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专题 06 构造一元一次方程解决九种问题
（九种技巧精讲精练+过关检测）
题型 01 根据一元一次方程的定义构造方程
【典例分析】
【例1-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知方程 是关于 的一元一次方程，则方程的解等于（ ）
1
学科网（北京）股份有限公司A．1 B．0 C． D．
【例1-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x的方程 是一元一次方程，则 ．
【例1-3】（23-24七年级上·全国·单元测试）关于 的方程 是一元一次方程，求 的值．
【变式演练】
【变式1-1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）若方程 是关于 的一元一次方程，则代数式
的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．−2
【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知 是关于 的一元一次方程，则
．
【变式1-3】（2024七年级·全国·竞赛）已知 是关于 的一元一次方程．
求 的值．
题型 02 根据一元一次方程解的定义构造方程
【典例分析】
【例2-1】（24-25七年级上·云南昆明·期中）若 是关于 的方程 的解，则a的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
2
学科网（北京）股份有限公司【例2-2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则 ．
【例2-3】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）若 是关于 的一元一次方程 的解，求 ， 的
值．
【变式演练】
【变式2-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则
（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【变式2-2】（23-24七年级上·江苏常州·期末） 是方程 的解，则 的值是 ．
【变式2-3】（23-24七年级上·吉林白城·期末）冉冉解方程 时，发现★处一个常数被涂抹了，已知
方程的解是 ，求★处的数字．
题型 03 根据两个一元一次方程解的关系构造方程
【典例分析】
【例3-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如果 的解与 的解相同，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例3-2】（22-23七年级上·福建福州·期末）若方程 与关于x的方程 的解相同，则 ．
【例3-3】（24-25七年级上·北京·期中）若方程 的解与关于x的方程
的解相同，确定字母a的值．
3
学科网（北京）股份有限公司【变式演练】
【变式3-1】（23-24七年级上·湖北十堰·期末）如果方程 和方程 的解互为相反数，那么 的值
为( )
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24七年级上·全国·单元测试）已知方程 与方程 的解相同，那么
【变式3-3】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程 ，若该方程的解与方程
的解互为相反数，求m的值．
题型 04 根据方程无解构造方程
【典例分析】
【例4-1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）关于 的方程 无解，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【例4-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于 的一元一次方程 无解，则a的值是 ．
【例4-3】（23-24七年级上·广东广州·期中）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是
方程的解（solution）．已知：关于 的方程 ．
(1)若 是方程 的解，则 的值为 ；
4
学科网（北京）股份有限公司(2)若关于 的方程 的解比方程 的解小1，求 的值；
(3)若关于 的方程 与 均无解，求代数式 的值．
【变式演练】
【变式4-1】（21-22七年级上·广西河池·期末）若关于 的方程 无解，则 ， 的值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式4-2】（22-23七年级上·江苏·单元测试）若关于 的方程 无解，则 的值为
【变式4-3】（七年级上·湖南长沙·阶段练习）我们规定：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，
这个值就是方程的解（solution）.已知：关于 的方程 .
（1）若 是方程 的解，求 的值；
（2）若关于 的方程 的解比方程 的解大6，求 的值；
（3）若关于 的方程 与 均无解，求代数式 的值.
