专题6.5数列求和九大题型（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）_2026版《举一反三》专题练系列（共189个题型）

专题 6.5 数列求和【九大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:28)....................................................................................................................................................3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:39)(cid:45)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)............................................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................7 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:49)(cid:50)(cid:43)-1(cid:45)n(cid:51)(cid:52)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:28).......................................................................................................................8 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:53)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:21)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................9 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:28)..............................................................................................................................10 (cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:23)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:51)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:28)..........................................................................................................12 1(cid:62)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37) (cid:25)(cid:67)(cid:68)(cid:36) (cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:71) (cid:25)(cid:63)(cid:41)(cid:72) 2023(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:87)(cid:10)(cid:88)20(cid:21)(cid:89) (cid:13)(cid:66)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:94)(cid:67)(cid:95)(cid:96)(cid:89)(cid:97)(cid:21)(cid:98)(cid:30) 12(cid:41) (cid:99)(cid:83)(cid:99)(cid:100)(cid:89)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:50)(cid:89)(cid:104)(cid:105)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:106)(cid:25) 2023(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:87)(cid:10)(cid:88)18(cid:21)(cid:89) (cid:95)(cid:96)(cid:107)(cid:108).(cid:109)(cid:110)(cid:82)(cid:86)(cid:51)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:89)(cid:13) 12(cid:41) (cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:21)(cid:51)(cid:98)(cid:30)(cid:25)(cid:118)(cid:89)(cid:119)(cid:120) (1)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:62)(cid:77)(cid:79)(cid:13) 2023 (cid:86)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:87)(cid:43)(cid:15)(cid:13)(cid:45)(cid:10) (cid:121)(cid:77)(cid:122)(cid:123)(cid:119)(cid:89)(cid:114)(cid:114)(cid:124)(cid:116)(cid:125)(cid:13)(cid:66)(cid:126)(cid:127)(cid:55)(cid:21) (cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30) (cid:88)17(cid:21)(cid:89)12(cid:41) (cid:128)(cid:25)(cid:118)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:89)(cid:124)(cid:36)(cid:37)(cid:128)(cid:114)(cid:114)(cid:129)(cid:130)(cid:77) (2)(cid:75)(cid:76)(cid:81)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:62)(cid:81)(cid:77) 2024(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:87)(cid:10)(cid:88)12(cid:21)(cid:89) (cid:30)(cid:62)(cid:131)(cid:13)(cid:62)(cid:132)(cid:133)(cid:77)(cid:55)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:89)(cid:129)(cid:130)(cid:77)(cid:30) (cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:85) 5(cid:41) (cid:136)(cid:135)(cid:137)“(cid:57)(cid:58)”(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:85)(cid:31)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:68)(cid:89) (cid:31) 2024 (cid:86)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:87)(cid:43)(cid:17)(cid:13)(cid:45)(cid:10) (cid:146)(cid:68)(cid:147)(cid:148)(cid:36)(cid:116). (cid:88)17(cid:21)(cid:89)12(cid:41) (cid:149)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:150)(cid:151)(cid:21)(cid:121)(cid:152)(cid:153)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:23)(cid:60) 2024 (cid:86)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:87)(cid:43)(cid:15)(cid:13)(cid:45)(cid:10) (cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:21)(cid:89)(cid:134)(cid:135)(cid:154)(cid:155)(cid:89)(cid:119)(cid:120)(cid:101)(cid:89)(cid:146) (cid:88)18(cid:21)(cid:89)12(cid:41) (cid:68)(cid:147)(cid:148)(cid:36)(cid:116). (cid:22)(cid:156)(cid:157)(cid:67)1 (cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:85)(cid:31)(cid:28) 1(cid:158)(cid:7)(cid:30)(cid:31) (cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:27)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:62)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:36)(cid:37). (cid:162)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:10) . (cid:163)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:10)= . 2(cid:158)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:129)(cid:44)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (1)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:164)(cid:108)(cid:165)(cid:13)(cid:66)(cid:93)(cid:166)(cid:164)(cid:167)(cid:165)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:122)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:122)(cid:168)(cid:36)(cid:37)(cid:51)(cid:13)(cid:66)(cid:42)(cid:169)(cid:89)(cid:170)(cid:36)(cid:37)(cid:137)(cid:168)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:89)(cid:41)(cid:171)(cid:36) (cid:37)(cid:128)(cid:34)(cid:48)(cid:35). (2)(cid:44)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:108)(cid:165)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:121)(cid:89)(cid:168)(cid:172)(cid:172)(cid:136)(cid:135)(cid:36)(cid:116)(cid:89)(cid:170)(cid:173)(cid:107)(cid:144)(cid:44)(cid:39)(cid:36)(cid:37).