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专题 06 构造一元一次方程解决九种问题
（九种技巧精讲精练+过关检测）
题型 01 根据一元一次方程的定义构造方程
【典例分析】
【例1-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知方程 是关于 的一元一次方程，则方程的解等于（ ）
1
学科网（北京）股份有限公司A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义与求解是解题的关键．根据
一元一次方程的定义，即含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此求出 的值，
然后再求解方程即可．
【详解】解：根据一元一次方程的定义可知， 且 ，
解得： ，
原方程为： ，
解得： ，
故选：D
【例1-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x的方程 是一元一次方程，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方
程是一元一次方程，根据定义列得 ，计算即可．
【详解】 是关于x的一元一次方程，
，
解得 ，
故答案为：4．
【例1-3】（23-24七年级上·全国·单元测试）关于 的方程 是一元一次方程，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义．熟练掌握是解决问题的关键．一元一次方程的定义：只含有一个未知
数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
根据一元一次方程的定义得到 ，且 ，得到 ，且 ，得到 ．
2
学科网（北京）股份有限公司【详解】∵关于 的方程 是一元一次方程，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
【变式演练】
【变式1-1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）若方程 是关于 的一元一次方程，则代数式
的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．−2
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义和已知得出 ， ，求出m的值，再代
入求出即可．
【详解】解：∵方程 是关于 的一元一次方程，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故选A
【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知 是关于 的一元一次方程，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，根据一元一次方程的一般形式可得 且 ，求解即
可，掌握一元一次方程的一般形式是解题的关键．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次方程，
∴ 且 ，
∴ ，
3
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【变式1-3】（2024七年级·全国·竞赛）已知 是关于 的一元一次方程．
求 的值．
【答案】 ．
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，代数式求值，根据一元一次方程的定义求出 的值，得
到原方程，再解方程求出 ，然后代入所求式子进行计算即可，熟练掌握一元一次方程的概念求得 的值是解题的关
键．
【详解】解：由题意知 ，
∴ ，
又∵ ，
∵ ，
∴ ，代入得：
解得: ．
原式 ，
，
．
题型 02 根据一元一次方程解的定义构造方程
【典例分析】
【例2-1】（24-25七年级上·云南昆明·期中）若 是关于 的方程 的解，则a的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了方程解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．
把 代入方程即可求解，
4
学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 是关于 的方程 的解，
，
解得： ，故选：D
【例2-2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将 代入方程 ，得到关于的一元一次方程 ，
解方程即可求得的值．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【例2-3】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）若 是关于 的一元一次方程 的解，求 ， 的
值．
【答案】 ，
【分析】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解．只含量有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次
的整理式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义得到： ，由此可以求得 的值．再根据一元一次方
程的解的意义，把 代入方程，求解即可得n值．
【详解】解：因为方程 是关于 的一元一次方程，
所以 ，所以 ．
将 代入原方程中，得 ，
解得 ．
【变式演练】
【变式2-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则
（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
5
学科网（北京）股份有限公司利用一元二次方程解的定义得到 ，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选A．
【变式2-2】（23-24七年级上·江苏常州·期末） 是方程 的解，则 的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次方程的解，将 代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念
及应用．
【详解】把 代入方程 得， ，
解得： ，
故答案为： ．
【变式2-3】（23-24七年级上·吉林白城·期末）冉冉解方程 时，发现★处一个常数被涂抹了，已知
方程的解是 ，求★处的数字．
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程即可求解．
【详解】解：将 代入方程得：
，
解得★ ，
即★处的数字是1．
题型 03 根据两个一元一次方程解的关系构造方程
【典例分析】
