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大题突破 05 与一元一次方程有关的 6 种大题专练
一．一元一次方程的定义
1．（2023秋•宝应县期末）已知关于 的方程 是一元一次方程．
（1）求 的值；
（2）求代数式 的值．
【解析】（1） 且 ，
解得 ；
（2）当 时，原方程可化为： ，
解得 ，
将 ， 代入得 ．
2．（2023秋•汉阴县期末）若方程 是关于 的一元一次方程， ， 均为有理数，
求 的绝对值．
【解析】： 方程 是关于 的一元一次方程，
， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1解得 ，
．
3．（2023秋•西安期末）已知方程 是关于 的一元一次方程．求 、 的值．
【解析】： 方程 是关于 的一元一次方程，
， ，
解得 ，
，
解得 ．
， ．
二．等式的性质
4．（2023秋•寻乌县期末）观察下列两个等式： ， 给出定义如下：我
们称使等式 成立的一对有理数 ， 为“同心有理数对”，记为 ，如：数对 ，
，都是“同心有理数对”．
（1）数对 ， 是“同心有理数对”的是 ．
（2）若 是“同心有理数对”，求 的值；
（3）若 是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是” ，说明理
由．
【解析】：（1） ， ， ，
数对 不是“同心有理数对”；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2， ，
，
是“同心有理数对”，
数对 ， 是“同心有理数对”的是 ．
（2） 是“同心有理数对”．
，
．
（3） 是“同心有理数对”，
．
，
是“同心有理数对”．
故答案为： ；是．
5．（2023秋•城厢区校级期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化
简与求值中应用极为广泛．
（1）已知 ，在求 的值时，可这样变换： ．仿照求
的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
【解析】：（1） ，
；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3（2） ， ，
， ，
．
6．（2023秋•襄城区期末）观察以下等式：
① ；
② ；
③ ；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请再写出一个等式： ．
（2）数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术；他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去
十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．
①王老师猜的结果是： ；
②若设最初想的两位数的十位数字是 ，个位数字是 ，你能解释这个魔术的原理吗？
【解析】：（1）由题意可得算式， ，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）①取数字92，由题意得 ，
，
王老师猜的结果是：9，
故答案为：9；
②由题意得，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4，
这个魔术的结果是9．
7．（2023秋•信州区期末）小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，
化 为分数，解决方法是：设 ，即 ，将方程两边都 ，得 ，即
，又因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ．
尝试解决下列各题：
（1）把 化成分数为 ．
（2）请利用小明的方法，把纯循环小数 化成分数．
【解析】：（1）设 ，即 ，
将方程两边都 ，得 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．（2分）
（2）设 ，即 ，
将方程两边都 ，得 ，
即 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ．（6分）
三．解一元一次方程
8．（2023秋•交口县期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
【解析】：（1） ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
．
9．（2023秋•兰州期末）规定一种运算法则： ※ ．例如： ※ ．
若2※ ，求 ※ 的值．
【解析】： ※ ，2※ ，
，
解得： ，
所以 ※
※
※
．
10．（2023秋•五峰县期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
【解析】：（1） ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（2） ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ．
11．（2023秋•禹州市期末）本学期学了一元一次方程的解法，下面是小亮同学解方程的过程，请认真阅
读并完成相应任务．
解方程： ．
解：去分母，得 ， 第一步
去括号，得 ， 第二步
移项，得 ， 第三步
合并同类项，得 ， 第四步
系数化为1，得 ． 第五步
（1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
