文档内容
专题 6.4 数列的通项公式的求法【十二大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:28)....................................................................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:28)....................................................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:35)a (cid:36)S (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)......................................................................................................................7
n n
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:28)....................................................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:28)..................................................................................................................................................11
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:28)..................................................................................................................................................13
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:28)..................................................................................................16
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:35)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:28)..................................................................................................18
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)(cid:28)..........................................................................................................................21
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)................................................................................................................23
(cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:62)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)(cid:28)............................................................................................................................26
(cid:22)(cid:21)(cid:29)12 (cid:63)(cid:64)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)................................................................................................................................30
1(cid:57)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:39)(cid:32)
(cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:39) (cid:67)(cid:21)(cid:68)(cid:69) (cid:25)(cid:70)(cid:71)(cid:72)
2022 (cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84) I (cid:85)(cid:10)(cid:86)
17(cid:21)(cid:87)10(cid:71)
2023(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:85)(cid:10)(cid:86)20(cid:21)(cid:87) (cid:13)(cid:49)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:92)(cid:65)(cid:57)(cid:93)(cid:65)(cid:94)(cid:95).(cid:96)(cid:97)
12(cid:71) (cid:98)(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:70)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:87)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)
(1)(cid:73)(cid:74)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) 2023(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:85)(cid:10)(cid:86)18(cid:21)(cid:87) (cid:37)(cid:39)(cid:74)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:25)(cid:102)(cid:37)(cid:93)(cid:65)(cid:87)(cid:103)(cid:66)(cid:104)(cid:74)(cid:105)
(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38) 12(cid:71) (cid:21)(cid:37)(cid:106)(cid:50)(cid:25)(cid:102)(cid:87)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:86)(cid:107)(cid:112)(cid:54)(cid:113)(cid:87)
(2)(cid:78)(cid:79)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7) 2023 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:15)(cid:13)(cid:90)(cid:10) (cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:123)(cid:21)(cid:57)(cid:124)
(cid:50)(cid:37)(cid:80)(cid:27)(cid:81)(cid:32) (cid:86)17(cid:21)(cid:87)12(cid:71) (cid:125)(cid:21)(cid:113)(cid:87)(cid:36)(cid:126)(cid:13)(cid:57)(cid:116)(cid:47)(cid:50)(cid:47)(cid:127)(cid:128)(cid:25)(cid:102)(cid:118)
2024 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:17)(cid:13)(cid:90)(cid:10) (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:39)(cid:32)(cid:129)(cid:130)(cid:129)(cid:131)(cid:87)(cid:132)(cid:66)
(cid:86)17(cid:21)(cid:87)12(cid:71) (cid:133)(cid:134)(cid:39)(cid:74).
2024 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:15)(cid:13)(cid:90)(cid:10)
(cid:86)18(cid:21)(cid:87)12(cid:71)
(cid:22)(cid:135)(cid:136)(cid:65)1 (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:28)
1(cid:137)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)
(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:86)n(cid:41) (cid:36)(cid:140)(cid:37)(cid:141)(cid:9)n(cid:142)(cid:143)(cid:37)(cid:144)(cid:145)(cid:3)(cid:38)(cid:146)(cid:104)(cid:27)(cid:107)(cid:147)(cid:50)(cid:148)(cid:100)(cid:149)(cid:150)(cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:147)(cid:50)(cid:148)(cid:154)(cid:155)(cid:153)
(cid:147)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50).2(cid:137)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)
(1)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:156)(cid:157)
(cid:138)(cid:139)(cid:107)(cid:147)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:41)(cid:161)(cid:129)(cid:41)(cid:142)(cid:143)(cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:146)(cid:104)(cid:27)(cid:107)(cid:147)(cid:50)(cid:148)(cid:100)(cid:149)(cid:150)(cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:147)(cid:50)(cid:148)(cid:162)(cid:154)(cid:155)(cid:153)(cid:147)(cid:13)(cid:49)(cid:37)
(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50).
(2)(cid:144)(cid:13)(cid:49)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:15)(cid:74)
(cid:163)(cid:36)“(cid:116)(cid:107)(cid:33)(cid:164)(cid:119)(cid:13)(cid:49)(cid:165)(cid:119)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)”(cid:107)(cid:131)(cid:87)(cid:166)(cid:116)(cid:91)(cid:164)(cid:119)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:165)(cid:119)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50).
(cid:167)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:91)(cid:168)(cid:109)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:107)(cid:130)(cid:81)(cid:32).(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:87)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:75)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:107)(cid:131)(cid:87)(cid:165)(cid:91)(cid:3)(cid:172)(cid:41)(cid:37)(cid:141)(cid:9)n(cid:37)(cid:173)(cid:47)
(cid:50).
(cid:138)(cid:139)(cid:27)(cid:174)(cid:128)(cid:66)(cid:39)(cid:37)(cid:55)(cid:175)(cid:13)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)n(cid:87)(cid:162)(cid:146)(cid:104)(cid:39)(cid:109)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:181)(cid:41).
(cid:182)(cid:27)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:109)(cid:107)(cid:147)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:183)(cid:184)(cid:168)(cid:109)(cid:10)
(cid:185)(cid:186)——(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:86)1(cid:41)((cid:161)(cid:187)(cid:98)(cid:41))(cid:118)
(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)——(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:188)(cid:189)(cid:107)(cid:41) (cid:36)(cid:140)(cid:37)(cid:187)(cid:107)(cid:41) ( )((cid:161)(cid:187)(cid:98)(cid:41))(cid:143)(cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:87)(cid:166)(cid:190)(cid:153)(cid:147)(cid:3)(cid:38)(cid:146)
(cid:104)(cid:27)(cid:47)(cid:50)(cid:100)(cid:149)(cid:150).
(cid:22)(cid:135)(cid:136)(cid:65)2 (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:80)(cid:191)(cid:39)(cid:32)(cid:28)
1(cid:137)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:10)
(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49)(cid:187)(cid:193)(cid:194)(cid:41)(cid:87)(cid:39)(cid:195)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:120)(cid:87)(cid:107)(cid:108)(cid:144)(cid:164)(cid:168)(cid:37)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:87)(cid:96)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:198)(cid:199)(cid:203)(cid:109)(cid:204)
(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41).
2(cid:137)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:10)
(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:205)(cid:29)(cid:87)(cid:144)(cid:172)(cid:206)(cid:207)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:208)(cid:128)(cid:192)(cid:135)(cid:209)(cid:210)(cid:87)(cid:39)(cid:109)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:113)
(cid:37)(cid:207)(cid:13)(cid:87)(cid:96)(cid:200)(cid:211)(cid:212)(cid:204)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41).
3(cid:137)(cid:7)(cid:50)(cid:32)(cid:10)
(cid:35)a (cid:36)S (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:10)
n n
(1)(cid:192)(cid:135)S (cid:39)a (cid:37)(cid:80)(cid:27)(cid:81)(cid:32)(cid:91)(cid:213)(cid:27) = (cid:214)(cid:16)(cid:215)(cid:3)(cid:172)a (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:87)(cid:216)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50).
n n n
(2) S (cid:36)a (cid:3)(cid:38)(cid:54)(cid:21)(cid:37)(cid:39)(cid:74)(cid:217)(cid:218)
n n
(cid:81)(cid:219)1(cid:10)(cid:213)(cid:27)a = S -S (n(cid:220)2)(cid:214)(cid:16)(cid:215)(cid:221)(cid:206) S (cid:87)S (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:87)(cid:216)(cid:39)(cid:74).
n n n-1 n n-1
(cid:81)(cid:219)2(cid:10)(cid:213)(cid:27)S -S = a (n(cid:220)2)(cid:214)(cid:16)(cid:215)(cid:221)(cid:206)a (cid:87)a (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:87)(cid:216)(cid:39)(cid:74).
n n-1 n n n-1
4(cid:137)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:10)
(cid:106)(cid:138)a =a +f(n)(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:39)(cid:75)(cid:87)(cid:63)(cid:222)(cid:4)(cid:189)(cid:223)(cid:224)(cid:178)(cid:129)(cid:225)(cid:41)(cid:87)(cid:226)(cid:227)(cid:129)(cid:225)(cid:41).
n+1 n
5(cid:137)(cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:10)
(cid:106) (cid:138) a =a · f(n) (cid:37) (cid:76) (cid:77) (cid:3) (cid:38) (cid:50) (cid:146) (cid:16) (cid:215) (cid:37) (cid:106) (cid:50) (cid:87) (cid:146) (cid:27) (cid:42) (cid:44) (cid:32) (cid:87) (cid:121) (cid:146) (cid:27)
n+1 n
(cid:229)(cid:230)(cid:39)(cid:109)(cid:40)(cid:41).
6(cid:137)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:10)
(cid:163)(cid:106)(cid:138)a =pa +q(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:146)(cid:104)(cid:16)(cid:215)(a +x)=p(a +x)(cid:37)(cid:106)(cid:50)(cid:87)(cid:45)(cid:231)(cid:23)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:39)(cid:109)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)
n+1 n n+1 n
(cid:39)(cid:232)(cid:233)x(cid:91)(cid:3)(cid:234).
(cid:167)(cid:106)(cid:138)a =pa +qn+c(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:235)(cid:230)(cid:207)(cid:13)x(cid:87)y(cid:87)(cid:45)(cid:46)(cid:23)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49){ }.
n+1 n(cid:182)(cid:106)(cid:138)a =pa +qn(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:104)qn+1(cid:87)(cid:45)(cid:46)(cid:23)(cid:37)(cid:13)(cid:49){ }.
n+1 n
(cid:239)(cid:106)(cid:138) (A,B,C(cid:215)(cid:80)(cid:13))(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:146)(cid:40)(cid:240)(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:241)(cid:242)(cid:13)(cid:37)(cid:81)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:23)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:74).
7(cid:137)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:32)(cid:10)
(1)(cid:138)(cid:139)(cid:168)(cid:33)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:91)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:39)(cid:109)(cid:243)(cid:41)(cid:75)(cid:7)(cid:48)(cid:87)(cid:244)(cid:245)(cid:213)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:74)(cid:118)
(2)(cid:138)(cid:139)(cid:168)(cid:33)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:146)(cid:104)(cid:45)(cid:46)(cid:109)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:246)(cid:39)(cid:109)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:111)(cid:40)(cid:240)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:247)(cid:248)
(cid:232)(cid:106)(cid:214)(cid:16)(cid:87)(cid:211)(cid:212)(cid:164)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50).
8(cid:137)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:32)(cid:10)
(1)(cid:138)(cid:139)(cid:168)(cid:33)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:39)(cid:109)(cid:243)(cid:41)(cid:75)(cid:7)(cid:51)(cid:87)(cid:244)(cid:245)(cid:213)(cid:27)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:74)(cid:118)
(2)(cid:138)(cid:139)(cid:168)(cid:33)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:146)(cid:104)(cid:45)(cid:46)(cid:109)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:246)(cid:39)(cid:109)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:111)(cid:40)(cid:240)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:247)(cid:248)
(cid:232)(cid:106)(cid:214)(cid:16)(cid:87)(cid:211)(cid:212)(cid:164)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:28)
(cid:22)(cid:249)1(cid:28)(cid:89)24-25(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:13)(cid:49) 2, 1 2, 1 (cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215)(cid:89) (cid:90)
2 2 4 4
1,− ,− ,⋯
A(cid:137) 1 B(cid:137) 2 C(cid:137)( ) 2 D(cid:137)( ) +1 2
2 𝑛−1 2 𝑛 2 𝑛−1 2 𝑛−1
𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)−(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:255)(cid:41)(cid:37)(cid:63)(cid:65)−(cid:87)(cid:71)(cid:222)(cid:256)(cid:33)(cid:41)(cid:37)(cid:174)(cid:9)−(cid:104)1(cid:257)(cid:255)(cid:107)(cid:41)(cid:37)(cid:258)(cid:38)(cid:87)(cid:259)−(cid:146)1(cid:197)(cid:109)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:40)(cid:240)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:107)(cid:49)(cid:13)(cid:261)(cid:110)(cid:87)(cid:58)(cid:13)(cid:41)(cid:215)(cid:55)(cid:87)(cid:59)(cid:13)(cid:41)(cid:215)(cid:56)(cid:87)
(cid:262)(cid:86) (cid:41)(cid:37)(cid:55)(cid:56)(cid:146)(cid:104)(cid:27) +1(cid:149)(cid:150)(cid:118)
𝑛
(cid:200)1= 𝑛 2 0 2= ( 2 −11 , )1 = 2 2 2= 2 3 , 1 = 2 4 (cid:87)
2 2 2 2 2 4 2 4 2
,− − ,− − ,⋯
(cid:262)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:146)(cid:215)( ) +1 2 .
2 𝑛−1
𝑛
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D. −1
(cid:22)(cid:232)(cid:50)1-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:263)(cid:264)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:117)(cid:267)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:100)(cid:268)(cid:172)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:113)(cid:144)(cid:274)(cid:275)“(cid:117)(cid:267)(cid:142)(cid:13)(cid:276)(cid:277)”(cid:37)(cid:77)(cid:61)(cid:87)(cid:103)(cid:66)(cid:27)(cid:172)
(cid:74)(cid:278)(cid:113)(cid:84)(cid:275)(cid:68)(cid:17)(cid:16)(cid:113)(cid:37)(cid:279)(cid:280)(cid:267)(cid:281)(cid:282)(cid:15)(cid:87)(cid:13)(cid:49)(cid:113)(cid:37)(cid:255)(cid:107)(cid:41)(cid:87)(cid:165)(cid:229)(cid:149)(cid:279)(cid:280)(cid:267)(cid:281)(cid:240)(cid:260)(cid:113)(cid:87)(cid:283)(cid:284)(cid:284)(cid:285)(cid:240)(cid:37)(cid:160)(cid:286)(cid:13)(cid:233)
(cid:287)(cid:75)(cid:87)(cid:91)(cid:113)(cid:288)(cid:275)(cid:68)(cid:17)(cid:16)(cid:113)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:37)(cid:292)(cid:293)(cid:13)(cid:11)(cid:294)(cid:171)(cid:86)(cid:107)(cid:295)(cid:13)(cid:49)(cid:21)(cid:137)(cid:296)(cid:187)10(cid:41)(cid:176)(cid:177)(cid:91)0(cid:87)2(cid:87)4(cid:87)8(cid:87)12(cid:87)18(cid:87)
24(cid:87)32(cid:87)40(cid:87)50(cid:87)(cid:297)(cid:204)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:86)25(cid:41)(cid:36)(cid:86)24(cid:41)(cid:37)(cid:48)(cid:215)(cid:89) (cid:90)
A(cid:137)22 B(cid:137)24 C(cid:137)25 D(cid:137)26
2 2
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:30)(cid:31)(cid:298)(cid:299)(cid:109) = (cid:215)(cid:58)(cid:13)(cid:87) = (cid:215)(cid:59)(cid:13)(cid:13)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:74).
2 2
𝑛 −1 𝑛
𝑎𝑛 ,𝑛 𝑎𝑛 ,𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:300)(cid:195)(cid:13)(cid:49)(cid:215){ }(cid:87)
(cid:301) (cid:215)(cid:58)(cid:13)(cid:120)(cid:87) =
12
=
𝑎
0
𝑛
, =
32
=4, =
52
=12, =
72
=
1 2 3 2 5 2 7 2
−1 −1 −1 −1
𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 24,⋯2
(cid:164)(cid:104) = (cid:215)(cid:58)(cid:13)(cid:118)
2
𝑛 −1
𝑎𝑛 ,𝑛
(cid:301) (cid:215)(cid:59)(cid:13)(cid:120)(cid:87) =
22
=2, =
24
=8, =
62
=18, =
82
=
2 2 4 2 6 2 8 2
𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 32,⋯
2
(cid:164)(cid:104) = (cid:215)(cid:59)(cid:13)(cid:13)(cid:118)
2
𝑛
𝑎𝑛 ,𝑛
(cid:164)(cid:104) =
252 242
=24(cid:87)
25 24 2 2
−1
𝑎 −𝑎 −
(cid:262)(cid:20):B.
26
(cid:22)(cid:232)(cid:50)1-2(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:13)(cid:49) (cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:146)(cid:104)(cid:91)(cid:89) (cid:90)
3
−2,4,− ,20,⋯
3
A(cid:137) =( ) B(cid:137) =( )
𝑛
𝑛 𝑛 −𝑛
𝑎𝑛 −1 ⋅2𝑛 𝑎𝑛 −1 ⋅ 𝑛
C(cid:137) =( ) 2 +1 D(cid:137) =( ) 3
𝑛 𝑛
𝑛 −2 𝑛 −1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217) 𝑎 (cid:218) 𝑛 (cid:28)(cid:213) −1 (cid:27)(cid:310) ⋅ (cid:311)(cid:32)𝑛 (cid:87)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:311)(cid:312)(cid:91)(cid:313)(cid:174) 𝑎 (cid:128) 𝑛 (cid:13)(cid:49) −1 (cid:37)(cid:181) ⋅ (cid:41)𝑛(cid:208)(cid:128)(cid:314)(cid:238)(cid:32)(cid:259)(cid:146).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:20)(cid:41)A(cid:10) =( )3×2×3= (cid:87)(cid:116)(cid:174)(cid:128)(cid:21)(cid:189)(cid:118)
3
(cid:20)(cid:41)B(cid:10) =( )2×
3𝑎2
=
−7
(cid:87)
1
(cid:116)(cid:174)(cid:128)(cid:21)(cid:189)(cid:118)
−6
2 2 2
−2
𝑎 −1
(cid:20)(cid:41)C(cid:10) =( )2× 22+1 =3(cid:116)(cid:174)(cid:128)(cid:21)(cid:189)(cid:118)
2 2
−2
𝑎 −1
26
(cid:200)(cid:20)(cid:41)D(cid:113)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:315)(cid:316)(cid:13)(cid:49) ,20(cid:87)
3
−2,4,−
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:232)(cid:50)1-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:7)(cid:320)(cid:187)6(cid:292)(cid:321)(cid:87)(cid:322)(cid:323)(cid:37)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:11)(cid:329)(cid:330)(cid:331)(cid:13)(cid:37)(cid:156)(cid:157)(cid:120)(cid:87)(cid:80)(cid:80)(cid:332)(cid:13)(cid:333)
(cid:334)(cid:231)(cid:335)(cid:336)(cid:171)(cid:37)(cid:112)(cid:337)(cid:148)(cid:87)(cid:27)(cid:140)(cid:338)(cid:247)(cid:248)(cid:181)(cid:50)(cid:181)(cid:131)(cid:37)(cid:314)(cid:49)(cid:75)(cid:71)(cid:205)(cid:87)(cid:154)(cid:253)“(cid:106)(cid:13)”(cid:137)(cid:27)3(cid:339)(cid:337)(cid:148)(cid:146)(cid:104)(cid:340)(cid:231)(cid:107)(cid:147)(cid:55)(cid:265)(cid:341)(cid:106)(cid:87)
(cid:237)(cid:131)(cid:27)6(cid:339)(cid:337)(cid:148)(cid:161)(cid:342)10(cid:339)(cid:337)(cid:148)(cid:146)(cid:104)(cid:340)(cid:231)(cid:343)(cid:117)(cid:37)(cid:265)(cid:341)(cid:106)(cid:137)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:11)(cid:329)(cid:332)1(cid:87)3,6,10(cid:47)(cid:154)(cid:253)“(cid:265)(cid:341)(cid:13)”(cid:161)“(cid:265)
(cid:341)(cid:106)(cid:13)”(cid:137)(cid:237)(cid:120)(cid:344)(cid:338)(cid:345)(cid:340)(cid:109)(cid:73)(cid:55)(cid:81)(cid:106)(cid:13)(cid:57)(cid:276)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:57)(cid:346)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:75)(cid:296)(cid:344)(cid:129)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:137)(cid:138)(cid:347)(cid:164)(cid:150)(cid:259)(cid:340)(cid:109)(cid:37)(cid:346)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:87)
(cid:151)(cid:152)(cid:86)20(cid:147)(cid:346)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:215)(cid:89) (cid:90)
A(cid:137)778 B(cid:137)779 C(cid:137)780 D(cid:137)781
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:168)(cid:33)(cid:347)(cid:106)(cid:6)(cid:348)(cid:87)(cid:213)(cid:27)(cid:298)(cid:299)(cid:32)(cid:39)(cid:109)(cid:346)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:106)(cid:231)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:109)(cid:66)(cid:39)(cid:37)(cid:41).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:346)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:96)(cid:112)(cid:212)(cid:117)(cid:314)(cid:231)(cid:107)(cid:49)(cid:87)(cid:106)(cid:231)(cid:13)(cid:49){ }(cid:87)
𝑎𝑛(cid:176)(cid:21)(cid:189)(cid:87) =1=1×1, =6=2×3, =15=3×5, =28=4×7, =45=5×9(cid:87)(cid:298)(cid:299)(cid:211)
1 2 3 4 5
= 𝑎 (cid:87) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛
(cid:164)(cid:104)𝑛(2𝑛−=1)780.
20
(cid:262)(cid:20)(cid:10)𝑎 C.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:28)
(cid:22)(cid:249)2(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:349)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) =3(cid:87) =21(cid:87)(cid:40)(cid:41) (cid:91)(cid:41)(cid:13) (cid:37)(cid:107)(cid:177)(cid:126)(cid:13)(cid:87)
1 10
(1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:166)(cid:39) (cid:118) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑛
2000
(2)(cid:193){𝑎𝑛}(cid:91)(cid:35) , , , (cid:350)𝑎 (cid:231)(cid:87)(cid:351)(cid:298)(cid:299){ }(cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:137)
2 4 6 8
(cid:22)(cid:74)(cid:21)𝑏(cid:217)𝑛 (cid:218)(cid:28)𝑎(cid:89)1𝑎(cid:90)𝑎(cid:300)𝑎 ,=⋯, + ( 0)(cid:87)𝑏(cid:201)𝑛 (cid:202)(cid:21)(cid:189)(cid:146)(cid:211) (cid:37)(cid:81)(cid:260)(cid:350)(cid:87)(cid:39)(cid:74)(cid:259)(cid:146)(cid:118)
(cid:89)2(cid:90)(cid:203)(cid:109) , , , 𝑎𝑛(cid:298)(cid:299)𝑘𝑛(cid:259)(cid:146)𝑏. 𝑘≠ 𝑘,𝑏
2 4 6 8
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ,⋯, + =3, =2,
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:300) = + ( 0),(cid:297) (cid:87)(cid:74)(cid:211) (cid:87)
+ =21 =1
𝑘 𝑏 𝑘
= +1( ), 𝑎𝑛 𝑘 = 𝑛 2× 𝑏 2𝑘00≠0+1=1400𝑘01.𝑏 𝑏
2000
∗
∴(cid:89)𝑎2 𝑛(cid:90)2𝑛, , 𝑛,∈𝑁 (cid:215)𝑎
2 4 6 8
(cid:298)(cid:299)∵{𝑎 }𝑎(cid:37)(cid:107)𝑎 (cid:147)𝑎(cid:40),⋯(cid:41), (cid:7)5(cid:50),9,(cid:215)13,17=,⋯, +1.
∴ 𝑏𝑛 𝑏𝑛 4𝑛 6 9
(cid:22)(cid:232)(cid:50)2-1(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:352)(cid:353)(cid:52)(cid:354)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87)(cid:192)(cid:135) = (cid:87)(cid:190) = , = .
1 2 5 3 7
𝑎𝑛
(1)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) .
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛+ 𝑎 𝑎
(2)(cid:39)(cid:312)(cid:10){ }(cid:91)𝑎𝑛(cid:76)(cid:355)(cid:13)(cid:49).
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)𝑎(cid:28)𝑛 (cid:89)1(cid:90)(cid:201)(cid:202)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:356) = =3(cid:71)(cid:222)(cid:229)(cid:230)(cid:146)(cid:69)(cid:357)(cid:109) = =2(cid:87)(cid:146)(cid:39)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)(cid:89)2(cid:90)
(cid:201)(cid:202)(cid:76)(cid:355)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:87)(cid:35) 𝑎𝑛 >0(cid:259)(cid:146)𝑛(cid:211)(cid:109)2,(cid:312)𝑛(cid:358). 𝑎 3,𝑏
+1
𝑎𝑛 −𝑎𝑛
6 9
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:35) = (cid:87)(cid:190) = , = (cid:146)(cid:211)
1 2 5 3 7
𝑎𝑛
6
𝑎 𝑛 𝑏𝑛+ 𝑎 𝑎
=
=3
1 5(cid:87)(cid:74)(cid:211) (cid:118)
2𝑎 = 9 =2
2𝑏+1 7 𝑎
3𝑎
𝑏
3𝑏+
(cid:359)(cid:204) = .
1
3𝑛
𝑎𝑛 2𝑛+
(cid:164)(cid:104)(cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) = N
1
3𝑛 ∗
(cid:89)2(cid:90)(cid:201)(cid:202)(cid:76)𝑎(cid:355) 𝑛 (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:146)(cid:135) 𝑎𝑛 (cid:87) 2𝑛+ ,𝑛∈
3( 1) 3( 1)( 1) ( 3) 3
= = = >0(cid:87)
+1 2( 1) 1 1 ( 3)( 1) ( 3)( 1)
𝑛+ 3𝑛 𝑛+ 2𝑛+ −3𝑛 2𝑛+
𝑎
(cid:259)
𝑛 −𝑎
>
𝑛
(cid:87)
𝑛+ + −2𝑛+ 2𝑛+ 2𝑛+ 2𝑛+ 2𝑛+
+1
𝑎𝑛 𝑎𝑛(cid:262){ }(cid:91)(cid:76)(cid:355)(cid:13)(cid:49).
(cid:22)(cid:232)
𝑎𝑛
(cid:50)2-2(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:265)(cid:349)·(cid:23)(cid:360)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:192)(cid:135) (cid:91)(cid:144)(cid:13)(cid:126)(cid:13)(cid:190)(cid:347)(cid:361)(cid:240)(cid:65) 5, 1 (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) =
2
𝑓(𝑥) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑓
1 ( N )(cid:137)
1
∗
(1 1 ) −(cid:39)𝑛(cid:13)+(cid:49){ 𝑛∈ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(2)(cid:362)(cid:13)(cid:49){𝑎𝑛}(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:193)| | 2( N )(cid:87)(cid:39)m(cid:37)(cid:363)(cid:112)(cid:364)(cid:137)
∗
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218) 𝑎 (cid:28) 𝑛 (cid:89)1(cid:90)(cid:246)(cid:39)(cid:109)(cid:144) 𝑆𝑛 (cid:13)(cid:126)(cid:13) 𝑆𝑚 ≥ (cid:37)(cid:74) 𝑚 (cid:72) ∈ (cid:50)(cid:87)(cid:201)(cid:202) = 1 ( N )(cid:229)(cid:230)(cid:39)(cid:74)(cid:259)(cid:146).
1
∗
(cid:89)2(cid:90)(cid:201)(cid:202)(cid:13)(cid:49)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:109) 𝑓 = (𝑥) log ( +1)(cid:87)(cid:96)(cid:200) 𝑎𝑛 (cid:211)(cid:109) 𝑓 | 1− |=𝑛+log 𝑛 ( ∈ +1)(cid:87)(cid:216)(cid:35)| | 2( N )(cid:87)
5 5
∗
(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:109)m(cid:37)(cid:363)(cid:112)(cid:364)(cid:137) 𝑆𝑛 − 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑆𝑚 ≥ 𝑚∈
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:300)(cid:144)(cid:13)(cid:126)(cid:13) =log >0(cid:190) 1)(cid:87)(cid:359)(cid:215) (cid:347)(cid:361)(cid:240)(cid:65) 5, 1 (cid:87)
2
𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 (𝑎 𝑎≠ 𝑓(𝑥)
1
(cid:164)(cid:104)log 5= (cid:87)(cid:74)(cid:211) =5(cid:87)(cid:164)(cid:104) =log (cid:87)
2 5
𝑎 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥
(cid:365)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) = 1 ( N )(cid:87)
1
∗
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑓 1−𝑛+ 𝑛∈
(cid:164)(cid:104) = 1 = =log .