(cid:98)(cid:174) (cid:52)(cid:29)(cid:89)(cid:168)(cid:175)(cid:27)(cid:172)(cid:39) (cid:135)(cid:44)(cid:36)(cid:116). 3(cid:158)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31) (cid:174)(cid:176)(cid:108)(cid:165)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:177)(cid:39)(cid:93)(cid:166)(cid:108)(cid:165)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:37)(cid:108) (cid:165)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:178)(cid:179)(cid:39)(cid:107)(cid:180)(cid:181)(cid:169)(cid:51)(cid:89)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:165)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39) (cid:37)(cid:185)(cid:168)(cid:27)(cid:186)(cid:31)(cid:112)(cid:36)(cid:89)(cid:174)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:187)(cid:93)(cid:27)(cid:186)(cid:31)(cid:188)(cid:189)(cid:51). 4(cid:158)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31) (cid:190)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:192)(cid:169)(cid:172)(cid:39)(cid:107)(cid:78)(cid:89)(cid:124)(cid:36)(cid:37)(cid:137)(cid:121)(cid:193)(cid:51)(cid:108)(cid:194)(cid:39)(cid:168)(cid:115)(cid:34)(cid:195)(cid:196)(cid:40)(cid:89)(cid:109)(cid:197)(cid:36)(cid:198)(cid:199)(cid:37). (cid:84)(cid:200)(cid:51)(cid:38)(cid:39)(cid:201)(cid:202)(cid:10) (1) . (2) . (3) . (4) . (5) . 5(cid:158)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:31) (cid:174)(cid:176)(cid:108)(cid:165)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:121)(cid:129)(cid:203)(cid:204)(cid:172)(cid:205)(cid:77)“(cid:206)(cid:207)”(cid:51)(cid:172)(cid:39)(cid:51)(cid:37)(cid:34)(cid:77)(cid:122)(cid:77)(cid:105)(cid:208)(cid:108)(cid:165)(cid:84)(cid:13)(cid:89)(cid:182)(cid:183)(cid:36)(cid:184)(cid:165) (cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:185)(cid:168)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:31)(cid:36)(cid:116). (cid:22)(cid:85)(cid:31)(cid:201)(cid:202)(cid:129)(cid:209)(cid:136)(cid:28) (cid:84)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:30) (1) . (2) . (3) . (3) .(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:28) (cid:22)(cid:210)1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) , =8(cid:89)(cid:217) =0. 1 9 (1)(cid:36) (cid:218) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛𝑎 𝑆 𝑆𝑛 (2)(cid:164){ }(cid:144)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) = 4, = (cid:89)(cid:36){ }(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30). 1 5 2 6 𝑆 𝑏𝑛 𝑏 𝑏 −𝑎 𝑏𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)1-1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)(cid:169)(cid:220)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) =1(cid:89)(cid:217) (cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:158) 1 1 3 9 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 (2)(cid:36)(cid:13)(cid:66){𝑎2𝑛 }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)1-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:225)(cid:226)·(cid:108)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156) (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:227)(cid:228) = 1 2+ 1 N )(cid:89)(cid:217) , , 2 2 1 2 3 ∗ 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1(𝑛∈ 𝑎 𝑎 𝑎 , , (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:229) 5(cid:137)(cid:89) >0(cid:158) 4 5 (𝑎1)(cid:36)𝑎(cid:230)(cid:10)(cid:229) 5(cid:137)(cid:89)𝑛{ ≥}(cid:169)(cid:77)(cid:78)𝑎(cid:13)𝑛 (cid:66)(cid:218) (2)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80)𝑛≥n(cid:39)(cid:37) 𝑎(cid:158)𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 1 3 (cid:22)(cid:219)(cid:30)1-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:214)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) = (cid:89) (cid:89) (cid:89)2 (cid:169)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66). 1 4 2 +1 +1 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 (1)(cid:36)(cid:230)(cid:10)(cid:13)(cid:66) 1 (cid:93)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:44)(cid:36)(cid:152){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 (2)(cid:234){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:230)(cid:235)(cid:10) 3 1 < 5 . 8 3 𝑛 12 𝑎𝑛 𝑆𝑛 1− ≤𝑆𝑛(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28) (cid:22)(cid:210)2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:236)(cid:237)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) =5(cid:89) + =22(cid:158) 2 3 4 (1)(cid:36){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 (2)(cid:36)(cid:13)𝑎𝑛(cid:66){ 2 }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:158) 𝑛 𝑎𝑛⋅ (cid:22)(cid:219)(cid:30)2-1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:239)(cid:240)(cid:231)(cid:241)(cid:242)(cid:231)·(cid:108)(cid:216)(cid:45)(cid:243) N (cid:89)(cid:164)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217) (cid:93)2(cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:121)(cid:39)(cid:218) ∗ (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑛∈ 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 (2)(cid:164){ 𝑎𝑛}(cid:93)(cid:115)2(cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)4(cid:144)(cid:7)(cid:78)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑎𝑛⋅𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)2-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:244)(cid:232)(cid:245)(cid:237)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:246)(cid:13)(cid:51)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) ,2 = ( +1)(cid:217) 3 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 = . 