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大题突破 05 与一元一次方程有关的 6 种大题专练
一．一元一次方程的定义
1．（2023秋•宝应县期末）已知关于 的方程 是一元一次方程．
（1）求 的值；
（2）求代数式 的值．
2．（2023秋•汉阴县期末）若方程 是关于 的一元一次方程， ， 均为有理数，
求 的绝对值．
3．（2023秋•西安期末）已知方程 是关于 的一元一次方程．求 、 的值．
二．等式的性质
4．（2023秋•寻乌县期末）观察下列两个等式： ， 给出定义如下：我
们称使等式 成立的一对有理数 ， 为“同心有理数对”，记为 ，如：数对 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1，都是“同心有理数对”．
（1）数对 ， 是“同心有理数对”的是 ．
（2）若 是“同心有理数对”，求 的值；
（3）若 是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是” ，说明理
由．
5．（2023秋•城厢区校级期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化
简与求值中应用极为广泛．
（1）已知 ，在求 的值时，可这样变换： ．仿照求
的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
6．（2023秋•襄城区期末）观察以下等式：
① ；
② ；
③ ；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请再写出一个等式： ．
（2）数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术；他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去
十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．
①王老师猜的结果是： ；
②若设最初想的两位数的十位数字是 ，个位数字是 ，你能解释这个魔术的原理吗？
7．（2023秋•信州区期末）小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，
化 为分数，解决方法是：设 ，即 ，将方程两边都 ，得 ，即
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2，又因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ．
尝试解决下列各题：
（1）把 化成分数为 ．
（2）请利用小明的方法，把纯循环小数 化成分数．
三．解一元一次方程
8．（2023秋•交口县期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
9．（2023秋•兰州期末）规定一种运算法则： ※ ．例如： ※ ．
若2※ ，求 ※ 的值．
10．（2023秋•五峰县期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
11．（2023秋•禹州市期末）本学期学了一元一次方程的解法，下面是小亮同学解方程的过程，请认真阅
读并完成相应任务．
解方程： ．
解：去分母，得 ， 第一步
去括号，得 ， 第二步
移项，得 ， 第三步
合并同类项，得 ， 第四步
系数化为1，得 ． 第五步
（1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
（2）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（3）请直接写出该方程正确的解是 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3（4）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学
提一条建议．
12．（2023秋•石城县期末）解方程： ．
13．（2023秋•应城市期末）定义运算 如下： ，如 ．若 ，
则 ．
14．（2023秋•应城市期末）解下列方程．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
15．（2023秋•红旗区校级期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
16．（2023秋•惠民县期末）解方程 ．
17．（2023秋•湛江期末）解方程： ．
18．（2023秋•定陶区期末）先阅读下面材料，再完成任务：
【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．
例题，利用一元一次方程将 化为分数，设 ，则 ，而 ，
所以 ，化简得 ，解得 ．所以 ．
【问题探究】
（1）请仿照上述方法把 化成分数为分数为 ；（直接写出结果）
（2）请类比上述方法，把循环小数 化为分数，写出解题过程．
19．（2023秋•郓城县期末）解方程：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4（1） ；
（2） ．
20．（2023秋•泗水县期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
21．（2023秋•商南县期末）解方程
（1）
（2）
22．（2023秋•东莞市校级期末）解方程： ．
23．（2023秋•灵山县校级期末）解方程：
（1） ；
（2） ．
24．（2023秋•定陶区期末）解方程： ．
四．同解方程
25．（2023秋•苏州期末）已知关于 的一元一次方程 与 的解相同，求
、 的值．
26．（2023秋•大丰区期末）已知关于 的方程 与 的解相同，求 的值．
27．（2023秋•平顶山期末）若关于 的方程 和 有相同的解，请求出 的值．
28．（2023 秋•东湖区校级期末）方程 和方程 的解相同．求代数式
的值．
29．（2023秋•萧县期末）已知关于 的方程 是一元一次方程．
（1）求 的值；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5（2）若已知方程与方程 的解相同，求 的值．
五．由实际问题抽象出一元一次方程
30．（2023秋•望花区期末）一快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶
，就早到10分钟；若快递员开车每分钟行驶 ，就要迟到5分钟．试求出规定时间及快递员所
行驶的总路程．
然然和涵涵列出的方程如下：
然然：
涵涵：
（1）然然所列方程中的 表示 ；
涵涵所列方程中的 表示 ；
（2）请选择其中一个人的方法，写出完整的解答过程．
31．（2023秋•天元区期末）兔年将至，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“兔年贺卡”．如果每人
做8个，那么比计划多了5个；如果每人做5个，那么比计划少25个．问题：该小组共有多少人？计划做
多少个“兔年贺卡”？
她俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程：
乐乐的方法： □ □ ；丽丽的方法： ．