（2）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（3）请直接写出该方程正确的解是 ；
（4）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学
提一条建议．
【解析】：（1）以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的；故答案为：等式的基本性
质；
（2）以上解题过程中从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时常数项没有乘最简公分母；
故答案为：一；去分母时常数项没有乘最简公分母；
（3）去分母，得 ，
去括号，得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
故答案为： ；
（4）解一元一次方程需要注意以下事项：
①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数，特别是常数项是易错点；
②去括号时，如果括号外是“ ”号，括号内每一项都要变号；
③移项时，注意移动项的符号的变化．
12．（2023秋•石城县期末）解方程： ．
【解析】： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ．
移项，得 ，
合并同类项得， ．
13．（2023秋•应城市期末）定义运算 如下： ，如 ．若 ，
则 ．
【解析】： ，
，
，
解得 ．
故答案为：4．
14．（2023秋•应城市期末）解下列方程．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8（4） ．
【解析】：（1） ，
移项得： ，
合并同类项得： ；
（2） ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项： ；
（3） ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ；
（4）
方程可化为 ，
整理得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
15．（2023秋•红旗区校级期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
【解析】（1） ，
，
，
解得： ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9（2） ，
，
，
，
解得： ．
16．（2023秋•惠民县期末）解方程 ．
【解析】：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ．
17．（2023秋•湛江期末）解方程： ．
【解析】：
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化成1，得： ．
18．（2023秋•定陶区期末）先阅读下面材料，再完成任务：
【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．
例题，利用一元一次方程将 化为分数，设 ，则 ，而 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10所以 ，化简得 ，解得 ．所以 ．
【问题探究】
（1）请仿照上述方法把 化成分数为分数为 ；（直接写出结果）
（2）请类比上述方法，把循环小数 化为分数，写出解题过程．
【解析】：（1）设 ①，则 ②，
② ①，得 ，
解得： ，
即 ．
故答案为： ；
（2）设 ，则 ，
而 ，
，
解得： ，
．
19．（2023秋•郓城县期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
【解析】：（1） ，
，
，
，
；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11（2） ，
，
，
，
，
．
20．（2023秋•泗水县期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
【解析】：（1） ，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
．
21．（2023秋•商南县期末）解方程
（1）
（2）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12【解析】：（1） ，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
．
22．（2023秋•东莞市校级期末）解方程： ．
【解析】： ，
，
，
，
，
．
23．（2023秋•灵山县校级期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
【解析】：（1） ，
移项： ，
合并同类项： ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13系数化 ．
（2） ，
去分母： ，
去括号： ，
移项： ，
合并同类项： ，
系数化 ．
24．（2023秋•定陶区期末）解方程： ．
【解析】：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化1，得 ．
四．同解方程
25．（2023秋•苏州期末）已知关于 的一元一次方程 与 的解相同，求
、 的值．
【解析】： ，
，