1 1 5 1
𝑛 𝑛
𝑎𝑛 𝑓 1−𝑛+ 𝑓 𝑛+ 𝑛+
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:211) =log =log log ( +1)(cid:87)
5 1 5 5
𝑛
𝑎𝑛 𝑛+ 𝑛− 𝑛
= + + + +
1 2 3
𝑆=𝑛 (lo𝑎g 𝑎log 2𝑎)+(⋯log 𝑎𝑛 log 3)+(log log 4)+ +(log log ( +1))
5 5 5 5 5 5 5 5
= log1(−+1)(cid:87) 2− 3− ⋯ 𝑛− 𝑛
5
(cid:359)(cid:215)− N𝑛(cid:87)(cid:164)(cid:104)| |=log ( +1)(cid:87)
5
∗
(cid:359)(cid:215)𝑛| ∈| 2( N𝑆𝑛)(cid:87)(cid:164)(cid:104)lo𝑛g ( +1) 2(cid:87)(cid:74)(cid:211) 24(cid:87)
5
∗
(cid:164)(cid:104)m𝑆𝑚(cid:37)≥(cid:363)(cid:112)𝑚(cid:364)∈(cid:215)24. 𝑚 ≥ 𝑚≥
(cid:22)(cid:232)(cid:50)2-3(cid:28)(cid:89)24-25(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:49)“(cid:96)(cid:86)(cid:250)(cid:41)(cid:366)(cid:87)(cid:193)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:255)(cid:107)(cid:41)(cid:36)(cid:187)(cid:107)(cid:41)(cid:37)(cid:367)(cid:81)
(cid:48)(cid:215)(cid:237)(cid:107)(cid:80)(cid:13)d(cid:87)(cid:297)(cid:368)(cid:13)(cid:49){ }(cid:215)(cid:47)(cid:367)(cid:81)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)d(cid:154)(cid:253)(cid:204)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:7)(cid:367)(cid:81)(cid:48)(cid:137)”𝑎(cid:192)𝑛(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:215)“(cid:47)(cid:367)(cid:81)(cid:48)(cid:13)
(cid:49)”(cid:87)(cid:190) =1(cid:87) =3(cid:137) 𝑎𝑛 𝑎𝑛
1 5
(1)(cid:369)(cid:370)(cid:315)𝑎(cid:316)(cid:209)(cid:210)(cid:37)𝑎 (cid:13)(cid:49){ }(cid:91)(cid:313)(cid:371)(cid:107)(cid:87)(cid:166)(cid:372)(cid:358)(cid:15)(cid:35)(cid:118)
(2)(cid:39)(cid:55)(cid:41)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)𝑎(cid:7)𝑛 (cid:50)(cid:87)(cid:166)(cid:369)(cid:370)(cid:296)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:137)
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)𝑎1𝑛(cid:90)(cid:201)(cid:202)“(cid:47)(cid:367)(cid:81)(cid:48)(cid:13)(cid:49)”(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:39)(cid:109) (cid:146)(cid:211)(cid:105)(cid:376)(cid:118)
(cid:89)2(cid:90)(cid:369)(cid:370) (cid:37)(cid:55)(cid:56)(cid:146)(cid:211)(cid:105)(cid:376). 𝑎𝑛
+1
𝑎𝑛−𝑎𝑛(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:201)(cid:202)“(cid:47)(cid:367)(cid:81)(cid:48)(cid:13)(cid:49)”(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:87)(cid:257) =1(cid:87) =3(cid:87)
1 5
(cid:211) 2= 2+ = 2+ = 2+ = 2+ (cid:87) 𝑎 𝑎
5 4 3 2 1
(cid:259)𝑎9=1𝑎+ 𝑑(cid:87)(cid:74)𝑎(cid:211)2=𝑑 2(cid:137)𝑎 3𝑑 𝑎 4𝑑
(cid:176)(cid:21)(cid:189)(cid:87)(cid:211)4𝑑2= 2+𝑑( ) =1+2( )= (cid:87)
1
(cid:164)(cid:104) =±𝑎𝑛 𝑎(cid:87) 𝑛−1 𝑑 𝑛−1 2𝑛−1
(cid:164)(cid:104)𝑎(cid:315)𝑛(cid:316)(cid:209)(cid:210)2(cid:37)𝑛−(cid:13)1(cid:49){ }(cid:116)(cid:371)(cid:107)(cid:118)
(cid:89)2(cid:90)(cid:359)(cid:215) >0(cid:87) 𝑎𝑛
(cid:164)(cid:104)(cid:35)(cid:89)1𝑎(cid:90)𝑛(cid:211) = (cid:87)
𝑎𝑛
2𝑛−1
(cid:359)(cid:215) = +1= <0(cid:87)
+1
1
−2
(cid:164)(cid:104) 𝑎𝑛− < 𝑎𝑛 (cid:87)(cid:164)2𝑛(cid:104)−(cid:13)1− (cid:49){ 2𝑛 }(cid:91)(cid:76)(cid:355)2(cid:13)𝑛−(cid:49)1+(cid:137)2𝑛+
+1
(cid:22)(cid:21)𝑎(cid:29)𝑛3 𝑎𝑛(cid:35)a
n
(cid:36)S
n
(cid:37)(cid:3)(cid:38)𝑎𝑛(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:249)3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:377)(cid:378)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:193) =2 (cid:87)(cid:297)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215)
2
𝑛−1
(cid:89) (cid:90)
𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 − 𝑎𝑛
1
=1,
A(cid:137) = 2 B(cid:137) =2
2 2
,𝑛 𝑛−1
𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛
C(cid:137) = D(cid:137) =2
,𝑛≥
𝑛−2 𝑛−2
𝑎𝑛 (−2) 2 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:35) = (cid:229)(cid:230)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:211).
=1
1
𝑆𝑛−𝑆𝑛−1,𝑛≥
𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28) =2 1𝑆(cid:87),𝑛(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) = =20 1 = 1 (cid:87)
2 1 1 2 2
𝑛−1
𝑆𝑛 − 𝑛 𝑎 𝑆 −
1
(cid:301) 2, = =2 2 =2 , = (cid:121)(cid:315)(cid:316)(cid:87)
1 2
𝑛−1 𝑛−2 𝑛−2
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 − 𝑎
(cid:164)(cid:104)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) =2 .
𝑛−2
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D. 𝑎𝑛 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:232)(cid:50)3-1(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:349)·(cid:379)(cid:380)(cid:117)(cid:381)·(cid:53)(cid:113)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) = 2+1(cid:87)(cid:297)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215)
(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛
A(cid:137) = +1 B(cid:137) =
𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−21 =1,
C(cid:137) = +1 D(cid:137) =
2
, 𝑛
𝑎𝑛 2𝑛 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:301) =1(cid:120)(cid:87)(cid:39)(cid:211) (cid:118)(cid:301) 2(cid:120)(cid:87)(cid:201)(cid:202) = 2𝑛−1, 𝑛≥(cid:16)(cid:382)(cid:211) (cid:87)(cid:216)(cid:310)(cid:311)(cid:211)(cid:109)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:259)(cid:146).
1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:301)𝑛=1(cid:120)(cid:87) =𝑎 =1𝑛+≥1=2(cid:118) 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑎𝑛
1 1
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) =𝑛 𝑎= 𝑆 (cid:87)
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 2𝑛−12 =1，
(cid:284)(cid:311)(cid:312)(cid:87) =2(cid:116)(cid:174)(cid:128)(cid:171)(cid:50)(cid:87)(cid:164)(cid:104) =
1 2.
𝑎 𝑎𝑛
, 𝑛
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D. 2𝑛−1 , 𝑛≥
(cid:22)(cid:232)(cid:50)3-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:383)(cid:303)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) = +1(cid:87)(cid:297) =(cid:89) (cid:90)
2024
𝑛=1
𝑎𝑘
A(cid:137)2024 B(cid:137)2023 C(cid:137) 𝑎𝑛 4047 𝑘 2𝑘−1 D 𝑛 (cid:137)4048 𝑎
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:213)(cid:27)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:75)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:74).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:74)(cid:10)(cid:35)(cid:21)(cid:189)(cid:146)(cid:211) + 2+ 3+ + = +1(cid:87)
1 3 5
𝑎 𝑎 𝑎𝑛
𝑎 ⋯ 2𝑛−1 𝑛
(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) =2(cid:118)
1
𝑛 𝑎
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) + 2+ 3+ + = (cid:87)
1 3 5
𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1
𝑛≥ 𝑎 ⋯ 2𝑛−3 𝑛
(cid:160)(cid:50)(cid:158)(cid:384)(cid:211) =1(cid:87)(cid:259) = (cid:137)
𝑎𝑛
2𝑛−1 =𝑎1 𝑛 , 2𝑛−1
(cid:127)(cid:171)(cid:164)(cid:385)(cid:87) =
2.
2,𝑛
𝑎𝑛
(cid:164)(cid:104) =40472(cid:87)𝑛−1,𝑛≥
2024
(cid:262)(cid:20)𝑎(cid:10)C(cid:137)
(cid:22)(cid:232)(cid:50)3-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:377)(cid:378)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316)2 +22 +23 + +2 = 2 (cid:87)(cid:297){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)
1 2 3
𝑛 𝑛
(cid:50)(cid:215)(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑛 𝑛⋅ 𝑎𝑛
=1 1
A(cid:137) = B(cid:137) =
+ 2 2
𝑛+
1,𝑛
C(cid:137)
𝑎𝑛
= 𝑛 1,𝑛≥ D(cid:137)
𝑎𝑛
= =1
2
1,𝑛
𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28) 𝑛−1,𝑛≥
1
(cid:35)(cid:21)(cid:113)(cid:47)(cid:50)(cid:87)(cid:146)(cid:211)2 = 2 ( )2 =( +1)2 (cid:87)(cid:216)(cid:208)(cid:128) =1(cid:120) =1(cid:87)(cid:146)(cid:211) = .
1 2
𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 𝑛+
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:301) =1 𝑎 (cid:120) 𝑛 (cid:87) 𝑛 (cid:119) ⋅ 2 − =𝑛1−121(cid:87) 𝑛 𝑛 𝑎 𝑎𝑛
1
(cid:164)(cid:104) =1(cid:87) 𝑛 𝑎 ⋅
1
(cid:301) 𝑎2(cid:120)(cid:87)(cid:35)2 +22 +23 + +2 = 2 (cid:87)2 +22 +23 + +2 =( ) 2 (cid:87)
1 2 3 1 2 3
𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑛−1
(cid:160)𝑛(cid:50)≥(cid:158)(cid:384)(cid:211)2 𝑎= 2𝑎 ( 𝑎)2 ⋅⋅⋅=( +𝑎𝑛 1)2𝑛⋅ (cid:87) 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑛−1 𝑛−1 ⋅
𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑛−1
𝑎1 𝑛 𝑛⋅ − 𝑛−1 𝑛
(cid:204)(cid:120)(cid:87) = (cid:87) =1(cid:121)(cid:315)(cid:316)(cid:87)
2 1
𝑛+
𝑎𝑛 𝑎
1
(cid:164)(cid:104){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) = .
2
𝑛+
(cid:262)(cid:20)(cid:10)𝑎𝑛
B.
𝑎𝑛(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:249)4(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:349)·(cid:23)(cid:360)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:389)·(cid:390)(cid:11)(cid:25)(cid:351)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) =1(cid:87) = + (cid:87)(cid:297) (cid:47)(cid:172)
1 +1 ( 1)
(cid:89) (cid:90)
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑎𝑛
1 1
A(cid:137) B(cid:137) C(cid:137) D(cid:137)
2𝑛−1 𝑛−1
𝑛 𝑛 𝑛 2𝑛
1 1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:146)(cid:211) = (cid:87)(cid:208)(cid:128)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:74).
+1 1
𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑛−𝑛+
1 1 1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:35)(cid:21)(cid:189)(cid:146)(cid:211) = = (cid:87)
+1 ( 1) 1
𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛−𝑛+
1 1 1 1 1
(cid:164)(cid:104)(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) = (cid:87) = (cid:87)…(cid:87) = (cid:87)
2 1 2 3 2 2 3
(cid:171)(cid:50)(cid:42)
𝑛
(cid:43)
≥
(cid:146)(cid:211)(cid:87)
𝑎 −𝑎
=(
1− 𝑎
)+
−
(
𝑎 −
)+…+(
𝑎𝑛−𝑎𝑛−1
)
𝑛−1−𝑛
1 2 1 3 2
1 1 1 𝑎𝑛−𝑎1 1𝑎 −𝑎1 𝑎 −𝑎 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1
= + +…+ = (cid:87)
2 2 3
1− − 𝑛−1−𝑛 1−𝑛
1
(cid:365) =1(cid:87)(cid:164)(cid:104) = = (cid:87)
1
2𝑛−1
(cid:301) 𝑎 =1(cid:120)(cid:87) = 𝑎𝑛 1(cid:315) 2 (cid:316) − (cid:171)𝑛 (cid:50)(cid:87)𝑛
1
𝑛 𝑎
(cid:164)(cid:104) = .
2𝑛−1
(cid:262)(cid:20) 𝑎 (cid:10) 𝑛 B. 𝑛
(cid:22)(cid:232)(cid:50)4-1(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:379)(cid:380)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) =2, = +ln 1+ 1 (cid:87)(cid:297) =(cid:89) (cid:90)
1 +1
A(cid:137)2+ ln B(cid:137)2+( 𝑎𝑛 )ln 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛
C(cid:137)2+l𝑛n 𝑛 D(cid:137)2+ 𝑛+−1ln 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:391)𝑛 (cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:16)(cid:382)(cid:146)(cid:39) . 𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:359)(cid:215) =2, = 𝑎 + 𝑛 ln 1+ 1 = +ln 1 (cid:87)(cid:259) =ln 1 (cid:87)
1 +1 +1
+𝑛 +𝑛
𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑛2 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑛
=ln (cid:87) =ln (cid:87) (cid:87) =ln (cid:87)
2 1 1
𝑛 𝑛−1
𝑎 (cid:42) 𝑛 (cid:43) −𝑎 (cid:211) 𝑛− (cid:10) 1 𝑛−=1ln 𝑎 (cid:87) 𝑛− (cid:259) 1−𝑎𝑛 = −2 2+ln 𝑛.−2 ⋯ 𝑎 −𝑎
1
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C.𝑎𝑛−𝑎 𝑛 𝑎𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:232)(cid:50)4-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:392)(cid:353)(cid:393)(cid:352)·(cid:107)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316)(cid:10) =9, = (cid:87)(cid:297) =(cid:89) (cid:90)
1 +1 4
A(cid:137)21 B(cid:137)23 C(cid:137)𝑎𝑛25 𝑎 𝑎𝑛 D−(cid:137)𝑎𝑛27 2𝑛 𝑎
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)
(cid:145)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:216)(cid:39)(cid:109)(cid:144)(cid:145)(cid:41).(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:35)(cid:21)(cid:300) = (cid:87)……(cid:87) =2×2(cid:87) =2×1(cid:87)
3 2 2 1
(cid:42)(cid:43)(cid:146)(cid:211) = 𝑎𝑛−𝑎+𝑛−1 +22(+𝑛−11))= (cid:190)𝑎 −𝑎 2(cid:87)(cid:297) =𝑎 2−𝑎 +9(cid:87)
1
(cid:394)(cid:395) =𝑎9𝑛(cid:121)−(cid:315)𝑎 (cid:316)(cid:171)2((cid:50)𝑛−(cid:87)1(cid:164)(cid:104)⋯ =42 +𝑛9(𝑛=−211). 𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑛 −𝑛
1 4
(cid:262)(cid:20)(cid:10)𝑎 A. 𝑎 −4
(cid:22)(cid:232)(cid:50)4-3(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:396)(cid:397)(cid:398)(cid:399)·(cid:53)(cid:400)(cid:90)(cid:275)(cid:372)(cid:401)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:11)(cid:329)(cid:37)(cid:13)(cid:11)(cid:402)(cid:27)(cid:335)(cid:403)(cid:161)(cid:112)(cid:337)(cid:148)(cid:100)(cid:330)(cid:331)
(cid:13)(cid:137)(cid:344)(cid:338)(cid:201)(cid:202)(cid:335)(cid:403)(cid:161)(cid:112)(cid:337)(cid:404)(cid:164)(cid:314)(cid:49)(cid:37)(cid:106)(cid:405)(cid:332)(cid:13)(cid:71)(cid:231)(cid:406)(cid:129)(cid:205)(cid:87)(cid:138)(cid:347)(cid:37)1(cid:87)5(cid:87)12(cid:87)22(cid:368)(cid:215)(cid:276)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:87)(cid:193)(cid:276)(cid:236)(cid:106)
(cid:13)(cid:164)(cid:45)(cid:231)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:362)(cid:253){ }(cid:87)(cid:349)(cid:49)(cid:116)(cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:41)(cid:37)(cid:91)(cid:89) (cid:90)
𝑎𝑛 𝑎𝑛
A(cid:137)35 B(cid:137)70 C(cid:137)145 D(cid:137)170
=1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:192)(cid:135)(cid:211)(cid:109)(cid:37)(cid:187)(cid:98)(cid:41)(cid:87)(cid:247)(cid:200)(cid:211)(cid:109)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50) = .(cid:201)(cid:202)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:39)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:7)
+ 2
1,𝑛
(cid:50)(cid:215) = 3 2 .(cid:71)(cid:222)(cid:407) (cid:241)35(cid:87)70(cid:87)145(cid:87)170(cid:87)(cid:39)(cid:109) (cid:37)(cid:55) 𝑎 (cid:175) 𝑛 (cid:13)(cid:74)𝑎𝑛 (cid:37) −1 (cid:70)(cid:99)3𝑛(cid:87)−(cid:259)2,𝑛(cid:146)≥(cid:211)(cid:109)(cid:105)(cid:376).
2
𝑛 −𝑛
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:35)(cid:192)(cid:135)(cid:146)(cid:211)(cid:87) =1(cid:87) =5= +4= +3× (cid:87) =12= +7= +3× (cid:87)
1 2 1 1 3 2 2 4
=22= +10= +3×3𝑎+1(cid:87) 𝑎 𝑎 𝑎 2−2 𝑎 𝑎 𝑎 3−2 𝑎
3 3
(cid:164)(cid:104)(cid:87) 𝑎= +𝑎 2.
(cid:301) 2𝑎(cid:120)𝑛 (cid:87)𝑎(cid:42)𝑛−(cid:43)1(cid:32)3(cid:39)𝑛−(cid:75)2(cid:138),𝑛(cid:349)≥
𝑛=≥1(cid:87)
1
𝑎 = +4(cid:87)
2 1
𝑎 =𝑎 +7(cid:87)
3 2
𝑎 𝑎
⋯ = + (cid:87)
(cid:160)𝑎𝑛(cid:236)(cid:237)𝑎𝑛(cid:120)−1(cid:158)(cid:43)3𝑛(cid:146)−(cid:211)2 (cid:87) + + + + =1+ +4+ +7+ + + (cid:87)
1 2 3 1 2
(cid:175)(cid:15)(cid:146)(cid:211)(cid:87) =1+4 𝑎 +7 𝑎 + 𝑎 + ⋯ = 𝑎𝑛 ( 1𝑎) = 3 2 𝑎 . ⋯ 𝑎𝑛−1 3𝑛−2
2 2
𝑛 3𝑛−2+ 𝑛 −𝑛
𝑎𝑛 ⋯ 3𝑛−2
(cid:144)(cid:172)A(cid:41)(cid:87)(cid:407)3 2 =35(cid:146)(cid:211)(cid:87)3 2 =0(cid:87)(cid:74)(cid:211) =5(cid:161) = 14 (cid:89)(cid:408)(cid:178)(cid:90).
2 3
𝑛 −𝑛
𝑛 −𝑛−70 𝑛 𝑛 −
(cid:164)(cid:104)(cid:87) =35(cid:87)(cid:262)A(cid:41)(cid:409)(cid:410)(cid:118)
5
(cid:144)(cid:172)B 𝑎 (cid:41)(cid:87)(cid:407)3 2 =70(cid:146)(cid:211)(cid:87)3 2 =0(cid:87)(cid:74)(cid:211) =7(cid:161) = 20 (cid:89)(cid:408)(cid:178)(cid:90).
2 3
𝑛 −𝑛
𝑛 −𝑛−140 𝑛 𝑛 −(cid:164)(cid:104)(cid:87) =70(cid:87)(cid:262)B(cid:41)(cid:409)(cid:410)(cid:118)
7
(cid:144)(cid:172)C 𝑎 (cid:41)(cid:87)(cid:407)3 2 =145(cid:146)(cid:211)(cid:87)3 2 =0(cid:87)(cid:74)(cid:211) =10(cid:161) = 29 (cid:89)(cid:408)(cid:178)(cid:90).
2 3
𝑛 −𝑛
𝑛 −𝑛−290 𝑛 𝑛 −
(cid:164)(cid:104)(cid:87) =145(cid:87)(cid:262)C(cid:41)(cid:409)(cid:410)(cid:118)
10
(cid:144)(cid:172)D 𝑎 (cid:41)(cid:87)(cid:407)3 2 =170(cid:146)(cid:211)(cid:87)3 2 =0(cid:87)(cid:74)(cid:211) =1 4081 N (cid:89)(cid:408)(cid:178)(cid:90)(cid:161) = 4081 N (cid:89)(cid:408)
2 6 6
𝑛 −𝑛 + ∗ 1− ∗
𝑛 −𝑛−340 𝑛 ∉ 𝑛 ∉
(cid:178)(cid:90).
(cid:164)(cid:104)(cid:87)170(cid:116)(cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:41)(cid:87)(cid:262)D(cid:41)(cid:55)(cid:256).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D. 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:28)
(cid:22)(cid:249)5(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:92)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:414)·(cid:53)(cid:400)(cid:90)(cid:192)(cid:135) =2(cid:87) = ( )(cid:87)(cid:297)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:91) =
1 +1
(cid:89)(cid:415)(cid:415)(cid:90) 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
A(cid:137)n B(cid:137) +1 C(cid:137)2n D(cid:137) 1
𝑛
𝑛+
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:21)(cid:189)(cid:146)(cid:211) 𝑛 +1= 1 (cid:87)(cid:216)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:69)(cid:357)(cid:146)(cid:211)(cid:118) 𝑛
𝑎𝑛
𝑛+
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:74)(cid:10)(cid:35) = (
𝑎𝑛
𝑛 )(cid:87)(cid:211)( +1) = (cid:87)
+1 +1
(cid:259) +1= 1 (cid:87) 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑛+
𝑎𝑛
𝑛
(cid:297) = (cid:87) = (cid:87) = (cid:87)…(cid:87) 2= 2 (cid:87)
𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛−2 𝑛−2 𝑎1 1
𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛−2 𝑛−2 𝑎𝑛−3 𝑛−3 𝑎
(cid:35)(cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:146)(cid:211) = (cid:87)(cid:359)(cid:215) =2(cid:87)(cid:164)(cid:104) = (cid:87)
1
𝑎𝑛1
𝑎 𝑛 𝑎 𝑎𝑛 2𝑛
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C(cid:137)
1
(cid:22)(cid:232)(cid:50)5-1(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:349)·(cid:352)(cid:353)·(cid:53)(cid:113)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) = (cid:87) = ( 2(cid:87) )(cid:87)(cid:297)(cid:13)(cid:49){ }
1 3 1
2𝑛−3 ∗
(cid:37)(cid:40)(cid:41) =(cid:89) (cid:90)
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 2𝑛+ 𝑎𝑛−1 𝑛≥ 𝑛∈𝑁 𝑎𝑛
𝑎𝑛
1 1
A(cid:137) B(cid:137)
4 2 2 2 1
𝑛 −1 𝑛 +
1 1
C(cid:137) D(cid:137)
( )( 3) ( 1)( 3)
2𝑛−1 2𝑛+ 𝑛+ 𝑛+
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:244)(cid:245)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:37)(cid:145)(cid:27)(cid:39)(cid:109)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:137)
1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:74)(cid:10)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) = (cid:87) = )(cid:87)
1 3 1
2𝑛−3
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 2𝑛+ 𝑎𝑛−1(𝑛⩾2,𝑛∈𝑁∗
(cid:175)(cid:15)(cid:211) = (cid:87) = (cid:87)......(cid:87) 2= 1 (cid:87)
𝑎𝑛
2𝑛−
1
3
𝑎𝑛−1
2𝑛−5
𝑎1 5
𝑎𝑛−1 2𝑛+ 𝑎𝑛−2 2𝑛−1 𝑎
1×3
(cid:164)(cid:119)(cid:37)(cid:41)(cid:158)(cid:44)(cid:211)(cid:10) = (cid:87)
𝑎𝑛1
𝑎 (2𝑛+1)(2𝑛−1)1
(cid:175)(cid:15)(cid:211)(cid:10) = (cid:87)
4 2
(cid:262)(cid:20)(cid:10)A(cid:137) 𝑎𝑛 𝑛 −1
(cid:22)(cid:232)(cid:50)5-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:263)(cid:264)(cid:416)(cid:417)·(cid:107)(cid:266)(cid:90)(cid:300)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190) =1(cid:87){ + }(cid:215)(cid:80)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:297) =
1
(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛
1 2
A(cid:137) B(cid:137)
3 1)
𝑛−1
𝑛(𝑛+
6
C(cid:137) D(cid:137)
2) 3
5−2𝑛
(𝑛+1)(𝑛+
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:35)(cid:192)(cid:135)(cid:146)(cid:211)(cid:109) + =2(cid:87)(cid:247)(cid:200)(cid:146)(cid:211) + =2(cid:89) 2(cid:90)(cid:87)(cid:160)(cid:50)(cid:253)(cid:48)(cid:211)
+1) = (cid:87)(cid:395)𝑆(cid:252)𝑛(cid:213)𝑛(cid:27)𝑎(cid:42)𝑛 (cid:44)(cid:32)(cid:39)(cid:109) (cid:259)(cid:146)𝑆𝑛 . −1 (𝑛−1)𝑎𝑛−1 𝑛≥
(cid:22)(𝑛(cid:74)(cid:105)(cid:240)𝑎𝑛(cid:260)(cid:28)(𝑛(cid:359)−(cid:215)1){𝑎𝑛− + 1 }(cid:215)(cid:80)(cid:13)(cid:49)(cid:190) =1𝑎(cid:87)𝑛(cid:164)(cid:104)(cid:119) + =2(cid:87)
1
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) +𝑆𝑛 𝑛𝑎𝑛 =2(cid:87) 𝑎 𝑆𝑛 𝑛𝑎𝑛 ①
𝑛≥ 𝑆𝑛−1 (𝑛−1)𝑎𝑛−1 ②
(cid:211)(cid:10) +1) = (cid:87)(cid:259) = (cid:87)
𝑎𝑛
𝑛−
1
1
①−② (𝑛 𝑎𝑛 (𝑛−1)𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑛+
(cid:96)(cid:200) 2 3 4 = 1 × 2 × × (cid:87)(cid:211) = 2 (cid:87)
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛 3 4
𝑛−
1
1
1)
(cid:301) = 𝑎 1 ⋅ (cid:120) 𝑎 (cid:87) ⋅𝑎 (cid:171) ⋅ (cid:50) ⋯ (cid:121) ⋅𝑎 (cid:231) 𝑛−1 (cid:418)(cid:137) ⋯ 𝑛+ 𝑎𝑛 𝑛(𝑛+
(cid:262)𝑛(cid:20)(cid:10)B.
