专题6.5数列求和九大题型（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）_2026版《举一反三》专题练系列（共189个题型）

专题 6.5 数列求和【九大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:28)....................................................................................................................................................3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................8 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:39)(cid:45)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)..........................................................................................................................10 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)..................................................................................................................................13 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:49)(cid:50)(cid:43)-1(cid:45)n(cid:51)(cid:52)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:28).....................................................................................................................16 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:53)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:21)(cid:36)(cid:37)(cid:28)..................................................................................................................................19 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:28)..............................................................................................................................21 (cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:23)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:51)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:28)..........................................................................................................25 1(cid:62)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37) (cid:25)(cid:67)(cid:68)(cid:36) (cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:71) (cid:25)(cid:63)(cid:41)(cid:72) 2023(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:87)(cid:10)(cid:88)20(cid:21)(cid:89) (cid:13)(cid:66)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:94)(cid:67)(cid:95)(cid:96)(cid:89)(cid:97)(cid:21)(cid:98)(cid:30) 12(cid:41) (cid:99)(cid:83)(cid:99)(cid:100)(cid:89)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:50)(cid:89)(cid:104)(cid:105)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:106)(cid:25) 2023(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:87)(cid:10)(cid:88)18(cid:21)(cid:89) (cid:95)(cid:96)(cid:107)(cid:108).(cid:109)(cid:110)(cid:82)(cid:86)(cid:51)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:89)(cid:13) 12(cid:41) (cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:21)(cid:51)(cid:98)(cid:30)(cid:25)(cid:118)(cid:89)(cid:119)(cid:120) (1)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:62)(cid:77)(cid:79)(cid:13) 2023 (cid:86)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:87)(cid:43)(cid:15)(cid:13)(cid:45)(cid:10) (cid:121)(cid:77)(cid:122)(cid:123)(cid:119)(cid:89)(cid:114)(cid:114)(cid:124)(cid:116)(cid:125)(cid:13)(cid:66)(cid:126)(cid:127)(cid:55)(cid:21) (cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30) (cid:88)17(cid:21)(cid:89)12(cid:41) (cid:128)(cid:25)(cid:118)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:89)(cid:124)(cid:36)(cid:37)(cid:128)(cid:114)(cid:114)(cid:129)(cid:130)(cid:77) (2)(cid:75)(cid:76)(cid:81)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:62)(cid:81)(cid:77) 2024(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:87)(cid:10)(cid:88)12(cid:21)(cid:89) (cid:30)(cid:62)(cid:131)(cid:13)(cid:62)(cid:132)(cid:133)(cid:77)(cid:55)(cid:21)(cid:134)(cid:135)(cid:89)(cid:129)(cid:130)(cid:77)(cid:30) (cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:85) 5(cid:41) (cid:136)(cid:135)(cid:137)“(cid:57)(cid:58)”(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:85)(cid:31)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:68)(cid:89) (cid:31) 2024 (cid:86)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:87)(cid:43)(cid:17)(cid:13)(cid:45)(cid:10) (cid:146)(cid:68)(cid:147)(cid:148)(cid:36)(cid:116). (cid:88)17(cid:21)(cid:89)12(cid:41) (cid:149)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:150)(cid:151)(cid:21)(cid:121)(cid:152)(cid:153)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:23)(cid:60) 2024 (cid:86)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:87)(cid:43)(cid:15)(cid:13)(cid:45)(cid:10) (cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:21)(cid:89)(cid:134)(cid:135)(cid:154)(cid:155)(cid:89)(cid:119)(cid:120)(cid:101)(cid:89)(cid:146) (cid:88)18(cid:21)(cid:89)12(cid:41) (cid:68)(cid:147)(cid:148)(cid:36)(cid:116). (cid:22)(cid:156)(cid:157)(cid:67)1 (cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:85)(cid:31)(cid:28) 1(cid:158)(cid:7)(cid:30)(cid:31) (cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:27)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:62)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:36)(cid:37). (cid:162)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:10) . (cid:163)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:10)= . 2(cid:158)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:129)(cid:44)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (1)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:164)(cid:108)(cid:165)(cid:13)(cid:66)(cid:93)(cid:166)(cid:164)(cid:167)(cid:165)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:122)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:122)(cid:168)(cid:36)(cid:37)(cid:51)(cid:13)(cid:66)(cid:42)(cid:169)(cid:89)(cid:170)(cid:36)(cid:37)(cid:137)(cid:168)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:89)(cid:41)(cid:171)(cid:36) (cid:37)(cid:128)(cid:34)(cid:48)(cid:35). (2)(cid:44)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:108)(cid:165)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:121)(cid:89)(cid:168)(cid:172)(cid:172)(cid:136)(cid:135)(cid:36)(cid:116)(cid:89)(cid:170)(cid:173)(cid:107)(cid:144)(cid:44)(cid:39)(cid:36)(cid:37).(cid:98)(cid:174) (cid:52)(cid:29)(cid:89)(cid:168)(cid:175)(cid:27)(cid:172)(cid:39) (cid:135)(cid:44)(cid:36)(cid:116). 3(cid:158)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31) (cid:174)(cid:176)(cid:108)(cid:165)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:177)(cid:39)(cid:93)(cid:166)(cid:108)(cid:165)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:37)(cid:108) (cid:165)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:178)(cid:179)(cid:39)(cid:107)(cid:180)(cid:181)(cid:169)(cid:51)(cid:89)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:165)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39) (cid:37)(cid:185)(cid:168)(cid:27)(cid:186)(cid:31)(cid:112)(cid:36)(cid:89)(cid:174)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:187)(cid:93)(cid:27)(cid:186)(cid:31)(cid:188)(cid:189)(cid:51). 4(cid:158)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31) (cid:190)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:192)(cid:169)(cid:172)(cid:39)(cid:107)(cid:78)(cid:89)(cid:124)(cid:36)(cid:37)(cid:137)(cid:121)(cid:193)(cid:51)(cid:108)(cid:194)(cid:39)(cid:168)(cid:115)(cid:34)(cid:195)(cid:196)(cid:40)(cid:89)(cid:109)(cid:197)(cid:36)(cid:198)(cid:199)(cid:37). (cid:84)(cid:200)(cid:51)(cid:38)(cid:39)(cid:201)(cid:202)(cid:10) (1) . (2) . (3) . (4) . (5) . 5(cid:158)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:31) (cid:174)(cid:176)(cid:108)(cid:165)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:121)(cid:129)(cid:203)(cid:204)(cid:172)(cid:205)(cid:77)“(cid:206)(cid:207)”(cid:51)(cid:172)(cid:39)(cid:51)(cid:37)(cid:34)(cid:77)(cid:122)(cid:77)(cid:105)(cid:208)(cid:108)(cid:165)(cid:84)(cid:13)(cid:89)(cid:182)(cid:183)(cid:36)(cid:184)(cid:165) (cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:185)(cid:168)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:31)(cid:36)(cid:116). (cid:22)(cid:85)(cid:31)(cid:201)(cid:202)(cid:129)(cid:209)(cid:136)(cid:28) (cid:84)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:30) (1) . (2) . (3) . (3) .(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:28) (cid:22)(cid:210)1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) , =8(cid:89)(cid:217) =0. 1 9 (1)(cid:36) (cid:218) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛𝑎 𝑆 𝑆𝑛 (2)(cid:164){ }(cid:144)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) = 4, = (cid:89)(cid:36){ }(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30). 1 5 2 6 𝑆 (cid:22)(cid:116)(cid:21)𝑏(cid:140) 𝑛 (cid:219)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:179)(cid:27) 𝑏 (cid:77)(cid:78)(cid:13) 𝑏 (cid:66)(cid:126) − (cid:127) 𝑎 (cid:220)(cid:221)(cid:222)𝑏(cid:198) 𝑛 (cid:152) = (cid:89)(cid:59)(cid:36) (cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:179)(cid:27)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:126)(cid:127)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:198)(cid:152)(cid:7)(cid:79)(cid:89)𝑑 (cid:59)−(cid:36)2(cid:191)(cid:39)(cid:185)(cid:168)𝑆𝑛 . 9×8 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:225)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:7)(cid:78)(cid:144) =0, 9×8+ =0, = (cid:89) = 9 2 2 𝑛(𝑛−1) = 2. 𝑎𝑛 𝑑,∵𝑆 ∴ 𝑑 ∴𝑑 −2 ∴𝑆𝑛 8𝑛− (cid:43) (− 2 2 (cid:45) ) 9 = 𝑛−4𝑛 =4, = = +10=2, 1 5 2 6 𝑠 𝑏 𝑏 −𝑎 −8 (cid:13)(cid:66){ }(cid:7)(cid:79)(cid:144) 1 , =4 1 =2 . 2 2 𝑛−1 3−𝑛 (cid:22)∴(cid:226)(cid:30)1𝑏- 𝑛 1(cid:28)(cid:43)2024·∴(cid:211)𝑏(cid:212) 𝑛 (cid:169)(cid:227)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) =1(cid:89)(cid:217) (cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:158) 1 1 3 9 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 (2)(cid:36)(cid:13)(cid:66){𝑎2𝑛 }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)𝑛(cid:225)(cid:77)(cid:78)𝑆𝑛(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89)(cid:166)(cid:231)(cid:156)(cid:232)(cid:233)(cid:66)(cid:85)(cid:224)(cid:36)(cid:116)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:13)(cid:66){2 }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:89)(cid:7)(cid:30)(cid:31)𝑎𝑛(cid:36)(cid:80) (cid:39)(cid:37)𝑑 . 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:225)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)𝑛(cid:78)(cid:144)𝑆𝑛(cid:89)(cid:166) (cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 1 3 9 (cid:50)(1+ 2=1+ (cid:89)(cid:116)(cid:198) =𝑎1𝑛(cid:122) =0(cid:158) 𝑑 𝑎 𝑎 𝑎 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)2(cid:43)𝑑)1(cid:45)(cid:234)(cid:186)(cid:13)8𝑑(cid:66){ }(cid:51)𝑑(cid:191)(cid:39)(cid:7)𝑑(cid:30)(cid:144) =1(cid:122) = (cid:158) (cid:166)(cid:105)2 =2(cid:122)2 =2 (cid:89)𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 (cid:166)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:198) = (cid:122) = 2 ) =2 +1 (cid:158) 𝑛 2(1− 𝑛 𝑛 𝑆𝑛 2𝑛 𝑆𝑛 1−2 −2 (cid:22)(cid:226)(cid:30)1-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:235)(cid:236)·(cid:108)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156) (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:237)(cid:238) = 1 2+ 1 N )(cid:89)(cid:217) , , 2 2 1 2 3 ∗ 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1(𝑛∈ 𝑎 𝑎 𝑎 , , (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:239) 5(cid:137)(cid:89) >0(cid:158) 4 5 (𝑎1)(cid:36)𝑎(cid:240)(cid:10)(cid:239) 5(cid:137)(cid:89)𝑛{ ≥}(cid:169)(cid:77)(cid:78)𝑎(cid:13)𝑛 (cid:66)(cid:218) (2)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80)𝑛≥n(cid:39)(cid:37) 𝑎(cid:158)𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)𝑎(cid:140)𝑛 (cid:219)(cid:28)(1)(cid:161)(cid:27)𝑆𝑛 = (cid:198)(cid:241) (cid:37) (cid:51)(cid:3)(cid:242)(cid:185)(cid:168)(cid:240)(cid:243)(cid:218) +1 +1 +1 (2)(cid:136)(cid:135)(1)(cid:121)(cid:136)(cid:244)(cid:198) 𝑎𝑛 + 𝑆=𝑛 0(−𝑆𝑛 5)(cid:89)𝑎(cid:36)𝑛(cid:152) 𝑎(cid:37)𝑛(cid:7)(cid:79)(cid:89)(cid:198)(cid:241){ }(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:109)(cid:197)(cid:245)(cid:246)(cid:77)(cid:78)(cid:37)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:80)n +1 1 (cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116)(cid:158)𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛≤ 𝑎 𝑎𝑛(cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45) = 1 2+ 1 N )(cid:89) 2 2 ∗ 2 = 2+ (cid:89)∵ 2 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 2 𝑎 + 𝑛−1(𝑛∈ (cid:89) +1 +1 +1 ∴(cid:172)(cid:30)𝑆𝑛(cid:34)(cid:35)𝑎𝑛(cid:89)(cid:198)𝑎2𝑛−2 =𝑆𝑛2 𝑎2𝑛+ 𝑎𝑛 −(cid:89)2 +1 +1 +1 (cid:185)( + )(𝑎𝑛 𝑎𝑛 )−=𝑎𝑛0(cid:158)𝑎𝑛 −𝑎𝑛 +1 +1 (cid:239) 𝑎𝑛 5(cid:137)(cid:89)𝑎𝑛 𝑎>𝑛0(cid:89)−𝑎𝑛−1 =1(cid:89) +1 (cid:239)𝑛≥ 5(cid:137)(cid:89)𝑎𝑛 { }(cid:169)(cid:77)∴𝑎(cid:78)𝑛(cid:13)−(cid:66)𝑎(cid:158)𝑛 ∴ (cid:43)2(cid:45) 𝑛≥ (cid:166) = 1𝑎2 𝑛 + 1 (cid:89)(cid:116)(cid:198) =2(cid:122) = (cid:89) 1 2 1 2 1 1 1 𝑎 𝑎 𝑎 −1 𝑎 𝑎 −1 (cid:247) , , , , (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 1 2 3 4 5 (cid:166)𝑎(1𝑎)(cid:198)𝑎 𝑎 𝑎+ =0( 5)(cid:89)(cid:248)(cid:197) = (cid:89) +1 ∴(cid:197) >0𝑎(cid:89)𝑛 >𝑎𝑛0(cid:89)(cid:109)(cid:197)𝑛≤ =2= 𝑞(cid:89) −1 5 1 1 5 𝑎 2×∴𝑎 ,1 𝑎 4 𝑎 = (cid:89) 5 𝑛−1 (−1) ≤𝑛≤ ∴𝑎𝑛 ,1 N* = 1 2 𝑛 5 − 𝑛 3 + ,𝑛≥ N* (cid:158) 12−(−12) ≤𝑛≤4,𝑛∈ ∴𝑆𝑛 (cid:22)(cid:226)(cid:30)1- 𝑛 3(cid:28)−(cid:43)𝑛 2024 2 · ,(cid:249)𝑛≥(cid:250)5(cid:251),𝑛(cid:214)∈ ·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) = 1 (cid:89) (cid:89) 3 (cid:89)2 (cid:169)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66). 1 4 2 +1 +1 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 (1)(cid:36)(cid:240)(cid:10)(cid:13)(cid:66) 1 (cid:93)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:44)(cid:36)(cid:152){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 (2)(cid:252){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:240)(cid:243)(cid:10) 3 1 < 5 . 8 3 𝑛 12 𝑎𝑛 𝑆𝑛 1− ≤𝑆𝑛 3 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166) (cid:89) (cid:89)2 (cid:169)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:168)(cid:198)(cid:10)3 = +2 (cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:172)(cid:253)(cid:208)(cid:137)(cid:254)(cid:115) 2 +1 +1 +1 +1 (cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:181)(cid:255)(cid:144) 1 𝑎𝑛 = 𝑎 3 𝑛 1 𝑎 (cid:89) 𝑛𝑎 (cid:256) 𝑛 (cid:115)(cid:88)(cid:108)(cid:55)(cid:187)(cid:168)(cid:115)(cid:198)(cid:240)(cid:44) 𝑎𝑛 (cid:71)(cid:222)(cid:191) 𝑎𝑛 (cid:39)(cid:218) 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛 +1 +1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −1 𝑎𝑛−1 1 1 1 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:3)(cid:257)(cid:93)(cid:178) = (cid:191)(cid:39)(cid:248)(cid:258)(cid:57)(cid:58)(cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:7)(cid:30)(cid:36)(cid:37)(cid:44)(cid:240)(cid:243)(cid:89)(cid:256)(cid:115)(cid:141)(cid:241) = < (cid:37) = 3 1 3 1 3 3 1 𝑎𝑛 𝑛 + 𝑎𝑛 𝑛 + 𝑛 𝑎𝑛 𝑛 + ≥ 1 (cid:89)(cid:132)(cid:128)(cid:187)(cid:259)(cid:240)(cid:243)(cid:130)(cid:77)(cid:30)(cid:169)(cid:260). 4×3 𝑛−1 3 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166) (cid:89) (cid:89)2 (cid:169)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:168)(cid:198)(cid:10)3 = +2 (cid:89) 2 +1 +1 +1 +1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 1 1 3 (cid:234)(cid:144) = (cid:89)(cid:168)(cid:198) 0(cid:89)(cid:256)(cid:115)(cid:172)(cid:253)(cid:208)(cid:137)(cid:254)(cid:115) (cid:198)(cid:10) = (cid:89) 1 4 +1 +1 (cid:261)(cid:30)(cid:168) 𝑎 (cid:16)(cid:144)(cid:10) 1 𝑎𝑛≠ =3 1 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛−2 +1 (cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66) 1 𝑎𝑛 (cid:262) − (cid:263) 1 (cid:93)(cid:115) 𝑎1 𝑛−1 =3(cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)3(cid:144)(cid:7)(cid:79)(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66) 1 1 𝑎𝑛−1 𝑎 −1 1 (cid:256)(cid:115) =3×3 =3 (cid:89)(cid:185) = 3 1 𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑛 𝑎𝑛 𝑛 +1 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:234)(cid:144) = < 3 1 3 𝑎𝑛 𝑛 + 𝑛 1 1 1 (cid:256)(cid:115) = + + + + < + + + + 1 2 3 1 32 32 3 𝑆𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑛1 𝑎 1 ⋯ 𝑛 1 1 1 1 1 9 3 5 1 1 5 = + + + + = + = < 4 32 32 3 4 1 12 2 3 12 1− 𝑛−1 3 ⋯ 𝑛 − ⋅ 𝑛 1 1 1 1− (cid:247)(cid:234)(cid:144) = = 3 1 3×3 1 4×3 𝑎𝑛 𝑛 + 𝑛−1 + ≥ 𝑛−1 1 (cid:256)(cid:115) = + + + + 1 1 + 1 + + 1 = 1 × 3 = 3 1 (cid:89) 1 2 3 4 30 31 3 4 1− 1 3𝑛 8 3 𝑛 (cid:43)(cid:239) 𝑆 n 𝑛 (cid:264)1 𝑎 (cid:137)(cid:77) 𝑎 (cid:9)(cid:169)(cid:260) 𝑎 (cid:45)(cid:89) ⋯ 𝑎𝑛≥ ⋯ 𝑛−1 1− 1− (cid:134)(cid:261)(cid:168)(cid:156)(cid:10) 3 1 < 5 . 8 3 𝑛 12 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:33)1−(cid:34)(cid:35)(cid:31)≤(cid:36)𝑆(cid:37) 𝑛 (cid:28) (cid:22)(cid:210)2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:265)(cid:266)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) =5(cid:89) + =22(cid:158) 2 3 4 (1)(cid:36){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 (2)(cid:36)(cid:13)𝑎𝑛(cid:66){ 2 }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:158) 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)𝑎(cid:28)𝑛⋅(cid:43)1(cid:45)(cid:245)(cid:246)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:71)(cid:222)(cid:198)(cid:152)(cid:191)(cid:39)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:179)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:152)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:37). (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:225)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144)d(cid:89) (cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:168)(cid:198) 1 + =5 (cid:89)(cid:116)(cid:198) 𝑎𝑛 1 =1 (cid:89) 2 + =22 =4 1 𝑎 𝑑 𝑎 (cid:256)(cid:115) = +𝑎( 5)𝑑 = (cid:158) 𝑑 1 (cid:43)2(cid:45)𝑎(cid:225)𝑛 𝑎= 𝑛−21=𝑑( 4𝑛−)32 (cid:89) 𝑛 𝑛 (cid:256)(cid:115) =𝑏𝑛1×𝑎2𝑛1⋅+5×242𝑛+−93×23+ +( )2 +( )2 (cid:89) 𝑛−1 𝑛 (cid:256)(cid:115)𝑇2𝑛 =1×22+5×23+9×24+⋯ +4(𝑛−7 )2 +( 4𝑛−3)2 +1(cid:89) 𝑛 𝑛 (cid:172)(cid:30)(cid:34)𝑇(cid:35)𝑛 (cid:198)(cid:89) =1×21+4×22+⋯4×243𝑛+−7 +4×42𝑛−(3 )2 +1(cid:89) 𝑛 𝑛 (cid:256)(cid:115) =2+ − 4 𝑇𝑛 × 22 2 +1 ( )2 +1(cid:89)(cid:256)(cid:115) ⋯ =14+ − ( 4𝑛− ) 3 ×2 +1(cid:158) 𝑛 − 𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:226) − (cid:30) 𝑇 2 𝑛 -1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:269)1−(cid:270)2 (cid:249) − (cid:271)4(cid:272)𝑛−(cid:249)3 ·(cid:108)(cid:216)(cid:45)(cid:225) 𝑇 N 𝑛 (cid:89)(cid:164)(cid:13)(cid:66)4𝑛 { −7 }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217) (cid:93)2(cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:121)(cid:39)(cid:218) ∗ (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑛∈ 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 (2)(cid:164){ 𝑎𝑛}(cid:93)(cid:115)2(cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)4(cid:144)(cid:7)(cid:78)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑎 (cid:140) 𝑛⋅ (cid:219) 𝑏𝑛 (cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:273)(cid:21)(cid:268)(cid:168)(cid:198)2 =2+ (cid:89)(cid:124)(cid:245)(cid:246) = 𝑏𝑛 1 𝑛=1 𝑇𝑛 (cid:89)(cid:274)(cid:78)(cid:198)(cid:241) =2 (cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77)(cid:79) 2 𝑆 ,𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1,𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:222)(cid:168)(cid:198)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:273)(cid:21)(cid:268)(cid:168)(cid:198) = (cid:89)(cid:170) =( ) ( 1 ) (cid:89)(cid:59)(cid:161)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:71)(cid:222)(cid:168)(cid:198). 