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专题 01 一元一次不等式
目录
A题型建模・专项突破
题型一、不等式的基本性质......................................................................................................................................1
题型二、求一元一次不等式的解集..........................................................................................................................3
题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题......................................................................................................6
题型四、求一元一次不等式的整数解......................................................................................................................9
题型五、解|x|≥a型的不等式..................................................................................................................................11
题型六、用一元一次不等式解决实际问题............................................................................................................15
B综合攻坚・能力跃升
题型一、不等式的基本性质
1．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知 ，则下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的基本性质，需根据不等式的三条性质逐一分析选项，找出变形错误的选项即可．
【详解】解：∵ ，
∴根据不等式性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变. 可得 ，
，故A、D正确；
根据不等式性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变. 可得 ，故B正确；
根据不等式性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 可得 ，故C错误．
故选：C．
2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若 ，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，依据不等式的基本性质逐一分析选项即可，掌握不等式的基本性
质是解题的关键．
【详解】解： 、∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，故该选项不一定成立，不符合题意；
、∵ ，
∴根据不等式两边同乘 ，不等号方向改变，则 ，故该选项不成立，不符合题意；
、∵ ，
∴ ，
∴根据不等式两边同时加 ，不等号方向不变，∴ ，故该选项不成立，不符合题意；
、∵ ，
∴根据不等式两边同时减 ，不等号方向不变，
∴ ，故该选项成立，符合题意；
故选： ．
3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向改变．
根据不等式的性质逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，
∴若 ，则 ，选项A正确；
∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变，
∴若 ，则 ，选项B正确；
∵当 时， ，此时 ，不满足 ，
∴选项C的说法不正确；
∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，
∴若 ，则 ，选项D正确；
故选：C．
4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ， ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
【答案】D
【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确．
【详解】解：A、由 ，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得 ，而不是 ，不符合题
意；
B、由 ， ，根据不等式的传递性，得 ，而不是 ，不符合题意；
C、由 ，根据不等式的对称性，应得到 ，不符合题意；
D、根据不等式的对称性，由 可得 ，故该变形正确，符合题意．
故选：D．题型二、求一元一次不等式的解集
5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式．
(1) ；
(2) ，并把解集表示在数轴上．
【答案】(1)
(2) ，数轴见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式
两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
则 ；
（2）解： ，
，
，
，
，
则 ，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可．(2) 按照解不等式的基本步骤解答即可．
本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
去括号，得
移项，得
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
数轴表示如下：
（2）解： ，
去分母，得：
去括号，得
移项，得
合并同类项，
两边同时除以 ，得 ，
数轴表示如下：
7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，数轴见解析
(2) ，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．
（1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可；
（2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：
移项得：
系数化为1得： ．在数轴上表示如图：
（2）解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得： ．
在数轴上表示如图：
8．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解．
【答案】（1） ，图见解析
（2） ，最小整数解为 ，图见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可；
（2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找