( 1)
(cid:22)(cid:232)(cid:50)5-3(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:265)(cid:349)·(cid:83)(cid:84)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87) =4(cid:87) = ( )(cid:87)
2 2
𝑛+ 𝑎𝑛 ∗
(cid:297)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215)(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑛∈𝑁
A(cid:137)𝑎𝑛 = ( ) B(cid:137) =2 ( )
∗ 𝑛 ∗
C(cid:137)𝑎𝑛=2𝑛+𝑛2(∈𝑁 ) D(cid:137)𝑎𝑛 = 2(𝑛∈𝑁 )
∗ ∗
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)𝑎(cid:218)𝑛 (cid:28)𝑛(cid:407) =𝑛2∈(cid:146)𝑁(cid:39)(cid:211) (cid:37)(cid:364)(cid:87)(cid:216)(cid:407) 2(cid:87)𝑎(cid:35)𝑛2 𝑛=𝑛(∈+𝑁1) (cid:211)2 = (cid:87)(cid:160)(cid:50)(cid:253)(cid:48)(cid:175)(cid:15)(cid:252)(cid:146)(cid:211)
1
𝑛 𝑎 𝑛≥ 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛−1 𝑛𝑎𝑛−1
= (cid:87)(cid:395)(cid:252)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:146)(cid:39)(cid:211)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50).
𝑎𝑛 𝑛
𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛
( 1)
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:359)(cid:215)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87) =4(cid:87) = ( )(cid:87)
2 2
𝑛+ 𝑎𝑛 ∗
𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑛∈𝑁
(2 1) 1
(cid:301) =2(cid:120)(cid:87) = 2= + = =2(cid:118)
2 2 1 2 1 2 2
+ 𝑎
∴ 𝑛 𝑆 𝑎 𝑎 ⇒𝑎 𝑎
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87)(cid:35)2 =( +1) (cid:211)2 = (cid:87)
𝑛≥ 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛−1 𝑛𝑎𝑛−1
(cid:160)(cid:50)(cid:158)(cid:384)(cid:211)2 =( +1) (cid:87)(cid:175)(cid:15)(cid:211) = (cid:87)
𝑎𝑛 𝑛
𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛−𝑛𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑛−1
= 2 3 =2× 2 × 3 × × = .
1 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 1 2 𝑛
∴𝑎𝑛 𝑎 ⋅𝑎 ⋅𝑎 ⋅⋯⋅𝑎𝑛−1 ⋯ 𝑛−1 2𝑛(cid:262)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:28)
(cid:22)(cid:249)6(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75) =2 (cid:137)
(1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛−𝑛
(2)(cid:312)(cid:358) 𝑎𝑛 (cid:10) 1 1 + 2 1 + 3 1 + + 1 < 5 (cid:137)
𝑎 +2 𝑎 +4 𝑎 +6 𝑎𝑛+ 4
𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎2𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:213)(cid:27) (cid:75) (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:87)(cid:395)(cid:252)(cid:45)(cid:46)(cid:107)(cid:147)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:74)(cid:259)(cid:146)(cid:118)
𝑆𝑛 𝑎𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:213)(cid:27) 2 < 1 + 1 (cid:247)(cid:248)(cid:419)(cid:420)(cid:87)(cid:395)(cid:252)(cid:27)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:39)(cid:75)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:74)(cid:259)(cid:146).
4 𝑘 2 𝑘 4 𝑘
𝑘
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)−1(cid:89)1(cid:90)(cid:359)(cid:215) =2 (cid:137)
(cid:407) =1(cid:211) =2 (cid:87)(cid:74)𝑆𝑛(cid:211) 𝑎=𝑛−1𝑛(cid:137)①
1 1 1
(cid:301)𝑛 2(cid:120)𝑆(cid:87) 𝑎=−21 𝑎+1 (cid:87)
(cid:35)𝑛≥ (cid:211)𝑆𝑛−=12 𝑎𝑛−1−𝑛 (cid:87)②
(cid:259)①−=②2 𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛+−12𝑎=𝑛2− ( 1−1 +1),
(cid:365)𝑎𝑛+1=𝑎𝑛2−1 0(cid:87)𝑎𝑛 𝑎𝑛−1
1
(cid:164)𝑎(cid:104)(cid:13)(cid:49){ ≠+1}(cid:91)(cid:243)(cid:41)(cid:215)2(cid:87)(cid:7)(cid:51)(cid:215)2(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
(cid:262) +1=𝑎2𝑛 (cid:87)(cid:164)(cid:104) =2 (cid:137)
𝑛 𝑛
(cid:89) 𝑎 2(cid:90) 𝑛 (cid:359)(cid:215) 1 = 2 𝑎𝑛 < 2 1 − = 1 1 + 1 = (cid:87)
𝑎𝑘+ 4 𝑘 𝑘4
+
2 𝑘 4 𝑘
(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) 𝑎2𝑘 1 1 = 𝑘 −21 < 5 (cid:87) 𝑘 ,𝑘 1,2,⋯
𝑎 +2 3 4
𝑛 𝑎
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87)
1𝑛+≥1
2
+1
3
+1 +1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1
+ + + + < + + + + + + +
3 2 4 2 4 2 𝑛 4 𝑛
𝑎 2 𝑎 4 𝑎 6 𝑎𝑛
2 1 2 1 3 ⋯1 1 2 1 3 1 ⋯
=𝑎 + 𝑎+ 𝑎+ + +𝑎2𝑛 + + +
3 2 2 2 𝑛 4 4 4 𝑛
2 1 2 × 1 ⋯1 2 × 1 2 1 1 5 ⋯
= + 2 2 𝑛−1 + 4 4 𝑛−1 < + + = (cid:137)
3 1 1 3 2 12 4
1−2 1−4
(cid:127)(cid:171)(cid:87) 1 11 + − 2 1 + 3 1 + 1− + 1 < 5 (cid:137)
𝑎 +2 𝑎 +4 𝑎 +6 𝑎𝑛+ 4
𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎2𝑛
1
(cid:22)(cid:232)(cid:50)6-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:383)(cid:303)(cid:303)(cid:421)·(cid:107)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87) =1(cid:87)(cid:190)(cid:315)(cid:316)( +1) =
1 +1 2
( +1). 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑛 𝑆𝑛 𝑛𝑆𝑛 − 𝑛
(1𝑛)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(2)(cid:300) = 𝑎𝑛2+3 cos (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) .
𝑎𝑛
𝑏𝑛 𝑎𝑛 ⋅ 𝑛π 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛( 1)
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:213)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:75)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:146)(cid:211) = (cid:87)(cid:208)(cid:128) = (cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:74)(cid:118)
2
𝑛 𝑛+
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:135) =( ) 2+( ) (cid:87)(cid:213)(cid:27)(cid:71)(cid:350)(cid:39)(cid:75)(cid:32)(cid:69)(cid:357)(cid:259)(cid:146) 𝑆 (cid:39) 𝑛 (cid:74). 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1 𝑏 (cid:90) 𝑛 (cid:201)(cid:202) −1 (cid:21)(cid:189) 𝑛 (cid:87)( − + 3 1) = 1 ( +1)(cid:87)(cid:164)(cid:104) +1 = 1 (cid:87)
+1 2 1 2
𝑆𝑛 𝑆𝑛
𝑛 𝑆𝑛 𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 𝑛 𝑛+ −𝑛
1
(cid:35)(cid:172) 1= =1(cid:87)(cid:297) (cid:91)(cid:104)(cid:243)(cid:41)(cid:215)1(cid:87)(cid:7)(cid:48)(cid:215) (cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
1 1 2
𝑆 𝑆𝑛
𝑎 𝑛
1 1 ( 1)
(cid:164)(cid:104) =1+( )× = (cid:87)(cid:164)(cid:104) = (cid:87)
2 2 2
𝑆𝑛 𝑛+ 𝑛 𝑛+
𝑛 𝑛−1 𝑆𝑛
1)
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) = = = .
2 2
𝑛(𝑛+ (𝑛−1)𝑛
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 − 𝑛
(cid:311)(cid:312) =1(cid:120) =1(cid:315)(cid:316)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:262)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) = .
1
(cid:89)2(cid:90)𝑛(cid:35)(cid:89)1(cid:90)𝑎(cid:135) = 2+3 cos =(𝑎𝑛 ) 2+( ) .𝑎𝑛 𝑛
𝑎𝑛 𝑛 𝑛
(cid:300)( ) 2(cid:37)(cid:187) 𝑏(cid:41)𝑛(cid:75)(cid:215)𝑎𝑛 (cid:87)(cid:297)(cid:301)⋅ (cid:215)𝑛(cid:59)π(cid:13)(cid:120)−(cid:87)1 𝑛 −3
𝑛
=−1 12𝑛+22 𝑛32+42𝐴𝑛 ( 𝑛 )2+ 2
𝐴=𝑛( − )(2+−1)+( −)⋅(⋅⋅4−+𝑛3−)1+ +𝑛[ ( )][ +( )]
2−1 4−3 ⋅⋅(⋅ 1)𝑛− 𝑛−1 𝑛 𝑛−1
=1+2+3+4+ +( )+ = .
2
𝑛 𝑛+
⋅⋅⋅ 𝑛−1 𝑛
(cid:301) (cid:215)(cid:58)(cid:13)(cid:120)(cid:87) = 2= ( ) 2= ( 1) (cid:87)
2 2
𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛+
𝑛 𝐴𝑛 𝐴𝑛−1−𝑛 −𝑛 −
(cid:300)( ) (cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:297) = ( )[ ( ) ] = ( ) +1 .
1 3 𝑛 4 𝑛
𝑛 −3 ⋅1− −3 −3− −3
−3 𝑛 𝐵𝑛 𝐵𝑛 +
( 1) 3 ( ) +1 为偶数,
(cid:359)(cid:215) = + (cid:87)(cid:164)(cid:104) = 2 4 𝑛
𝑛 𝑛(+ 1) +3 −(3 ) +1 为奇数.
2 − 4 𝑛 ,𝑛
𝑇𝑛 𝐴𝑛 𝐵𝑛 𝑇𝑛 𝑛 𝑛+ + −3
− − ,𝑛
(cid:22)(cid:232)(cid:50)6-2(cid:28)(cid:89)2024(cid:24)(cid:265)(cid:349)·(cid:377)(cid:378)(cid:231)(cid:165)·(cid:26)(cid:21)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190)(cid:315)(cid:316) =2 + (cid:137)
(1)(cid:39)(cid:312)(cid:10)(cid:13)(cid:49){ }(cid:215)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−1
( 𝑎𝑛−)2
(2)(cid:192)(cid:135) = (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:137)
3
𝑛 2−𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)
𝑏𝑛
(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:35) (cid:36)
(cid:37)𝑏𝑛
(cid:3)(cid:38)(cid:87)
𝑛
(cid:208)(cid:128)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:146)(cid:211)(cid:164)(cid:39)(cid:118)
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:409)(cid:422)(cid:158)𝑎(cid:384)𝑛(cid:32)(cid:39)𝑆𝑛(cid:75)(cid:87)(cid:208)(cid:128)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:39)(cid:75)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:146)(cid:211)(cid:164)(cid:39)(cid:75)(cid:137)
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) =2 +1(cid:87)(cid:74)(cid:211) = (cid:87)
1 1 1
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87)(cid:35) =2 𝑛+ (cid:87)𝑎(cid:146)(cid:211)𝑎 =2 𝑎+ −1,
(cid:160)(cid:50)𝑛≥(cid:158)(cid:384)(cid:211) =𝑆𝑛2 𝑎𝑛 2𝑛−+12(cid:87)(cid:164)(cid:104)𝑆𝑛−1 =2𝑎( 𝑛−1 2𝑛−)(cid:87)3
(cid:365)(cid:359)(cid:215) 𝑎=𝑛 𝑎(cid:87)𝑛−(cid:164)2(cid:104)𝑎𝑛 { −1 }(cid:91)(cid:243)(cid:41)𝑎(cid:215)𝑛−2(cid:87)(cid:7)𝑎(cid:51)𝑛−(cid:215)1−2(cid:37)2 (cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49).
1
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)𝑎(cid:89)−12(cid:90)(cid:135)−(cid:87)3 =𝑎𝑛−2×2 (cid:87) −3
𝑛−1
𝑎𝑛−2 −3( )
(cid:164)(cid:104) = = 2 (cid:87)
3
𝑛 2−𝑎𝑛 𝑛−1
(cid:13)(cid:49) 𝑏 { 𝑛 }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) 𝑛 (cid:215) ⋅ =1×20+2×21+ +( )2 + 2 (cid:87)
𝑛−2 𝑛−1
(cid:146)(cid:211)2 𝑏𝑛=1×𝑛21+2×𝑇2𝑛2+ + 2 ⋯+ 2𝑛−(cid:87)1 𝑛⋅
𝑛−1 𝑛
(cid:160)(cid:50)(cid:158) 𝑇 (cid:384) 𝑛 (cid:211) =1+2+22 ⋯ + ( + 𝑛− 2 1)⋅ 2 𝑛 = ⋅ 2 2 =2 2 (cid:87)
𝑛
𝑛−1 𝑛 1− 𝑛 𝑛 𝑛
(cid:164)(cid:104) =(
−𝑇𝑛
) 2 +1(cid:137)
⋯ −𝑛⋅ 1−2−𝑛⋅ −1−𝑛⋅
𝑛
(cid:22)(cid:232)𝑇(cid:50)𝑛 6-3(cid:28)𝑛−(cid:89)120⋅24·(cid:83)(cid:84)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190)2 =( +2)( +1)(cid:137)
(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛
𝑎3𝑛 1 1 1 1
(2)(cid:39)(cid:312)(cid:10) < + + + (cid:137)
4 1 2 3
− 𝑆 𝑆 ⋅⋅⋅ 𝑆𝑛≤−
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:423)(cid:424) (cid:36) (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:224)(cid:178) (cid:146)(cid:211) +1 1 = 1 (cid:87)(cid:208)(cid:128)(cid:13)(cid:49)(cid:375)(cid:425)(cid:69)(cid:357)(cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:118)
2 2 1 1
𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑛+ −𝑛+ 𝑛+ −𝑛+
1 1 5
(cid:89)2(cid:90)(cid:423)(cid:424)(cid:426)(cid:41)(cid:158)(cid:224)(cid:32)(cid:39)(cid:75)(cid:87)(cid:35)0< + < (cid:259)(cid:146)(cid:211).
1 2 6
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:301) =1(cid:120)(cid:87)2 𝑛 = + 2 𝑛+ =3( +1) = .
1 1 1 1
(cid:35)2 =( +2)( +1𝑛)(cid:87)(cid:297)2 𝑆 =( 𝑎+3)( 𝑎 +1⇒)(cid:87)𝑎 −3
+1 +1
(cid:297)2𝑆𝑛 𝑛 =(𝑎𝑛+3)( +𝑆𝑛 1) ( 𝑛+2)( 𝑎+𝑛 1)=2 (cid:87)
+1 +1 +1
(cid:16)(cid:382) 𝑆 (cid:211) 𝑛 ( − + 2𝑆 1 𝑛 ) 𝑛 ( + 𝑎 2 𝑛 ) = − (cid:87) 𝑛 (cid:164)(cid:104) 𝑎+ 𝑛 1 = 𝑎𝑛 1 (cid:87) 1(cid:87)
+1 2 1 ( 1)( 2)
𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑛 𝑎𝑛 − 𝑛 𝑎𝑛 −1 𝑛+ −𝑛+ − 𝑛+ 𝑛+ 𝑛≥
(cid:164)(cid:104) +1 1 = 1 (cid:87) 1(cid:87)
2 2 1 1
𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑛+ −𝑛+ 𝑛+ −𝑛+ 𝑛≥
(cid:297) 1 (cid:215)(cid:80)(cid:13)(cid:49)(cid:137)
1 1
𝑎𝑛
(cid:359)(cid:215) 𝑛+ 1 − 1 𝑛 = + (cid:87)(cid:164)(cid:104) 1 = (cid:87)
2 2 1 1
𝑎 𝑎𝑛
(cid:164)(cid:104)
−
= (
−2
+1)(cid:118)
𝑛+ −𝑛+ −2
(cid:89)2(cid:90) 𝑎 (cid:359) 𝑛 (cid:215) − 2 = 𝑛 ( +1)(cid:87)(cid:164)(cid:104) = ( +2)(cid:87)(cid:164)(cid:104) 1 = 1 × 1 1 (cid:87)
2 2
(cid:164)(cid:104) 1 + 1 𝑎 + 𝑛 − + 2 1 𝑛 = 1 1 𝑆 + 𝑛 1 −𝑛 1 𝑛 + + 1 1 𝑆𝑛 − = 1 1 𝑛− + 𝑛+ 1 3 (cid:87)
1 2 2 3 2 4 2 2 1 2 2
1 𝑆 𝑆 1 ⋅⋅⋅ 𝑆𝑛 − 1− − 1 ⋅ 1 ⋅⋅ 1𝑛− 1𝑛+ 5 𝑛+ 𝑛+ −
(cid:35) + (cid:427) (cid:37)(cid:355)(cid:117)(cid:200)(cid:384)(cid:112)(cid:87)(cid:262)0< + + = (cid:87)
1 2 1 2 2 3 6
𝑛+ 𝑛+ 𝑛 𝑛+ 𝑛+ ≤
(cid:262) 3 < 1 1 + 1 3 1 (cid:87)
4 2 1 2 2 3
− 3 1 𝑛+1 𝑛+ − 1 ≤− 1
(cid:259) < + + + .
4 1 2 3
− 𝑆 𝑆 ⋅⋅⋅ 𝑆𝑛≤−(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:28)
1 1
(cid:22)(cid:249)7(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:265)(cid:171)·(cid:428)(cid:429)(cid:430)(cid:378)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) =1(cid:87)(cid:190)(cid:65)( , )(cid:111)(cid:244)(cid:431) = (cid:171).
1
+1
(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑦 𝑥−2
(2)(cid:13)(cid:49){ 𝑎𝑛 }(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:39)(cid:223)(cid:432) < (cid:144) *(cid:173)(cid:231)(cid:418)(cid:37) (cid:89) Z(cid:90)(cid:37)(cid:363)(cid:112)(cid:364).
+1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217) 𝑎 (cid:218) 𝑛𝑎 (cid:28) 𝑛 (cid:89)1(cid:90) 𝑛 (cid:35)(cid:21)(cid:300)(cid:274) 𝑇𝑛 (cid:211) 1 (cid:215)(cid:47) 𝑇 (cid:48) 𝑛 (cid:13) 3 (cid:49) 𝑚 (cid:87) −1 (cid:259) 2 (cid:146) 𝑛 (cid:39) ∈ (cid:296) 𝑁 (cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑚 𝑚∈
(cid:89)2(cid:90)(cid:144)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:71)(cid:72)𝑎(cid:146) 𝑛 (cid:40)(cid:240)(cid:426)(cid:41)(cid:158)(cid:224)(cid:32)(cid:39)(cid:187) (cid:41)(cid:75) (cid:87)(cid:356) < (cid:173)(cid:231)(cid:418)(cid:54)(cid:21)(cid:214)(cid:16)(cid:215)(cid:39) (cid:37)
+1
(cid:363)(cid:117)(cid:364)(cid:161)(cid:171)(cid:293)𝑎(cid:54)𝑛𝑎(cid:21)𝑛(cid:259)(cid:211). 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 3𝑚−12 𝑇𝑛
1 1 1 1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:65)( , )(cid:111)(cid:244)(cid:431) = (cid:171)(cid:87)(cid:211) =2(cid:87)
+1 +1
(cid:164)(cid:104)(cid:13)(cid:49) 1 (cid:91)(cid:104)(cid:243)(cid:41)(cid:215) 𝑎𝑛 1 = 𝑎𝑛 1(cid:87)(cid:7)(cid:48) 𝑦 (cid:215)2 𝑥− (cid:37) 2 (cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49) 𝑎𝑛 (cid:137) − 𝑎 𝑛
1
1
𝑎𝑛 𝑎
1
(cid:262) =1+2( )= (cid:87)(cid:259) = (cid:137)
(cid:89) 𝑎 2 𝑛 (cid:90) 𝑛 = −1 1 2𝑛−1 = 1 𝑎𝑛 1 2𝑛−1 1 (cid:87)
+1 1) 2 1
(cid:164)(cid:104) 𝑎𝑛 = 1 𝑎𝑛 1 (2𝑛 + −1 1 )(2 1 𝑛+ 1 + 2𝑛 + −11−2 1 𝑛+ 1
2 3 2 3 5 2 1
(cid:259) 𝑇 = 𝑛 1 1 1 − + 1 1 + + − 1 ⋯ 1 )= 2𝑛1−1−2𝑛 1 + (cid:87)(cid:359) 1, *(cid:87)(cid:262) < 1 (cid:87)
2 3 3 5 1 2 1 2
𝑇𝑛 (1− − ⋯ 2𝑛−1−2𝑛+ 1−2𝑛+ 𝑛≥ 𝑛∈𝑁 𝑇𝑛
(cid:262)(cid:66)(cid:432) < (cid:144) *(cid:173)(cid:231)(cid:418)(cid:87)(cid:132)(cid:432) 1 (cid:87)(cid:259) 25 (cid:87)
2 6
𝑇𝑛 3𝑚−12 𝑛∈𝑁 3𝑚−12≥ 𝑚≥
(cid:365) Z(cid:87)(cid:164)(cid:104) (cid:37)(cid:363)(cid:112)(cid:364)(cid:215)5.
(cid:22)𝑚(cid:232)(cid:50)∈ 7-1(cid:28)(cid:89)𝑚2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190) = (cid:87) + = + 2
1 +1 +1
+ (cid:87) N*(cid:137) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 −2 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 2𝑛𝑎𝑛−𝑛
(1)𝑛(cid:39)(cid:13)𝑛(cid:49)∈{ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(2)(cid:193) +1 𝑎𝑛2( 3 +3 )(cid:144)(cid:188)(cid:189)(cid:37) N*(cid:173)(cid:231)(cid:418)(cid:87)(cid:39)(cid:170)(cid:13) (cid:37)(cid:363)(cid:112)(cid:364)(cid:137)
𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)𝑎𝑛(cid:217)(cid:218)≤(cid:28)(cid:89)𝑘1⋅(cid:90)(cid:213)(cid:27)−𝑎(cid:433)𝑛(cid:107)(cid:158)(cid:384)(cid:32)(cid:146)𝑛(cid:211)∈(cid:13)(cid:49){ }(cid:215)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)𝑘(cid:87)(cid:247)(cid:200)(cid:146)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
𝑎𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:229)(cid:230)(cid:87)(cid:71)(cid:434)(cid:207)(cid:13)(cid:146)(cid:211) (cid:87)(cid:216)(cid:300) = (cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:146)(cid:211)(cid:363)(cid:117)(cid:41)(cid:257) (cid:37)(cid:363)(cid:112)(cid:364).
2×3 2×3
3𝑛−8 3𝑛−8
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:35)(cid:192)(cid:135) 𝑘≥ + 𝑛 = 𝑏𝑛 + 𝑛 2+ (cid:87)𝑏𝑛 𝑘
+1 +1
(cid:297)(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) + =𝑆𝑛 +2(𝑆𝑛 )𝑎𝑛 (2𝑛𝑎𝑛)−2𝑛+( 𝑛①) (cid:87)
𝑛≥(cid:211) 𝑆+𝑛 𝑆=𝑛−1 𝑎+𝑛 ( 𝑛−)1 𝑎𝑛− ( 1− 𝑛)−1 𝑛−+12(cid:87)②
+1 +1
(cid:259)①−② 𝑎𝑛=1(cid:87)𝑎𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−1 𝑎𝑛−2 𝑛−1 𝑎𝑛−1−2𝑛
(cid:164)𝑎(cid:104)𝑛(cid:13)−𝑎(cid:49)𝑛− { 1 }(cid:91)(cid:104) (cid:215)(cid:243)(cid:41)(cid:87)1(cid:215)(cid:7)(cid:48)(cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
𝑎𝑛 −2(cid:164)(cid:104) = + = (cid:118)
(cid:89)2(cid:90)𝑎(cid:35)𝑛 (cid:89)−12(cid:90)(cid:211)𝑛−1= 𝑛−3(cid:87)
(cid:259)(cid:116)(cid:47)(cid:50) 𝑎2𝑛 ( 𝑛3−3 +3)(cid:144)(cid:188)(cid:189)(cid:37) N*(cid:173)(cid:231)(cid:418)(cid:87)
𝑛
𝑛−2≤ 𝑘⋅ −𝑛 𝑛∈
(cid:164)(cid:104) (cid:87)
2×3
3𝑛−8
𝑛
𝑘≥
(cid:300) = (cid:87)
2×3
3𝑛−8
𝑏𝑛 𝑛
3( 1) 19
(cid:365) = = (cid:87)
+1 2×3 +1 2×3 2×3 +1
𝑛+ −8 3𝑛−8 −6𝑛+
𝑏𝑛 −𝑏𝑛 𝑛 − 𝑛 𝑛
(cid:164)(cid:104)(cid:301) 3(cid:120)(cid:87) >0(cid:87)(cid:301) 4(cid:120)(cid:87) <0(cid:87)
+1 +1
(cid:164)(cid:104)(cid:301)𝑛≤4(cid:120)(cid:87)𝑏(cid:13)𝑛(cid:49)−{ 𝑏𝑛 }(cid:373)(cid:374)(cid:76)(cid:355)𝑛(cid:87)≥(cid:301) 4𝑏(cid:120)𝑛 (cid:87)−(cid:13)𝑏𝑛(cid:49){ }(cid:373)(cid:374)(cid:76)(cid:384)(cid:87)
𝑛≤ 2𝑏𝑛 𝑛≥ 𝑏𝑛
(cid:164)(cid:104) = = (cid:87)
2×3 4 81
3𝑛−8
𝑏𝑛 𝑛 ≤𝑏
2
(cid:164)(cid:104) (cid:87)
82
𝑘≥
2
(cid:259)(cid:170)(cid:13) (cid:37)(cid:363)(cid:112)(cid:364)(cid:215) .
82
𝑘
(cid:22)(cid:232)(cid:50)7-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:396)(cid:397)(cid:435)(cid:381)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) + =4(cid:87)(cid:190) , , (cid:231)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:137)
6 7 1 4 5
(1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(2)(cid:362) 𝑎𝑛(cid:215)(cid:13)(cid:49){ }(cid:187) (cid:41)(cid:37)(cid:44)(cid:436)(cid:87)(cid:193) <0(cid:87)(cid:39) (cid:37)(cid:363)(cid:117)(cid:364)(cid:137)
1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)𝑇𝑛(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)𝑎1𝑛(cid:90)(cid:213)𝑛(cid:27) + =4(cid:87)𝑎(cid:75) , , 𝑇(cid:231)𝑛 (cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:208)(cid:128)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:75)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:135)(cid:136)(cid:87)(cid:96)(cid:200)(cid:39)(cid:109)(cid:243)(cid:41)(cid:75)
6 7 1 4 5
(cid:7)(cid:48)(cid:87)(cid:96)(cid:200)(cid:39)(cid:74). 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:89)2(cid:90)(cid:201)(cid:202)(cid:89)1(cid:90)(cid:113)(cid:208)(cid:139)(cid:166)(cid:208)(cid:128)(cid:21)(cid:189)(cid:247)(cid:248)(cid:71)(cid:70)(cid:99)(cid:60)(cid:61)(cid:87)(cid:96)(cid:200)(cid:39)(cid:74).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:300){ }(cid:37)(cid:7)(cid:48)(cid:215) (cid:87)(cid:35) + =4(cid:87)(cid:211)(cid:10)2 + =4(cid:118)
6 7 1
(cid:35) , , (cid:231)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)𝑎(cid:211)𝑛 (cid:10) 2= 𝑑 (cid:87)𝑎(cid:259)(cid:10)(𝑎 + )2= 𝑎( 1+1𝑑 )(cid:87)(cid:175)(cid:15)(cid:211)(cid:10) (2 + )=0.
