专题6.4数列的通项公式的求法十二大题型（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）

专题 6.4 数列的通项公式的求法【十二大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:28)....................................................................................................................................................3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:28)....................................................................................................................................................4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:35)a (cid:36)S (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)......................................................................................................................5 n n (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:28)....................................................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:28)....................................................................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:28)....................................................................................................................................................7 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:28)....................................................................................................8 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:35)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:28)....................................................................................................9 (cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)(cid:28)..........................................................................................................................10 (cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)................................................................................................................11 (cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:62)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)(cid:28)............................................................................................................................12 (cid:22)(cid:21)(cid:29)12 (cid:63)(cid:64)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)................................................................................................................................13 1(cid:57)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:39)(cid:32) (cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:39) (cid:67)(cid:21)(cid:68)(cid:69) (cid:25)(cid:70)(cid:71)(cid:72) 2022 (cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84) I (cid:85)(cid:10)(cid:86) 17(cid:21)(cid:87)10(cid:71) 2023(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:85)(cid:10)(cid:86)20(cid:21)(cid:87) (cid:13)(cid:49)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:92)(cid:65)(cid:57)(cid:93)(cid:65)(cid:94)(cid:95).(cid:96)(cid:97) 12(cid:71) (cid:98)(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:70)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:87)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) (1)(cid:73)(cid:74)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) 2023(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:85)(cid:10)(cid:86)18(cid:21)(cid:87) (cid:37)(cid:39)(cid:74)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:25)(cid:102)(cid:37)(cid:93)(cid:65)(cid:87)(cid:103)(cid:66)(cid:104)(cid:74)(cid:105) (cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38) 12(cid:71) (cid:21)(cid:37)(cid:106)(cid:50)(cid:25)(cid:102)(cid:87)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:86)(cid:107)(cid:112)(cid:54)(cid:113)(cid:87) (2)(cid:78)(cid:79)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7) 2023 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:15)(cid:13)(cid:90)(cid:10) (cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:123)(cid:21)(cid:57)(cid:124) (cid:50)(cid:37)(cid:80)(cid:27)(cid:81)(cid:32) (cid:86)17(cid:21)(cid:87)12(cid:71) (cid:125)(cid:21)(cid:113)(cid:87)(cid:36)(cid:126)(cid:13)(cid:57)(cid:116)(cid:47)(cid:50)(cid:47)(cid:127)(cid:128)(cid:25)(cid:102)(cid:118) 2024 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:17)(cid:13)(cid:90)(cid:10) (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:39)(cid:32)(cid:129)(cid:130)(cid:129)(cid:131)(cid:87)(cid:132)(cid:66) (cid:86)17(cid:21)(cid:87)12(cid:71) (cid:133)(cid:134)(cid:39)(cid:74). 2024 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:15)(cid:13)(cid:90)(cid:10) (cid:86)18(cid:21)(cid:87)12(cid:71) (cid:22)(cid:135)(cid:136)(cid:65)1 (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:28) 1(cid:137)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) (cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:86)n(cid:41) (cid:36)(cid:140)(cid:37)(cid:141)(cid:9)n(cid:142)(cid:143)(cid:37)(cid:144)(cid:145)(cid:3)(cid:38)(cid:146)(cid:104)(cid:27)(cid:107)(cid:147)(cid:50)(cid:148)(cid:100)(cid:149)(cid:150)(cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:147)(cid:50)(cid:148)(cid:154)(cid:155)(cid:153) (cid:147)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50).2(cid:137)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50) (1)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:156)(cid:157) (cid:138)(cid:139)(cid:107)(cid:147)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:41)(cid:161)(cid:129)(cid:41)(cid:142)(cid:143)(cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:146)(cid:104)(cid:27)(cid:107)(cid:147)(cid:50)(cid:148)(cid:100)(cid:149)(cid:150)(cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:147)(cid:50)(cid:148)(cid:162)(cid:154)(cid:155)(cid:153)(cid:147)(cid:13)(cid:49)(cid:37) (cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50). (2)(cid:144)(cid:13)(cid:49)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:15)(cid:74) (cid:163)(cid:36)“(cid:116)(cid:107)(cid:33)(cid:164)(cid:119)(cid:13)(cid:49)(cid:165)(cid:119)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)”(cid:107)(cid:131)(cid:87)(cid:166)(cid:116)(cid:91)(cid:164)(cid:119)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:165)(cid:119)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50). (cid:167)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:91)(cid:168)(cid:109)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:107)(cid:130)(cid:81)(cid:32).