 ， ，
， ．作散点图发现，除了明显偏离比较大的两个样本点 ， 外，其它样
本点大致分布在一条直线附近，为了减少误差，该研究小组剔除了这两个样本点，重新抽样补充了两个偏
离比较小的样本点 ， ．
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数
乘以地块数）；
(2)建立地块的植物覆盖面积x（单位：公顷）和这种野生动物的数量y的线性回归方程；
(3)经过进一步治理，如果每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，预测该地区这种野生动物增加的数量．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】参考公式：线性回归方程 ，其中 ， ．
【答案】(1)13000；(2) ；(3)2000；
【分析】（1）由样本数据估计总体野生动物数量即可.
（2）根据线性回归方程的公式求回归方程即可.
（3）根据（2）的回归方程计算即可.
【详解】（1）样区野生动物平均数为 ，
而地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为 ．
（2）将样本点 ， 替换为 ， ，构成一组新的样本数据 ，
计算得 ， ，
， ，
所以 ， ，
所求回归方程为 ．
（3）由（2）回归方程可知：每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，则野生动物数量增加10，
故该地区这种野生动物增加数量的估计值为： ．
题型四、独立性检验
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，
随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对
照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，
完成如下列联表
对照
组
试验
组
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增
加量有差异？
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)
(2)（i） ；列联表见解析，（ii）能
【分析】（1）直接根据均值定义求解；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得 ，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【详解】（1）试验组样本平均数为：
（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21
位数据的平均数，
由原数据可得第11位数据为 ，后续依次为 ，
故第20位为 ，第21位数据为 ，
所以 ，
故列联表为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由（i）可得， ，
所以能有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
2．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了
解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为 ， ；(2)有；
【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算 ，再利用临界值表比较即可得结论.
【详解】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则 ；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A家公司长途客车准点的概率为 ；
B家公司长途客车准点的概率为 .
（2）列联表
未准点班次
准点班次数 合计
数
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
= ，
根据临界值表可知，有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二
级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级
二级品 合计
品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【分析】根据给出公式计算即可
【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】乙机床生产的产品中的一级品的频率为 .
（2） ,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每
天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
[0，200] (200，400] (400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握
认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次
人次>400
≤400
空气质量好
空气质量不
好
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为 、 、 、 的概率分别为 、 、 、 ；
（2） ；（3）有，理由见解析.
【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为 、 、 、 的概率；
（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以 可得结果；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）根据表格中的数据完善 列联表，计算出 的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 的概率为 ，等级为 的概
率为 ，等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3） 列联表如下：
人次 人次
空气质量好
空气质量不
好
，
因此，有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能
力，属于基础题.
5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））某商场为提高服务质量，随机调查了50名男
顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： ．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1） ；
（2）能有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【分析】（1）从题中所给的 列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的频率，即估计得出的概率值；
（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差
异.
【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为 ,
50名女顾客对商场满意的有30人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为 ,
（2）由列联表可知 ，
所以能有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算
的值，独立性检验，属于简单题目.
6．（2023年四川省模拟数学文科试题）跑腿服务是随即时物流发展出现的非标准化服务，省时省力是消
费者使用跑腿服务的主要原因，随着消费者即时需求和节约时间需求提升，跑腿服务将迎来发展期．某机
构随机统计了800名消费者的年龄（单位：岁）以及每月使用跑腿服务的次数，得到每月使用跑腿服务低
于5次的有550人，并将每月使用跑腿服务不低于5次的消费者按照年龄 ， ， ，
进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者中年龄不低于35岁的概率；
(2)估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者年龄的平均数与中位数（结果精确到0.1，每组数据用该组
区间的中点值为代表）；
(3)把年龄在 的人称为青年，年龄在 的人称为中年，把每月使用跑腿服务低于5次的消费者
称为“使用跑腿服务频率低”，否则称为“使用跑腿服务频率高”，若800名消费者中有400名青年，补
全 列联表，并判断是否有99%的把握认为消费者使用跑腿服务频率的高低与年龄有关?