2 𝑛−1 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1 𝑎(cid:45) 𝑛 (cid:234)⋅𝑏(cid:144) 𝑛 4(cid:93)𝑛 2 −(cid:129)2 (cid:51)𝑏(cid:77) 𝑛 (cid:78)(cid:121)2𝑛(cid:39)−(cid:89)1(cid:168)⋅(cid:198)2 =2+ (cid:89) (cid:239) =1(cid:137)(cid:89)(cid:168)(cid:198)2 =2𝑎+𝑛 =2𝑆𝑛+ (cid:89)(cid:116)(cid:198) =2(cid:89)𝑎𝑛 𝑆𝑛 1 1 1 1 (cid:239)𝑛 2(cid:137)(cid:89)(cid:166)2 𝑎=2+ 𝑆(cid:89)(cid:168)(cid:198)2 𝑎 =2+𝑎 (cid:89) (cid:172)𝑛(cid:30)≥(cid:34)(cid:35)(cid:168)(cid:198)2 𝑎𝑛 𝑆=𝑛2+ 𝑎𝑛−1 = 𝑆𝑛(cid:89)−1 (cid:185)(cid:144) =2 𝑎(cid:89)𝑛−2𝑎𝑛−1 𝑆𝑛−2−𝑆𝑛−1 𝑎𝑛 (cid:168)(cid:198)(cid:13)𝑎𝑛(cid:66){ 𝑎𝑛 } −(cid:93)1(cid:203)(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:79)(cid:103)(cid:144)2(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) (cid:256)(cid:115) =2𝑎𝑛(cid:218) 𝑛 (cid:43)2(cid:45)𝑎(cid:164)𝑛 { }(cid:93)(cid:115)2(cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)4(cid:144)(cid:7)(cid:78)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) (cid:170) 𝑎=𝑛2⋅𝑏+𝑛4( )= (cid:89) (cid:168) 𝑎 (cid:198) 𝑛⋅𝑏 = 𝑛 ( ) 𝑛 ( −11 ) 4 (cid:89) 𝑛−2 2 𝑛−1 (cid:13)(cid:66) 𝑏 { 𝑛 }(cid:51) 2 (cid:80) 𝑛− (cid:39) 1 (cid:37) ⋅ =1×( 1 ) 0 +3×( 1 ) 1 +...+( )×( 1 ) (cid:89) 2 2 2 𝑛−1 1 = 𝑏 1 𝑛 ×( 1 ) 𝑛1 +3× 𝑇𝑛 ( 1 ) 2 +...+( )×( 1 ) (cid:89) 2𝑛−1 2 2 2 2 𝑛 𝑇𝑛 2𝑛−1 (cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:168)(cid:198) 1 =1+1+ 1 +...+( 1 ) ( ) ( 1 ) 2 2 2 𝑛−2 2 𝑛 1 𝑇𝑛 − 2𝑛−1 ⋅ =1+ 2 ( ) ( 1 ) (cid:89) 1− 𝑛 1 2−1 2 𝑛 1− − 2𝑛−1 ⋅ (cid:16)(cid:275)(cid:168)(cid:198) = ( +3) ( 1 ) (cid:158) 2 𝑛−1 (cid:22)(cid:226)(cid:30)2- 𝑇 2(cid:28) 𝑛 (cid:43)6 2 − 0224𝑛·(cid:276)(cid:250)(cid:277)⋅(cid:266)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:278)(cid:13)(cid:51)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) ,2 = ( +1)(cid:217) 3 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 = . 2 2 1 𝑎 𝑎 (1)(cid:36){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 (2)(cid:164) = ,(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 =1 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:245)(cid:246)(cid:7)(cid:30) = 1 (cid:36) (cid:185)(cid:168). 2 𝑆 ,𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:156) ,(cid:245)(cid:246)(cid:191)(cid:39)(cid:7) 𝑎𝑛 (cid:30)(cid:279)𝑆(cid:280)𝑛−,(cid:27)𝑆𝑛(cid:32)−1(cid:33),𝑛(cid:34)≥(cid:35)(cid:112)(cid:36) 𝑎𝑛 (cid:185)(cid:168). 𝑏𝑛 𝑇𝑛 3 3 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:239) =1(cid:137),2 = +1,(cid:116)(cid:152) =1,(cid:247) = ,(cid:170) = (cid:218) 1 1 1 2 2 1 2 2 2 𝑛= ( +𝑆1), 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 (cid:239) 2(cid:137),(cid:166) (cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:198)( ) +1=0,(cid:172)(cid:253)(cid:208)(cid:137)(cid:254)(cid:115) ( ) 2 =( +1)( +1), +1 +1 +1 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑛≥ 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛 −𝑛𝑎𝑛 𝑛 𝑛−1(cid:185) +1 + 1 =0,(cid:185) +1 = 1 = 1 1 , 2 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛 −𝑛−1 𝑛(𝑛−1) 𝑛 −𝑛−1 −𝑛(𝑛−1) 𝑛−𝑛−1𝑛≥ (cid:161)(cid:27)(cid:261)(cid:281)(cid:77)(cid:30)(cid:50) + + 3 2= 1 1 + + 1 , 3, 2 1 2 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎 𝑎 𝑛−1−𝑛−2 ⋅⋅⋅ − 𝑛−1−𝑛−2 ⋅⋅⋅ −1𝑛≥ 1 1 (cid:234)(cid:186) = ,(cid:185) = , 3, 2 2 𝑎𝑛 𝑛+ 𝑛−1−𝑎 𝑛−1−1 𝑎𝑛 𝑛≥ 3 1 1 (cid:239) =1,2(cid:137), =1, = (cid:237)(cid:238) = ,(cid:234)(cid:186) = (cid:218) 1 2 2 2 2 𝑛+ 𝑛+ 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 1 2 3 4 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:168)(cid:156), = ,(cid:170) = + + + + , 2 +1 22 23 24 2 +1 𝑛+ 𝑛+ 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 1 1 2 3 1 (cid:172)(cid:253)(cid:208)(cid:137)(cid:282)(cid:115) (cid:198), = + + + + , 2 2 23 24 2 +1 2 +2 𝑛 𝑛+ 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:198) = + + + = + + + + , 2 22 23 2 +1 2 +2 22 22 23 2 +1 2 +2 𝑛+ 𝑛+ 𝑇1 𝑛 1 ⋅⋅⋅ 𝑛 − 𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 − 𝑛 1 1 1 3 3 (cid:185) = +22 2 𝑛 = 2 22 1 2 +2 4 2 +2 1− 2 𝑛+ 𝑛+ 𝑇𝑛 31− 3 − 𝑛 − 𝑛 (cid:283)(cid:15)(cid:198)(cid:89) = . 2 2 +1 𝑛+ 𝑇𝑛 − 𝑛 (cid:22)(cid:226)(cid:30)2-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:284)(cid:285)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 3 2 =3(cid:89) + =3(cid:89) >0(cid:89) = (cid:89)2𝑎𝑛 + = (cid:158) 𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑆 −𝑆 1 2 1 2 3 1 2 3 (1)(cid:36)(cid:13)𝑎(cid:66){ 𝑎}(cid:62){ }𝑏(cid:51)𝑛(cid:191)(cid:39)(cid:7)𝑏(cid:30)⋅(cid:218)𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 (2) (cid:51)(cid:80)𝑎 n 𝑛 (cid:39)(cid:37)𝑏𝑛 (cid:89)(cid:36)(cid:240)(cid:10) 1 <2(cid:158) 2 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:116)𝑏(cid:21) 𝑛 (cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)1(cid:45) 𝑇𝑛 (cid:252)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51) ≤ (cid:7) 𝑇𝑛 (cid:78)(cid:144) (cid:89)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:79)(cid:144) (cid:89)(cid:245)(cid:246)(cid:231)(cid:156)(cid:66)(cid:85)(cid:224)(cid:42)(cid:36)(cid:116)(cid:185)(cid:168)(cid:218) 𝑎𝑛 2 𝑑 𝑏𝑛 𝑞 (cid:43)2(cid:45)(cid:245)(cid:246)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:89)(cid:252) = (cid:89)(cid:286)(cid:287)(cid:199)(cid:288)(cid:289)(cid:154)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:240). 2 𝑛+ 𝑐𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:252)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:79)(cid:144) (cid:89) >0(cid:89) (cid:166)(cid:21)(cid:156)(cid:89) 3 2 = 3 = 1 +𝑎𝑛 =3 (cid:89)(cid:116) 𝑑 (cid:198) = 𝑏 = 𝑛 1(cid:89)(cid:256)(cid:115) 𝑞 = 𝑏𝑛 . + + =3 1 1 1 𝑆 −𝑆 𝑎 𝑎 2𝑑 (cid:166) 1 1 = 𝑎1 2 𝑎(cid:89)(cid:116)𝑑(cid:198) = =2(cid:122) = 𝑎 = 𝑑 (cid:43)(cid:290)(cid:149)(cid:45) 𝑎 (cid:89) 𝑛 (cid:256) 𝑛 (cid:115) =2 . 2 + = 2 1 1 1 1 1 𝑏 ⋅𝑏 𝑞 𝑏 𝑞 𝑛 𝑏 𝑞 𝑏 𝑞 −1 𝑏𝑛 (cid:43)2(cid:45)𝑏(cid:166)(cid:43)𝑏 1(cid:45)𝑞 (cid:168)𝑏(cid:156)𝑞 = = 1 (cid:89) 𝑎𝑛 2 𝑛 2 𝑏𝑛 𝑛 𝑛⋅ 𝑛 1 1 1 (cid:170) =1× +2× + + × (cid:89) 2 22 2 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛 1 1 1 1 =1× +2× + + × (cid:89) 2 22 23 2 +1 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:198) = + + + + × =2 2 = (cid:89) 2 2 22 23 2 2 +1 1 2 +1 2 2 +1 1−2𝑛 𝑛 𝑛 𝑇𝑛 2 ⋅⋅⋅ 𝑛 −𝑛 𝑛 1− − 𝑛 1− 𝑛 − 𝑛 (cid:256)(cid:115) = (cid:89) 2 𝑛+ 𝑇𝑛 2− 𝑛2 3 2 1 (cid:252) = (cid:89)(cid:170) = = <0(cid:89) 2 +1 2 +1 2 2 +1 𝑛+ 𝑛+ 𝑛+ 𝑛+ 𝑐𝑛 𝑛 𝑐𝑛 −𝑐𝑛 𝑛 − 𝑛 − 𝑛 2 3 2 (cid:256)(cid:115){ }(cid:288)(cid:289)(cid:291)(cid:35)(cid:89)(cid:256)(cid:115) = = (cid:89)(cid:217) = >0(cid:89) 2 1 2 2 𝑛+ 𝑛+ 𝑐𝑛 𝑐𝑛 𝑛 ≤𝑐 𝑐𝑛 𝑛 1 2 1 (cid:256)(cid:115) <2(cid:89)(cid:185) <2. 2 2 2 𝑛+ ≤2− 𝑛 ≤𝑇𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28) 2 +1 (cid:22)(cid:210)3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:276)(cid:250)(cid:292)(cid:293)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) =2, = . 1 +1 𝑛 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛+ (1)(cid:240)(cid:243)(cid:10)(cid:13)(cid:66) 2 (cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:218) 𝑛 𝑎𝑛 (2)(cid:225) = +1 +2(cid:89)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) . 𝑎𝑛 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:140)(cid:219)(cid:28) 𝑎𝑛 (cid:43)1(cid:45)(cid:161)(cid:27)𝑏𝑛 (cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:60) 𝑇 (cid:61) 𝑛 (cid:185)(cid:168)(cid:240)(cid:243)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:245)(cid:246)(cid:43)1(cid:45)(cid:55)(cid:89)(cid:36)(cid:152)(cid:13)(cid:66) 2 (cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:109)(cid:197)(cid:36)(cid:198)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:248)(cid:197)(cid:168)(cid:36)(cid:198)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39) 𝑛 (cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:132)(cid:128)(cid:161)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:31)𝑎𝑛 (cid:36)(cid:198) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 2 𝑇𝑛 2 +1 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:240)(cid:243)(cid:10)(cid:294) = (cid:89)(cid:247) = (cid:89)(cid:170)(cid:50) 𝑛 +1 𝑛 2 𝑎𝑛 𝑛 2 +1 2 2 +1 2 𝑐𝑛 𝑎𝑛 2 2 𝑎𝑛 2 𝑎𝑛 2 + +1 = 𝑛+1 𝑛 = 2 𝑛 + 𝑛 1 2 𝑎𝑛 𝑛 = 𝑎𝑛+ 𝑛 𝑛 = 𝑎𝑛+ 𝑛 − 𝑛 =1(cid:89) 𝑐𝑛 −𝑐𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 2 𝑎 1𝑛+ 𝑛 2 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 (cid:247) =2(cid:89)(cid:256)(cid:115) = = =1 1 1 1 2 𝑎 𝑐 𝑎 (cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66) 2 (cid:93)(cid:115)1(cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)1(cid:144)(cid:7)(cid:78)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66) 𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)𝑎 1 𝑛 (cid:45)(cid:156)(cid:89) = +( ) =1+( )×1= (cid:89) 1 2 𝑐𝑛 2 𝑐 𝑛−1 𝑑 𝑛−1 𝑛 (cid:247) = (cid:89)(cid:256)(cid:115) = (cid:89) 𝑛 𝑛 (cid:256) 𝑐 (cid:115) 𝑛 𝑎 = 𝑛 +1 + 𝑎 2 𝑛 = 2 𝑛 +𝑛 1 1 2 𝑛 + 2 2 = 2 +3 =( )× 2 +3 2 +4 (cid:89) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛+ 2 ⋅𝑛+ ( 𝑛 1 ⋅ )𝑛( 2) 𝑛1 𝑛2 𝑛 (cid:256)(cid:115) 𝑏𝑛 = 𝑎 + 𝑛 + +𝑛 + 𝑛+ 𝑛+ −1 𝑛+ −𝑛+ 1 2 3 𝑇𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏𝑛 24 25 25 26 26 27 2 +3 2 +4 = ( )× + + + + 2 3 3 4 4 5 𝑛+1 𝑛+2 −1 − − − ⋅⋅⋅ − 24 25 25 26 26 27 2 +3 2𝑛+4 𝑛 = ( )× + + + + 2 3 3 4 4 5 𝑛+1 𝑛+2 −1 24− 2 +4 − − ⋅⋅⋅ − = ( )× 𝑛 𝑛 2 𝑛+2 −1 − = 2 +4 . 𝑛 𝑛2 𝑛+ −8 (cid:22)(cid:226)(cid:30)3-1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:269)(cid:270)(cid:249)(cid:295)(cid:296)(cid:297)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:252) (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:89) (cid:93)(cid:203)(cid:39)(cid:129)(cid:7)(cid:78)(cid:103)(cid:144)1(cid:51) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑛(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:158) (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 ( 1) (2)(cid:225) = (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2024(cid:39)(cid:51)(cid:37) (cid:158) 𝑛 2024 (−1) 𝑎𝑛+ (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43) 𝑆𝑛 1(cid:45)(cid:56)(cid:36) = 𝑏2 𝑛 + (cid:89)(cid:59)(cid:161)(cid:27)“(cid:298)(cid:33)(cid:31) 𝑇 ”(cid:168)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:161)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:168)(cid:36)𝑆𝑛 𝑛 . 𝑛 𝑎𝑛 2024 𝑇 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166) (cid:93)(cid:203)(cid:39)(cid:129)(cid:7)(cid:78)(cid:103)(cid:144)1(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:198) =1+ ×1= (cid:170) = 2+ (cid:89)(cid:239) 2(cid:137) 𝑆 (cid:89) 𝑛−𝑛 = 2+ (cid:89) 𝑆𝑛−𝑛 (𝑛−1) 𝑛, (cid:172)(cid:30)𝑆𝑛(cid:34)(cid:35)𝑛(cid:198)(cid:89)𝑛 =𝑛≥(cid:89) 𝑆𝑛−1 (𝑛−1) (𝑛−1) (cid:239) =1(cid:137)(cid:89) 𝑎=𝑛 2=𝑛 2(cid:89)(cid:299)(cid:237)(cid:238)(cid:261)(cid:30)(cid:89)(cid:300)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:144) = (cid:158) 1 1 (cid:43) 𝑛 2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45) 𝑎 (cid:198)(cid:89) 𝑆 = ( 1) = 1) = 𝑎𝑛 1 + 1 (cid:89) 𝑎𝑛 2𝑛 (−1) 𝑛 𝑎𝑛+ (−1) 𝑛 (2 1 𝑛 ) + 𝑛 1 (cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) 𝑏 20 𝑛 24(cid:39)(cid:51) 𝑆 (cid:37) 𝑛 (cid:144)(cid:10) 𝑛(𝑛+ (−1) 𝑛 𝑛+ 𝑏𝑛 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + + 2024 2 2 3 3 4 2024 2025 𝑇 −1 2024 − ⋯ = + = . 2025 2025 (cid:22)(cid:226)−1(cid:30)3-2(cid:28)(cid:43)20 − 24·(cid:301)(cid:302)(cid:270)(cid:303)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:164)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:7)(cid:78)(cid:144)1(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:217) =2(cid:89)(cid:67)( , )(cid:124)(cid:131)(cid:13) 3 =3 (cid:51)(cid:304)(cid:305)(cid:261)( N )(cid:89)(cid:252)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)𝑎(cid:39)𝑛 (cid:37)(cid:144) . 𝑎 𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑥 ∗ (𝑓1()𝑥(cid:36))(cid:13)(cid:66){ },{ }(cid:51)𝑛(cid:191)∈(cid:39)(cid:7)(cid:30); 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 1 (2)(cid:225) = (cid:89)(cid:252)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:240)(cid:243): < . 4 𝑏𝑛+1 12 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑐𝑛 (cid:140)(cid:219) 𝑆 (cid:28) 𝑛𝑆𝑛 (cid:43)1(cid:45)(cid:245)(cid:246)(cid:77)𝑐(cid:78) 𝑛 (cid:13)(cid:66)(cid:126) 𝑛 (cid:127)(cid:220)(cid:51) 𝑇 (cid:71) 𝑛 (cid:222)(cid:185)(cid:168)(cid:36) 𝑇𝑛 (cid:116) = (cid:89)(cid:306)(cid:307)( , )(cid:241) =3 (cid:121)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116)b = n 𝑥 3n-1(cid:89) 𝑎𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑓(𝑥) (cid:43)2(cid:45)(cid:161)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116). (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166) =2(cid:198) =0(cid:89) = + × = (cid:89) 3 1 1 (cid:67)( , )(cid:124)(cid:131)(cid:13) 𝑎=3 (cid:51)(cid:304)𝑎 (cid:305)(cid:261) ∴𝑎N𝑛)(cid:89)𝑎 (𝑛−1) 𝑑 𝑛−1 𝑥 ∗ ∵b n =𝑎𝑛 3𝑏a n 𝑛 =3n-1 𝑓(𝑥) (𝑛∈ (cid:43) ∴ 2(cid:45) b n =3a n=3n-1,(cid:308)(cid:309)(cid:13)(cid:66){ }(cid:144)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:203)(cid:39)(cid:144)1(cid:89)(cid:7)(cid:79)(cid:144)3(cid:89)(cid:170) = 3 𝑛2 (cid:89) −1 ∴ 3 1 1 𝑏𝑛 1 1 𝑆𝑛 = = = ( ) 4 𝑏𝑛+1 (3 1)(𝑛3−+1 1) 6 3 1 3 +1 1 ∴𝑐𝑛 𝑆𝑛𝑆𝑛 𝑛 − 𝑛 − 𝑛 − − 𝑛 − = + + + + 1 2 3 ∴𝑇𝑛 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐𝑛1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( + + + + ) 6 2 8 8 26 26 80 3 1 3 +1 1 1 1− 1 − 1 − 1 ⋅⋅⋅ 𝑛 1 − 𝑛 = ( )= <− − 6 2 3 +1 1 12 6(3 +1 1) 12 − 𝑛 − 𝑛 < 1 . − − 12 ∴𝑇𝑛 (cid:22)(cid:226)(cid:30)3-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:310)(cid:266)(cid:311)(cid:312)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217){ + 2}(cid:299)(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:158) (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 (2)(cid:164) = 𝑎𝑛 (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66) 1 (cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:158) 1 +1 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑎 (cid:140)(cid:219) − (cid:28) 1 (cid:43)1(cid:45)(cid:225)(cid:152)𝑎(cid:7) 𝑛𝑎𝑛 (cid:78)(cid:89)(cid:245)(cid:246){ + 𝑇𝑛 2}(cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:89)(cid:198)(cid:241) +2=0(cid:89)(cid:36)(cid:152)(cid:7)(cid:78)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:198)(cid:241) = +1(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)𝑆(cid:36)𝑛 (cid:37)𝑛(cid:89)(cid:198)(cid:241)(cid:117)(cid:313). 𝑑 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)𝑎(cid:28)𝑛 (cid:43)−12(cid:45)𝑛(cid:225)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144)d(cid:89)(cid:170) = +( ) (cid:158) 1 (cid:234)(cid:144){ + 2}(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)𝑎(cid:256)𝑛(cid:115) +( +1)𝑎2𝑛 𝑎 2(cid:144)𝑛(cid:84)−1(cid:13)𝑑(cid:158) +1 +𝑆𝑛( +𝑛1)2 2= +𝑆𝑛 +1=𝑛 +−𝑆𝑛+−𝑛 +1=( +2) + +1(cid:89) +1 +1 1 1 𝑆(cid:256)𝑛(cid:115) +𝑛2=0(cid:89)−(cid:116)𝑆𝑛(cid:198)−𝑛= 𝑎𝑛 2𝑛 𝑛𝑑 𝑎 2𝑛 𝑑 𝑛 𝑎 (cid:43)2(cid:45)𝑑(cid:234)(cid:144) = (cid:89)(cid:256)𝑑 (cid:115)−2= +1(cid:158) 1 1 = 𝑎 1−1 = 𝑎𝑛 1−2𝑛 = 1 1 1 (cid:89) +1 ( 1)( ) ( )( 1) 2 1 (cid:300) 𝑎𝑛𝑎𝑛 = 1 −2𝑛+ 1 + − 1 2𝑛− 1 1 + 2𝑛 + −1 1 2𝑛+ 1 2 = 𝑛−11−2𝑛+ 1 = (cid:158) 2 3 3 5 1 2 1 1 𝑛 (cid:22) 𝑇 (cid:21) 𝑛 (cid:29)4 1−(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)−(cid:39)(cid:45)⋯(cid:31)(cid:36)2(cid:37)𝑛−(cid:28)1−2𝑛+ 1−2𝑛+ 2𝑛+ (cid:22)(cid:210)4(cid:28)(cid:43)2024·(cid:314)(cid:249)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:144)(cid:7)(cid:78)(cid:130)(cid:144)(cid:315)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) =49(cid:89)(cid:217) 7 (cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:158) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑆 2 5 14 𝑎(1)(cid:36)𝑎{ }(cid:51)𝑎 (cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:164)(cid:13)𝑎𝑛(cid:66){ + }(cid:93)(cid:7)(cid:79)(cid:144)3(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:217) =22(cid:89)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:158) 3 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)𝑎(cid:28)𝑛 (cid:43)𝑏1𝑛(cid:45)(cid:225)(cid:7)(cid:78)(cid:144)d(cid:89)(cid:245)(cid:246)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)𝑏(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)𝑏(cid:30)𝑛 (cid:129)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39)𝑇(cid:7)𝑛(cid:30)(cid:66)(cid:152)(cid:3)(cid:105) (cid:37)d(cid:51)(cid:85)(cid:224)(cid:89)(cid:36) 1 (cid:116)(cid:185)(cid:168)(cid:198){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)𝑎1𝑛(cid:45)(cid:168)(cid:198)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66){ + }(cid:51)(cid:88)(cid:267)(cid:39) + (cid:89)(cid:248)(cid:197)(cid:198) + (cid:89)(cid:109)(cid:197)(cid:198)(cid:241){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:77) 3 3 1 1 (cid:78)(cid:37)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:41)𝑎𝑛(cid:42)(cid:36)𝑏(cid:37)𝑛 (cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:152)𝑎 . 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:234)(cid:144){ }(cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:225)(cid:7)𝑇(cid:78)𝑛(cid:144)d(cid:89) ( )×7 𝑎𝑛 (cid:166) =49(cid:89)(cid:198) 1 7 =7 =49(cid:89) =7(cid:185) + =7(cid:89) 7 2 4 4 1 𝑎 +𝑎 (cid:166) 𝑆 (cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:198) 𝑎 2= ⇒𝑎 (cid:89) (7 𝑎 + ) 32𝑑 =( )(7+ )(cid:89) 2 5 14 5 2 14 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅𝑎 ⇒ 𝑑 7−2𝑑 10𝑑(cid:16)(cid:275)(7+ )2=( )(7+ )(cid:198) 2 =0(cid:89)(cid:234)(cid:144) 0(cid:89)(cid:256)(cid:115) =2(cid:158) (cid:256)(cid:115) =𝑑 +( 7−2)𝑑= 10(𝑑 𝑑N −)(cid:158)2𝑑 𝑑≠ 𝑑 4 ∗ (cid:134)(cid:261)𝑎𝑛=𝑎 (𝑛−4N𝑑)(cid:158)2𝑛−1 𝑛∈ ∗ (cid:43)2(cid:45)𝑎(cid:166)𝑛 2=𝑛−1 𝑛∈(cid:156) =1(cid:89) =5(cid:89) 1 3 (cid:247){ +𝑎𝑛 }(cid:144)2(cid:7)𝑛−(cid:79)1(cid:93)𝑎3(cid:51)(cid:77)(cid:79)𝑎(cid:13)(cid:66)(cid:89) =22(cid:89) 3 (cid:256)(cid:115)𝑎𝑛 +𝑏𝑛 =( + )×9=5+22𝑏=27(cid:89)(cid:185) + =1+ =3(cid:89) 3 3 1 1 1 1 1 (cid:256)(cid:115)𝑎 +𝑏 =3𝑎×3 𝑏 =3 (cid:89) =3 ( )𝑎(cid:89)( 𝑏 N ) 𝑏 𝑛−1 𝑛 𝑛 ∗ (cid:256)(cid:115)𝑎𝑛=𝑏𝑛+ + + + 𝑏𝑛=31+−322𝑛+−313+ 𝑛+∈3 [1+3+5+ +( )] 1 2 3 𝑛 = 3×𝑇( 𝑛 3 )𝑏 (1 𝑏 )𝑏 = 3⋅⋅+⋅1 𝑏𝑛 2. ⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅ 2𝑛−1 𝑛 2 𝑛 2 1− +2𝑛−1 𝑛 −3 1−3 − −𝑛 (cid:134)(cid:261) = 3 +1 2. 