【例3-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如果 的解与 的解相同，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
6
学科网（北京）股份有限公司【分析】此题主要考查了同解方程，首先计算出方程 的解，再把x的值代入方程 ，解出a即
可．
【详解】解： ，
解得： ，
把 代入 中得： ，
解得： ．
故选：A．
【例3-2】（22-23七年级上·福建福州·期末）若方程 与关于x的方程 的解相同，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，先求出 的值，再代入方程 是解决问题的关键，是一道基础题．
先求出方程 的解，再把 的值代入方程 ，求出 的值即可．
【详解】解： ，
解得： ，
把 代入方程 得：
，
解得： ．
故答案为： ．
【例3-3】（24-25七年级上·北京·期中）若方程 的解与关于x的方程
的解相同，确定字母a的值．
【答案】 ．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程 得到 ，
再由题意可得 是关于x的方程 的解，则 ，解方程即可得
到答案．
【详解】解：
7
学科网（北京）股份有限公司去括号得： ，
解得 ，
∵方程 的解与关于x的方程 的解相同，
∴ 是关于x的方程 的解，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【变式演练】
【变式3-1】（23-24七年级上·湖北十堰·期末）如果方程 和方程 的解互为相反数，那么 的值
为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解法，先按照解一元一次方程的一般步骤，求出已知条件中两个方程的
解，然后根据两个方程的解是互为相反数，列出关于 的方程，解方程即可．解题关键是熟练掌握一元一次方程解的
定义和解一元一次方程的一般步骤．
【详解】解： 由 解得： ，
，
方程两边同时乘 得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
方程 和方程 的解互为相反数，
8
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
故选：C．
【变式3-2】（23-24七年级上·全国·单元测试）已知方程 与方程 的解相同，那么
【答案】10
【分析】本题主要查了解一元一次方程．先求出方程 的解为 ，再把 代入 ，解出a的
值，即可．
【详解】解：
，
把 代入 ，
则 ，
故答案为：10．
【变式3-3】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程 ，若该方程的解与方程
的解互为相反数，求m的值．
【答案】m的值为0
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，先解方程 得出 ，得出方程
的解为 ，把 代入 解关于m的方程即可．
【详解】解： ，
解得： ，
9
学科网（北京）股份有限公司∵方程 的解为 与方程 的解互为相反数，
∴方程 的解为 ，
把 代入方程 ，得：
，
解得： ．
故m的值为0．
题型 04 根据方程无解构造方程
【典例分析】
【例4-1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）关于 的方程 无解，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，先把原方程变为 ，再由方程无解即可得到
，由此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于 的方程 无解，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【例4-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于 的一元一次方程 无解，则a的值是 ．
【答案】3
10
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键；
根据题意得出关于a的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：
一元一次方程 无解，
，
．
【例4-3】（23-24七年级上·广东广州·期中）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是
方程的解（solution）．已知：关于 的方程 ．
(1)若 是方程 的解，则 的值为 ；
(2)若关于 的方程 的解比方程 的解小1，求 的值；
(3)若关于 的方程 与 均无解，求代数式 的值．
【答案】(1)5
(2)
(3)9
【分析】本题考查的是求解代数式的值，一元一次方程的解法，方程无解的含义，理解题意是关键．
（1）把 代入方程 ，再建立方程求解即可；
（2）分别解给定的两个方程，再根据关于 的方程 的解比方程 的解小1，建立新的方程求解即
可；
（3）先把已知方程变形求解 的值，再代入代数式计算即可．
11
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：把 代入方程 ，
得： ，
解得
故答案为5．
（2）∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
得
根据题意： ，
解得：
∴ 的值是1．
（3） ，
方程两边同时乘以6，得
整理得：
此方程无解，
，即 ，
，
方程两边同时乘以12，得
整理得：
12
学科网（北京）股份有限公司此方程无解，
，即 ，
把 ， 代入上式得：
，
答：代数式的值是9．
【变式演练】
【变式4-1】（21-22七年级上·广西河池·期末）若关于 的方程 无解，则 ， 的值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】先把原方程转化为 ，根据原方程无解得到 ，由此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于 的方程 无解，
∴ ，
13
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，熟知一元一次方程无解的条件是解题的关键．
【变式4-2】（22-23七年级上·江苏·单元测试）若关于 的方程 无解，则 的值为
【答案】
【分析】先去分母可得， ，再由 即可求解．
【详解】解：原方程去分母得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化 得， ，方程无解，则分母为零，
∴ ，则 ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查的是一次方程无解的知识点，掌握 无解时，满足 ， 是解题的关键．
【变式4-3】（七年级上·湖南长沙·阶段练习）我们规定：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，
这个值就是方程的解（solution）.已知：关于 的方程 .