(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:87)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:75)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:107)(cid:131)(cid:87)(cid:165)(cid:91)(cid:3)(cid:172)(cid:41)(cid:37)(cid:141)(cid:9)n(cid:37)(cid:173)(cid:47) (cid:50). (cid:138)(cid:139)(cid:27)(cid:174)(cid:128)(cid:66)(cid:39)(cid:37)(cid:55)(cid:175)(cid:13)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)n(cid:87)(cid:162)(cid:146)(cid:104)(cid:39)(cid:109)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:181)(cid:41). (cid:182)(cid:27)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:109)(cid:107)(cid:147)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:183)(cid:184)(cid:168)(cid:109)(cid:10) (cid:185)(cid:186)——(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:86)1(cid:41)((cid:161)(cid:187)(cid:98)(cid:41))(cid:118) (cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)——(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:188)(cid:189)(cid:107)(cid:41) (cid:36)(cid:140)(cid:37)(cid:187)(cid:107)(cid:41) ( )((cid:161)(cid:187)(cid:98)(cid:41))(cid:143)(cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:87)(cid:166)(cid:190)(cid:153)(cid:147)(cid:3)(cid:38)(cid:146) (cid:104)(cid:27)(cid:47)(cid:50)(cid:100)(cid:149)(cid:150). (cid:22)(cid:135)(cid:136)(cid:65)2 (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:80)(cid:191)(cid:39)(cid:32)(cid:28) 1(cid:137)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:10) (cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49)(cid:187)(cid:193)(cid:194)(cid:41)(cid:87)(cid:39)(cid:195)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:120)(cid:87)(cid:107)(cid:108)(cid:144)(cid:164)(cid:168)(cid:37)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:87)(cid:96)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:198)(cid:199)(cid:203)(cid:109)(cid:204) (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41). 2(cid:137)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:10) (cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:37)(cid:205)(cid:29)(cid:87)(cid:144)(cid:172)(cid:206)(cid:207)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:201)(cid:202)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:208)(cid:128)(cid:192)(cid:135)(cid:209)(cid:210)(cid:87)(cid:39)(cid:109)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:113) (cid:37)(cid:207)(cid:13)(cid:87)(cid:96)(cid:200)(cid:211)(cid:212)(cid:204)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41). 3(cid:137)(cid:7)(cid:50)(cid:32)(cid:10) (cid:35)a (cid:36)S (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:10) n n (1)(cid:192)(cid:135)S (cid:39)a (cid:37)(cid:80)(cid:27)(cid:81)(cid:32)(cid:91)(cid:213)(cid:27) = (cid:214)(cid:16)(cid:215)(cid:3)(cid:172)a (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:87)(cid:216)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50). n n n (2) S (cid:36)a (cid:3)(cid:38)(cid:54)(cid:21)(cid:37)(cid:39)(cid:74)(cid:217)(cid:218) n n (cid:81)(cid:219)1(cid:10)(cid:213)(cid:27)a = S -S (n(cid:220)2)(cid:214)(cid:16)(cid:215)(cid:221)(cid:206) S (cid:87)S (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:87)(cid:216)(cid:39)(cid:74). n n n-1 n n-1 (cid:81)(cid:219)2(cid:10)(cid:213)(cid:27)S -S = a (n(cid:220)2)(cid:214)(cid:16)(cid:215)(cid:221)(cid:206)a (cid:87)a (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:87)(cid:216)(cid:39)(cid:74). n n-1 n n n-1 4(cid:137)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:10) (cid:106)(cid:138)a =a +f(n)(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:213)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:39)(cid:75)(cid:87)(cid:63)(cid:222)(cid:4)(cid:189)(cid:223)(cid:224)(cid:178)(cid:129)(cid:225)(cid:41)(cid:87)(cid:226)(cid:227)(cid:129)(cid:225)(cid:41). n+1 n 5(cid:137)(cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:10) (cid:106) (cid:138) a =a · f(n) (cid:37) (cid:76) (cid:77) (cid:3) (cid:38) (cid:50) (cid:146) (cid:16) (cid:215) (cid:37) (cid:106) (cid:50) (cid:87) (cid:146) (cid:27) (cid:42) (cid:44) (cid:32) (cid:87) (cid:121) (cid:146) (cid:27) n+1 n (cid:229)(cid:230)(cid:39)(cid:109)(cid:40)(cid:41). 6(cid:137)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:10) (cid:163)(cid:106)(cid:138)a =pa +q(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:146)(cid:104)(cid:16)(cid:215)(a +x)=p(a +x)(cid:37)(cid:106)(cid:50)(cid:87)(cid:45)(cid:231)(cid:23)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:39)(cid:109)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87) n+1 n n+1 n (cid:39)(cid:232)(cid:233)x(cid:91)(cid:3)(cid:234). (cid:167)(cid:106)(cid:138)a =pa +qn+c(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:235)(cid:230)(cid:207)(cid:13)x(cid:87)y(cid:87)(cid:45)(cid:46)(cid:23)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49){ }. n+1 n(cid:182)(cid:106)(cid:138)a =pa +qn(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:104)qn+1(cid:87)(cid:45)(cid:46)(cid:23)(cid:37)(cid:13)(cid:49){ }. n+1 n (cid:239)(cid:106)(cid:138) (A,B,C(cid:215)(cid:80)(cid:13))(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:146)(cid:40)(cid:240)(cid:160)(cid:236)(cid:237)(cid:120)(cid:241)(cid:242)(cid:13)(cid:37)(cid:81)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:23)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:74). 7(cid:137)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:32)(cid:10) (1)(cid:138)(cid:139)(cid:168)(cid:33)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:91)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:39)(cid:109)(cid:243)(cid:41)(cid:75)(cid:7)(cid:48)(cid:87)(cid:244)(cid:245)(cid:213)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:74)(cid:118) (2)(cid:138)(cid:139)(cid:168)(cid:33)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:146)(cid:104)(cid:45)(cid:46)(cid:109)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:246)(cid:39)(cid:109)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:111)(cid:40)(cid:240)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:247)(cid:248) (cid:232)(cid:106)(cid:214)(cid:16)(cid:87)(cid:211)(cid:212)(cid:164)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50). 