𝑛 2 −3 𝑇𝑛 −𝑛 (cid:22)(cid:226)(cid:30)4-1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:297)(cid:250)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78) >0(cid:89)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217) = (cid:89) = . 3 6 8 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑑 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎 −5 𝑆 −16 𝑎𝑛 = (2)(cid:164) = ( )(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 2 = (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:140)(cid:219) 𝑎 (cid:28) 𝑛,𝑛𝑛 (cid:43),𝑛1(cid:45) 2𝑘 2(cid:273) − 𝑘(cid:21) 1 (cid:268)𝑘∈(cid:198)𝑁(cid:241) ∗ (cid:3)(cid:105) (cid:62) (cid:51)𝑏𝑛 (cid:85)(cid:224)(cid:42) 2 (cid:89) 𝑛 (cid:116)(cid:198) 𝑇2𝑛 (cid:62) (cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:152)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 1 1 =𝑎 𝑑 𝑎 𝑑 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:168)(cid:198) = ( )(cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:71)(cid:222)(cid:168)(cid:198). 2 = (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45) 𝑏 (cid:234) 𝑛 (cid:144) 2𝑛−1 = 𝑛1 ,𝑛 ,𝑛 (cid:89)2 2 𝑘 𝑘− = 1 𝑘∈𝑁(cid:89) ∗ 3 6 8 (cid:256)(cid:115) ( 1 + 8× )( ( 1 + ) ) 𝑎 = 𝑎 (cid:89) − (cid:116) 5 (cid:198) 𝑆 1 =−16 (cid:122) 1 =5 (cid:89) 8 + = =2 = 1 𝑎 2𝑑 𝑎 8 2 −1 5𝑑 −5 𝑎 −9 𝑎 (cid:234)(cid:144) > 𝑎 0(cid:89)(cid:256)(cid:115) 1 =𝑑 −(cid:89)16(cid:170) = + 𝑑 ( ) = 𝑑 −2(cid:218) =2 1 𝑎 −9 (cid:43)2(cid:45) 𝑑 (cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:168)(cid:198) 𝑑 = =𝑎𝑛 𝑎 = 𝑛−1 𝑑 =2𝑛−11 ( )(cid:89) 2 = 2 = (cid:256)(cid:115) =[ 𝑏𝑛 +3 𝑎 + 𝑛,𝑛𝑛 7,𝑛+ 2𝑘 2+ − 𝑘 1 ( 2𝑛 ) − ] 1 + 𝑛1 ,𝑛 , ( 𝑛 222+ 2 𝑘 𝑘 2 − 4 1 + 𝑘 26∈ + 𝑁 ∗ +2 ) 2𝑛 [𝑇2𝑛+(−9−5−)1] 22( 2⋯) 4𝑛−13 ⋯ = + 2 222𝑛 𝑛 −9 4𝑛−13 1− =2 2 + 4 +1 . 1− 𝑛 3 −4 𝑛 −11𝑛 (cid:22)(cid:226)(cid:30)4-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:269)(cid:270)(cid:249)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78) >0(cid:89) (cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:121)(cid:39)(cid:144)5(cid:89)(cid:217) =24. 2 8 4 6 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑑 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 为奇数， (2)(cid:225) = 1 (cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)20(cid:39)(cid:37) . 为偶数， 20 𝑎𝑛+,𝑛2 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:140)(cid:219)𝑎(cid:28)𝑛𝑎(cid:43)𝑛 1,(cid:45)𝑛 (cid:245)(cid:246)(cid:77)(cid:78)(cid:121)(cid:39)(cid:36)(cid:152)𝑏𝑛 =5(cid:89)(cid:59)(cid:245)(cid:246) 𝑇 =24(cid:36)(cid:152)(cid:7)(cid:78) (cid:89)(cid:132)(cid:128)(cid:245)(cid:246)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89) 5 4 6 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑(cid:36)(cid:152){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)𝑎(cid:56)𝑛(cid:316)(cid:152) (cid:89)(cid:178) (cid:144)(cid:54)(cid:13)(cid:51)(cid:63)(cid:111)(cid:248)(cid:258)(cid:38)(cid:39)(cid:89)(cid:59)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:36)(cid:152) . 20 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)𝑏(cid:43)𝑛 1(cid:45)𝑛(cid:234)(cid:144){ }(cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:217) (cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:121)(cid:39)(cid:144)5(cid:89)𝑇 2 8 (cid:256)(cid:115) + =2×5=2 𝑎(cid:89)𝑛 (cid:116)(cid:198) =5(cid:89) 𝑎 𝑎 2 8 5 5 (cid:234)(cid:144)𝑎 𝑎=24(cid:89) 𝑎 𝑎 4 6 (cid:256)(cid:115)𝑎 𝑎 + =24(cid:89)(cid:116)(cid:198) =±1(cid:89) (cid:234)(cid:144)(5>−𝑑0)(cid:89)(5(cid:256)(cid:115)𝑑)=1(cid:89) 𝑑 (cid:256)(cid:115)𝑑 = + 𝑑 =5+ = (cid:89) 5 (cid:300)(cid:13)𝑎(cid:66)𝑛 { 𝑎}(cid:51)(cid:191)(𝑛(cid:39)−(cid:7)5)(cid:30)𝑑 (cid:144) =(𝑛−(cid:218)5) 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛为奇 𝑛 数， (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:156)(cid:89) = 1 为偶数， 𝑛,2𝑛) 𝑏为𝑛 奇数， 𝑛(𝑛+ ,𝑛 (cid:185) = 1 1 1 为偶数， 2 𝑛,𝑛2 𝑏𝑛 (cid:256)(cid:115) 20 =𝑛1−+𝑛+2 +,𝑛 3 + 4 + + 19 + 20 𝑇 1 𝑏1 𝑏1 𝑏 1𝑏 1⋯ 1𝑏 𝑏 1 1 1 =1+ × +3+ × + +19+ × 2 2 4 2 4 6 2 20 22 = (1 19)×10 + −1 × 1 1 =100 − + 5 = ⋯2205 (cid:89) − 2 2 2 22 22 22 + − 2205 (cid:300)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)20(cid:39)(cid:37) (cid:144) . 20 22 (cid:22)(cid:226)(cid:30)4 𝑏 - 𝑛 3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:310)(cid:266) 𝑇 (cid:317)(cid:312)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238)(cid:10) =2(cid:89)(cid:217) (cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:158) 1 1 2 4 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 4 2 (2)(cid:164)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:130)(cid:144)(cid:315)(cid:217)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238)(cid:10) = (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) ( )( 1) 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)𝑎 1 𝑛 (cid:45)(cid:225)(cid:13)(cid:66)(cid:7)(cid:78)(cid:89)(cid:166)(cid:232)(cid:233)𝑏(cid:66) 𝑛 (cid:152)(cid:85)(cid:224)(cid:89) 𝑏𝑛 (cid:36)(cid:116) 𝑎 (cid:128) 𝑛− (cid:221) 1 (cid:27) 𝑎𝑛+ (cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:126)(cid:127)𝑏(cid:220) 𝑛 (cid:221)(cid:222) 𝑛 (cid:185)(cid:198)(cid:218) 𝑇𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:36)(cid:152)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:245)(cid:246)(cid:199)(cid:98)(cid:30)(cid:136)(cid:181)(cid:248)(cid:258)(cid:192)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:129)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:198) . 𝑏𝑛 𝑇(cid:22)𝑛(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:225)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89)(cid:273)(cid:21)(cid:268)(cid:89)2,2+ + (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:256)(cid:115)(2+ 2=2(2+ (cid:89) (cid:116)(cid:198) =0(cid:122) =2(cid:89)(cid:239) =0𝑎(cid:137)𝑛(cid:89) =2(cid:218)𝑑(cid:239) =2(cid:137)(cid:89) =2𝑑,+2 3𝑑 ×2= 𝑑) 3𝑑) (cid:256)(cid:115)𝑑(cid:13)(cid:66){ 𝑑}(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)𝑑(cid:30)(cid:144) =𝑎2𝑛(cid:122) = 𝑑. 𝑎𝑛 (𝑛−1) 2𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 2𝑛 4 2 4 2 (cid:43)2(cid:45)(cid:234)(cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:130)(cid:144)(cid:315)(cid:89)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:156) = ( N )(cid:89)(cid:170) = = ( )( 1) 1) ∗ 𝑛 𝑛 = 4 2 1 =1+ 𝑎𝑛 1 =1+ 1 ( 1 1 )(cid:89) 𝑎𝑛 2𝑛 𝑛∈ 𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛+ (2𝑛−1)(2𝑛+ 4 2 1) 2 1 𝑛 −1+ 𝑛 −1 (2𝑛−1)(2𝑛+ 2𝑛−1−2𝑛+(cid:256)(cid:115) = + 1 1 1 + 1 1 1 + 1 1 1 + + 1 1 1 (cid:89) 2 1 3 2 3 5 2 5 7 2 1 (cid:185) 𝑇 = 𝑛 + 𝑛 1 − 1 = + − . − ⋅⋅⋅ 2𝑛−1−2𝑛+ 2 1 1 𝑛 (cid:22) 𝑇 (cid:21) 𝑛 (cid:29) 𝑛 5 (cid:46)(cid:47)1−(cid:34)2(cid:48)𝑛+(cid:31)(cid:36)(cid:37) 𝑛 (cid:28) 2𝑛+ (cid:22)(cid:210)5(cid:28)(cid:43)2024·(cid:261)(cid:318)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156) ( )= 1 2+ 1 (cid:89)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:67)( )( N*)(cid:103)(cid:124)(cid:131)(cid:13) 2 2 = ( )(cid:51)(cid:304)(cid:305)(cid:261). 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑛,𝑆𝑛 𝑛∈ (𝑦1)(cid:36)𝑓(cid:13)𝑥(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛4 (2)(cid:164) ( )= (cid:89)(cid:294) = ( N*)(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2024(cid:39)(cid:37) . 4 𝑥2 2025 2024 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑔 (cid:140) 𝑥 (cid:219)(cid:28) 𝑥 (cid:43) + 1(cid:45)(cid:166) 𝑏 (cid:21) 𝑛 (cid:268) 𝑔 (cid:198) = 1 𝑛 2 ∈ + 1 (cid:89)(cid:59)(cid:161)(cid:27) 𝑏𝑛 = 1 =1 𝑇 (cid:168)(cid:36)(cid:152) (cid:89) 2 2 2 𝑆 ,𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:56)(cid:36)(cid:198) + = 𝑆𝑛 1(cid:89) 𝑛 = 𝑛 ( N 𝑎 *) 𝑛 (cid:89)(cid:309)𝑆(cid:128) 𝑛−(cid:161)𝑆𝑛 (cid:27) − (cid:46) 1,𝑛(cid:47)≥(cid:34)(cid:48)(cid:31)(cid:168)(cid:36) 𝑎𝑛 (cid:198)(cid:136)(cid:176). 2025 𝑛 𝑔(𝑥) 𝑔(1−𝑥) 𝑏𝑛 𝑔 𝑛∈ (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:234)(cid:144)(cid:67)( )( N*)(cid:103)(cid:124)(cid:131)(cid:13) ( )= 1 2+ 1 (cid:51)(cid:304)(cid:305)(cid:261)(cid:89) 2 2 𝑛,𝑆𝑛 𝑛∈ 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 (cid:256)(cid:115) = 1 2+ 1 (cid:89) 2 2 𝑆𝑛 𝑛 𝑛 1 1 (cid:239) =1(cid:137)(cid:89) = + =1(cid:89)(cid:185) =1(cid:89) 1 2 2 1 𝑛 𝑆 𝑎 (cid:239) 2(cid:137)(cid:89) = = 1 2+ 1 1 2+ 1 2 2 2 2 𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑛 𝑛− (𝑛−1) (𝑛−1) = 1 2+ 1 1 2 + 1 + 1 1 = (cid:89) 2 2 2 2 2 2 (cid:234)(cid:144) 𝑛 =1 𝑛 (cid:237) − (cid:238)𝑛(cid:261)−(cid:30)𝑛(cid:89) 𝑛− 𝑛 1 (cid:256)(cid:115)𝑎 = (cid:218) 𝑎𝑛 𝑛 4 (cid:43)2(cid:45)(cid:234)(cid:144) ( )= (cid:89) 4 𝑥2 𝑥 𝑔 𝑥 + (cid:256)(cid:115) + = 4 + 4 = 4 + 4 = 4 + 2 =1(cid:89) 4 𝑥2 4 1−𝑥2 4 𝑥2 4 2×4 4 𝑥2 4 2 𝑥 1−𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑔(1−𝑥) + + + + + + (cid:234)(cid:144) = (cid:89)(cid:256)(cid:115) = = ( N*)(cid:89) 2025 2025 𝑎𝑛 𝑛 (cid:256)(cid:115) 𝑎𝑛 𝑛 = + 𝑏𝑛 + 𝑔 + + 𝑔 + 𝑛∈ 2024 1 2 3 2023 2024 = 𝑇 1 + 𝑏 2𝑏 + 𝑏 3⋅⋅⋅ + 𝑏 + 2𝑏023 + 2024 (cid:89) 2025 2025 2025 2025 2025 𝑔 𝑔 𝑔 ⋅⋅⋅ 𝑔 𝑔 ① (cid:247) = + + + + + 2024 2024 2023 2022 2 1 = 𝑇 2024 𝑏 + 2023𝑏 + 20𝑏22 + ⋅⋅ + ⋅ 𝑏 2 𝑏 + 1 (cid:89) 2025 2025 2025 2025 2025 𝑔 𝑔 𝑔 ⋅⋅⋅ 𝑔 𝑔 ②+ (cid:89)(cid:198)2 =2024 1 + 2024 =2024(cid:89) 2024 2025 2024 ①(cid:256)(cid:115)② =1 𝑇 012. 𝑔 𝑔 2024 𝑇 (cid:22)(cid:226)(cid:30)5-1(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:215)(cid:65)·(cid:211)(cid:212)(cid:169)(cid:227)·(cid:319)(cid:320)(cid:74)(cid:321)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238)(cid:10) 1+ 2+ 3+ + = ( )(cid:89)(cid:13) 2 22 23 2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 ∗ 1 𝑎𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛∈𝑁 (cid:66){ }(cid:237)(cid:238) = . 250 (1)(cid:36)𝑏𝑛 (cid:13)(cid:66){ 𝑏𝑛 }(cid:51) 𝑎 (cid:191) 𝑛+ (cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:36) + 𝑎𝑛 (cid:51)(cid:133)(cid:218) (3)(cid:36)𝑏𝑛+𝑏10+0−𝑛 + + (cid:51)(cid:133). 1 2 3 99 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:245)(cid:246)(cid:21)(cid:268)(cid:89)(cid:239) 2(cid:137)(cid:89)(cid:168)(cid:198) 1+ 2+ 3+ + = (cid:89)(cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:89)(cid:36)(cid:198) =2 (cid:89)(cid:59) 2 22 23 2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑛 𝑛≥ ⋅⋅⋅ 𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛 (cid:166) =1(cid:89)(cid:198)(cid:241) =2(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:198)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30). 1 𝑛 𝑎 1 𝑎𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:198) = (cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:322)(cid:13)(cid:323)(cid:51)(cid:221)(cid:222)(cid:31)(cid:170)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:198) + (cid:51)(cid:133)(cid:218). 2 250 𝑏𝑛 𝑛 + 𝑏𝑛 𝑏100−𝑛 1 (cid:43)3(cid:45)(cid:166)(cid:43)2(cid:45)(cid:156) + = (cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:31)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116). 250 𝑏𝑛 𝑏100−𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238)(cid:10) 1+ 2+ 3+ + = ( )(cid:89) 2 22 23 2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 ∗ 𝑎𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛∈𝑁 (cid:239) 2(cid:137)(cid:89)(cid:168)(cid:198) 1+ 2+ 3+ + = (cid:89) 2 22 23 2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑛≥ ⋅⋅⋅ 𝑛−1 (cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:89)(cid:168)(cid:198) =1(cid:89)(cid:256)(cid:115) =2 (cid:89) 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑛 𝑎𝑛 (cid:239) =1(cid:89)(cid:168)(cid:198) 1=1(cid:89)(cid:256)(cid:115) =2(cid:89)(cid:324)(cid:135)(cid:261)(cid:30)(cid:89) 2 1 𝑎 𝑛 𝑎 (cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:144) =2 . 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛1 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) = = (cid:89) 250 2 250 𝑏𝑛 1 𝑏𝑛 𝑎𝑛+ 1 𝑛 + 1 2 1 2 2 250 1 (cid:170) + = + = + = + = = . 2 250 2 250 2 250 2100 2𝑛502 2 250 (2 25𝑛0)250 (2 𝑛250)250 250 + 𝑏𝑛 𝑏100−𝑛 𝑛 + 100−𝑛 + 𝑛 + + ⋅ 𝑛 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + 1 (cid:43)3(cid:45)(cid:166)(cid:43)2(cid:45)(cid:156) + = (cid:89) 250 𝑏𝑛 𝑏100−𝑛 1 1 1 (cid:168)(cid:198) + + + + = + + + (cid:89) 1 2 3 99 21 250 22 250 299 250 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏 + + ⋯ + 1 1 1 (cid:170) + + + + = + + + (cid:89) 99 98 97 1 299 250 298 250 21 250 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏 + + ⋯ + 99 99 (cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:48)(cid:168)(cid:198)2( + + + + )= (cid:89)(cid:256)(cid:115) + + + + = . 1 2 3 99 250 1 2 3 99 251 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏 (cid:22)(cid:226)(cid:30)5-2(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:215)(cid:65)·(cid:310)(cid:266)(cid:325)(cid:312)·(cid:319)(cid:320)(cid:74)(cid:321)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) 1+ 2+ + = ( )(cid:89)(cid:13)(cid:66){ } 2 22 2 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 ∗ 𝑎𝑛 ⋯ 𝑛 𝑛∈𝑁 𝑏𝑛1 (cid:237)(cid:238) = (cid:158) 250 𝑏𝑛 𝑎𝑛+ (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:36)(cid:13)(cid:66) 𝑎𝑛 (cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:218) 𝑛 (3)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ 𝑎𝑛 }(cid:51)(cid:80)99(cid:39)(cid:51) 𝑆𝑛 (cid:37) (cid:51)(cid:133)(cid:158) 99 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)𝑏(cid:28)𝑛 (cid:43)1(cid:45)(cid:161)(cid:27)(cid:13)(cid:66)𝑇(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:36)(cid:191)(cid:39)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:245)(cid:246)(cid:43)1(cid:45)(cid:51)(cid:136)(cid:176)(cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:32)(cid:33)𝑛(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:218) 1 (cid:43)3(cid:45)(cid:326)(cid:327)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:98)(cid:30)(cid:89)(cid:36)(cid:198) + = (cid:89)(cid:59)(cid:161)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:31)(cid:36)(cid:37). 250 𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑏100−𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166) 1+ 2+ + = ( N ) 2 22 2 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑛 ∗ ⋯ 𝑛 𝑛∈ ① (cid:198) 1+ 2+ + = ( 2) 2 22 2 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑛−1 ⋯ 𝑛−1 𝑛≥ ② (cid:328) (cid:198)(cid:10) =1(cid:89) =2 ( 2) 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑛 ① ② 𝑎𝑛 𝑛≥ (cid:124) (cid:30)(cid:121)(cid:294) =1(cid:198) 1=1(cid:89) =2(cid:135)(cid:324)(cid:261)(cid:30)(cid:89)(cid:256)(cid:115)(cid:178)(cid:329)(cid:268)(cid:51)(cid:278)(cid:283)(cid:13)n(cid:227)(cid:50)(cid:10) =2 2 1 𝑎 𝑛 ① 𝑛 𝑎 𝑎𝑛 1 2 1 1 2 (cid:43)2(cid:45) = + + + + (cid:89) = + + + + 21 22 2 2 2 22 23 2 2 +1 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛 𝑆𝑛 ⋯ 𝑛−1 𝑛 𝑆𝑛 1 1 ⋯ 𝑛 𝑛 1 1 1 1 1 (cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:198)(cid:10) = + + + =2 2 = 2 2 22 2 2 +1 1 2 +1 2 2 +1 𝑛 1−2𝑛 𝑛 𝑛 𝑆𝑛 2 ⋯ 𝑛 − 𝑛 1− − 𝑛 1− 𝑛 − 𝑛 (cid:283)(cid:15)(cid:198)(cid:10) = 2 𝑛+ 𝑆𝑛 2− 𝑛 1 (cid:43)3(cid:45) = (cid:89) 2 250 𝑏𝑛 𝑛 + 1 2 2 (cid:256)(cid:115) = = = 2 250 2100 2𝑛 250 250(25𝑛0 2 ) 𝑏100−𝑛 100−𝑛 + + 𝑛 ⋅ + 𝑛 1 (cid:256)(cid:115) + = (cid:89)(cid:144)(cid:60)(cid:133)(cid:89)(cid:170) = + + + + 250 99 1 2 98 99 𝑏𝑛 𝑏100−𝑛 𝑇 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏 𝑏 (cid:217) = + + + + (cid:89)(cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:48)(cid:198)2 = 99 (cid:89)(cid:234)(cid:186) = 99. 99 99 98 2 1 99 250 99 251 𝑇 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏 𝑏 𝑇 𝑇 1 (cid:22)(cid:226)(cid:30)5-3(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:215)(cid:65)·(cid:90)(cid:91)·(cid:330)(cid:80)(cid:229)(cid:321)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:131)(cid:13) ( )= ( ). 4 2 𝑥 (1)(cid:36)(cid:240) ( )+ ( )(cid:144)(cid:60)(cid:133)(cid:218) 𝑓 𝑥 + 𝑥∈𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 (2)(cid:164)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:144) = (cid:43) (cid:144)(cid:278)(cid:283)(cid:13)(cid:89) =1(cid:89)2(cid:89) (cid:89) (cid:45)(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:218) 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)𝑎(cid:28) 𝑛 (cid:43)1(cid:45)(cid:166)(cid:131)(cid:13) 𝑎 ( 𝑛 )(cid:51) 𝑓 (cid:116)𝑚(cid:72)(cid:30) 𝑚 (cid:198)(cid:152) ( )(cid:51) 𝑛 (cid:262)(cid:213)(cid:30)(cid:89)(cid:16) ⋯ (cid:275)(cid:128) 𝑚 (cid:168)(cid:198) ( )+ ( 𝑎𝑛 )(cid:144) 𝑚 (cid:60)(cid:133)(cid:218) 𝑆𝑚 𝑓1𝑥 𝑓 1−𝑥 1 1 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:105) ( )+ ( )= (cid:89)(cid:168)(cid:198) + = (cid:89)(cid:185) + = (cid:89)(cid:46)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:168)(cid:198) . 2 2 2 𝑘 𝑚−𝑘 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 𝑓 𝑚 𝑓 𝑚 𝑎𝑘 𝑎𝑚−𝑘 𝑆𝑚1 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:240)(cid:243)(cid:10)(cid:166)(cid:105)(cid:131)(cid:13) ( )= ( )(cid:89) 4 2 𝑥 1 4 4 𝑓 𝑥 4 + 𝑥∈𝑅 (cid:170) ( )= = = = (cid:89) 4 2 4 (4 𝑥 2) 4 2𝑥4 2(4𝑥2) 1−𝑥 𝑥 1−𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 1−𝑥 + 1 + 4 + ⋅ 2 4 + 1 (cid:256)(cid:115) ( )+ ( )= + = = . 4 2 2(4𝑥2) 2(4 𝑥2) 2 + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 + + + 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:168)(cid:156)(cid:89) ( )+ ( )= (cid:89) 2 𝑓 𝑥 𝑓 1−𝑥 1 (cid:170) + = (cid:89)(cid:199)(cid:121) (cid:144)(cid:278)(cid:283)(cid:13)(cid:89)1 (cid:89) 2 𝑘 𝑘 𝑓 𝑚 𝑓 1−𝑚 1 𝑘 ≤𝑘≤𝑚−1 (cid:185) + = (cid:89)(cid:217) = (cid:89) 2 𝑘 𝑚−𝑘 𝑛 𝑓 𝑚 𝑓 𝑚 1 𝑎𝑛 𝑓 𝑚 (cid:256)(cid:115) + = (cid:89)(cid:199)(cid:121) (cid:144)(cid:278)(cid:283)(cid:13)(cid:89)1 (cid:89) 2 𝑎𝑘 𝑎𝑚−𝑘 𝑘 ≤𝑘≤𝑚−1 1 (cid:217) = = (1)= (cid:89) 6 𝑚 𝑎 = 𝑚 𝑓 +𝑚 + 𝑓 + + (cid:89) 1 2 𝑆(cid:226)𝑚(cid:16)(cid:80)𝑎 𝑎(cid:39)(cid:331)⋯(cid:47)(cid:128)𝑎𝑚(cid:89)−(cid:168)1 (cid:198)𝑎(cid:10)𝑚 ①= + + + + (cid:89) 1 𝑚−1 1𝑆𝑚 1 𝑎1 𝑚−1 1 𝑎𝑚−2 ⋯ 𝑎 𝑎𝑚 ② + (cid:198)(cid:10)2 =( )× + = (cid:89) 2 3 2 6 ① ② 𝑆𝑚 𝑚−1 𝑚− 1 1 (cid:234)(cid:186) = = . 4 12 12 3𝑚−1 (cid:22)(cid:21) 𝑆 (cid:29) 𝑚 6 (cid:49) 𝑚− (cid:50)(cid:43)-1(cid:45)n(cid:51)(cid:52)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:28) (cid:22)(cid:210)6(cid:28)(cid:43)2024·(cid:235)(cid:236)(cid:332)(cid:312)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) =1(cid:89) >0(cid:89) (cid:93)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:178)(cid:329)(cid:268) 1 N (cid:89)(cid:50)2 =2 2+ 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑛(1∈)(cid:36)(cid:13)∗(cid:66){ }𝑆(cid:51)𝑛(cid:191)(cid:39)𝑎(cid:7)𝑛 (cid:30)𝑎(cid:218)𝑛−1 (2)(cid:225) = 𝑎𝑛 (cid:89)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80)100(cid:39)(cid:51)(cid:37). 𝑛−1 (cid:22)(cid:116)(cid:21)𝑏𝑛(cid:140)(cid:219)(−(cid:28)1(cid:43)) 1(cid:45)𝑎(cid:245)𝑛 (cid:246) 𝑏=𝑛 ( 2)(cid:274)(cid:78)(cid:198)(cid:241)( + )(2 )=0(cid:89)(cid:109)(cid:197)(cid:198)(cid:241) = 1 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1−1 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 2)(cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:222)(cid:168)(cid:198)(cid:218) 2 (𝑛≥ 1 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:168)(cid:198) = × +1)(cid:89)(cid:252) = + (cid:89)(cid:170) = (cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:44)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:71)(cid:222)(cid:168)(cid:198). 