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】青年 中年 合计
使用跑腿服务频率
高
使用跑腿服务频率
低
合计
参考公式： ，其中
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)0.42
(2)平均数为 ，
(3)表格见解析，有99%的把握
【详解】（1）每月使用跑腿服务不低于5次的消费者中，年龄不低于35岁的概率为
．
（2）每月使用跑腿服务不低于5次的消费者年龄的平均数为
设每月使用跑腿服务不低于5的消费者年龄的中位数为a，
则 ，解得
（3）补全的 列联表如下：
青
中年 合计
年
使用频率高 145 105 250
使用频率低 255 295 550
合计 400 400 800
所以 ．
所以，有99%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023届陕西省模拟文科数学试题）某乒乓球教练决定检验学员某项技能的水平，随机抽取100位学
员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按 ， ， ， ， ， ，
， 分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值，并估计该项技术的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图求样本评价指标的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表），若平均数
与中位数之差的绝对值小于1，则认为该项技能的水平有显著稳定性；否则不认为有显著稳定性，请依数
据给出答案；
(3)在选取的100位学员中，其中训练时间不少于1年的（记为 队）与少于1年的（记为 队）人数相同，
若规定评价指标不低于80为优秀，低于80为良好，经统计训练时间不少于1年的有40个学员评价指标为
优秀，请列出 列联表，并判断是否有 的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1) ，
(2)有显著稳定性
(3)填表见解析；有
【分析】（1）首先根据频率和为1求 的值，再代入中位数公式，即可求解；
（2）根据频率分布直方图求平均数，再代入平均数与中位数之差的绝对值公式，即可判断；
（3）首先计算评价指标不低于80的样本数，再结合题意列 列联表，再根据公式计算 ，并和临界值
比较数值大小，作出判断.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由直方图可知 ，
解得 ．
因为 ，
．
所以学员该项技术的评价指标的中位数在 内．
设学员该项技术的评价指标的中位数为 ，则 ，
解得 ．
（2）评价指标的平均数为
，
所以平均数与中位数之差的绝对值为 ，所以有显著稳定性．
（3）由（1）可知评价指标不低于80的频率为 ，
所以评价指标不低于80的样本数为 ．
由已知可得 列联表如下：
队伍 优秀 良好 总计
A队 40 10 50
B队 20 30 50
总计 60 40 100
．
所以有 的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”．
8．（2023届江西省模拟数学（文）试题）某IT公司在A，B两地区各开设了一家分公司，为了解两家分
公司员工的业务水平，对员工们进行了业务水平测试，满分为100分，80分及以上为优秀. A地区分公司
的测试成绩分布情况如下：
成绩
频数 5 20 50 20 5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)完成A地区分公司的频率分布直方图，并求出该公司员工测试成绩的中位数；
(2)补充完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为两家分公司员工业务水平有差异.
优秀 不优秀 合计
A地区分公司
B地区分公司 40 60
合计
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)作图见解析，75
(2)表格见解析，有
【分析】（1）先根据频率分布图的步骤作出频率分布直方图，然后根据中位数的定义求解即可；
（2）先完成 列联表，然后利用独立性检验作出判断即可.
【详解】（1）根据频数分布表求得： 的频率为 ， 的频率为 ，
的频率为 ， 的频率为 ， 的频率为 ，
则A地区分公司的频率分布直方图如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图知A地区分公司员工成绩在 的频率为 ，
成绩在 的频率为 ，
设该公司员工成绩的中位数为 ，则 ，解得 .
（2）补充完成 列联表如下：
不优
优秀 合计
秀
A地区分公司 25 75 100
B地区分公司 40 60 100
合计 65 135 200
.
故有 的把握认为这两家分公司员工业务水平有差异.
9．（2023届河南省模拟理科数学试题）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业
合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已
知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定
对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上
（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．
“编织巧 非“编织巧
总计
手” 手”
年龄 40岁 19
年龄 40岁 10
总计 40
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)请完成答题卡上的 列联表，并判断能否有 的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；
(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”
的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中
恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有 的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；
(2) .
【分析】（1）根据题意填写列联表，再由卡方公式计算，对比临界值表即可；
（2）根据分层抽样可得在40周岁以上（含40周岁）的有2人，年龄在40周岁以下的有4人，由组合数
公式结合古典概型的计算公式求解.