1 4 5 4 1 5 1 1 1 1
(cid:35) 𝑎2𝑎 1 𝑎+ =4 (cid:87)(cid:74)(cid:211)(cid:10) 𝑎 1 =𝑎2 (cid:161) 𝑎 1 = 𝑎 . 3𝑑 𝑎 𝑎 4𝑑 𝑑 𝑎 9𝑑
(2 + )=0 =0 =2
1
𝑎 11𝑑 𝑎 𝑎 −9
(cid:164)(cid:104)𝑑(cid:10)𝑎{ }(cid:37)9𝑑(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) =2𝑑(cid:161) = 𝑑 .
(cid:89)2(cid:90)(cid:359)𝑎(cid:215)𝑛 <0(cid:87)(cid:164)(cid:104)(cid:10)𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 (cid:87)2𝑛−11
1
(cid:211)(cid:10)(cid:301) 𝑎5(cid:120)(cid:87) <0(cid:118)(cid:301)𝑎𝑛 26𝑛(cid:120)−1(cid:87)1 >0.
(cid:96)(cid:200) 𝑛<≤0, >0𝑎,𝑛 <0, 𝑛>≥0, <0𝑎,𝑛 <0( 5)(cid:87)
1 2 3 4 5
(cid:365)(cid:359)𝑇(cid:215)(cid:10) 𝑇= 𝑇=63,𝑇 = 𝑇 𝑇=𝑛945(cid:87)𝑛(cid:164)≥(cid:104)(cid:10) (cid:37)(cid:363)(cid:117)(cid:364)(cid:215) =945.
2 1 2 4 1 2 3 4 4
(cid:262) (cid:37)(cid:363)𝑇(cid:117)(cid:364)(cid:215)𝑎9𝑎45. 𝑇 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑇𝑛 𝑇
(cid:22)𝑇(cid:232)𝑛(cid:50)7-3(cid:28)(cid:89)2023·(cid:352)(cid:353)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87) =1(cid:87) +1) = +1)(cid:137)
1 +1
𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 2𝑛𝑆𝑛 −2(𝑛 𝑆𝑛 𝑛(𝑛(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41) (cid:118)
(2)(cid:300) =
𝑎𝑛
+2 (cid:87)(cid:39)(cid:13)
𝑎𝑛
(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75) (cid:137)
2 +2
𝑎𝑛
𝑛
𝑏𝑛 ⋅𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑇𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:246)(cid:356)(cid:21)(cid:437)(cid:113)(cid:37)(cid:149)(cid:325)(cid:50)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:238)(cid:104) ( +1)(cid:146)(cid:312)(cid:211) (cid:91)(cid:104) 1=1(cid:215)(cid:243)(cid:41)(cid:87) 1 (cid:215)(cid:7)(cid:48)(cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)
1 2
𝑆𝑛 𝑎
=1 𝑛 𝑛 𝑛
(cid:49)(cid:87)(cid:35)(cid:204)(cid:39)(cid:109) (cid:87)(cid:216)(cid:208)(cid:128) = 1 (cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:109)(cid:105)(cid:376)(cid:118)
2
𝑆𝑛
𝑆 ,𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:246)(cid:39)(cid:109){ 𝑛}(cid:87)(cid:216)(cid:35)(cid:426)(cid:41)
𝑎𝑛
(cid:158)(cid:224)𝑆(cid:32)𝑛−(cid:39)𝑆(cid:74)𝑛−(cid:259)1,𝑛(cid:146)≥.
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)𝑏(cid:89)𝑛1(cid:90)(cid:359)(cid:215) +1) = +1)(cid:87)(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:238)(cid:104) ( +1)(cid:87)
+1
(cid:164)(cid:104) 2 +1 2 =1(cid:87)(cid:164)(cid:104) 2𝑛 + 𝑆 1 𝑛 − = 21( (cid:87) 𝑛 𝑆𝑛 𝑛(𝑛 𝑛 𝑛
1 1 2
𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛
𝑛+ − 𝑛 𝑛+ −𝑛
(cid:164)(cid:104) (cid:91)(cid:104) 1=1(cid:215)(cid:243)(cid:41)(cid:87) 1 (cid:215)(cid:7)(cid:48)(cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
1 2
𝑆𝑛 𝑎
𝑛
1 1 1
(cid:164)(cid:104) =1+ ( )= ( +1)(cid:87)(cid:164)(cid:104) = ( +1)(cid:87)
2 2 2
𝑆𝑛
𝑛 𝑛−1 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑛
1 1
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) = = ( +1) ( ) = (cid:87)
2 2
(cid:301) 𝑛≥ =1(cid:120)(cid:87) 𝑎𝑛 =1 𝑆𝑛 (cid:121) − (cid:315) 𝑆𝑛 (cid:316) −1 (cid:171)(cid:50) 𝑛 (cid:87)𝑛 − 𝑛−1 𝑛 𝑛
1
(cid:164)(cid:104)𝑛 = 𝑎 N*.
(cid:89)2(cid:90) 𝑎 (cid:35) 𝑛 (cid:89) 𝑛 1 ,𝑛 (cid:90) ∈ (cid:146)(cid:211)(cid:87) = 2 𝑎 + 𝑛 2 +2 = 2 +2 𝑛 1 2+ 2 ( 1) = ( 𝑛 1 + ) 2 2 +1 = 1 2 ( 1 1 )2 +1 (cid:87)
(cid:297) = + + + 𝑏𝑛 + 𝑛 ⋅𝑆𝑛 𝑛 ⋅ 𝑛 𝑛+ 𝑛 𝑛+ 𝑛 𝑛⋅ 𝑛 − 𝑛+ 𝑛
1 2 3
𝑇𝑛 1 𝑏 𝑏 1 𝑏 ⋯ 1 𝑏𝑛 1 1 1 1 1
= + + + +
1 21 2 22 2 22 3 23 3 23 4 24 2 ( +1)2 +1
𝑇𝑛 − − − ⋯ 𝑛− 𝑛
= 1 ⋅ 1 ⋅= 1 ⋅ 1 . ⋅ ⋅ ⋅ 𝑛⋅ 𝑛
121 ( 1)2 +1 2 ( 1)2 +1
𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:21)⋅(cid:29) − 8 𝑛 + (cid:35)(cid:47)(cid:51)(cid:13) − (cid:49) 𝑛+ (cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:28)
3
(cid:22)(cid:249)8(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190) = + ( )(cid:137)
4
3(2𝑛−1) ∗
(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 4𝑛 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁
𝑎𝑛3 3
(2)(cid:300) = (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:39)(cid:312)(cid:10) < (cid:137)
2𝑛) 4
(cid:22)(cid:74)(cid:21)
𝑏𝑛
(cid:217)(cid:218)
(𝑛
(cid:28)
+
(cid:89)
𝑎𝑛 1(cid:90)(cid:213)(cid:27)𝑏𝑛
=
𝑛
(cid:69)(cid:357)
𝑇𝑛
(cid:87)(cid:395)(cid:252)(cid:45)(cid:46)
𝑇𝑛
(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(cid:89)2(cid:90)(cid:213)(cid:27)(cid:426)(cid:41)(cid:158)(cid:224)(cid:32)(cid:39)𝑎(cid:75)𝑛(cid:87)(cid:395)𝑆𝑛(cid:252)−𝑆(cid:30)𝑛−(cid:31)1(cid:146)(cid:312)(cid:358)(cid:116)(cid:47)(cid:50).
3
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:301) =1(cid:87)(cid:35) = + = (cid:87)(cid:211) =3(cid:87)
1 4 4 1 1 1
3(2−1)
𝑛 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) = 3 + 3 + (cid:87)
4 4
3(2𝑛−1) 3[2(𝑛−1)−1]
𝑛≥ 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 4𝑛 𝑎𝑛 − 4(𝑛−1) 𝑎𝑛−1(cid:164)(cid:104) = (cid:87)(cid:297) = (cid:137)
3(2𝑛−1)𝑎𝑛 3(2𝑛−3)𝑎𝑛−1 3(2𝑛−3)𝑎𝑛−1 (2𝑛−3)𝑎𝑛
𝑎𝑛 4𝑛 − 4(𝑛−1) 𝑛−1 𝑛
(cid:359)(cid:215) 2(cid:87)(cid:164)(cid:104) =3 (cid:87)(cid:359)(cid:215) =3(cid:87)(cid:297) 1=3(cid:87)
1 1
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎
𝑛≥ 𝑛 ⋅𝑛−1 𝑎
(cid:164)(cid:104) (cid:91)(cid:104)3(cid:215)(cid:243)(cid:41)(cid:57)3(cid:215)(cid:7)(cid:51)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
𝑎𝑛
𝑛
(cid:297) =3×3 =3 (cid:87)(cid:259) = 3 (cid:118)
𝑎𝑛
𝑛−1 𝑛 𝑛
𝑛 𝑎𝑛 𝑛⋅
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:135) = 3 = 1 = 1 1 1 (cid:87)
( 2𝑛) ( 2) 2 2
1 1 𝑏𝑛1 𝑛1+ 𝑎𝑛 1𝑛 𝑛+1 1𝑛−1𝑛+ 1 1 1 1
= + + + + + +
2 3 2 4 3 5 4 6 +1 +2
𝑇𝑛 1− − − − ⋯ − −
= 1 1+ 1 1 1 = 3 1 1 + 1 (cid:87) 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛
2 2 1 2 4 2 1 2
−𝑛+ −𝑛+ − 𝑛+ 𝑛+
3
(cid:359)(cid:215) (cid:87)(cid:164)(cid:104) < .
4
∗
𝑛∈𝑁 𝑇𝑛
(cid:22)(cid:232)(cid:50)8-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:362) (cid:215)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:87)(cid:192)(cid:135) =1,{2 }(cid:91)(cid:7)(cid:48)(cid:215)1(cid:37)(cid:47)(cid:48)
1
(cid:13)(cid:49). 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛−𝑆𝑛
(1)(cid:312)(cid:358)(cid:13)(cid:49){ +1}(cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:166)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
( 𝑎𝑛1) 𝑎𝑛
(2)(cid:193) = (cid:87) (cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:363)(cid:117)(cid:41)(cid:87)(cid:39)(cid:55)(cid:175)(cid:13)k(cid:37)(cid:364).
2
𝑛 𝑛+
(cid:22)(cid:74)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:217)(cid:218) 𝑆𝑛 (cid:28) +𝑛 (cid:89) + 1(cid:90) 𝑏 (cid:243) 𝑘 (cid:246)(cid:201)(cid:202)𝑏 {2 𝑛 }(cid:215)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:296)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:395)(cid:252)(cid:213)(cid:27) (cid:36) (cid:142)(cid:143)(cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:211)(cid:212)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)
=1(cid:87)(cid:363)(cid:252)(cid:45)(cid:46){ +𝑎1𝑛}−(cid:215)𝑆(cid:47)𝑛 (cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:247)(cid:200)(cid:39)(cid:74)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)𝑎𝑛(cid:118)𝑆𝑛
+1
(cid:89) 𝑎𝑛 2(cid:90) − (cid:243) 2𝑎 (cid:246) 𝑛 (cid:201)(cid:202)(cid:89)1(cid:90)(cid:39)(cid:211) 𝑎𝑛 =2 +1 (cid:87)(cid:229)(cid:230)(cid:39)(cid:211) = ( 1𝑎) (cid:257) 𝑛 = ( 1)( 2) (cid:87)(cid:395)(cid:252)(cid:40)(cid:240)(cid:253)(cid:48)(cid:87)(cid:369)(cid:370)
2 +1 +1 2 +2
𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛+ 𝑛+
𝑆𝑛 −𝑛−2 𝑏𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑛
(cid:36)0(cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:87)(cid:247)(cid:200)(cid:211)(cid:212)(cid:41)(cid:142)(cid:143)(cid:37)(cid:117)(cid:112)(cid:3)(cid:38)(cid:87)(cid:247)(cid:200)(cid:39)(cid:211)(cid:363)(cid:117)(cid:41).
+1
(cid:22)𝑏𝑛(cid:74)−(cid:105)𝑏(cid:240)𝑛 (cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:35)(cid:21)(cid:189)(cid:211)2 =1(cid:87)(cid:164)(cid:104)2 = (cid:87)
1 1
(cid:164)(cid:104)2 = +1(cid:87) 𝑎 −𝑆 𝑎𝑛−𝑆𝑛 𝑛 ①
+1 +1
(cid:438) 𝑎𝑛(cid:87)(cid:211)−𝑆2𝑛 𝑛 ( ② )=1(cid:87)(cid:259) =1(cid:87)
+1 +1 +1
(cid:164)②(cid:104)① +1=𝑎𝑛2(−2+𝑎𝑛 1−)(cid:87)𝑆𝑛 −𝑆𝑛 𝑎𝑛 −2𝑎𝑛
+1
(cid:365) 𝑎 + 𝑛 1=2 0(cid:87) 𝑎 (cid:164) 𝑛 (cid:104) +1 1 =2(cid:87)
1 1
𝑎𝑛 +
𝑎 ≠ 𝑎𝑛+
(cid:164)(cid:104)(cid:13)(cid:49){ +1}(cid:91)(cid:243)(cid:41)(cid:215)2(cid:87)(cid:7)(cid:51)(cid:215)2(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49).
(cid:164)(cid:104) +1𝑎=𝑛 2 (cid:87)(cid:164)(cid:104) =2 .
𝑛 𝑛
(cid:89)2(cid:90) 𝑎 (cid:35) 𝑛 (cid:89)1(cid:90)(cid:135)(cid:87) = 𝑎 2 𝑛 − = 1 2 +1 (cid:87)(cid:164)(cid:104) = ( 1) , = ( 1)( 2)
2 +1 +1 2 +2
𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛+ 𝑛+
𝑆𝑛 𝑎𝑛−𝑛 −𝑛−2 𝑏𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑛
( 1)( )
(cid:74)(cid:32)(cid:107)(cid:10) = (cid:87)
+1 2 +2
𝑛+ 2−𝑛
𝑏𝑛 −𝑏𝑛 𝑛(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) >0(cid:87)(cid:259) < (cid:118)(cid:301) =2(cid:120)(cid:87) =0(cid:87)(cid:259) = (cid:118)
+1 1 2 +1 2 3
(cid:301)𝑛 3(cid:120)(cid:87)𝑏𝑛 −𝑏𝑛<0(cid:87)(cid:259)𝑏 𝑏< .(cid:164)𝑛(cid:104) < 𝑏=𝑛 −(cid:87)𝑏𝑛(cid:190) > 𝑏> 𝑏> (cid:87)
+1 +1 1 2 3 3 4
(cid:164)(cid:104)𝑛≥(cid:13)(cid:49){ 𝑏}(cid:37)𝑛 (cid:363)−(cid:117)𝑏𝑛(cid:41)(cid:215) (cid:75)𝑏𝑛(cid:87)(cid:262)𝑏k 𝑛(cid:37)(cid:364)(cid:215)𝑏2(cid:161)𝑏3. 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏𝑛
2 3
(cid:74)(cid:32)(cid:250)(cid:10) 𝑏+ 𝑛 1= 2 (cid:87) 𝑏 𝑏
𝑏𝑛 𝑛+
𝑏𝑛 2𝑛
(cid:407) +1>1(cid:87)(cid:74)(cid:211) <2(cid:118)(cid:407) +1=1(cid:87)(cid:74)(cid:211) =2(cid:118)(cid:407) +1<1(cid:87)(cid:74)(cid:211) >2.
𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛
𝑏𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑛
(cid:359)(cid:215) >0(cid:87)(cid:164)(cid:104) < = (cid:87)(cid:190) > > > (cid:87)
1 2 3 3 4
(cid:164)(cid:104)𝑏(cid:13)𝑛(cid:49){ }(cid:37)(cid:363)𝑏(cid:117)(cid:41)(cid:215)𝑏 (cid:75)𝑏 (cid:87)(cid:262)𝑏 k(cid:37)𝑏(cid:364)(cid:215)⋯2(cid:161)𝑏3 𝑛 .
2 3
(cid:22)(cid:232)(cid:50)8-2𝑏(cid:28)𝑛(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)𝑏·(cid:266)(cid:317)𝑏(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:243)(cid:41) =1(cid:87)(cid:190)(cid:315)(cid:316) + = +1.
1 +1
(1)(cid:312)(cid:358) 3 + 1 (cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:166)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37) 𝑎𝑛 (cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) 𝑎 (cid:118) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 3𝑛
2 4
(2)(cid:91)(cid:313)(cid:439)𝑎𝑛 (cid:111)−(cid:55)𝑛(cid:175)(cid:13) (cid:87)(cid:432)(cid:211)(cid:144)(cid:188)(cid:189)(cid:37)(cid:55)(cid:175)(cid:13)𝑎(cid:87) 𝑛 + = (cid:287)(cid:231)(cid:418)(cid:440)(cid:193)(cid:439)(cid:111)(cid:87)(cid:39)(cid:109) (cid:37)(cid:364)(cid:118)(cid:193)(cid:116)(cid:439)(cid:111)(cid:87)
+
(cid:441)(cid:372)(cid:358)(cid:15)(cid:35). 𝑚 𝑛 𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑎𝑚 𝑛 𝑚
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:35)(cid:192)(cid:135)(cid:146)(cid:211) +1 3 2 1) 1 4= (cid:87)(cid:146)(cid:211) 3 + 1 (cid:91)(cid:243)(cid:41)(cid:215) 1 (cid:57)(cid:7)(cid:51)(cid:215)(cid:438)1(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
𝑎𝑛 − 3 2(𝑛+ 1 4+ 2 4 4
(cid:146)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) (cid:118) 𝑎𝑛− 𝑛+ −1 𝑎𝑛− 𝑛 −
𝑎𝑛 1 3 + 1 3
(cid:89)2(cid:90)(cid:442)(cid:300) + = (cid:231)(cid:418)(cid:87)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:146)(cid:211) + + = + + (cid:87)(cid:16)(cid:382)(cid:146)(cid:211)
+ 𝑚4 𝑛 2 2 4𝑚 𝑛 4 2
(−1) +(−1) (−1)
𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑎𝑚 𝑛 − (𝑚 𝑛) − (𝑚 𝑛)
(cid:439)(cid:111)(cid:55)(cid:175)(cid:13) (cid:87)(cid:301) = (cid:87) (cid:120)(cid:87)(cid:144)(cid:188)(cid:189)(cid:37)(cid:55)(cid:175)(cid:13) (cid:87)(cid:287)(cid:231)(cid:418).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)𝑚(cid:28)(cid:89)1(cid:90)𝑚(cid:35) 2𝑘 +𝑘∈𝑁= +1(cid:87)(cid:211) = 𝑛 + +1(cid:87)
+1 +1
3 𝑎1 𝑛 𝑎𝑛 3 3𝑛1 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 3𝑛
(cid:164)(cid:104) +1)+ = + )(cid:87) (cid:365) =1(cid:87)
+1 2 4 2 4 1
𝑎𝑛 − (𝑛 −(𝑎𝑛− 𝑛 𝑎
3 1 1 3 1
(cid:262) + = 0(cid:87)(cid:35)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:146)(cid:211) + 0,
1 2 4 4 2 4
𝑎 − 3 −1) 1≠ 𝑎𝑛− 𝑛 ≠
(cid:164)(cid:104) +1 2 4= (cid:87)
3 1
𝑎𝑛 − 2(𝑛+4+
𝑎𝑛− 𝑛+ −1
(cid:164)(cid:104) 3 + 1 (cid:91)(cid:243)(cid:41)(cid:215) 1 (cid:57)(cid:7)(cid:51)(cid:215)(cid:438)1(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49).
2 4 4
𝑎𝑛− 𝑛 −
3 1 1 1 3 1
(cid:262) + = ) = · (cid:87)(cid:259) = + (cid:118)
2 4 4 4 2 4 4 𝑛
𝑛−1 𝑛 (−1)
𝑎𝑛− 𝑛 (− (−1) (−1) 𝑎𝑛 𝑛−
1 3 1 3
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:146)(cid:211) = + (cid:87)(cid:164)(cid:104) = +
4 𝑛 4 2 4 𝑚 4 2
(−1) (−1)
𝑎𝑛 − 𝑛 𝑎𝑚 − 𝑚
+ 1 3
= + + (cid:87)
+ 4𝑚 𝑛 4 2
(−1)
𝑎𝑚 𝑛 − (𝑚 𝑛)
(cid:442)(cid:300) + = (cid:231)(cid:418)(cid:87)
+
𝑎𝑚 𝑎𝑛 1𝑎𝑚 3 𝑛 + 1 3
(cid:297) + + = + + (cid:87)
𝑚4 𝑛 2 2 4𝑚 𝑛 4 2
(−1) +(−1) (−1)
− (𝑚 𝑛) − (𝑚 𝑛)(cid:16)(cid:382)(cid:211) + =1+ + ( ).
𝑚 𝑛 𝑚 𝑛
(cid:146)(cid:135)(cid:301)(−(cid:215)1)(cid:55)(cid:59)(cid:13)(−(cid:87)1)(cid:259) = (−1) (cid:120)(cid:87)∗ (cid:89)*(cid:90)(cid:50)(cid:144)(cid:188)(cid:189)(cid:37)(cid:55)(cid:175)(cid:13) (cid:287)(cid:231)(cid:418).
∗
(cid:359)(cid:204)(cid:87)(cid:439)𝑚(cid:111)(cid:55)(cid:175)(cid:13) (cid:87)𝑚(cid:301) 2=𝑘,𝑘∈(cid:87)𝑁 (cid:120)(cid:87)(cid:144)(cid:188)(cid:189)(cid:37)(cid:55)(cid:175)(cid:13) (cid:87)(cid:287)𝑛 (cid:231)(cid:418).
∗
(cid:22)(cid:232)(cid:50)8-3(cid:28)(cid:89)202𝑚4·(cid:397)(cid:303)𝑚(cid:353)(cid:443)2·(cid:250)𝑘(cid:266)𝑘(cid:90)∈(cid:192)𝑁(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215)𝑛 (cid:87)(cid:190)(cid:315)(cid:316) =1, =3, + =
1 2 +2
. 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑘
+1
𝑎(1𝑛)(cid:301) =2(cid:120)(cid:87)(cid:39) ;
10
𝑘 5 𝑆
(2)(cid:193) = (cid:87)(cid:300) = (cid:87)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50).
2 +1
(cid:22)(cid:74)(cid:21) 𝑘 (cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89) 𝑏𝑛 1(cid:90)(cid:35) 𝑎𝑛 (cid:47)(cid:48) −2 (cid:13) 𝑎𝑛 (cid:49)(cid:33)(cid:34)𝑏(cid:211) 𝑛 (cid:109){ }(cid:215)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:35)(cid:192)(cid:135)(cid:39)(cid:109)(cid:7)(cid:48)(cid:87)(cid:208)(cid:128)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:75)(cid:7)(cid:50)(cid:259)(cid:146)(cid:211)
(cid:74)(cid:118) 𝑎𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:312)(cid:358)(cid:13)(cid:49){ }(cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:35)(cid:204)(cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:74).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:301) 𝑏=𝑛 2(cid:120)(cid:87)(cid:119) + =2 (cid:87)
+2 +1
(cid:259) = 𝑘 (cid:87)(cid:164)(cid:104){ 𝑎} 𝑛(cid:215)(cid:47)𝑎(cid:48)𝑛 (cid:13)(cid:49)(cid:87)𝑎𝑛
+2 +1 +1
(cid:359)𝑎(cid:215)𝑛 −=𝑎1𝑛, =𝑎3𝑛(cid:87)(cid:164)−(cid:104)𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 =2(cid:87)
1 2 2 1
𝑎 𝑎 10×9 𝑑 𝑎 −𝑎
(cid:164)(cid:104) =1×10+ ×2=100.
10 2
𝑆
5
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:192)(cid:135)(cid:87) = (cid:87)
+2 2 +1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛
1 1 1
(cid:164)(cid:104) = = ( )(cid:87)(cid:259) = (cid:87)
+2 +1 2 +1 2 +1 +1 2
𝑎𝑛 −2𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 −2𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛
1
(cid:190) = =1(cid:87)(cid:164)(cid:104){ }(cid:91)(cid:104)1(cid:215)(cid:243)(cid:41)(cid:87) (cid:215)(cid:7)(cid:51)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
1 2 1 2
𝑏 𝑎 −2𝑎 𝑏𝑛
(cid:164)(cid:104) =1× 1 = 1 .
2 𝑛−1 2 𝑛−1
(cid:22)(cid:21)𝑏(cid:29) 𝑛 9 (cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:249)9(cid:28)(cid:89)2024(cid:24)(cid:265)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) =2(cid:87) + +1=0(cid:87)(cid:362)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)
1 +1 +1
(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:187)n(cid:41)(cid:436)(cid:215) (cid:87)(cid:297)(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛−𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑆𝑛 𝑇𝑛
1
A(cid:137)(cid:13)(cid:49){ }(cid:91)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49) B(cid:137) =
2024 3
C(cid:137) 𝑎> 𝑛 D(cid:137) 𝑎 =1
2024 2024 2024
𝑆 𝑇 𝑇 1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:246)(cid:356)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:247)(cid:248)(cid:214)(cid:16)(cid:87)(cid:211)(cid:212) = (cid:87)(cid:35) =2(cid:87)(cid:69)(cid:357)(cid:211)(cid:212) (cid:87) (cid:87) (cid:87) (cid:87)(cid:37)(cid:364)(cid:87)(cid:30)
+1 1 2 3 4 5
+𝑎𝑛
𝑎𝑛 1−𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:31)(cid:146)(cid:211){ }(cid:215)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:190)(cid:52)(cid:53)(cid:215)4(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:369)(cid:370)(cid:20)(cid:41)A(cid:118)(cid:201)(cid:202)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:375)(cid:425)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:369)(cid:370)(cid:20)(cid:41)B(cid:87)C(cid:87)D.
𝑎𝑛 1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:20)(cid:41)A(cid:10)(cid:274)(cid:135) 1(cid:87)(cid:35) + +1=0(cid:87)(cid:211) = (cid:87)
+1 +1 +1
+𝑎𝑛
𝑎𝑛≠ 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛−𝑎𝑛 𝑎𝑛 1−𝑎𝑛1 1
(cid:365) =2(cid:87)(cid:69)(cid:357)(cid:211) = (cid:87) = (cid:87) = (cid:87) =2= (cid:87)
1 2 3 2 4 3 5 1
𝑎 𝑎 −3 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:359)(cid:204){ }(cid:215)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:190)(cid:52)(cid:53)(cid:215)4(cid:87)A(cid:55)(cid:256).
𝑎𝑛 1
(cid:20)(cid:41)B(cid:10)(cid:35)A(cid:135)(cid:87) = = (cid:87)B(cid:55)(cid:256),
2024 4 3
𝑎 𝑎
(cid:20)(cid:41)C(cid:87)D(cid:10)(cid:35)(cid:52)(cid:53)(cid:375)(cid:87)(cid:211) =506 =506( + + + )=506× 7 <0(cid:87)
2024 4 1 2 3 4
6
= 506=( × × 𝑆 × )506= 𝑆 1(cid:87)(cid:297) 𝑎 < 𝑎 𝑎 (cid:87)(cid:262) 𝑎 C(cid:409)(cid:410)(cid:87)D(cid:55) − (cid:256).