2 2 𝑛−1 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45) 𝑏 (cid:166) 𝑛 2 (− = 1) 2 2+ (𝑛 (cid:89)2 𝑐𝑛 =2 𝑏2 2𝑛−1 + 𝑏2𝑛 ( 𝑐𝑛 − 2)(cid:89) (cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:198)2 =2 2 𝑆𝑛2 𝑎+𝑛 𝑎𝑛−1(cid:89)(cid:185)𝑆𝑛 ( −1 + 𝑎𝑛−1 )(2𝑎𝑛−1−1 𝑛≥)=0(cid:89) 𝑎𝑛 𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎1𝑛−1 𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1−1 (cid:234)(cid:144) >0(cid:89)(cid:256)(cid:115)2 =0(cid:89)(cid:185) = 2)(cid:89) 2 𝑎𝑛 𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1−1 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 (𝑛≥ 1 (cid:300){ }(cid:93)(cid:203)(cid:39)(cid:144)1(cid:89)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 2 𝑎𝑛1 (cid:256)(cid:115) = +1)(cid:218) 2 𝑎𝑛 (𝑛 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:156) = = +1)(cid:89) 2 𝑛−1 𝑛−1 𝑏𝑛 (−1) 𝑎𝑛 (−1) (𝑛 1 (cid:256)(cid:115) + = (cid:89) 2 𝑏2𝑛−1 𝑏2𝑛 − 1 (cid:252) = + (cid:89)(cid:170) = (cid:89) 2 𝑐𝑛 𝑏2𝑛−1 𝑏2𝑛 𝑐𝑛 − + +......+ = + +......+ = 1 ×50= . 1 2 100 1 2 50 2 (cid:22) ∴ (cid:226) 𝑏 (cid:30) 𝑏 6-1(cid:28)(cid:43)23- 𝑏 24(cid:24)(cid:215) 𝑐 (cid:65)·(cid:333) 𝑐 (cid:334)(cid:335)(cid:297)·(cid:336) 𝑐 (cid:121)(cid:45)(cid:225)− { }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13) −2 (cid:66) 5 (cid:89){ }(cid:93)(cid:7)(cid:79)(cid:101)(cid:105)0(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:231)(cid:156) = 1 =2(cid:89) = (cid:89) = +4(cid:158) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎 1 2 2 3 2 (𝑏1)(cid:36){ }𝑏(cid:37){ 𝑎}(cid:51)(cid:191)𝑏 (cid:39)(cid:7)𝑎(cid:30)(cid:218) (2)(cid:225) 𝑎𝑛=( 𝑏𝑛) + (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)𝑐𝑛(cid:140)(cid:219)−(cid:28)1(cid:43)𝑎1(cid:45)𝑛 (cid:225)𝑏(cid:77)𝑛(cid:78)(cid:13)(cid:66){ 𝑐}𝑛(cid:51)(cid:7)(cid:78)2(cid:144)𝑛 d(cid:89)(cid:77)𝑇2(cid:79)𝑛 (cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:79)(cid:144)q(cid:89)(cid:245)(cid:246)(cid:21)(cid:268)(cid:302)(cid:260)(cid:85)(cid:224)(cid:42)(cid:89)(cid:36)(cid:116)(cid:185)(cid:168)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:166) =( ) + =( 𝑎𝑛) +2 (cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:36)𝑏(cid:37)𝑛(cid:31)(cid:36)(cid:116). 𝑛 𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)𝑐𝑛(cid:224)(cid:28)(cid:43)−11(cid:45)𝑎(cid:225)𝑛 (cid:77)𝑏(cid:78)𝑛(cid:13)(cid:66)−{1 }(cid:51)⋅2(cid:7)𝑛(cid:78)(cid:144)d(cid:89)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:79)(cid:144)q(cid:89)(cid:217) >0(cid:158) =2+ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑞 (cid:273)(cid:21)(cid:268)(cid:198) (cid:89)(cid:116)(cid:198)2 2= +4(cid:89)(cid:256)(cid:115) = (cid:122) =2(cid:158) 2 2=6+ 2𝑞 𝑑 (cid:247)(cid:234)(cid:144) >0 𝑞(cid:89)(cid:256)(cid:115) 𝑑 =2(cid:89)(cid:256)(cid:115) 𝑞 =22𝑞 (cid:89) 𝑞 −1 𝑞 =2 𝑞 𝑞 𝑞 (cid:300) = (cid:89) =2 (cid:158) 𝑑 𝑛 (cid:43)𝑎2(cid:45)𝑛 2=𝑛( 𝑏𝑛) + =( ) +2 (cid:89) 𝑛 𝑛 𝑛 =𝑐𝑛 ( )−11×2𝑎+ 𝑛 21𝑏𝑛 + (−1)2×⋅24𝑛+22 + ( )3×6+23 + + ( ) ×( )+2 + 2𝑛−1 2𝑛−1 𝑇2𝑛 −1 −1 ( −1) × +2 ⋯ −1 4𝑛−2 2𝑛 2𝑛 = [ + + ( )+ ]+(21+−221+23+4𝑛 +2 ) 2𝑛 =( −2 +4 4 ) − + 6 ( 8− + ⋯ 8 − )+ 4𝑛− + 2 [ ( 4𝑛 )+ ]+ ×2 ⋯ =2 +1 + (cid:158) 2𝑛 2−2 2𝑛 (cid:22)(cid:226)−(cid:30)2 6-2(cid:28)(cid:43)2 − 0 6 24·(cid:276)(cid:250)(cid:277) ⋯ (cid:266)·(cid:215)−(cid:216)4𝑛(cid:45)−(cid:231)2(cid:156)(cid:77)4𝑛(cid:79)(cid:13)(cid:66)1 { −2 }(cid:51)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144) − (cid:278) 2 (cid:13) 2 (cid:89) 𝑛 (cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217)(cid:237)(cid:238) + 1 2 =3(cid:89) =15. 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎 4 (1)(cid:36)(cid:13)𝑆(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:164)(cid:13)(cid:66){𝑎𝑛}(cid:237)(cid:238) = + (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2n(cid:39)(cid:37) . 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)𝑏(cid:28)𝑛 (cid:43)1(cid:45)𝑏𝑛(cid:245)(cid:246)𝑎(cid:337)𝑛 (cid:60)((cid:232)−1(cid:233))(cid:89)(3(cid:338)𝑛−(cid:339)1(cid:77)) (cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:191)𝑏𝑛(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:36)(cid:152)(cid:7)𝑇(cid:79)2𝑛(cid:142)(cid:203)(cid:39)(cid:185)(cid:168). (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:51)(cid:136)(cid:244)(cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:36)𝑞(cid:116)(cid:185)(cid:198).(cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:225)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:79)(cid:144) >0)(cid:89)(cid:166) + =3(cid:142) =15(cid:89) 1 2 4 (cid:198) + = 2( + )=12(cid:89)𝑎𝑛 𝑞(𝑞 𝑎 𝑎 𝑆 3 4 1 2 (cid:116)𝑎(cid:198) =𝑎2(cid:89)(cid:105)𝑞 (cid:93)𝑎 +𝑎 =3 =3(cid:89)(cid:185) =1(cid:89) 1 2 1 1 (cid:256)(cid:115)(cid:13)𝑞 (cid:66){ }(cid:51)(cid:191)𝑎(cid:39)(cid:7)𝑎(cid:30)(cid:93) 𝑎= 𝑎=2 . 1 𝑛−1 𝑛−1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)𝑎1𝑛(cid:45)(cid:156)(cid:89) =2 𝑎𝑛+ 𝑎 𝑞 (cid:89) 𝑛−1 𝑛 (cid:256)(cid:115) =(1+2+𝑏𝑛22+ +2(−1))+(3𝑛−1)+5)+ +11)+ + +4+ 2𝑛−1 𝑇2 2𝑛 ⋯ [(−2 (−8 ⋯ (−6𝑛 6𝑛−1)] = + =2 + . 2𝑛 1− 2𝑛 (cid:22)(cid:226)1−(cid:30)2 6-3 3 (cid:28) 𝑛 (cid:43)2024·(cid:276) 3𝑛 (cid:250) −1 (cid:292)(cid:293)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:252) (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:231)(cid:156) = ( +1) = 2 1 +1 + . 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 1,𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 (1)𝑛(cid:36){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:164) 𝑎𝑛= +[ +1]2 (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 𝑛 𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:140)(cid:219) (− (cid:28) 1 (cid:43) ) 𝑎 1(cid:45) 𝑛 (cid:245)(cid:246) (− (cid:21) 1) (cid:268)(cid:89)(cid:16)(cid:275)(cid:198)(cid:241) +1 𝑏𝑛 =1(cid:89) 2 (cid:198) 𝑛 (cid:152)(cid:13) 𝑇 (cid:66) 2𝑛 (cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:36)(cid:198) = 2(cid:89)(cid:248)(cid:197)(cid:36)(cid:198){ } 1 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 (cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑛+ −𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:198)(cid:241)(cid:89)(cid:239) (cid:144)(cid:53)(cid:13)(cid:137)(cid:89) = (cid:218)(cid:239) (cid:144)(cid:54)(cid:13)(cid:137)(cid:89) = +2 +1(cid:89)(cid:136)(cid:135) = 𝑛 ( + + + + 𝑛 )+( +𝑏𝑛 + 1−+2𝑛 + 𝑛 )(cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77)(cid:78)𝑏𝑛(cid:13)(cid:66)2𝑛(cid:62)−(cid:77)1 (cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:36)(cid:37)𝑇(cid:7)2𝑛(cid:30)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116). 1 3 5 2 4 6 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏2𝑛−1 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏2𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:116)(cid:10)(cid:166) ( +1) = 2+ (cid:89)(cid:168)(cid:198) ( +1) = ( +1)(cid:89)(cid:256)(cid:115) +1 =1(cid:89) +1 +1 1 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑛 𝑛𝑆𝑛 − 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑛 𝑛+ −𝑛 (cid:247)(cid:166) =1(cid:89)(cid:256)(cid:115) 1= 1=1(cid:89)(cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66) (cid:93)(cid:115)1(cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)1(cid:144)(cid:7)(cid:78)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 1 1 1 𝑆 𝑎 𝑆𝑛 𝑎 𝑛 (cid:256)(cid:115) =1+( )×1= (cid:89)(cid:170) = 2(cid:89) 𝑆𝑛 (cid:239) 𝑛 2(cid:137)(cid:89) 𝑛−1= 2𝑛 (cid:89)(cid:256)(cid:115) 𝑆𝑛 𝑛 = = 2 2= (cid:89) (cid:247)𝑛(cid:239)≥=1(cid:137)(cid:89)𝑆𝑛−1=(1𝑛(cid:237)−(cid:238)1)(cid:261)(cid:30)(cid:89) 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑎𝑛 𝑛 −(𝑛−1) 2𝑛−1 1 (cid:256)(cid:115)𝑛{ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)𝑎(cid:7)(cid:30)(cid:144) = . (cid:43)2(cid:45)𝑎(cid:166)𝑛(cid:43)1(cid:45)(cid:168)(cid:156)(cid:239) (cid:144)𝑎𝑛(cid:53)(cid:13)2𝑛(cid:137)−(cid:89)1 = = (cid:218) (cid:239) (cid:144)(cid:54)(cid:13)(cid:137)(cid:89) = 𝑛 +2×2 =𝑏𝑛 −+𝑎𝑛2 +11−(cid:89)2𝑛 𝑛 𝑛 (cid:256)𝑛(cid:115) = +𝑏𝑛 +𝑎𝑛 + + +2𝑛−1 1 2 3 4 = ( 𝑇2 + 𝑛 𝑏+ 𝑏+ 𝑏+ 𝑏 )⋯+( 𝑏2 + 𝑛 + + + ) 1 3 5 2 4 6 = 𝑏 +2𝑏3+2𝑏5+2⋯7+2𝑏92𝑛+−1 +2𝑏+1 𝑏= 𝑏+8(⋯1+𝑏2 22𝑛 +24+26+ +2 ) 2𝑛 2𝑛−2 2𝑛 4 2 ⋯ 8 2𝑛 ⋯ = +8× = + ×4 +1 . 𝑛 3 3 1− 𝑛 2𝑛 2𝑛 − 1−4(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:53)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:21)(cid:36)(cid:37)(cid:28) (cid:22)(cid:210)7(cid:28)(cid:43)2024·(cid:297)(cid:334)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156){ }(cid:93)(cid:7)(cid:78)(cid:130)(cid:144)0(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:80)4(cid:39)(cid:37)(cid:144)16(cid:89)(cid:217) , , (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66). 1 2 5 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛2 为奇数 (2)(cid:225) = 1 (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 𝑎𝑛 为偶数 +,2𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:140)(cid:219)𝑎(cid:28)𝑛𝑎(cid:43)𝑛 1,(cid:45)𝑛 (cid:225)(cid:152)(cid:7)(cid:78)(cid:89)(cid:338)(cid:339)(cid:77)𝑏𝑛 (cid:78)(cid:13)(cid:66) 2 (cid:154) 𝑛 (cid:340)(cid:129) 𝑇 (cid:77) 2𝑛 (cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:154)(cid:340)(cid:71)(cid:222)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:41)(cid:53)(cid:13)(cid:39)(cid:142)(cid:54)(cid:13)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:154)(cid:340)(cid:129)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:71)(cid:222)(cid:185)(cid:168)(cid:198). + + + =16 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:225){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) ( 0)(cid:89)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:156) 1 2 3 4 (cid:89)(cid:185) 2= 2 1 5 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 4 1 + =16 𝑎𝑛 (cid:89) 𝑑 𝑑≠ 𝑎 𝑎 𝑎 ( + )2= ( + ) 1 1 1 𝑎 6𝑑 (cid:185)𝑎(cid:50) 2𝑑1 + 𝑎 =𝑎8 (cid:89)4(cid:234)𝑑(cid:144) 0(cid:89)(cid:168)(cid:198) =1(cid:89) =2(cid:89) =2 1 1 𝑎 3𝑑 𝑑≠ 𝑎 𝑑 (cid:256)(cid:115) =𝑑 𝑎(cid:218) (cid:43)2(cid:45)𝑎(cid:225)𝑛 (cid:13)2(cid:66)𝑛−{1}(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:121)(cid:51)(cid:53)(cid:13)(cid:39)(cid:107)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:54)(cid:13)(cid:39)(cid:107)(cid:37)(cid:144) (cid:89) (cid:170) =2 1+2 𝑏 3 𝑛 + + 2 2 𝑛 =21+25+ + 𝐴 2 = 2( 16 ) 𝐵 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎2𝑛−1 4𝑛−3 1− 𝐴 ⋯ ⋯ 1−16 = 2 +1 = 2 +1 (cid:89) 4𝑛 4𝑛15 2− −2 1−116 1 1 = + + + 2 4 4 6 +2 𝐵 1 1 1 1⋯ 1 1 1 = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎+ 𝑎+ 2𝑛𝑎2𝑛 + 2 4 4 6 +2 1 1 − 1 − ⋯ − = 2𝑑 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎2𝑛 𝑎2𝑛 2 +2 = 1 2𝑑1 𝑎 − 1 𝑎2 = 𝑛 1 1 (cid:89) 4 3 3 12 12 (cid:256)(cid:115) −4 = 𝑛+ + = − 2 16 + 𝑛 1 + + 1 1 = 2 +1 1 1 (cid:158) 4𝑛15 12 12 41𝑛5 20 12 −2 (cid:22)(cid:226) 𝑇 (cid:30) 2𝑛 7-1(cid:28) 𝐴 (cid:43) 𝐵 2024·(cid:276)(cid:250)(cid:292)(cid:293)· − (cid:216) 1 (cid:228) 6𝑛+ (cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:252)(cid:13) − (cid:66) − { 16 } 𝑛 (cid:51) + (cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:231)(cid:156) 1(cid:217)2 = 2+ (cid:158) (1)(cid:240)(cid:243)(cid:10){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛≥ 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎2𝑛 为奇数 (2)(cid:252) = (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2n(cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑎𝑛 为偶数 ,𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:140)(cid:219)𝑎(cid:28)𝑛,(cid:43)𝑛1(cid:45)(cid:338)(cid:339) (cid:129) (cid:51)(cid:3)𝑏𝑛 (cid:242)(cid:71)(cid:222)(cid:168)(cid:198) 𝑇2𝑛 =1(cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:60)(cid:61)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:71)(cid:222)(cid:152) (cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:128)𝑎𝑛(cid:89)(cid:168)𝑆𝑛(cid:198) (cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:41)(cid:42)(cid:36)𝑎𝑛(cid:37)−𝑎(cid:31)𝑛−(cid:89)1(cid:338)(cid:339)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:129)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:71)(cid:222)(cid:185) (cid:168)(cid:198). 𝑎𝑛 𝑏𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:239) =1(cid:137)(cid:89)2 = 2+1(cid:89)(cid:170) =1(cid:158) 1 1 1 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎(cid:234)(cid:144)2 = 2+ (cid:89)(cid:256)(cid:115)(cid:239) 2(cid:137)(cid:89)2 = 2 + (cid:89) (cid:172)(cid:30)(cid:34)𝑆(cid:35)𝑛 (cid:198)𝑎2𝑛 𝑛= 2 2 𝑛+≥1(cid:89)(cid:185) 2𝑆𝑛−=1( 𝑎𝑛−1)2(cid:89)𝑛−1 (cid:234)(cid:144) 1(cid:89)𝑎(cid:256)𝑛(cid:115)𝑎𝑛−𝑎=𝑛−1 (cid:89)(cid:185)𝑎𝑛−1 𝑎𝑛=−11(cid:89) (cid:300){ 𝑎} 𝑛(cid:93)≥(cid:115)1(cid:144)(cid:203)𝑎(cid:39)𝑛−(cid:89)1 1(cid:144)𝑎𝑛(cid:7)−(cid:78)1(cid:51)(cid:77)𝑎(cid:78)𝑛−(cid:13)𝑎(cid:66)𝑛−(cid:218)1 𝑎𝑛 2 为奇数 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:156)(cid:89) =1+( )×1= (cid:89)(cid:256)(cid:115) = (cid:89) 为偶数 𝑛 ,𝑛 (cid:300) = + + 𝑎𝑛 + + 𝑛−=1 ( + 𝑛 + + 𝑏𝑛 )𝑛+,𝑛( + + + ) 1 2 3 1 3 2 4 𝑇2𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏2𝑛 𝑏 𝑏 ⋯ 2( 𝑏2𝑛−41) 𝑏 (2+ 𝑏 ) ⋯ 𝑏2𝑛 = (2+23+ +2 )+(2+4+ + ) = + 𝑛 2 2𝑛−1 1− 𝑛 2𝑛 ⋯ ⋯ 2𝑛 = 2 +1 + 2+ . 1−4 2𝑛3 −2 𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:226)(cid:30)7-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:301)(cid:302)(cid:341)(cid:214)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:37){ }(cid:51)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:278)(cid:89)(cid:217) =18 (cid:89){ }(cid:93)(cid:7)(cid:79)3(cid:51)(cid:77)(cid:79) 3 1 (cid:13)(cid:66)(cid:158)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:237)(cid:238)4 = 2+2 𝑎(cid:158)𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑏 𝑏𝑛 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ 𝑎}𝑛(cid:89){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)𝑆𝑛(cid:30)(cid:218) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 (2)(cid:225) = 𝑎𝑛 𝑏+3 𝑛 + cos (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) (cid:158) ( )( ) +3 𝑏𝑛 +3 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑐𝑛 (cid:140)(cid:219) 𝑏𝑛 (cid:28)(cid:43) −3 1(cid:45) 𝑏𝑛 (cid:161) − (cid:27) 1 (cid:291)(cid:188) 𝑎𝑛 (cid:7)(cid:30) 𝑛 (cid:168) π (cid:240)(cid:198)(cid:13)(cid:66){ 𝑐𝑛 }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66) 𝑇 (cid:89) 𝑛 (cid:168)(cid:36)(cid:152)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:218)(cid:161)(cid:27)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:154) (cid:340)(cid:89)(cid:168)(cid:36)(cid:152){ }(cid:191)(cid:39)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:245)(cid:246)(cid:38)𝑏(cid:39)𝑛(cid:34)(cid:40)(cid:37)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:36)(cid:116)(cid:185)(cid:168)(cid:218) (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:225)(cid:89)(cid:239) =1(cid:137)4 = 2+2 , =2(cid:122) =0(cid:43)(cid:290)(cid:45)(cid:89) 1 1 1 1 1 (cid:166)4 = 2+2 (cid:89)(cid:156)4 = 𝑛2 +2 𝑆 (cid:89)𝑎 𝑎 ∴𝑎 𝑎 (cid:172)(cid:30)𝑆(cid:34)𝑛 (cid:35)𝑎(cid:198)𝑛( 𝑎+ 𝑛 )𝑆( 𝑛−1 𝑎𝑛−1 )=𝑎𝑛0−(cid:89)1 + 𝑎=𝑛0(cid:43)𝑎(cid:290)𝑛−(cid:45)1 (cid:122)𝑎𝑛−𝑎𝑛−1−2 =0(cid:89)(cid:185) =2(cid:89) ∴(cid:13)𝑎𝑛(cid:66){𝑎𝑛 } −(cid:93)1(cid:203)(cid:39)(cid:144)2(cid:89)(cid:7)𝑎(cid:78)𝑛−(cid:144)𝑎𝑛 2 −(cid:51)1−(cid:77)2(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)𝑎𝑛−𝑎𝑛=−1 (cid:158) ∴ 𝑎𝑛 1 ∴𝑎𝑛 2𝑛 (cid:247) =18 =6, = , =3 (cid:158) 3 1 1 3 𝑛−2 𝑎 𝑏 ∴𝑏 ∴𝑏𝑛 (cid:43)2(cid:45) = +3 + cos = 3 +1 + ( +3 𝑏𝑛 )( +3 ) (3 +1 𝑛)(3 +1 ) 𝑛 𝑐𝑛 3𝑏𝑛 −3 𝑏𝑛 −1 𝑎𝑛 𝑛1π 1 𝑛 −3 𝑛 1 −1 (−1) 2𝑛 = + = + (3 )(3𝑛 +1 ) 2 3 3 +1 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 (−1) 2𝑛 𝑛 − 𝑛 (−1) 2𝑛 (cid:170) =−11 1 −11 + 1 1 +… −1 + 1 −1 1 +2[ +2)+ +4)+….+ ] 2 32 32 33 3 3 +1 𝑛 (cid:239) 𝑇 n 𝑛 (cid:144)(cid:54)(cid:13) 3− (cid:137) 1 (cid:89) − − = 1 1 1 −1− 1 − + 1 (cid:218) 𝑛 −1− 𝑛 −1 (−1 (−3 (−1) 𝑛 2 2 3 +1 (cid:239)n(cid:144)(cid:53)(cid:13)(cid:137)(cid:89) 𝑇𝑛 = 1 1 − 𝑛 1 −1 𝑛 +1)= 1 3 (cid:158) 2 2 3 +1 2(3 +1 ) 4 𝑇𝑛 − 𝑛 −1 −(𝑛 − 𝑛 −1 −𝑛−1 1 1 + ，当 为偶数 (cid:256)(cid:115) = 2 2 3 +1 . 1 3 ，当 为奇数 𝑛 2(3−+1 )−1 𝑛4 𝑛 𝑇𝑛 𝑛 − −1 −𝑛− 𝑛 (cid:22)(cid:226)(cid:30)7-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:301)(cid:302)(cid:342)(cid:343)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:225) (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:231)(cid:156) =1, =10(cid:89)(cid:217) (cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66). 1 4 𝑆𝑛 (1)(cid:36){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 𝑆 𝑛 𝑎𝑛 为奇数 (2)(cid:164) = 1 (cid:89)(cid:36){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) . 为偶数 𝑎𝑛+,𝑛2 (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:140)(cid:219)𝑎(cid:28) 𝑛𝑎(cid:43) 𝑛 1 , (cid:45) 𝑛 (cid:245)(cid:246)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66) 𝑏𝑛 (cid:60)(cid:61)(cid:168) 2 (cid:198) 𝑛 = 𝑇2𝑛 1) (cid:89)(cid:161)(cid:27) (cid:129) (cid:107)(cid:193)(cid:3)(cid:242)(cid:168)(cid:240)(cid:198)(cid:13)(cid:66){ }(cid:191)(cid:51)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 2 𝑛(𝑛+ (cid:43)2(cid:45)(cid:175)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:89)(cid:41)(cid:171)(cid:178)(cid:53)(cid:13)(cid:39)(cid:37)(cid:54)(cid:13) 𝑆𝑛 (cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77) 𝑎 (cid:78) 𝑛 (cid:13) 𝑆 (cid:66) 𝑛 (cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)𝑎𝑛 (cid:168)(cid:36)(cid:198)(cid:136)(cid:176). (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:225)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66) (cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89)(cid:234)(cid:144) = =1(cid:89) 1 1 𝑆𝑛 𝑛 𝑑 𝑎 𝑆 10 1 (cid:256)(cid:115) 4 1= (cid:89)(cid:185) = = (cid:89) 4 1 4 2 𝑆 𝑆 − 3𝑑 −1 3𝑑,𝑑 1 1) (cid:256)(cid:115) =1+ (cid:89)(cid:185) = (cid:89) 2 2 𝑆𝑛 𝑛(𝑛+ 𝑛 (𝑛−1) 𝑆𝑛 1) (cid:239) 2(cid:137)(cid:89) = = = (cid:89) 2 2 𝑛(𝑛+ 𝑛(𝑛−1) 𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 − 𝑛 (cid:239) =1(cid:137)(cid:89) =1(cid:89)(cid:237)(cid:238)(cid:261)(cid:30)(cid:89)(cid:256)(cid:115) = . 1 𝑛 𝑎 为奇数, 𝑎𝑛 𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:156) = 1 为偶数, (𝑛,2𝑛) 𝑏𝑛 (cid:170) =( + + +𝑛 𝑛++,𝑛 )+( + + + + ) 1 3 5 2 4 6 𝑇2𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏2𝑛−11 𝑏 1 𝑏 1 𝑏 ⋯ 𝑏2𝑛 1 =(1+3+5+ + + + + + + 2×4 4×6 6×8 × +2) ⋯ 2𝑛−1) ⋯ = + 1 1 1 + 1 1 + + 1 1 = 2+ 1 12𝑛 (2𝑛 2 2 2 4 4 6 2 4 4 𝑛(1+2𝑛−1) (cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) − (cid:39)(cid:37)(cid:144) − ⋯ = 2 2 + 𝑛− 1 2𝑛+1 . 𝑛 −4𝑛+ 4 4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 𝑏(cid:56) 𝑛 (cid:57)(cid:58) 2 (cid:59) 𝑛 (cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37) 𝑇2 (cid:28) 𝑛 𝑛 −4𝑛+ 2 (cid:22)(cid:210)8(cid:28)(cid:43)2024·(cid:301)(cid:302)(cid:342)(cid:343)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) =2(cid:89) = . 