【详解】（1）年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，
年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．
列联表如下：
“编织巧 非“编织巧
总计
手” 手”
年龄
19 5 24
岁
年龄
6 10 16
岁
总计 25 15 40
由题中数据可得 ，
因为 ，所以有 的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关．
（2）由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的有2人，年龄在40周岁以下的有4人．
从这6人中随机抽取2人的情况有 种，
其中符合条件的情况有 种，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故所求概率 ．
10．为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结
果如下（单位：厘米）：
男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170
女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172
（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值.
（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数 （单位：厘米），将男、女生身高不低于 和低于 的
人数填入下表中，并判断是否有 的把握认为男、女生身高有差异？
人数 男生 女生
身高
身高
参照公式：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.假
设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高二的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率.
【答案】（1）见解析（2） （3）0.48
【分析】（1）根据题中数据完善茎叶图即可，结合平均数的计算公式即可求出结果；
（2）根据题中数据完善列联表，再由 求出 ，结合临界值表即可得出结论；
（3）先由题意确定身高属于正常的男生概率，进而可求出结果.
【详解】（1）茎叶图为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平均身高：男：168.8 女：163.6
（2）易知 .
男、女生身高的 列联表为
人数 男生 女生
身高 6 5
身高 4 5
.
所以没有 把握认为男、女生身高有差异.
（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生概率为0.4，
因此选2名男生，恰好一名身高正常的概率为 .
所以，从高二的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率为0.48
【点睛】本题主要考查茎叶图以及独立性检验的问题，熟记平均数的计算公式、独立性检验的思想等即可，
属于常考题型.
11．（2023届陕西省质量检测文科数学试题）今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，我国作为为
人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒提前做出防控部署．同时国家卫生健康委员会同国家中医
药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5—21天；②既
往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国
家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察
期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染猴痘病毒的比例较大．对该国家200个密切接触者样
本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
感染猴痘病
未感染猴痘病毒
毒
未接种天花疫苗 30 60
接种天花疫苗 20 90
(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
(2)现从样本中结束医学观察后未感染猴痘病毒的密切接触者中，按照是否接种过天花疫苗分层抽取5人，
再从这5人中随机抽取2人，求这2人都接种过天花疫苗的概率．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)没有
(2)
【分析】（1）利用独立性检验计算公式，直接计算出 ，对照附表得出结论；
（2）用分层抽样的方法计算出抽取的接种过天花疫苗和没有接种过天花疫苗的人数，再利用古典概型的
概率计算公式，即可解出．
【详解】（1）依题意知， ，
∴没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关．
（2）结束医学观察后未感染猴痘病毒的密切接触者中，未接种天花疫苗的有60人，接种过天花疫苗的有
90人，
∵ ，
∴在未感染猴痘病毒且未接种天花疫苗的60人中应抽取2人，记为 ， ；
在未感染猴痘病毒且接种过天花疫苗的90人中应抽取3人，记为 ， ， ．
∴从这5人中随机抽取2人的所有可能的结果为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共
10种，
其中所抽取的2人都接种过天花疫苗的有： ， ， ，共3种．
∴所求概率为 ．
12．微信是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信､视频､图片和文字，一经推出便风靡
全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化
妆品的店家在一广场随机采访男性､女性用户各50名，将男性､女性平均每天使用微信的时间（单位：h）
分成5组： 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）根据频率分布直方图估计女性平均每天使用微信的时间；
（2）若每天玩微信超过 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，判断是否有90%的把握认为
“微信控”与性别有关.
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 ）
【答案】（1） ；（2）有90%的把握认为“微信控”与性别有关.
【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以对应小矩形底边的中点，然后求和即可得到答案；
（2）先通过频率分布直方图面积为1求出a，进而根据参考公式求出K2，然后将数据进行对比即可得到答
案.
【详解】（1）由女性的频率分布直方图，可知女性用户平均每天使用微信的时间为
.
（2）由男性的频率分布直方图，可得 ，解得 .