，
；
是关于 的一元一次方程，
，
；
．
将 代入 ，
得 ，
解得 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14综上， ， ．
26．（2023秋•大丰区期末）已知关于 的方程 与 的解相同，求 的值．
【解析】：解方程 得： ，
将 代入 得： ，
解得： ．
27．（2023秋•平顶山期末）若关于 的方程 和 有相同的解，请求出 的值．
【解析】： ，
，
，
，
，
把 代入方程 ，得 ，
，
，
，
．
28．（2023 秋•东湖区校级期末）方程 和方程 的解相同．求代数式
的值．
【解析】： 方程 和方程 的解分别为 和 ，
，
，
当 时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15．
29．（2023秋•萧县期末）已知关于 的方程 是一元一次方程．
（1）求 的值；
（2）若已知方程与方程 的解相同，求 的值．
【解析】：（1）由题意得 ， ，
；
（2） ，
，
，
原方程为： ，
把 代入： ，
．
五．由实际问题抽象出一元一次方程
30．（2023秋•望花区期末）一快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶
，就早到10分钟；若快递员开车每分钟行驶 ，就要迟到5分钟．试求出规定时间及快递员所
行驶的总路程．
然然和涵涵列出的方程如下：
然然：
涵涵：
（1）然然所列方程中的 表示 ；
涵涵所列方程中的 表示 ；
（2）请选择其中一个人的方法，写出完整的解答过程．
【解析】：（1）然然所列方程中的 表示规定时间，涵涵所列方程中的 表示快递员所行驶的总路程；
故答案为：规定时间，快递员所行驶的总路程；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16（2）然然的方法：设规定时间为 ，
根据题意得， ，
解得： ，
则 ，
规定时间为 ，快递员所行驶的总路程为 ．
涵涵的方法：设快递员所行驶的总路程为 ，
根据题意得， ，
解得： ，
则 ，
规定时间为 ，快递员所行驶的总路程为 ．
31．（2023秋•天元区期末）兔年将至，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“兔年贺卡”．如果每人
做8个，那么比计划多了5个；如果每人做5个，那么比计划少25个．问题：该小组共有多少人？计划做
多少个“兔年贺卡”？
她俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程：
乐乐的方法： □ □ ；丽丽的方法： ．
（1）在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“ ”中是数字，试分别指出未知数 ，
表示的意义；
（2）试选择一种方法，将原题中的问题解答完成．
【解析】：（1）未知数 表示的是该小组人数，未知数 表示的是计划做“兔年贺卡”的个数．
（2）设该小组有 人，由题意得 ．
解这个方程，得 ．
计划做“兔年贺卡”的个数： （个 ．
答：该小组共有10人，计划做“兔年贺卡”75个．
32．（2023 秋•苏州期末）为促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费．峰时段为
；谷时段为 次日 ．如表为该地某户居民11月份的电费账单的部分信息，设其中
的峰时电量为 千瓦时，根据所给信息，解决下列问题．
户主 用电户号
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 17合计金额 160元 合计电量 350千瓦时
抄送周期
备注：合计电量 峰时电量 谷时电量
计费数量（千瓦时）
单价（元 金额（元
峰时电量 0.56 ②
谷时电量 0.36 ① ③
（1）填空（用含 的代数式表示）：① ，② ，③ ；
（2）由题意，可列方程为 ；
（3）该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？
【解析】：（1）峰时费用为： （元 ，
谷时电量为： 元，
谷时费用为： 元；
故答案为： ， ， ；
（2）根据题意得： ；
故答案为： ；
（3）解（2）中的方程： ，
解得： ，
则 ，
该账单中的峰时电量为170千瓦时，谷时电量180千瓦时．
33．（2023秋•兴隆县期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，
并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水
位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．
已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能
出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，
称物以载之，则校可知矣．”
——《三国志》
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 18解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量 个搬运工的体重和 块等重的条形石的重量 个
搬运工的体重，所以：
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是 斤，则可列方程为： ．
②解这个方程得， ．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量 个搬运工的体重．