1 +1 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 (cid:43)1(cid:45)(cid:240)(cid:243)(cid:10)(cid:13)(cid:66) 1 (cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:294) = 1 𝑎𝑛 (cid:89) −1 (cid:240)(cid:243)(cid:10) 2+ 2+ + 2<1. 1 2 1 2 𝑏𝑛 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏𝑛 1 1 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:273)(cid:21)(cid:268)(cid:168)(cid:198) = (cid:89)(cid:59)(cid:172)(cid:253)(cid:344)(cid:46)(cid:13)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:241) =1(cid:89)(cid:109)(cid:197)(cid:198)(cid:240)(cid:218) +1 𝑎𝑛−1 +1 𝑎𝑛 −1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −1−𝑎𝑛−1 1 1 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:168)(cid:198) =1+ (cid:89)(cid:170) = +1(cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:57)(cid:58)(cid:31)(cid:198)(cid:241) < (cid:89)(cid:59)(cid:161)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:36)(cid:37) 1 2 1)2 1) (cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:240)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛 𝑛 (𝑛+ 𝑛(𝑛+2 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:116)(cid:10)(cid:43)1(cid:45)(cid:234)(cid:144) = (cid:89)(cid:256)(cid:115) = (cid:89) +1 +1 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −1 𝑎𝑛 (cid:234)(cid:144) =2(cid:89)(cid:256)(cid:115) 0﹐ 1 𝑎 1 𝑎𝑛−1≠1 (cid:256)(cid:115) = =1+ +1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −1 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 1 1 (cid:256)(cid:115) =1 +1 (cid:247)(cid:234) 𝑎 (cid:144) 𝑛 −11− = 𝑎𝑛 1 − . 1 (cid:256)(cid:115) 1 (cid:93)(cid:115)1(cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)(cid:7)(cid:78)(cid:144)1(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66). 1 𝑎 −1 1 𝑎𝑛−1 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:198) =1+ = (cid:89)(cid:256)(cid:115) =1+ (cid:89) 𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑛 𝑎𝑛 𝑛 2 3 1 1 (cid:256)(cid:115) = = +1(cid:89)(cid:256)(cid:115) = (cid:89) 1 2 1 2 1 𝑛+ 𝑎 𝑎 ⋯𝑎𝑛 ⋅ ⋯ 𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑛+ (cid:256)(cid:115) 2+ 2+ 2= 1 + 1 + + 1 < 1 + 1 + 1 1 2 22 32 1)2 1×2 2×3 1) 𝑏1 𝑏1 1⋯𝑏𝑛 1 1⋯ (𝑛+ 1 ⋯𝑛(𝑛+ = + + + = <1 2 2 3 +1 +1 (cid:185)12− + 2+ − 2< ⋯ 1(cid:89) − 1− 1 2 𝑛 𝑛 𝑛 𝑏 𝑏 ⋯𝑏𝑛 (cid:22)(cid:226)(cid:30)8-1(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:267)(cid:261)·(cid:276)(cid:250)(cid:345)(cid:312)·(cid:319)(cid:320)(cid:74)(cid:321)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) =1(cid:89) = (cid:158) 1 +1 4 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛+ (cid:43)1(cid:45)(cid:36)(cid:240) 1 + 1 (cid:144)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:218) 3 𝑎𝑛 3 (cid:43)2(cid:45)(cid:36)(cid:240)(cid:10) < (cid:158) 2 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28) 𝑆 (cid:43) 𝑛 1(cid:45)(cid:166)(cid:231)(cid:156)(cid:198) 1 = 4 = 4 +1(cid:89)(cid:185) 1 + 1 =4 1 + 1 (cid:89)(cid:168)(cid:240)(cid:243) 1 + 1 (cid:93)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:218) +1 𝑎𝑛+ +1 3 3 3 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:50)(cid:43)1(cid:45)(cid:156) = 3 (cid:89)(cid:185) = 3 < 3 = 3 1 1 (cid:89)(cid:135)(cid:15)(cid:161)(cid:27)(cid:57)(cid:58)(cid:309)(cid:128)(cid:161)(cid:27)(cid:38)(cid:39) 4 4 4 2 2 1 (cid:34)(cid:40)(cid:168)(cid:198)(cid:240)(cid:243). 𝑎𝑛 𝑛 −1 𝑎𝑛 𝑛 −1 𝑛 −1 2𝑛−1−2𝑛+ (𝑛≥3,𝑛∈𝑁) 1 4 4 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:240)(cid:243)(cid:10)(cid:43)1(cid:45) (cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) =1(cid:89) = (cid:89) = = +1(cid:89) 1 +1 4 𝑎𝑛 +1 𝑎𝑛+ 1 + 1 =4 1 + 1 (cid:89) 1 + ∵1 = 4 (cid:89) 𝑎𝑛 1 + 1 (cid:93)(cid:115) 4 (cid:144) 𝑆 (cid:203) 𝑛 (cid:39) 𝑎 (cid:89)(cid:115)4(cid:144) 𝑎 (cid:7) 𝑛 (cid:79)(cid:51) 𝑎 (cid:77) 𝑛+ (cid:79)(cid:13) ∴ (cid:66) 𝑎𝑛 (cid:158) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 +1 3 3 1 3 3 3 3 ∴ (cid:43) 𝑎𝑛 2(cid:45) 1 + 1 𝑎 (cid:93) 𝑛 (cid:115) 4 (cid:144)(cid:203) 𝑎 (cid:39)(cid:89)(cid:115)4(cid:144) ∴ (cid:7) 𝑎𝑛 (cid:79)(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 1 + 1 = 4 (cid:89) = 3 (cid:158) = 3 < 3 = 3 3 3 3𝑛 4 4 4 2 3 ∵ 𝑎𝑛 = 3 1 1 (cid:158) ∴𝑎𝑛 ∴𝑎𝑛 𝑛 −1 ∴𝑎𝑛 𝑛 −1 𝑛 −1 ( )( 1) 2 1 2𝑛−1 2𝑛+ 3 2𝑛−1−23𝑛+ ( 1 𝑛≥3,𝑛∈𝑁) 1 6 3 = =1< (cid:89) = = (cid:89)(cid:256)(cid:115) =1+ = < (cid:89) 1 1 2 2 42 5 2 5 5 2 𝑆 (cid:239) 𝑎 3(cid:137)(cid:89) 𝑎 −1 𝑆 𝑛 < ≥ 1+ 3 + 3 1 1 + 1 1 + + 1 1 = 6 + 3 1 1 15 2 5 7 7 9 1 5 2 5 1 ∴𝑆𝑛 − − ⋯ 2𝑛−1−2𝑛+ −2𝑛+6 3 3 < + = (cid:158) 5 10 2 3 (cid:134)(cid:261)(cid:256)(cid:281)(cid:89) < (cid:158) 2 𝑆𝑛 (cid:22)(cid:226)(cid:30)8-2(cid:28)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:108)(cid:65)·(cid:211)(cid:212)(cid:346)(cid:297)·(cid:336)(cid:204)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) =1(cid:89)2 + =0(cid:89)(cid:294) = 1 +1 +1 1 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑏𝑛 (cid:89)(cid:225)(cid:13)(cid:66){ }(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:158) ( 𝑎 1 𝑛 )(cid:36)(cid:240)(cid:10)(cid:13)𝑏(cid:66) 𝑛 { }(cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13) 𝑆 (cid:66) 𝑛 (cid:218) (2)(cid:164)(cid:347)(cid:124) +𝑏𝑛(cid:89)(cid:348)(cid:130)(cid:77)(cid:30) + + + + (cid:169)(cid:260)(cid:89)(cid:36)(cid:349)(cid:13) (cid:51)(cid:344)(cid:133)(cid:350)(cid:351)(cid:218) 1 2 2 3 +1 𝑛∈𝑁 𝑎 𝑎 2𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑛𝑎𝑛 ≥(𝑛 18)𝜆 1 𝜆 (3)(cid:225)(cid:278)(cid:39)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) 2=1+ (cid:89)(cid:36)(cid:240)(cid:10) + + + < + (cid:158) +1 1 2 1 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)𝑐 1 𝑛 (cid:45)(cid:245)(cid:246) 𝑐𝑛 (cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66) 𝑆 (cid:51) 𝑛 (cid:60)(cid:61)(cid:240)(cid:243)(cid:218) 𝑐 (cid:43)2 𝑐 (cid:45)(cid:245) ⋅ (cid:246) ⋅⋅ (cid:38) 𝑐 (cid:39) 𝑛 (cid:34) 𝑛 (cid:40)(cid:31) 1 (cid:71) − (cid:222)𝑛+(cid:36)(cid:116)(cid:218)(cid:43)3(cid:45)(cid:36)(cid:152)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:309)(cid:128) (cid:245)(cid:246)(cid:57)(cid:58)(cid:31)(cid:240)(cid:243). (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:234)(cid:144) = 1 1 = +1=2(cid:89)(cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66){ }(cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:203)(cid:39)(cid:144)1(cid:89)(cid:7)(cid:78)(cid:144)2(cid:218) +1 +1 𝑎𝑛−𝑎𝑛+1 𝑏𝑛 −𝑏𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛⋅𝑎𝑛 𝑏𝑛 1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:55)(cid:168)(cid:156) = (cid:218)(cid:300) = (cid:218) (cid:256)(cid:115) + + 𝑏 + 𝑛 2𝑛−1 = 1 𝑎𝑛 + 1 2𝑛− + 1 + 1 = 1 1 + 1 1 + + 1 1 = 1 1 2 2 3 +1 1×3 3×5 1) 2 3 3 5 1 2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑛𝑎𝑛 ⋅⋅⋅ (2𝑛−1)(2𝑛+ 1− − ⋅⋅⋅ 2𝑛−1−2𝑛+ 1 = (cid:158) 1 1 𝑛 (cid:256)1(cid:115)−2(cid:347)𝑛+(cid:124) 2𝑛+ +(cid:89)(cid:348)(cid:130)(cid:77)(cid:30) + + + + (cid:169)(cid:260)(cid:89) 1 2 2 3 +1 𝑛∈𝑁 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑛𝑎𝑛 ≥(𝑛 18)𝜆 (cid:185)(cid:347)(cid:124) +(cid:89)(cid:348)(cid:130)(cid:77)(cid:30) + (cid:169)(cid:260)(cid:89) 1 𝑛 𝑛∈𝑁 2𝑛+ ≥(𝑛 18)𝜆 (cid:185)(cid:347)(cid:124) +(cid:89)(cid:348)(cid:130)(cid:77)(cid:30) (cid:169)(cid:260)(cid:89)(cid:256)(cid:115) (cid:218) 18) 18) 𝑛 𝑛 max 𝑛∈𝑁 (2𝑛+1)(𝑛+ 1≥𝜆 1 𝜆≤ 1 (2𝑛+1)(𝑛+ (cid:234)(cid:144) = = = (cid:89) 18) 2 2 18 2 9 37 4 9 37 49 𝑛 𝑛 (2𝑛+1)(𝑛+ 𝑛 +37𝑛+ 𝑛+𝑛 + ≤ 𝑛⋅𝑛+ 9 (cid:239)(cid:217)(cid:352)(cid:239) = (cid:89)(cid:185) =3(cid:137)(cid:344)(cid:198)(cid:77)(cid:9)(cid:218) 𝑛 𝑛 𝑛 (cid:134)(cid:261)(cid:10)(cid:349)(cid:13) (cid:51)(cid:344)(cid:133)(cid:350)(cid:351)(cid:93)(cid:10) , 1 (cid:218) 49 (cid:43)3(cid:45)(cid:234)(cid:144) 𝜆 = (cid:89)(cid:256)(cid:115) − = ∞ 2(cid:89)(cid:256)(cid:115) 2=1+ 2 (cid:89)(cid:185) = 1+ 2 (cid:218) 1)2 1)2 (cid:234)(cid:144) 2= 𝑏 1 𝑛 + 2𝑛 2 −1 <1+ 𝑆 2 𝑛 < 𝑛 1+ 2 𝑐𝑛 + 1 (𝑛+ 2 = 1+ 𝑐𝑛 1 2 (cid:218) (𝑛+ 1)2 1) 1) 1) 1) 𝑐𝑛 (𝑛 1 + 𝑛(𝑛+ 𝑛(𝑛+ 𝑛(𝑛+ 𝑛(𝑛+ (cid:256)(cid:115) <1+ (cid:218) 1) 𝑐𝑛 𝑛(𝑛+ 1 1 1 1 1 1 + + + <1+ +1+ + +1+ = + + + + 1 2 1×2 2×3 1) 1×2 2×3 1) ∴𝑐 𝑐 ⋅⋅⋅ 𝑐𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛(𝑛+ 𝑛 ⋅⋅⋅ 𝑛(𝑛+1 1 1 1 1 1 = + + + + = + (cid:218) 2 2 3 1 1 (cid:134)(cid:261) 𝑛 (cid:10) 1 (cid:353) − (cid:130)(cid:77)(cid:30) − (cid:198)(cid:240) ⋅⋅ (cid:158) ⋅ 𝑛−𝑛+ 𝑛 1−𝑛+ (cid:22)(cid:226)(cid:30)8-3(cid:28)(cid:43)2024·(cid:333)(cid:334)(cid:354)(cid:214)·(cid:108)(cid:216)(cid:45)(cid:355)(cid:13)(cid:89)(cid:247)(cid:173)(cid:234)(cid:13)(cid:158)(cid:356)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:174)(cid:65)(cid:10)(cid:164)(cid:283)(cid:13) (cid:254)(cid:115)(cid:283)(cid:13) ( 0)(cid:254)(cid:198)(cid:51) (cid:357)(cid:278)(cid:358)(cid:93)(cid:283)(cid:13)(cid:197)(cid:359)(cid:50)(cid:360)(cid:13)(cid:89)(cid:361)(cid:362)(cid:187)(cid:173) (cid:144) (cid:51)(cid:363)(cid:13)(cid:89)(cid:173) (cid:144) (cid:51)(cid:355)(cid:13)(cid:158)(cid:225)(cid:278)(cid:283)(cid:13) 𝑎(cid:364)(cid:50) (cid:165)(cid:278)𝑚(cid:355)(cid:13)𝑚(cid:89)≠(cid:252)(cid:144) (cid:89) 1 (cid:89)…(cid:89) (cid:89) (cid:43) < < < (cid:45)𝑎 (cid:158)𝑚 𝑚 𝑎 𝑎 𝑘 𝑎 2 1 2 𝑎(1)(cid:239) =4𝑎(cid:137)𝑘−(cid:89)1 (cid:164)𝑎(cid:278)𝑘 (cid:283)𝑎(cid:13) (cid:51)𝑎 (cid:165)⋅⋅(cid:278)⋅ (cid:355)𝑎𝑘(cid:13)(cid:181)(cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:365)(cid:316)(cid:152)(cid:108)(cid:165) (cid:51)(cid:133)(cid:218) (2)(cid:239)𝑘 4(cid:137)(cid:89)(cid:164) (cid:89)𝑎 𝑘 (cid:89)…(cid:89) (cid:181)(cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:36)𝑎(cid:240)(cid:10) = ( 4)(cid:218) 2 1 3 2 2 𝑘−1 (3)(cid:252)𝑘≥= + 𝑎 −𝑎+ 𝑎+−𝑎 (cid:89)(cid:36)𝑎(cid:240)𝑘−(cid:10)𝑎𝑘−<1 2(cid:158) 𝑎 𝑎 𝑘≥ 1 2 2 3 (cid:22)(cid:116)(cid:21)𝐴(cid:140)𝑎(cid:219)𝑎(cid:28)(cid:43)1𝑎(cid:45)𝑎(cid:245)(cid:246)⋯(cid:21)(cid:268)𝑎(cid:185)𝑘−(cid:168)1𝑎(cid:316)𝑘 (cid:152) (cid:51)(cid:108)(cid:165)𝐴(cid:133)𝑎(cid:218)(cid:43)(cid:203)(cid:39)(cid:144)1(cid:89)(cid:7)(cid:79)(cid:144)(cid:340)(cid:13)(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:88)(cid:211)(cid:39)(cid:103)(cid:168)(cid:45) 𝑎 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:156)(cid:89) =1(cid:89) = (cid:89) = (cid:89) = (cid:89)(cid:136)(cid:135) (cid:89) (cid:89)…(cid:89) (cid:181)(cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 1 2 1 3 2 𝑎2 𝑎3 (cid:168)(cid:188)(cid:152) (cid:93)(cid:366)(cid:90)(cid:367) 𝑎 (cid:85)(cid:13)(cid:89)(cid:368) 𝑎𝑘 (cid:197)(cid:168) 𝑎 (cid:198) 𝑎𝑘− = 1 2 𝑎 (cid:89)(cid:166) 𝑎 (cid:186) 𝑘− (cid:168) 2 (cid:156) 𝑎 (cid:89) 𝑎 −𝑎 (cid:89) 𝑎 … − (cid:89) 𝑎 𝑎 (cid:144) 𝑘−𝑎𝑘−1 (cid:89) 2 (cid:89)…(cid:89) 3 3 2 2 1 3 2 2 2 2 𝑎 (cid:89)(cid:36)(cid:198) (cid:185)(cid:168)(cid:218) 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎𝑘−𝑎𝑘−1 𝑎 −1 𝑎 −𝑎 2 2 𝑘−1 𝑘−2 𝑎 −𝑎 𝑎 2 2 (cid:43)3(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:156)(cid:89) = (cid:89) = (cid:89)…(cid:89) = (1 (cid:89)(cid:109)(cid:197)(cid:168)(cid:198) = + +…+ 1 2 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑘 𝑎 𝑎 𝑎𝑘−1 𝑎 𝑎𝑖𝑎𝑘 1−𝑖 𝑎 ≤𝑖≤𝑘) 𝐴 𝑎𝑘−1𝑎𝑘 𝑎𝑘−2𝑎𝑘−1 2 (cid:89)(cid:175)(cid:27)(cid:57)(cid:58)(cid:31)(cid:115)(cid:142)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:51)(cid:85)(cid:31)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:240)(cid:243)(cid:136)(cid:244)(cid:158) 1 2 𝑎 𝑎 𝑎 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:43)1(cid:45)(cid:239) =4 (cid:137)(cid:89)(cid:278)(cid:283)(cid:13) (cid:51)4(cid:165)(cid:278)(cid:355)(cid:13)(cid:181)(cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) (cid:174)1(cid:89)2(cid:89)4(cid:89)8(cid:144)8(cid:51)(cid:256)(cid:50)(cid:278)𝑘(cid:355)(cid:13)(cid:89)(cid:185) =8(cid:218)𝑎 (cid:122)1(cid:89)3(cid:89)9(cid:89)27(cid:144)27(cid:51)(cid:256)(cid:50)(cid:278)(cid:355)(cid:13)(cid:89)𝑎(cid:185) =27(cid:218) (cid:122)1(cid:89)5(cid:89)25(cid:89)125(cid:144)125(cid:51)(cid:256)(cid:50)(cid:278)(cid:355)(cid:13)(cid:89)𝑎(cid:185) =125(cid:218) (cid:43)(cid:203)(cid:39)(cid:144)1(cid:89)(cid:7)(cid:79)(cid:144)(cid:340)(cid:13)(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:88)(cid:211)(cid:39)𝑎(cid:103)(cid:168)(cid:45) (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:168)(cid:156)(cid:89) =1(cid:89) = (cid:89)(cid:217) = = = = (cid:89) 1 1 2 3 (cid:234)(cid:144) (cid:89) (cid:89)𝑎 …(cid:89) 𝑎𝑘 𝑎(cid:181)(cid:169)𝑎(cid:77)⋅(cid:79)𝑎(cid:13)𝑘 (cid:66)𝑎(cid:89)⋅(cid:130)𝑎𝑘(cid:369)−1(cid:225)(cid:199)𝑎(cid:7)⋅(cid:79)𝑎𝑘(cid:144)−2(cid:89)⋯ 𝑎 2 1 3 2 (cid:170) = 𝑎 −3𝑎2= 𝑎 −𝑎 = 𝑎𝑘 𝑎2 − (cid:89) 𝑎𝑘 (cid:256) −1 (cid:115) 3 2= 1 1 2 1 (cid:89) 𝑞 𝑎2−𝑎1 𝑎𝑘−𝑎𝑘−1 𝑎 𝑎 2 −𝑎 𝑎3 𝑎2−𝑎1 1 2 −𝑎 3 (cid:16) 𝑞 (cid:275)(cid:198) 𝑎 (cid:10) −𝑎 2 𝑎𝑘 2 −1 + −𝑎 1 𝑘 ) −2 + 𝑎 −2𝑎 =0(cid:89)(cid:256) 𝑎 (cid:115) −𝑎 𝑎2− ( 𝑎 )=0(cid:89) 3 2 3 2 3 2 3 (cid:247)(cid:234)(cid:144) 𝑎 > − 1(cid:89) (𝑎 (cid:256)(cid:115) 𝑎 = 𝑎2(cid:89)(cid:256)(cid:115)(cid:7)(cid:79) 𝑎 = −3𝑎 2= 𝑎 −2 2 1 2= (cid:89) 3 3 2 2 𝑎2−𝑎1 𝑎 2 −𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑞 𝑎 −𝑎 𝑎 −1 𝑎 (cid:256)(cid:115) =( ) =( ) (cid:89) 2 1 2 2 𝑘−2 𝑘−2 𝑎𝑘−𝑎𝑘−1 𝑎 −𝑎 ⋅𝑞 𝑎 −1 ⋅𝑎 (cid:247)(cid:234)(cid:144) = (cid:89) = (cid:89)(cid:256)(cid:115) =( ) (cid:89) 2 2 𝑎2 𝑎2 𝑘−2 (cid:247)(cid:234)(cid:144) 𝑎𝑘 > 𝑎 1(cid:89) 𝑎 (cid:256) 𝑘− (cid:115) 1 = 𝑎 ( 𝑎− 4 𝑎 )(cid:218) 𝑎 −1 ⋅𝑎 2 2 𝑘−1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑘≥(cid:43)3(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:156)(cid:89) = (cid:89) = (cid:89)…(cid:89) = (1 (cid:89) 1 2 + 2 𝑎 𝑎2𝑘 𝑎 𝑎 𝑎𝑘2−1 𝑎 𝑎𝑖𝑎𝑘 1−𝑖 𝑎 ≤𝑖≤𝑘) (cid:256)(cid:115) = + +…+ (cid:89) 1 2 𝑎 𝑎 𝑎 𝐴 𝑎𝑘−1𝑎𝑘 𝑎𝑘−2𝑎𝑘−1 𝑎 𝑎 (cid:234)(cid:144) 1 2 1= 1 1 (cid:89) (cid:89) 1 = 1 1 (cid:89) 1 2 𝑎1−𝑎2 1 2 𝑎𝑘−𝑎𝑘−1 (cid:256)(cid:115) 𝑎 𝑎 = ≤ 𝑎 2 𝑎 + 𝑎 −2 𝑎 + ⋯ …+ 𝑎𝑘− 2 1𝑎 = 𝑘≤ 2 𝑎𝑘−1 1 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘−1− 1 𝑎𝑘 +…+ 1 2 1 1 + 1 1 + 1 1 = 𝑎 𝑎 𝑎 1 2 1 2 1 2 2 3 𝐴 𝑎𝑘−1𝑎𝑘 𝑎𝑘−2𝑎𝑘−1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑘−1𝑎𝑘 𝑎𝑘−2𝑎𝑘−1 𝑎 𝑎 ≤𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 −𝑎 ⋯𝑎𝑘−1−𝑎𝑘 2 1 1 (cid:89) 1 𝑎 𝑎 −𝑎𝑘 1 1 (cid:234)(cid:144) =1(cid:89) = (cid:89)(cid:256)(cid:115) <1 1 1 𝑎 𝑎𝑘 𝑎 𝑎 −𝑎𝑘 (cid:256)(cid:115) 2 1 1 < 2(cid:89)(cid:185) < 2(cid:158) 1 (cid:22)(cid:21) 𝐴 (cid:29) ≤ 9 𝑎 (cid:23)𝑎(cid:60) − (cid:61)𝑎𝑘 (cid:62)(cid:23) 𝑎 (cid:63)(cid:64)(cid:65) 𝐴 (cid:51)(cid:13) 𝑎 (cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:28) (cid:22)(cid:210)9(cid:28)(cid:43)2024·(cid:276)(cid:250)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:51)(cid:132)(cid:101)(cid:133)(cid:252)(cid:144) (cid:89)(cid:185) =max{ , , , }(cid:218)(cid:80) (cid:39)(cid:51)(cid:132)(cid:102)(cid:133) 1 2 (cid:252)(cid:144) (cid:89)(cid:185) =min{ , , , }𝑎(cid:89)𝑛 (cid:294) 𝑛= (cid:89)(cid:44)(cid:370)(cid:13)𝑀𝑛(cid:66){ 𝑀}(cid:173)𝑛(cid:144){ }(cid:51)𝑎“(cid:371)𝑎(cid:169)⋅⋅(cid:13)⋅ 𝑎(cid:66)𝑛”(cid:158) 𝑛 1 2 (1)(cid:225)𝑚(cid:13)𝑛(cid:66){ 𝑚}(cid:51)𝑛 “(cid:371)(cid:169)(cid:13)𝑎(cid:66)𝑎”(cid:144)⋅⋅{⋅ 𝑎}𝑛(cid:89)(cid:36)(cid:240)𝑝(cid:10)𝑛 𝑀=𝑛−𝑚(cid:218)𝑛 𝑝𝑛 𝑎𝑛 (2)(cid:164) =2𝑝𝑛 (cid:89)(cid:36)(cid:199)(cid:371)(cid:169)(cid:13)𝑞(cid:66)𝑛{ }(cid:51)(cid:80) 𝑝(cid:39)𝑛(cid:37)(cid:158)𝑞𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)𝑎𝑛(cid:140)(cid:219)(cid:28)−(cid:43)3𝑛1(cid:45)(cid:166)“(cid:371)(cid:169)(cid:13)(cid:66)”(cid:51)𝑝𝑛(cid:60)(cid:61)(cid:240)𝑛(cid:243)(cid:185)(cid:168)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:36)(cid:116)(cid:185)(cid:168). (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:168)(cid:156) , (cid:89) +1 +1 (cid:256)(cid:115) (cid:89)(cid:234)𝑀(cid:186)𝑛 ≥𝑀𝑛𝑚(cid:89)𝑛 ≤𝑚𝑛 +1 +1 +1 (cid:185){ 𝑀}(cid:93)𝑛 (cid:288)−(cid:289)𝑚(cid:291)𝑛 (cid:372)≥(cid:13)𝑀(cid:66)𝑛(cid:89)−𝑚(cid:217)𝑛 = 𝑝𝑛 ≥=𝑝0𝑛(cid:89) 1 1 1 (cid:166)“𝑝(cid:371)𝑛(cid:169)(cid:13)(cid:66)”(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:168)(cid:198) 𝑝= 𝑀(cid:158)−𝑚 (cid:43)2(cid:45)(cid:239) 3(cid:137)(cid:89) 𝑞𝑛 =2𝑝𝑛 2 ( ) =2 >0, > (cid:158) 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 > 𝑛≥< < 𝑎𝑛<−𝑎𝑛<−1 < −(cid:89)3𝑛(cid:247)− = −3 𝑛−=1 = −3(cid:89) ∴𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 1 2 3 4 1 2 3 ∴𝑎 =0𝑎, =𝑎 𝑎( ⋅⋅)⋅=𝑎1𝑛(cid:89)⋅⋅⋅ 𝑎 −1,𝑎 −2,𝑎 −1 1 2 (cid:239)∴𝑝 3(cid:137)𝑝(cid:89) −=1− −2 =2 ( )=2 ( )(cid:158) 2 𝑛 𝑛 (cid:225)𝑛(cid:13)≥(cid:66){ }(cid:51)𝑝(cid:80)𝑛 (cid:39)𝑎𝑛(cid:37)−𝑎(cid:144) (cid:158)(cid:170)−3𝑛−=0−,2 =1(cid:158)− 3𝑛−2 1 2 (cid:239) 3(cid:137)𝑝𝑛(cid:89) =𝑛0+1+𝑆𝑛 + 𝑆 + 𝑆+ =1+(23 )+(24 )+ +[2 ( )] 3 4 𝑛 =𝑛1≥+(23+𝑆2 𝑛4+ +2 )𝑝[7+𝑝10+⋅⋅⋅ +𝑝( 𝑛 )] −7 −10 ⋅⋅⋅ − 3𝑛−2 𝑛 23×( 2⋅⋅⋅ ) (− )(7+ ⋅⋅⋅ )3𝑛−2 3 2 +4 =1+ =2 +1 𝑛−2 2 2 1− 𝑛−2 3𝑛−2 𝑛 𝑛 −𝑛 − − 1−20 =1 (cid:247) 2 =1(cid:373)(cid:135)(cid:261)(cid:30)(cid:89)(cid:256)(cid:115) = 2 +1 3 2 4 2 (cid:158) ,𝑛 2 𝑆 𝑆𝑛 𝑛 𝑛 −𝑛+ (cid:22)(cid:226)(cid:30)9-1(cid:28)(cid:43)2024·(cid:145)(cid:374)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)−(cid:178)(cid:105)(cid:13)(cid:66),𝑛{≥}(cid:89)(cid:60)(cid:61) = ( )(cid:89)(cid:237)(cid:238) = =1, ( ) +1 1 2 ∗ = (cid:89)(cid:252) = + 2+ + 𝑎𝑛 (cid:89)(cid:173) Δ𝑎𝑛 (cid:144)𝑎(cid:166)𝑛 (cid:13)−(cid:66)𝑎𝑛 { 𝑛}∈(cid:371)𝑁(cid:169)(cid:51)“ (cid:131)𝑎(cid:13)”𝑎(cid:158) Δ Δ𝑎𝑛 1 2 𝑛 (1)(cid:375)𝑚((cid:316)𝑚(cid:152)∈“𝑅) (cid:131)(cid:13)𝑓”( 𝑚,𝑛) (cid:89)𝑎 (cid:44)𝑚(cid:36)𝑎 𝑚 (cid:51)⋯(cid:133)(cid:218)𝑎𝑛𝑚 𝑓(𝑚,𝑛) 𝑎𝑛 𝑚− (2)(cid:164)“ (cid:131)2(cid:13)−” 𝑓(2,𝑛1)5(cid:89)(cid:36)n𝑓(cid:51)(2(cid:132),3)(cid:101)(cid:133)(cid:218) (3)(cid:252)(cid:131) 1− (cid:13) = 𝑓(1 + ,𝑛 2 )≤ 2+ + (cid:89)(cid:199)(cid:189)(cid:131)(cid:13)(cid:144) (cid:89)(cid:240)(cid:243)(cid:10)“ (cid:131)(cid:13)” = 2 2 2 𝑛 𝑚 3𝑚 ′ ′ 𝑆(𝑥) 𝑥 𝑥 ⋯ 𝑛𝑥 𝑆(𝑥) 𝑚− 𝑓(𝑚,𝑛) 𝑆(𝑚)− + +1) (cid:158) 𝑛=1 ′ 𝑆(𝑚) (𝑚 𝑚 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:136)(cid:135)(cid:23)𝑖 (cid:60)(cid:61)(cid:168)(cid:198) ( )= = (cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:142)(cid:376)(cid:48)(cid:31)(cid:168)(cid:36)(cid:198) =1+ +1 Δ Δ𝑎𝑛 Δ𝑎𝑛 −Δ𝑎𝑛 𝑚 𝑎𝑛 (cid:218)(cid:43)1(cid:45)(cid:306)(cid:307) = =3(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116)(cid:218)(cid:43)2(cid:45)(cid:306)(cid:307) =1(cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:142)(cid:179)(cid:27)(cid:189)(cid:13)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:185)(cid:168)(cid:43)3(cid:45) 2 (𝑛−1)(𝑛−2)𝑚 𝑚 2,𝑛 𝑚 (cid:166) = + 2+ + = 2 + +1) (cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:189)(cid:13)(cid:51)(cid:221)(cid:222)(cid:185)(cid:168) 1 2 𝑛 𝑚 2 𝑛=1 𝑖 3 2 𝑚 𝑛=1 𝑖 𝑛=1 𝑖 𝑓(𝑚,𝑛) 𝑎 𝑚 𝑎 𝑚 ⋯ 𝑎𝑛𝑚 𝑖 𝑚− 𝑖𝑚 (𝑚 𝑚 (cid:36)(cid:116). 