由两个频率分布直方图，可得 列联表如下：
微信控 非微信控 总计
男
38 12 50
性
女
30 20 50
性
总
68 32 100
计
的观测值 ，
所以有90%的把握认为“微信控”与性别有关
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】题型五、综合考查
1．某中学为调查该校学生每周参加社会实践活动的情况，随机收集了若干名学生每周参加社会实践活动
的时间（单位：小时），将样本数据绘制如图所示的频率分布直方图，且在 , 内的学生有1人．
(1)求样本容量 ，并根据频率分布直方图估计该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值；
(2)将每周参加社会实践活动时间在[4,12]内定义为“经常参加社会实践”，参加活动时间在[0,4)内定义为
“不经常参加社会实践”.已知样本中所有学生都参加了青少年科技创新大赛，有13人成绩等级为“优
秀”，其余成绩为“一般”，其中成绩优秀的13人种“经常参加社会实践活动”的有12人.请将2×2列联
表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为青少年科技创新大赛成绩“优秀”与经
常参加社会实践活动有关；
(3)在（2）的条件下，如果从样本中“不经常参加社会实践”的学生中随机选取两人参加学校的科技创新
班，求其中恰好一人成绩优秀的概率.
参考公式和数据：
.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) ，5.8小时；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）先根据条件求得样本容量 ，然后再根据频率分布直方图中平均数的求法求解；
（2）结合题意完成列联表，并求出 ，与临界值表对照后可得结论；
（3）根据题意得不经常参加社会实践活动的有 人，其中成绩优秀的有1人，然后根据古典概型概率的求
法求解．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）解：由题意得活动时间在 的频率为 ,
又参加社会实践活动的时间在 内的有 人，
所以样本容量 .
根据频率分布直方图，该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值为:
（小时）．
（2）解：由题意得“不经常参加社会实践”的学生有 人，
所以列联表如下：
一
优秀 合计
般
不经常参加 4 1 5
经常参加 3 12 15
合计 7 13 20
由表中数据可得 ．
所以在犯错误的概率不超过 的前提下可以认为“青少年科技创新大赛成绩优秀与经常参加社会实践活
动有关系”.
（3）解：由（2）知不经常参加社会实践活动的有 人，其中成绩优秀的有1人．
设成绩优秀的编号为 ；成绩一般的学生有 人，编号依次为 .
所有参加培训的情况有： ，共10种.
恰好一人成绩优秀的情况有 ,共4种.
所以由古典概型计算公式得所求概率为 .
2．（2023届四川省诊断性考试数学（文）试题）某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现
随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：
一般 良好 合计
男 20 100 120
女 30 50 80
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】合计 50 150 200
(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
(2)利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6
名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中 ， .
【答案】(1)有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.
(2) ；
【分析】（1）根据表中数据计算出 的值，对比附表数据 ，然后作出判断；
（2）先根据分层抽样计算出男、女客户并对男女生进行标记，列出“从 名学生中随机抽取 名”的所有
基本事件，分析满足“抽取的两名客户中至少有 名女性”的基本事件，根据基本事件数之比求解出对应
概率.
【详解】（1） ，
有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.
（2）因为“效果较好”的男客户和女客户的人数之比为 ，即为 ，
所以抽取的 名客户中，男生有 名，记为 ， ， ， ，
女生有 名，记为 ， ，
从这 人中选取 人的所有基本事件有： ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共 个.
其中至少一名女生的基本事件有： ， ， ， ，
， ， ， ， ，共9个.
所以，抽取的 名客户中至少有 名女性的概率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023届辽宁省模拟数学试题）2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费
券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x（百万元），带动的消费为y（百万元）.某省随机抽查的一些
城市的数据如下表所示.
x 3 3 4 5 5 6 6 8
y 10 12 13 18 19 21 24 27
(1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.
(2)（ⅰ）若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性
回归方程，预计可以带动多少消费？
（ⅱ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时，认为发放的该轮消费券助力消费复
苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的
消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
参考公式： ， ， .当 时，两个变量之间具
有很强的线性相关关系.
参考数据： .
【答案】(1)具有很强的线性相关关系,
(2)（ⅰ）35.25百万元
（ⅱ）不理想，理由见解析，答案不唯一
【分析】（1）通过相关系数公式求得相关系数，利用回归直线方程的计算公式求得回归直线方程.