出最小整数解即可．
【详解】解：（1） ，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
数轴表示如下：
（2） ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
数轴表示如下：
则这个不等式的最小整数解为 ．
题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程．
解不等式： ．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步
移项，得 ，第三步
合并同类项，得 ，第四步
系数化为1，得 ．第五步
(1)以上解题过程从第________步开始出现错误．
(2)请写出该不等式的正确的解答过程．
【答案】(1)三
(2)见解析
【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把 的系数化为1即可．
【详解】（1）解：以上解题过程从第三步开始出现错误，移项时没有变号．
故答案为：三．
（2）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
10．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式 的过程，请认真阅读并解答．
解： ．第①步
．第②步．第③步
．第④步
．第⑤步
(1)第______步开始出现错误．
(2)请给出正确解答．
【答案】(1)⑤
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方
法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等
号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号
方向没有改变，
故答案为：⑤；
（2）解：去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化成1，得 ．
11．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完
成相应的任务．
解：去分母，得 ．第一步
移项，得 ．第二步
合并同类项，得 ，第三步
系数化成 ，得 ，第四步
根据以上材料，解答下列问题：
(1)第一步去分母的依据是______；
(2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______；
(3)原不等式的正确解集为______．
【答案】(1)不等式的基本性质 ；
(2)四；不等号的方向没有改变；
(3) ．
【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（ ）根据不等式基本性质即可求解；
（ ）根据不等式基本性质即可求解；（ ）根据不等式解法即可求解．
【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质 ，
故答案为：不等式的基本性质 ；
（2）解：在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变，
故答案为：四，不等号的方向没有改变；
（3）解：去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化成 ，得 ，
故答案为： ．
12．（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式 的解答过程，
请认真阅读并完成相应任务．
解： ，第一步
，第二步
，第三步
．第四步
(1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是
_______________________________；
②第______步开始出现错误．
(2)任务二：请直接写出正确的计算结果；
(3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议．
【答案】(1)①一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变②二
(2)
(3)去分母时，不要漏乘不含分母的项；（答案不唯一，合理即可）
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握不等式的基本性质以及去分母、去括号、移项、合并同
类项、系数化为 的步骤规范是解题的关键．
（1）一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质 ，对每一步的运算进行规则校验，
尤其是去括号的“符号法则” ；
（2）本题依据一元一次不等式的完整解法流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ），每
一步严格遵循不等式基本性质和运算规则；
（3）根据解一元一次不等式的常见易错点，如：去分母漏乘、去括号符号错误、系数化为 时不等号方向
忘记改变等，给出适当的建议．
【详解】（1）解： 由解题过程可以看出，第一步是去分母，去分母的依据是不等式基本性质 ：不等
式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．故答案为： 一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 二．
（2）解： ，
去分母： ，
去括号： ，
合并同类项： ，
移项： ，
系数化为 ： ．
（3）解：解一元一次不等式时，要注意每一步的运算细节，尤其是去分母时各项都要乘最小公倍数，不
要漏乘不含分母的项，去括号时的符号变化，以及系数化为 时不等号方向是否改变，以上均是解一元一
次不等式易出错的地方，可以选择任意一条作为给同学的建议．
题型四、求一元一次不等式的整数解
13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式 的正整数解是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式．
先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数．
【详解】解： ：
移项，得 ，
即 ，
两边同时除以2得 ，
即 ．
因此，正整数解为1、2，
故答案为：1（答案不唯一）．
14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于 的不等式 的最大正整数解是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解．
先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解．
【详解】解：解不等式 ，
移项，得： ，
两边同时除以 ，不等号方向改变，得： ，
因此，不等式的解集为 ，
最大正整数解为：2，
故答案为：2．15．（24-25八年级下·上海·期末）不等式 的正整数解是 ．
【答案】1和2/2和1
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
先根据去分母、移项、合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而确定正整数解即可．
【详解】解：
，
所以该不等式的正整数解为：1和2．
故答案为：1和2．
16．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式 只有3个正整数解，则a的取值范围