2 2 1 𝑎 𝑎 (1)(cid:36){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 (2)(cid:164) = ,(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)2-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:247)(cid:248)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 3 2 =3(cid:89) + =3(cid:89) >0(cid:89) = (cid:89)2𝑎𝑛 + = (cid:158) 𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑆 −𝑆 1 2 1 2 3 1 2 3 𝑎 𝑎 𝑏𝑛 𝑏 ⋅𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏(1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:62){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2) (cid:51)(cid:80)𝑎 n 𝑛 (cid:39)(cid:37)𝑏𝑛 (cid:89)(cid:36)(cid:230)(cid:10) 1 <2(cid:158) 2 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑇𝑛 ≤𝑇𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28) 2 +1 (cid:22)(cid:210)3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:244)(cid:232)(cid:249)(cid:250)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) =2, = . 1 +1 𝑛 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛+ (1)(cid:230)(cid:235)(cid:10)(cid:13)(cid:66) 2 (cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:218) 𝑛 𝑎𝑛 (2)(cid:243) = +1 +2(cid:89)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) . 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)3-1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:239)(cid:240)(cid:231)(cid:251)(cid:252)(cid:253)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:234) (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:89) (cid:93)(cid:203)(cid:39)(cid:129)(cid:7)(cid:78)(cid:103)(cid:144)1(cid:51) (cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:158) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑛 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 ( 1) (2)(cid:243) = (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2024(cid:39)(cid:51)(cid:37) (cid:158) 𝑛 2024 (−1) 𝑎𝑛+ 𝑏𝑛 𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑇 (cid:22)(cid:219)(cid:30)3-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:254)(cid:255)(cid:240)(cid:256)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:164)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:7)(cid:78)(cid:144)1(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:217) =2(cid:89)(cid:67)( , )(cid:124)(cid:131)(cid:13) 3 =3 (cid:51)(cid:257)(cid:258)(cid:259)( N )(cid:89)(cid:234)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)𝑎(cid:39)𝑛 (cid:37)(cid:144) . 𝑎 𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑥 ∗ (𝑓1()𝑥(cid:36))(cid:13)(cid:66){ },{ }(cid:51)𝑛(cid:191)∈(cid:39)(cid:7)(cid:30); 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 1 (2)(cid:243) = (cid:89)(cid:234)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:230)(cid:235): < . 4 𝑏𝑛+1 12 𝑐𝑛 𝑆𝑛𝑆𝑛 𝑐𝑛 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛(cid:22)(cid:219)(cid:30)3-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:260)(cid:237)(cid:261)(cid:262)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217){ + 2}(cid:263)(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:158) (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 (2)(cid:164) = 𝑎𝑛 (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66) 1 (cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:158) 1 +1 𝑎 −1 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:39)(cid:45)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28) (cid:22)(cid:210)4(cid:28)(cid:43)2024·(cid:264)(cid:231)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:144)(cid:7)(cid:78)(cid:130)(cid:144)(cid:265)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) =49(cid:89)(cid:217) 7 (cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:158) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑆 2 5 14 𝑎(1)(cid:36)𝑎{ }(cid:51)𝑎 (cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:164)(cid:13)𝑎𝑛(cid:66){ + }(cid:93)(cid:7)(cid:79)(cid:144)3(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:217) =22(cid:89)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:158) 3 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑏 𝑏𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)4-1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:253)(cid:232)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78) >0(cid:89)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217) = (cid:89) = . 3 6 8 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑑 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎 −5 𝑆 −16 𝑎𝑛 = (2)(cid:164) = ( )(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 2 = 𝑏𝑛 𝑎𝑛,𝑛𝑛 2𝑘−1 𝑘∈𝑁 ∗ 𝑏𝑛 2𝑛 𝑇2𝑛 ,𝑛 2𝑘 (cid:22)(cid:219)(cid:30)4-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:239)(cid:240)(cid:231)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78) >0(cid:89) (cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:121)(cid:39)(cid:144)5(cid:89)(cid:217) =24. 2 8 4 6 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑑 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛为奇数， (2)(cid:243) = 1 (cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)20(cid:39)(cid:37) . 