8(cid:137)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:32)(cid:10) (1)(cid:138)(cid:139)(cid:168)(cid:33)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:39)(cid:109)(cid:243)(cid:41)(cid:75)(cid:7)(cid:51)(cid:87)(cid:244)(cid:245)(cid:213)(cid:27)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:74)(cid:118) (2)(cid:138)(cid:139)(cid:168)(cid:33)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:146)(cid:104)(cid:45)(cid:46)(cid:109)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:246)(cid:39)(cid:109)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:111)(cid:40)(cid:240)(cid:76)(cid:77)(cid:3)(cid:38)(cid:50)(cid:247)(cid:248) (cid:232)(cid:106)(cid:214)(cid:16)(cid:87)(cid:211)(cid:212)(cid:164)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50). (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:28) (cid:22)(cid:249)1(cid:28)(cid:89)24-25(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:13)(cid:49) 2, 1 2, 1 (cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215)(cid:89) (cid:90) 2 2 4 4 1,− ,− ,⋯ A(cid:137) 1 B(cid:137) 2 C(cid:137)( ) 2 D(cid:137)( ) +1 2 2 𝑛−1 2 𝑛 2 𝑛−1 2 𝑛−1 𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)1-−1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:255)(cid:256)·(cid:257)−(cid:258)(cid:90)(cid:117)(cid:259)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:100)(cid:260)(cid:172)−(cid:261)1(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:113)(cid:144)(cid:266)(cid:267)“(cid:117)−1(cid:259)(cid:142)(cid:13)(cid:268)(cid:269)”(cid:37)(cid:77)(cid:61)(cid:87)(cid:103)(cid:66)(cid:27)(cid:172) (cid:74)(cid:270)(cid:113)(cid:84)(cid:267)(cid:68)(cid:17)(cid:16)(cid:113)(cid:37)(cid:271)(cid:272)(cid:259)(cid:273)(cid:274)(cid:15)(cid:87)(cid:13)(cid:49)(cid:113)(cid:37)(cid:275)(cid:107)(cid:41)(cid:87)(cid:165)(cid:229)(cid:149)(cid:271)(cid:272)(cid:259)(cid:273)(cid:240)(cid:276)(cid:113)(cid:87)(cid:277)(cid:278)(cid:278)(cid:279)(cid:240)(cid:37)(cid:160)(cid:280)(cid:13)(cid:233) (cid:281)(cid:75)(cid:87)(cid:91)(cid:113)(cid:282)(cid:267)(cid:68)(cid:17)(cid:16)(cid:113)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:37)(cid:286)(cid:287)(cid:13)(cid:11)(cid:288)(cid:171)(cid:86)(cid:107)(cid:289)(cid:13)(cid:49)(cid:21)(cid:137)(cid:290)(cid:187)10(cid:41)(cid:176)(cid:177)(cid:91)0(cid:87)2(cid:87)4(cid:87)8(cid:87)12(cid:87)18(cid:87) 24(cid:87)32(cid:87)40(cid:87)50(cid:87)(cid:291)(cid:204)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:86)25(cid:41)(cid:36)(cid:86)24(cid:41)(cid:37)(cid:48)(cid:215)(cid:89) (cid:90) A(cid:137)22 B(cid:137)24 C(cid:137)25 D(cid:137)26 26 (cid:22)(cid:232)(cid:50)1-2(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:295)·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:13)(cid:49) (cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:146)(cid:104)(cid:91)(cid:89) (cid:90) 3 −2,4,− ,20,⋯ 3 A(cid:137) =( ) B(cid:137) =( ) 𝑛 𝑛 𝑛 −𝑛 𝑎𝑛 −1 ⋅2𝑛 𝑎𝑛 −1 ⋅ 𝑛 C(cid:137) =( ) 2 +1 D(cid:137) =( ) 3 𝑛 𝑛 𝑛 −2 𝑛 −1 (cid:22)(cid:232)(cid:50)1 𝑎 - 𝑛 3(cid:28)(cid:89) − 2 1 024 ⋅ ·(cid:83)(cid:84)𝑛 ·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:7)(cid:303)(cid:187)6(cid:286)(cid:304) 𝑎𝑛 (cid:87)(cid:305) − (cid:306) 1 (cid:37)(cid:307) ⋅ (cid:308)𝑛(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:11)(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:13)(cid:37)(cid:156)(cid:157)(cid:120)(cid:87)(cid:80)(cid:80)(cid:315)(cid:13)(cid:316) (cid:317)(cid:231)(cid:318)(cid:319)(cid:171)(cid:37)(cid:112)(cid:320)(cid:148)(cid:87)(cid:27)(cid:140)(cid:321)(cid:247)(cid:248)(cid:181)(cid:50)(cid:181)(cid:131)(cid:37)(cid:322)(cid:49)(cid:75)(cid:71)(cid:205)(cid:87)(cid:154)(cid:253)“(cid:106)(cid:13)”(cid:137)(cid:27)3(cid:323)(cid:320)(cid:148)(cid:146)(cid:104)(cid:324)(cid:231)(cid:107)(cid:147)(cid:55)(cid:257)(cid:325)(cid:106)(cid:87) (cid:237)(cid:131)(cid:27)6(cid:323)(cid:320)(cid:148)(cid:161)(cid:326)10(cid:323)(cid:320)(cid:148)(cid:146)(cid:104)(cid:324)(cid:231)(cid:327)(cid:117)(cid:37)(cid:257)(cid:325)(cid:106)(cid:137)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:11)(cid:312)(cid:315)1(cid:87)3,6,10(cid:47)(cid:154)(cid:253)“(cid:257)(cid:325)(cid:13)”(cid:161)“(cid:257) (cid:325)(cid:106)(cid:13)”(cid:137)(cid:237)(cid:120)(cid:328)(cid:321)(cid:329)(cid:324)(cid:109)(cid:73)(cid:55)(cid:81)(cid:106)(cid:13)(cid:57)(cid:268)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:57)(cid:330)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:75)(cid:290)(cid:328)(cid:129)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:137)(cid:138)(cid:331)(cid:164)(cid:150)(cid:332)(cid:324)(cid:109)(cid:37)(cid:330)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:87) (cid:151)(cid:152)(cid:86)20(cid:147)(cid:330)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:215)(cid:89) (cid:90)A(cid:137)778 B(cid:137)779 C(cid:137)780 D(cid:137)781 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:28) (cid:22)(cid:249)2(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:333)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) =3(cid:87) =21(cid:87)(cid:40)(cid:41) (cid:91)(cid:41)(cid:13) (cid:37)(cid:107)(cid:177)(cid:126)(cid:13)(cid:87) 1 10 (1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:87)(cid:166)(cid:39) (cid:118) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 2000 (2)(cid:193){𝑎𝑛}(cid:91)(cid:35) , , , (cid:334)𝑎 (cid:231)(cid:87)(cid:335)(cid:336)(cid:337){ }(cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:137) 2 4 6 8 𝑏𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ,⋯, 𝑏𝑛 6 9 (cid:22)(cid:232)(cid:50)2-1(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:338)(cid:339)(cid:52)(cid:340)·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87)(cid:192)(cid:135) = (cid:87)(cid:190) = , = . 1 2 5 3 7 𝑎𝑛 (1)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) . 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛+ 𝑎 𝑎 (2)(cid:39)(cid:341)(cid:10){ }(cid:91)𝑎𝑛(cid:76)(cid:342)(cid:13)(cid:49). 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)2-2(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:257)(cid:333)·(cid:23)(cid:343)·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:192)(cid:135) (cid:91)(cid:144)(cid:13)(cid:126)(cid:13)(cid:190)(cid:331)(cid:344)(cid:240)(cid:65) 5, 1 (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) = 2 𝑓(𝑥) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑓 1 ( N )(cid:137) 1 ∗ (1 1 ) −(cid:39)𝑛(cid:13)+(cid:49){ 𝑛∈ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) (2)(cid:347)(cid:13)(cid:49){𝑎𝑛}(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:193)| | 2( N )(cid:87)(cid:39)m(cid:37)(cid:348)(cid:112)(cid:349)(cid:137) ∗ 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑚 ≥ 𝑚∈(cid:22)(cid:232)(cid:50)2-3(cid:28)(cid:89)24-25(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:49)“(cid:96)(cid:86)(cid:250)(cid:41)(cid:350)(cid:87)(cid:193)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:275)(cid:107)(cid:41)(cid:36)(cid:187)(cid:107)(cid:41)(cid:37)(cid:351)(cid:81) (cid:48)(cid:215)(cid:237)(cid:107)(cid:80)(cid:13)d(cid:87)(cid:291)(cid:352)(cid:13)(cid:49){ }(cid:215)(cid:47)(cid:351)(cid:81)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)d(cid:154)(cid:253)(cid:204)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:7)(cid:351)(cid:81)(cid:48)(cid:137)”𝑎(cid:192)𝑛(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:215)“(cid:47)(cid:351)(cid:81)(cid:48)(cid:13) (cid:49)”(cid:87)(cid:190) =1(cid:87) =3(cid:137) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 1 5 (1)(cid:353)(cid:354)(cid:345)𝑎(cid:346)(cid:209)(cid:210)(cid:37)𝑎 (cid:13)(cid:49){ }(cid:91)(cid:355)(cid:356)(cid:107)(cid:87)(cid:166)(cid:357)(cid:358)(cid:15)(cid:35)(cid:118) (2)(cid:39)(cid:55)(cid:41)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)𝑎(cid:7)𝑛 (cid:50)(cid:87)(cid:166)(cid:353)(cid:354)(cid:290)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:137) 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:35)a (cid:36)S (cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28) n n 1 (cid:22)(cid:249)3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:362)(cid:363)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:193) =2 (cid:87)(cid:291)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) 2 𝑛−1 (cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 − 𝑎𝑛 1 =1, A(cid:137) = 2 B(cid:137) =2 2 2 ,𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 C(cid:137) = D(cid:137) =2 ,𝑛≥ 𝑛−2 𝑛−2 (cid:22)(cid:232)(cid:50)3𝑎- 𝑛 1(cid:28)(cid:89)(−223)-24(cid:24)(cid:250)(cid:333)·(cid:364)(cid:365)(cid:117)(cid:366)·(cid:53)(cid:113)(cid:90)(cid:192)(cid:135)𝑎(cid:13)𝑛 (cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) = 2+1(cid:87)(cid:291)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) (cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 A(cid:137) = +1 B(cid:137) = 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−21 =1, C(cid:137) = +1 D(cid:137) = 2 , 𝑛 𝑎𝑛 2𝑛 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)3-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:367)(cid:293)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) 2𝑛−1, 𝑛≥ = +1(cid:87)(cid:291) =(cid:89) (cid:90) 2024 𝑛=1 𝑎𝑘 A(cid:137)2024 B(cid:137)2023 C(cid:137) 𝑎𝑛 4047 𝑘 2𝑘−1 D 𝑛 (cid:137)4048 𝑎 (cid:22)(cid:232)(cid:50)3-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:362)(cid:363)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346)2 +22 +23 + +2 = 2 (cid:87)(cid:291){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7) 1 2 3 𝑛 𝑛 (cid:50)(cid:215)(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑛 𝑛⋅ 𝑎𝑛 =1 1 A(cid:137) = B(cid:137) = + 2 2 𝑛+ 1,𝑛 C(cid:137) 𝑎𝑛 = 𝑛 1,𝑛≥ D(cid:137) 𝑎𝑛 = =1 2 1,𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:43)(cid:32)(cid:28) 𝑛−1,𝑛≥ 1 (cid:22)(cid:249)4(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:333)·(cid:23)(cid:343)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:371)·(cid:372)(cid:11)(cid:25)(cid:335)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) =1(cid:87) = + (cid:87)(cid:291) (cid:47)(cid:172) 1 +1 ( 1) (cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑎𝑛1 1 A(cid:137) B(cid:137) C(cid:137) D(cid:137) 2𝑛−1 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛 2𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)4-1(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:364)(cid:365)·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) =2, = +ln 1+ 1 (cid:87)(cid:291) =(cid:89) (cid:90) 1 +1 A(cid:137)2+ ln B(cid:137)2+( 𝑎𝑛 )ln 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 C(cid:137)2+l𝑛n 𝑛 D(cid:137)2+ 𝑛+−1ln 𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)4-2(cid:28)(cid:89)𝑛2024·(cid:373)(cid:339)(cid:374)(cid:338)·(cid:107)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346)𝑛(cid:10) 𝑛=9, = (cid:87)(cid:291) =(cid:89) (cid:90) 1 +1 4 A(cid:137)21 B(cid:137)23 C(cid:137)𝑎𝑛25 𝑎 𝑎𝑛 D−(cid:137)𝑎𝑛27 2𝑛 𝑎 (cid:22)(cid:232)(cid:50)4-3(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:375)(cid:376)(cid:377)(cid:378)·(cid:53)(cid:379)(cid:90)(cid:267)(cid:357)(cid:380)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:11)(cid:312)(cid:37)(cid:13)(cid:11)(cid:381)(cid:27)(cid:318)(cid:382)(cid:161)(cid:112)(cid:320)(cid:148)(cid:100)(cid:313)(cid:314) (cid:13)(cid:137)(cid:328)(cid:321)(cid:201)(cid:202)(cid:318)(cid:382)(cid:161)(cid:112)(cid:320)(cid:383)(cid:164)(cid:322)(cid:49)(cid:37)(cid:106)(cid:384)(cid:315)(cid:13)(cid:71)(cid:231)(cid:385)(cid:129)(cid:205)(cid:87)(cid:138)(cid:331)(cid:37)1(cid:87)5(cid:87)12(cid:87)22(cid:352)(cid:215)(cid:268)(cid:236)(cid:106)(cid:13)(cid:87)(cid:193)(cid:268)(cid:236)(cid:106) (cid:13)(cid:164)(cid:45)(cid:231)(cid:37)(cid:13)(cid:49)(cid:347)(cid:253){ }(cid:87)(cid:333)(cid:49)(cid:116)(cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:41)(cid:37)(cid:91)(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 A(cid:137)35 B(cid:137)70 C(cid:137)145 D(cid:137)170 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:42)(cid:44)(cid:32)(cid:28) (cid:22)(cid:249)5(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:92)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:389)·(cid:53)(cid:379)(cid:90)(cid:192)(cid:135) =2(cid:87) = ( )(cid:87)(cid:291)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:91) = 1 +1 (cid:89)(cid:390)(cid:390)(cid:90) 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 A(cid:137)n B(cid:137) +1 C(cid:137)2n D(cid:137) 1 𝑛 𝑛+ 𝑛 1 𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)5-1(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:333)·(cid:338)(cid:339)·(cid:53)(cid:113)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) = (cid:87) = ( 2(cid:87) )(cid:87)(cid:291)(cid:13)(cid:49){ } 1 3 1 2𝑛−3 ∗ (cid:37)(cid:40)(cid:41) =(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 2𝑛+ 𝑎𝑛−1 𝑛≥ 𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 𝑎𝑛 1 1 A(cid:137) B(cid:137) 4 2 2 2 1 𝑛 −1 𝑛 + 1 1 C(cid:137) D(cid:137) ( )( 3) ( 1)( 3) 2𝑛−1 2𝑛+ 𝑛+ 𝑛+ (cid:22)(cid:232)(cid:50)5-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:255)(cid:256)(cid:391)(cid:392)·(cid:107)(cid:258)(cid:90)(cid:393)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190) =1(cid:87){ + }(cid:215)(cid:80)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:291) = 1 (cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛 1 2 A(cid:137) B(cid:137) 3 1) 𝑛−1 𝑛(𝑛+ 6 C(cid:137) D(cid:137) 2) 3 5−2𝑛 (𝑛+1)(𝑛+ ( 1) (cid:22)(cid:232)(cid:50)5-3(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:257)(cid:333)·(cid:83)(cid:84)·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87) =4(cid:87) = ( )(cid:87) 2 2 𝑛+ 𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑛∈𝑁(cid:291)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215)(cid:89) (cid:90) A(cid:137)𝑎𝑛 = ( ) B(cid:137) =2 ( ) ∗ 𝑛 ∗ C(cid:137)𝑎𝑛=2𝑛+𝑛2(∈𝑁 ) D(cid:137)𝑎𝑛 = 2(𝑛∈𝑁 ) ∗ ∗ (cid:22)(cid:21)(cid:29)6𝑎 𝑛 (cid:45)𝑛(cid:46)(cid:32)(cid:28)𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 𝑛 𝑛∈𝑁 (cid:22)(cid:249)6(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75) =2 (cid:137) (1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛−𝑛 (2)(cid:341)(cid:358) 𝑎𝑛 (cid:10) 1 1 + 2 1 + 3 1 + + 1 < 5 (cid:137) 𝑎 +2 𝑎 +4 𝑎 +6 𝑎𝑛+ 4 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎2𝑛 1 (cid:22)(cid:232)(cid:50)6-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:367)(cid:293)(cid:293)(cid:394)·(cid:107)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87) =1(cid:87)(cid:190)(cid:345)(cid:346)( +1) = 1 +1 2 ( +1). 