（1）若 是方程 的解，求 的值；
（2）若关于 的方程 的解比方程 的解大6，求 的值；
（3）若关于 的方程 与 均无解，求代数式 的值.
【答案】（1）3；（2）3；（3） ．
14
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）把 代入方程 得关于m的方程，再解关于m的方程即可；
（2）解已知方程求出x，根据已知可得关于m的方程，根据解方程，可得 的值；
（3）分别解已知方程求出x，根据方程无解可得关于m、n的值，化简原式再代入即可求解．
【详解】解：（1）把 代入方程 得：
2m-3=1+2，
解得：m=3；
（2）由 ，得x= ．
由 ，得x=-m．
∵关于 的方程 的解比方程 的解大6，得
-（-m）=6．
解得m=3；
（3）由 ，得（6m-8）x=9-6n，
由 ，得（2-4n）x=3m+3，
∵关于 的方程 与 均无解，
∴6m-8=0， 2-4n=0，
解得：m= ，n= ，
当m= ，n= 时，
15
学科网（北京）股份有限公司=
=
=
=
= ．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，利用已知得出关于m的方程是解题关键．
题型 05 根据方程有无穷解构造方程
【典例分析】
【例5-1】（23-24七年级·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程 （a、b是常数）
的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将
代入 中，化简得到 ，由不论k取什么数，关于x的方程 （a、b是
常数）的解总是 可知，k的值对方程没有影响，即可得到 ，求解即可；
【详解】 不论k取什么数，关于x的方程 （a、b是常数）的解总是 ，
，
，
16
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
故选：C．
【例5-2】（20-21七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于x的方程 ，无论k为何值，它的解总是
1，则 ＝ ．
【答案】-1
【分析】把x＝1代入方程
，得： ，整理可得（2＋b）k＋2a−4＝0，再根据题意可得2＋b＝0，2a−4＝0，进
而可得a、b的值，从而可得答案．
【详解】解：把x＝1代入方程 ，得： ，
2（k＋a）＝6−（2＋bk），
2k＋2a＝6−2−bk，
2k＋bk＋2a−4＝0，
（2＋b）k＋2a−4＝0，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴2＋b＝0，2a−4＝0，
解得：b＝−2，a＝2．
则a＋b＝0．
17
学科网（北京）股份有限公司故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
【例5-3】（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程 ( 是常数)的
解总是 ，求 的值．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把 代入方程计算，求出 与 的值，即可求出 的值．
【详解】解：把 代入方程得：
去分母得： ，
整理得： ，
∵不论 取什么实数，关于 的方程 ( 是常数 的解总是 ，
∴ ，
解得： ，
则 ．
【变式演练】
【变式5-1】（21-22七年级上·重庆江北·期中）若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常
数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 代入 中，化简得到 ，因为原方程解总是 ，k的值对方程没有影
响，所以得到 ，求解即可．
18
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵关于x的方程 的解总是
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
故选：A
【点睛】本题考查方程的解的意义，牢记相关知识点并能灵活应用是解题关键
【变式5-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）若不论 取什么实数，关于x的方程 （a、b为
常数）的解总是 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将 代入方程后，找出含 的项即可求解．
【详解】解：将 代入方程得： ，
整理得：
∴ ，
解得： ，
∴
19
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【变式5-3】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 ，其中a，b，k为
常数，
(1)当 ， ， 时，求该方程的解；
(2)当 时，若原方程有无数个解，请求出此时 的值；
(3)若无论k为何值，该方程的解总是 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)12
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a，b的一元一次方程是解此题的关键．
（1）将所给字母的值代入方程即可；
（2）先将k值代入方程，得出 ，再根据原方程有无数个解求出 的值即可；
（3）根据题意，建立关于a，b的方程即可．
【详解】（1）解：把 ， ， 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：把 代入 ，
得 ，
∴ ，
20
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
若原方程有无数个解，
则 ，
∴ ；
（3）解：该方程化为： ，
当 时， ．
∴ ．
∵无论k为何值，等式恒成立，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
题型 06 根据有理数的相关概念构造方程
【典例分析】