为偶数， 20 𝑎𝑛+,𝑛2 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 ,𝑛 𝑏𝑛 𝑇 (cid:22)(cid:219)(cid:30)4-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:260)(cid:237)(cid:266)(cid:262)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228)(cid:10) =2(cid:89)(cid:217) (cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:158) 1 1 2 4 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 4 2 (2)(cid:164)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:130)(cid:144)(cid:265)(cid:217)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228)(cid:10) = (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) ( )( 1) 𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛+ 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28) (cid:22)(cid:210)5(cid:28)(cid:43)2024·(cid:259)(cid:267)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156) ( )= 1 2+ 1 (cid:89)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:67)( )( N*)(cid:103)(cid:124)(cid:131)(cid:13) 2 2 = ( )(cid:51)(cid:257)(cid:258)(cid:259). 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑛,𝑆𝑛 𝑛∈ (𝑦1)(cid:36)𝑓(cid:13)𝑥(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛4 (2)(cid:164) ( )= (cid:89)(cid:268) = ( N*)(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2024(cid:39)(cid:37) . 4 𝑥2 2025 2024 𝑎𝑛 𝑔 𝑥 𝑥 + 𝑏𝑛 𝑔 𝑛∈ 𝑏𝑛 𝑇 (cid:22)(cid:219)(cid:30)5-1(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:215)(cid:65)·(cid:211)(cid:212)(cid:169)(cid:220)·(cid:269)(cid:270)(cid:74)(cid:271)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228)(cid:10) 1+ 2+ 3+ + = ( )(cid:89)(cid:13) 2 22 23 2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 ∗ 1 𝑎𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛∈𝑁 (cid:66){ }(cid:227)(cid:228) = . 250 (1)(cid:36)𝑏𝑛 (cid:13)(cid:66){ 𝑏𝑛 }(cid:51) 𝑎 (cid:191) 𝑛+ (cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:36) + 𝑎𝑛 (cid:51)(cid:133)(cid:218) (3)(cid:36)𝑏𝑛+𝑏10+0−𝑛 + + (cid:51)(cid:133). 1 2 3 99 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏(cid:22)(cid:219)(cid:30)5-2(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:215)(cid:65)·(cid:260)(cid:237)(cid:272)(cid:262)·(cid:269)(cid:270)(cid:74)(cid:271)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) 1+ 2+ + = ( )(cid:89)(cid:13)(cid:66){ } 2 22 2 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 ∗ 1 𝑎𝑛 ⋯ 𝑛 𝑛∈𝑁 𝑏𝑛 (cid:227)(cid:228) = (cid:158) 250 𝑏𝑛 𝑎𝑛+ (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:36)(cid:13)(cid:66) 𝑎𝑛 (cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:218) 𝑛 (3)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ 𝑎𝑛 }(cid:51)(cid:80)99(cid:39)(cid:51) 𝑆𝑛 (cid:37) (cid:51)(cid:133)(cid:158) 99 𝑏𝑛 𝑇 1 (cid:22)(cid:219)(cid:30)5-3(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:215)(cid:65)·(cid:90)(cid:91)·(cid:273)(cid:80)(cid:222)(cid:271)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:131)(cid:13) ( )= ( ). 4 2 𝑥 (1)(cid:36)(cid:230) ( )+ ( )(cid:144)(cid:60)(cid:133)(cid:218) 𝑓 𝑥 + 𝑥∈𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 (2)(cid:164)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:144) = (cid:43) (cid:144)(cid:246)(cid:274)(cid:13)(cid:89) =1(cid:89)2(cid:89) (cid:89) (cid:45)(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:218) 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑓 𝑚 𝑚 𝑛 ⋯ 𝑚 𝑎𝑛 𝑚 𝑆𝑚 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:49)(cid:50)(cid:43)-1(cid:45)n(cid:51)(cid:52)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:28) (cid:22)(cid:210)6(cid:28)(cid:43)2024·(cid:225)(cid:226)(cid:275)(cid:262)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) =1(cid:89) >0(cid:89) (cid:93)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:178)(cid:276)(cid:277) 1 N (cid:89)(cid:50)2 =2 2+ 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑛(1∈)(cid:36)(cid:13)∗(cid:66){ }𝑆(cid:51)𝑛(cid:191)(cid:39)𝑎(cid:7)𝑛 (cid:30)𝑎(cid:218)𝑛−1 (2)(cid:243) = 𝑎𝑛 (cid:89)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80)100(cid:39)(cid:51)(cid:37). 𝑛−1 𝑏𝑛 (−1) 𝑎𝑛 𝑏𝑛(cid:22)(cid:219)(cid:30)6-1(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:215)(cid:65)·(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:253)·(cid:281)(cid:121)(cid:45)(cid:243){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89){ }(cid:93)(cid:7)(cid:79)(cid:101)(cid:105)0(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:224)(cid:156) = 1 =2(cid:89) = (cid:89) = +4(cid:158) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎 1 2 2 3 2 (𝑏1)(cid:36){ }𝑏(cid:37){ 𝑎}(cid:51)(cid:191)𝑏 (cid:39)(cid:7)𝑎(cid:30)(cid:218) (2)(cid:243) 𝑎𝑛=( 𝑏𝑛) + (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑛 𝑐𝑛 −1 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛 2𝑛 𝑇2𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)6-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:244)(cid:232)(cid:245)(cid:237)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:246)(cid:13)(cid:89)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217)(cid:227)(cid:228) + 1 2 =3(cid:89) =15. 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎 4 (1)(cid:36)(cid:13)𝑆(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:164)(cid:13)(cid:66){𝑎𝑛}(cid:227)(cid:228) = + (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2n(cid:39)(cid:37) . 𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛 (−1) (3𝑛−1) 𝑏𝑛 𝑇2𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)6-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:244)(cid:232)(cid:249)(cid:250)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:234) (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:224)(cid:156) = ( +1) = 2 1 +1 + . 