④最终可求得：大象的体重为 斤．
【解析】：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量 个搬运工的体重和 块等重的条形石的重
量 个搬运工的体重，所以：
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是 斤，则可列方程为： ．
②解这个方程得， ．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量 个搬运工的体重；
④ ，
即最终可求得：大象的体重为5590斤．
故答案为： ；260；2；5590．
六．一元一次方程的应用
34．（2023秋•百色期末）某校七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学体育课使用，
共买了2个篮球和3个排球，花360元，并且每个排球比篮球便宜30元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活
动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如
何安排更划算？
【解析】：（1）设篮球的单价为 元，则排球的单价为 元，根据题意得：
，
解得： ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19（元 ，
答：篮球的单价是90元，排球的单价是60元；
（2）按照套装①打折，买15个篮球和15个排球需付款：
（元 ，
单买15个篮球和13个排球需付款：
（元 ，
按照套装②，买15个篮球和13个排球实际付款：
（元 ，
，
按照套装①购买更划算，且可多得2个排球．
35．（2023秋•弥勒市期末）2023年国产大型客机 首航成功，这标志着 正式投入商业运营，也
标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用 2.8小时，
它逆风飞行同样的航线要用3小时．已知在风速为24千米 时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的
平均速度．
【解析】：设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为 千米 时，则顺风时的平均速度为 千米
时，逆风时的平均速度为 千米 时，根据题意，得
，
解这个方程，得 ．
答：无风时这架飞机在这一航线的平均速度为696千米 时．
36．（2023秋•定陶区期末）元旦期间，小颖的妈妈在网上给某品牌服装店，按标价8折拍到一件学生外
套，支付了120元，爱思考的小颖进行了下列研究：
（1）该学生外套在网上的标价是多少元？
（2）妈妈告诉小颖，她在网上买到的学生外套商家可以获得 的利润，根据妈妈的说法，一件学生外
套的进价是多少元？
【解析】：（1）根据题意，得
（元 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 20答：该学生外套在网上的标价是150元；
（2）设根据妈妈的说法，一件学生外套的进价是 元，根据题意，得
，
解方程，得 ．
答：根据妈妈的说法，一件学生外套的进价是100元．
37．（2023秋•琼海校级期末）甲、乙两人练习跑步，从同一地点 出发，甲每分钟跑250米，乙每分钟
跑200米，甲因找跑鞋比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点 ，求 两地的距离．
【解析】：设 两地的距离为 米，
根据题意，得 ，
解方程，得 ．
答： 两地的距离为3000米．
38．（2023秋•银川校级期末）在数学综合与实践课上，老师以“出行方式的选择”为主题，请同学们发
现和提出问题并分析和解决问题．
问题情境
随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快
车和神州专车三种网约车，收费标准见如图．（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里 小时）
起步价：12元里程费：2.5元 公里时长费：0.4元 分钟
起步价：10元里程费：2.8元 公里时长费：0.5元 分钟
起步价：14元超公里费：超过3公里2.4元 公里不足1公里按1公里计
问题一
“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，
费用为 元；
问题二
从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数．
【解析】：（1） （元 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21故答案为：30.8；
（2）设甲乙两地间的里程数为 千米，
①若 ，则 ，
解得 （舍去），
②若 ，则 ，
解得 ，
甲乙两地间的里程数为12千米．
39．（2023秋•银川校级期末）如图，已知数轴上点 表示的数为6，点 是数轴上在 点左侧的一点，
且 、 两点间的距离为10，动点 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
（1）数轴上点 表示的数是 ；
（2）运动1秒时，点 表示的数是 ；
（3）动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点 、 同时出发．求：
①当点 运动多少秒时，点 与点 相遇？相遇时对应的有理数是多少？
②当点 运动多少秒时，点 与点 的距离为8个单位长度．