题型 05 根据方程有无穷解构造方程
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学科网（北京）股份有限公司【典例分析】
【例5-1】（23-24七年级·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程 （a、b是常数）
的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（20-21七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于x的方程 ，无论k为何值，它的解总是
1，则 ＝ ．
【例5-3】（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程 ( 是常数)的
解总是 ，求 的值．
【变式演练】
【变式5-1】（21-22七年级上·重庆江北·期中）若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常
数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）若不论 取什么实数，关于x的方程 （a、b为
常数）的解总是 ，则 的值是 ．
【变式5-3】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 ，其中a，b，k为
常数，
(1)当 ， ， 时，求该方程的解；
(2)当 时，若原方程有无数个解，请求出此时 的值；
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学科网（北京）股份有限公司(3)若无论k为何值，该方程的解总是 ，求 的值．
题型 06 根据有理数的相关概念构造方程
【典例分析】
【例6-1】（23-24七年级上·全国·单元测试）若 的倒数与 互为相反数，则 （ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）若 与 互为相反数，则 ．
【例6-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程 的解与关于 的方程 的解互为相
反数，求 的值．
【变式演练】
【变式6-1】（23-24七年级上·山东日照·期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，
相对面上的两个数互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
【变式6-2】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，是正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对面上
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学科网（北京）股份有限公司两个数互为相反数，则 的值是 ．
【变式6-3】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知 与 互为相反数， 与 互为倒数，
(1)求 的值；
(2)化简求 的值？
题型 07 根据代数式的相关知识构造方程
【典例分析】
【例7-1】（21-22七年级上·山东菏泽·期末）已知代数式 比 多 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（23-24七年级上·山东青岛·期末）若代数式 比 的值多 ，则 的倒数是 ．
【例7-3】（2024七年级上·山东·专题练习）根据题意求值：已知单项式 与单项式 是同类项，求
的值．
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学科网（北京）股份有限公司【变式演练】
【变式7-1】（22-23七年级上·云南文山·期末）已知 与 是同类项，则 的值是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．17
【变式7-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）当x的值为 时，单项式 与 是同类项．
【变式7-3】（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）已知 是关于 的一元一次方程，关于 的
单项式 的系数是最大的负整数，且次数与单项式 的次数相同，求代数式 的值．
题型 08 根据新定义构造方程
【典例分析】
【例8-1】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）定义运算“*”为 ，若 ，则x为（ ）
A． B．1 C． D．5
【例8-2】（23-24七年级上·北京·阶段练习）定义新运算： 表示 a，b 的差（大减小）的两倍，例如：
，若 ，则 x 的值是 ．
【例8-3】（24-25七年级上·广西崇左·期中）用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 ，规定
，如 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【变式演练】
【变式8-1】（23-24七年级上·广东佛山·期中）一种新定义运算为：对于任意两个数 与 ， ，若
，则 （ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【变式8-2】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对有理数 ， 定义一种新运算 ，规定 ．若
，则 ．
【变式8-3】（24-25七年级上·全国·课后作业） 定义：若 ，则称a与b是关于2的平衡数．
(1)3与__________是关于2的平衡数， 与__________（填一个含x的式子）是关于2的平衡数；
(2)若 ，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由；
(3)若 ，且c与d是关于2的平衡数，x为正整数，求非负整数k的值．
题型 09 根据图形信息构造方程
【典例分析】
【例9-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形 （ 是宽）中放入6个长、宽都相同的小长
方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽 ．设 ，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程
；②以大长方形的长作相等关系可得方程 ．其中，正确的是（ ）．
10
学科网（北京）股份有限公司A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
【例9-2】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正
方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米．
【例9-3】（24-25七年级上·吉林·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．
三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖．
(1)求a的值；
(2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含x的代数式表示）？
(3)已知卧室1的面积为16平方米，按市场价格，木地板的单价为500元/平方米，地砖的单价为20元/平方米，求铺
设地面的总费用．
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学科网（北京）股份有限公司【变式演练】
【变式9-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，地面上钉着一个用一根彩绳围成的直角三角形 ．若将直角
三角形锐角顶点处的一个钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则钉成的长方形的面积是（ ）
A．32 B．36 C．32或36 D．24或48
【变式9-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分
是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为 m2，则 ．
【变式9-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，将一张长为 ，宽为 的长方形纸片，在四
个角上分别剪去边长为 的小正方形，剩下部分可以折成一个无盖长方体盒子（如图2），若在该无盖盒子中，其
底面长方形的长是宽的2倍，求x的值及该无盖盒子的体积．
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（22-23七年级上·湖南益阳·期末）若关于 的方程 是一元一次方程，则 的值是（ ）
A． B． C． D．无解
2．（20-21七年级上·全国·单元测试）关于 的方程 无解，则 是 （ ）．
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
3．（2024七年级上·全国·专题练习）若代数式 与 的值是互为相反数，则 的值为（ ）
A．−8 B． C．−2 D．
4．（23-24七年级上·广东珠海·期末）如图，长方形 被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形 ，
若小长方形 的两边 ，则大长方形的两边 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（21-22七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的方程 ，若方程无解，则整数 = ；若
方程的解为正整数，则整数 = ．
6．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）若关于 的方程 和 有相同解，则 的值为 ．
7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
三、解答题
13
学科网（北京）股份有限公司8．（2024七年级上·江苏·专题练习）当x取什么值时，代数式 与 的差等于5．
9．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）已知关于 的方程 为一元一次方程，且该方程的解与关于
的方程 的解相同．求 、 的值．
10．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程
(1)当a取何值时，方程的解是 ；
(2)当a取何值时，方程无解；
(3)当a取何值时，方程有无穷多个解．
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