．
【答案】
【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式 ，得到 ，再由不
等式只有3个正整数解，从而得到答案．
【详解】解： ，
， ∵
不等式只有3个正整数解，
∴
，
∵
故答案为： ．
∴
题型五、解|x|≥a型的不等式
17．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式 和 的解集过程．
对于含绝对值的不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的数的绝对值小于3，所以 的解
集为 ；对于含绝对值的不等式 ，从图2的数轴上看：小于 或大于3的数的绝对值大于
3，所以 的解集为 或 ．
(1)求含绝对值的不等式 的解集；
(2)已知含绝对值的不等式 的解集为 ，求a，b的值．
【答案】(1) 或(2)
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝
对值的几何意义及解一元一次不等式的能力．
（1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）依据题意，由 知 ，据此得出 ，再结合 可得出关于 、
的方程组，解之即可求出 、 的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式 ，
从如图的数轴上看：小于 或大于2的数的绝对值大于2，
所以 的解集为 或 ．
根据绝对值的定义得： 或 ；
（2）解：由题意，
，
，
，
解集为 ，
，
．
18．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于 而小于3的数，它们到原点的
距离小于3，所以 的解集是 ；
，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于 的数和大于3的数，它们到原
点的距离大于3，所以 的解集是 或 ．
解答下面的问题：
(1)解不等式 ．(2)解不等式 ．
(3)直接写出不等式 的解集： ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键．
（1）把 当做一个整体，然后利用阅读求出 的取值范围，进而确定x的取值范围即可；
（2）把 当做一个整体，然后利用阅读求出 的取值范围，进而确定x的取值范围即可；
（3）先在数轴上找出 的解，即可得出不等式 的解集．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
（3）解：在数轴上找出 的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和 对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．
∵在数轴上1和 对应的点的距离为3，
∴满足方程的x对应的点在1的右边或 的左边．
若x对应的点在1的右边，可得 ；若x对应的点在 的左边，可得 ，
∴方程 的解是 或 ，
∴不等式 的解集为 ．
故答案为 ．
19．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我
们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题．
例如求 和 的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义，
∵
∴ 的解集为 ，
∵
∴ 解集为 或 ．
根据以上探究，解答下列问题：(1)填空：不等式 的解集为______；
(2)解不等式 ；
(3)求不等式 的解集．
【答案】(1) 或 ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解
集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键．
（1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可；
（2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可；
（3）根据 所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：不等式 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ；
（2）解：不等式 的解集为 ，
解得 ；
（3）解： 所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2， 的点的距离之和大于
7，
由数轴可知，
所以不等式 的解集为 或 ．
20．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如 表示数轴上表示
这个数的点到原点的距离，那么式子 可理解为：数轴上表示 这个数的点到表示1这个数的点的距离，
于是解不等式 则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数
轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在 和3之间（包含 和3两个点），这样我们就可以得到
不等式 的解集为 ．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：(1)不等式 的解集为___________．
(2)求不等式 的解集．
(3)求不等式 的解集．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式．
（1）根据绝对值的意义及数轴求解；
（2）根据绝对值的意义及数轴求解；
（3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于 或者大于或等于5，
不等式 的解集为 或 ；
法②：不等式 可化为 或 ，
解得： 或 ；
不等式 的解集为 或 ；
（3）解：不等式 可化为 ，
，
所以原不等式的解集为： ．
题型六、用一元一次不等式解决实际问题
21．（25-26七年级上·河南开封·月考）为了响应“绿色出行”的号召，尉氏县推出了共享单车服务，某公
司准备在尉氏县投放共享单车，前期投入了固定成本20000元，每投放一辆共享单车，还需要额外投入
100元．预计每辆共享单车每月可产生收益300元（不考虑共享单车的损耗）．
(1)设投放x辆共享单车，前期总投入为 元，每月总收益为 元，分别写出 ， 与x的函数关系式；
(2)若该公司希望第一个月就能收回前期总投入，求至少需要投放多少辆共享单车？
(3)实际投放时，由于市场需求，该公司投放了200辆共享单车，求投放后第几个月开始盈利？
【答案】(1) ，
(2)100辆
(3)第1个月开始盈利【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用与一元一次不等式的求解，熟练掌握根据实际问题中的等量
或不等关系建立数学模型并准确计算是解题的关键．
（1）根据总投入=固定成本+每辆车额外投入×数量，总收益=每辆车月收益×数量，列函数关系式；
（2）根据“收回前期总投入”即第一个月总收益≥前期总投入，列不等式求解；
（3）设第 个月开始盈利，根据 个月总收益>前期总投入，列不等式求解．
【详解】（1）解：由题意得 ， ；
（2）解：由题意得： ，
，
，
，
∴至少需要投放100辆共享单车；
（3）解：前期总投入： ，
设第 个月开始盈利，得： ，
，
，
∵ 为正整数，
∴ ，
∴投放后第1个月开始盈利．