【解析】：（1） 点 表示的数为6， ，且点 在点 的左侧，
点 表示的数为 ．
故答案为： ．
（2） ．
故答案为：3．
（3）设运动的时间为 秒，则此时点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．
①依题意，得： ，
解得： ，
．
答：当点 运动2秒时，点 与点 相遇，相遇时对应的有理数是0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 22②点 ， 相遇前， ，
解得： ；
当 ， 相遇后， ，
解得： ．
答：当点 运动 秒或 秒时，点 与点 的距离为8个单位长度．
40．（2023秋•重庆期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．温水和开水公用一个出水口．温
水的温度为 ，流速为 ；开水的温度为 ，流速为 ．整个接水的过程不计热量损失．
（1）用空杯先接 温水，再接 开水，接完后杯中共有水 ，水温为 ；
（2）某学生先接了一会温水，又接了一会开水，得到一杯 温度为 的水．设该学生接温水的时
间为 ，请求出 的值；
（3）研究表明，蜂蜜的最佳冲泡温度是 ，某教师携带一个容量为 的水杯接水，用来泡
蜂蜜，要使接满水时杯中水温在最佳冲泡温度范围内，请直接写出该教师分配接水时间的方案（接水时间
按整秒计算）．
【解析】：（1）根据题意可得 ，
根据题意可得 ，
故答案为：200；51；
（2）设该学生接温水的时间为 ，
根据题意可得： ，
解得： ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 23故 的值为10；
（3）泡蜂蜜时：接温水时间是 ，
则混合后温度为： ，
列方程： ， ，
解得： ， ，
，
为整数，
，
接开水时间： ；
答：泡蜂蜜时，接温水 ，接开水 ．
41．（2023秋•泗水县期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使
得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每
天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
【解析】：（1）设调入 名工人，
根据题意得： ，
解得 ，
调入6名工人；
（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人 （名 ，
设 名工人生产螺栓，则 名工人生产螺母，
每天生产的螺栓和螺母刚好配套，
，
解得 ，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 24答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
42．（2023秋•鲁山县期末）为了丰富学生课后服务活动，某校七年级开展了篮球兴趣班和足球兴趣班，
现需要给每名兴趣班同学分别购买一个篮球或一个足球，篮球每个 100元，足球每个80元，结合图中两个
学生的一段对话，求两个兴趣班各有多少人？
【解析】：设参加篮球兴趣班的学生有 人，则参加足球兴趣班的学生有 人，
根据题意，得： ，
解得 ，
．
答：参加篮球兴趣班的学生有120人，参加足球兴趣班的学生有150人．
43．（2023秋•雁塔区校级期末）（1）写出图中表示点 ，点 的数；
（2）在数轴上标出表示1的点 和表示 的点 ；
（3）若在数轴上另取一点 ，且 ， 两点间的距离是9，则点 对应的数是几？
【解析】：（1）根据题意可得，点 表示的数是 ，点 表示的数是4；
（2）如图所示，点 表示1和点 表示 ．
（3）设点 表示的数为 ，
，
，
，
或 ，
点 对应的数是 或6．
44．（2023秋•亭湖区校级期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格
水平如下：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 25一户居民一年用气量（单位：立方米） 单价（单位：元 立方米）
第1档 不超过300立方米的部分 2.8
第2档 300立方米以上至600立方 3.2
米（含 部分
第3档 600立方米以上的部分 4
（1）小明家2023年用气100立方米，小明家2023年应缴费 元．
（2）若某户2023年用气量为 立方米，当 时，则应缴费 元（用含 的代数式表示）．
（3）按照此方案结算，某户2023年实际缴纳燃气费1640元，求该户2023年实际用气量为多少立方米？
【解析】：（1） 小明家2023年用气100立方米，且 ，
小明家2023年应缴费： （元 ，
故答案为：280；
（2） 某户2023年用气量为 立方米，且 ，
应缴费： （元 ，
故答案为： ；
（3）当用天然气300立方米时，费用为： （元 ，
当用天然气600立方米时，费用为： （元 ，
，
缴纳天然气费1640元，使用量大于300且小于600立方米，
设该户2023年用气量为 立方米，
依题意，得： ，
解得： ，
该户2023年实际用气量为550立方米．
45．（2023秋•寿光市期末）某学校七年级4名老师带领本班 名学生参加实践活动．已知该活动基地每
张门票的票价为30元．现有 、 两种购票方案可供选择：
方案 ：教师全价，学生半价；
方案 ：不分教师与学生，师生全部六折优惠．
（1）请分别计算两种方案的总费用（请用含 的代数式表示）；
（2）当学生数是多少时，两种方案价格一样；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 26（3）当 时，请通过计算来说明 、 两种购票方案中哪种更为优惠．