【例6-1】（23-24七年级上·全国·单元测试）若 的倒数与 互为相反数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的解法，根据相反数的定义列出关于a的方程求解即可．
【详解】解： 的倒数是 ，
∵ 的倒数与 互为相反数，
∴ ，
21
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
故选B．
【例6-2】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）若 与 互为相反数，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的应用，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题关键．根据相反
数的意义列出方程，解出方程即可．
【详解】解： 与 互为相反数，
，
解得： ，
故答案为： ．
【例6-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程 的解与关于 的方程 的解互为相
反数，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程以及方程的解的应用，先解出 的解 ，再化简 ，
得出 ，则 ，再把 代入，即可作答．
【详解】解：∵
∴
则
∵
解得 ，
∵方程 的解与关于 的方程 的解互为相反数，
∴把 代入
22
学科网（北京）股份有限公司得
【变式演练】
【变式6-1】（23-24七年级上·山东日照·期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，
相对面上的两个数互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】A
【分析】本题考查正方体的相对面、一元一次方程、求代数式的值等知识，解题的关键是掌握正方体的相对面、一元
一次方程的解法．根据相对面上的两个数互为相反数，则面“ ”与面“ ”相对，“ ”与面“ ”相对，
“ ”与面“ ”相对，列方程并求出 ， ， ，即可．
【详解】解：∵面“ ”与面“ ”相对，“ ”与面“ ”相对，“ ”与面“ ”相对，
∴ ， ， ，
解得 ， ， ，
∴ ．
故选：A
【变式6-2】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，是正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对面上
两个数互为相反数，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，相反数，掌握正方体表面展开图的“相间、 端是对面”以及相反数
的定义是正确解答的前提．
23
学科网（北京）股份有限公司根据正方体相对两个面上的文字以及相反数的定义求出 、 、 的值，再代入计算即可．
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、 端是对面”可知，
“1”与“ ”相对，“ ”与“ ”相对，“3”与“ ”相对，
相对面上两个数互为相反数．
， ， ，
解得 ， ， ，
．
故答案为： ．
【变式6-3】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知 与 互为相反数， 与 互为倒数，
(1)求 的值；
(2)化简求 的值？
【答案】(1)
(2) ，118
【分析】本题考查代数式化简求值，涉及相反数性质、倒数性质、整式混合运算、去括号、合并同类项等知识，掌握
相关性质及整式混合运算法则是解决问题的关键
（1）根据相反数和为零、倒数乘积为1，解方程即可得到答案；
（2）根据整式混合运算法则，先去括号，再合并同类项，化简后代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 与 互为相反数， 与 互为倒数，
+ ， × ，解得： ；
（2）解：
24
学科网（北京）股份有限公司，
当 时，
原式 ．
题型 07 根据代数式的相关知识构造方程
【典例分析】
【例7-1】（21-22七年级上·山东菏泽·期末）已知代数式 比 多 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 ，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键
【例7-2】（23-24七年级上·山东青岛·期末）若代数式 比 的值多 ，则 的倒数是 ．
25
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程以及倒数，根据题意列出方程，求出方程的解得到 的值，求出 的倒数即可，解
题关键是掌握知识点的应用．
【详解】解：由题意得
∴ 的倒数是 ，
故答案为：
【例7-3】（2024七年级上·山东·专题练习）根据题意求值：已知单项式 与单项式 是同类项，求
的值．
【答案】
【分析】本题考查了利用同类项求字母的值．熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字
母的指数相同的项，叫做同类项．
根据相同字母的指数相同列方程求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可．
【详解】解：∵单项式 与单项式 是同类项，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴
【变式演练】
【变式7-1】（22-23七年级上·云南文山·期末）已知 与 是同类项，则 的值是（ ）
26
学科网（北京）股份有限公司A．12 B．13 C．16 D．17
【答案】B
【分析】本题考查同类项的概念、解一元一次方程等，同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同
的两个单项式．解题的关键是理解同类项的概念求出 的值．
根据同类项的概念列出关于 的一元一次方程，解得 的值后，代入式子即可得出结论．
【详解】解： 与 是同类项，
， ，
解得： ， ，
故选：B
