文档内容
专题 01 三角形的内角和外角
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形内角和定理的证明..........................................................................................................................1
题型二、与平行线有关的三角形内角和问题..........................................................................................................6
题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题......................................................................................................9
题型四、三角形折叠中的角度问题........................................................................................................................14
题型五、三角形外角的性质....................................................................................................................................18
题型六、三角形的内、外角综合问题....................................................................................................................20
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形内角和定理的证明
1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（
）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是 ”时，综合实践小组的同学作
了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是 ”的是
A．如图①所示，过点 作
B．如图②所示，过点 作
C．如图③所示，过点 作 、垂足为点
D．如图④所示，过 边上点 作 ，
3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次
标上 、 、 ，如图1，再将 、 剪下，将它们与 拼在一起，如图2．(1)在图2中，通过 、 、 的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
4．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察
得到三角形内角和为 ，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
（1）如图1，过 的顶点 作 的平行线 ，请你证明三角形的内角和为 ．
证明：∵ ，
∴ ， ______（______）
∵ （平角的定义）
∴______ （等量代换）
即三角形的内角和为 ．
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．
自行车的示意图如图 ，其中 ，请你求 ， ， 这三个角的关系．（提示：过点
作 ）
【学以致用】（3）如图 是超市购物车，图 是其侧面示意图，已知 ， ，测量得知
， ，则 ______．
题型二、与平行线有关的三角形内角和问题
5．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线 ， ， ，则 的度数为 ．6．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中， ，点D在 边上， ，若
，求 的度数．
7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图， 中， 分别是 上的点，满足
．
(1) ， 是否平行？说明理由．
(2)若 平分 ， ，求 度数．
8．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边
与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出 ，记 与图中一条格线 形成的锐角为 ，
与图中另一条格线 形成的锐角为 ．
(1) 如图1，点O在一条格线上，当 时， _________ ； 如图2，点O在两条格线之间，
用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由；
(2)在图3中，小航作射线 ，使得 ．记 与图中的格线形成的锐角为 ， 与图中格线
形成的锐角为 ，请直接用等式表示 与 之间的数量关系．
题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题
9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， ， 是角平分线，则
度10．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知 中， 与 ， 相邻的外角的
角平分线交于点D，则 的度数为 ．
11．（25-26八年级上·吉林·期末）如图， 中， 平分 ．点E，F分别在边 ， 上；
， 交于点G， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
12．（24-25八年级上·吉林·期末）在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)如图1，试探究 与 的数量关系；
(2)如图2，作 外角的平分线 ， 交于点 ．请分别写出 与 ， 与 的数量关系，
不需要证明；
(3)如图3，延长线段 ， 交于点 ．在 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用
（1）和（2）中的相关结论求 的度数．题型四、三角形折叠中的角度问题
13．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， 为 边上一点，连接
，将 沿 翻折得到 ，若 ，则 的度数为 ．
14．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在 中， 、 的平分线交于点P，将
沿 折叠使得点A与点P重合，若 ，则 的度数是 ．
15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图， 是一张纸片，把 沿 折叠，使点C落在点 的
位置．
(1)当 时，求 的度数．
(2)若 ，请直接写出 的度数．（用含 的代数式表示）
16．（25-26八年级上·福建厦门·月考）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称
这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在 中，如果 ，
，那么 与 互为“友爱角”， 为“友爱三角形”．
(1)如图1， 是“友爱三角形”，且 与 互为“友爱角”（ ），
①则 _________， __________．
②将 沿过点 的直线翻折，使得点 落在 边上的点 处，折痕为 （ 在 上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由．
(2)如图2，在 中， ， ， 是边 上一点（不与 、 重合），连接 ．将
沿 翻折得到 ， 落在 边上，若 是“友爱三角形”，求 的度数．
题型五、三角形外角的性质
17．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图， 的补角等于 ， ，则 ．
18．（25-26八年级上·北京昌平·期中）如图，直线 ，则 度．
19．（25-26八年级上·重庆·期中）如图所示， ， ， ，则 ．
20．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在 中， 的角平分线和 的外角平分线交
于点 ；若 ，则 ．
题型六、三角形的内、外角综合问题
21．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图， 分别是 的两个外角．(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，请用含 的代数式表示 的度数．
22．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， 平分 ， 为线段 上的一个动点，
交 的延长线于点 ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)当P点在线段 上运动时，猜想 ， 与 的数量关系，并证明．
23．（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在 中， ， 分别是 的中线和高， 是
的角平分线．
(1)若 ， ，求 的度数．
(2)若 的面积为 ， ，求 的长．
24．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与探究
【感知】如图1，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
【应用】
(1)若 ，则 ；若 ，则 ；
(2)求 与 之间的关系并证明；
【拓展】(3)如图2，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，求 与 的数
量关系．
一、单选题
1．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图， 是 的一个外角，若 ， ，则
的度数（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·吉林松原·期末）马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳
等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，将 纸片沿 折叠，使点A落在点 处，且 平分
， 平分 ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）随着科技的发展，骑行共享单车这种＂低碳＂生活方式已融入人们
的日常生活．如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中 ，
都与地面 平行， 与 平行， ， ，则 的度数为（ ）．A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·安徽·月考）在 中， ， 的平分线交于点 ， 的外角平分
线所在直线与 的平分线相交于点 ，与 的外角平分线相交于点 ，则下列结论一定正确的
个数有（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ．
A． B． C． D．
二、填空题
6．（25-26八年级上·广东江门·月考）在 中， ， ，则 的度数为 ．
7．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，直线 平分 ， 平分 的外角 ，则
与 、 的数量关系是 ．
8．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在 中， ， ，点 在边 上，且
，点 在直线 上，且 ， ，则 与 的函数关系式为 ．
9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图， 是 的外角 的平分线，且 交 的延长线
于点 ．（1）若 ， ，则 °；
（2）直接写出 、 和 之间存在的等量关系： ．
10．（24-25八年级下·福建宁德·月考）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割
成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：
在 中， ，若存在过点 的“钻石分割线” ，使 是“钻石三角形”，如图所示，
当 ， 时，是满足条件的一种情况，此时 ．求满足以上条件的其他情况时 的
度数为 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点E，F，G分别在直线 上，已知
．
(1) 与 平行吗？请说明理由；
(2)若 ， ，求 的度数．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是 ”，林老师给出了如图所示四种
作辅助线的方法．回答下列问题：
(1)能证明“三角形内角和是 ”的方法是______（请填写序号）；
(2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明．
13．（25-26八年级上·江西上饶·月考）如图1，点 ， 分别在射线 ， 上运动（不与点 重合），， 分别是 和 的平分线，延长 交 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)如图2，若 ，过点 作 交 于点 ，求 与 的数量关系．
14．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上．
(1)如图甲，若 ， 是 上的高， ，则 ________ ；
(2)如图乙，若 ， 是 上的高， ，则 ___________ ；
(3)通过对图甲、乙的观察和 的探究，如图丙，当 时，你会发现 与 大小间有
何关系？请用式子表示，并证明．
15．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读】如图1， 是 的一个外角，我们知道：
，又因为 ，所以 ．于是我们得到一个结论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
提问：若 ， ，则 ；
【理解】
如图2，在五角星形 中， 是 的一个外角， 是 的一个外角，求：
的度数；
【应用】
如图3， ，点A、B分别在 、 上运动（不与点O重合）， 是 的平分线，
的反向延长线交 的平分线与点D．试问：随着点A、B的运动， 的大小会改变吗？如果不会，
求出 的度数；如果会，请说明理由．