（1）在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“ ”中是数字，试分别指出未知数 ，
表示的意义；
（2）试选择一种方法，将原题中的问题解答完成．
32．（2023 秋•苏州期末）为促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费．峰时段为
；谷时段为 次日 ．如表为该地某户居民11月份的电费账单的部分信息，设其中
的峰时电量为 千瓦时，根据所给信息，解决下列问题．
户主 用电户号
合计金额 160元 合计电量 350千瓦时
抄送周期
备注：合计电量 峰时电量 谷时电量
计费数量（千瓦时）
单价（元 金额（元
峰时电量 0.56 ②
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6谷时电量 0.36 ① ③
（1）填空（用含 的代数式表示）：① ，② ，③ ；
（2）由题意，可列方程为 ；
（3）该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？
33．（2023秋•兴隆县期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，
并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水
位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．
已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能
出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，
称物以载之，则校可知矣．”
——《三国志》
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量 个搬运工的体重和 块等重的条形石的重量 个
搬运工的体重，所以：
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是 斤，则可列方程为： ．
②解这个方程得， ．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量 个搬运工的体重．
④最终可求得：大象的体重为 斤．
六．一元一次方程的应用
34．（2023秋•百色期末）某校七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学体育课使用，
共买了2个篮球和3个排球，花360元，并且每个排球比篮球便宜30元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活
动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如
何安排更划算？
35．（2023秋•弥勒市期末）2023年国产大型客机 首航成功，这标志着 正式投入商业运营，也
标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用 2.8小时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7它逆风飞行同样的航线要用3小时．已知在风速为24千米 时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的
平均速度．
36．（2023秋•定陶区期末）元旦期间，小颖的妈妈在网上给某品牌服装店，按标价8折拍到一件学生外
套，支付了120元，爱思考的小颖进行了下列研究：
（1）该学生外套在网上的标价是多少元？
（2）妈妈告诉小颖，她在网上买到的学生外套商家可以获得 的利润，根据妈妈的说法，一件学生外
套的进价是多少元？
37．（2023秋•琼海校级期末）甲、乙两人练习跑步，从同一地点 出发，甲每分钟跑250米，乙每分钟
跑200米，甲因找跑鞋比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点 ，求 两地的距离．
38．（2023秋•银川校级期末）在数学综合与实践课上，老师以“出行方式的选择”为主题，请同学们发
现和提出问题并分析和解决问题．
问题情境
随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快
车和神州专车三种网约车，收费标准见如图．（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里 小时）
起步价：12元里程费：2.5元 公里时长费：0.4元 分钟
起步价：10元里程费：2.8元 公里时长费：0.5元 分钟
起步价：14元超公里费：超过3公里2.4元 公里不足1公里按1公里计
问题一
“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，
费用为 元；
问题二
从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数．
39．（2023秋•银川校级期末）如图，已知数轴上点 表示的数为6，点 是数轴上在 点左侧的一点，
且 、 两点间的距离为10，动点 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
（1）数轴上点 表示的数是 ；
（2）运动1秒时，点 表示的数是 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8（3）动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点 、 同时出发．求：
①当点 运动多少秒时，点 与点 相遇？相遇时对应的有理数是多少？
②当点 运动多少秒时，点 与点 的距离为8个单位长度．
40．（2023秋•重庆期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．温水和开水公用一个出水口．温
水的温度为 ，流速为 ；开水的温度为 ，流速为 ．整个接水的过程不计热量损失．
（1）用空杯先接 温水，再接 开水，接完后杯中共有水 ，水温为 ；
（2）某学生先接了一会温水，又接了一会开水，得到一杯 温度为 的水．设该学生接温水的时
间为 ，请求出 的值；
（3）研究表明，蜂蜜的最佳冲泡温度是 ，某教师携带一个容量为 的水杯接水，用来泡
蜂蜜，要使接满水时杯中水温在最佳冲泡温度范围内，请直接写出该教师分配接水时间的方案（接水时间
按整秒计算）．
41．（2023秋•泗水县期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使
得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每
天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
42．（2023秋•鲁山县期末）为了丰富学生课后服务活动，某校七年级开展了篮球兴趣班和足球兴趣班，
现需要给每名兴趣班同学分别购买一个篮球或一个足球，篮球每个 100元，足球每个80元，结合图中两个
学生的一段对话，求两个兴趣班各有多少人？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 943．（2023秋•雁塔区校级期末）（1）写出图中表示点 ，点 的数；
（2）在数轴上标出表示1的点 和表示 的点 ；