2024 4 1 2 3 4 2024 2024
𝑇(cid:262)(cid:20)(cid:10)A𝑇BD. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑆 𝑇
(cid:22)(cid:232)(cid:50)9-1(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:349)·(cid:302)(cid:444)(cid:445)(cid:446)·(cid:53)(cid:113)(cid:90)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190)(cid:315)(cid:316) =1(cid:87) =
1 +1
2 是奇数 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎𝑛
1 (cid:87)(cid:297)(cid:349)(cid:49)(cid:372)(cid:32)(cid:55)(cid:256)(cid:37)(cid:119)(cid:89) (cid:90)
是偶数
𝑎𝑛,𝑛
𝑎𝑛,
A
𝑛
(cid:137) =
1
B(cid:137){ }(cid:91)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49) C(cid:137) =2 D(cid:137) =20
3 2 2022 18
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217) 𝑎 (cid:218)(cid:28)(cid:176)(cid:177)(cid:241) = 𝑎= 𝑛 = =6(cid:259)(cid:146) 𝑎 (cid:311)(cid:312)A(cid:41)(cid:75)B(cid:41)(cid:37)(cid:55)(cid:256) 𝑆 (cid:36)(cid:313)(cid:87)(cid:216)(cid:201)(cid:202)(cid:52)(cid:53)(cid:375)(cid:146)(cid:369)(cid:370)C(cid:41)
(cid:91)(cid:313)(cid:55)(cid:256)(cid:87)(cid:363)(cid:252)(cid:201)(cid:202)(cid:52)𝑛 (cid:53)1(cid:375),𝑛(cid:75)(cid:71)2,(cid:350)𝑛 (cid:39)3(cid:75)⋯(cid:32),𝑛(cid:146)(cid:369)(cid:370)D(cid:41)(cid:91)(cid:313)(cid:55)(cid:256).
2 是奇数
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:35)(cid:21)(cid:189)(cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) =1(cid:87) = 1 (cid:87)
1 +1 是偶数
𝑎𝑛,𝑛
(cid:301)n=1(cid:120)(cid:87) =2 =2(cid:118)(cid:301)
𝑎
n
𝑛
=2(cid:120)(cid:87)
𝑎
=
1 𝑎
=
𝑛 1
(cid:118)
𝑎𝑛,𝑛
2 1 3 2 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
1
(cid:301)n=3(cid:120)(cid:87) =2 =1(cid:118)(cid:301)n=4(cid:120)(cid:87) = =1(cid:118)
4 3 5
4
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
1 1
(cid:301)n=5(cid:120)(cid:87) =2 =2(cid:118)(cid:301)n=6(cid:120)(cid:87) = = (cid:87) (cid:87)
6 5 7 6 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯⋯
(cid:298)(cid:299)(cid:146)(cid:211)(cid:13)(cid:49){ }(cid:45)(cid:231)(cid:104)4(cid:215)(cid:52)(cid:53)(cid:37)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:164)(cid:104)A(cid:55)(cid:256)(cid:87)B(cid:55)(cid:256)(cid:118)
(cid:365)(cid:35) = 𝑎𝑛 = =2(cid:87)(cid:164)(cid:104)C(cid:55)(cid:256)(cid:118)
2022 505×4+2 2
𝑎 𝑎 𝑎 1 9 9
(cid:359)(cid:215) + + + =1+2+ +1= (cid:87)(cid:164)(cid:104) =4× +1+2=21(cid:87)(cid:164)(cid:104)D(cid:409)(cid:410)(cid:137)
1 2 3 4 2 2 18 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑆
(cid:262)(cid:20)(cid:10)ABC(cid:137)
1 1
+
2 2
(cid:22)(cid:232)(cid:50)9-2(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:265)(cid:171)·(cid:302)(cid:444)(cid:447)(cid:448)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:126)(cid:13) = 1 < <1(cid:87)(cid:193)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) 1 =
𝑥 2,𝑥≤
1
𝑓(𝑥) 2𝑥−1, 𝑥 𝑎𝑛 𝑎
7
(cid:87) = ( )(cid:87) N (cid:297)(cid:349)(cid:49)(cid:372)(cid:32)(cid:55)(cid:256)(cid:37)(cid:91)(cid:89) (cid:90) 𝑥−1,𝑥≥
3 +1
∗
𝑎
A
𝑛
(cid:137)(cid:195)(cid:13)
𝑓 (cid:49)𝑎𝑛
(cid:91)(cid:52)
𝑛
(cid:53)
∈
(cid:13)(cid:49)(cid:190)(cid:52)(cid:53)(cid:215)3 B(cid:137)(cid:195)(cid:13)(cid:49)(cid:116)(cid:91)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)
3 7
C(cid:137) + = D(cid:137) + =
2023 2024 2 2023 2024 6
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:126)(cid:13) (cid:37)(cid:74)(cid:72)(cid:50)(cid:87)(cid:39)(cid:109)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)(cid:449)(cid:37)(cid:41)(cid:87)(cid:197)(cid:212)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:41)(cid:109)(cid:110)(cid:37)(cid:198)(cid:199)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:369)(cid:370)A(cid:87)
𝑓(𝑥) 𝑎𝑛5 2
B(cid:118)(cid:208)(cid:128)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:41)(cid:37)(cid:198)(cid:199)(cid:39)(cid:109) = = , = = (cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:369)(cid:370)C(cid:87)D.
2020 4 6 2021 5 3
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:35)(cid:21)(cid:189)(cid:135) = 7 (cid:87)(cid:262) = 7 = 7 = 4 (cid:118) = 4 = 4 = 1 (cid:118)
1 3 2 3 3 3 3 3 3 3
𝑎 𝑎 𝑓 −1 𝑎 𝑓 −1
= 1 = 1 + 1 = 5 (cid:118) = 5 =2× 5 = 2 (cid:118) = 2 =2× 2 = 1 (cid:118)
4 3 3 2 6 5 6 6 3 6 3 3 3
𝑎 𝑓 𝑎 𝑓 −1 𝑎 𝑓 −1
= 1 = 1 + 1 = 5 (cid:118)……
7 3 3 2 6
𝑎 𝑓
152
(cid:13)(cid:49){ }(cid:96) (cid:390)(cid:450)(cid:255)3(cid:41)(cid:87)(cid:259) , , (cid:92)(cid:451)(cid:109)(cid:110)(cid:87)
3 363
∴(cid:452)(cid:187)2 𝑎(cid:41) 𝑛 (cid:75)(cid:252) 𝑎 (cid:449)(cid:41)(cid:166)(cid:116)(cid:92)(cid:451)(cid:87)(cid:262)(cid:13)(cid:49){ }(cid:166)(cid:116)(cid:91)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)(cid:87)A(cid:409)(cid:410)(cid:87)B(cid:55)(cid:256)(cid:137)
5 𝑎𝑛 2
= = = , = = = (cid:87)
2020 2+672×3+2 4 6 2021 2+672×3+3 5 3
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
3
+ = + = (cid:87)C(cid:55)(cid:256)(cid:87)D(cid:409)(cid:410)(cid:137)
2020 2021 4 5 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:262)(cid:20)(cid:10)BC(cid:137)
1
(cid:22)(cid:232)(cid:50)9-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:92)(cid:411)(cid:416)(cid:453)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135) (cid:91){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) =2(cid:87) = ， N (cid:87)(cid:297)(cid:349)
1
∗
(cid:49)(cid:20)(cid:41)(cid:409)(cid:410)(cid:37)(cid:91)(cid:89) (cid:90)
𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 𝑎𝑛 1−𝑎𝑛−1 𝑛≥2,𝑛∈
A(cid:137) =2 B(cid:137) =1012
2021 2021
C(cid:137)𝑎 =1 D(cid:137)𝑆{ }(cid:91)(cid:104)3(cid:215)(cid:52)(cid:53)(cid:37)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)
+1 +2
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)𝑎(cid:218)3𝑛𝑎(cid:28)3𝑛(cid:77)(cid:454)𝑎3(cid:109)𝑛 = ( N )(cid:87)(cid:213)(cid:27)(cid:13)(cid:49)(cid:37)𝑎𝑛(cid:52)(cid:53)(cid:375)(cid:146)(cid:369)(cid:370)(cid:181)(cid:20)(cid:41)(cid:37)(cid:55)(cid:410).
+3
∗
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛∈ 1 1 1 1 1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:359)(cid:215) =2(cid:87) = ( 2)(cid:87)(cid:297) = = (cid:87) = = (cid:87) = =2= (cid:87)
1 2 1 2 3 2 4 3 1
(cid:104)(cid:204)(cid:205)(cid:77)(cid:146)(cid:135)(cid:87)(cid:144) 𝑎 (cid:188)(cid:189)(cid:37) 𝑎𝑛 N (cid:87) 1−𝑎𝑛−1 =𝑛≥(cid:87)D(cid:20)(cid:41) 𝑎 (cid:55)(cid:256) 1− (cid:118) 𝑎 𝑎 1−𝑎 −1 𝑎 1−𝑎 𝑎
+3
∗
1𝑛∈ 𝑎𝑛 𝑎𝑛
= = = (cid:87)A(cid:20)(cid:41)(cid:409)(cid:410)(cid:118)
2021 3×673+2 2 2
𝑎 𝑎 𝑎
3 1
=673( + + )+ + =673× +2+ =1012(cid:87)B(cid:20)(cid:41)(cid:55)(cid:256)(cid:118)
2021 1 2 3 1 2 2 2
𝑆 𝑎 𝑎= 𝑎 = 𝑎 (cid:87) 𝑎 C(cid:20)(cid:41)(cid:409)(cid:410).
+1 +2 3 2 1
𝑎(cid:262)3𝑛(cid:20)⋅(cid:10)𝑎3 A 𝑛 C.⋅𝑎3𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 −1
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)
(cid:22)(cid:249)10(cid:28)(cid:89)2024·(cid:94)(cid:455)(cid:401)(cid:456)(cid:75)(cid:457)(cid:63)·(cid:107)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) , =3(cid:190) + =2 2+ +
1 +1
N*(cid:137) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛𝑎 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 6𝑛 3,𝑛∈
(1)(cid:39) (cid:37)(cid:364)(cid:118)
9
(2)(cid:39)(cid:13)𝑆 (cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:137)
𝑎𝑛(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:201)(cid:202) , (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:87)(cid:16)(cid:215) + =4( +2)(cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:166)(cid:41)(cid:32)(cid:39) (cid:118)
+2 +1 9
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:146)(cid:211) 𝑎𝑛𝑆𝑛 = 2(cid:87)(cid:202)𝑎𝑛(cid:204)(cid:71) 𝑎(cid:215)𝑛(cid:58)(cid:13)(cid:57)𝑛(cid:59)(cid:13)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:216)(cid:128)𝑆(cid:166)(cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:74).
+2
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:359)𝑎(cid:215)𝑛 −+𝑎𝑛 4=,𝑛2≥2+ +3(cid:87)𝑛
+1
(cid:164)(cid:104) + =2 +𝑆𝑛1)2𝑆+𝑛6( +1𝑛)+36(cid:137)𝑛
+2 +1
(cid:160)(cid:50)𝑆(cid:158)𝑛(cid:384)(cid:87)(cid:211)𝑆𝑛 +(𝑛 =4( +𝑛2) *(cid:137)
+2 +1
(cid:164)(cid:104) = +𝑎( 𝑛 + 𝑎𝑛 )+( +𝑛 )+,𝑛∈+𝑁( + )=3+4[(1+2)+(3+2)+…+(7+2)]
9 1 2 3 4 5 8 9
𝑆 𝑎(3 9)×𝑎4 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎
=3+4× =99(cid:118)
2
+
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:135) + =4( +2) (cid:87)
+2 +1
(cid:146)(cid:211) + =𝑎4𝑛 ( +1𝑎) 𝑛 (cid:87) 𝑛2(cid:137) ①
+1
(cid:359)(cid:215)𝑎𝑛=3𝑎,𝑛 + =𝑛 11(cid:87)② 𝑛≥
1 2 1
(cid:164)(cid:104)𝑎 =5(cid:87)𝑆(cid:365) 𝑆 + =23=2 +2 + (cid:87)
2 3 2 1 2 3
(cid:164)(cid:104)𝑎 =7 𝑆 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎
3
(cid:365)(cid:35)𝑎 (cid:211) = 2(cid:137)
+2
(cid:164)(cid:104)①②= 𝑎+𝑛4(−𝑎𝑛 )=4,𝑛≥+1(cid:87)(cid:259) = + (cid:215)(cid:59)(cid:13)(cid:87)
2
(cid:297)(cid:301)𝑎2𝑛 3(cid:87)𝑎(cid:190)(cid:215)(cid:58)𝑛−(cid:13)1(cid:120)(cid:87)4𝑛 𝑎𝑛 2𝑛 1,𝑛
=𝑛4(≥ +1) =4( +1) [2( +1)+1]= +1(cid:87)
+1
(cid:365)𝑎𝑛 =𝑛3, =−7𝑎(cid:174)𝑛(cid:128)(cid:171)(cid:50)(cid:87)𝑛 (cid:127)(cid:128)−(cid:211) 𝑛= +1(cid:137) 2𝑛
1 3
𝑎 𝑎 𝑎𝑛 2𝑛
(cid:22)(cid:232)(cid:50)10-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:352)(cid:379)(cid:458)(cid:399)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) +1=4 (cid:87) =2(cid:87) .
2 1
𝑎𝑛𝑎𝑛
𝑛 ∗
(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
𝑎𝑛 𝑎 𝑛∈𝑁
𝑎𝑛
(2)(cid:300) = (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:39)(cid:312)(cid:10) < < .
1
𝑎𝑛−1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)
𝑏𝑛
(cid:217)(cid:218)
𝑎𝑛
(cid:28)
+ (cid:89)1(cid:90)(cid:35)(cid:13)𝑏𝑛
(cid:49)(cid:37)(cid:76)
𝑛
(cid:77)(cid:7)(cid:50)
𝑆
(cid:87)
𝑛
(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:44)
𝑛
(cid:32)
−
(cid:259)
2
(cid:146)(cid:39)
𝑆𝑛
(cid:74)(cid:118)
𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:144) (cid:247)(cid:248)(cid:116)(cid:47)(cid:50)(cid:419)(cid:420)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:312)(cid:358)(cid:116)(cid:47)(cid:50).
𝑆𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90) +1=4 (cid:87) =2(cid:87) =4(cid:87)
2 1 2
𝑎𝑛𝑎𝑛
𝑛
∵ 𝑎 ∴𝑎
+1 +2=4 +1(cid:87)(cid:160)(cid:50)(cid:158)(cid:238)(cid:87)(cid:211) +2=4(cid:87)
2
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑛
∴ 𝑎𝑛
(cid:301) = (cid:87) *(cid:120)(cid:87) 3× 5× × =4 (cid:87) =2×4 =2 (cid:87)(cid:259) =2 (cid:118)
𝑎1 𝑎3 𝑎2𝑘−1
𝑘−1 𝑘−1 2𝑘−1 𝑛
𝑛 2𝑘−1 𝑘∈𝑁 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎2𝑘−3 ∴𝑎2𝑘−1 𝑎𝑛
(cid:301) = (cid:87) *(cid:120)(cid:87) 4× 6× × =4 (cid:87) =4×4 =2 (cid:87)(cid:259) =2 (cid:87)
𝑎2 𝑎4 𝑎2𝑘
𝑘−1 𝑘−1 2𝑘 𝑛
𝑛 2𝑘 𝑘∈𝑁 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎2𝑘−2 ∴𝑎2𝑘 𝑎𝑛
(cid:127)(cid:171)(cid:164)(cid:385)(cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) =2 (cid:118)
𝑛
𝑎𝑛 𝑎𝑛2
(cid:89)2(cid:90) = = (cid:87)
1 2 1
𝑎𝑛−1
∵𝑏𝑛 𝑎𝑛+ 1− 𝑛 +
= 2 + 2 + + 2 = 1 + 1 + + 1 < (cid:87)
21 1 22 1 2 1 21 1 22 1 2 1
∴𝑆𝑛 1− 1 + 1 1− + 1 ⋅⋅⋅ 1 1 1 − 𝑛 + 1 𝑛−12 1+ + 1 ⋅⋅⋅ 𝑛 + 𝑛
(cid:365) 0< + + + < + + + =2 2 = <1(cid:87)
21 1 22 1 2 1 21 22 2 1 2
1−2𝑛
𝑛 𝑛 𝑛
∵ < + < . + ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅ 1− 1−
(cid:22)∴(cid:232)𝑛−(cid:50)2 10𝑆-2𝑛(cid:28)(cid:89)𝑛2024·(cid:383)(cid:303)(cid:421)(cid:459)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:362) (cid:215)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:87)(cid:192)(cid:135) = ( +1) = 2
1 +1
+ . 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 1,𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 𝑆𝑛 𝑛
(1)𝑛(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(2)(cid:193) 𝑎𝑛= +[ +1]2 (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) .
𝑛 𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:217)(cid:218) (− (cid:28) 1 (cid:89) ) 𝑎 1(cid:90) 𝑛 (cid:201)(cid:202) (− (cid:21) 1) (cid:189)(cid:87)(cid:16)(cid:382)(cid:211)(cid:212) +1 𝑏𝑛 =1(cid:87) 2 (cid:211) 𝑛 (cid:109)(cid:13) 𝑇 (cid:49) 2𝑛 (cid:215)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:39)(cid:211) = 2(cid:87)(cid:247)(cid:200)(cid:39)(cid:211){ }
1
𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛
(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑛+ −𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:211)(cid:212)(cid:87)(cid:301) (cid:215)(cid:58)(cid:13)(cid:120)(cid:87) = (cid:118)(cid:301) (cid:215)(cid:59)(cid:13)(cid:120)(cid:87) = +2 +1(cid:87)(cid:208)(cid:128) =
𝑛
( + + + + 𝑛 )+( +𝑏𝑛 + 1−+2𝑛 + 𝑛 )(cid:87)(cid:208)(cid:128)(cid:47)(cid:48)𝑏𝑛(cid:13)(cid:49)2𝑛(cid:57)−(cid:47)1 (cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:39)(cid:75)𝑇(cid:7)2𝑛(cid:50)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:74).
1 3 5 2 4 6
𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏2𝑛−1 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏2𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:74)(cid:10)(cid:35) ( +1) = 2+ (cid:87)(cid:146)(cid:211) ( +1) = ( +1)(cid:87)(cid:164)(cid:104) +1 =1(cid:87)
+1 +1 1
𝑆𝑛 𝑆𝑛
𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑛 𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑛 𝑛+ −𝑛
(cid:365)(cid:35) =1(cid:87)(cid:164)(cid:104) 1= 1=1(cid:87)(cid:164)(cid:104)(cid:13)(cid:49) (cid:91)(cid:104)1(cid:215)(cid:243)(cid:41)(cid:87)1(cid:215)(cid:7)(cid:48)(cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
1 1 1
𝑆 𝑎 𝑆𝑛
𝑎 𝑛
(cid:164)(cid:104) =1+( )×1= (cid:87)(cid:297) = 2(cid:87)
𝑆𝑛
(cid:301) 𝑛 2(cid:120)(cid:87) 𝑛−1= 2𝑛 (cid:87)(cid:164)(cid:104) 𝑆𝑛 𝑛 = = 2 2= (cid:87)
(cid:365)𝑛(cid:301)≥=1(cid:120)(cid:87)𝑆𝑛−1=(1𝑛(cid:315)−(cid:316)1)(cid:171)(cid:50)(cid:87) 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑎𝑛 𝑛 −(𝑛−1) 2𝑛−1
1
(cid:164)(cid:104)𝑛{ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)𝑎(cid:7)(cid:50)(cid:215) = .
(cid:89)2(cid:90)𝑎(cid:35)𝑛(cid:89)1(cid:90)(cid:146)(cid:135)(cid:301) (cid:215)𝑎𝑛(cid:58)(cid:13)2𝑛(cid:120)−(cid:87)1 = = (cid:118)
(cid:301) (cid:215)(cid:59)(cid:13)(cid:120)(cid:87) = 𝑛 +2×2 =𝑏𝑛 −+𝑎𝑛2 +11−(cid:87)2𝑛
𝑛 𝑛
(cid:164)𝑛(cid:104) = +𝑏𝑛 +𝑎𝑛 + + +2𝑛−1
1 2 3 4
= ( 𝑇2 + 𝑛 𝑏+ 𝑏+ 𝑏+ 𝑏 )⋯+( 𝑏2 + 𝑛 + + + )
1 3 5 2 4 6
= 𝑏 +2𝑏3+2𝑏5+2⋯7+2𝑏92𝑛+−1 +2𝑏+1 𝑏= 𝑏+8(⋯1+𝑏2 22𝑛 +24+26+ +2 )
2𝑛 2𝑛−2
2𝑛 4 2 ⋯ 8 2𝑛 ⋯
= +8× = + ×4 +1 .
𝑛 3 3
1− 𝑛
(cid:22)(cid:232)2𝑛(cid:50)10-3(cid:28)(cid:89)2024 2 · 𝑛(cid:460)(cid:353)(cid:416)(cid:335)·(cid:265)(cid:266)−(cid:90)(cid:193)(cid:181)(cid:41)(cid:461)(cid:215)(cid:55)(cid:13)(cid:37)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) 2 = (cid:89) * (cid:215)
1−4 +2 +1 +1
𝑐𝑛 5 𝑐𝑛𝑐𝑛 15−𝑐𝑛 𝑘𝑐𝑛𝑐𝑛 𝑛∈𝑁 ,𝑘
(cid:80)(cid:13)(cid:90)(cid:87)(cid:297)(cid:368){ }(cid:215)“(cid:51)(cid:48)(cid:47)(cid:13)(cid:49)”.(cid:192)(cid:135){ }(cid:215)“(cid:51)(cid:48)(cid:47)(cid:13)(cid:49)”(cid:87)(cid:190) = , = ,3 =2 .
1 8 2 16 4 5
𝑐𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎(1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
𝑎𝑛 为奇数
(2)(cid:300) = (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) .
+ 为偶数
𝑎𝑛,𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:217)(cid:218)𝑏(cid:28) 𝑛− (cid:89) 1 1(cid:90)1(cid:213),𝑛(cid:27)“(cid:51)(cid:48)(cid:47)(cid:13)(cid:49)”(cid:37) 𝑏 (cid:33) 𝑛 (cid:34)(cid:146) 𝑛 (cid:211) +2 𝑆𝑛 +1= (cid:87)(cid:407) = +1(cid:87)(cid:297){ }(cid:215)(cid:80)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 𝑘 𝑑𝑛 𝑎𝑛 𝑑𝑛
(cid:146)(cid:211) +1= 3 (cid:87)(cid:146)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
𝑎𝑛 2
(cid:89)2(cid:90) 𝑎 (cid:71) 𝑛 (cid:215)(cid:58)(cid:13)(cid:36)(cid:59)𝑎(cid:13) 𝑛 (cid:160)(cid:130)(cid:70)(cid:99)(cid:39)(cid:74)(cid:146)(cid:211)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) .
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)𝑛(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:35){ }(cid:215)“(cid:51)(cid:48)(cid:47)(cid:13)(cid:49)”(cid:87) 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛
(cid:211) 2 = 𝑎𝑛 (cid:87)
+2 +1 +1
(cid:96) 𝑎 (cid:200) 𝑛𝑎𝑛 +2 −𝑎+ 𝑛 1= . 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛
𝑎𝑛+1 𝑎𝑛
𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 𝑘
(cid:300) = +1(cid:87)(cid:297) = (cid:87)
+1
𝑎𝑛
𝑑𝑛 𝑎𝑛 𝑑𝑛 −𝑑𝑛 𝑘
(cid:164)(cid:104)(cid:13)(cid:49){ }(cid:215)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49).
(cid:359)(cid:215) = 𝑑2 𝑛 = 3 , = 5= 3 (cid:87)
1 𝑎1 2 4 𝑎4 2
𝑑 𝑎 𝑑 𝑎
(cid:164)(cid:104){ }(cid:215)(cid:80)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
(cid:359)(cid:204)(cid:87) 𝑑𝑛 = = 3 (cid:87)(cid:259) +1= 3 (cid:87)
1 2 𝑎𝑛 2
𝑑𝑛 𝑑 𝑎𝑛
5 3
(cid:164)(cid:104){ }(cid:91)(cid:243)(cid:41)(cid:215) (cid:87)(cid:7)(cid:51)(cid:215) (cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
8 2
𝑎𝑛
(cid:359)(cid:204) = 5 × 3 .
8 2 𝑛−1
𝑎𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:301) (cid:215)(cid:59)(cid:13)(cid:120)(cid:87) = + + + =2( + + + )+ =2( + + + )+
1 2 1 3 2 1 3 2
𝑛 𝑛
𝑛 𝑆𝑛 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏𝑛 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏𝑛−1 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑛−1
=2× 5 8 9 4 𝑛 2 + = 9 𝑛 2+ = 3 + (cid:118)
9 2 4 2 2 𝑛 2
1− 𝑛 𝑛 𝑛
4
−1 −1
1−
+1 +1
(cid:301) (cid:215)(cid:58)(cid:13)(cid:120)(cid:87) = = 3 + 1 ( +1)= 3 + 1 5 × 3 = 13 × 3 +
+1 +1 2 𝑛 2 2 𝑛 2 8 2 𝑛−1 12 2 𝑛
𝑛+ 𝑛+
𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 −𝑏𝑛 −1− 𝑏𝑛 −1− −1
.
2
𝑛−3
13 3
× + 为奇数
(cid:127)(cid:171)(cid:87) = 12 2 𝑛 2 .
3 𝑛−3
+ 为偶数
,𝑛
𝑆𝑛 2 𝑛
𝑛
2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:62)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)−(cid:41)1(cid:54),𝑛(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:249)11(cid:28)(cid:89)2024·(cid:92)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:414)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135) (cid:91)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:87) = =20(cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:91)(cid:7)(cid:51)(cid:117)(cid:172)
5 11
1(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:190) 2= (cid:87) =12. 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑆 𝑎 𝑏𝑛
3 6 4 2
𝑏 𝑏 𝑏 −𝑏(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:75){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
𝑎𝑛 𝑏𝑛
(2)(cid:300) = (cid:87)(cid:39)(cid:432) (cid:241)(cid:211)(cid:363)(cid:117)(cid:364)(cid:120) (cid:37)(cid:364).