（2）（ⅰ）利用回归直线方程求得预测值.
（ⅱ）根据“理想”的定义进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1） ，
.
，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入公式可得相关系数 .
由于 且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系.
经计算可得 ，
.
所以所求线性回归方程为 .
（2）（ⅰ）当 时， ，所以预计能带动的消费达35.25百万元.
（ⅱ）因为 ％，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的.
发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，
比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；
A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.
（只要写出一个原因即可）.
4．（2023届新疆维吾尔自治区适应性检测理科数学试题）某中学初三年级有学生1500人，其中男生占总
人数的70%，为调查该校学生中考前一周每天睡眠时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生的
睡眠时间样本数据（单位：小时）．
(1)应收集多少位男生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生睡眠时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间
为： ， ， ， ， ， ．估计该校学生中考前一周平均每天睡眠时间超过4小
时的概率；
(3)在样本数据中，有60位女生的平均睡眠时间超过4小时，请完成中考前一周日均睡眠时间与性别列联表，
并判断是否有99%的把握认为“该校学生的考前一周日均睡眠时间与性别有关”．
附： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)210
(2)0.75
(3)列表见解析；没有99%的把握认为“该校学生的考前一周睡眠时间与性别有关”
【分析】（1）运用分层抽样的性质计算即可.
（2）由频率分布直方图计算频率即可.
（3）利用 列联表求得 再与所给的 值比较即可.
【详解】（1）由题得 ，所以应收集210位男生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得 ，所以该校学生高考前平均每天睡眠时间超过4小时
的概率估计值为0.75．
（3）由（2）知，300位学生中有 人高考前日均睡眠时间超过4小时，75人的高考前日均
睡眠时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以高考前一周
每日平均睡眠时间与性别列联表如下：
女
男生 总计
生
高考前日均睡眠时间不超过4小时 45 30 75
高考前日均睡眠时间超过4小时 165 60 225
总计 210 90 300
零假设 ：认为“该校学生的考前一周睡眠时间与性别无关”．
结合列联表可算 ，
所以，没有99%的把握认为“该校学生的考前一周睡眠时间与性别有关”．
5．（2024届四川省适应性考试（零诊）文科数学试题）第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月
8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，
绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷
购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就
是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：
无兴
有兴趣 合计
趣
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】男性运动员 80 40 120
女性运动员 40 40 80
合计 120 80 200
(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；
(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取2名运动员作进一步采访，求抽取
的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的概率．
参考公式：
临界值表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)没有 的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”
(2)
【分析】（1）根据卡方直接计算并判断即可；
（2）根据古典概型的概率求解方法进行计算即可.
【详解】（1）提出假设 外国运动员对唐装感兴趣与性别无关，
由已知
故没有 的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”
（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，
则其中男性运动员4名，记为A、B、C、D，女性运动员2名，记为 ，
从6人中随机抽取两人，有 ，
共15个基本事件，
其中满足抽取的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的有 ，
，共8个基本事件，
抽取的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的概率为 .
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（辽宁卷））某大学餐饮中心为了解新生的饮食习
惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】喜欢甜
不喜欢甜品 合计
品
南方学生 60 20 80
北方学生 10 10 20
合计 70 30 100
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差
异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽
取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附： ，
【答案】（1）有 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）将 列联表中的数据代入公式计算，得 ，然后再根据表中所提供
的数据，即可得到结论；（Ⅱ）首先将从5名数学系的学生中任取3人的一切可能结果的所组成的基本事
件空间列出，
得到喜欢甜品的学生和不喜欢甜品的学生的基本事件，然后再利用古典概型即可求出结果．
试题解析：解：（Ⅰ）将 列联表中的数据代入公式计算，得
由于 ，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．
（Ⅱ）从5名数学系的学生中任取3人的一切肯能结果的所组成的基本事件空间
，
．
其中 表示喜欢甜品的学生， ， 表示不喜欢甜品的学生， ，
由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的，
用 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这个事件，则
．
事件 是由7个基本事件组成，因而 ．
考点：1．独立性检验；2．古典概型．
【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为 ；且它们具有以下三条性质: (1)等可能性:：
； (2)完备性：在任一次试验中至少发生一个； (3)互不相容性：在任一次试验
中， ，中至多有一个出现,每个基本事件的概率为 ，即 ；第二步：掌握古典概率的
计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数 ，事件 包含的样本点数为 ，则事件 的概率
．
7．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产
任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20
人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间
（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工
人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：
，
0.01
0.050 0.001
0
6.63
3.841 10.828
5
【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析
（2）80
（3）能
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．
（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．
（3）由公式计算出 ，再与6.635比较可得结果．
详解：（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用
第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率
更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生
产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方
式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大
致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对
称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式
完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率
更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知 .