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 1,𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 (1)𝑛(cid:36){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:164) 𝑎𝑛= +[ +1]2 (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 𝑛 𝑛 𝑛 𝑏𝑛 (−1) 𝑎𝑛 (−1) 𝑏𝑛 2𝑛 𝑇2𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:53)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:21)(cid:36)(cid:37)(cid:28) (cid:22)(cid:210)7(cid:28)(cid:43)2024·(cid:253)(cid:279)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156){ }(cid:93)(cid:7)(cid:78)(cid:130)(cid:144)0(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:80)4(cid:39)(cid:37)(cid:144)16(cid:89)(cid:217) , , (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66). 1 2 5 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛2 为奇数 (2)(cid:243) = 1 (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 𝑎𝑛 为偶数 +,2𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 ,𝑛 𝑏𝑛 2𝑛 𝑇2𝑛(cid:22)(cid:219)(cid:30)7-1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:244)(cid:232)(cid:249)(cid:250)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:234)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:224)(cid:156) 1(cid:217)2 = 2+ (cid:158) (1)(cid:230)(cid:235)(cid:10){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛≥ 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎2𝑛 为奇数 (2)(cid:234) = (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2n(cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑎𝑛 为偶数 ,𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛,𝑛 𝑏𝑛 𝑇2𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)7-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:254)(cid:255)(cid:282)(cid:214)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:37){ }(cid:51)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:246)(cid:89)(cid:217) =18 (cid:89){ }(cid:93)(cid:7)(cid:79)3(cid:51)(cid:77)(cid:79) 3 1 (cid:13)(cid:66)(cid:158)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:227)(cid:228)4 = 2+2 𝑎(cid:158)𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑏 𝑏𝑛 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ 𝑎}𝑛(cid:89){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)𝑆𝑛(cid:30)(cid:218) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 (2)(cid:243) = 𝑎𝑛 𝑏+3 𝑛 + cos (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:158) ( )( ) +3 𝑏𝑛 +3 𝑐𝑛 𝑏𝑛 −3 𝑏𝑛 −1 𝑎𝑛 𝑛π 𝑐𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)7-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:254)(cid:255)(cid:283)(cid:284)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:243) (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:224)(cid:156) =1, =10(cid:89)(cid:217) (cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66). 1 4 𝑆𝑛 (1)(cid:36){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 𝑆 𝑛 𝑎𝑛 为奇数 (2)(cid:164) = 1 (cid:89)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 为偶数 𝑎𝑛+,𝑛2 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 ,𝑛 𝑏𝑛 2𝑛 𝑇2𝑛(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:28) 2 (cid:22)(cid:210)8(cid:28)(cid:43)2024·(cid:254)(cid:255)(cid:283)(cid:284)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) =2(cid:89) = . 1 +1 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 (cid:43)1(cid:45)(cid:230)(cid:235)(cid:10)(cid:13)(cid:66) 1 (cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:268) = 1 𝑎𝑛 (cid:89) −1 (cid:230)(cid:235)(cid:10) 2+ 2+ + 2<1. 1 2 1 2 𝑏𝑛 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)8-1(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:238)(cid:259)·(cid:244)(cid:232)(cid:285)(cid:262)·(cid:269)(cid:270)(cid:74)(cid:271)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) =1(cid:89) = (cid:158) 1 +1 4 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛+ (cid:43)1(cid:45)(cid:36)(cid:230) 1 + 1 (cid:144)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:218) 3 𝑎𝑛 3 (cid:43)2(cid:45)(cid:36)(cid:230)(cid:10) < (cid:158) 2 𝑆𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)8-2(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:108)(cid:65)·(cid:211)(cid:212)(cid:286)(cid:253)·(cid:281)(cid:204)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) =1(cid:89)2 + =0(cid:89)(cid:268) = 1 +1 +1 1 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑏𝑛 (cid:89)(cid:243)(cid:13)(cid:66){ }(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:158) ( 𝑎 1 𝑛 )(cid:36)(cid:230)(cid:10)(cid:13)𝑏(cid:66) 𝑛 { }(cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13) 𝑆 (cid:66) 𝑛 (cid:218) (2)(cid:164)(cid:287)(cid:124) +𝑏𝑛(cid:89)(cid:288)(cid:130)(cid:77)(cid:30) + + + + (cid:169)(cid:289)(cid:89)(cid:36)(cid:290)(cid:13) (cid:51)(cid:291)(cid:133)(cid:292)(cid:293)(cid:218) 1 2 2 3 +1 𝑛∈𝑁 𝑎 𝑎 2𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑛𝑎𝑛 ≥(𝑛 18)𝜆 1 𝜆 (3)(cid:243)(cid:246)(cid:39)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) 2=1+ (cid:89)(cid:36)(cid:230)(cid:10) + + + < + (cid:158) +1 1 2 1 𝑐𝑛 𝑐𝑛 𝑆𝑛 𝑐 𝑐 ⋅⋅⋅ 𝑐𝑛 𝑛 1−𝑛+ (cid:22)(cid:219)(cid:30)8-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:278)(cid:279)(cid:294)(cid:214)·(cid:108)(cid:216)(cid:45)(cid:295)(cid:13)(cid:89)(cid:296)(cid:173)(cid:297)(cid:13)(cid:158)(cid:298)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:174)(cid:65)(cid:10)(cid:164)(cid:274)(cid:13) (cid:299)(cid:115)(cid:274)(cid:13) ( 0)(cid:299)(cid:198)(cid:51) (cid:300)(cid:246)(cid:301)(cid:93)(cid:274)(cid:13)(cid:197)(cid:302)(cid:50)(cid:303)(cid:13)(cid:89)(cid:304)(cid:305)(cid:187)(cid:173) (cid:144) (cid:51)(cid:306)(cid:13)(cid:89)(cid:173) (cid:144) (cid:51)(cid:295)(cid:13)(cid:158)(cid:243)(cid:246)(cid:274)(cid:13) 𝑎(cid:307)(cid:50) (cid:165)(cid:246)𝑚(cid:295)(cid:13)𝑚(cid:89)≠(cid:234)(cid:144) (cid:89) 1 𝑎 𝑚 𝑚 𝑎 𝑎 𝑘 