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑛 𝑆𝑛 𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 (1𝑛)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) (2)(cid:393) = 𝑎𝑛2+3 cos (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) . 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛 ⋅ 𝑛π 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)6-2(cid:28)(cid:89)2024(cid:24)(cid:257)(cid:333)·(cid:362)(cid:363)(cid:231)(cid:165)·(cid:26)(cid:21)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190)(cid:345)(cid:346) =2 + (cid:137) (1)(cid:39)(cid:341)(cid:10)(cid:13)(cid:49){ }(cid:215)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−1 ( 𝑎𝑛−)2 (2)(cid:192)(cid:135) = (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:137) 3 𝑛 2−𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)6-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190)2 =( +2)( +1)(cid:137) (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛3 1 1 1 1 (2)(cid:39)(cid:341)(cid:10) < + + + (cid:137) 4 1 2 3 − 𝑆 𝑆 ⋅⋅⋅ 𝑆𝑛≤− (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:28) 1 1 (cid:22)(cid:249)7(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:257)(cid:171)·(cid:395)(cid:396)(cid:397)(cid:363)·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) =1(cid:87)(cid:190)(cid:65)( , )(cid:111)(cid:244)(cid:398) = (cid:171). 1 +1 (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑦 𝑥−2 (2)(cid:13)(cid:49){ 𝑎𝑛 }(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:39)(cid:223)(cid:399) < (cid:144) *(cid:173)(cid:231)(cid:400)(cid:37) (cid:89) Z(cid:90)(cid:37)(cid:348)(cid:112)(cid:349). +1 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 3𝑚−12 𝑛∈𝑁 𝑚 𝑚∈ (cid:22)(cid:232)(cid:50)7-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190) = (cid:87) + = + 2 1 +1 +1 + (cid:87) N*(cid:137) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 −2 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 2𝑛𝑎𝑛−𝑛 (1)𝑛(cid:39)(cid:13)𝑛(cid:49)∈{ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) (2)(cid:193) +1 𝑎𝑛2( 3 +3 )(cid:144)(cid:188)(cid:189)(cid:37) N*(cid:173)(cid:231)(cid:400)(cid:87)(cid:39)(cid:170)(cid:13) (cid:37)(cid:348)(cid:112)(cid:349)(cid:137) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 ≤ 𝑘⋅ −𝑎𝑛 𝑛∈ 𝑘 (cid:22)(cid:232)(cid:50)7-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:375)(cid:376)(cid:401)(cid:366)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) + =4(cid:87)(cid:190) , , (cid:231)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:137) 6 7 1 4 5 (1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 (2)(cid:347) 𝑎𝑛(cid:215)(cid:13)(cid:49){ }(cid:187) (cid:41)(cid:37)(cid:44)(cid:402)(cid:87)(cid:193) <0(cid:87)(cid:39) (cid:37)(cid:348)(cid:117)(cid:349)(cid:137) 1 𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)7-3(cid:28)(cid:89)2023·(cid:338)(cid:339)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87) =1(cid:87) +1) = +1)(cid:137) 1 +1 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 2𝑛𝑆𝑛 −2(𝑛 𝑆𝑛 𝑛(𝑛(1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41) (cid:118) (2)(cid:393) = 𝑎𝑛 +2 (cid:87)(cid:39)(cid:13) 𝑎𝑛 (cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75) (cid:137) 2 +2 𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛 ⋅𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:35)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:13)(cid:49)(cid:40)(cid:41)(cid:28) 3 (cid:22)(cid:249)8(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190) = + ( )(cid:137) 4 3(2𝑛−1) ∗ (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 4𝑛 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁 𝑎𝑛3 3 (2)(cid:393) = (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:39)(cid:341)(cid:10) < (cid:137) 2𝑛) 4 𝑏𝑛 (𝑛+ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)8-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:347) (cid:215)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:87)(cid:192)(cid:135) =1,{2 }(cid:91)(cid:7)(cid:48)(cid:215)1(cid:37)(cid:47)(cid:48) 1 (cid:13)(cid:49). 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛−𝑆𝑛 (1)(cid:341)(cid:358)(cid:13)(cid:49){ +1}(cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:166)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) ( 𝑎𝑛1) 𝑎𝑛 (2)(cid:193) = (cid:87) (cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:348)(cid:117)(cid:41)(cid:87)(cid:39)(cid:55)(cid:175)(cid:13)k(cid:37)(cid:349). 2 𝑛 𝑛+ 𝑏𝑛 𝑆𝑛+𝑛+ 𝑏𝑘 𝑏𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)8-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:243)(cid:41) =1(cid:87)(cid:190)(cid:345)(cid:346) + = +1. 1 +1 (1)(cid:341)(cid:358) 3 + 1 (cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:166)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37) 𝑎𝑛 (cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) 𝑎 (cid:118) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 3𝑛 2 4 (2)(cid:91)(cid:355)(cid:403)𝑎𝑛 (cid:111)−(cid:55)𝑛(cid:175)(cid:13) (cid:87)(cid:399)(cid:211)(cid:144)(cid:188)(cid:189)(cid:37)(cid:55)(cid:175)(cid:13)𝑎(cid:87) 𝑛 + = (cid:281)(cid:231)(cid:400)(cid:404)(cid:193)(cid:403)(cid:111)(cid:87)(cid:39)(cid:109) (cid:37)(cid:349)(cid:118)(cid:193)(cid:116)(cid:403)(cid:111)(cid:87) + (cid:405)(cid:357)(cid:358)(cid:15)(cid:35). 𝑚 𝑛 𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑎𝑚 𝑛 𝑚(cid:22)(cid:232)(cid:50)8-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:376)(cid:293)(cid:339)(cid:406)·(cid:250)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190)(cid:345)(cid:346) =1, =3, + = 1 2 +2 . 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑘 +1 𝑎(1𝑛)(cid:407) =2(cid:120)(cid:87)(cid:39) ; 10 𝑘 5 𝑆 (2)(cid:193) = (cid:87)(cid:393) = (cid:87)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50). 