【变式7-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）当x的值为 时，单项式 与 是同类项．
【答案】2
【分析】本题考查同类项定义，一元一次方程，掌握同类项定义，一元一次方程解法是解题关键．
根据同类项定义得出 ，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
∴ ，
解方程得： ，
∴当的值为2时，单项式 与 是同类项．
故答案为：
【变式7-3】（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）已知 是关于 的一元一次方程，关于 的
单项式 的系数是最大的负整数，且次数与单项式 的次数相同，求代数式 的值．
【答案】7
27
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了一元一次方程的定义，单项式，代数式求值，利用一元一次方程的定义、最大负整数以及单项式
的次数，求出 ， ， 的值是解题的关键．
利用一元一次方程的定义、最大负整数以及单项式的次数，可列出关于 ， ， 的方程及不等式，解之可得出 ，
， 的值，再将其代入 中，即可求出结论．
【详解】解： 是关于 的一元一次方程，关于 ， 的单项式 的系数是最大的负整数，且次
数与单项式 的次数相同，
，
解得： ，
题型 08 根据新定义构造方程
【典例分析】
【例8-1】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）定义运算“*”为 ，若 ，则x为（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】D
【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程，根据将定义将 变形为一元一次方程，再解方程即
可．
【详解】解： ，
，
解得 ，
故选D
【例8-2】（23-24七年级上·北京·阶段练习）定义新运算： 表示 a，b 的差（大减小）的两倍，例如：
，若 ，则 x 的值是 ．
28
学科网（北京）股份有限公司【答案】2或28/2或82
【分析】此题主要考查了新定义的运算及解一元一次方程，要熟练掌握新定义的运算是解决本题的关键．根据
，得 ，或 ，据此求出 的值为多少即可．
【详解】解： ，
，或 ，
，或 ，
，或 ，
解得 或28．
故答案为：2或28
【例8-3】（24-25七年级上·广西崇左·期中）用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 ，规定
，如 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了有理数的四则运算，解一元一次方程等知识，理解新运算的规则，正确进行计算是解题的关键；
（1）按定义的新运算规则进行计算即可；
（2）按定义的新运算规则进行计算，得到一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：由于 ，
所以 ，
两边乘2，得： ，
29
学科网（北京）股份有限公司整理，得： ，
解得：
【变式演练】
【变式8-1】（23-24七年级上·广东佛山·期中）一种新定义运算为：对于任意两个数 与 ， ，若
，则 （ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】D
【分析】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，先根据新定义运算求出 的值，即可解答．
【详解】解：由 ，
可得 ，
故选：D
【变式8-2】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对有理数 ， 定义一种新运算 ，规定 ．若
，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
即： ，
解得： ；
故答案为：1
【变式8-3】（24-25七年级上·全国·课后作业） 定义：若 ，则称a与b是关于2的平衡数．
(1)3与__________是关于2的平衡数， 与__________（填一个含x的式子）是关于2的平衡数；
(2)若 ，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由；
(3)若 ，且c与d是关于2的平衡数，x为正整数，求非负整数k的值．
【答案】(1) ，
30
学科网（北京）股份有限公司(2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析
(3)非负整数k的值为0或1或3
【分析】本题考查整式的加减，解一元一次方程，解题的关键读懂“关于2的平衡数”的定义．
（1）根据“关于2的平衡数”定义列式计算即可；
（2）求出根据整式的加减计算法则求出 ，再根据“关于2的平衡数”的定义判断；
（3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴3与 是关于2的平衡数．
∵ ，
∴ 与 是关于2的平衡数；
（2）解：a与b是关于2的平衡数，理由如下：
∵ ，
∴
，
∴a与b是关于2的平衡数；
（3）解：∵c与d是关于2的平衡数，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵x为正整数，k为非负整数，
∴当 时， ，解得 ，
31
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
∴非负整数k的值为0或1或3．
题型 09 根据图形信息构造方程
【典例分析】
【例9-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形 （ 是宽）中放入6个长、宽都相同的小长
方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽 ．设 ，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程
；②以大长方形的长作相等关系可得方程 ．其中，正确的是（ ）．
A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
【答案】C