𝑎(cid:89)…(cid:89) (cid:89) (cid:43) < < < (cid:45)(cid:158) 2 1 2 𝑎(1)(cid:229) =4𝑎(cid:137)𝑘−(cid:89)1 (cid:164)𝑎(cid:246)𝑘 (cid:274)𝑎(cid:13) (cid:51)𝑎 (cid:165)⋅⋅(cid:246)⋅ (cid:295)𝑎𝑘(cid:13)(cid:181)(cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:308)(cid:309)(cid:152)(cid:108)(cid:165) (cid:51)(cid:133)(cid:218) (2)(cid:229)𝑘 4(cid:137)(cid:89)(cid:164) (cid:89)𝑎 𝑘 (cid:89)…(cid:89) (cid:181)(cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:36)𝑎(cid:230)(cid:10) = ( 4)(cid:218) 2 1 3 2 2 𝑘−1 (3)(cid:234)𝑘≥= + 𝑎 −𝑎+ 𝑎+−𝑎 (cid:89)(cid:36)𝑎(cid:230)𝑘−(cid:10)𝑎𝑘−<1 2(cid:158) 𝑎 𝑎 𝑘≥ 1 2 2 3 𝐴 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑘−1𝑎𝑘 𝐴 𝑎 (cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:23)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:51)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:28) (cid:22)(cid:210)9(cid:28)(cid:43)2024·(cid:244)(cid:232)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:51)(cid:132)(cid:101)(cid:133)(cid:234)(cid:144) (cid:89)(cid:185) =max{ , , , }(cid:218)(cid:80) (cid:39)(cid:51)(cid:132)(cid:102)(cid:133) 1 2 (cid:234)(cid:144) (cid:89)(cid:185) =min{ , , , }𝑎(cid:89)𝑛 (cid:268) 𝑛= (cid:89)(cid:44)(cid:310)(cid:13)𝑀𝑛(cid:66){ 𝑀}(cid:173)𝑛(cid:144){ }(cid:51)𝑎“(cid:311)𝑎(cid:169)⋅⋅(cid:13)⋅ 𝑎(cid:66)𝑛”(cid:158) 𝑛 1 2 (1)(cid:243)𝑚(cid:13)𝑛(cid:66){ 𝑚}(cid:51)𝑛 “(cid:311)(cid:169)(cid:13)𝑎(cid:66)𝑎”(cid:144)⋅⋅{⋅ 𝑎}𝑛(cid:89)(cid:36)(cid:230)𝑝(cid:10)𝑛 𝑀=𝑛−𝑚(cid:218)𝑛 𝑝𝑛 𝑎𝑛 (2)(cid:164) =2𝑝𝑛 (cid:89)(cid:36)(cid:199)(cid:311)(cid:169)(cid:13)𝑞(cid:66)𝑛{ }(cid:51)(cid:80) 𝑝(cid:39)𝑛(cid:37)(cid:158)𝑞𝑛 𝑛 𝑎𝑛 −3𝑛 𝑝𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)9-1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:145)(cid:312)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:178)(cid:105)(cid:13)(cid:66){ }(cid:89)(cid:60)(cid:61) = ( )(cid:89)(cid:227)(cid:228) = =1, ( ) +1 1 2 ∗ = (cid:89)(cid:234) = + 2+ + 𝑎𝑛 (cid:89)(cid:173) Δ𝑎𝑛 (cid:144)𝑎(cid:166)𝑛 (cid:13)−(cid:66)𝑎𝑛 { 𝑛}∈(cid:311)𝑁(cid:169)(cid:51)“ (cid:131)𝑎(cid:13)”𝑎(cid:158) Δ Δ𝑎𝑛 1 2 𝑛 (1)(cid:313)𝑚((cid:309)𝑚(cid:152)∈“𝑅) (cid:131)(cid:13)𝑓”( 𝑚,𝑛) (cid:89)𝑎 (cid:44)𝑚(cid:36)𝑎 𝑚 (cid:51)⋯(cid:133)(cid:218)𝑎𝑛𝑚 𝑓(𝑚,𝑛) 𝑎𝑛 𝑚− (2)(cid:164)“ (cid:131)2(cid:13)−” 𝑓(2,𝑛1)5(cid:89)(cid:36)n𝑓(cid:51)(2(cid:132),3)(cid:101)(cid:133)(cid:218) (3)(cid:234)(cid:131) 1− (cid:13) = 𝑓(1 + ,𝑛 2 )≤ 2+ + (cid:89)(cid:199)(cid:189)(cid:131)(cid:13)(cid:144) (cid:89)(cid:230)(cid:235)(cid:10)“ (cid:131)(cid:13)” = 2 2 2 𝑛 𝑚 3𝑚 ′ ′ 𝑆(𝑥) 𝑥 𝑥 ⋯ 𝑛𝑥 𝑆(𝑥) 𝑚− 𝑓(𝑚,𝑛) 𝑆(𝑚)− + +1) (cid:158) 𝑛=1 ′ 𝑆(𝑚) (𝑚 𝑚 𝑖 (cid:22)(cid:219)(cid:30)9-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:253)(cid:279)(cid:314)(cid:249)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:315)(cid:316)(cid:182)(cid:317)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:13)(cid:133)(cid:144)(cid:10)1,1,2,3,5,8,13, 𝑎𝑛21,34 .(cid:184)(cid:108)(cid:13)(cid:66)(cid:115)(cid:174)(cid:65)(cid:318)(cid:188)(cid:51)(cid:85)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:10) =1， =1， = + *).(cid:13)(cid:66){ }(cid:178)(cid:105)(cid:319)(cid:60) 1 2 +2 +1 (cid:51)(cid:246)(cid:274)⋅⋅(cid:13)⋅⋅⋅⋅(cid:89)(cid:164)(cid:287)(cid:124)(cid:246)(cid:274)(cid:13) (cid:288)(cid:198) = + 𝑎(cid:169)(cid:289)(cid:89)(cid:170)𝑎 (cid:173)(cid:13)(cid:66)𝑎{ 𝑛 }(cid:144)“𝑎𝑛(cid:269)(cid:168)(cid:41)𝑎𝑛(cid:192)((cid:13)𝑛(cid:66)∈𝑁”. 𝑏𝑛 + (1)(cid:224)(cid:156)(cid:13)𝑘(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) = 𝑛 （𝑏𝑘 𝑛 *，𝑏𝑘 𝑏𝑛）.(cid:320)(cid:321)(cid:93)(cid:322)(cid:178) 𝑏𝑛 (cid:89)𝑘(cid:209)(cid:287)(cid:124)(cid:319)(cid:60)(cid:51)(cid:246)(cid:274)(cid:13) (cid:89)(cid:288)(cid:198)(cid:13)(cid:66){ } (cid:144)“ (cid:269)(cid:168)(cid:41)(cid:192)𝑐(cid:13)𝑛 (cid:66)”(cid:89)𝑐𝑛(cid:44)(cid:323)𝑚(cid:235)𝑎𝑛(cid:15)(cid:166)𝑛. ∈𝑁 𝑚∈𝑅 ∀𝑚∈𝑅 𝑘 𝑐𝑛 (2)(cid:243)𝑘(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) =3 ( 0)(cid:89) 𝑛 (cid:43)i(cid:45)(cid:164)(cid:13)(cid:66)𝑑𝑛{ }(cid:144)𝑛“1(cid:269)(cid:168)(cid:41)𝑆𝑛(cid:192)(cid:13)(cid:66)−”𝑎(cid:89)(cid:36)𝑎(cid:152)≥(cid:324)(cid:135)(cid:325)(cid:326)(cid:51)(cid:290)(cid:13) (cid:51)(cid:133)(cid:218) 𝑑𝑛 𝑎 (cid:43)ii(cid:45)(cid:124)(cid:43)i(cid:45)(cid:55)(cid:51)(cid:80)(cid:327)(cid:65)(cid:89)(cid:164)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) = (cid:89) *(cid:89)(cid:199)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) .(cid:230)(cid:235)(cid:10)(cid:229) *(cid:217) 3(cid:137)(cid:89) < 𝑎𝑛 2+ 2+ 2+ + 2 +1 𝑓(cid:169) 𝑛 (cid:289). 𝑓𝑛 𝑆𝑛 𝑛∈𝑁 𝑛 𝑇𝑛 𝑛∈𝑁 𝑛≥ 𝑇𝑛 1 2 3 +1 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑎𝑛−𝑎𝑛𝑎𝑛 (cid:22)(cid:219)(cid:30)9-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:231)(cid:232)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:304)(cid:91)(cid:328)(cid:329)(cid:13)(cid:11)(cid:330)(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:124)(cid:334)(cid:51)(cid:335)(cid:211)(cid:328)(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:108)(cid:339)(cid:121)(cid:178)(cid:24)(cid:269)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:36) (cid:37)(cid:50)(cid:340)(cid:341)(cid:51)(cid:342)(cid:343)(cid:89)(cid:185)“(cid:344)(cid:180)(cid:345)”(cid:158)(cid:178)(cid:105)(cid:13)(cid:66) , , , , (cid:89) (cid:89)(cid:109)(cid:88)(cid:215)(cid:39)(cid:346)(cid:89)(cid:347)(cid:108)(cid:39)(cid:129)(cid:298)(cid:80)(cid:348)(cid:34)(cid:349)(cid:108)(cid:39)(cid:51)(cid:78) 1 2 (cid:181)(cid:169)(cid:13)(cid:66) , , , , (cid:89) (cid:89)(cid:173)(cid:350)𝑎(cid:13)𝑎(cid:66)⋅⋅⋅ (cid:144)𝑎𝑛(cid:13)⋅⋅(cid:66)⋅ ①(cid:51)(cid:108)(cid:269)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:121) = 