2 +1 𝑘 𝑏𝑛 𝑎𝑛 −2𝑎𝑛 𝑏𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)(cid:28) (cid:22)(cid:249)9(cid:28)(cid:89)2024(cid:24)(cid:257)·(cid:83)(cid:84)·(cid:26)(cid:21)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) =2(cid:87) + +1=0(cid:87)(cid:347)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37) 1 +1 +1 (cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:187)n(cid:41)(cid:402)(cid:215) (cid:87)(cid:291)(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛−𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑇𝑛 1 A(cid:137)(cid:13)(cid:49){ }(cid:91)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49) B(cid:137) = 2024 3 C(cid:137) 𝑎> 𝑛 D(cid:137) 𝑎 =1 2024 2024 2024 (cid:22)(cid:232)(cid:50)9𝑆-1(cid:28)(cid:89)2𝑇3-24(cid:24)(cid:250)(cid:333)·(cid:292)(cid:408)(cid:409)(cid:410)·(cid:53)(cid:113)(cid:90)(cid:13)(cid:49)𝑇{ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190)(cid:345)(cid:346) =1(cid:87) = 1 +1 2 是奇数 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎𝑛 1 (cid:87)(cid:291)(cid:333)(cid:49)(cid:357)(cid:32)(cid:55)(cid:411)(cid:37)(cid:119)(cid:89) (cid:90) 是偶数 𝑎𝑛,𝑛 𝑎𝑛, A 𝑛 (cid:137) = 1 B(cid:137){ }(cid:91)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49) C(cid:137) =2 D(cid:137) =20 3 2 2022 18 𝑎 𝑎𝑛 𝑎 +𝑆 1 1 2 2 (cid:22)(cid:232)(cid:50)9-2(cid:28)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:257)(cid:171)·(cid:292)(cid:408)(cid:412)(cid:413)·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:126)(cid:13) = 1 < <1(cid:87)(cid:193)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) 1 = 𝑥 2,𝑥≤ 1 𝑓(𝑥) 2𝑥−1, 𝑥 𝑎𝑛 𝑎 7 (cid:87) = ( )(cid:87) N (cid:291)(cid:333)(cid:49)(cid:357)(cid:32)(cid:55)(cid:411)(cid:37)(cid:91)(cid:89) (cid:90) 𝑥−1,𝑥≥ 3 +1 ∗ 𝑎 A 𝑛 (cid:137)(cid:195)(cid:13) 𝑓 (cid:49)𝑎𝑛 (cid:91)(cid:52) 𝑛 (cid:53) ∈ (cid:13)(cid:49)(cid:190)(cid:52)(cid:53)(cid:215)3 B(cid:137)(cid:195)(cid:13)(cid:49)(cid:116)(cid:91)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49) 3 7 C(cid:137) + = D(cid:137) + = 2023 2024 2 2023 2024 6 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1 (cid:22)(cid:232)(cid:50)9-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:92)(cid:386)(cid:391)(cid:414)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135) (cid:91){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) =2(cid:87) = ， N (cid:87)(cid:291)(cid:333) 1 ∗ (cid:49)(cid:20)(cid:41)(cid:415)(cid:416)(cid:37)(cid:91)(cid:89) (cid:90) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 𝑎𝑛 1−𝑎𝑛−1 𝑛≥2,𝑛∈A(cid:137) =2 B(cid:137) =1012 2021 2021 C(cid:137)𝑎 =1 D(cid:137)𝑆{ }(cid:91)(cid:104)3(cid:215)(cid:52)(cid:53)(cid:37)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:49) +1 +2 (cid:22)(cid:21)(cid:29)1𝑎03 𝑛 𝑎(cid:55)3𝑛(cid:56)(cid:57)𝑎3(cid:58)𝑛 (cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28) 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:249)10(cid:28)(cid:89)2024·(cid:94)(cid:417)(cid:380)(cid:418)(cid:75)(cid:419)(cid:63)·(cid:107)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) , =3(cid:190) + =2 2+ + 1 +1 N*(cid:137) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛𝑎 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 6𝑛 3,𝑛∈ (1)(cid:39) (cid:37)(cid:349)(cid:118) 9 (2)(cid:39)(cid:13)𝑆 (cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:137) 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)10-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:338)(cid:364)(cid:420)(cid:378)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) +1=4 (cid:87) =2(cid:87) . 2 1 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑛 ∗ (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑎 𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 (2)(cid:393) = (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:39)(cid:341)(cid:10) < < . 1 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛 𝑎𝑛+ 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑛−2 𝑆𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)10-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:367)(cid:293)(cid:394)(cid:421)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:347) (cid:215)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:87)(cid:192)(cid:135) = ( +1) = 2 1 +1 + . 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 1,𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 (1)𝑛(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) (2)(cid:193) 𝑎𝑛= +[ +1]2 (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) . 𝑛 𝑛 𝑛 𝑏𝑛 (−1) 𝑎𝑛 (−1) 𝑏𝑛 2𝑛 𝑇2𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)10-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:422)(cid:339)(cid:391)(cid:318)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:193)(cid:181)(cid:41)(cid:423)(cid:215)(cid:55)(cid:13)(cid:37)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) 2 = (cid:89) * (cid:215) +2 +1 +1 𝑐𝑛 5 𝑐𝑛𝑐𝑛 15−𝑐𝑛 𝑘𝑐𝑛𝑐𝑛 𝑛∈𝑁 ,𝑘 (cid:80)(cid:13)(cid:90)(cid:87)(cid:291)(cid:352){ }(cid:215)“(cid:51)(cid:48)(cid:47)(cid:13)(cid:49)”.(cid:192)(cid:135){ }(cid:215)“(cid:51)(cid:48)(cid:47)(cid:13)(cid:49)”(cid:87)(cid:190) = , = ,3 =2 . 1 8 2 16 4 5 𝑐𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎(1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 为奇数 (2)(cid:393) = (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) . + 为偶数 𝑎𝑛,𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛−1 1,𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:62)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)(cid:28) (cid:22)(cid:249)11(cid:28)(cid:89)2024·(cid:92)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:389)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135) (cid:91)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:87) = =20(cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:91)(cid:7)(cid:51)(cid:117)(cid:172) 5 11 1(cid:37)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:190) 2= (cid:87) =12. 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑆 𝑎 𝑏𝑛 3 6 4 2 (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:75){ 𝑏}(cid:37)(cid:40)𝑏(cid:41)(cid:7)𝑏 (cid:50)−𝑏(cid:118) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 (2)(cid:393) = (cid:87)(cid:39)(cid:399) (cid:241)(cid:211)(cid:348)(cid:117)(cid:349)(cid:120) (cid:37)(cid:349). 