22．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办“快乐
易物”活动．八年级一班购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件，活动中学习用品的平均售卖价为10
元/件，文娱玩具的平均售卖价为15元/件．
(1)若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？（用方程组求解）
(2)若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，
商品全部售完，请求出利润最大的采购方案以及最大利润．
【答案】(1)有 件学习用品
(2)利润最大的采购方案是购买 件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润为2340元
【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理清题意，根据
等量关系列出方程组及根据数量关系列出函数表达式是解题的关键．
（1）设学习用品有 件，文娱玩具有 件，根据“购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件”和“营业
额为3600元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设学习用品有 件，则文娱玩具有 件，利润为 元，根据数量关系得 ，再根
据购进的商品总价不高于1335元求出 ，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设学习用品有 件，文娱玩具有 件，依题意得：
化简得： ，
解得 ，
答：有 件学习用品；
（2）解：设学习用品有 件，则文娱玩具有 件，利润为 元依题意得：
，
∵购进的商品总价不高于1335元，
∴ ，
解得 ．
∵ ， ，
∴ 随 的增大而减小，
∵ ，
∴当 时， 最大， ，
文娱玩具数量 件．
答：利润最大的采购方案是购买 件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润为2340元．
23．（25-26八年级上·河南郑州·期末）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产
的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果
的售价之和为800元．
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价．
(2)某水果店计划用1000元购进甲、乙两种苹果（两种苹果均要购进），有哪几种购买方案？
(3)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共10箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该
公司最少需花费多少元．
【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元
(2)购买方案有：甲种苹果2箱、乙种苹果10箱；甲种苹果6箱、乙种苹果5箱
(3)该公司最少需花费900元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、二元一次方程、一次函数的应用、不等式的应用等知识点，灵
活运用相关知识是解题的关键．
（1）设甲种苹果每箱售价为x元，乙种苹果每箱售价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种苹果a箱，乙种苹果b箱（a，b为正整数），再根据题意列二元一次方程，再根据二元
一次方程的解即可解答；
（3）设购买甲种苹果m箱，则乙种苹果 箱．由题意列不等式可得 ，再根据题意列出函数关
系式，然后运用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设甲种苹果每箱售价为x元，乙种苹果每箱售价为y元．
根据题意得 ，
解得： ．
答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元．
（2）解：设购进甲种苹果a箱，乙种苹果b箱（a，b为正整数）
，即 ，
∵a，b为正整数，
∴当 时， ；当 时， ．
购买方案：购进甲种苹果2箱，乙种苹果10箱；购进甲种苹果6箱，乙种苹果5箱
（3）解：设购买甲种苹果m箱，则乙种苹果 箱．
由题意得： ，
解得： ．
由题意可得总花费：
∵ ，
∴W随m增大而增大．
∴当 时，花费最少， ．
答：该公司最少需花费900元．
24．（25-26七年级上·广西南宁·期末）某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共 个，已知A品牌保
温杯的进价为 元/个，售价为 元/个；B品牌保温杯的进价为 元/个，售价为 元/个.
(1)若购进两种品牌保温杯的总费用为 元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？
(2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的 倍，设购进A品牌保温杯 个，
这批保温杯的总利润为 元，求 的最大值；
(3)在（2）的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠 元（ ）出售，B品牌保温杯售价不变，此
时总利润 的最大值为 元，求 的值．
【答案】(1)购进 品牌 个， 品牌 个
(2) 元
(3)
【分析】本题考查了利润=售价-进价的运用，总利润 种保温杯的利润 种保温杯的利润的运用，熟练
掌握一元一次方程的应用及一次函数的应用是解题的关键．
（1）设购进 品牌保温杯 个，则购进 品牌保温杯 个，根据题意列出一元一次方程，计算即可
求解；
（2）设设购进A品牌保温杯 个，这批保温杯的总利润为 元，由题意得，总利润 ，由，可得 ，即 且 为整数，当 时， 最大，代入即可求出最
大值；
（3）根据题意，列出优惠后的利润为 ，分两种情况讨论即可求出 的值．
【详解】（1）解：设购进 品牌保温杯 个，则购进 品牌保温杯 个，
由题意得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得 ，
则 ，
答：购进 品牌 个， 品牌 个．
（2）解：设购进A品牌保温杯 个，这批保温杯的总利润为 元，
总利润 ，
由题意得， ，
解得 ，
∵ 为整数，
∴ ，且 为整数，
∵ ，
∴ 随 增大而增大，
∴当 时， 最大，最大值为 元 ．
（3）解：优惠后，
① 当 时， 随 增大而增大， 时 最大，
即 ，解得 ；
② 当 时， 随 减小而增大， 时 最大，
，不符合题意；
综上所述， ．
一、单选题
1．（25-26九年级上·四川宜宾·期末） 为何值时，根式 有意义（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需根据被开方数为非负数列一元一次不等式求解，熟练掌握二
次根式有意义的条件是解此题的关键．
【详解】解：∵根式 有意义，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不含未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
B、 不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意；
C、是代数式，不是不等式，不符合题意；
D、是一元一次不等式，符合题意；
故选D．