11 12 1( ) +1 ( =1,2, 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅)(cid:218)𝑎 (cid:178)𝑛−(cid:105)1(cid:13)⋅⋅(cid:66)⋅ ②(cid:89)(cid:109)(cid:88)(cid:215)(cid:39)(cid:346)②(cid:89)(cid:347)(cid:108)(cid:39)(cid:129)①(cid:298)(cid:80)(cid:348)(cid:34)(cid:349)(cid:108)(cid:39)(cid:51)(cid:78)(cid:181)(cid:169)𝑎1(cid:13)𝑖 (cid:66)𝑎𝑖 ,−𝑎𝑖, , 21 22 2( ) ,𝑖 (cid:89) ⋅(cid:89)⋅⋅(cid:173),𝑛−(cid:350)1(cid:13),⋅⋅(cid:66)⋅ (cid:144)(cid:13)(cid:66) ②(cid:51)(cid:215)(cid:269)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:121) = ( =1,2, 𝑎 )𝑎 ⋅(cid:351)⋅⋅(cid:352)𝑎(cid:259)𝑛−(cid:353)2 1(+1) (cid:354)⋅⋅⋅(cid:31)(cid:89)③(cid:88) (cid:355)(cid:198)(cid:356)(cid:13)(cid:66)③ , ,①, , (cid:89) (cid:89)(cid:170)(cid:173)(cid:13)𝑎2(cid:66)𝑖 𝑎(cid:144)𝑖(cid:13)(cid:66)−𝑎1𝑖(cid:51)𝑖 (cid:269)(cid:78)(cid:41)⋅⋅⋅(cid:13),𝑛(cid:66)−(cid:89)2,⋅(cid:199)⋅⋅(cid:121)⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ( ) ( )(+1) (𝑟=1,2, 𝑎𝑟1𝑎𝑟 ) 2(cid:89)⋅(cid:164)⋅⋅ (cid:13)𝑎𝑟(cid:66)𝑛− { 𝑟 }⋅⋅(cid:51)⋅ (④ 2)(cid:269)(cid:78)(cid:41)(cid:13)④(cid:66)(cid:93)(cid:81)(cid:265)①(cid:84)(cid:13)𝑟(cid:66)(cid:89)(cid:170)(cid:173)(cid:13)(cid:66){ }(cid:144)𝑎𝑟(cid:269)𝑖 (cid:77)𝑎(cid:78)𝑟−(cid:13)1(cid:66)𝑖 ( ) (cid:43)−𝑎(cid:122)𝑟−(cid:24)1(cid:269)𝑖 𝑖(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)⋅⋅⋅(cid:45),𝑛(cid:158)−𝑟,⋅⋅⋅ 𝑎𝑛 𝑟 𝑟≥ 𝑎𝑛 𝑟 (1)(cid:164)(cid:24)(cid:269)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:144)3,4,9,18,31,48, (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:164) (cid:269)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ 𝑎}𝑛(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30) =( ⋅⋅⋅ )4(cid:158) 𝑎𝑛 𝑟(cid:43)ⅰ(cid:45)(cid:36) (cid:51)(cid:133)𝑏(cid:218)𝑛 𝑏𝑛 2𝑛−1 (cid:43)ⅱ(cid:45)(cid:36)𝑟(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) (cid:357)(cid:10)12+22+ + 𝑏 2 𝑛 = ( 𝑛1)( 𝑆1 𝑛 ) (cid:158) 6 𝑛 𝑛+ 2𝑛+ ⋅⋅⋅ 𝑛(cid:108)(cid:62)(cid:358)(cid:20)(cid:21) 1(cid:158)(cid:43)2024·(cid:23)(cid:359)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:164) 7= (cid:89)(cid:170) =(cid:43) (cid:45) 10 𝑎8 A(cid:158) B(cid:158) 𝑎𝑛 C 𝑛 (cid:158) 𝑆𝑛 𝑎 −1 D(cid:158) 𝑆 4 5 6 7 𝑆 𝑆 𝑆 1 𝑆 2(cid:158)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)(cid:95)(cid:231)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:124)(cid:13)(cid:66){ }(cid:121)(cid:89)(cid:224)(cid:156) = (cid:89) +2) = (cid:89)(cid:170)(cid:298)(cid:51)(cid:80)30(cid:39)(cid:51)(cid:37)(cid:144) 1 2 +1 (cid:43) (cid:45) 𝑎𝑛 𝑎 (𝑛 𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛 19 28 29 30 A(cid:158) B(cid:158) C(cid:158) D(cid:158) 29 29 30 31 3(cid:158)(cid:43)2024·(cid:260)(cid:360)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156){ }(cid:93)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:246)(cid:13)(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) + + + + + =10(cid:89) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 1 1 1 𝑎1𝑛 1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 =8(cid:89)(cid:170) + + + + + =(cid:43) (cid:45) 4 5 6 1 2 3 4 5 6 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 A(cid:158)2 B(cid:158)3 C(cid:158)4 D(cid:158)5 4(cid:158)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:238)(cid:259)·(cid:361)(cid:237)(cid:362)(cid:363)·(cid:269)(cid:270)(cid:74)(cid:271)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:7)(cid:79)(cid:144)q(cid:43) 1(cid:45)(cid:51)(cid:246)(cid:39)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:217)2ln 1012 4 𝑏𝑛 𝑞≠ 𝑏 =0(cid:89)(cid:164) ( )= (cid:89)(cid:170) ( )+ ( )+ + ( )=(cid:43) (cid:45) 1 2 1 2 2023 A(cid:158)40 𝑓 69 𝑥 +𝑥 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 ⋯ 𝑓 B 𝑏(cid:158)2023 C(cid:158)2024 D(cid:158)4046 + 为奇数 5(cid:158)(cid:43)2024·(cid:236)(cid:360)(cid:364)(cid:330)(cid:365)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217)(cid:227)(cid:228) =1, = (cid:89)(cid:170) 1 +1 2 为偶数 𝑎𝑛 1,𝑛 =(cid:43) (cid:45) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛,𝑛 100 𝑆 A(cid:158)3×251 B(cid:158)3×251 C(cid:158)3×250 D(cid:158)3×250 6(cid:158)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)−(cid:366)15(cid:367)6(cid:368)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:13)(cid:66)−{10}3(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)−1=56 (cid:89) = + −103 N )(cid:89)(cid:243) = 1 ∗ 𝑛 (cid:89)(cid:170)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)51(cid:39)(cid:107)(cid:37)(cid:144)(cid:43) 𝑎 𝑛 (cid:45) 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 −1 𝑛𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑛(𝑛−1)(𝑛∈ 𝑏𝑛 (−1) 𝑎𝑛 A(cid:158) 𝑏𝑛 B(cid:158) C(cid:158)49 D(cid:158)149 −149 −49 7(cid:158)(cid:43)2024·(cid:247)(cid:248)(cid:360)(cid:369)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:243)(cid:13)(cid:66){ }(cid:227)(cid:228) +2 +3 + + = +1( *)(cid:89)(cid:170)(cid:13)(cid:66) (cid:51) 1 2 3 1 𝑎𝑛 (cid:80)5(cid:39)(cid:37)(cid:144)(cid:43) (cid:45) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑛𝑎𝑛 2𝑛 𝑛∈𝑁 𝑛+ 5 8 12 13 A(cid:158) B(cid:158) C(cid:158) D(cid:158) 3 5 7 6 1 8(cid:158)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)(cid:370)(cid:262)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:246)(cid:13)(cid:89) =1, = (cid:89)(cid:164)[ ](cid:371)(cid:372)(cid:130)(cid:373)(cid:374) 1 +1 +1 (cid:51)(cid:132)(cid:101)(cid:274)(cid:13)(cid:89)(cid:170)[ ]+[ ]+ +[ ]= 𝑎(cid:43) 𝑛 (cid:45) 𝑎 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 +𝑎𝑛 𝑥 1 2 100 𝑥 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎A(cid:158)615 B(cid:158)620 C(cid:158)625 D(cid:158)630 (cid:215)(cid:62)(cid:99)(cid:20)(cid:21) 9(cid:158)(cid:43)2023·(cid:253)(cid:279)(cid:375)(cid:352)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:121)(cid:89) = +1, =2 (cid:170)(cid:43) (cid:45) 𝑛 A(cid:158){ }(cid:51)(cid:80)10(cid:39)(cid:37)(cid:144)19×210+2 𝑎𝑛 𝑎𝑛 2𝑛 𝑏𝑛 B(cid:158){𝑎𝑛𝑏𝑛 }(cid:51)(cid:80)100(cid:39)(cid:37)(cid:144)100 𝑛 C(cid:158) (−11) 𝑎(cid:51) 𝑛 (cid:80) (cid:39)(cid:37) , < 1 6 +1 D(cid:158) 𝑎𝑛𝑎𝑛 + 64 (cid:51)(cid:132) 𝑛 (cid:102)(cid:39) 𝑇 (cid:144) 𝑛 1 𝑇 6 𝑛 1 7 10(cid:158)(cid:43)20 𝑎 2 𝑛 4·(cid:376)𝑎𝑛 (cid:377)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:124)(cid:7)(cid:78)(cid:130)(cid:144)0(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:121)(cid:89) = (cid:93) (cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39)(cid:89)(cid:13)(cid:66){ } 4 5 2 6 1 𝑎𝑛 𝑎 −5,𝑎 𝑎 𝑎 𝑏𝑛 (cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217) = (cid:89)(cid:170)(cid:43) (cid:45) +1 A 𝑛 (cid:158) = 𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 B(cid:158) N*, C(cid:158) 𝑎𝑛 = 2𝑛1−131 D(cid:158) ∀𝑛∈ N*, 𝑏𝑛≥−1 11 6 5 11(cid:158)(cid:43)2 𝑆 02 𝑛 4·(cid:378) − (cid:214) − (cid:379)2(cid:380)𝑛− · 1(cid:238)1 (cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) ∀𝑛 n ∈ (cid:39)(cid:37) 𝑆 (cid:144) ≤𝑆 (cid:89) 𝑛≤ (cid:217) 𝑆 =4 , =2 +1( N )(cid:89)(cid:170) 4 2 ∗ (cid:43) (cid:45) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑆 𝑆 𝑎2𝑛 𝑎𝑛 𝑛∈ A(cid:158) = B(cid:158) = 2 C(cid:158)(cid:13) 𝑎𝑛 (cid:66) 2𝑛1−1 (cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) D(cid:158) 𝑆 (cid:13) 𝑛 (cid:66){ 𝑛 +2 }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144)2 +1+ 2 1 +1 2𝑛 𝑛 𝑛 (cid:238)(cid:62)(cid:381)(cid:382)(cid:21) 𝑎𝑛𝑎𝑛 2𝑛+ 𝑎𝑛 𝑛 −2 1 12(cid:158)(cid:43)2024·(cid:253)(cid:279)(cid:383)(cid:384)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78) 0(cid:89)(cid:203)(cid:39) = (cid:89) (cid:93) (cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39)(cid:89)(cid:234) 1 2 4 2 8 (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:170) = . 𝑎𝑛 𝑑≠ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑆𝑛 20 𝑎𝑛 𝑛 𝑆 1 13(cid:158)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:124)(cid:13)(cid:66){ }(cid:121)(cid:89)(cid:224)(cid:156) = (cid:89)( +2) = (cid:89)(cid:170)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2024(cid:39)(cid:37) = 1 2 +1 2024 (cid:158) 𝑎𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑆 为奇数 14(cid:158)(cid:43)2024·(cid:231)(cid:232)(cid:385)(cid:386)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) = (cid:89)(cid:234) (cid:89) (cid:41)(cid:171)(cid:144){ }(cid:89) 2 + 为偶数 𝑎𝑛−8,𝑛 { }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:164) =18(cid:89) =10(cid:89)(cid:170) 𝑎𝑛 = (cid:158) 𝑏𝑛 𝑎𝑛 1,𝑛 𝑆𝑛 𝑇𝑛 𝑎𝑛 3 2 20 (cid:211)𝑏𝑛(cid:62)(cid:116)(cid:117)𝑛(cid:21) 𝑆 𝑇 𝑇 15(cid:158)(cid:43)2024·(cid:95)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:390)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) =3(cid:89) =1+ (cid:158) 1 +1 (1)(cid:230)(cid:235)(cid:10)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:44)(cid:36) 𝑎(cid:218)𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑎𝑛 (2)(cid:36)(cid:13)(cid:66) 1 (cid:51)𝑆(cid:80) 𝑛− n 1(cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑇𝑛16(cid:158)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)(cid:95)(cid:231)·(cid:238)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144)4(cid:89)(cid:217) +2(cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) 2 3 5 n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) =2(cid:217) =2 +2( 2).𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 −2 𝑏𝑛 1 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66)𝑆{ 𝑛 }𝑏(cid:62){ }(cid:51)𝑆(cid:191)𝑛 (cid:39)(cid:7)𝑆𝑛(cid:30)−1(cid:218) 𝑛≥ (2)(cid:243) = 𝑎𝑛 ( 𝑏𝑛 )(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) . ∗ 𝑐𝑛 𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑛∈𝑁 𝑐𝑛 𝑇𝑛 17(cid:158)(cid:43)2024·(cid:244)(cid:232)(cid:249)(cid:250)·(cid:216)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217) =45, + =26. 5 4 6 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎𝑛1 (2)(cid:164) = (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)10(cid:39)(cid:37). 𝑏𝑛 𝑆𝑛−3𝑛 𝑏𝑛 18(cid:158)(cid:43)2024·(cid:253)(cid:279)(cid:391)(cid:392)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ },{ }(cid:227)(cid:228) = + = (cid:144)(cid:84)(cid:13)(cid:89)(cid:164){ }(cid:144)(cid:77) (cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:217) =2( )=2( +𝑎𝑛)=𝑏𝑛8(cid:158) 𝑎2𝑛−1 𝑏2𝑛−1 12𝑚,𝑎2𝑛 𝑚𝑏2𝑛,𝑚 𝑎𝑛 4 2 3 1 1 1 (1)(cid:36) (cid:51)(cid:133)𝑏(cid:142)−{ 𝑏}(cid:51)(cid:191)(cid:39)𝑏 (cid:7)−𝑏(cid:30)(cid:218) 𝑎 𝑏 (2)(cid:36)𝑚{ }(cid:51)(cid:80) 𝑎𝑛(cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑏𝑛 2𝑛 𝑆2𝑛 19(cid:158)(cid:43)2024·(cid:247)(cid:248)(cid:236)(cid:360)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:224)(cid:156){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) ，{ }(cid:93)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:224)(cid:156) =1， =6(cid:89) 1 3 = ， (cid:93) (cid:37) (cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39). 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑆 1 2 8 4 4 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏(1)(cid:36){ }(cid:37){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:36)(cid:13)𝑎𝑛 (cid:66) 𝑏(cid:51) 𝑛 (cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:218) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 1 1 1 1 (3)(cid:234) = (cid:89)(cid:36)(cid:230)(cid:10) + < < + . 𝑏+𝑛−11 𝑛 2 2 2 +1 𝑛=1 𝑛 2 4 2 +2 𝑐𝑛 𝑏𝑛 −1 − 𝑛 𝑐𝑖 − 𝑛 𝑖