𝑖 𝑖 𝑖 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166)(cid:60)(cid:61)(cid:142) ( )= (cid:158)(cid:156) ( )= = (cid:89) +1 (cid:256)(cid:115){ }(cid:93)(cid:7)(cid:78)(cid:144)m(cid:51)(cid:77)(cid:78)Δ(cid:13)Δ(cid:66)𝑎(cid:89)𝑛 (cid:256)(cid:115)𝑚 =Δ Δ𝑎𝑛+ Δ𝑎𝑛 −(cid:158)Δ𝑎𝑛 𝑚 1 (cid:234)(cid:144) Δ𝑎=𝑛 =1(cid:89)(cid:256)(cid:115) = =0(cid:89)Δ𝑎𝑛 Δ𝑎 (𝑛−1)𝑚 1 2 1 2 1 (cid:256)(cid:115)𝑎 =𝑎 (cid:89)(cid:185)Δ𝑎 𝑎 −=𝑎 (cid:158) +1 (cid:239) Δ𝑎2𝑛(cid:137)(cid:89)(𝑛(cid:50)−1)𝑚 = 𝑎𝑛(cid:89)−𝑎𝑛 (𝑛−1)𝑚 3 2 𝑛≥ = (cid:89)𝑎 −𝑎 𝑚 4 3 …𝑎 −…𝑎 2𝑚 = (cid:89) 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 (𝑛−2)𝑚 (cid:256)(cid:115) = + + + = (cid:89) 2 2 (𝑛−1)(𝑛−2)𝑚 𝑎𝑛−𝑎 𝑚 2𝑚 ⋯ (𝑛−2)𝑚 (cid:185) =1+ (cid:158) 2 (𝑛−1)(𝑛−2)𝑚 (cid:43) 𝑎 1(cid:45) 𝑛 (cid:239) =2(cid:137)(cid:89) =1+ = 2 +3(cid:89) (cid:256)(cid:115)“ 𝑚(cid:131)(cid:13)” 𝑎𝑛 =1×(2𝑛−+11)(×𝑛−222+) 𝑛+−(32𝑛 +3)×2 (cid:158) 𝑛 (cid:239) =23−(cid:137)(cid:89) 𝑓(2,=𝑛)1×2+1×22+3×⋯23=𝑛30−(cid:158)3𝑛 (cid:43) 𝑛 2(cid:45)(cid:239) = 𝑓 1 ( (cid:137) 2,3 (cid:89) ) =1+ = 2 4(cid:89) 2 2 (𝑛−1)(𝑛−2) 𝑛 −3𝑛+ 𝑚 𝑎𝑛 (cid:300)“ (cid:131)(cid:13)” = + + + 1 2 1− 𝑓(1,𝑛) 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑛2 +4 =1+1+ + 2 𝑛 −3𝑛 12 ×⋯1+4 22 ×2+4 2 +4 = + + + 2 2 2 −3 −3 𝑛 −3𝑛 1 3 ⋯ = (12+22+ + 2) (1+2+ + + 2 2 + +⋯1)𝑛 − +1) ⋯ 𝑛) 2𝑛 = + 12 4 𝑛(𝑛 1)(2𝑛 3𝑛(𝑛 − 2𝑛 3 2 = (cid:158) 6 𝑛 −3𝑛 +8𝑛 (cid:166) 15(cid:89)(cid:198) 3 2+ 0(cid:158) (cid:294)𝑓(1,𝑛=)≤3 2+𝑛 −3𝑛 8𝑛−1)9(cid:89)0(cid:170)≤ =3 2 +8=3 2+5>0(cid:89) ′ (cid:256)(cid:115)𝑔(𝑥) 𝑥=−33𝑥 28+𝑥−90(𝑥(cid:124)≥[1,+ 𝑔)(cid:261)(𝑥(cid:288))(cid:289)(cid:291)𝑥(cid:372)−(cid:158)6𝑥 (𝑥−1) (cid:234)(cid:144)𝑔(𝑥)=𝑥0(cid:158)−(cid:256)3𝑥(cid:115)(cid:239)81𝑥−90 5(cid:137)(cid:89)∞ 0(cid:89)(cid:256)(cid:115)(cid:239)1 5(cid:137)(cid:89) 15(cid:89) (cid:300)n𝑔(cid:51)((cid:132)5)(cid:101)(cid:133)(cid:144)5(cid:158) ≤𝑥≤ 𝑔(𝑥)≤ ≤𝑛≤ 𝑓(1,𝑛)≤ (cid:43)3(cid:45)(cid:240)(cid:243)(cid:10)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:198) = + 2+ + 1 2 𝑛 𝑓((i𝑚,𝑛)i 𝑎 𝑚 𝑎 𝑚 ⋯ 𝑎𝑛𝑚 = + 2+ + 1+ × + + 1+ × 2 2 −1)(−2) 𝑖 (𝑛−1)(𝑛−2) 𝑛 𝑚 𝑚 ⋯ 2 𝑚 𝑚 ⋯ 2 𝑚 𝑚 = + 2+ + × + +1) + + × + +1) 2 2 𝑖 −3𝑖 𝑖 𝑛 −3𝑛 𝑛 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚 (𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚 (𝑚 𝑚 = 𝑛 2 𝑛 + +1) 𝑛 2 2 𝑚 =1 𝑖 3𝑚 =1 𝑖 =1 𝑖 𝑖 𝑚− 𝑖𝑚 (𝑚 𝑚 (cid:166) 𝑖 = +2 2+ 𝑖 + (cid:89)(cid:198) = 𝑖 1+ + + 2 (cid:89) 𝑛 ′ 𝑛−1 (cid:256) 𝑆 (cid:115) (𝑥) 𝑥 = 𝑥 +4 ⋯2+ 𝑛𝑥 + 2 𝑆 = (𝑥) 2 4 (cid:89) 𝑥 (cid:256) ⋯ (cid:115) 𝑛 𝑥 2 = = (cid:89) 𝑛=1 𝑛=1 𝑛=1 ′ 𝑛 𝑖 𝑖 ′ 𝑖 𝑥𝑆(𝑥) 𝑥 𝑥 ⋯ 𝑛 𝑥 𝑖 𝑥 𝑖 𝑚 𝑚𝑆(𝑚), 𝑖𝑚 𝑆(𝑚) (cid:256)(cid:115) = 2 + + 𝑖 1) . 𝑖 𝑖 𝑚 2 ′ 3 2 𝑚 𝑛=1 𝑖 𝑓(𝑚,𝑛) 𝑆(𝑚)− 𝑆(𝑚) (𝑚 𝑚 (cid:22)(cid:226)(cid:30)9-2(cid:28)(cid:43)2024·(cid:297)(cid:334)(cid:377)(cid:292)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)𝑖 (cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:378)(cid:379)(cid:182)(cid:380)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:13)(cid:133)(cid:144)(cid:10)1,1,2,3,5,8,13, 21,34 .(cid:184)(cid:108)(cid:13)(cid:66)(cid:115)(cid:174)(cid:65)(cid:291)(cid:188)(cid:51)(cid:85)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:10) =1，𝑎𝑛 =1， = + *).(cid:13)(cid:66){ }(cid:178)(cid:105)(cid:381)(cid:60) 1 2 +2 +1 (cid:51)(cid:278)(cid:283)⋅⋅(cid:13)⋅⋅⋅⋅(cid:89)(cid:164)(cid:347)(cid:124)(cid:278)(cid:283)(cid:13) (cid:348)(cid:198) = + 𝑎(cid:169)(cid:260)(cid:89)(cid:170)𝑎 (cid:173)(cid:13)(cid:66)𝑎{ 𝑛 }(cid:144)“𝑎𝑛(cid:319)(cid:168)(cid:41)𝑎𝑛(cid:192)((cid:13)𝑛(cid:66)∈𝑁”. 𝑏𝑛 + (1)(cid:231)(cid:156)(cid:13)𝑘(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) = 𝑛 （𝑏𝑘 𝑛 *，𝑏𝑘 𝑏𝑛）.(cid:286)(cid:287)(cid:93)(cid:382)(cid:178) 𝑏𝑛 (cid:89)𝑘(cid:209)(cid:347)(cid:124)(cid:381)(cid:60)(cid:51)(cid:278)(cid:283)(cid:13) (cid:89)(cid:348)(cid:198)(cid:13)(cid:66){ } (cid:144)“ (cid:319)(cid:168)(cid:41)(cid:192)𝑐(cid:13)𝑛 (cid:66)”(cid:89)𝑐𝑛(cid:44)(cid:383)𝑚(cid:243)𝑎𝑛(cid:15)(cid:166)𝑛. ∈𝑁 𝑚∈𝑅 ∀𝑚∈𝑅 𝑘 𝑐𝑛 (2)(cid:225)𝑘(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) =3 ( 0)(cid:89) 𝑛 (cid:43)i(cid:45)(cid:164)(cid:13)(cid:66)𝑑𝑛{ }(cid:144)𝑛“1(cid:319)(cid:168)(cid:41)𝑆𝑛(cid:192)(cid:13)(cid:66)−”𝑎(cid:89)(cid:36)𝑎(cid:152)≥(cid:373)(cid:135)(cid:232)(cid:233)(cid:51)(cid:349)(cid:13) (cid:51)(cid:133)(cid:218) 𝑑𝑛 𝑎 (cid:43)ii(cid:45)(cid:124)(cid:43)i(cid:45)(cid:55)(cid:51)(cid:80)(cid:384)(cid:65)(cid:89)(cid:164)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) = (cid:89) *(cid:89)(cid:199)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) .(cid:240)(cid:243)(cid:10)(cid:239) *(cid:217) 3(cid:137)(cid:89) < 𝑎𝑛 𝑓𝑛 𝑓𝑛 𝑆𝑛 𝑛∈𝑁 𝑛 𝑇𝑛 𝑛∈𝑁 𝑛≥ 𝑇𝑛2+ 2+ 2+ + 2 +1(cid:169)(cid:260). 1 2 3 +1 𝑎(cid:22)(cid:116)(cid:21)𝑎(cid:140)(cid:219)𝑎(cid:28)(cid:43)⋅⋅1⋅⋅(cid:45)⋅⋅(cid:166)𝑎(cid:231)𝑛−(cid:156)𝑎(cid:168)𝑛𝑎(cid:198)𝑛 = = = (cid:168)(cid:198) = + ,(cid:166)(cid:60)(cid:61)(cid:168)(cid:198)(cid:136)(cid:244)(cid:218) 1 2 3 1+2 1 2 (cid:43)2(cid:45)(cid:239) 2(cid:137)(cid:89) = 𝑐=2𝑚3,𝑐 (cid:89)𝑚(cid:43),𝑐i(cid:45)(cid:166)2𝑚(cid:231),(cid:156)(cid:168)(cid:198)𝑐 (cid:347)(cid:124)(cid:278)𝑐 (cid:283)𝑐(cid:13) (cid:348)(cid:198) = + (cid:169)(cid:260)(cid:89)(cid:239) =1 1+ 1 𝑛−1 (cid:137)(cid:89)(cid:168)(cid:36)𝑛(cid:198)≥ =0(cid:89)𝑑(cid:239)𝑛 𝑆𝑛−2(cid:137)𝑆𝑛(cid:89)−1(cid:168)(cid:198)4⋅ 3 = (cid:89)(cid:85)(cid:224)(cid:385)(cid:116)(cid:89)(cid:168)(cid:198)(cid:136)(cid:244)𝑛(cid:218) 𝑑 𝑛 𝑑 𝑑𝑛 𝑛 𝑛−1 (cid:43)ii(cid:45)(cid:31)(cid:108)(cid:10)𝑎(cid:239) 2(cid:137)𝑛(cid:89)≥(cid:386)(cid:198) 2= ⋅ 3−𝑎(cid:89)(cid:71)(cid:222)(cid:168)(cid:198) 2+ 2+ 2+ + 2 +1=1(cid:89)(cid:166) +1 1 2 3 +1 (cid:43)1(cid:45)(cid:168)(cid:198) = 𝑛≥ (cid:89) = 1+ 2+ 𝑎𝑛 3+ 𝑎𝑛𝑎𝑛 + −𝑎 + 𝑛𝑎𝑛 (cid:89) −1 (cid:161)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35) 𝑎 (cid:31)(cid:168) 𝑎 (cid:198) 2𝑎 = 1⋅⋅ + ⋅⋅⋅1⋅ 𝑎𝑛−𝑎𝑛𝑎 (cid:89) 𝑛 (cid:168)(cid:240)(cid:136)(cid:244)(cid:169)(cid:260)(cid:218) 3 31 32 33 3 3 3 3 32 -2 3 +1 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑓𝑛 𝑛 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛−1 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 − 𝑛 (cid:31)(cid:215)(cid:10)(cid:208)(cid:31)(cid:108)(cid:168)(cid:198) 2+ 2+ 2+ + 2 +1=1(cid:89) = 1+ 2+ 3+ + + (cid:89)(cid:172)(cid:253)(cid:208)(cid:282)(cid:115) 1 , 2 (cid:89) 1 2 3 +1 31 32 33 3 3 33 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑎𝑛−𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛−1 𝑛 5 1 (cid:168)(cid:36)(cid:198) < (cid:89)(cid:168)(cid:240)(cid:136)(cid:244). 9 3 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:347)(cid:124)(cid:89)(cid:15)(cid:166)(cid:174)(cid:65)(cid:10) (cid:166)(cid:231)(cid:156)(cid:198) =1(cid:89) =1(cid:89) = + =2(cid:89) 1 2 3 1 2 = 𝑎 = 𝑎= 𝑎 𝑎 𝑎 1 2 3 ∴𝑐 =𝑚,+𝑐 ,(cid:185)𝑚,𝑐 =2𝑚,+ , 3 1 2 1+2 1 2 ∴𝑐(cid:178) 𝑐 𝑐(cid:89)(cid:239)𝑐(cid:278)(cid:283)(cid:13)𝑐 =1𝑐(cid:137)(cid:89)(cid:347)(cid:124) =2(cid:89)(cid:348)(cid:198) = + (cid:169)(cid:260)(cid:89) + (cid:185)∴(cid:13)(cid:66)∀𝑚{ ∈}𝑅(cid:144)“1(cid:319)(cid:168)(cid:41)(cid:192)𝑘(cid:13)(cid:66)”(cid:218) 𝑛 𝑐𝑘 𝑛 𝑐𝑘 𝑐𝑛 (cid:43)2(cid:45) 𝑐𝑛 =3 (cid:89) 𝑛 (cid:239) ∵=𝑆1𝑛(cid:137)(cid:89) −𝑎=3 (cid:89) 1 (cid:239)∴ 𝑛2(cid:137)(cid:89) 𝑑= −𝑎 =(3 3 =2 3 (cid:89) 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 (cid:43)𝑛i(cid:45)≥(cid:164)(cid:13)(cid:66){𝑑𝑛 }(cid:144)𝑆𝑛 “−1(cid:319)𝑆𝑛(cid:168)−1(cid:41)(cid:192)(cid:13)−(cid:66)𝑎”)(cid:89)−((cid:170)(cid:347)(cid:124)−𝑎(cid:278))(cid:283)(cid:13)⋅ (cid:348)(cid:198) = + (cid:169)(cid:260)(cid:89) 1+ 1 (cid:239) =1(cid:137)(cid:89) 𝑑𝑛= + (cid:89)(cid:185)6= (cid:89)(cid:116)(cid:198) =0𝑛(cid:89) 𝑑 𝑛 𝑑 𝑑𝑛 2 1 1 (cid:239)𝑛 2(cid:137)(cid:89)𝑑2 3 𝑑=( 𝑑 )+2 3 2(3(cid:89)−(cid:185)𝑎)4 3 𝑎= (cid:89) 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 (cid:234)𝑛≥0(cid:89)(cid:256)(cid:115)⋅ 33−(cid:89)𝑎(cid:247)4 ⋅3 12(cid:89)⋅ 3−𝑎 𝑛−1 (cid:300)𝑎(cid:85)≥(cid:224)4 3 3=−𝑎≤(cid:385)(cid:116). ⋅ ≥ 𝑛−1 (cid:134)(cid:261)(cid:256)(cid:281)⋅(cid:89)(cid:373)(cid:135)(cid:232)3(cid:233)−𝑎(cid:51)(cid:349)(cid:13)a(cid:51)(cid:133)(cid:144)0. (cid:43)ii(cid:45)(cid:85)(cid:31)(cid:108)(cid:10) (cid:240)(cid:243)(cid:10) = + )(cid:89) +2 +1 ∗ (cid:239) ∵2𝑎(cid:137)𝑛 (cid:89) 2𝑎= 𝑛 ( 𝑎𝑛,(𝑛∈𝑁 )= (cid:89) +1 +1 ∴ 𝑛2+≥ 2+ 𝑎2𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎+ 𝑛 2−𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑎𝑛 −𝑎𝑛𝑎𝑛−1 1 2 3 ∴= 𝑎2+(𝑎 𝑎 ⋅)⋅⋅⋅+⋅⋅( 𝑎𝑛 )+( )+ + ( ) 1 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3 +1 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑎𝑛𝑎𝑛 −𝑎𝑛𝑎𝑛−1= 2 + = (cid:89) 1 2 1 +1 +1 𝑎2−+𝑎2𝑎+ 2𝑎+𝑛𝑎𝑛 +𝑎𝑛2𝑎𝑛 +1=1(cid:89) 1 2 3 +1 ∴𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑎𝑛−𝑎𝑛𝑎𝑛 (cid:166)(cid:43)i(cid:45)(cid:156) =3 (cid:89)(cid:256)(cid:115) = (cid:89) 3 𝑎𝑛 𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑓𝑛 = 1+ 2+ 3+ + + (cid:89) 31 32 33 3 3 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 ∴𝑇𝑛 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛−1 𝑛 ① 1 = 1+ 2+ 3+ + + (cid:89) 3 32 33 34 3 3 +1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛 ② (cid:166) - (cid:168)(cid:198) 2 = 1+ 2 1+ 3 2+ 4 3+ + 3 31 32 33 34 3 3 +1 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 1① ② 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛 − 𝑛 1 2 = + + + + 3 33 34 3 3 +1 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛 1 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛 − 𝑛 1 2 = + （ + + + ） 3 32 31 32 3 3 +1 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛−2 − 𝑛 1 1 = + (cid:89) 3 32 -2 3 +1 𝑎𝑛 𝑇𝑛 − 𝑛 < ， >0(cid:89) 3 +1 𝑎𝑛 ∵𝑇𝑛−2 𝑇𝑛 𝑛 2 1 1 1 1 = + < + (cid:89) 3 3 32 -2 3 +1 3 32 𝑎𝑛 ∴ 𝑇𝑛 𝑇𝑛 − 𝑛 𝑇𝑛 3 < <1(cid:89) 5 (cid:239) ∴𝑇𝑛 (cid:217) 3(cid:137)(cid:89) < 2+ 2+ 2+ + 2 +1(cid:169)(cid:260). 1 2 3 +1 ∗ (cid:85)𝑛(cid:31)∈(cid:215)𝑁(cid:10) 𝑛≥ 𝑇𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑎𝑛−𝑎𝑛𝑎𝑛 (cid:240)(cid:243)(cid:10) = + )(cid:89) +2 +1 ∗ (cid:239) ∵2𝑎(cid:137)𝑛 (cid:89) 2𝑎= 𝑛 ( 𝑎𝑛,(𝑛∈𝑁 )= (cid:89) +1 +1 ∴ 𝑛2+≥ 2+ 𝑎2𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎+ 𝑛 2−=𝑎𝑛−21 +( 𝑎𝑛𝑎𝑛 −𝑎) 𝑛𝑎+ 𝑛− ( 1 )+( )+ + 1 2 3 1 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3 ∴= 𝑎2+(𝑎 𝑎 ⋅)⋅⋅⋅+⋅⋅( 𝑎𝑛 𝑎 )+𝑎 (𝑎 −𝑎 𝑎 )+𝑎 𝑎 −𝑎+𝑎 ( 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 ) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3 +1 =𝑎2 𝑎 𝑎 +−𝑎 𝑎 =𝑎 𝑎 −𝑎(cid:89)𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑎𝑛𝑎𝑛 −𝑎𝑛𝑎𝑛−1 1 2 1 +1 +1 𝑎2−+𝑎2𝑎+ 2𝑎+𝑛𝑎𝑛 +𝑎𝑛2𝑎𝑛 +1=1(cid:89) 1 2 3 +1 ∴𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑎𝑛−𝑎𝑛𝑎𝑛 (cid:166)(cid:43)i(cid:45)(cid:156) =3 (cid:89)(cid:256)(cid:115) = (cid:89) 3 𝑎𝑛 𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑓𝑛 = 1+ 2+ 3+ + + (cid:89) 31 32 33 3 3 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 ∴𝑇𝑛 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛−1 𝑛 ① 1 = 1+ 2+ 3+ + + (cid:89) 3 32 33 34 3 3 +1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛 ② 1 = 1+ 2+ 3+ + + + (cid:89) 32 33 34 35 3 3 +1 3 +2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑇𝑛 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 𝑛 𝑛 𝑛 ③(cid:166) (cid:168)(cid:198) 5 ①−②1 −③2 1 = + 9 31 32 32 3 +1 3 +1 3 +2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑇𝑛 − − 𝑛 − 𝑛 − 𝑛 1 1 = < (cid:89) 3 3 +1 3 +1 3 +2 3 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 − − − 3 < <1(cid:89) 5 (cid:239) ∴𝑇𝑛 (cid:217) 3(cid:137)(cid:89) < 2+ 2+ 2+ + 2 +1(cid:169)(cid:260). 1 2 3 +1 ∗ (cid:22)𝑛(cid:226)∈(cid:30)𝑁9-3(cid:28)𝑛≥(cid:43)2024·(cid:249)𝑇(cid:250)𝑛 ·(cid:216)𝑎(cid:228)(cid:229)𝑎(cid:230)(cid:45)𝑎(cid:361)(cid:91)(cid:387)⋅⋅⋅⋅(cid:306)⋅⋅(cid:13)(cid:11)𝑎𝑛(cid:388)−𝑎(cid:389)𝑛𝑎(cid:390)𝑛(cid:391)(cid:124)(cid:392)(cid:51)(cid:393)(cid:211)(cid:387)(cid:394)(cid:395)(cid:396)(cid:108)(cid:397)(cid:121)(cid:178)(cid:24)(cid:319)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:36) (cid:37)(cid:50)(cid:398)(cid:399)(cid:51)(cid:400)(cid:401)(cid:89)(cid:185)“(cid:402)(cid:180)(cid:403)”(cid:158)(cid:178)(cid:105)(cid:13)(cid:66) , , , , (cid:89) (cid:89)(cid:109)(cid:88)(cid:215)(cid:39)(cid:404)(cid:89)(cid:405)(cid:108)(cid:39)(cid:129)(cid:356)(cid:80)(cid:406)(cid:34)(cid:407)(cid:108)(cid:39)(cid:51)(cid:78) 1 2 (cid:181)(cid:169)(cid:13)(cid:66) , , , , (cid:89) (cid:89)(cid:173)(cid:408)𝑎(cid:13)𝑎(cid:66)⋅⋅⋅ (cid:144)𝑎𝑛(cid:13)⋅⋅(cid:66)⋅ ①(cid:51)(cid:108)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:121) = 11 12 1( ) +1 ( =1,2, 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅)(cid:218)𝑎 (cid:178)𝑛−(cid:105)1(cid:13)⋅⋅(cid:66)⋅ ②(cid:89)(cid:109)(cid:88)(cid:215)(cid:39)(cid:404)②(cid:89)(cid:405)(cid:108)(cid:39)(cid:129)①(cid:356)(cid:80)(cid:406)(cid:34)(cid:407)(cid:108)(cid:39)(cid:51)(cid:78)(cid:181)(cid:169)𝑎1(cid:13)𝑖 (cid:66)𝑎𝑖 ,−𝑎𝑖, , 21 22 2( ) ,𝑖 (cid:89) ⋅(cid:89)⋅⋅(cid:173),𝑛−(cid:408)1(cid:13),⋅⋅(cid:66)⋅ (cid:144)(cid:13)(cid:66) ②(cid:51)(cid:215)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:121) = ( =1,2, 𝑎 )𝑎 ⋅(cid:409)⋅⋅(cid:410)𝑎(cid:261)𝑛−(cid:281)2 1(+1) (cid:411)⋅⋅⋅(cid:31)(cid:89)③(cid:88) (cid:412)(cid:198)(cid:241)(cid:13)(cid:66)③ , ,①, , (cid:89) (cid:89)(cid:170)(cid:173)(cid:13)𝑎2(cid:66)𝑖 𝑎(cid:144)𝑖(cid:13)(cid:66)−𝑎1𝑖(cid:51)𝑖 (cid:319)(cid:78)(cid:41)⋅⋅⋅(cid:13),𝑛(cid:66)−(cid:89)2,⋅(cid:199)⋅⋅(cid:121)⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ( ) ( )(+1) (𝑟=1,2, 𝑎𝑟1𝑎𝑟 ) 2(cid:89)⋅(cid:164)⋅⋅ (cid:13)𝑎𝑟(cid:66)𝑛− { 𝑟 }⋅⋅(cid:51)⋅ (④ 2)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)④(cid:66)(cid:93)(cid:81)(cid:315)①(cid:84)(cid:13)𝑟(cid:66)(cid:89)(cid:170)(cid:173)(cid:13)(cid:66){ }(cid:144)𝑎𝑟(cid:319)𝑖 (cid:77)𝑎(cid:78)𝑟−(cid:13)1(cid:66)𝑖 ( ) (cid:43)−𝑎(cid:122)𝑟−(cid:24)1(cid:319)𝑖 𝑖(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)⋅⋅⋅(cid:45),𝑛(cid:158)−𝑟,⋅⋅⋅ 𝑎𝑛 𝑟 𝑟≥ 𝑎𝑛 𝑟 (1)(cid:164)(cid:24)(cid:319)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:144)3,4,9,18,31,48, (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) (2)(cid:164) (cid:319)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ 𝑎}𝑛(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30) =( ⋅⋅⋅ )4(cid:158) 𝑎𝑛 𝑟(cid:43)ⅰ(cid:45)(cid:36) (cid:51)(cid:133)𝑏(cid:218)𝑛 𝑏𝑛 2𝑛−1 (cid:43)ⅱ(cid:45)(cid:36)𝑟(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:158) (cid:413)(cid:10)12+22+ + 𝑏 2 𝑛 = ( 𝑛1)( 𝑆1 𝑛 ) (cid:158) 6 𝑛 𝑛+ 2𝑛+ ⋅⋅⋅ 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:245)(cid:246) (cid:319)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:89)(cid:41)(cid:171)(cid:36)(cid:152)(cid:108)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:37)(cid:215)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:414)(cid:153)(cid:215)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66) (cid:144)(cid:84)(cid:73)(cid:66)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:152) 𝑟=4(cid:89)(cid:185) =4(cid:89)(cid:198)(cid:241){ }(cid:144)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:36)(cid:198) = (cid:89)(cid:185) 1( +1) +1 = (cid:89)(cid:309)(cid:128)(cid:27)(cid:415)(cid:48)𝑎2(cid:31)𝑛(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116)𝑎(cid:218)𝑛 −𝑎1𝑛 𝑎1𝑛 𝑎1𝑛 4𝑛−3 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 (cid:43)24(cid:45)𝑛−(cid:43)3ⅰ(cid:45)(cid:245)(cid:246) (cid:319)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:89)(cid:109)(cid:108)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:62)(cid:215)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:62)(cid:267)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)…(cid:273)(cid:412)(cid:114)(cid:65)(cid:36)(cid:89)(cid:239)(cid:152) (cid:153)(cid:84)(cid:13)(cid:66)(cid:137)(cid:144)(cid:416) 𝑟 (cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:381)(cid:60)(cid:144)r(cid:51)(cid:133)(cid:218)(cid:43)ⅰⅰ(cid:45)(cid:136)(cid:135)(cid:215)(cid:39)(cid:30)(cid:60)(cid:15)(cid:370)( )4(cid:417)(cid:16)(cid:144)(cid:418) 16 5 ( )5 2+ 5 2𝑛−1 𝑛 − 𝑛−1 −8𝑛 8𝑛− 11 (cid:89)(cid:309)(cid:128)(cid:161)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:129)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:51)(cid:85)(cid:31)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:116). 5 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:108)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:144)1,5,9,13,17, (cid:89) (cid:215)(cid:319)(cid:78)(cid:41)(cid:13)(cid:66)(cid:144)4,4,4,4,4,𝑎𝑛(cid:89)(cid:144)(cid:81)(cid:315)(cid:84)(cid:13)(cid:66)(cid:89) ⋅⋅⋅ (cid:256)(cid:115) =4(cid:89)(cid:185) ⋅⋅⋅ =4(cid:89)(cid:217) =1(cid:89) 1( +1) 11 𝑎2𝑛 𝑎 𝑛 −𝑎1𝑛 𝑎(cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:203)(cid:39)(cid:144)1(cid:62)(cid:7)(cid:78)(cid:144)4(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) (cid:256)(cid:115) =𝑎11𝑛+( )×4= (cid:89)(cid:185) = (cid:89)(cid:217) =3(cid:89) +1 1 (cid:256)(cid:115)(cid:239)𝑎1𝑛 2(cid:137)(cid:89)𝑛−1=( 4𝑛−)3+( 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 )+4𝑛−+3 ( 𝑎 )+ 2 1 1 =[4( 𝑛≥ ) ]+ 𝑎 [ 𝑛 4( 𝑎𝑛 ) −𝑎𝑛 ] − + 1 + 𝑎 ( 𝑛 4 −1 × −𝑎𝑛−2 )+3(cid:89) ⋅⋅⋅ =4 𝑎 × −𝑎( ) 𝑎 ( )+3=2 2 +6 2 𝑛 𝑛−1 (cid:239) =𝑛1−(cid:137)1(cid:89)−3 =3(cid:89)𝑛(cid:299)−(cid:237)2(cid:238)−3(cid:261)(cid:30)(cid:89) ⋅⋅⋅ 1−3 −3 𝑛−1 𝑛 −5𝑛 1 (cid:134)(cid:261)𝑛 (cid:89)(cid:13)(cid:66){𝑎 }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:144) =2 2 +6(cid:158) (cid:43)2(cid:45)(cid:43)ⅰ(cid:45) 𝑎𝑛=( )4(cid:89)(cid:256)(cid:115)𝑎𝑛 =𝑛 −5𝑛 =( +1)4 ( )4=64 3+ (cid:89) +1 = 𝑏𝑛 2𝑛=−614( +1)3𝑏+1𝑛16(𝑏𝑛 +1−)𝑏𝑛 (64 23𝑛+ )−=21𝑛9−212+ 𝑛+8106(cid:89)𝑛 1( +1) 𝑏(cid:256)2𝑛(cid:115) 𝑏 =𝑛 −𝑏1𝑛 =𝑛192( +1)2𝑛+192(− +1𝑛)+ 16𝑛(192 2+𝑛 192+𝑛80)= +384(cid:89) 2( +1) (cid:256)(cid:115)𝑏3𝑛=𝑏 𝑛 −𝑏2𝑛=384(𝑛+1)+ (𝑛 +8308−4)=38𝑛4(cid:89)192𝑛 384𝑛 3( +1) (cid:256)(cid:115)𝑏(cid:13)4𝑛(cid:66){𝑏}(cid:93)𝑛 4−(cid:319)𝑏(cid:77)3𝑛(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)𝑛(cid:185) =43(cid:158)84− 384𝑛 (cid:43)ⅱ(cid:45) 5 (𝑏𝑛 )5= 5 C0 5 C1𝑟4+C2 3 C3 2+C4 C5 5 5 5 5 5 5 = 5 𝑛(−5 𝑛−14+10𝑛 3− 𝑛2−+ 𝑛 )=𝑛5−4 𝑛 3+1𝑛0−2 +1(cid:89) (cid:256)(cid:115) 𝑛 − 4= 𝑛1−5 5 𝑛 ( 𝑛 )5 − + 1 2 0𝑛 3 5𝑛 2 − + 1 1 (cid:89) 𝑛 −10𝑛 𝑛 −5𝑛 5 5 (cid:247)( 𝑛 )4= 𝑛 C −0( 𝑛− ) 14 C1( 𝑛 ) −32 + 𝑛 C2( 𝑛− )2 C3 +C4=16 4 3+24 2 +1 4 4 4 4 4 = 126𝑛− 5 1 ( )5 2𝑛 − 2+ 2𝑛11 (cid:89) 2𝑛 − 2𝑛 𝑛 −32𝑛 𝑛 −8𝑛 5 5 (cid:256)(cid:115) 𝑛 = − 𝑛−1 ( −8𝑛 )4= 8𝑛 1 − 6 5 ( )5 2+8 11 𝑛=1 5 𝑛=1 𝑛=1 𝑛=1 5 16𝑆𝑛 𝑘 ( 2+𝑘−11)( +1) 𝑘 𝑘(−+𝑘−1)1 −181 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘− 𝑛 = 5 × +8× 5 6 2 5 𝑛 𝑛 2𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 −8 − 𝑛 = 16 5 8 3 + (cid:158) 5 3 15 𝑛 𝑛 7𝑛 − (cid:108)(cid:62)(cid:288)(cid:20)(cid:21) 1(cid:158)(cid:43)2024·(cid:23)(cid:419)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:164) 7= (cid:89)(cid:170) =(cid:43) (cid:45) 10 𝑎8 A(cid:158) B(cid:158) 𝑎𝑛 C 𝑛 (cid:158) 𝑆𝑛 𝑎 −1 D(cid:158) 𝑆 4 5 6 7 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)𝑆 (cid:219)(cid:28)(cid:245)(cid:246)(cid:21)(cid:268)(cid:136)(cid:135)𝑆(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:154)(cid:340)(cid:36)(cid:116)(cid:185)𝑆(cid:168)(cid:89)(cid:122)(cid:245)(cid:246)(cid:21)(cid:268)(cid:161)(cid:27)(cid:77)𝑆(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:16)(cid:275)(cid:89)(cid:59)(cid:16)(cid:275) 10 (cid:185)(cid:168). 