𝑆𝑛
𝑐𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:201)(cid:202)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:257)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:109)(cid:243)(cid:41)(cid:36)(cid:7)(cid:48)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:109)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:216)
(cid:39)(cid:109)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:243)(cid:41)(cid:36)(cid:7)(cid:51)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:211){ }(cid:37)(cid:40)𝑛(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:246)(cid:39)𝑏(cid:109)𝑛{ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:216)(cid:213)(cid:27)(cid:253)(cid:48)𝑏(cid:32)𝑛(cid:369)(cid:370)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:109)(cid:105)(cid:376).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)𝑐(cid:89)𝑛1(cid:90)(cid:300)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:7)(cid:48)(cid:215) (cid:87)
(cid:297) 5
=5
1
+ 5×
2
4 =20
(cid:87)(cid:74)(cid:211)
𝑎𝑛
1 = =2
𝑑
(cid:87)
= + =20
11 1
𝑆 𝑎 𝑑
𝑎 0,𝑑
(cid:164)(cid:104) = (cid:87)
𝑎 𝑎 10𝑑
(cid:300)(cid:47)𝑎(cid:51)𝑛(cid:13)(cid:49)2𝑛{−2}(cid:37)(cid:7)(cid:51)(cid:215) ( >1)(cid:87)
(cid:297) 1
2 2 =𝑏𝑛
1
5
(cid:87)(cid:74)(cid:211)
𝑞 𝑞1 =2
(cid:87)
3 =12 =2
1 1
𝑏 𝑞 𝑏 𝑞 𝑏
(cid:164)(cid:104) 𝑏 𝑞 = − 2 𝑏 𝑞 (cid:118) 𝑞
𝑛
𝑏𝑛
( )
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:211) = = ( )(cid:87)
2
2𝑛−2 𝑛
𝑆𝑛 𝑛 𝑛−1
( )
(cid:297) = = (cid:87)
2
𝑆𝑛 𝑛 𝑛−1
𝑐𝑛 𝑏𝑛 𝑛
( 1) ( ) 2
= = (cid:87)
+1 2 +1 2 2 +1
𝑛 𝑛+ 𝑛 𝑛−1 3𝑛−𝑛
𝑐𝑛 −𝑐𝑛 𝑛 − 𝑛 𝑛
(cid:301) =1,2(cid:120)(cid:87) >0, < < (cid:87)
+1 1 2 3
(cid:301)𝑛=3(cid:120)(cid:87) 𝑐𝑛 −𝑐=𝑛 0, 𝑐= 𝑐(cid:87) 𝑐
+1 3 4
(cid:301)𝑛 4(cid:120)(cid:87)𝑐𝑛 −𝑐𝑛<0,𝑐 >𝑐 > > (cid:87)
+1 4 5
(cid:164)𝑛(cid:104)≥(cid:301) =3(cid:161)𝑐𝑛4(cid:120)−(cid:87)𝑐𝑛 (cid:241)(cid:211)𝑐 (cid:363)(cid:117)𝑐 (cid:364).⋯ 𝑐𝑛
𝑛 𝑐𝑛 ( )
(cid:22)(cid:232)(cid:50)11-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:462)(cid:413)(cid:397)(cid:463)(cid:464)(cid:465)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:436)(cid:215) =3 𝑛𝑛 2 −1 (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) 1
𝑎𝑛 𝑇𝑛 𝑏𝑛 𝑏
=1(cid:87) =1(cid:89) 2(cid:87) (cid:90)(cid:137)
∗
𝑏𝑛− 𝑏𝑛−1 𝑛≥ 𝑛∈𝑁
(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:87){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(2)(cid:356)(cid:13)(cid:49){𝑎𝑛}(cid:87){𝑏𝑛}(cid:113)(cid:37)(cid:7)(cid:466)(cid:41)(cid:96)(cid:112)(cid:212)(cid:117)(cid:314)(cid:49)(cid:45)(cid:231)(cid:23)(cid:13)(cid:49){ }(cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:137)
𝑎𝑛 𝑏𝑛
( )
𝑐𝑛 𝑐𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:144) =3 𝑛𝑛 2 −1 = 1 2 (cid:87)(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:241)(cid:144)(cid:13)(cid:87)(cid:144) (cid:71)(cid:205)(cid:60)(cid:61)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:109) (cid:87)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:33)(cid:34)
(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:109) (cid:118) 𝑇𝑛 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:407) 𝑏𝑛=3 = 2= ,( N )(cid:87)(cid:74)(cid:109) =3 N (cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:74).
𝑛−1 ∗ 𝑘−1 ∗
𝑎𝑛 𝑚 𝑏(𝑚 )𝑛,𝑚∈ 𝑚 ,𝑘∈ ( )
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90) =3 𝑛𝑛 2 −1 = 1 2 (cid:87)ln 1 +ln 2 + +ln = 2 ln3(cid:87)
𝑛 𝑛−1
𝑇𝑛 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑛 ⋅(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) = =30=1(cid:87)
1 1
(cid:301) 𝑛 N 𝑎 (cid:120)(cid:87) 𝑇 ln = ( ) ( )( ) ln3=( ) ln3=ln3 (cid:87)(cid:259) =3 (cid:87)
2 2
∗ 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−1 𝑛−1
(cid:200) 𝑛≥ = 2 3 ,𝑛∈ =30=1 𝑎 (cid:87) 𝑛 (cid:315)(cid:316)(cid:171)(cid:50)(cid:87)− ⋅ 𝑛−1 ⋅ 𝑎𝑛
1
1−1
(cid:164)𝑎(cid:104)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) =3 (cid:118)
𝑛−1
𝑎𝑛 𝑎𝑛
(cid:193)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) =1(cid:87) =1(cid:89) 2(cid:87) (cid:90)(cid:87)
1
∗
𝑏𝑛 𝑏 𝑏𝑛− 𝑏𝑛−1 𝑛≥ 𝑛∈𝑁
(cid:297) = +( ) 1= (cid:87)
1
(cid:96)(cid:200) 𝑏 (cid:13) 𝑛 (cid:49){ 𝑏 }(cid:37)(cid:40) 𝑛 (cid:41) −1 (cid:7)(cid:50) ⋅ (cid:215) 𝑛 = 2(cid:118)
𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:407) =3 = 2= ,( N )(cid:87)(cid:74)(cid:211) =3 2 N (cid:87)(cid:153)(cid:149)(cid:358) N(cid:87)
𝑛−1 2
𝑛−1 ∗ ∗ 𝑛−1
(cid:96)(cid:200)(cid:221)(cid:223)𝑎𝑛 = 𝑚 N (cid:87)𝑏𝑚 𝑛,𝑚∈ 𝑚 ∈ ∈
∗
(cid:164)(cid:104) =𝑛 =2𝑘−1,𝑘=∈ =(3 )2=9 (cid:87)
3
3 2
𝑛−1 𝑘−1 𝑘−1 𝑘−1
𝑐𝑘 𝑏𝑚 𝑏 𝑏
(cid:164)(cid:104)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) =9 .
𝑛−1
(cid:22)(cid:232)(cid:50)11-𝑐2 𝑛(cid:28)(cid:89)2024·(cid:377)(cid:378)(cid:467)𝑐𝑛(cid:468)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135){ }(cid:91)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87){ }(cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:190){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)2 =
1
=2(cid:87) =5( )(cid:87)(cid:111) =4( 𝑎)(cid:87)𝑛 = +2𝑏(cid:153)𝑛 (cid:160)(cid:147)(cid:209)(cid:210)(cid:113)(cid:188)(cid:20)(cid:296)𝑏𝑛(cid:113)(cid:107)(cid:147)𝑛(cid:87)(cid:469)(cid:231)(cid:349)𝑆𝑛(cid:449)(cid:54)𝑎(cid:21)
1 5 4 3 5 4 3 +1
(cid:37)𝑏 (cid:74)(cid:105). 𝑎 𝑎 −𝑎 ①𝑏 𝑏 −𝑏 ②𝑏𝑛 𝑆𝑛
(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:75){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(2)(cid:300)(cid:13)(cid:49)
𝑎𝑛 (cid:37)(cid:187)𝑏𝑛
(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:39) .
𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)𝑏(cid:28) 𝑛 (cid:89)1(cid:90) 𝑛 (cid:201)(cid:202)(cid:47) 𝑇 (cid:48) 𝑛 (cid:13)(cid:49) 𝑇 (cid:33) 𝑛 (cid:34)(cid:146)(cid:39)(cid:211)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:213)(cid:27)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:201)(cid:202)(cid:209)(cid:210) (cid:49)(cid:81)(cid:260)
(cid:350)(cid:74)(cid:211)(cid:7)(cid:51)(cid:146)(cid:211)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 ①②
𝑏𝑛 2
(cid:89)2(cid:90)(cid:213)(cid:27)(cid:409)(cid:422)(cid:158)(cid:384)(cid:32)(cid:39)(cid:109) = .
2
𝑛+
𝑇𝑛 2− 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:300)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:7)(cid:48)(cid:215) (cid:87)
2 =2(cid:87) =5( )(cid:87) 𝑎𝑛 𝑑
1 5 4 3
∵ 𝑎+ =5𝑎( +𝑎 −𝑎 )(cid:87)
1 1 1
∴𝑎 =4𝑑=1. 𝑎 3𝑑−𝑎 −2𝑑
1
∴𝑎 =𝑑1+( )×1= ( ).
∗
∴(cid:300)𝑎(cid:47)𝑛 (cid:51)(cid:13)(cid:49)𝑛{−1}(cid:37)(cid:7)(cid:51)(cid:215)𝑛 𝑛(cid:87)∈𝐍
(cid:193)(cid:20)(cid:209)(cid:210) (cid:87)𝑏𝑛 =4( 𝑞 )(cid:87)
5 4 3
(cid:35) =2(cid:87)①(cid:190) 𝑏=4( 𝑏 −𝑏)(cid:87)
1 5 4 3
𝑏 𝑏 𝑏 −𝑏(cid:211) 4=4 3 2 (cid:87)
1 1 1
𝑏2 𝑞 +4𝑏=𝑞0(cid:87)−𝑏(cid:74)𝑞(cid:211) =2.
∴(cid:164)𝑞(cid:104)−{4𝑞}(cid:91)(cid:243)(cid:41)(cid:215)2(cid:87)(cid:7)𝑞(cid:51)(cid:215)2(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49).
(cid:262) =𝑏𝑛2×2 =2 ( *).
𝑛−1 𝑛
(cid:193)𝑏(cid:20)𝑛(cid:209)(cid:210) (cid:87) = 𝑛∈+𝑁2(cid:87)
+1
(cid:407) =1(cid:87)②(cid:211) 𝑏=𝑛 +𝑆2𝑛= +2=4(cid:87)
2 1 1
𝑛 𝑏 𝑆 𝑏
(cid:7)(cid:51) = 2=2(cid:87)
𝑏1
∴(cid:13)(cid:49) 𝑞 { } 𝑏 (cid:91)(cid:243)(cid:41)(cid:215)2(cid:87)(cid:7)(cid:51)(cid:215)2(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49).
(cid:96)∴ (cid:200) 𝑏=𝑛2×2 =2 ( *).
𝑛−1 𝑛
𝑏𝑛
1 2 3𝑛∈𝑁
(cid:89)2(cid:90)(cid:359)(cid:215) = + + + + + (cid:87)
2 22 23 2 2
𝑛−1 𝑛
𝑇𝑛 ⋯ 𝑛−1 𝑛
1 1 2 3
(cid:164)(cid:104) = + + + + + (cid:87)
2 22 23 24 2 2 +1
𝑛−1 𝑛
𝑇𝑛 ⋯ 𝑛 𝑛
1 1 1 1 1
(cid:160)(cid:50)(cid:158)(cid:384)(cid:87)(cid:211) = + + + + (cid:87)
2 2 22 23 2 2 +1
𝑛
𝑇𝑛 ⋯ 𝑛 − 𝑛
1 1
(cid:259) = (cid:87)
2 2 2 +1
𝑛
𝑇𝑛 1− 𝑛 − 𝑛
2
(cid:164)(cid:104) = .
2
𝑛+
𝑇𝑛 2− 𝑛
(cid:22)(cid:232)(cid:50)11-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:470)(cid:471)(cid:379)(cid:472)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135){ }(cid:215)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:193) =3(cid:87) =6 +10(cid:118)(cid:13)(cid:49)
2 8 3
{ }(cid:315)(cid:316)(cid:10) 1 1 1 = 1 (cid:87) 𝑎𝑛 . 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆 𝑆
1 2
∗
(1 𝑏 ) 𝑛 (cid:39){ }(cid:75){ 1− }(cid:37)𝑏 (cid:40) 1 (cid:41) − (cid:7)𝑏 (cid:50) ⋯ (cid:118) 1−𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛∈𝑁
(2)(cid:144)(cid:188)𝑎𝑛(cid:189)(cid:37)𝑏𝑛 (cid:87)(cid:356){ }(cid:113)(cid:473)(cid:230)(cid:474)(cid:143)(2 ,2 )(cid:94)(cid:41)(cid:37)(cid:147)(cid:13)(cid:362)(cid:215){ }.
∗ 𝑚 2𝑚
(cid:89)i(cid:90)(cid:39) (cid:118)𝑚∈𝑁 𝑎𝑛 𝑐𝑚
𝑐𝑚 2
(cid:89)ii(cid:90)(cid:362) = (cid:87){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:362)(cid:215) (cid:87)(cid:91)(cid:313)(cid:439)(cid:111) (cid:87) (cid:87)(cid:432)(cid:211) +1 = +1(cid:231)(cid:418)(cid:440)(cid:193)(cid:439)(cid:111)(cid:87)
2 𝑇𝑚 −𝑡
(cid:39)(cid:109) (cid:37)
𝑑𝑚
(cid:364)(cid:118)(cid:193)
𝑏2(
(cid:116)
𝑚−1
(cid:439)
) −(cid:111)𝑐𝑚 (cid:87)(cid:441)𝑑𝑚
(cid:372)(cid:358)(cid:15)
𝑚
(cid:35).
𝑇𝑚 𝑚 𝑡∈𝑁 ∗ 𝑇𝑚−𝑡 𝑑𝑡
(cid:22)(cid:74)𝑚(cid:21)𝑡(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:40)(cid:240)(cid:185)(cid:475)(cid:233)(cid:32)(cid:39)(cid:74)(cid:87){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:40)(cid:240)(cid:407) = (cid:87)(cid:160)(cid:50)(cid:253)(cid:476)(cid:39)(cid:74).
(cid:89)2(cid:90)(cid:89)i(cid:90)(cid:39)(cid:109)2 𝑎+𝑛1 2 (cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:109)(cid:105)(cid:376)(cid:118)𝑏𝑛 𝑛 𝑛−1
𝑚−1 2𝑚−1
(cid:89)ii(cid:90)(cid:201)(cid:202)(cid:21)(cid:189)(cid:39)(cid:109) (cid:75)≤𝑛(cid:37)≤(cid:3)(cid:38)(cid:87)(cid:111)(cid:213)(cid:27)(cid:241)(cid:364)(cid:477)(cid:478)(cid:39)(cid:109) (cid:75) .
𝑡 𝑚=3 + =3𝑚 𝑡 =1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90) 2 1 1 (cid:87)
=6 +10 8 + =6(3 + )+10 =2
8 3 1 1
𝑎 𝑎 𝑑 𝑎
⇒ ⇒
(cid:164)(cid:104) =1+2( )𝑆= 𝑆 (cid:87) 𝑎 28𝑑 𝑎 3𝑑 𝑑
𝑎𝑛 𝑛−1 2𝑛−11 1 1 1 = 1
1 2
(cid:301) 1−𝑏 2(cid:120) 1− (cid:87) 𝑏 (cid:297) ⋯ 1− 1 𝑏𝑛−1 1 1−𝑏𝑛 𝑏𝑛 1 ① = 1
1 2
𝑛≥ 1
1
−𝑏 1−𝑏 ⋯ 1−𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−1②
÷ (cid:211)(cid:10) = =1(cid:87)(cid:164)(cid:104){ }(cid:91)(cid:7)(cid:48)(cid:215)1(cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
𝑏𝑛−1
① ② 1−𝑏𝑛
1
𝑏𝑛
1
⇒𝑏𝑛−𝑏𝑛−1 𝑏𝑛
(cid:301) =1(cid:120)(cid:119)(cid:10) = =2(cid:87)(cid:164)(cid:104) =2+( )= +1
1
1 1
𝑛 1−𝑏 𝑏 ⇒𝑏 𝑏𝑛 𝑛−1 𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:89)i(cid:90)2 < <2 2 1 < < 22 1 2 + 1 < <2 + 1
𝑚2 𝑚2 2 2
𝑚 2𝑚 + + 𝑚−1 2𝑚−1
2𝑛−1 ⇒ 𝑛 ⇒ 𝑛
(cid:359)(cid:215) N (cid:87)(cid:164)(cid:104)2 +1 2 (cid:87)(cid:164)(cid:104) =2 2
∗ 𝑚−1 2𝑚−1 2𝑚−1 𝑚−1
(cid:89)ii(cid:90) 𝑛∈ = (cid:87)(cid:332) ≤𝑛 = ≤ 2 2 (cid:229) 𝑐𝑚 (cid:230) (cid:211)(cid:10) − = 2 = 1 (cid:87)
2( ) 2 (2 2 ) 2 𝑚−2
(cid:164)(cid:104) 𝑏 = 𝑚 2 −1 1 2 2 𝑚 𝑚 = −1 4 𝑐 1 𝑚 (cid:87) 2𝑚− + 1 1 − = 𝑚−1 + 𝑑𝑚 +1 𝑑𝑚 = 2𝑚 + −1 − 2𝑚− + 1 1 − = 𝑚−1 (cid:87)
1− 1 2 2 𝑚 𝑇𝑚 −𝑡 𝑇𝑚+𝑑𝑚 −𝑡 𝑑𝑚
𝑇𝑚 1− 1+− 𝑇𝑚−𝑡 𝑑𝑡 1⇒ 𝑇𝑚−𝑡 𝑑𝑡 1⇒𝑇𝑚−𝑡 𝑑𝑡
(cid:164)(cid:104) = +1= 1 1 = 1 1 1 =
𝑑𝑚 2 𝑚 1−𝑡 2 𝑚 2 𝑚 2 1−𝑡 2 𝑚 4 4− 1 2𝑡
1−𝑡
𝑇𝑚−𝑡 𝑑𝑡 ⇒4−4⋅ −𝑡 ⋅ ⇒ +
(cid:359)(cid:215) 1 >0(cid:87)4+ 1 >0(cid:87)(cid:164)(cid:104) > {1,2,3}(cid:87)
2 𝑚 2 1−𝑡
3 4−𝑡 0⇒𝑡∈ 1
(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) =log (cid:89)(cid:408)(cid:178)(cid:90)(cid:87)(cid:301) =2(cid:120)(cid:87) =log (cid:89)(cid:408)(cid:178)(cid:90)(cid:87)
1 1
5 3
2 2
𝑡 𝑚 𝑡 𝑚
(cid:301) =3(cid:120)(cid:87) =3(cid:87)(cid:164)(cid:104)(cid:439)(cid:111) (cid:87) =9.
(cid:22)𝑡(cid:21)(cid:29)12 𝑚(cid:63)(cid:64)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)𝑡,𝑚 𝑚𝑡
(cid:22)(cid:249)12(cid:28)(cid:89)2024·(cid:479)(cid:399)(cid:479)(cid:468)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:55)(cid:41)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190)(cid:315)(cid:316) =1, = +1.(cid:351)(cid:39):
1 2
𝑎𝑛𝑎𝑛
(1)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50);
𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛
(2)(cid:362) = 𝑎𝑛 (cid:87)(cid:13)(cid:49) 1 (cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:301) > 2 (cid:120)(cid:87)(cid:39)(cid:315)(cid:316)(cid:209)(cid:210)(cid:37)(cid:363)(cid:112)(cid:175)(cid:13) .
9
+1
【解题
𝑐𝑛
思路
𝑎2
】
𝑛 （1）由𝑐𝑛 已𝑐𝑛
知结合和
𝑛
与项的
𝑇
递
𝑛
推关
𝑇
系
𝑛
进行转化，结合等差数列的通项
𝑛
公式即可求解；
（2）利用裂项求和求出 ，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
𝑇𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)因为 = +1，
2
𝑎𝑛𝑎𝑛
𝑆𝑛
当 =1时， = 1 2 =2，
1 2 2
𝑎 𝑎
𝑛 𝑆 ⇒𝑎
当 2时， = ，
2
𝑎𝑛−1𝑎𝑛
𝑛≥ 𝑆𝑛−1
因为 = +1，
2
𝑎𝑛𝑎𝑛
𝑆𝑛
两式相减得， = ( )，
2 +1
𝑎𝑛
𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛−1因为 >0，所以2= ，
+1
所以𝑎{𝑛 }，{ }均为𝑎𝑛等差−𝑎数𝑛−列1， = ， = ．
所以 𝑎2=𝑛−1 𝑎N2𝑛； 𝑎2𝑛−1 2𝑛−1 𝑎2𝑛 2𝑛
∗
𝑎𝑛 𝑛,𝑛∈ 1 1 1 1 1 1
(cid:89)2(cid:90)由题意得， = = = ( )，
+1 +1) 1) 4 1
𝑐𝑛𝑐𝑛 𝑎2𝑛𝑎2(𝑛 2𝑛⋅2(𝑛+ 𝑛−𝑛+
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = + + + + )= )= ，
4 2 2 3 3 4 1 4 1 1)
𝑛
𝑇𝑛 (1− − − ⋯ 𝑛−𝑛+ (1−𝑛+ 4(𝑛+
2
因为 > ，
9
𝑇𝑛
2
所以 > ，
1) 9
𝑛
4(𝑛+
解得 >8．所以满足条件的最小整数 为9．
(cid:22)(cid:232)𝑛(cid:50)12-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:383)(cid:303)(cid:480)(cid:353)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)𝑛(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:181)(cid:41)(cid:461)(cid:215)(cid:55)(cid:13)(cid:37)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) ,2 = ( +1)(cid:190)
3 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛
= .
2 2 1
𝑎 𝑎
(1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
𝑎𝑛
(2)(cid:193) = ,(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) .
2
𝑎𝑛
𝑛
𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 =1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:201)(cid:202)(cid:7)(cid:50) = 1 (cid:39) (cid:259)(cid:146).
2
𝑆 ,𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:135) ,(cid:201)(cid:202)(cid:40)(cid:41)(cid:7)
𝑎𝑛
(cid:50)(cid:198)𝑆(cid:199)𝑛−,(cid:27)𝑆𝑛(cid:409)−1(cid:422),𝑛(cid:158)≥(cid:384)(cid:100)(cid:39)
𝑎𝑛
(cid:259)(cid:146).
𝑏𝑛 𝑇𝑛
3 3
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:301) =1(cid:120),2 = +1,(cid:74)(cid:109) =1,(cid:365) = ,(cid:297) = (cid:118)
1 1 1 2 2 1 2 2
2 𝑛= ( +𝑆1), 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:301) 2(cid:120),(cid:35) (cid:160)(cid:50)(cid:158)(cid:384)(cid:211)( ) +1=0,(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:238)(cid:104) ( )
2 =( +1)( +1), +1
+1 +1
𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛
(cid:259) 𝑛 + ≥ 1 + 𝑆1𝑛 =0 𝑛 ,(cid:259) +1𝑎𝑛 = 1 = 1 1 𝑛 , −1 2 𝑎𝑛 −𝑛𝑎𝑛 𝑛 𝑛−1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑛 −𝑛−1 𝑛(𝑛−1) 𝑛 −𝑛−1 −𝑛(𝑛−1) 𝑛−𝑛−1𝑛≥
(cid:213)(cid:27)(cid:171)(cid:385)(cid:47)(cid:50)(cid:119) + + 3 2= 1 1 + + 1 , 3,
2 1 2
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎 𝑎
𝑛−1−𝑛−2 ⋅⋅⋅ − 𝑛−1−𝑛−2 ⋅⋅⋅ −1𝑛≥
1 1
(cid:359)(cid:204) = ,(cid:259) = , 3,
2 2
𝑎𝑛 𝑛+
𝑛−1−𝑎 𝑛−1−1 𝑎𝑛 𝑛≥
3 1 1
(cid:301) =1,2(cid:120), =1, = (cid:315)(cid:316) = ,(cid:359)(cid:204) = (cid:118)
1 2 2 2 2
𝑛+ 𝑛+
𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛
1 2 3 4 1
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:146)(cid:135), = ,(cid:297) = + + + + ,
2 +1 22 23 24 2 +1
𝑛+ 𝑛+
𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛
1 1 2 3 1
(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:44)(cid:104) (cid:211), = + + + + ,
2 2 23 24 2 +1 2 +2
𝑛 𝑛+
𝑇𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:409)(cid:422)(cid:158)(cid:384)(cid:211) = + + + = + + + + ,
2 22 23 2 +1 2 +2 22 22 23 2 +1 2 +2
𝑛+ 𝑛+
𝑇𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 − 𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 − 𝑛1 1
1 1 1 3 3
(cid:259) = +22 2 𝑛 =
2 22 1 2 +2 4 2 +2
1− 2 𝑛+ 𝑛+
𝑇𝑛 31− 3 − 𝑛 − 𝑛
(cid:175)(cid:15)(cid:211)(cid:87) = .
2 2 +1
𝑛+
𝑇𝑛 − 𝑛
1 1 1
(cid:22)(cid:232)(cid:50)12-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:302)(cid:303)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190) + + + = .
1 2 1
2𝑛
(1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆 𝑆 ⋅⋅⋅ 𝑆𝑛 𝑛+
𝑎𝑛 ( )( 2)
(2)(cid:193) = (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) .
𝑛−1 𝑛++1
(cid:22)(cid:74)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:217)(cid:218)(cid:28) 𝑎𝑛 (cid:89) 𝑎𝑛 1(cid:90)(cid:243)(cid:246)(cid:213)(cid:27)(cid:253) 𝑏𝑛 (cid:48)(cid:32)(cid:211) 𝑛 (cid:212) = 𝑇𝑛 ( 1) (cid:87)(cid:216)(cid:35) = 1 =1 (cid:253)(cid:48)(cid:146)(cid:211)(cid:118)
2 2
𝑛 𝑛+
𝑆 ,𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:135) = 1 1 (cid:87)(cid:216)(cid:213) 𝑆 (cid:27) 𝑛 (cid:71)(cid:350)(cid:39)(cid:75)(cid:32)(cid:257)(cid:426) 𝑎𝑛 (cid:41)(cid:158)𝑆(cid:224) 𝑛−(cid:32)𝑆(cid:69) 𝑛− (cid:357) 1,𝑛(cid:146)≥(cid:211).
1
𝑏𝑛 1−2 1 𝑛− 1𝑛+ 1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:359)(cid:215) + + + = (cid:87)
1 2 1
2𝑛
𝑆 𝑆 ⋅⋅⋅ 𝑆𝑛 𝑛+
1 1 1 2( )
(cid:301) 2(cid:120)(cid:119) + + + = (cid:87)
1 2
𝑛−1
𝑛≥ 𝑆 𝑆 ⋅⋅⋅ 𝑆𝑛−1 𝑛
1 2 ( 1)
(cid:160)(cid:50)(cid:158)(cid:384)(cid:211) = (cid:87)(cid:164)(cid:104) = ( 2)(cid:87)
( 1) 2
𝑛 𝑛+
𝑆𝑛 1 𝑛 𝑛+ 𝑆𝑛 𝑛≥ ( 1)
(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) =1(cid:87)(cid:164)(cid:104) =1(cid:87)(cid:204)(cid:120) = (cid:481)(cid:395)(cid:231)(cid:418)(cid:87)
1 1 2
𝑛 𝑛+
𝑛 𝑆 𝑆 𝑆𝑛
( 1)
(cid:164)(cid:104) = ( N )(cid:87)
2
𝑛 𝑛+ ∗
𝑆𝑛
𝑛∈
( 1) ( )
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) = = = (cid:87)
2 2
𝑛 𝑛+ 𝑛−1 𝑛
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 − 𝑛
(cid:365) = =1(cid:121)(cid:315)(cid:316) = (cid:87)
1 1
(cid:164)𝑎(cid:104) 𝑆= . 𝑎𝑛 𝑛
𝑎𝑛 𝑛 ( )( 2)
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:135) =
( 1)
𝑛−1 𝑛+
𝑏𝑛 𝑛 𝑛+
= 2 = 2 = 1 1 (cid:87)
( 1) ( 1) 1
𝑛 +𝑛−2
(cid:164)(cid:104) 𝑛 𝑛+ = 1−𝑛 𝑛+ 1 + 1 1− 1 2 + 𝑛 1 −𝑛+ 1 + + 1 1 = 1 = 2 .