【解析】：（1）方案 元，
方案 元；
（2）由题意得： ，
解得： ，
答：学生数是16时，两种方案价格一样；
（3）当 时，方案 需要付款： （元 ，
方案 需要付款： （元 ，
，
方案中更为优惠．
46．（2023秋•济宁期末）某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气在50立方米以内（含50立方米），
按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，设某用户11月用煤气 立
方米．
（1）若 ，则所需煤气费为 元；若 ，则所需煤气费为 元；（用含 的代数式表示）
（2）若该用户11月份的煤气费是76元，求该用户11月份用去煤气多少立方米？
【解析】：（1）由题意得：
若 ，则费用表示为 元，
若 ，则费用表示为： 元，
故答案为： ； ．
（2）当 时， ，
大于50，
由题意可得 ，
解得 ．
答：该用户11月份用去煤气80立方米．
47．（2023秋•鼓楼区校级期末）列一元一次方程解决下列问题：
传统文化与创意营销的结合使已有近600年历史的故宫博物院重新焕发出生机，一些文创产品让顾客爱不
释手．某购物网站上销售故宫文创笔记本和珐琅书签，若文创笔记本的销量比珐琅书签销量的2倍少700
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 27件，二者销量之和为5900件，求文创笔记本和珐琅书签的销量分别为多少？
【解析】：设珐琅书签的销售了 件，则文创笔记本销售了 件，
根据题意得： ，
解得 ，
故 （件 ，
答：珐琅书签的销售了2200件，则文创笔记本销售了3700件．
48．（2023秋•泗水县期末）用 纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费 0.1元，在乙
复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部
分每页收费0.09元．复印张数为多少时，两处的收费相同？
【解析】：设复印 张时，两处的收费相同，
依题意，得： ，
解得： ．
答：复印60张时，两处的收费相同．
49．（2023秋•东莞市校级期末）若关于 的一元一次方程 的解满足 ，则称该方程为
“和谐方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“和谐方程”．
（1）试判断方程 是不是“和谐方程”；
（2）若 ，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求 的值；若没有，请说明理由．
【解析】：（1）解方程 ，得 ，
，
方程 是不是“和谐方程”；
（2）解方程 ，得 ，
若有符合要求的“和谐方程”，则 ，
解得 ，
因此有符合要求的“和谐方程”， 的值为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2850．（2023秋•济宁期末）登山运动是最简单易行的健身运动，在秀美的景色中进行有氧运动，特别是山
脉中森林覆盖率高，负氧离子多，真正达到了身心愉悦的进行体育锻炼．张老师和李老师登一座山，张老
师每分钟登高10米，并且先出发30分钟，李老师每分钟登高15米，两人同时登上山顶，求这座山的高度．
【解析】：设这座山的高度为 米，由题意得，
，
解得： ，
答：这座山的高度为900米．
51．（2023秋•东莞市校级期末）综合与实践，阅读理解：
【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结
合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴．按下列要求折叠纸面
【问题解决】
（1）若折叠后数1对应的点与数 对应的点重合，则此时数 对应的点与数 对应的点重合；
【学以致用】
（2）若折叠后数 对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合；
【问题拓展】
（3）若如（2）这样折叠后，数轴上有 ， 两点也重合，且 ， 两点之间的距离为14（点 在点
的右侧），则点 对应的数为 ，点 对应的数为 ；
（4）在（3）的条件下，数轴上有一动点 ，动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀
速运动，设运动时间为 秒 ．
①若动点 从 点向右出发， 为何值时， ， 两点之间的距离为18个单位长度；
②若动点 从 点向左出发， ， 两点之间的距离为2个单位长度时，求出此时 的值．
【解析】：（1）根据折叠后数1对应的点与数 对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数
到折痕点数的距离相等，符号相反，
数 对应的点与数4对应的点重合，
故答案为：4；
（2）根据折叠后数 对应的点与数6对应的点重合，
折痕点表示的数为 ，
设折叠后与0重合的数为 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 29由此得到 ，
解得 ，
故答案为：2；
（3）根据折叠后数 对应的点与数6对应的点重合，
折痕点表示的数为 ，
设点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
根据折叠的性质，得 ，
解得 ， ，
故答案为： ，8；
（4）根据题意，得 ， ，
根据动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，
设运动时间为 秒 ，得到 ．