3．（25-26七年级上·上海·月考）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查不等式的基本性质，需逐项判断其正确性．选项A、B和D符合不等式性质，正确；选
项C存在反例，不正确，从而可得答案．
【详解】解：A、 两边同时加上2得， ，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题
意；
B、 两边同时乘以 得， ，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意；
C、若 ，当 时， ，原说法不正确，假命题，故选项符合题意；
D、 ，两边同时除以2，则 ，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意．
故选：C．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．正确地求出不等式的解集是解题的关键．注意在数轴上表
示不等式的解集时，含等号，用实心点，不含等号，用空心点．
先求出不等式的解集，在数轴上表示出解集，进行判断即可．
【详解】解：
解得 ，
∴原不等式的解集为 ，
数轴表示为：
，
故选：D．
5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租
用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，
但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的应用．
根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不
等关系，对应选项判断即可．
【详解】解：设租36座的车x辆，
由题意得 ，
故选：D．
6．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足
，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式．两方程相加可得 ，再根据 求解即可．
【详解】 ，
得 ，
即 ，
∵关于x、y的二元一次方程组 的解满足 ，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
二、填空题
7．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于 的不等式 是一元一次不等式，那么
．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，
叫做一元一次不等式是解题关键．
根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．
【详解】解：由题意可得： 且 ，
解得： ，
故答案为： ．
8．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．由题意可得
是不等式 的解集，解不等式可得 ，进而得到 ，即可求解．
【详解】解：由题意可得 是不等式 的解集，
，，
解得 ，
故答案为： ．
9．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的求解．求出方程的解，令方程的解大于零，解不等式
即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由题可知 ，解得 ，
故答案为： ．
10．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式 恰有三个非负整数解，则b的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】解出不等式 得 ，根据不等式有三个非负整数解知 ，求解可得．
本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到 范围是解题的关键．
【详解】解：解不等式 得： ，
由题意可得： ，
，
故答案为： ．
11．（25-26七年级上·河南商丘·期中）如图，点 在点 的左侧，点 在数轴上表示的数分别为 和
，则 的值可能是 （写出一个正确的数字）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一元一次不等式．由数轴得出 ，解一元一次不等式再根据选项即可求
出结果．
【详解】解：由数轴可知， ，解得 ，
∴ 的值可能是0．
故答案为： 0（答案不唯一）．
12．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于
21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作．
如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．
根据程序操作进行了一次就停止，可列出关于x的一元一次不等式，求出最大整数解即可解答．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ，
∴最大整数解为 ，
即输入x的最大整数是 ．
故答案为： ．
三、解答题
13．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解不等式 ，并将它的解集表示在数轴上．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数
的系数化为“1”，最后在数轴上表示不等式的解集即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ．
在数轴上表示不等式的解集如下．
14．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程．解不等式： ．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步
移项，得 ，第三步
合并同类项，得 ，第四步
系数化为1，得 ．第五步
(1)以上解题过程从第________步开始出现错误．
(2)请写出该不等式的正确的解答过程．
【答案】(1)三
(2)见解析
【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把 的系数化为1即可．
【详解】（1）解：以上解题过程从第三步开始出现错误，移项时没有变号．
故答案为：三．
（2）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
15．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，
每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本 万元，如果每套软件定价 万元，那么至少需要售出多
少套软件才能不亏本？
【答案】至少需要售出229套软件才能不亏本
【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来
求解．
设至少售出 套软件，根据题意，列出不等式求解即可．
【详解】解：设至少售出 套软件，
则 ，
解得： ，
，
由于套数必须为整数，
故至少需要售出229套软件．
16．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算 ，例如： ．(1)计算： ；
(2)请根据上述定义解不等式 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键．
（1）根据题意，展开后计算即可；