2 2 3 3 4 1 1 1
𝑛 −𝑛
𝑇𝑛 𝑛−2 1− − − ⋅⋅⋅ 𝑛−𝑛+ 𝑛−2 1−𝑛+ 𝑛+
1)
(cid:22)(cid:232)(cid:50)12-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:397)(cid:303)(cid:482)(cid:417)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:111)(cid:55)(cid:41)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87)(cid:192)(cid:135) =1(cid:87)(cid:190) +1=1(cid:137)
1
𝑛𝑎+𝑛1 (𝑛+ 𝑎𝑛
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛
(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(2)(cid:39)(cid:312)(cid:10)2𝑎𝑛 ( +1) <3(cid:137)
𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)≤(cid:28)(cid:89)𝑎𝑛 1(cid:90)(cid:201)(cid:202)(cid:21)(cid:189)(cid:87)(cid:16)(cid:382)(cid:211)(cid:212) +1) =0(cid:87)(cid:211)(cid:212)(cid:13)(cid:49) }(cid:215)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:247)(cid:200)(cid:39)(cid:211)(cid:13)(cid:49)
+1
(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) (𝑛 𝑎𝑛 −𝑛𝑎𝑛 {𝑛𝑎𝑛(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:135) = 1 (cid:87)(cid:208)(cid:128)(cid:250)(cid:41)(cid:50)(cid:33)(cid:15)(cid:87)(cid:211)(cid:212)( +1) =(1+ 1 ) 1+C1 1 (cid:87)(cid:216)(cid:208)(cid:128)C 1 1 (cid:87)(cid:208)(cid:128)
𝑛 𝑛 𝑘 𝑛 2
(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:39)(cid:75)(cid:7) 𝑎𝑛 (cid:50)(cid:87)𝑛 (cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:312). 𝑎𝑛 𝑛 ≥ 𝑛⋅𝑛 𝑛 𝑘 ≤𝑘!≤ 𝑘−1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:74)(cid:10)(cid:35) 1) +1=1(cid:87)(cid:146)(cid:211) +1) 2 + 2=0(cid:87)
+1 +1
𝑛𝑎+𝑛1 (𝑛+ 𝑎𝑛
𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 (𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 −𝑛𝑎𝑛
(cid:259)( + +1) ]=0(cid:87)
+1 +1
(cid:359)(cid:215)𝑎𝑛 >𝑎𝑛0),[(𝑛>0(cid:87)𝑎(cid:164)𝑛(cid:104)−𝑛𝑎+𝑛1) =0(cid:87)
+1 +1
(cid:164)(cid:104)𝑎(cid:13)𝑛(cid:49) 𝑎}(cid:91)𝑛 (cid:243)(cid:41)(cid:215)1(cid:87)((cid:7)𝑛(cid:48)(cid:215)𝑎0 𝑛(cid:37)−(cid:47)𝑛(cid:48)𝑎𝑛(cid:13)(cid:49)(cid:87)
{𝑛𝑎𝑛
1
(cid:365)(cid:359)(cid:215) =1(cid:87)(cid:164)(cid:104) =1(cid:87)(cid:164)(cid:104)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) = (cid:137)
1
𝑎 𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛
1
(cid:89)2(cid:90)(cid:74)(cid:10)(cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:135) = (cid:87)
𝑎𝑛 𝑛
(cid:297)( +1) =(1+ 1 ) =1+C1 1 +C2 1 + + 1 1+C1 1 =2(cid:87)(cid:301) =1(cid:120)(cid:87)(cid:241)(cid:47)(cid:9)(cid:87)
2
𝑛
𝑛
𝑎𝑛 𝑛 𝑛⋅𝑛 𝑛⋅𝑛 ⋯ 𝑛 𝑛 ≥ 𝑛⋅𝑛 𝑛
(cid:359)(cid:215)C = 1) 1 1 (cid:87)
𝑘 2
𝑛 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)⋯(𝑛−𝑘+
𝑘 𝑘 𝑘−1
𝑛 𝑛 𝑘! ≤𝑘!≤ 1
(cid:164)(cid:104)1+C1 1 +C2 1 + + 1 1+1+ 1 + 1 + + 1 =1+ 2 = 1 <3(cid:87)
2 2 22 2 1 2
1− 2𝑛
(cid:164)(cid:104)2 ( 𝑛⋅ + 𝑛 1) 𝑛 < ⋅𝑛 3(cid:137) ⋯ 𝑛 𝑛 ≤ 𝑛−1 1− 3− 𝑛−1
𝑛
≤ 𝑎𝑛
(cid:107)(cid:57)(cid:373)(cid:20)(cid:21)
1(cid:137)(cid:89)2024·(cid:479)(cid:399)(cid:483)(cid:353)·(cid:250)(cid:266)(cid:90) *(cid:87)(cid:13)(cid:49)1(cid:87) (cid:87)7(cid:87) (cid:87)31(cid:87) (cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215)(cid:89) (cid:90)
𝑛∈𝑁 −3 −15 ⋅⋅⋅
A(cid:137) =(2 )cos B(cid:137) =( 2 )sin
2
𝑛π
𝑛 𝑛
C(cid:137) 𝑎𝑛 =2 −1 𝑛π D(cid:137) 𝑎𝑛 =(1−) ( 2 )
𝑛 𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)𝑎𝑛(cid:218)(cid:28)(cid:213)−(cid:27)1 (cid:314)(cid:238)(cid:32)(cid:87)(cid:241)(cid:63)(cid:364)(cid:310)(cid:311)(cid:259)(cid:146). 𝑎𝑛 −1 1−
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:144)(cid:172)(cid:20)(cid:41)A(cid:10)(cid:359)(cid:215) =( ) = 1(cid:87)(cid:262)A(cid:409)(cid:410)(cid:118)
1
(cid:144)(cid:172)(cid:20)(cid:41)B(cid:10)(cid:359)(cid:215) =( 22) 𝑎 =02−1 co(cid:87)sπ(cid:262)B−(cid:409)1(cid:410)≠(cid:118)
2
(cid:144)(cid:172)(cid:20)(cid:41)C(cid:10)(cid:359)(cid:215)𝑎 =212− =s3inπ (cid:87)≠(cid:262)−3C(cid:409)(cid:410)(cid:118)
2
(cid:144)(cid:172)(cid:20)(cid:41)D(cid:10)(cid:310)(cid:311)𝑎(cid:146)(cid:135)(cid:144)−=1 1,2,3≠,4−,53(cid:461)(cid:231)(cid:418)(cid:87)(cid:262)D(cid:55)(cid:256)(cid:118)
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D. 𝑛
2(cid:137)(cid:89)2024·(cid:23)(cid:360)(cid:484)(cid:485)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:193) = + (cid:87) =1(cid:297) =(cid:89) (cid:90)
1 10
A(cid:137)55 B(cid:137)56 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 C𝑛(cid:137)−415 𝑎 𝑎 D(cid:137)46
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:111)(cid:13)(cid:49)(cid:76)(cid:77)(cid:50)(cid:113)(cid:176)(cid:177)(cid:241) = (cid:87)(cid:211)(cid:212) (cid:147)(cid:47)(cid:50)(cid:87)(cid:42)(cid:43)(cid:252)(cid:39)(cid:109)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:109)
𝑛 1,2,3,…,𝑛 𝑛(cid:105)(cid:376).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:35) = + (cid:87)
(cid:211) = +1(cid:87) 𝑎𝑛= 𝑎𝑛+−12(cid:87)𝑛−1
2 1 3 2
𝑎= 𝑎+3(cid:87) (cid:87)𝑎 =𝑎 + ( 2)(cid:87)
4 3
(cid:42)𝑎 (cid:43)(cid:211)𝑎(cid:87) =⋯ +𝑎𝑛1+𝑎2𝑛+−13+𝑛−1+𝑛≥
1
= 1 2 1𝑎𝑛 +1(cid:87) 𝑎 ⋯ 𝑛−1
2 2
𝑛 − 𝑛
(cid:301) =1(cid:120)(cid:87)(cid:171)(cid:50)(cid:231)(cid:418)(cid:87)
(cid:297) 𝑛 = 1 2 1 +1(cid:87)
2 2
𝑎𝑛 𝑛 − 𝑛
1 1
(cid:164)(cid:104) = × ×10+1=46.
10 2 2
𝑎 100−
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D.
3(cid:137)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:349)·(cid:352)(cid:353)(cid:353)(cid:468)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:41)(cid:315)(cid:316) = (cid:87)(cid:200) =1(cid:87)(cid:297) (cid:486)(cid:89) (cid:90)
+1 2 1
𝑛
2 2 1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛+ 𝑎
1
𝑛 𝑎 𝑎𝑛
A(cid:137) B(cid:137) C(cid:137) D(cid:137)
( 1)2 ( 1) 2
𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217) 𝑛+ (cid:218)(cid:28) 𝑛 𝑛+ −1 2𝑛−1
(cid:35) = (cid:87)(cid:146)(cid:211) +1= (cid:87)(cid:395)(cid:252)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:146)(cid:39)(cid:211)(cid:208)(cid:139)
+1 2 2
𝑛 𝑎𝑛 𝑛
𝑎𝑛 𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛+
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:35) = (cid:87)(cid:211) +1= (cid:87)
+1 2 2
𝑛 𝑎𝑛 𝑛
𝑎𝑛 𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛+
(cid:164)(cid:104) 2= 1 (cid:87) 3= 2 (cid:87) 4= 3 (cid:87)……(cid:87) = (cid:87) = (cid:87)(cid:89) 2(cid:90)(cid:87)
𝑎1 3 𝑎2 4 𝑎3 5 𝑎𝑛−1
𝑛−2
𝑎𝑛
𝑛−
1
1
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−2 𝑛 𝑎𝑛−1 𝑛+ 𝑛≥
(cid:164)(cid:104) 2 3 4 = 1 × 2 × 3 × × × (cid:87)
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 3 4 5
𝑛−2 𝑛−
1
1
𝑎 ⋅𝑎 ⋅𝑎 ⋅⋅⋅⋅⋅𝑎𝑛−2⋅𝑎𝑛−1 ⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛+
2
(cid:164)(cid:104) = (cid:87)
𝑎𝑛1 1)
𝑎 𝑛(𝑛+
2
(cid:359)(cid:215) =1(cid:87)(cid:164)(cid:104) = (cid:87)
1 1)
𝑎 𝑎𝑛 𝑛(𝑛+
2
(cid:359)(cid:215) =1(cid:315)(cid:316)(cid:171)(cid:50)(cid:87)(cid:164)(cid:104) = (cid:87)
1 1)
𝑎 𝑎𝑛 𝑛(𝑛+
(cid:262)(cid:20)(cid:10)B.
4(cid:137)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) =1(cid:87)(cid:190) =2 +1(cid:87)(cid:297){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:215)(cid:89) (cid:90)
1 +1
A(cid:137) =2 𝑎𝑛 B(cid:137)𝑎 =2 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑛 𝑛
C(cid:137)𝑎𝑛=2 −+11 D(cid:137)𝑎𝑛 =2 +1
𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)𝑎𝑛(cid:218)(cid:28)(cid:176)(cid:21)(cid:189)(cid:146)(cid:211) +1=2( +1)(cid:87)(cid:259)𝑎(cid:146)𝑛 (cid:211)(cid:212){ +1}(cid:91)(cid:104)2(cid:215)(cid:243)(cid:41)(cid:87)2(cid:215)(cid:7)(cid:51)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:216)
+1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛(cid:201)(cid:202)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:69)(cid:357)(cid:146)(cid:211)(cid:118)
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:74)(cid:10) =2 +1(cid:87) +1=2( +1)(cid:87)
+1 +1
(cid:35) =1(cid:87)(cid:211) +1∵=𝑎𝑛2(cid:87) (cid:13)𝑎(cid:49)𝑛 { +∴1𝑎} 𝑛(cid:91)(cid:104)2(cid:215)(cid:243)(cid:41)𝑎𝑛(cid:87)2(cid:215)(cid:7)(cid:51)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87) +1=2 2 =2 (cid:87)(cid:259)
1 1
𝑛−1 𝑛
𝑎=2 (cid:137)𝑎 ∴ 𝑎𝑛 ∴𝑎𝑛 ⋅
𝑛
𝑎(cid:262)𝑛(cid:20)(cid:10)A−.1
5(cid:137)(cid:89)2024·(cid:487)(cid:444)(cid:488)(cid:489)·(cid:107)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135) (cid:215)(cid:55)(cid:41)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:37)(cid:44)(cid:436)(cid:87)(cid:190) =2, 2= +1(cid:87)(cid:297) =(cid:89) (cid:90)
1 5
𝑛
A(cid:137)16 B(cid:137)32 𝑇𝑛 C(cid:137)𝑎𝑛64 𝑛 D(cid:137)𝑎128 𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑎
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:213)(cid:27)(cid:168)(cid:33)(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:208)(cid:128)(cid:144)(cid:13)(cid:490)(cid:357)(cid:232)(cid:106)(cid:87)(cid:216)(cid:45)(cid:46)(cid:80)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:109)(cid:40)(cid:41)(cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:74).
2 +2
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:35) 2= +1(cid:87)(cid:211) 2 = +2(cid:87)(cid:172)(cid:91) 2 = +1= +1(cid:87)(cid:297) = +1(cid:87)
+1 +1 +1 2 𝑛+1 +1
𝑛 𝑛
𝑇𝑛 𝑎𝑛
𝑛 𝑛 𝑛
𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
(cid:160)(cid:236)(cid:241)(cid:144)(cid:13)(cid:211) lg = +1)lg (cid:87)(cid:359)(cid:204) lg +1= lg (cid:87)(cid:13)(cid:49){ lg }(cid:91)(cid:80)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
+1 1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑛 𝑎𝑛 (𝑛 𝑎𝑛 𝑛+ 𝑛 𝑛
lg lg
(cid:297) = 1=lg2(cid:87)(cid:259)lg = lg2=lg2 (cid:87)(cid:164)(cid:104) =2 (cid:87) =32.
1 5
𝑎𝑛 𝑎 𝑛 𝑛
(cid:262)(cid:20)𝑛(cid:10)B. 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑎
6(cid:137)(cid:89)2024·(cid:396)(cid:397)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316)( ) ( ) =4 2 +3( *), =1(cid:87)
1
(cid:297) =(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 2𝑛−3 𝑎𝑛− 2𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑛 −8𝑛 𝑛≥2,𝑛∈𝑁 𝑎
𝑎A𝑛(cid:137) B(cid:137)2 2 C(cid:137) D(cid:137) 2
2𝑛−2 𝑛 −𝑛 2𝑛−1 (2𝑛−1)
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:146)(cid:312)(cid:358) (cid:215)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:74).
𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)( ) ( ) 2𝑛−=14 2 +3=( )( )(cid:87)
(cid:164)(cid:104)
2
=
𝑛−
1(cid:87)
3 𝑎1 𝑛
=
−
1
2
(cid:87)
𝑛−
(cid:164)
1
(cid:104)
𝑎𝑛−1
(cid:215)
𝑛
(cid:47)
−
(cid:48)
8𝑛
(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:190)
2𝑛
(cid:7)
−
(cid:48)
1
(cid:215)
2𝑛
1(cid:87)
−3
(cid:243)(cid:41)(cid:215)1(cid:87)
1
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎 𝑎𝑛
2𝑛−1−2𝑛−3 2𝑛−1
(cid:262) =1+ = (cid:87)(cid:259) = ( )=2 2 (cid:87)
𝑎𝑛
(cid:262) 2 (cid:20) 𝑛− (cid:10) 1 B. 𝑛−1 𝑛 𝑎𝑛 𝑛 2𝑛−1 𝑛 −𝑛
7(cid:137)(cid:89)2024·(cid:491)(cid:353)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:7)(cid:51)(cid:116)(cid:215)1(cid:87)(cid:193) =2(cid:87)(cid:190)3 , (cid:231)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:297) =
1 1 2 3
(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ,−𝑎 𝑎𝑛
A(cid:137)2×3 B(cid:137)3 C(cid:137)2× D(cid:137)
𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:213)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:113)(cid:41)(cid:37)(cid:375)(cid:425)(cid:257)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:185)(cid:475)(cid:233)(cid:37)(−(cid:69)3)(cid:357)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:259)(−(cid:146)3.)
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:300){ }(cid:37)(cid:7)(cid:51)(cid:215)q(cid:87)
(cid:297)(cid:176)(cid:21)(cid:189)(cid:119)2 =𝑎3𝑛 = 2 2+ =0(cid:87)
2 1 3
(cid:74)(cid:81)(cid:260)(cid:211) =𝑎 (cid:161)𝑎=−1𝑎(cid:89)⇒(cid:408)4(cid:178)𝑞 (cid:90)6(cid:87)−(cid:164)2𝑞(cid:104)⇒𝑞= 22𝑞×−3 .
𝑛−1
𝑞 −3 𝑞 𝑎𝑛 (−3)(cid:262)(cid:20)(cid:10)C.
1 1
8(cid:137)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:349)·(cid:302)(cid:444)(cid:492)(cid:493)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) = (cid:87) = + (cid:87)(cid:297){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:215)(cid:89) (cid:90)
1 2 +1 2
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 +𝑛 𝑎𝑛
1 3 1
A(cid:137) = (cid:87) 1(cid:87) N B(cid:137) = + (cid:87) 1(cid:87) N
1 2
∗ ∗
𝑎𝑛 𝑛+ 𝑛≥ 𝑛∈ 𝑎𝑛 𝑛 𝑛≥ 𝑛∈
3 1 3 1
C(cid:137) = (cid:87) 1(cid:87) N D(cid:137) = (cid:87) 1(cid:87) N
2 2
∗ ∗
𝑎𝑛 − −𝑛 𝑛≥ 𝑛∈ 𝑎𝑛 −𝑛 𝑛≥ 𝑛∈
1 1 1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:246)(cid:332) = (cid:87)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:75)(cid:426)(cid:41)(cid:158)(cid:224)(cid:32)(cid:146)(cid:39)(cid:105)(cid:376).
2 1
𝑛 +𝑛 𝑛−𝑛+
1 1 1 1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:359)(cid:215) = + (cid:87)(cid:164)(cid:104) = = (cid:87)
+1 2 +1 2 1
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 +𝑛= 1 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑛 +𝑛 𝑛−𝑛+
2 1
2
1 1
=
(cid:297)(cid:301) 2(cid:87) N (cid:120)(cid:87) 𝑎 3 −𝑎 2 12−3 (cid:87)
∗ 𝑎 −𝑎 1− 1
𝑛≥ 𝑛∈ =
⋯
(cid:356) (cid:147)(cid:50)(cid:148)(cid:158)(cid:43)(cid:146)(cid:211)
𝑎𝑛−𝑎
=
𝑛−1 1𝑛+−11−1𝑛+
+
1 1
=
1
(cid:87)
1 2 2 3
𝑛−1 𝑎𝑛−𝑎 1− − ⋯ 𝑛−1−𝑛 1−𝑛
1 1 1 3 1
(cid:359)(cid:215) = (cid:87)(cid:297) = + = (cid:87)
1 2 2 2
𝑎 𝑎𝑛 1−𝑛 −𝑛
3 1 1
(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) = = (cid:174)(cid:128)(cid:171)(cid:50)(cid:87)
1 2 1 2
𝑛 𝑎 −
3 1
(cid:164)(cid:104) = (cid:87) 1(cid:87) N (cid:87)
2
∗
(cid:262)(cid:20)
𝑎
(cid:10)
𝑛
D.
−𝑛 𝑛≥ 𝑛∈
(cid:250)(cid:57)(cid:129)(cid:20)(cid:21)
1 1 1
9(cid:137)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) =1(cid:87) = + + + + ( >1)(cid:87)(cid:297)
1 1 2 2 3 3
(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑛−1𝑎𝑛−1 𝑛
=1
A(cid:137) =1 B(cid:137) = C(cid:137) = D(cid:137) =
2 2 2
𝑎𝑛 𝑛 𝑛 2
𝑛1,𝑛
𝑎 𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:21)(cid:300)(cid:209)(cid:210)(cid:39)(cid:211) = =1(cid:87)(cid:96)(cid:200)(cid:369)(cid:370)AB(cid:118)(cid:213)(cid:27)(cid:253)(cid:48)(cid:32)(cid:87)(cid:208)(cid:128)(cid:76) ,𝑛 (cid:77) ≥ (cid:3)(cid:38)(cid:146)(cid:211) +1= (cid:87)(cid:247)
2 1 1
𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑎 𝑎 𝑛+ 𝑛
(cid:107)(cid:494)(cid:146)(cid:211)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:96)(cid:200)(cid:369)(cid:370)CD.
𝑎𝑛 1 1 1
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:144)(cid:172)AB(cid:87)(cid:359)(cid:215)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) =1(cid:87) = + + + + ( >1)(cid:87)
1 1 2 2 3 3
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑛−1𝑎𝑛−1 𝑛
(cid:164)(cid:104)(cid:301) =2(cid:120)(cid:87) = =1(cid:87)(cid:204)(cid:120) 2=1 2 (cid:87)(cid:262)A(cid:55)(cid:256)(cid:87)B(cid:409)(cid:410)(cid:118)
2 1 𝑎1 1
𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ≠
1 1 1 1
(cid:144)(cid:172)CD(cid:87)(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) = + + + + + (cid:87)
+1 1 2 2 3 3
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑛−1𝑎𝑛−1 𝑛𝑎𝑛
(cid:160)(cid:50)(cid:158)(cid:384)(cid:87)(cid:211) = 1 (cid:87)(cid:175)(cid:15)(cid:211) +1= (cid:87)
+1 1
𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛 𝑛+ 𝑛(cid:365) 1=1(cid:87) 2= 1 (cid:87)(cid:259)(cid:301) =1(cid:120)(cid:87)(cid:116)(cid:315)(cid:316)(cid:171)(cid:50)(cid:87)
1 2 2
𝑎 𝑎
𝑛
1
(cid:164)(cid:104) (cid:91)(cid:96)(cid:86)(cid:250)(cid:41)(cid:366)(cid:243)(cid:41)(cid:215) (cid:37)(cid:80)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
2
𝑎𝑛
𝑛
1
(cid:262)(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) = (cid:87)(cid:297) = (cid:87)
2 2
𝑎𝑛 𝑛
𝑛≥ 𝑛=1 𝑎𝑛
(cid:127)(cid:171)(cid:87) = (cid:87)(cid:262)C(cid:409)(cid:410)(cid:87)D(cid:55)(cid:256).
2
2
𝑛1,𝑛
𝑎𝑛
(cid:262)(cid:20)(cid:10)AD(cid:137) ,𝑛≥
10(cid:137)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87)(cid:193) = (cid:439)(cid:111)(cid:363)(cid:117)(cid:364)(cid:87)(cid:297)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:146)(cid:104)(cid:91)(cid:89) (cid:90)
1 2
1 𝑎𝑛 𝑇𝑛 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛 𝑎𝑛
A(cid:137) = B(cid:137) =
𝑛+
𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−7
C(cid:137) = 1 D(cid:137) =sin
2 𝑛 4
𝑛π
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)𝑎(cid:218) 𝑛 (cid:28)(cid:201)−(cid:202)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:232)(cid:9)(cid:37)(cid:422)(cid:495)𝑎(cid:166) 𝑛 (cid:208)(cid:128) (cid:37)(cid:375)(cid:425)(cid:496)(cid:41)(cid:71)(cid:72)(cid:259)(cid:146).
1 2 3 1
𝑇𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:144)A(cid:87)(cid:193) = (cid:87)(cid:297) = × × × = +1(cid:87) (cid:497)(cid:363)(cid:117)(cid:364)(cid:87)(cid:164)(cid:104)A(cid:409)(cid:410)(cid:118)
1 2
𝑛+ 𝑛+
(cid:144)B(cid:87)(cid:193) = (cid:87)(cid:297) 𝑎𝑛 = 𝑛 <0 𝑇 (cid:87) 𝑛 = < ⋯ 0(cid:87) 𝑛 = 𝑛 <0(cid:87) 𝑇𝑛 =1>0(cid:87)
1 2 3 4
(cid:164)(cid:104)(cid:301) 𝑎𝑛3(cid:120)2(cid:87)𝑛−7<0(cid:87)𝑎(cid:365) −<5 0(cid:87) 𝑎>0(cid:87)− 3 𝑎 −1 𝑎
1 2
(cid:164)(cid:104)(cid:301)𝑛≥=2(cid:120)(cid:87)𝑇𝑛(cid:119)(cid:363)(cid:117)(cid:364)𝑇(cid:87)(cid:164)(cid:104)B𝑇(cid:55)(cid:256)(cid:118)
(cid:144)C(cid:87)(cid:193)
𝑛
=
𝑇1 𝑛
(cid:87)(cid:297)| |(cid:373)(cid:374)(cid:76)(cid:384)(cid:87)
2 𝑛
𝑎
1
𝑛 −
1
𝑇𝑛
(cid:365) = <0(cid:87) = <0(cid:87) >0(cid:87)(cid:164)(cid:104)(cid:301) =3(cid:120)(cid:87) (cid:119)(cid:363)(cid:117)(cid:364)(cid:87)(cid:164)(cid:104)C(cid:55)(cid:256)(cid:118)
1 2 2 8 3
𝑇 − 𝑇 − 𝑇 𝑛 𝑇𝑛
(cid:144)D(cid:87)(cid:193) =sin (cid:87)(cid:297) = 2(cid:87) =1(cid:87) = 2(cid:87) =0(cid:87)(cid:164)(cid:104)(cid:301) 4(cid:120)(cid:87) =0(cid:87)
4 1 2 2 3 2 4
𝑛π
𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑛≥ 𝑇𝑛
(cid:365) = = 2> = 1 (cid:87)(cid:164)(cid:104)(cid:301) =1(cid:161)2(cid:120)(cid:87) (cid:119)(cid:363)(cid:117)(cid:364)(cid:87)(cid:164)(cid:104)D(cid:55)(cid:256)(cid:137)
1 2 2 3 2
𝑇 𝑇 𝑇 𝑛 𝑇𝑛
(cid:262)(cid:20)(cid:10)BCD(cid:137)
11(cid:137)(cid:89)2024·(cid:302)(cid:444)(cid:447)(cid:448)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) =1(cid:87) = (cid:87) (cid:87)(cid:297)(cid:349)(cid:49)(cid:208)(cid:61)(cid:409)(cid:410)(cid:37)(cid:91)
1 +1 1
𝑎𝑛
∗
(cid:89) (cid:90)
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁
A(cid:137) = 2 B(cid:137)(cid:439)(cid:111) (cid:87)(cid:432)(cid:211) 1 > 1 + 1
3 2 +1 2
2− ∗
𝑎 𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 𝑎𝑛
1 1
C(cid:137) D(cid:137) >
+1 3 22 92
𝑛+
𝑎𝑛 ≤𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:71)(cid:222)(cid:39)(cid:109) (cid:75) (cid:146)(cid:369)(cid:370)A(cid:118)(cid:356) = (cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:241)(cid:242)(cid:13)(cid:252)(cid:498)(cid:81)(cid:87)(cid:216)(cid:499)(cid:301)(cid:419)(cid:420)
2 3 +1 1
𝑎𝑛
(cid:146)(cid:211)(cid:212) 1 < 1 + 1 2 (cid:87)(cid:259) 1 < 1 𝑎 + 1 𝑎 (cid:146)(cid:369)(cid:370)B(cid:118)(cid:201)(cid:202) 𝑎𝑛 1 < + 1 𝑎 + 𝑛 1 (cid:87)(cid:216)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:146)(cid:369)(cid:370)C(cid:118)(cid:201)(cid:202)
+1 2 +1 2 +1 2
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛1 6
(cid:87)(cid:216)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:146)(cid:39)(cid:109) (cid:259)(cid:146)(cid:369)(cid:370)D.