列联表如下：
超过
不超过
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
（3）由于 ，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考查学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．
8．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））海水养殖场进行某水产品的新、
旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其
频率分布直方图如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量
箱产量＜50kg
≥50kg
旧养殖
法
新养殖
法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较．
附：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）0.62（2）有99%的把握 （3）新养殖法优于旧养殖法
【详解】试题分析：
(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.62.据此，事件A的概率估计值为
0.62.
(2)由题意完成列联表，计算K2的观测值k＝ ≈15.705＞6.635，则有99%的把握认为
箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．
试题解析：
(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量
箱产量<50kg
≥50kg
旧养殖法 62 38
新养殖法 34 66
K2的观测值k＝ ≈15.705.
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3) 由频率分布直方图可得：
旧养殖法100个网箱产量的平均数 ＝
1
（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67
.5×0.012）×5
＝5×9.42＝47.1；
新养殖法100个网箱产量的平均数 ＝
2
（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝
5×10.47＝52.35；
比较可得： ，
1 2
故新养殖法更加优于旧养殖法．
点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐
标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，
等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.独立性检验得出的结论是
带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在
分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解
释．
9．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））电视台播放甲、乙两套连续剧，每次
播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视
人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且
甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用 ， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的次数.
（I）用 ， 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
【答案】（Ⅰ） ，画图见解析；（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能
使总收视人次最多
【详解】试题分析：根据已知条件列出 应满足的条件，注意 ， 表示每周计划播出的甲、乙两套连
续剧的次数 ，根据已知条件列出 应满足的条件，画出可行域，设总收视人次为 万，则目标
函数为 ，利用线性规划找出最优解，并求出 的最值.
试题解析：（Ⅰ）解：由已知， 满足的数学关系式为 即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整点坐标：
（Ⅱ）解：设总收视人次为 万，则目标函数为 .
考虑 ，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 变化的一组平行直线. 为直线在
轴上的截距，当 取得最大值时， 的值最大.又因为 满足约束条件，所以由图2可知，当直线
经过可行域上的点M时，截距 最大，即 最大.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解方程组 得点M的坐标为 .
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
【考点】线性规划
【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，
有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范
围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.
10．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮
乙中肥料所需三种原料的吨数如表所示：现有 种原料 200 吨， 种原料 360 吨， 种原料 300 吨，
在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，
产生的利润为 3 万元. 分别用 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
原料
肥料
甲 4 8 3
乙 5 5 10
【答案】（1）见解析；（2）最大利润为112万元
【详解】试题分析：（1）根据生产原料不能超过A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，列
不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域；（2）目标函数为利润 ，根据直线平
移及截距变化规律确定最大利润.
试题解析：（1）解：由已知， 满足的数学关系式为 ，该二元一次不等式组所表示的
平面区域为下图中的阴影部分：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（图 1）
（2）解：设利润为 万元，则目标函数为 .考虑 ，将它变形为 ，这是
斜率为 ，随 变化的一族平行直线. 为直线在 轴上的截距，当 取最大值时， 的值最大.又因为
满足约束条件，所以由图2可知，当直线 经过可行域上的点 时，截距 最大，即 最
大.解方程组 ，得点 的坐标为 ，所以 .
答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.
（图 2）
【考点】线性规划
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：（1）分析题意，设出未知量；（2）列出线性约束条件
和目标函数；（3）作出可行域并利用数形结合求解；（4）作答．而求线性规划的最值问题，首先明确可
行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线
的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数在何处取
得最值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