𝑆𝑛 𝑐𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛 𝑛 ( ) (cid:22)(cid:232)(cid:50)11-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:424)(cid:388)(cid:376)(cid:425)(cid:426)(cid:427)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:402)(cid:215) =3 𝑛𝑛 2 −1 (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) 1 𝑎𝑛 𝑇𝑛 𝑏𝑛 𝑏 =1(cid:87) =1(cid:89) 2(cid:87) (cid:90)(cid:137) ∗ 𝑏𝑛− 𝑏𝑛−1 𝑛≥ 𝑛∈𝑁 (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:87){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) (2)(cid:428)(cid:13)(cid:49){𝑎𝑛}(cid:87){𝑏𝑛}(cid:113)(cid:37)(cid:7)(cid:429)(cid:41)(cid:96)(cid:112)(cid:212)(cid:117)(cid:322)(cid:49)(cid:45)(cid:231)(cid:23)(cid:13)(cid:49){ }(cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:137) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛 𝑐𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)11-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:362)(cid:363)(cid:430)(cid:431)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135){ }(cid:91)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87){ }(cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:190){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)2 = 1 =2(cid:87) =5( )(cid:87)(cid:111) =4( 𝑎)(cid:87)𝑛 = +2𝑏(cid:153)𝑛 (cid:160)(cid:147)(cid:209)(cid:210)(cid:113)(cid:188)(cid:20)(cid:290)𝑏𝑛(cid:113)(cid:107)(cid:147)𝑛(cid:87)(cid:432)(cid:231)(cid:333)𝑆𝑛(cid:433)(cid:54)𝑎(cid:21) 1 5 4 3 5 4 3 +1 (cid:37)𝑏 (cid:74)(cid:105). 𝑎 𝑎 −𝑎 ①𝑏 𝑏 −𝑏 ②𝑏𝑛 𝑆𝑛 (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:75){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑏𝑛(2)(cid:393)(cid:13)(cid:49) (cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:39) . 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)11-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:434)(cid:435)(cid:364)(cid:436)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135){ }(cid:215)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:193) =3(cid:87) =6 +10(cid:118)(cid:13)(cid:49) 2 8 3 { }(cid:345)(cid:346)(cid:10) 1 1 1 = 1 (cid:87) 𝑎𝑛 . 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆 𝑆 1 2 ∗ (1 𝑏 ) 𝑛 (cid:39){ }(cid:75){ 1− }(cid:37)𝑏 (cid:40) 1 (cid:41) − (cid:7)𝑏 (cid:50) ⋯ (cid:118) 1−𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛∈𝑁 (2)(cid:144)(cid:188)𝑎𝑛(cid:189)(cid:37)𝑏𝑛 (cid:87)(cid:428){ }(cid:113)(cid:437)(cid:230)(cid:438)(cid:143)(2 ,2 )(cid:94)(cid:41)(cid:37)(cid:147)(cid:13)(cid:347)(cid:215){ }. ∗ 𝑚 2𝑚 (cid:89)i(cid:90)(cid:39) (cid:118)𝑚∈𝑁 𝑎𝑛 𝑐𝑚 𝑐𝑚 2 (cid:89)ii(cid:90)(cid:347) = (cid:87){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:347)(cid:215) (cid:87)(cid:91)(cid:355)(cid:403)(cid:111) (cid:87) (cid:87)(cid:399)(cid:211) +1 = +1(cid:231)(cid:400)(cid:404)(cid:193)(cid:403)(cid:111)(cid:87) 2 𝑇𝑚 −𝑡 (cid:39)(cid:109) (cid:37) 𝑑𝑚 (cid:349)(cid:118)(cid:193) 𝑏2( (cid:116) 𝑚−1 (cid:403) ) −(cid:111)𝑐𝑚 (cid:87)(cid:405)𝑑𝑚 (cid:357)(cid:358)(cid:15) 𝑚 (cid:35). 𝑇𝑚 𝑚 𝑡∈𝑁 ∗ 𝑇𝑚−𝑡 𝑑𝑡 𝑚𝑡 (cid:22)(cid:21)(cid:29)12 (cid:63)(cid:64)(cid:13)(cid:49)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28) (cid:22)(cid:249)12(cid:28)(cid:89)2024·(cid:439)(cid:378)(cid:439)(cid:431)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:55)(cid:41)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190)(cid:345)(cid:346) =1, = +1.(cid:335)(cid:39): 1 2 𝑎𝑛𝑎𝑛 (1)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50); 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 (2)(cid:347) = 𝑎𝑛 (cid:87)(cid:13)(cid:49) 1 (cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:407) > 2 (cid:120)(cid:87)(cid:39)(cid:345)(cid:346)(cid:209)(cid:210)(cid:37)(cid:348)(cid:112)(cid:175)(cid:13) . 9 +1 𝑐𝑛 𝑎2𝑛 𝑐𝑛𝑐𝑛 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:232)(cid:50)12-1(cid:28)(cid:89)2024·(cid:367)(cid:293)(cid:440)(cid:339)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:181)(cid:41)(cid:423)(cid:215)(cid:55)(cid:13)(cid:37)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) ,2 = ( +1)(cid:190) 3 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 = . 2 2 1 𝑎 𝑎 (1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛(2)(cid:193) = ,(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) . 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 1 1 1 (cid:22)(cid:232)(cid:50)12-2(cid:28)(cid:89)2024·(cid:292)(cid:293)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190) + + + = . 1 2 1 2𝑛 (1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆 𝑆 ⋅⋅⋅ 𝑆𝑛 𝑛+ 𝑎𝑛 ( )( 2) (2)(cid:193) = (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) . 𝑛−1 𝑛++1 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 1) (cid:22)(cid:232)(cid:50)12-3(cid:28)(cid:89)2024·(cid:376)(cid:293)(cid:441)(cid:392)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:111)(cid:55)(cid:41)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87)(cid:192)(cid:135) =1(cid:87)(cid:190) +1=1(cid:137) 1 𝑛𝑎+𝑛1 (𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) (2)(cid:39)(cid:341)(cid:10)2𝑎𝑛 ( +1) <3(cid:137) 𝑛 ≤ 𝑎𝑛 (cid:107)(cid:57)(cid:359)(cid:20)(cid:21) 1(cid:137)(cid:89)2024·(cid:439)(cid:378)(cid:442)(cid:339)·(cid:250)(cid:258)(cid:90) *(cid:87)(cid:13)(cid:49)1(cid:87) (cid:87)7(cid:87) (cid:87)31(cid:87) (cid:37)(cid:107)(cid:147)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215)(cid:89) (cid:90) 𝑛∈𝑁 −3 −15 ⋅⋅⋅ A(cid:137) =(2 )cos B(cid:137) =( 2 )sin 2 𝑛π 𝑛 𝑛 C(cid:137) 𝑎𝑛 =2 −1 𝑛π D(cid:137) 𝑎𝑛 =(1−) ( 2 ) 𝑛 𝑛 𝑛 2(cid:137)(cid:89)20𝑎2 𝑛 4·(cid:23)(cid:343)−(cid:443)1(cid:444)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:193) = + 𝑎𝑛(cid:87) −=11(cid:291)1− =(cid:89) (cid:90) 1 10 A(cid:137)55 B(cid:137)56 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 C𝑛(cid:137)−415 𝑎 𝑎 D(cid:137)46 3(cid:137)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:333)·(cid:338)(cid:339)(cid:339)(cid:431)·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:41)(cid:345)(cid:346) = (cid:87)(cid:200) =1(cid:87)(cid:291) (cid:445)(cid:89) (cid:90) +1 2 1 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛2 2 1 1 A(cid:137) B(cid:137) C(cid:137) D(cid:137) ( 1)2 ( 1) 2 𝑛 4(cid:137)(cid:89)23 𝑛 -2 + 4(cid:24)(cid:250)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252) 𝑛 (cid:253) 𝑛+ (cid:254)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) − = 1 1(cid:87)(cid:190) =2 + 2𝑛 1 − (cid:87) 1 (cid:291){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:215)(cid:89) (cid:90) 1 +1 A(cid:137) =2 𝑎𝑛 B(cid:137)𝑎 =2 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑛 C(cid:137)𝑎𝑛=2 −+11 D(cid:137)𝑎𝑛 =2 +1 𝑛 𝑛 5(cid:137)(cid:89)20𝑎2 𝑛 4·(cid:446)(cid:408)(cid:447)(cid:448)·(cid:107)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135) (cid:215)(cid:55)(cid:41)(cid:13)(cid:49){ 𝑎}(cid:37)𝑛 (cid:187) (cid:41)(cid:37)(cid:44)(cid:402)(cid:87)(cid:190) =2, 2= +1(cid:87)(cid:291) =(cid:89) (cid:90) 1 5 𝑛 A(cid:137)16 B(cid:137)32 𝑇𝑛 C(cid:137)𝑎𝑛64 𝑛 D(cid:137)𝑎128 𝑇𝑛 𝑎𝑛 𝑎 6(cid:137)(cid:89)2024·(cid:375)(cid:376)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346)( ) ( ) =4 2 +3( *), =1(cid:87) 