+1 3 ( 2)( 1)
𝑛+
𝑎𝑛 ≤𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎𝑛≤ 𝑛+ 𝑛+
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28) =1(cid:87) = (cid:87)(cid:274)(cid:135) >0(cid:87) (cid:87)
1 +1 1
𝑎𝑛
∗
∵ 𝑎 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 1 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁
(cid:144)(cid:172)A(cid:87) = 1 = 1 (cid:87) = 2 = 2 = 2(cid:87)(cid:262)A(cid:55)(cid:256)(cid:118)
2 1 𝑎 1 2 3 1 𝑎 2 1 1 2 2− 2
(cid:144)(cid:172)B(cid:87) 𝑎 + = 𝑎 (cid:87) 𝑎 1 + = 𝑎 1 + = 1 + 1 = 1 + 1 2 1 (cid:87)
+1 1 𝑎𝑛 +1 + 𝑎𝑛 2 4
1 < ∵ 1 𝑎𝑛 + 1 2 (cid:87) + (cid:160) 𝑎𝑛 (cid:236)(cid:390) ∴ (cid:81) 𝑎 (cid:211) 𝑛 1 < 𝑎𝑛 1 + 𝑎𝑛 1 (cid:87)(cid:262) 𝑎𝑛 B(cid:409)(cid:410) 𝑎𝑛 (cid:118) −
+1 2 +1 2
∴ 𝑎𝑛 𝑎𝑛 1 1 1 𝑎𝑛 1 𝑎𝑛 1 1
(cid:144)(cid:172)C(cid:87)(cid:35)B(cid:135)(cid:87) < + (cid:87)(cid:259) < (cid:87)
+1 2 +1 2
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87)
∴1 = 𝑛≥1 1 + 1 1 + + 1 1 + 1 < 1 ( )+1= 1 (cid:87)
2 1 1 2 𝑛+ 2
𝑎𝑛 𝑎𝑛− 𝑎𝑛−1 1 𝑎 1 𝑛−1− 𝑎𝑛−2 ⋯ 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑛−1
=1(cid:87) ( )(cid:87)
1 2
𝑛+
∗
∵ 𝑎 ∴ 𝑎𝑛≤ 𝑛∈𝑁
2
(cid:259) (cid:87)(cid:301)(cid:190)(cid:500)(cid:301) =1(cid:120)(cid:47)(cid:9)(cid:231)(cid:418)(cid:87)
1
𝑎𝑛≥𝑛+ 𝑛
( 1)
+1 = 1 𝑎𝑛 1 𝑎𝑛 2 1 = 𝑛+ 3 (cid:87)(cid:262)C(cid:55)(cid:256)(cid:118)
∴ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛≤ +𝑛+ 𝑛+ 𝑎𝑛
(cid:144)(cid:172)D(cid:87)(cid:35)C(cid:135)(cid:87) 1 (cid:87)(cid:259) +1 1 (cid:87)(cid:301)(cid:190)(cid:500)(cid:301) =1(cid:120)(cid:47)(cid:9)(cid:231)(cid:418)(cid:87)
+1
𝑛+
3 𝑎𝑛
𝑛+
3
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87)
𝑎𝑛 ≤𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎𝑛 ≤𝑛+ 𝑛
∴ = 𝑛≥ 2 < 2 1= 6 (cid:87)
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎1 1 𝑛 2 𝑛− 1 1 𝑛−2 4 ( 2)( 1)
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛−2⋯𝑎 ⋅𝑎 𝑛+ ⋅𝑛+ ⋅ 𝑛 ⋯ ⋅ 𝑛+ 𝑛+
6 1
< = (cid:87)(cid:262)D(cid:409)(cid:410).
22 23×24 92
∴ 𝑎
(cid:262)(cid:20)(cid:10)BD.
(cid:265)(cid:57)(cid:124)(cid:125)(cid:21)
12(cid:137)(cid:89)2024·(cid:383)(cid:303)(cid:421)(cid:459)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:107)(cid:13)(cid:49)(cid:10) (cid:87)(cid:297)(cid:195)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:146)(cid:104)(cid:149)(cid:150)(cid:215) ( ) ×
𝑛
( 2 )(cid:89)(cid:105)(cid:376)(cid:116)(cid:371)(cid:107)(cid:90) . 0,2,−6,12,−20,30,⋯ −1
(cid:22)𝑛(cid:74)−(cid:21)𝑛(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:49)(cid:187)(cid:98)(cid:41)(cid:37)(cid:63)(cid:501)(cid:87)(cid:203)(cid:109)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41)(cid:259)(cid:146).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:359)(cid:215)0=( )1×(12 )(cid:87)2=( )2×(22 )(cid:87) =( )3×(32 )(cid:87)
12=( )4×(42 )(cid:87)−1 =( −)51×(52 )−(cid:87)130=( −)26×(−662 )−(cid:87)1 (cid:87) −3
(cid:164)(cid:104)(cid:195)−(cid:13)1(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)−(cid:146)4(cid:104)(cid:149)−2(cid:150)0(cid:215)(−1) ×( 2−5). −1 −6 ⋯
𝑛
(cid:262)(cid:105)(cid:376)(cid:215)(cid:10)( ) ×( 2 )(cid:89)(cid:105)−(cid:376)1(cid:116)(cid:371)(cid:107)𝑛(cid:90)−.𝑛
𝑛
13(cid:137)(cid:89)2023·(cid:83)−1(cid:84)·(cid:266)(cid:317)𝑛(cid:318)−(cid:319)𝑛(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) =1(cid:87) =2(cid:87) + +2 =0 ( N )(cid:297)(cid:195)
1 2 +1
∗
𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑛≥2,𝑛∈(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) = (cid:137)
𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:201)(cid:202)(cid:209)(cid:210)𝑎𝑛(cid:87)(cid:211)(−(cid:212)1) (3𝑛+−4)= ( + )(cid:87)(cid:35)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:211)(cid:212) + =3× (cid:87)
+1 +1
𝑛−1
(cid:216)(cid:40)(cid:240)(cid:232)(cid:106)(cid:211)(cid:212)(cid:13)(cid:49) (cid:91)(cid:104) 𝑎𝑛 (cid:215)(cid:243) 𝑎𝑛 (cid:41)(cid:87) − 3 𝑎(cid:215) 𝑛− (cid:7) 1 (cid:48)𝑎(cid:37) 𝑛 (cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:109)(cid:208)(cid:139). 𝑎𝑛 𝑎𝑛 (−1)
𝑎𝑛
𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:301) 2(cid:120)(−1(cid:87)) + −1 = ( + )(cid:87)
+1
(cid:365) + =3(cid:87)(cid:164)𝑛≥(cid:104)(cid:13)(cid:49){𝑎𝑛 +𝑎𝑛 }(cid:91)−(cid:104)𝑎3𝑛−(cid:215)1(cid:243)(cid:41)𝑎𝑛(cid:87) (cid:215)(cid:7)(cid:51)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
1 2 +1
(cid:164) 𝑎 (cid:104) 𝑎 + =3× 𝑎𝑛 (cid:87)(cid:47) 𝑎 (cid:50) 𝑛 (cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:238)(cid:104) −1 +1(cid:87)(cid:211) +1 =3(cid:87)
+1 +1
𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛
𝑎𝑛 𝑎𝑛 (−1) (−1) (−1) −(−1)
(cid:365) 1 = (cid:87)(cid:164)(cid:104)(cid:13)(cid:49) (cid:91)(cid:104) (cid:215)(cid:243)(cid:41)(cid:87)3(cid:215)(cid:7)(cid:48)(cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
𝑎 𝑎𝑛
𝑛
−1 −1 (−1) −1
(cid:164)(cid:104) = (cid:87)(cid:211)(cid:212) = (cid:87)
𝑎𝑛
𝑛 𝑛
(−1) 3𝑛−4 𝑎𝑛 (−1) (3𝑛−4)
(cid:262)(cid:105)(cid:376)(cid:215)(cid:10) = .
𝑛
14(cid:137)(cid:89)2024·𝑎(cid:487)𝑛 (cid:303)((cid:353)−(cid:428)1)·(cid:107)(3(cid:266)𝑛−(cid:90)4(cid:192)) (cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) ( +1) =2(cid:87) =1(cid:87)(cid:297)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215)
+1 1
= (cid:137) 𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛 − 𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)3𝑛(cid:21)−(cid:217)2 (cid:218)(cid:28)(cid:144)(cid:192)(cid:135)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:37)(cid:47)(cid:50)(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:238)(cid:104) +1)(cid:87)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:87)(cid:208)(cid:128)(cid:426)(cid:41)(cid:39)(cid:75)(cid:32)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:211)(cid:208)(cid:139).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28) ( +1) =2(cid:87)(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:238) ( 𝑛+(1𝑛)(cid:211)(cid:10)
+1
+1 = 2 𝑛𝑎 = 𝑛 2 −1 𝑛 1 (cid:87) 𝑎𝑛 𝑛 𝑛
𝑎𝑛 1 𝑎𝑛 ( 1) 1
𝑛+ −𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛−𝑛+
(cid:164)(cid:104) =2 1 + 1 1 + + 1 1 (cid:87)(cid:259) =2 1 (cid:87)
1 1
𝑎𝑛 2 2 3 𝑎𝑛
(cid:16)(cid:382)(cid:211) 𝑛−𝑎 =(2+ 1− ) −(cid:87) ⋯ =1(cid:87)𝑛−1−𝑛= 𝑛 (cid:137) −𝑎 1−𝑛
1 1
(cid:262)(cid:105)(cid:376)𝑎(cid:215)𝑛(cid:10) = 𝑎 𝑛−.2 ∵𝑎 ∴𝑎𝑛 3𝑛−2
(cid:377)(cid:57)(cid:74)(cid:105)(cid:21)𝑎𝑛 3𝑛−2
15(cid:137)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) =2(cid:87) =66(cid:87)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) = + (cid:87)(cid:296)(cid:113)p(cid:87)q
1 17
(cid:215)(cid:80)(cid:13)(cid:87) 0(cid:137) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑝𝑛 𝑞
(1)(cid:39){ }(cid:37)𝑝≠(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(2)88(cid:91)𝑎𝑛(cid:313)(cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:37)(cid:41)(cid:440)
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)𝑎𝑛(cid:356) =2(cid:87) =66(cid:229)(cid:230)(cid:212)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) = + (cid:113)(cid:87)(cid:258)(cid:418)(cid:231)(cid:81)(cid:260)(cid:350)(cid:87)(cid:39)(cid:74)(cid:109)(cid:207)(cid:13)p(cid:87)q(cid:87)
1 17
(cid:96)(cid:200)(cid:211)(cid:109)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑝𝑛 𝑞
(cid:89)2(cid:90)(cid:407) =88(cid:87)(cid:74)(cid:109) (cid:37)(cid:364)(cid:87)(cid:193)(cid:215)(cid:55)(cid:175)(cid:13)(cid:87)(cid:297)(cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:37)(cid:41)(cid:118)(cid:193)(cid:116)(cid:91)(cid:55)(cid:175)(cid:13)(cid:87)(cid:297)(cid:116)(cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:37)(cid:41).
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)𝑎(cid:260)𝑛 (cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:74)(cid:10)𝑛(cid:359)(cid:215) =2(cid:87) =66(cid:87)(cid:40)(cid:41)(cid:7)𝑎(cid:50)𝑛 = + (cid:87) 𝑎𝑛
1 17
+ =2 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑝𝑛 𝑞
(cid:164)(cid:104) (cid:87)
+ =66
𝑝 𝑞
17𝑝 𝑞=4
(cid:74)(cid:211)(cid:87) (cid:87)
=
𝑝
(cid:164)(cid:104) =𝑞 −2(cid:118)
(cid:89)2(cid:90)𝑎(cid:407)𝑛 4𝑛−2=88(cid:87)
44𝑛5−2
(cid:74)(cid:211) = (cid:87)
2
𝑛
(cid:359)(cid:215) N (cid:87)
∗
(cid:164)(cid:104)𝑛88∈(cid:116)(cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:37)(cid:41).
16(cid:137)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:266)𝑎𝑛(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:315)(cid:316) +2 +3 + + = 2 +1(cid:137)
1 2 3
𝑛
(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑛𝑎𝑛 (𝑛−1)
(2)(cid:193) =
𝑎𝑛
+1 (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) (cid:137)
2 2
𝑛𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)
𝑏𝑛
(cid:217)(cid:218)
𝑛
(cid:28)
+3
(cid:89)
𝑛+ 1(cid:90)(cid:213)(cid:27)(cid:13)(cid:49)𝑏𝑛
(cid:37)(cid:75)(cid:36)
𝑛
(cid:41)(cid:37)(cid:3)
𝑆𝑛
(cid:38)(cid:45)(cid:46) (cid:87) (cid:160)(cid:50)(cid:87)(cid:158)(cid:384)(cid:259)(cid:211)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:118)
(cid:89)2(cid:90)(cid:39)(cid:109) (cid:87)(cid:356)(cid:296)(cid:426)(cid:41)(cid:252)(cid:87)(cid:247)(cid:248)(cid:39)(cid:75)(cid:87)(cid:224)(cid:178)(cid:113)(cid:143)(cid:41)①(cid:259)(cid:211)②.
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)𝑏(cid:28)𝑛 (cid:89)1(cid:90)(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) =1(cid:137)(cid:176)(cid:21)(cid:189)(cid:87) +2 +3 + + = 2 +1
1 1 2 3
𝑛
(cid:301) 2(cid:120)(cid:87) +2 +𝑛3 + +𝑎 = 𝑎 2 𝑎 +1𝑎 (cid:137)⋯ 𝑛𝑎𝑛 (𝑛−1) ①
1 2 3
𝑛−1
𝑛(cid:438)≥ (cid:211) 𝑎 =[ 𝑎 2𝑎 +⋯1] (𝑛−1)𝑎2 𝑛−1 +(1𝑛−=2) 2 ②2)(cid:87)
𝑛 𝑛−1 𝑛−1
①(cid:164)(cid:104)②=2𝑛𝑎𝑛 (𝑛2−)1(cid:137))(cid:359) =1−(cid:120)((cid:87)𝑛−(cid:195)2(cid:50)) (cid:121)(cid:231)(cid:418)(cid:87) 𝑛⋅ (𝑛≥
𝑛−1
(cid:262){ 𝑎} 𝑛(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(𝑛(cid:50)≥(cid:215) =2𝑛 (cid:137)
𝑛−1
(cid:89)2 𝑎 (cid:90) 𝑛 (cid:35)(cid:89)1(cid:90)(cid:135) = 𝑎 2 𝑛 (cid:87)(cid:35) = +1 (cid:146)(cid:211)
2 2
𝑛⋅𝑎𝑛
𝑛−1
2 𝑎𝑛 2 +1 𝑏𝑛 2 𝑛 +3𝑛+
= =
+ 𝑛+2) 𝑛+2 +𝑛1
𝑛⋅
𝑏𝑛 −
(cid:297) =(𝑛 221)(2𝑛+ 23 𝑛22 + 2𝑛4 23 + + 2 2 + 2 2 + 2 +1 2 = 2 +1 (cid:137)
3 2 4 3 5 4 𝑛−1 𝑛−2 𝑛1 𝑛−1 𝑛2 𝑛1 𝑛2
17 𝑆 (cid:137) 𝑛 (cid:89)2024 − ·(cid:383)(cid:303)(cid:502)(cid:264)− ·(cid:107)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135)−(cid:13)(cid:49){ ⋯ }(cid:37)(cid:187)𝑛 (cid:41)−(cid:75)𝑛−(cid:215)1 (cid:87)𝑛(cid:190)+ − =𝑛3, +𝑛+ − =𝑛+ ( +1) 𝑛+ − . 1
1 +1 +1
(1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛
𝑎𝑛 1
(2)(cid:193) = (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) .
+1
(cid:22)(cid:74)(cid:21)
𝑏𝑛
(cid:217)(cid:218)
𝑎𝑛
(cid:28)
𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛
(cid:89)1(cid:90)(cid:213)(cid:27) (cid:75) (cid:142)(cid:143)(cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:146)(cid:211) +1= 1 (cid:87)(cid:216)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:44)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:211){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
𝑎𝑛
𝑛+
(cid:89)2(cid:90)(cid:203)(cid:109) 𝑆 (cid:13) 𝑛 (cid:49) 𝑎 { 𝑛 }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:213)(cid:27)(cid:426) 𝑎 (cid:41) 𝑛 (cid:39)(cid:75)𝑛(cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:109)(cid:208)(cid:139). 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)𝑏1𝑛(cid:90)(cid:301) =1(cid:120)(cid:87) + =2 (cid:87)(cid:74)(cid:211) =2 =6.
2 1 2 2 1
𝑛 𝑆 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎(cid:301) 2(cid:120)(cid:87)(cid:35) + =( +1) (cid:87)(cid:211) + = (cid:87)
+1 +1
(cid:160)(cid:50)
𝑛≥
(cid:158)(cid:384)(cid:211)
𝑆𝑛
+ =
𝑆𝑛
( +
𝑛
1)
𝑎𝑛
(cid:87)
𝑆
(cid:259)
𝑛 +𝑆1 𝑛
=
−1 1
(cid:87)
𝑛𝑎𝑛
+1 +1
𝑎𝑛
𝑛+
𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 −𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛
(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:44)(cid:146)(cid:211) 2 3 4 = 6 × 3 × 4 × × (cid:87)
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛 3 2 3 𝑛
𝑎 ⋅𝑎 ⋅𝑎 ⋯⋯⋅𝑎𝑛−1 ⋯ 𝑛−1
(cid:259) = (cid:87)(cid:359)(cid:215) =3(cid:87)(cid:164)(cid:104) = (cid:118)
1
𝑎𝑛1
𝑎 𝑛 𝑎 𝑎𝑛 3𝑛
(cid:164)(cid:104){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) = .
(cid:89)2(cid:90) 𝑎 (cid:35) 𝑛 (cid:89)1(cid:90)(cid:146)(cid:135)(cid:87)(cid:426) 𝑎 (cid:41) 𝑛 (cid:146) 3 (cid:211) 𝑛 = 1 = 1 = 1 1 1 (cid:87)
+1 ( 1) 9 1
(cid:297) = 1 × 1 + 1 1 + +
𝑏𝑛
1
𝑎𝑛
1
𝑎𝑛
=
9𝑛 𝑛
.
+ 𝑛−𝑛+
9 2 2 3 1 9
𝑛
𝑇𝑛 1− − ⋯ 𝑛−𝑛+ 9𝑛+
(cid:164)(cid:104)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) = .
9
𝑛
𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 9𝑛+
3
18(cid:137)(cid:89)2024·(cid:352)(cid:379)(cid:503)(cid:504)·(cid:266)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:362)(cid:181)(cid:41)(cid:461)(cid:215)(cid:55)(cid:13)(cid:37)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:192)(cid:135) (cid:91) (cid:36) (cid:37)(cid:47)(cid:48)
2 2
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛+
(cid:113)(cid:41).
𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛
(1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118)
(2)(cid:300)
𝑎𝑛
= +1 +
2
+1 (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:312)(cid:358)(cid:10) <2.
𝑎𝑛 +1 𝑎𝑛 +1
𝑏𝑛 𝑆𝑛𝑆𝑛 𝑆𝑛𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛−4𝑛
(cid:22)(cid:74)(cid:21)(cid:217)(cid:218)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:35) (cid:91) (cid:36) 3 (cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:113)(cid:41),(cid:146)(cid:211)2 = + 3 (cid:87)(cid:16)(cid:382)(cid:211)4 =( +1)2(cid:87)(cid:146)(cid:211)
2 2 2 2
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛+ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛+
4 =( +1)2( 𝑆𝑛 2)(cid:87)(cid:253)(cid:48)(cid:146)(cid:211) =2( 2) 𝑆(cid:87) 𝑛 (cid:297)(cid:146)(cid:211){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑆𝑛 𝑎𝑛
(cid:89) 𝑆 2 𝑛 (cid:90) −1 (cid:35)(cid:89) 𝑎 1 𝑛 (cid:90) −1 (cid:211) = 𝑛 2 ≥ (cid:87) = 1 1 𝑎𝑛 + − 4 𝑎 + 𝑛− 1 1 1 (cid:87) 𝑛 (cid:71) ≥ (cid:350)(cid:39) (cid:87)(cid:146)(cid:211) 𝑎𝑛 = + 1 1 (cid:87)(cid:146)(cid:211) =
2 1)2 1 1)2 1
𝑆𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑛 −(𝑛+ 𝑛−𝑛+ 𝑇𝑛 𝑇𝑛 4𝑛 2−(𝑛+ −𝑛+ 𝑇𝑛−4𝑛 2−
1 1
<2(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:211)(cid:312).
1)2 1
(𝑛+ −𝑛+
3
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:35)(cid:21)(cid:189)(cid:87)(cid:211)2 = + (cid:87)
2 2
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛+
𝑆𝑛
(cid:259)2 = +1(cid:87)(cid:259)4 =( +1)2 (cid:87)
(cid:164)(cid:104)4 𝑆𝑛 𝑎 = 𝑛 ( +1 𝑆 ) 𝑛 2( 𝑎𝑛 2) (cid:87) ①
- 𝑆(cid:87)𝑛−(cid:211)1 4 𝑎= 𝑛−12+2 𝑛≥2 ② (cid:87)
①(cid:259)(②+ 𝑎) 𝑛 ( 𝑎𝑛 𝑎𝑛−)𝑎=𝑛−01.−2𝑎𝑛−1
(cid:365) 𝑎𝑛>0𝑎(cid:87)𝑛−(cid:164)1(cid:104)𝑎𝑛−𝑎𝑛−1−=22( 2).
𝑎𝑛 𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−1
𝑛≥
(cid:35) (cid:91) (cid:36) (cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:113)(cid:41)(cid:87)(cid:211)(cid:301) =1(cid:120)(cid:87)
2 2
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛+
𝑆𝑛 𝑛
3
2 = 1 + 1 (cid:87)(cid:74)(cid:211) =1(cid:87)
1 2 2 1
𝑎 −1 𝑎 +
𝑎 𝑎(cid:164)(cid:104){ }(cid:91)(cid:104)1(cid:215)(cid:243)(cid:41)(cid:87)2(cid:215)(cid:7)(cid:48)(cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
(cid:262) =𝑎𝑛 .
(cid:89)𝑎2(cid:90)𝑛 (cid:35)2(cid:89)𝑛−1(cid:90)1 (cid:211) = 2(cid:87)(cid:297)
1 𝑆𝑛 1)2𝑛 1 1 1 1
= + = +4+ (cid:87)
2 1)2 ( 1) 2 1)2 1
2𝑛+ (2𝑛+
𝑏𝑛 𝑛 (𝑛+ 𝑛 𝑛+ 𝑛 −(𝑛+ 𝑛−𝑛+
(cid:164)(cid:104) = = 1 + 1 1 + + 1 1 + + 1 + 1 1 + + 1 1
𝑛=1 22 22 32 2 1)2 2 2 3 1
𝑇𝑛 1 𝑖 𝑏𝑛 1− 1 − ⋯ 𝑛 −(𝑛+ 4𝑛 1− − ⋯ 𝑛−𝑛+
= + +
+1)2 +1
1− 4𝑛 1−
= +(𝑛 1 1 (cid:87) 𝑛
1)2 1
4𝑛 2−(𝑛+ −𝑛+
1 1 1 1
(cid:164)(cid:104) = + = <2(cid:87)
1)2 1 1)2 1
(cid:164)(cid:104)
𝑇𝑛−4𝑛
<
4
2
𝑛
.
2−(𝑛+ −𝑛+ −4𝑛 2−(𝑛+ −𝑛+
19(cid:137)(cid:89)𝑇𝑛 2−042𝑛4·(cid:377)(cid:378)(cid:94)(cid:397)·(cid:265)(cid:266)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:7)(cid:48)(cid:215)4(cid:87)(cid:190) +2(cid:87) (cid:87) (cid:231)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)
2 3 5
n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87) =2(cid:190) =2 +2( 2).𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 −2 𝑏𝑛
1
(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49)𝑆{ 𝑛 }𝑏(cid:57){ }(cid:37)𝑆(cid:40)𝑛 (cid:41)(cid:7)𝑆𝑛(cid:50)−1(cid:118) 𝑛≥
(2)(cid:300) = 𝑎𝑛 ( 𝑏𝑛 )(cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75) .
∗
(cid:22)(cid:74)(cid:21)𝑐𝑛(cid:217)(cid:218)𝑎𝑛(cid:28)𝑏𝑛(cid:89)𝑛1∈(cid:90)𝑁(cid:35)(cid:192)(cid:135)(cid:208)(cid:128)(cid:47)𝑐(cid:51)𝑛 (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:375)(cid:425)(cid:39)𝑇𝑛(cid:74)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:243)(cid:41)(cid:87)(cid:259)(cid:146)(cid:39)(cid:74) (cid:87)(cid:35) =2 +2(cid:211)
=2 +2(cid:87)(cid:160)(cid:50)(cid:158)(cid:384)(cid:211) =2 ( 2)(cid:87)(cid:216)(cid:311)(cid:312) =2𝑎𝑛(cid:87)(cid:363)(cid:252)(cid:213)(cid:27)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)𝑎(cid:37)𝑛 (cid:33)(cid:34)𝑆(cid:39)𝑛 (cid:74)(cid:259)𝑆𝑛(cid:146)−1 .
+1 +1 2 1
(cid:89)𝑆𝑛 2(cid:90)(cid:213)(cid:27)𝑆𝑛(cid:409)(cid:422)(cid:158)(cid:384)(cid:32)(cid:39)(cid:74)(cid:13)𝑏(cid:49)𝑛 (cid:37)(cid:75)(cid:259)𝑏𝑛(cid:146)𝑛. ≥ 𝑏 𝑏
(cid:22)(cid:74)(cid:105)(cid:240)(cid:260)(cid:28)(cid:89)1(cid:90)(cid:176)(cid:21)(cid:189)(cid:87)(cid:300)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:243)(cid:41)(cid:215) (cid:87)(cid:359)(cid:215) +2(cid:87) (cid:87) (cid:231)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)
1 2 3 5
(cid:164)(cid:104) 2=( +2)( )(cid:87)(cid:365) =4(cid:87)(cid:259)(𝑎𝑛+8)2=( 𝑎+6)( 𝑎+14)(cid:87)𝑎(cid:74)(cid:211)𝑎 −=2 (cid:87)
3 2 5 1 1 1 1
(cid:262) 𝑎= +𝑎( )𝑎=−2 +4𝑑( )= 𝑎 (cid:87) 𝑎 𝑎 𝑎 −5
1
(cid:35)𝑎(cid:192)𝑛(cid:135)𝑎 =2𝑛−1+𝑑2(−52)(cid:87)𝑛(cid:262)−1 =4𝑛2−9+2(cid:87)
+1
(cid:160)(cid:50)(cid:158)𝑆(cid:384)𝑛(cid:87)(cid:211)𝑆𝑛−1 =2𝑛≥( 2)(cid:87)𝑆𝑛 𝑆𝑛
+1
(cid:365) =2 +2𝑏(cid:87)𝑛(cid:74)(cid:211) 𝑏𝑛=𝑛4(cid:87)≥(cid:164)(cid:104) =2 (cid:87)
2 1 2 2 1
(cid:164)𝑆(cid:104)(cid:13)(cid:49)𝑆{ }(cid:91)(cid:104)2(cid:215)𝑏(cid:243)(cid:41)(cid:87)2(cid:215)(cid:7)𝑏(cid:51)(cid:37)(cid:47)𝑏 (cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:262) =2 2 =2 .
𝑛−1 𝑛
(cid:89)2(cid:90)(cid:35)(cid:89)𝑏1𝑛(cid:90)(cid:211) = =( ) 2 (cid:87) 𝑏𝑛 ⋅
𝑛
(cid:262) = ×21 𝑐𝑛 ×𝑎2𝑛2𝑏+𝑛3×42𝑛3−+9 ⋅+( ) 2 (cid:87)
𝑛
(cid:297)𝑇2𝑛 =−5 ×2−21 ×23 ×24+⋅⋅⋅ +(4𝑛−9 )⋅×2 +1(cid:87)
𝑛
(cid:160)(cid:50)𝑇(cid:158)𝑛 (cid:384)−(cid:211)5 =−1 +−43(22+23⋅+⋅⋅ +42𝑛−)9( )×2 +1
𝑛 2𝑛
−𝑇𝑛 −10 ⋅⋅⋅ − 4𝑛−9= +4× 22( 2 ) ( )×2 +1=( )×2 +1 (cid:87)
𝑛−1
1− 2𝑛 𝑛
(cid:262) −1 = 0 ( ) 1 × −2 2 +1− +42𝑛6− . 9 13−4𝑛 −26
𝑛
𝑇𝑛
4𝑛−13