（2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可．
【详解】（1）解： ，
（2）解： ，
由题意得， ，
去括号得， ，
移项后合并同类项得， ，
解得， ．
17．（25-26七年级下·全国·周测）已知不等式 ．
(1)求它的非负整数解；
(2)若该不等式的最大整数解是方程 的解，求 的值．
【答案】(1) 或 或 或
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，非负整数解的确定等知识点，掌握一
元一次不等式的解法和方程的代入求解是解题的关键．
（1）先解不等式得到解集，再在解集中找出所有非负整数；
（2）先确定不等式的最大整数解，将其代入方程，解关于 的一元一次方程．
【详解】（1）解：去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
它的非负整数解为 或 或 或 ．
（2）解：由（1）可知该不等式的最大整数解为 ．
把 代入方程 ，得 ，
解得 ．
18．（25-26九年级上·云南昆明·期末）
市场调查
昭通苹果，产自云南昭通这片海拔1800米以上的高原沃土，是“中国苹果之城”的璀璨名
资料查阅
片．依托低纬度高原独特的气候优势——年均1901小时充足日照、显著昼夜温差与微酸性沙质土壤，孕育出“早熟、甜脆、香浓”的卓越品质．
1箱瑞雪苹果比2箱红富士苹果的售价总额多10元，2箱瑞雪苹果比3箱红富士苹果的售价
市场现状
总额多100元．
购买需求 某顾客欲购买12箱苹果，且红富士苹果的箱数不超过瑞雪苹果箱数的2倍．
问题解决
任务1确定
请你计算瑞雪苹果和红富士苹果的单价．
单价
任务2拟定
请你为该顾客设计购买方案，使得购买总价最低，并计算最低总价．
购买方案．
【答案】任务1：瑞雪苹果单价为170元/箱，红富士苹果单价为80元/箱
任务2：购买瑞雪苹果4箱、红富士苹果8箱时总价最低，最低总价为1320元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的
关键．
任务1：设瑞雪苹果单价为x元/箱，红富士苹果单价为y元/箱，根据题意列方程组求解即可；
任务2：设购买瑞雪苹果a箱，则红富士苹果 箱，购买总价为w元，根据题意可得 ，
，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】解：任务1：设瑞雪苹果单价为x元/箱，红富士苹果单价为y元/箱，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：瑞雪苹果单价为170元/箱，红富士苹果单价为80元/箱；
任务2：∵红富士苹果的箱数不超过瑞雪苹果箱数的2倍，
∴ ，解得 ，
由题意， ，
∵ ，
∴w随a的增大而增大，
∴当 时，w取得最小值，最小值为 ，
∴ （箱），
答：购买瑞雪苹果4箱、红富士苹果8箱时总价最低，最低总价为1320元．
19．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）某农机租赁公司共有 台收割机，其中甲型 台，乙型 台，现
将这 台联合收割机派往 ， 两地区收割水稻，其中 台派往 地区， 台派往 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
每台甲型收割机的租 每台乙型收割机的租
金 金
地区 元 元
地区 元 元
(1)设派往 地区 台乙型联合收割机，租赁公司这 台联合收割机一天获得的租金为 元，求 关于 的
函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这 台收割机一天所获租金不低于 元，试写出满足条件的所有分派方案；
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司 台收割机每天获得租金最高，并说明理由．
【答案】(1)
(2)三种分配方案，方案一：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地
区；方案二：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区；方案三：
派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区
(3)派往 地区 台乙型联合收割机， 台甲型联合收割机全部派往 地区，使该公司 台收割机每天获
得租金最高；理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）设派往 地区 台乙型联合收割机，则派往 地区乙型联合收割机为 台，派往 、 地区的
甲型联合收割机分别为 台和 台，每种情况乘以相应的租金，然后相加即可得关系式；
（2）由题意可得， ，求出整数解，得到分配方案；
（3）利用一次函数的增减性求出函数在自变量范围内的最值即可．
【详解】（1）解：设派往 地区 台乙型联合收割机，则派往 地区乙型联合收割机为 台，派往
、 地区的甲型联合收割机分别为 台和 台，
；
（2）解：由题意可得，
，
得 ，
， 为整数，
、 、 ，
有三种分配方案，
方案一：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区；
方案二：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区；
方案三：派往 地区的甲型联合收割机 台，乙型联合收割机 台，其余的全派往 地区；（3）解：派往 地区 台乙型联合收割机， 台甲型联合收割机全部派往 地区，使该公司 台收割机
每天获得租金最高，
理由： ，
∵ ,
∴ 随 的增大而增大，
且 为整数，
当 时， 取得最大值，此时 ，
派往 地区 台乙型联合收割机， 台甲型联合收割机全部派往 地区，使该公司 台收割机每天获
得租金最高．
20．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求
绝对值不等式 和 的解集．
小明同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求 和 的解集．确定 的解集过程如图1：
先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：
(1)请将小明的探究过程补充完整；
所以， 的解集是 或______①___________．
再来确定 的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的
数，请你在图2的数轴上确定 范围②；
所以， 的解集为：_______③________．
经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式 的解集为___________④___________，
的解集为___________⑤___________．
请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题：
(2)求绝对值不等式 的解集．
【答案】(1) ； 见解析； ； 或 ； ；
(2) ①． ② ③ ④ ⑤
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题
的关键．
（1）根据题意即可求得；
（2）将 的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得．【详解】（1）解：①∵ ，
∴ 或
故答案为： ．
如下图：
∵ ，
∴
故答案为： ；
∵
∴ 或 ；
故答案为： 或
∵
∴ ；
故答案为：
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