①根据题意，得
，
解得 ；
②根据题意，得到点 表示的数为 ，根据 ， 两点之间的距离为2个单位长度，
得 ，
解得 或 ．
52．（2023秋•五峰县期末）已知，如图所示， 、 、 是数轴上的三点，点 对的数是6， ，
．
（1）写出 、 对应的数；
（2）动点 、 同时从 、 出发，分别以每秒6个单位，3个单位速度沿数轴正方向运动， 是
的中点， 在 上且 ，设运动时间为 ．
①求点 、 对应的数（含 的式子）；
② 为何值时 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 30【解析】：（1） 表示的数为6， ，
，
点表示2．
，
，
点表示 ．
故点 对应的数是 ，点 对应的数是2；
（2）① ， ，如图1所示：
为 的中点， 在 上，且 ，
， ，
点 表示的数是 ，点 表示的数是6，
点 表示的数是 ，点 表示的数是 ；
② ， ， ，
，
，
当 时， ；
当 时， ．
当 或 时， ．
53．（2023秋•东阿县期末）如图，已知数轴上有 、 两点，点 在原点的右侧，到原点的距离为2，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 31点 在点 的左侧， ．动点 、 分别从 、 两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度
分别为3个单位长度 秒、1个单位长度 秒，设运动时间为 秒．
（1）点 表示的数为 ，点 表示的数为
（2）若动点 、 均向右运动．当 时，点 对应的数是 ， 、 两点间的距离为 个单位
长度．请问当 为何值时，点 追上点 ，并求出此时点 对应的数；
（3）若动点 从 点向左运动到原点后返回到 点停止，动点 从 点向右运动，当点 停止时，点
也停止运动．请直接写出当 为何值时，在 、 和 三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线
段长度的3倍．
【解析】：（1） 点 在原点的右侧，到原点的距离为2，
点 表示的数为：2，
点 在点 的左侧， ，
，
点 表示的数为： ，
故答案为： ；2；
（2）当 时， ， ，
点 向右运动了6个单位长度，点 向右运动了2个单位长度，
， ，
点 对应的数是： ，点， 对应的数是：4，
，
、 两点间的距离为：14个单位长度，
当点 追上点 时，可得点 与点 表示的数相同，
，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 32，
此时点 对应的数为：11，
当 为9时，点 追上点 ，此时点 对应的数为：11，
故答案为： ，14；
（3）当 停止时，所用的时间为4秒，
分四种情况：
当 时，
，
解得： ，
当 时，
，
解得： （舍去），
当 时，
，
解得： ，
当 时，
，
解得： ，
综上所述：当 为1.5，2或4时，在 、 和 三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度
的3倍．
54．（2023秋•东昌府区期末）某班学生列队从学校到 地去参加劳动，以每小时 的速度行进，走了
半小时，一位老师发现忘记带一件东西，他以每小时 的速度骑自行车回学校，取了东西后立即以同
样的速度追赶队伍，结果在距 地 的地方追上了队伍，求学校到 地的距离．
【解析】：设学校到 地的距离为 ，
学生半小时走过的路程是： ，
根据题意得 ，
解这个方程得； ，
经检验 符合题意，
所以学校到 地的距离为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3355．（2023秋•商南县期末）目前节能灯在城市已经普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共120只，
这两种节能灯的进价、售价如下表所示：
品名 进价（元 只） 售价（元 只）
甲 25 30
乙 45 60
（1）如何进货，进货款恰好为4600元？
（2）如何进货，商场销售完这批节能灯时恰好获利 ？
【解析】：（1）设商场购进甲型节能灯 只，则购进乙型节能灯 只，
由题意，得 ，
解得： ，
购进乙型节能灯 只．
答：购进甲型节能灯40只，购进乙型节能灯80只进货款恰好为4600元．
（2）设商场购进甲型节能灯 只，则购进乙型节能灯 只，
由题意，得 ，
解得： ，
购进乙型节能灯 只，
答：商场购进甲型节能灯45只，购进乙型节能灯75只时恰好获利 ．
56．（2023秋•东河区期末）已知数 ， ， 满足 ，请回答问题：
（1）请直接写出 ， ， 的值： ， ， ；
（2）数轴上 ， ， 三个数所对应的点分别为 ， ， ，则 ， 两点的距离可表示为
，数轴上有一点 ，它表示的数为 ．若 ，则点 表示的数 是 ；
（3）点 和点 分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为 ．
①当 时，求 的长；
②当 ， 两点的距离为2时，求 的值．
【解析】：（1） ， ， ，且 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 34， ， ，
， ， ，
故答案为： ，1，5．
（2） 、1对应的点分别为点 、点 ，
，
点 对表示的数是 ，且 ，
，
或 ，
解得 或 ，
故答案为：2， 或2．
（3）由题意可知，动点 表示的数是 ，动点 表示的数是 ，
①当 时， ，
点 表示的数是11，
，
的长是14．
② ，且 ，
，
或 ，
解得 或 ，
的值为1或3．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 35