【分析】根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于 的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实
际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得：
或找大长方形的长做相等关系得： ．
∴①②都正确，故选：C
【例9-2】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正
方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米．
32
学科网（北京）股份有限公司【答案】130
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是 米，则五种正方
形的边长从小到大依次是1米， 米， 米， 米， 米，根据长方形展板上下对边相等，列出相应的
方程，从而可以求得x的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积 长 宽，代入数据计算即可．
【详解】解：设第二小的正方形的边长是 米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米， 米， 米， 米，
米，
根据长方形展板上下对边相等，得 ，
解得 ，
展板的长是 （米）
，展板的宽是 （米），
长方形展板的面积是 （平方米）．
故答案为：130．
【例9-3】（24-25七年级上·吉林·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．
三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖．
(1)求a的值；
(2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含x的代数式表示）？
(3)已知卧室1的面积为16平方米，按市场价格，木地板的单价为500元/平方米，地砖的单价为20元/平方米，求铺
33
学科网（北京）股份有限公司设地面的总费用．
【答案】(1)
(2)铺设地面需要木地板和地砖分别是 平方米和 平方米
(3)铺设地面的总费用是31840
【分析】（1）根据长方形的对边相等可得 ，即可求出 的值；
（2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积
三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积；
（3）先根据卧室1的面积为16平方米求出 ，再求出所需的费用即可．
【详解】（1）解：根据题意得 ，
解得： ；
（2）解：三间卧室的面积：
平方米，
其他区域的面积：
平方米，
即铺设地面需要木地板和地砖分别是 平方米和 平方米．
（3）解：∵卧室1的面积为16平方米，
∴ ，
34
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∴三间卧室的面积：
（平方米），
其他区域的面积：
（平方米），
∴铺设地面的总费用：
（元）．
答：铺设地面的总费用是31840元．
【点睛】本题考查了列代数式，整式加减运算，长方形的面积，一元一次方程的的应用，分别求出铺设地面需要木地
板与地砖的面积是解题的关键
【变式演练】
【变式9-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，地面上钉着一个用一根彩绳围成的直角三角形 ．若将直角
三角形锐角顶点处的一个钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则钉成的长方形的面积是（ ）
A．32 B．36 C．32或36 D．24或48
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
先求出直角三角形 的周长，然后分去掉顶点A或顶点B的钉子两种情况分别列方程求出长方形的长和宽，进而
求得长方形的面积．
【详解】解：三角形的周长为 ，分情况求解如下：
①当去掉顶点A的钉子时， 为长方形的一条边．设长方形另一条边的长为 ．
由题意，得 ，解得 ，
所以该长方形的长和宽均为6，其面积为 ；
②当去掉顶点B的钉子时， 为长方形的一条边．设长方形另一条边的长为y．
由题意，得 ，解得 ，
所以该长方形的长和宽分别为8，4，其面积为 ．
35
学科网（北京）股份有限公司综上，所钉成的长方形的面积为32或36
【变式9-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分
是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为 m2，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据小路的左边线向右平移1米能得到
它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案．
【详解】解：依题意有 ，
解得 ．
故答案为：
【变式9-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，将一张长为 ，宽为 的长方形纸片，在四
个角上分别剪去边长为 的小正方形，剩下部分可以折成一个无盖长方体盒子（如图2），若在该无盖盒子中，其
底面长方形的长是宽的2倍，求x的值及该无盖盒子的体积．
【答案】x的值为5，该无盖盒子的体积为
【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次方程的应用，掌握解一元一次方程的步骤，读懂题意，找出等量关
系是解题的关键．根据“底面长方形的长是宽的2倍”建立关于x的方程，然后求解即可．
【详解】解：由题意，得 ．
36
学科网（北京）股份有限公司解得 ．
∴ ．
∴x的值为5，该无盖盒子的体积为
一、单选题
1．（22-23七年级上·湖南益阳·期末）若关于 的方程 是一元一次方程，则 的值是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义可得 且 ，进一步即可求出答案.