𝑆 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:234)(cid:144) 7= (cid:89)(cid:256)(cid:115) + =0(cid:89)(cid:256)(cid:115) + = + =0(cid:158) 7 8 6 9 5 10 𝑎8 𝑎 −1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎(cid:234)(cid:144) = + + + + + =0(cid:89)(cid:256)(cid:115) = (cid:158) 10 4 5 6 7 8 9 10 10 4 (cid:420)(cid:116)𝑆(cid:10)(cid:225)−(cid:77)𝑆 (cid:78)(cid:13)𝑎(cid:66){𝑎 }(cid:51)𝑎(cid:7)(cid:78)(cid:144)𝑎 (cid:89)𝑎 𝑎 𝑆 𝑆 (cid:166) 7= (cid:89)(cid:198) + 𝑎𝑛 =0(cid:89) 𝑑 7 8 𝑎8 𝑎 −1 𝑎 𝑎 13 (cid:256)(cid:115) + + + =0(cid:89)(cid:185)2 + =0(cid:89)(cid:198) = (cid:89) 1 1 1 1 2 𝑎 6𝑑 𝑎 7𝑑 𝑎 13𝑑 𝑎 − 𝑑 (cid:256)(cid:115) =10 + 10×9 =10× 13 + = (cid:89) 10 1 2 2 𝑆 𝑎 𝑑 − 𝑑 45𝑑 −20𝑑 (cid:234)(cid:144) =4 + 4×3 =4× 13 + = (cid:89) 4 1 2 2 𝑆 𝑎 𝑑 − 𝑑 6𝑑 −20𝑑 =5 + 5×4 =5× 13 + = 45 (cid:89) 5 1 2 2 2 𝑆 𝑎 𝑑 − 𝑑 10𝑑 − 𝑑 =6 + 6×5 =6× 13 + = (cid:89) 6 1 2 2 𝑆 𝑎 𝑑 − 𝑑 15𝑑 −24𝑑 =7 + 7×6 =7× 13 + = 49 (cid:89) 7 1 2 2 2 𝑆 (cid:256)(cid:115) 𝑎 = 𝑑 − 𝑑 21𝑑 − 𝑑 10 4 (cid:300)(cid:20)𝑆(cid:10)A(cid:158)𝑆 1 2(cid:158)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)(cid:95)(cid:249)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:124)(cid:13)(cid:66){ }(cid:121)(cid:89)(cid:231)(cid:156) = (cid:89) +2) = (cid:89)(cid:170)(cid:356)(cid:51)(cid:80)30(cid:39)(cid:51)(cid:37)(cid:144) 1 2 +1 (cid:43) (cid:45) 𝑎𝑛 𝑎 (𝑛 𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛 19 28 29 30 A(cid:158) B(cid:158) C(cid:158) D(cid:158) 29 29 30 31 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:168)(cid:198) +1= (cid:89)(cid:221)(cid:27)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:421)(cid:77)(cid:30)(cid:168)(cid:198) = 1 1 (cid:89)(cid:59)(cid:166)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:89)(cid:71)(cid:222)(cid:168) 𝑎𝑛 𝑛 2 1 (cid:198)(cid:256)(cid:36)(cid:37)(cid:158) 𝑎𝑛 𝑛+ 𝑎𝑛 𝑛−𝑛+ (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:116)(cid:10)(cid:166) +2) = (cid:89) +1 (cid:168)(cid:198) +1= (cid:89) (𝑛 𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑛+ (cid:256)(cid:115)(cid:239) 2(cid:137)(cid:89) = 2 3… = 1 × 1 × 2 × 3 ×…× = 1 = 1 1 (cid:89) 1 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 2 3 4 5 𝑛− 1 1 1) 1 𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑎 ⋅𝑎 ⋅𝑎 𝑎𝑛−1 𝑛+ 𝑛(𝑛+ 𝑛−𝑛+ 1 1 (cid:247) = = (cid:89) 1 2 2 𝑎 1− 1 1 (cid:256)(cid:115) = (cid:89) 1 𝑎𝑛 𝑛−𝑛+ 1 1 1 1 1 1 30 (cid:256)(cid:115) = + +…+ = = (cid:158) 30 2 2 3 30 31 31 31 𝑆 1− − − 1− (cid:300)(cid:20)(cid:10)D(cid:158) 3(cid:158)(cid:43)2024·(cid:310)(cid:422)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156){ }(cid:93)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:278)(cid:13)(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) + + + + + =10(cid:89) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎1 1 1 1 1 1 =8(cid:89)(cid:170) + + + + + =(cid:43) (cid:45) 4 5 6 1 2 3 4 5 6 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 A(cid:158)2 B(cid:158)3 C(cid:158)4 D(cid:158)5 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:166)(cid:231)(cid:156)(cid:198) 6 =10(cid:142) 2 5=2(cid:89)(cid:306)(cid:307)(cid:55)(cid:21)(cid:16)(cid:275)(cid:71)(cid:222)(cid:185)(cid:168)(cid:158) 1 1 𝑞 −1 𝑎 𝑞−1 𝑎 𝑞 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:166)(cid:21)(cid:225)(cid:386)(cid:156)(cid:89)(cid:7)(cid:79) 1(cid:89)(cid:225) = (cid:89) 1 𝑛−1 𝑞≠ 𝑎𝑛 𝑎6𝑞 (cid:109)(cid:197)(cid:166) + + + + + =10(cid:198)(cid:89) · =10(cid:89) 1 2 3 4 5 6 1 𝑞 −1 (cid:166) 𝑎 𝑎 = 𝑎 8(cid:198) 𝑎 (cid:89) 2𝑎5=2 𝑎 (cid:89) 𝑎 𝑞−1 1 2 3 4 5 6 1 1 (cid:170) 𝑎1 + 𝑎 𝑎1 + 𝑎 𝑎1 + 𝑎 1 + 1 + 𝑎1 = 𝑞 1 · 6= 1 1 6 = 10 =5(cid:89) 1 2 3 4 5 6 1 1−𝑞 1 2 1 5 𝑎 𝑞 −1 2 (cid:300) 𝑎 (cid:20)(cid:10) 𝑎 D(cid:158) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1−𝑞 𝑎 𝑞 ⋅ 𝑞−1 4(cid:158)(cid:43)23-24(cid:24)(cid:267)(cid:261)·(cid:423)(cid:266)(cid:424)(cid:425)·(cid:319)(cid:320)(cid:74)(cid:321)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:7)(cid:79)(cid:144)q(cid:43) 1(cid:45)(cid:51)(cid:278)(cid:39)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:217)2ln 1012 4 𝑏𝑛 𝑞≠ 𝑏 =0(cid:89)(cid:164) ( )= (cid:89)(cid:170) ( )+ ( )+ + ( )=(cid:43) (cid:45) 1 2 1 2 2023 A(cid:158)40 𝑓 69 𝑥 +𝑥 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 ⋯ 𝑓 B 𝑏(cid:158)2023 C(cid:158)2024 D(cid:158)4046 4 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:166)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:154)(cid:340)(cid:168)(cid:198) = = = =1(cid:89)(cid:166) ( )= (cid:89)(cid:168)(cid:198) ( )+ 1 2023 2 2022 2023 1 1 2 𝑏 ⋅𝑏 𝑏 ⋅𝑏 ⋯ 𝑏 ⋅𝑏 𝑓 𝑥 +𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 1 =4(cid:89)(cid:300)(cid:50) ( )+ ( )= ( )+ ( )= = ( )+ ( )=4(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:71)(cid:222) ( )+ ( )+ + 1 2023 2 2022 2023 1 1 2 (𝑥 ). 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 ⋯ 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 ⋯ 𝑓 2023 (cid:22)𝑏(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:166)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:7)(cid:79)(cid:144)q(cid:43) 1(cid:45)(cid:51)(cid:278)(cid:39)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:300) >0(cid:89) 2ln =ln 2 =ln𝑏( 𝑛 )=0(cid:89)𝑞≠(cid:300) =1(cid:89) 𝑏𝑛 1012 1012 1 2023 1 2023 (cid:185)(cid:50)𝑏 𝑏= 𝑏 =⋅𝑏 = 𝑏=1⋅(cid:89)𝑏 1 2023 2 2022 2023 1 𝑏 ⋅𝑏 4 𝑏 ⋅𝑏 ⋯ 𝑏 ⋅𝑏 (cid:166) ( )= (cid:89)(cid:170)(cid:239) >0(cid:137)(cid:89) 1 2 𝑓 𝑥 +𝑥 𝑥 4 (cid:50) ( )+ 1 = 1 4 2 + 1 1 2= 1 4 2 + 1 4 2 2 =4(cid:89) 𝑥 (cid:300) 𝑓 ( 𝑥 )+ 𝑓 (𝑥 + ) 𝑥 = ( + ) 𝑥 + ( +𝑥 )= +𝑥 = ( )+ ( )=4(cid:89) 1 2023 2 2022 2023 1 (cid:300)𝑓2[𝑏( )𝑓+𝑏( )+ 𝑓+𝑏 ( 𝑓 𝑏)]=[ (⋯)+𝑓 𝑏( )]𝑓+𝑏[ ( )+ ( )]+ +[ ( )+ ( )] 1 2 2023 1 2023 2 2022 2023 1 =20𝑓23𝑏[ ( 𝑓 𝑏)+ ⋯( )]𝑓=𝑏8092(cid:89) 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 ⋯ 𝑓 𝑏 𝑓 𝑏 2023 1 (cid:300) ( )+𝑓 𝑏( )+ 𝑓+𝑏 ( )=4046. 1 2 2023 (cid:300)𝑓(cid:20)𝑏(cid:10)D. 𝑓 𝑏 ⋯ 𝑓 𝑏 + 为奇数 5(cid:158)(cid:43)2024·(cid:265)(cid:422)(cid:426)(cid:388)(cid:427)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217)(cid:237)(cid:238) =1, = (cid:89)(cid:170) 1 +1 2 为偶数 𝑎𝑛 1,𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛,𝑛=(cid:43) (cid:45) 100 𝑆 A(cid:158)3×251 B(cid:158)3×251 C(cid:158)3×250 D(cid:158)3×250 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:41)−(cid:53)15(cid:13)6(cid:39)(cid:37)(cid:54)(cid:13)(cid:39)(cid:36)−(cid:291)1(cid:188)03(cid:3)(cid:242)(cid:89)(cid:309)(cid:128)(cid:252) =−156+ 1(cid:89)(cid:161)−(cid:27)1(cid:181)03(cid:255)(cid:31)(cid:36)(cid:198) =6×2 𝑛−1 (cid:89)(cid:309)(cid:128)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:168)(cid:198). 𝑏𝑛 𝑎2𝑛 𝑎2𝑛−1,𝑛≥ 𝑏𝑛 −3 + 为奇数 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:234)(cid:144) =1, = (cid:89) 1 +1 2 为偶数 𝑎𝑛 1,𝑛 (cid:256)(cid:115) = 𝑎 +1=2 𝑎𝑛 +1(cid:89) 𝑎𝑛,𝑛 =2 =2 + N (cid:89)(cid:217) =2(cid:89) +2 +1 +1 2 (cid:256)(cid:115)𝑎2𝑘 +𝑎2𝑘 =2( 𝑎+ 2𝑘 )𝑎2+𝑘3(cid:89) 𝑎2𝑘 𝑎2𝑘−1 2,𝑘∈ ∗ 𝑎 +2 +1 (cid:252) 𝑎=2𝑘 +𝑎2𝑘 𝑎12(cid:89)𝑘(cid:170)𝑎2𝑘−1=2 +3(cid:89)(cid:256)(cid:115) +3=2( +3)(cid:89) +1 +1 (cid:256)𝑏(cid:115)𝑛 { 𝑎+ 2𝑛 3}(cid:93)𝑎2(cid:115)𝑛−1,𝑛+≥3= +𝑏𝑛 +3=𝑏𝑛6(cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)2𝑏(cid:144)𝑛 (cid:7)(cid:79)(cid:51)(cid:77)(cid:79)𝑏𝑛(cid:13)(cid:66)(cid:89) 1 1 2 (cid:256)(cid:115) 𝑏𝑛+3=6×2𝑏 (cid:89) 𝑎=6×𝑎 2 (cid:89) 𝑛−1 𝑛−1 (cid:252){ 𝑏} 𝑛(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)𝑏(cid:170)𝑛 = −=3(6×20+6×21+6×22+ +6×249) ×50=3×251 . 100 50 (cid:300)(cid:20)𝑏𝑛(cid:10)A. 𝑇𝑛 𝑆 𝑇 ⋅⋅⋅ −3 −156 6(cid:158)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)(cid:428)(cid:429)(cid:430)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) = (cid:89) = + N )(cid:89)(cid:225) = 1 ∗ 𝑛 (cid:89)(cid:170)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)51(cid:39)(cid:107)(cid:37)(cid:144)(cid:43) 𝑎 𝑛 (cid:45) 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 −1 𝑛𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑛(𝑛−1)(𝑛∈ 𝑏𝑛 (−1) 𝑎𝑛 A(cid:158) 𝑏𝑛 B(cid:158) C(cid:158)49 D(cid:158)149 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)−1(cid:219)4(cid:28)9 (cid:166) (cid:129) (cid:51)(cid:3)−(cid:242)49(cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:36)(cid:198) = (cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:241) =( ) ( )(cid:89)(cid:59) 𝑛 (cid:166)(cid:44)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:71)𝑎(cid:222)𝑛(cid:168)(cid:198)𝑆𝑛(cid:158) 𝑎𝑛 2𝑛−3 𝑏𝑛 −1 2𝑛−3 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:234)(cid:144) = + N )(cid:89) ∗ (cid:239) 2(cid:137)(cid:89) =𝑛𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑛)(=𝑛−1)+(𝑛∈ (cid:89) (cid:185)𝑛≥ 𝑛𝑎𝑛 𝑛=(𝑆𝑛−𝑆𝑛−1(cid:89) 𝑆𝑛 𝑛(𝑛−1) (𝑛−1)𝑆𝑛−𝑛𝑆𝑛−1 𝑛(𝑛−1) (cid:168)(cid:198) =1(cid:89)(cid:247) 1= = (cid:89)(cid:256)(cid:115) (cid:93)(cid:115) (cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)1(cid:144)(cid:7)(cid:78)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 1 1 𝑆𝑛 𝑆𝑛−1 𝑆 𝑆𝑛 𝑛−𝑛−1 𝑎 −1 𝑛 −1 (cid:256)(cid:115) = + = (cid:89)(cid:170) = (cid:89) 𝑆𝑛 (cid:239) 𝑛 2(cid:137) −1 𝑛 = − ( 1 𝑛 ) −2 (cid:89) 𝑆𝑛 𝑛(𝑛−2) (cid:256)𝑛(cid:115)≥ = 𝑆𝑛−1 𝑛=−1((𝑛−3))( ) = (cid:89)(cid:239) =1(cid:137) = (cid:299)(cid:169)(cid:260)(cid:89) (cid:256)(cid:115)𝑎𝑛=(𝑆𝑛−)𝑆𝑛−1=(𝑛 𝑛−) 2( − 𝑛−)(cid:89)1 (𝑛−3) 2𝑛−3 𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−3 𝑛 𝑛 (cid:168)(cid:198)𝑏(cid:13)𝑛(cid:66){−1}(cid:51)(cid:80)𝑎𝑛51(cid:39)−(cid:107)1(cid:37)(cid:144)2𝑛(−13+1)+ +5)+...+ + =2× = (cid:158) (cid:300)(cid:20)(cid:10)B(cid:158)𝑏𝑛 (−3 (−95 97)−99 25−99 −49 7(cid:158)(cid:43)2024·(cid:284)(cid:285)(cid:422)(cid:431)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:225)(cid:13)(cid:66){ }(cid:237)(cid:238) +2 +3 + + = +1( *)(cid:89)(cid:170)(cid:13)(cid:66) (cid:51) 1 2 3 1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑛𝑎𝑛 2𝑛 𝑛∈𝑁 𝑛+(cid:80)5(cid:39)(cid:37)(cid:144)(cid:43) (cid:45) 5 8 12 13 A(cid:158) B(cid:158) C(cid:158) D(cid:158) 3 5 7 6 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:161)(cid:27)(cid:291)(cid:188)(cid:3)(cid:242)(cid:36)(cid:152){ }(cid:89)(cid:59)(cid:161)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:152)(cid:117)(cid:313). (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:239) =1(cid:137)(cid:89) =3(cid:89)𝑎𝑛 1 (cid:239) 2(cid:137)(cid:89) 𝑛 𝑎 𝑛+≥2 +3 + + = +1(cid:89) 1 2 3 𝑎 +2𝑎 +3𝑎 +⋅⋅⋅+𝑛(𝑎𝑛 )2𝑛 = ( *)(cid:89) 1 2 3 𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑛−1 𝑎𝑛−1 22𝑛−1 𝑛∈𝑁 (cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:168)(cid:198)(cid:10) =2(cid:89)(cid:256)(cid:115) = (cid:89) (cid:247) =1(cid:137)(cid:89) = 𝑛 2 𝑎 (cid:89) 𝑛 (cid:256)(cid:115) (cid:130)(cid:237) 𝑎𝑛 (cid:238) 𝑛(cid:89) 1 1 𝑛 𝑎 =1 𝑎 𝑎𝑛 (cid:256)(cid:115) = 2 (cid:89)(cid:225) = (cid:89)(cid:13)(cid:66) (cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:89) 3,𝑛 2 𝑎𝑛 1 𝑎𝑛 1 𝑎𝑛 𝑛,𝑛≥ 3 𝑏 = 𝑛 1 𝑛+ 𝑛+ 𝑛 𝑇𝑛 (cid:256)(cid:115) = 2 (cid:89) 2 1 1 =2 2 ( 1) ,𝑛 1 𝑏𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛−𝑛+ ,𝑛≥ (cid:225)(cid:13)(cid:66) (cid:51)(cid:80)5(cid:39)(cid:37)(cid:144)(cid:10) 1 𝑎𝑛 𝑛+ 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 = + + + + = +2 + + + 5 2 3 4 5 6 2 2 3 3 4 4 5 5 6 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑇 = 3 +2× 1 1 = 13 . − − − − 2 2 6 6 (cid:300)(cid:20)(cid:10)D. − 1 8(cid:158)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)(cid:432)(cid:312)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:278)(cid:13)(cid:89) =1, = (cid:89)(cid:164)[ ](cid:262)(cid:263)(cid:130)(cid:433)(cid:223) 1 +1 +1 (cid:51)(cid:132)(cid:101)(cid:283)(cid:13)(cid:89)(cid:170)[ ]+[ ]+ +[ ]= 𝑎(cid:43) 𝑛 (cid:45) 𝑎 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 +𝑎𝑛 𝑥 1 2 100 𝑥 A(cid:158)615 𝑎 B(cid:158)𝑎620⋯ 𝑎 C(cid:158)625 D(cid:158)630 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:245)(cid:246)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:36)(cid:152){ }(cid:89)(cid:59)(cid:245)(cid:246)(cid:23)(cid:60)(cid:61)(cid:178) (cid:41)(cid:63)(cid:111)(cid:36)(cid:152)[ ](cid:89)(cid:59)(cid:36)(cid:37)(cid:168)(cid:198)(cid:117)(cid:313). 1𝑎𝑛 𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:234)(cid:144) =1, = (cid:89) 1 +1 +1 (cid:256)(cid:115) 2 2=1(cid:89) 𝑎 (cid:168)(cid:198) 𝑎 2 𝑛 (cid:93) − (cid:115) 𝑎𝑛 1(cid:144) 𝑎 (cid:203) 𝑛 (cid:39) +𝑎 (cid:89) 𝑛 1(cid:144)(cid:7)(cid:78)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) +1 (cid:256)(cid:115)𝑎𝑛2=−1𝑎+𝑛( )×1=𝑎𝑛(cid:89)(cid:234)(cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:177)(cid:39)(cid:103)(cid:144)(cid:278)(cid:13)(cid:89) (cid:256)(cid:115)𝑎𝑛= (cid:89)𝑛(cid:234)−(cid:144)1 (cid:89)𝑛 𝑎𝑛 ∗ (cid:239)1 𝑎𝑛 <4𝑛(cid:137)(cid:89)[ 𝑛]=∈𝐍1(cid:89) (cid:239)4≤𝑛<9(cid:137)(cid:89)[ 𝑛]=2(cid:89) ≤𝑛 𝑛(cid:239)9 <16(cid:137)(cid:89)[ ]=3(cid:89) (cid:239)16≤𝑛 <25(cid:137)(cid:89)[𝑛 ]=4(cid:89) (cid:239)25≤𝑛<36(cid:137)(cid:89)[ 𝑛]=5(cid:89) (cid:239)36≤𝑛<49(cid:137)(cid:89)[ 𝑛]=6(cid:89) (cid:239)49≤𝑛<64(cid:137)(cid:89)[ 𝑛]=7(cid:89) (cid:239)64≤𝑛<81(cid:137)(cid:89)[ 𝑛]=8(cid:89) (cid:239)81≤𝑛<100(cid:137)(cid:89)[𝑛 ]=9(cid:89) [ 100≤]=𝑛 10(cid:89) 𝑛 (cid:170)[ ]+[ ]+ +[ ]=3×1+5×2+7×3+9×4+11×5+13×6+15×7+ 1 2 100 17×𝑎 8+1𝑎9×9⋯+10𝑎=625. (cid:300)(cid:20)(cid:10)C. (cid:215)(cid:62)(cid:99)(cid:20)(cid:21) 9(cid:158)(cid:43)2023·(cid:297)(cid:334)(cid:434)(cid:410)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:121)(cid:89) = +1, =2 (cid:170)(cid:43) (cid:45) 𝑛 A(cid:158){ }(cid:51)(cid:80)10(cid:39)(cid:37)(cid:144)19×210+2 𝑎𝑛 𝑎𝑛 2𝑛 𝑏𝑛 B(cid:158){𝑎𝑛𝑏𝑛 }(cid:51)(cid:80)100(cid:39)(cid:37)(cid:144)100 𝑛 C(cid:158) (−11) 𝑎(cid:51) 𝑛 (cid:80) (cid:39)(cid:37) , < 1 6 +1 D(cid:158) 𝑎𝑛𝑎𝑛 + 64 (cid:51)(cid:132) 𝑛 (cid:102)(cid:39) 𝑇 (cid:144) 𝑛 1 𝑇 6 𝑛 1 7 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140) 𝑎 (cid:219) 𝑛 (cid:28)𝑎 A 𝑛 .(cid:166) =( +1)2 (cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:116)(cid:286)(cid:287)(cid:218)B.(cid:166) = ( +1)(cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:435)(cid:39) 𝑛 𝑛 𝑛 (cid:36)(cid:37)(cid:286)(cid:287)(cid:218)C.(cid:166) 𝑎1𝑛𝑏𝑛 = 2𝑛 1 = 1 1 1 (cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31) ( (cid:36) −1 (cid:116) ) (cid:286) 𝑎𝑛 (cid:287)(cid:218) (− D 1 . ) (cid:166) 2𝑛 + 64 = +1+ +1 ( 1)( 3) 2 1 3 64 𝑎𝑛𝑎𝑛 2𝑛+ 2𝑛+ 2𝑛+ −2𝑛+ 𝑎𝑛 𝑎𝑛 2𝑛 (cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:178)(cid:436)(cid:131)(cid:13)(cid:51)(cid:154)(cid:340)(cid:36)(cid:116)(cid:286)(cid:287). 1 (cid:22)2𝑛+(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)A.(cid:386)(cid:156) =( +1)2 (cid:89)(cid:170) = + +...+ (cid:89) 10 1 1 2 2 10 10 𝑛 =3 21+5 22+7 2𝑎3𝑛𝑏+𝑛...+22𝑛1 210(cid:89) 𝑇 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 2 ⋅ =3 2⋅2+5 2⋅3+7 24+..⋅.+21 211(cid:89) 10 (cid:172)(cid:30)𝑇 (cid:34)(cid:35)(cid:198)⋅ ⋅=3 21⋅+23+24+⋅25+...+211 211(cid:89) 10 =6+23+−24𝑇+25+⋅...+210 211(cid:89) −21⋅ =6+ 23( 29) 211(cid:89) −20⋅ 1− = 2 11−12 (cid:89) −2 (cid:170) 0 ⋅ =19 211+2(cid:89)(cid:300)(cid:32)(cid:437)(cid:218) 10 −19⋅ −2 𝑇 ⋅B. (cid:386)(cid:156) = ( +1)(cid:89)(cid:170)(cid:199)(cid:80)100(cid:39)(cid:37)(cid:144) = + + ... (2×99+1)+ 100 𝑛 𝑛 (2×100(−+11))𝑎=𝑛50(×−12)=120𝑛0(cid:89)(cid:300)(cid:278)(cid:381)(cid:218) 𝑆 −3 5−7 9− − C. 1 = 1 = 1 1 1 = 1 1 1 + 1 1 +...+ 1 1 = 1 1 1 = 1 1 +1 ( 1)( 3) 2 1 3 2 3 5 5 7 1 3 2 3 3 6 2( 3) 1 𝑎𝑛𝑎𝑛 2𝑛+ 2𝑛+ 2𝑛+ −2𝑛+ 𝑇𝑛 − − 2𝑛+ −2𝑛+ −2𝑛+ − 2𝑛+ < (cid:89)(cid:300)(cid:278)(cid:381)(cid:218) 6 D. (cid:386)(cid:156) + 64 = +1+ 64 (cid:89)(cid:294) = +1 3(cid:89)(cid:170) = + 64 2 64=16(cid:89)(cid:239)(cid:217)(cid:352)(cid:239) = 64 (cid:89)(cid:185) =8(cid:89) 1 = 7 (cid:137)(cid:89) 𝑎𝑛 (cid:77)(cid:9) 𝑎𝑛 (cid:169)(cid:260) 2 (cid:89) 𝑛 (cid:197) 2 N 𝑛+ (cid:89)(cid:239) 𝑡 =3 2 (cid:137) 𝑛 (cid:89) ≥ + 64 =1 𝑦 6 1 (cid:89) 𝑡 (cid:239) 𝑡 = ≥ 4(cid:137)(cid:89) 𝑡⋅ 𝑡 + 64 =16 1 (cid:89)(cid:256)(cid:115) 𝑡 𝑡 + 64 𝑡 (cid:51)(cid:132)(cid:102) 2 3 3 7 4 4 9 ∗ 𝑛 𝑛∈ 𝑛 𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 1 (cid:39)(cid:144)16 (cid:89)(cid:300)(cid:32)(cid:437)(cid:218) 9 (cid:300)(cid:20)(cid:10)BC. 10(cid:158)(cid:43)2024·(cid:438)(cid:439)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:124)(cid:7)(cid:78)(cid:130)(cid:144)0(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:121)(cid:89) = (cid:93) (cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39)(cid:89)(cid:13)(cid:66){ } 4 5 2 6 1 𝑎𝑛 𝑎 −5,𝑎 𝑎 𝑎 𝑏𝑛 (cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217) = (cid:89)(cid:170)(cid:43) (cid:45) +1 A 𝑛 (cid:158) = 𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 B(cid:158) N*, C(cid:158) 𝑎𝑛 = 2𝑛1−131 D(cid:158) ∀𝑛∈ N*, 𝑏𝑛≥−1 11 6 5 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140) 𝑆 (cid:219) 𝑛 (cid:28) − (cid:56)(cid:166) −2(cid:77)𝑛−(cid:78)11(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:232)(cid:233)(cid:36)(cid:198)(cid:191)(cid:39)(cid:7) ∀ (cid:30) 𝑛∈ = 𝑆 ≤𝑆𝑛 (cid:89) ≤ (cid:248) 𝑆 (cid:197)(cid:36)(cid:198) (cid:89) (cid:89)(cid:168)(cid:286)(cid:287)AC(cid:89)(cid:59)(cid:245)(cid:246) (cid:89) (cid:51)(cid:278)(cid:440)(cid:63)(cid:111)(cid:286)(cid:287)BD. 𝑎𝑛 𝑎𝑛 2𝑛−13 𝑏𝑛 𝑆𝑛 𝑏(cid:22)𝑛(cid:116)𝑆(cid:117)𝑛(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:225)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89)(cid:170) = + = + (cid:89) = = (cid:89) 5 4 2 4 = + = + (cid:89)(cid:234)𝑎𝑛(cid:144) (cid:93) (cid:129)𝑑 (cid:51)(cid:77)𝑎(cid:79)(cid:121)𝑎(cid:39)(cid:89)𝑑(cid:256)(cid:115)−52=𝑑 𝑎 (cid:89)𝑎 −2𝑑 −5−2𝑑 6 4 5 2 6 5 2 6 𝑎(cid:185)( 𝑎+ 2)𝑑2=−(5 2𝑑)( +𝑎 )(cid:89)𝑎 (cid:116)(cid:198)𝑎 =0(cid:122)2(cid:89)(cid:247)(cid:234)(cid:144)𝑎 0(cid:89)𝑎 (cid:256)𝑎 (cid:115) =2(cid:89) (cid:256)(cid:115)−5 =𝑑 +(−5−)2𝑑= −5+22(𝑑 )= 𝑑 (cid:89)(cid:300)A(cid:278)(cid:381)𝑑(cid:218)≠ 𝑑 4 = 𝑎𝑛1 𝑎 = 𝑛−41 𝑑 −5 = 1 𝑛1−4 21𝑛−1 (cid:89) 3 +1 ( )( ) 2 𝑏 (cid:294) 𝑛 𝑎 < 𝑛𝑎 0 𝑛 (cid:89)(cid:170) 2𝑛 1 −13 < 2𝑛− 1 11 (cid:89)(cid:247)(cid:234) 2𝑛− (cid:144) 13−2 N 𝑛 * − (cid:89) 11 (cid:256)(cid:115) =6(cid:89)(cid:186)(cid:137) = (cid:89) (cid:185)(cid:441) 𝑏𝑛 (cid:50) =6(cid:137)2𝑛(cid:89)−13 < 2 0 𝑛(cid:217)−11 = (cid:89) 𝑛 (cid:254) ∈ (cid:186)(cid:107)(cid:442) > 𝑛 0(cid:89) 𝑏𝑛 −1 (cid:256)(cid:115) 𝑛 N*, 𝑏𝑛 (cid:169)(cid:260)(cid:89)𝑏𝑛(cid:300)B−1(cid:278)(cid:381)(cid:218) 𝑏𝑛 = ∀1𝑛∈ 1 𝑏𝑛≥−11 + 1 1 +...+ 1 1 = 1 1 1 (cid:89)(cid:300)C(cid:32)(cid:437)(cid:218) 2 11 9 9 7 2 11 𝑆 (cid:234) 𝑛 (cid:144)(cid:441)(cid:50)− = − 6(cid:137)−(cid:89) < − 0(cid:89)(cid:254)−(cid:186)−(cid:107)(cid:442) >20𝑛(cid:89)−1(cid:256)3−(cid:115)2𝑛−(cid:51)11(cid:132)(cid:102)(cid:133)−(cid:144) −(cid:89)2𝑛−11 6 (cid:247) >6(cid:137) 𝑛 (cid:89) = 1 𝑏𝑛 1 1 <0(cid:89) 𝑏𝑛 (cid:256)(cid:115) (cid:51)(cid:132) 𝑆 (cid:101) 𝑛 (cid:133)(cid:144) (cid:89) 𝑆 2 11 5 𝑛 𝑆𝑛 − −2𝑛−11 𝑆𝑛 𝑆(cid:256)(cid:115) N*, (cid:169)(cid:260)(cid:89)(cid:300)D(cid:278)(cid:381). 6 5 (cid:300)(cid:20)(cid:10)∀𝑛A∈BD.