1 (cid:291) =(cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 2𝑛−3 𝑎𝑛− 2𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑛 −8𝑛 𝑛≥2,𝑛∈𝑁 𝑎 𝑎A𝑛(cid:137) B(cid:137)2 2 C(cid:137) D(cid:137) 2 7(cid:137)(cid:89)2022𝑛4−·(cid:449)2(cid:339)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)𝑛(cid:192)−(cid:135)𝑛(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:7)2(cid:51)𝑛−(cid:116)1(cid:215)1(cid:87)(cid:193) =2(cid:87)((cid:190)2𝑛3−1,) (cid:231)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:291) = 1 1 2 3 (cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ,−𝑎 𝑎𝑛 A(cid:137)2×3 B(cid:137)3 C(cid:137)2× D(cid:137) 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛 (−3) 1 (−3) 1 8(cid:137)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:333)·(cid:292)(cid:408)(cid:450)(cid:451)·(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) = (cid:87) = + (cid:87)(cid:291){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:215)(cid:89) (cid:90) 1 2 +1 2 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 +𝑛 𝑎𝑛 1 3 1 A(cid:137) = (cid:87) 1(cid:87) N B(cid:137) = + (cid:87) 1(cid:87) N 1 2 ∗ ∗ 𝑎𝑛 𝑛+ 𝑛≥ 𝑛∈ 𝑎𝑛 𝑛 𝑛≥ 𝑛∈ 3 1 3 1 C(cid:137) = (cid:87) 1(cid:87) N D(cid:137) = (cid:87) 1(cid:87) N 2 2 ∗ ∗ (cid:250)(cid:57)(cid:129)(cid:20) 𝑎𝑛 (cid:21) − −𝑛 𝑛≥ 𝑛∈ 𝑎𝑛 −𝑛 𝑛≥ 𝑛∈ 1 1 1 9(cid:137)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) =1(cid:87) = + + + + ( >1)(cid:87)(cid:291) 1 1 2 2 3 3 (cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑛−1𝑎𝑛−1 𝑛 =1 A(cid:137) =1 B(cid:137) = C(cid:137) = D(cid:137) = 2 2 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑛 2 𝑛1,𝑛 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 10(cid:137)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87)(cid:193) = (cid:403)(cid:111)(cid:348)(cid:117)(cid:349)(cid:87)(cid:291)(cid:13)(cid:49){,𝑛≥}(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:146)(cid:104)(cid:91)(cid:89) (cid:90) 1 2 1 𝑎𝑛 𝑇𝑛 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛 𝑎𝑛 A(cid:137) = B(cid:137) = 𝑛+ 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−7 C(cid:137) = 1 D(cid:137) =sin 2 𝑛 4 𝑛π 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 11(cid:137)(cid:89)2024·(cid:292)(cid:408)(cid:412)(cid:413)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) =1(cid:87) = (cid:87) (cid:87)(cid:291)(cid:333)(cid:49)(cid:208)(cid:61)(cid:415)(cid:416)(cid:37)(cid:91) 1 +1 1 𝑎𝑛 ∗ (cid:89) (cid:90) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁 A(cid:137) = 2 B(cid:137)(cid:403)(cid:111) (cid:87)(cid:399)(cid:211) 1 > 1 + 1 3 2 +1 2 2− ∗ 𝑎 𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 𝑎𝑛1 1 C(cid:137) D(cid:137) > +1 3 22 92 𝑛+ (cid:257)(cid:57)(cid:124)(cid:125) 𝑎 (cid:21) 𝑛 ≤𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎 12(cid:137)(cid:89)2024·(cid:367)(cid:293)(cid:394)(cid:421)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:107)(cid:13)(cid:49)(cid:10) (cid:87)(cid:291)(cid:195)(cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:146)(cid:104)(cid:149)(cid:150)(cid:215) . 13(cid:137)(cid:89)2023·(cid:83)(cid:84)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346)0,2=,−16(cid:87),12,−=202,(cid:87)30,⋯ + +2 =0 ( N )(cid:291)(cid:195) 1 2 +1 ∗ (cid:13)(cid:49)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) (cid:137) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑛≥2,𝑛∈ 14(cid:137)(cid:89)2024·(cid:446)(cid:293)(cid:339)(cid:395)·(cid:107)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) ( +1) =2(cid:87) =1(cid:87)(cid:291)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:215) (cid:137) +1 1 (cid:362)(cid:57)(cid:74)(cid:105)(cid:21) 𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛 − 𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 15(cid:137)(cid:89)23-24(cid:24)(cid:250)(cid:171)·(cid:83)(cid:84)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:90)(cid:111)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:87) =2(cid:87) =66(cid:87)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50) = + (cid:87)(cid:290)(cid:113)p(cid:87)q 1 17 (cid:215)(cid:80)(cid:13)(cid:87) 0(cid:137) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑝𝑛 𝑞 (1)(cid:39){ }(cid:37)𝑝≠(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) (2)88(cid:91)𝑎𝑛(cid:355)(cid:91)(cid:13)(cid:49){ }(cid:113)(cid:37)(cid:41)(cid:404) 𝑎𝑛 16(cid:137)(cid:89)2024·(cid:83)(cid:84)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:345)(cid:346) +2 +3 + + = 2 +1(cid:137) 1 2 3 𝑛 (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑛𝑎𝑛 (𝑛−1) (2)(cid:193) = 𝑎𝑛 +1 (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) (cid:137) 2 2 𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 +3𝑛+ 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛 17(cid:137)(cid:89)2024·(cid:367)(cid:293)(cid:452)(cid:256)·(cid:107)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:190) =3, + =( +1) . 1 +1 +1 (1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 1 (2)(cid:193) = (cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75) . +1 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛3 18(cid:137)(cid:89)2024·(cid:338)(cid:364)(cid:453)(cid:454)·(cid:258)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:90)(cid:347)(cid:181)(cid:41)(cid:423)(cid:215)(cid:55)(cid:13)(cid:37)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:192)(cid:135) (cid:91) (cid:36) (cid:37)(cid:47)(cid:48) 2 2 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛+ (cid:113)(cid:41). 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 (1)(cid:39){ }(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:7)(cid:50)(cid:118) (2)(cid:393) 𝑎𝑛 = +1 + 2 +1 (cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) (cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87)(cid:341)(cid:358)(cid:10) <2. 𝑎𝑛 +1 𝑎𝑛 +1 𝑏𝑛 𝑆𝑛𝑆𝑛 𝑆𝑛𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛−4𝑛 19(cid:137)(cid:89)2024·(cid:362)(cid:363)(cid:94)(cid:376)·(cid:257)(cid:258)(cid:90)(cid:192)(cid:135)(cid:47)(cid:48)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:7)(cid:48)(cid:215)4(cid:87)(cid:190) +2(cid:87) (cid:87) (cid:231)(cid:47)(cid:51)(cid:13)(cid:49)(cid:87)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187) 2 3 5 n(cid:41)(cid:75)(cid:215) (cid:87) =2(cid:190) =2 +2( 2).𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 −2 𝑏𝑛 1 (1)(cid:39)(cid:13)(cid:49)𝑆{ 𝑛 }𝑏(cid:57){ }(cid:37)𝑆(cid:40)𝑛 (cid:41)(cid:7)𝑆𝑛(cid:50)−1(cid:118) 𝑛≥ (2)(cid:393) = 𝑎𝑛 ( 𝑏𝑛 )(cid:87)(cid:39)(cid:13)(cid:49){ }(cid:37)(cid:187)n(cid:41)(cid:75) . ∗ 𝑐𝑛 𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑛∈𝑁 𝑐𝑛 𝑇𝑛