【详解】解：因为方程 是关于x的一元一次方程，
所以 且 ，
所以 且 ，
所以 ；
故选：B.
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，属于基本题目，熟知概念是解题的关键.
2．（20-21七年级上·全国·单元测试）关于 的方程 无解，则 是 （ ）．
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
【答案】B
【分析】根据方程无解得到 ，可得 ，得到 即可求解．
【详解】解：原方程可化为： ，
37
学科网（北京）股份有限公司只有 时原方程才无解，可得
所以 ，
因为
所以
即 是非正数
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，注意形如 的方程无解，则 ；解题的关键是根据题意列出相
应的式子．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）若代数式 与 的值是互为相反数，则 的值为（ ）
A．−8 B． C．−2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元一次方程及相反数，掌握相反数的定义是解题的关键，根据已知条件：代数式 和
互为相反数，列方程，然后即可求解．
【详解】解： 代数式 和 互为相反数，
∵
，
∴
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为 ，得
x=2．
故选：D．
4．（23-24七年级上·广东珠海·期末）如图，长方形 被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形 ，
38
学科网（北京）股份有限公司若小长方形 的两边 ，则大长方形的两边 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；设最小的正方形的边长为
a，再分别表示 ， ， ，再建立方程求解 即可．
【详解】解：设最小的正方形的边长为a， ，
则其余四个正方形的边长从小到大依次为5， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
二、填空题
5．（21-22七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的方程 ，若方程无解，则整数 = ；若
方程的解为正整数，则整数 = ．
39
学科网（北京）股份有限公司【答案】 1 2或4/4或2
【分析】方程整理成（a-1）x=3，再根据方程解的情况求解即可．
【详解】解：方程整理得：（a-1）x=3，
当a-1=0，即a=1时，方程无解；
当a 1时，
解（a-1）x=3得：x= ，
由方程的解为正整数，即 为正整数，
则a-1=1或a-1=3，
得到整数a=2或4，
故答案为：1；2或4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．
6．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）若关于 的方程 和 有相同解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同解方程，能得出关于 的方程 是解此题的关键．先根据等式的性质求出第一个方程
的解是 ，把 代入方程 得出 ，再求出方程的解即可．
【详解】解析：解：解方程 得： ，
把 代入方程 得： ，
解得： ．
故答案为： ．
7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方
程，据此求解即可．
40
学科网（北京）股份有限公司【详解】解；∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
三、解答题
8．（2024七年级上·江苏·专题练习）当x取什么值时，代数式 与 的差等于5．
【答案】7
【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的基本步骤是解答此题的关键．根据题意列出关于x的
方程，求出x的值即可．
【详解】解：由题意得， ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
9．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）已知关于 的方程 为一元一次方程，且该方程的解与关于
的方程 的解相同．求 、 的值．
【答案】 ，
【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，先根据方程的定义，求出 的值，然后解第一个方程，求
出 的值，代入第二个方程，得到关于 的方程，再进行求解即可．
【详解】解：∵ 为一元一次方程，
∴ ，
∴ ，
41
学科网（北京）股份有限公司∴方程化为： ，解得： ，
把 代入 ，得： ，
解得： ；
故： ， ．
10．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程
(1)当a取何值时，方程的解是 ；
(2)当a取何值时，方程无解；
(3)当a取何值时，方程有无穷多个解．
【答案】(1) 或
(2)
(3)
【分析】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程．
（1）将 代入可得关于 的方程，解出即可得出 的值；
（2）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程 ，根据 ， 时，方程无解，列式求解
即可；
（3）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程 ，根据 ， 时，方程方程有无穷多个
解，列式求解即可．
【详解】（1）解：将 代入可得： ，
整理得 ，
当 时， ，解得 ．
当 时， ，解得 ，
42
学科网（北京）股份有限公司故 或 时，方程的解是 ；
（2）解： 整理得 ，
当 且 时，方程无解，
解得 ，
故 时，方程无解；
（3）解： 整理得 ，
当 且 时，方程有无穷多个解，
解得 ，
故 时，方程有无穷多个解．
43
学科网（北京）股份有限公司