（3）若在数轴上另取一点 ，且 ， 两点间的距离是9，则点 对应的数是几？
44．（2023秋•亭湖区校级期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格
水平如下：
一户居民一年用气量（单位：立方米） 单价（单位：元 立方米）
第1档 不超过300立方米的部分 2.8
第2档 300立方米以上至600立方 3.2
米（含 部分
第3档 600立方米以上的部分 4
（1）小明家2023年用气100立方米，小明家2023年应缴费 元．
（2）若某户2023年用气量为 立方米，当 时，则应缴费 元（用含 的代数式表示）．
（3）按照此方案结算，某户2023年实际缴纳燃气费1640元，求该户2023年实际用气量为多少立方米？
45．（2023秋•寿光市期末）某学校七年级4名老师带领本班 名学生参加实践活动．已知该活动基地每
张门票的票价为30元．现有 、 两种购票方案可供选择：
方案 ：教师全价，学生半价；
方案 ：不分教师与学生，师生全部六折优惠．
（1）请分别计算两种方案的总费用（请用含 的代数式表示）；
（2）当学生数是多少时，两种方案价格一样；
（3）当 时，请通过计算来说明 、 两种购票方案中哪种更为优惠．
46．（2023秋•济宁期末）某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气在50立方米以内（含50立方米），
按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，设某用户11月用煤气 立
方米．
（1）若 ，则所需煤气费为 元；若 ，则所需煤气费为 元；（用含 的代数式表示）
（2）若该用户11月份的煤气费是76元，求该用户11月份用去煤气多少立方米？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1047．（2023秋•鼓楼区校级期末）列一元一次方程解决下列问题：
传统文化与创意营销的结合使已有近600年历史的故宫博物院重新焕发出生机，一些文创产品让顾客爱不
释手．某购物网站上销售故宫文创笔记本和珐琅书签，若文创笔记本的销量比珐琅书签销量的2倍少700
件，二者销量之和为5900件，求文创笔记本和珐琅书签的销量分别为多少？
48．（2023秋•泗水县期末）用 纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费 0.1元，在乙
复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部
分每页收费0.09元．复印张数为多少时，两处的收费相同？
49．（2023秋•东莞市校级期末）若关于 的一元一次方程 的解满足 ，则称该方程为
“和谐方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“和谐方程”．
（1）试判断方程 是不是“和谐方程”；
（2）若 ，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求 的值；若没有，请说明理由．
50．（2023秋•济宁期末）登山运动是最简单易行的健身运动，在秀美的景色中进行有氧运动，特别是山
脉中森林覆盖率高，负氧离子多，真正达到了身心愉悦的进行体育锻炼．张老师和李老师登一座山，张老
师每分钟登高10米，并且先出发30分钟，李老师每分钟登高15米，两人同时登上山顶，求这座山的高度．
51．（2023秋•东莞市校级期末）综合与实践，阅读理解：
【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结
合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴．按下列要求折叠纸面
【问题解决】
（1）若折叠后数1对应的点与数 对应的点重合，则此时数 对应的点与数 对应的点重合；
【学以致用】
（2）若折叠后数 对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合；
【问题拓展】
（3）若如（2）这样折叠后，数轴上有 ， 两点也重合，且 ， 两点之间的距离为14（点 在点
的右侧），则点 对应的数为 ，点 对应的数为 ；
（4）在（3）的条件下，数轴上有一动点 ，动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀
速运动，设运动时间为 秒 ．
①若动点 从 点向右出发， 为何值时， ， 两点之间的距离为18个单位长度；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11②若动点 从 点向左出发， ， 两点之间的距离为2个单位长度时，求出此时 的值．
52．（2023秋•五峰县期末）已知，如图所示， 、 、 是数轴上的三点，点 对的数是6， ，
．
（1）写出 、 对应的数；
（2）动点 、 同时从 、 出发，分别以每秒6个单位，3个单位速度沿数轴正方向运动， 是
的中点， 在 上且 ，设运动时间为 ．
①求点 、 对应的数（含 的式子）；
② 为何值时 ．
53．（2023秋•东阿县期末）如图，已知数轴上有 、 两点，点 在原点的右侧，到原点的距离为2，
点 在点 的左侧， ．动点 、 分别从 、 两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度
分别为3个单位长度 秒、1个单位长度 秒，设运动时间为 秒．
（1）点 表示的数为 ，点 表示的数为
（2）若动点 、 均向右运动．当 时，点 对应的数是 ， 、 两点间的距离为 个单位
长度．请问当 为何值时，点 追上点 ，并求出此时点 对应的数；
（3）若动点 从 点向左运动到原点后返回到 点停止，动点 从 点向右运动，当点 停止时，点
也停止运动．请直接写出当 为何值时，在 、 和 三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线
段长度的3倍．
54．（2023秋•东昌府区期末）某班学生列队从学校到 地去参加劳动，以每小时 的速度行进，走了
半小时，一位老师发现忘记带一件东西，他以每小时 的速度骑自行车回学校，取了东西后立即以同
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12样的速度追赶队伍，结果在距 地 的地方追上了队伍，求学校到 地的距离．
55．（2023秋•商南县期末）目前节能灯在城市已经普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共120只，
这两种节能灯的进价、售价如下表所示：
品名 进价（元 只） 售价（元 只）
甲 25 30
乙 45 60
（1）如何进货，进货款恰好为4600元？
（2）如何进货，商场销售完这批节能灯时恰好获利 ？
56．（2023秋•东河区期末）已知数 ， ， 满足 ，请回答问题：
（1）请直接写出 ， ， 的值： ， ， ；
（2）数轴上 ， ， 三个数所对应的点分别为 ， ， ，则 ， 两点的距离可表示为
，数轴上有一点 ，它表示的数为 ．若 ，则点 表示的数 是 ；
（3）点 和点 分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为 ．
①当 时，求 的长；
②当 ， 两点的距离为2时，求 的值．
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