𝑆 ≤𝑆𝑛≤𝑆 11(cid:158)(cid:43)2024·(cid:443)(cid:214)(cid:444)(cid:445)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217) =4 , =2 +1( N )(cid:89)(cid:170) 4 2 ∗ (cid:43) (cid:45) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑆 𝑆 𝑎2𝑛 𝑎𝑛 𝑛∈ A(cid:158) = B(cid:158) = 2 C(cid:158)(cid:13) 𝑎𝑛 (cid:66) 2𝑛1−1 (cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) D(cid:158) 𝑆 (cid:13) 𝑛 (cid:66){ 𝑛 +2 }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144)2 +1+ 2 1 +1 2𝑛 𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)𝑎(cid:166) 𝑛𝑎(cid:77) 𝑛 (cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:154)(cid:340)(cid:37) 2 (cid:80) 𝑛+ n(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:168)(cid:36)(cid:152) 𝑎𝑛 =2, =1(cid:89)(cid:168)(cid:286)(cid:287)A(cid:218)(cid:166)(cid:77) 𝑛 (cid:78) − (cid:13) 2 (cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39) 1 (cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:168)(cid:286)(cid:287)B(cid:218)(cid:166)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:168)(cid:286)(cid:287)C(cid:218)(cid:166)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)𝑑(cid:168)(cid:286)𝑎(cid:287)D. 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:178)(cid:105)A(cid:89)(cid:225)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:203)(cid:39)(cid:37)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89) 1 4×3 𝑎𝑛 𝑎 ,𝑑1 (cid:256)(cid:115) =4 + =4 =4(2 + )(cid:89)(cid:16)(cid:275)(cid:168)(cid:198)(cid:10) = (cid:89) 4 1 2 2 1 1 2 (cid:247)(cid:234) 𝑆 (cid:144) = 𝑎 2 +1 𝑑 (cid:89)(cid:170) 𝑆 =2 𝑎+1(cid:89)𝑑 𝑎 𝑑 2 1 (cid:256)(cid:115) 𝑎+2𝑛 = 𝑎𝑛+2 =2𝑎 +1𝑎(cid:89)(cid:256)(cid:115) =2, =1(cid:89) 1 1 1 1 1 (cid:256)(cid:115)𝑎 =𝑑 +𝑎( 𝑎) =1𝑎+2( )=𝑑 𝑎(cid:89)(cid:300)A(cid:278)(cid:381)(cid:218) 1 (cid:178)(cid:105) 𝑎 B 𝑛 (cid:89) 𝑎 = 𝑛− + 1 𝑑( ) = 𝑛 + −1 ( 2𝑛 ) − = 1 2(cid:89)(cid:300)B(cid:278)(cid:381)(cid:218) 1 2 𝑛 𝑛−1 (cid:178)(cid:105)C(cid:89) 𝑆𝑛 1 𝑛 = 𝑎 1 𝑑 = 𝑛 1 𝑛 1 𝑛−1 1 𝑛 (cid:89) +1 ( )( 1) 2 1 (cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66) 𝑎𝑛𝑎𝑛 1 (cid:51) 2𝑛 (cid:80) −1 n(cid:39) 2𝑛+ (cid:37)(cid:144) 1 2𝑛− 1 1 + − 1 2𝑛+ 1 + 1 1 +……+ 1 1 = 1 1 = (cid:89)(cid:300)C(cid:32)(cid:437)(cid:218) 2 3 3 5 5 7 1 2 1 1 +1 𝑛 (cid:178)(cid:105)D(cid:89)(cid:294)𝑎𝑛𝑎𝑛 = +2 =( 1 ) − +2 (cid:89) − − 2𝑛−1−2𝑛+ 1−2𝑛+ 2𝑛+ 𝑛 𝑛 (cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66){ 𝑏𝑛 +2𝑎} 𝑛(cid:51)(cid:80)n(cid:39)2(cid:37)𝑛(cid:144)−1(cid:10)(1+3+5+……+ )+(21+22+23+ +2 ) 𝑛 𝑛 = (1 𝑎)𝑛 + 2( 2 ) = 2+2 +1 (cid:89)(cid:300)D(cid:278)(cid:381). 2𝑛−1 ⋯ 2 𝑛 𝑛 +2𝑛−1 1− 𝑛 (cid:300)(cid:20)(cid:10)ABD. 1−2 𝑛 −2 (cid:267)(cid:62)(cid:446)(cid:447)(cid:21) 1 12(cid:158)(cid:43)2024·(cid:297)(cid:334)(cid:448)(cid:449)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78) 0(cid:89)(cid:203)(cid:39) = (cid:89) (cid:93) (cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39)(cid:89)(cid:252) 1 2 4 2 8 (cid:144)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:170) = 105 . 𝑎𝑛 𝑑≠ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑆𝑛 20 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)𝑎𝑛(cid:219)(cid:28)(cid:245)𝑛(cid:246)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39)𝑆(cid:51)(cid:154)(cid:340)(cid:198)(cid:241)(cid:85)(cid:224)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:152)(cid:7)(cid:78) (cid:89)(cid:59)(cid:245)(cid:246)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:30)(cid:71)(cid:222)(cid:168)(cid:198). 1 𝑑 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:121)(cid:89) = (cid:89) (cid:93) (cid:129) (cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39)(cid:89)(cid:225)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89) 1 2 4 2 8 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑 (cid:256)(cid:115) 2= (cid:89)(cid:185)( 1 + 2 =( 1 + 1 + (cid:89) 4 2 8 2 2 2 𝑎 𝑎 𝑎 3𝑑) 𝑑)( 7𝑑)1 (cid:116)(cid:198) = (cid:122) =0(cid:43)(cid:130)(cid:135)(cid:21)(cid:268)(cid:89)(cid:290)(cid:149)(cid:45)(cid:218) 2 (cid:256)(cid:115) 𝑑 20 =20 𝑑 × 1 2 + 20× 2 19×1 2=105(cid:158) 𝑆 (cid:300)(cid:117)(cid:313)(cid:144)(cid:10)105(cid:158) 1 13(cid:158)(cid:43)2024·(cid:211)(cid:212)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:124)(cid:13)(cid:66){ }(cid:121)(cid:89)(cid:231)(cid:156) = (cid:89)( +2) = (cid:89)(cid:170)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)2024(cid:39)(cid:37) = 1 2 +1 2024 𝑎𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑆 2024 (cid:158) 2025 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:166)( +2) = (cid:89)(cid:198)(cid:241) +1= (cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:415)(cid:282)(cid:31)(cid:198)(cid:241)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:59)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:89) +1 2 𝑎𝑛 𝑛 (cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116). 𝑛 𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛+ 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:234)(cid:144)( +2) = (cid:89)(cid:256)(cid:115) +1= (cid:89) +1 2 𝑎𝑛 𝑛 (cid:256)(cid:115) = 2 3 𝑛 … 𝑎𝑛 = 1 1 𝑛𝑎 2 𝑛 … 𝑎 = 𝑛 1 𝑛+ = 1 1 (cid:89) 1 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 2 3 4 𝑛− 1 1 ( 1) 1 𝑎𝑛 𝑎 ⋅𝑎 ⋅𝑎 ⋅ ⋅𝑎𝑛−1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅𝑛+ 𝑛 𝑛+ 𝑛−𝑛+ 1 1 1 1 1 2024 (cid:234)(cid:186) = + +…+ = (cid:89) 2024 2 2 3 2024 2025 2025 𝑆 1− − − 2024 (cid:300)(cid:117)(cid:313)(cid:144)(cid:10) . 2025 为奇数 14(cid:158)(cid:43)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:450)(cid:451)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89) = (cid:89)(cid:252) (cid:89) (cid:41)(cid:171)(cid:144){ }(cid:89) 2 + 为偶数 𝑎𝑛−8,𝑛 { }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:89)(cid:164) =18(cid:89) =10(cid:89)(cid:170) 𝑎𝑛 = 370 (cid:158) 𝑏𝑛 𝑎𝑛 1,𝑛 𝑆𝑛 𝑇𝑛 𝑎𝑛 3 2 20 (cid:22)𝑏𝑛(cid:116)(cid:21)(cid:140)𝑛(cid:219)(cid:28)(cid:245)(cid:246)(cid:231)𝑆(cid:156)(cid:232)(cid:233)(cid:198)𝑇(cid:241)(cid:3)(cid:105) (cid:62)𝑇(cid:51)(cid:215)(cid:387)(cid:108)(cid:412)(cid:85)(cid:224)(cid:42)(cid:89)(cid:116)(cid:85)(cid:224)(cid:42)(cid:89)(cid:36)(cid:152) (cid:62) (cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:152)(cid:13)(cid:66){ } 1 1 (cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89) = +4(cid:89)(cid:166)(cid:186)(cid:168)(cid:198)(cid:13)𝑎(cid:66){𝑑 }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116). 𝑎 𝑑 𝑎𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)𝑎(cid:225)𝑛(cid:77)(cid:78)𝑛(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:158)𝑏(cid:166)𝑛 =18(cid:89)(cid:198) + + = + + + + =3 + =18 3 1 2 3 1 1 1 1 (cid:89) 𝑎𝑛 𝑑 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑 𝑎 2𝑑 𝑎 3𝑑 (cid:166)① =10(cid:198) +2 +1= +2( + )+1=10, 3 + =17 (cid:89) 2 1 2 1 1 1 (cid:452)(cid:260) 𝑇 (cid:89) 𝑎3− 1 8+ 𝑎=18 (cid:89) 𝑎 (cid:116) − (cid:198) 8 = 𝑎 = 𝑑 1(cid:89) ∴ 𝑎 2𝑑 ② 3 + =17 1 1 𝑎 3𝑑 (cid:256)(cid:115)①② = +𝑎( 2)𝑑=5+ 𝑎 ×1= 5,𝑑 +4(cid:158) 1 𝑎𝑛 𝑎 为𝑛−奇1数𝑑 (𝑛−1) 𝑛 (cid:170) = (cid:89) + 为偶数 𝑛−4,𝑛 𝑏𝑛 (cid:256)(cid:115) 2=𝑛( 9+.𝑛 + + )+ ( + + + ) = +1+ +15)+(13+17+ +49) 20 1 3 19 2 4 20 𝑇15 𝑏 1𝑏3 49⋯ 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏 (−3−1 ⋯ ⋯ = ×10+ ×10=370(cid:158) 2 2 −3+ + (cid:300)(cid:117)(cid:313)(cid:144)(cid:10)370. (cid:211)(cid:62)(cid:116)(cid:117)(cid:21)15(cid:158)(cid:43)2024·(cid:95)(cid:453)(cid:454)(cid:455)(cid:456)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) =3(cid:89) =1+ (cid:158) 1 +1 (1)(cid:240)(cid:243)(cid:10)(cid:13)(cid:66){ }(cid:93)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:44)(cid:36) 𝑎(cid:218)𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑎𝑛 (2)(cid:36)(cid:13)(cid:66) 1 (cid:51)𝑆(cid:80) 𝑛− n 1(cid:39)(cid:37) (cid:158) 𝑆𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)𝑎(cid:28) 𝑛 (1)(cid:245)(cid:246)(cid:21)(cid:268) 𝑇𝑛 =1+ (cid:142) = (cid:89)(cid:283)(cid:15)(cid:168)(cid:198)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:240)(cid:218) +1 +1 +1 𝑆𝑛 𝑎𝑛 1 𝑎𝑛 𝑆𝑛 −𝑆𝑛 (2)(cid:245)(cid:246)(1)(cid:121) (cid:168)(cid:36)(cid:152) (cid:41)(cid:52)(cid:457)(cid:244)(cid:36)(cid:152) (cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:89)(cid:59)(cid:245)(cid:246)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:168)(cid:36)(cid:198) . 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑇𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:234)(cid:144) =1+ (cid:89)(cid:247) = (cid:89) +1 +1 +1 (cid:256)(cid:115) +1=0(cid:89)𝑆(cid:283)𝑛(cid:15)(cid:198) 𝑎𝑛 =2𝑎( 𝑛 )𝑆(cid:158)𝑛 −𝑆𝑛 +1 +1 (cid:166)(cid:21)𝑆(cid:268)𝑛(cid:198)−2𝑆𝑛= =2(cid:89) 𝑆𝑛 −1 𝑆𝑛−1 1 1 (cid:256)(cid:115)(cid:13)(cid:66)𝑆{ −1 }(cid:93)𝑎(cid:115)−12(cid:144)(cid:203)(cid:39)(cid:89)2(cid:144)(cid:7)(cid:79)(cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:300) =2 (cid:89) 𝑛 (cid:185) =2 𝑆+𝑛1−(cid:158)1 𝑆𝑛−1 𝑛 𝑆𝑛 =1 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:168) = (cid:89) 2 2 3,𝑛 𝑎𝑛 𝑛−1 (cid:239) =1(cid:137)(cid:89) = 1 = 1 (cid:89) ,𝑛≥ 1 1 3 𝑛 𝑇 𝑎 (cid:239) 2(cid:137)(cid:89) 1 = 1 (cid:89) 2 𝑛−1 𝑛≥ 𝑎𝑛 1 2 (cid:256)(cid:115) = 1 + 1 + 1 + + 1 (cid:89) 3 2 2 2 𝑛−1 𝑇1 𝑛 1 1 4 1 ⋅⋅⋅ = +2 2 𝑛−1 = . 3 1 3 2 𝑛−1 1− 2 𝑇𝑛 1− − (cid:239) =1(cid:89)(cid:306)(cid:307) = 4 1 = 1 (cid:237)(cid:238)(cid:7)(cid:30)(cid:89) 3 2 𝑛−1 3 𝑛 𝑇𝑛 − (cid:134)(cid:261)(cid:89) = 4 1 . 3 2 𝑛−1 16(cid:158)(cid:43)2𝑇0 𝑛 24·(cid:211)−(cid:212)(cid:95)(cid:249)·(cid:267)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144)4(cid:89)(cid:217) +2(cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) 2 3 5 n(cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89) =2(cid:217) =2 +2( 2).𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 −2 𝑏𝑛 1 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66)𝑆{ 𝑛 }𝑏(cid:62){ }(cid:51)𝑆(cid:191)𝑛 (cid:39)(cid:7)𝑆𝑛(cid:30)−1(cid:218) 𝑛≥ (2)(cid:225) = 𝑎𝑛 ( 𝑏𝑛 )(cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)n(cid:39)(cid:37) . ∗ (cid:22)(cid:116)(cid:21)𝑐𝑛(cid:140)(cid:219)𝑎𝑛(cid:28)𝑏𝑛(cid:43)𝑛1∈(cid:45)𝑁(cid:166)(cid:231)(cid:156)(cid:136)(cid:135)(cid:77)𝑐(cid:79)𝑛 (cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:154)(cid:340)(cid:36)𝑇𝑛(cid:116)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:203)(cid:39)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:36)(cid:116) (cid:89)(cid:166) =2 +2(cid:198) =2 +2(cid:89)(cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:198) =2 ( 2)(cid:89)(cid:59)(cid:458)(cid:240) =2𝑎𝑛(cid:89)(cid:132)(cid:128)(cid:161)(cid:27)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)𝑎(cid:51)𝑛 (cid:60)(cid:61)𝑆(cid:36)𝑛 (cid:116)(cid:185)𝑆𝑛(cid:168)−1 . +1 +1 2 1 (cid:43)𝑆𝑛 2(cid:45)(cid:161)(cid:27)𝑆𝑛(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:116)(cid:13)𝑏(cid:66)𝑛 (cid:51)(cid:37)(cid:185)𝑏𝑛(cid:168)𝑛. ≥ 𝑏 𝑏 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:273)(cid:21)(cid:268)(cid:89)(cid:225)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:203)(cid:39)(cid:144) (cid:89)(cid:234)(cid:144) +2(cid:89) (cid:89) (cid:169)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89) 1 2 3 5 (cid:256)(cid:115) 2=( +2)( )(cid:89)(cid:247) =4(cid:89)(cid:185)(𝑎𝑛+8)2=( 𝑎+6)( 𝑎+14)(cid:89)𝑎(cid:116)(cid:198)𝑎 −=2 (cid:89) 3 2 5 1 1 1 1 𝑎 𝑎 𝑎 −2 𝑑 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 −5(cid:300) = +( ) = +4( )= (cid:89) 1 (cid:166)𝑎(cid:231)𝑛(cid:156)𝑎 =2𝑛−1+𝑑2(−52)(cid:89)𝑛(cid:300)−1 =4𝑛2−9+2(cid:89) +1 (cid:172)(cid:30)(cid:34)𝑆(cid:35)𝑛(cid:89)(cid:198)𝑆𝑛−1 =2𝑛≥( 2)(cid:89)𝑆𝑛 𝑆𝑛 +1 (cid:247) =2 +2𝑏(cid:89)𝑛(cid:116)(cid:198) 𝑏𝑛=𝑛4(cid:89)≥(cid:256)(cid:115) =2 (cid:89) 2 1 2 2 1 (cid:256)𝑆(cid:115)(cid:13)(cid:66)𝑆{ }(cid:93)(cid:115)2(cid:144)𝑏(cid:203)(cid:39)(cid:89)2(cid:144)(cid:7)𝑏(cid:79)(cid:51)(cid:77)𝑏 (cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:300) =2 2 =2 . 𝑛−1 𝑛 (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:43)𝑏1𝑛(cid:45)(cid:198) = =( ) 2 (cid:89) 𝑏𝑛 ⋅ 𝑛 (cid:300) = ×21 𝑐𝑛 ×𝑎2𝑛2𝑏+𝑛3×42𝑛3−+9 ⋅+( ) 2 (cid:89) 𝑛 (cid:170)𝑇2𝑛 =−5 ×2−21 ×23 ×24+⋅⋅⋅ +(4𝑛−9 )⋅×2 +1(cid:89) 𝑛 (cid:172)(cid:30)𝑇(cid:34)𝑛 (cid:35)−(cid:198)5 =−1 +−43(22+23⋅+⋅⋅ +42𝑛−)9( )×2 +1 𝑛 2𝑛 = +4 − × 𝑇2 𝑛 2( −2 10) ( )×2 ⋅⋅ + ⋅ 1=( − 4𝑛− ) 9 ×2 +1 (cid:89) 𝑛−1 1− 2𝑛 𝑛 (cid:300) −1 = 0 ( ) 1 × −2 2 +1− +42𝑛6− . 9 13−4𝑛 −26 𝑛 17𝑇(cid:158)𝑛(cid:43)2042𝑛4−·(cid:276)13(cid:250)(cid:292)(cid:293)·(cid:216)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37)(cid:144) (cid:89)(cid:217) =45, + =26. 5 4 6 (1)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎𝑛1 (2)(cid:164) = (cid:89)(cid:36)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)10(cid:39)(cid:37). (cid:22)(cid:116)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:140)(cid:219) 𝑆𝑛 (cid:28) −3 (cid:43) 𝑛 1(cid:45)(cid:56)(cid:225)(cid:77)𝑏𝑛 (cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89)(cid:59)(cid:245)(cid:246)(cid:21)(cid:167)(cid:231)(cid:156)(cid:232)(cid:233)(cid:66)(cid:152)(cid:3)(cid:105)(cid:203)(cid:39) (cid:129)(cid:7)(cid:78) (cid:51)(cid:85)(cid:224)(cid:42)(cid:89) 1 (cid:116)(cid:152) (cid:129) (cid:51)(cid:133)(cid:89)(cid:185)(cid:168)(cid:71)(cid:222)(cid:152)(cid:13)(cid:66){𝑎𝑛}(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)𝑑(cid:30)(cid:218) 𝑎 𝑑 1 (cid:43)2(cid:45)𝑎(cid:56)(cid:245)𝑑(cid:246)(cid:88)(cid:43)1(cid:45)(cid:21)(cid:51)(cid:136)(cid:176)(cid:71)(cid:222)(cid:152)𝑎𝑛 (cid:51)(cid:262)(cid:213)(cid:30)(cid:89)(cid:248)(cid:108)(cid:459)(cid:71)(cid:222)(cid:152)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:44)(cid:248)(cid:258)(cid:417)(cid:16)(cid:89)(cid:132)(cid:128)(cid:221)(cid:27) (cid:38)(cid:39)(cid:34)(cid:40)(cid:31)(cid:185)(cid:168)(cid:71)(cid:222)(cid:152)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:80)𝑆1 𝑛 0(cid:39)(cid:37). 𝑏𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:89)𝑏(cid:225)𝑛(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89) (cid:170) 5 =5 1 + 5× 2 4 =45 (cid:89) 𝑎𝑛 𝑑 + = + + + =26 4 6 1 1 𝑆 𝑎 𝑑 + =9 (cid:16)(cid:275)𝑎(cid:283)(cid:15)𝑎(cid:89)(cid:198)𝑎 1 3𝑑 𝑎 (cid:89)5𝑑 + =13 1 𝑎 2𝑑 (cid:116)(cid:198) 1 =5 (cid:89)𝑎 4𝑑 =2 𝑎 =𝑑5+2 ( )= + N*. (cid:43) ∴ 2 𝑎 (cid:45) 𝑛 (cid:166)(cid:43)1(cid:45) ⋅ (cid:168) 𝑛 (cid:198) −1 (cid:89) 2 = 𝑛 3 + ,𝑛(∈ ) 2= 2+ (cid:89) 2 𝑛 𝑛−1 𝑆𝑛 5𝑛 ⋅ 𝑛 4𝑛 1 1 1 1 1 1 (cid:170) = = = = = (cid:89) 2 2 ( 1) 1 𝑏 (cid:13) 𝑛 (cid:66){ 𝑆𝑛− } 3 (cid:51) 𝑛 (cid:80)1 𝑛 0 +(cid:39)4𝑛−(cid:37)3𝑛(cid:144)(cid:10)𝑛 +𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛−𝑛+ ∴ + +𝑏𝑛 + 1 2 10 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏1 1 1 1 1 = + + + 2 2 3 10 11 1− 1 − ⋯ − = 11 1− 10 = . 11 18(cid:158)(cid:43)2024·(cid:297)(cid:334)(cid:460)(cid:461)·(cid:215)(cid:216)(cid:45)(cid:231)(cid:156)(cid:13)(cid:66){ },{ }(cid:237)(cid:238) = + = (cid:144)(cid:84)(cid:13)(cid:89)(cid:164){ }(cid:144)(cid:77) (cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:217) =2( )=2( +𝑎𝑛)=𝑏𝑛8(cid:158) 𝑎2𝑛−1 𝑏2𝑛−1 12𝑚,𝑎2𝑛 𝑚𝑏2𝑛,𝑚 𝑎𝑛 4 2 3 1 1 1 (1)(cid:36) (cid:51)(cid:133)𝑏(cid:142)−{ 𝑏}(cid:51)(cid:191)(cid:39)𝑏 (cid:7)−𝑏(cid:30)(cid:218) 𝑎 𝑏 (2)(cid:36)𝑚{ }(cid:51)(cid:80) 𝑎𝑛(cid:39)(cid:37) (cid:158) (cid:22)(cid:116)(cid:21)𝑏(cid:140)𝑛 (cid:219)(cid:28)2(cid:43)𝑛1(cid:45)(cid:225)𝑆(cid:77)2𝑛(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89)(cid:136)(cid:135)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:51)(cid:154)(cid:340)(cid:168)(cid:198)(cid:85)(cid:224)(cid:42)(cid:89)(cid:116)(cid:152)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:218) (cid:43)2(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:268)(cid:168)(cid:198) = 𝑎𝑛 =2 𝑑(cid:89)(cid:338)(cid:339)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:71)(cid:222)(cid:185)(cid:168)(cid:198)(cid:116). (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)𝑏2𝑛(cid:166)−1(cid:21)(cid:268)𝑎(cid:156)2𝑛−1−6,𝑏=2𝑛8, 𝑎2𝑛 =4, + =4(cid:89) 4 2 3 1 1 1 𝑏 −𝑏 𝑏 −𝑏 𝑎= 𝑏+ 1 1 = 2 2 (cid:234)(cid:144) = + = (cid:89)(cid:256)(cid:115) 𝑎3 =𝑏3 +12𝑚 , 𝑎4 =𝑚𝑏4 𝑎2𝑛−1 𝑏2𝑛−1 12𝑚,𝑎2𝑛 𝑚𝑏2𝑛 1𝑎+ 1𝑏=2 112𝑚 𝑎 𝑚𝑏 = 𝑎 𝑏=4=𝑎 −12𝑚 3 1 3 1 (cid:225)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66){ }(cid:51)(cid:7)(cid:78)(cid:144) (cid:89)(cid:170) = ( )= = (cid:89) 4 2 4 2 𝑎1−+𝑎 1 =𝑏2−1𝑏 =24𝑑 𝑎𝑛 𝑑 𝑎 −𝑎 𝑚 𝑏 −𝑏 8𝑚 2𝑑 𝑎 𝑏 𝑎 −12𝑚 =2 1 = (cid:116)(cid:198) 𝑑 2 (cid:89)(cid:256)(cid:115) =5+( )×2= +3(cid:89) = 1 𝑚 1 =5 𝑎𝑛 𝑛−1 2𝑛 𝑏 −1 𝑎 1 (cid:256)(cid:115) (cid:51)(cid:133)(cid:144) ,{ }(cid:51)(cid:191)(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:144) = +3(cid:218) 2 (cid:43)2(cid:45) 𝑚 (cid:166)(cid:43)1(cid:45)(cid:156)𝑎(cid:89) 𝑛 = +3, 𝑎𝑛 = 2𝑛 =2 (cid:89) (cid:256)(cid:115) =( + 𝑎+ 𝑛 2+𝑛 +𝑏2𝑛−1 )+𝑎2 ( 𝑛−1 +−6,𝑏+ 2𝑛 +𝑎2𝑛 + ) 1 3 5 2 4 6 = ( 𝑆2 + 𝑛 𝑏+ 𝑏+ +𝑏 ⋯ 𝑏2𝑛)−+12( 𝑏+ 𝑏+ 𝑏+ ⋯+ 𝑏2)𝑛 1 3 5 2 4 6 𝑎( 1 +𝑎 𝑎) ⋯ 𝑎2𝑛−1−(62𝑛+ )𝑎 (𝑎5+ 𝑎 +1⋯) 𝑎2𝑛 = +2× = + (7+ +3) 2 2 2 𝑛 𝑎 𝑎2𝑛−1 𝑛 𝑎 𝑎2𝑛 𝑛 4𝑛 =6 2+ (cid:158) −6𝑛 −6𝑛 𝑛 4𝑛 (cid:256)(cid:115)𝑛{ }7(cid:51)𝑛(cid:80) (cid:39)(cid:37) =6 2+ (cid:158) 19(cid:158)(cid:43)𝑏𝑛2024·(cid:284)2(cid:285)𝑛 (cid:265)(cid:422)𝑆· 2(cid:215)𝑛 (cid:216)(cid:45)𝑛(cid:231)(cid:156)7{𝑛 }(cid:93)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:199)(cid:80)n(cid:39)(cid:37)(cid:144) ，{ }(cid:93)(cid:77)(cid:79)(cid:13)(cid:66)(cid:89)(cid:231)(cid:156) =1， =6(cid:89) 1 3 = ， (cid:93) (cid:37) (cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39). 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑆 1 2 8 4 4 𝑏(1)(cid:36){𝑎 }(cid:37)𝑎{ 𝑎}(cid:51)(cid:191)𝑏(cid:39)(cid:7)(cid:30)(cid:218) 𝑎𝑛 𝑏𝑛(2)(cid:36)(cid:13)(cid:66) (cid:51)(cid:80) (cid:39)(cid:37) (cid:218) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 1 1 1 1 (3)(cid:252) = (cid:89)(cid:36)(cid:240)(cid:10) + < < + . 𝑏+𝑛−11 𝑛 2 2 2 +1 𝑛=1 𝑛 2 4 2 +2 𝑐𝑛 𝑏𝑛 −1 − 𝑛 𝑐𝑖 − 𝑛 (cid:22)(cid:116)(cid:21)(cid:140)(cid:219)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166) =1， =6(cid:36)(cid:152)𝑖 (cid:89)(cid:161)(cid:27)(cid:247) (cid:93) (cid:37) (cid:51)(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39)(cid:62) = (cid:36)(cid:152) (cid:218) 1 3 8 4 4 1 2 (cid:43)2(cid:45)(cid:161)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)𝑎 (cid:152) (cid:218)𝑆 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏𝑛 (cid:43)3(cid:45)(cid:161)(cid:27)(cid:57)(cid:58)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:168)(cid:198)𝑇(cid:117)𝑛(cid:313). 3×2 (cid:22)(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:43)1(cid:45)(cid:166)(cid:21)(cid:268) =1， =3 + =3 + =6(cid:89) 1 3 1 2 1 𝑎 𝑆 𝑎 𝑑 𝑎 3𝑑 =1， =1+( )= (cid:89) (cid:247)∴𝑑 = 𝑎= 𝑛 2， (cid:93)𝑛−(cid:37)1 (cid:51)𝑛(cid:77)(cid:79)(cid:121)(cid:39)(cid:89)(cid:198) 2= (cid:89) 1 2 8 4 4 8 4 4 (cid:247)𝑏 =𝑎4， =𝑎8，6𝑎4=4𝑏 ， = 3=2𝑎3=𝑎16𝑏(cid:89)(cid:116)(cid:198) =2(cid:89) 4 8 4 4 1 𝑎 =2 2𝑎 =2 (cid:218) 𝑏 𝑏 𝑏 𝑞 𝑞 𝑞 𝑛−1 𝑛 ∴𝑏𝑛 ⋅ (cid:43)2(cid:45) = (cid:89) 2 𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑛 1 1 1 1 (cid:225) =1× +2× +3× + + (cid:89) 2 22 23 2 𝑇𝑛 ⋯ 𝑛⋅ 𝑛 1 1 1 1 1 (cid:170) =1× +2× +3× + + (cid:89) 2 22 23 23 2 +1 𝑇𝑛 ⋯ 𝑛⋅ 𝑛 1 1 1 1 1 1 (cid:370)(cid:115)(cid:261)(cid:172)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:198) = + + + + 2 2 22 23 2 2 +1 = 1 2 1 2 𝑛 1 𝑇 = 𝑛 1 1 ⋯ (cid:89) 𝑛 −𝑛⋅ 𝑛 1 2 +1 2 𝑛 2 +1 1− 2 𝑛 𝑛 1− −𝑛 2 ⋅ 1− −𝑛⋅ = (cid:218) 2 𝑛+ ∴𝑇𝑛 2− 𝑛 2 (cid:43)3(cid:45) = = ， 𝑏+𝑛−11 2 +𝑛 − 1 1 𝑐𝑛 2 𝑏𝑛 −1 2 𝑛 −1 1 1 = > = ， 2 +𝑛1 2𝑛+1 2 2 +1 −1 −1 ∵𝑐𝑛 𝑛 𝑛 − 𝑛 1−1 1 1 1 1 1 𝑛 > + + + 2 22 2 23 2 2 +1 =1 ∴ 𝑐𝑖 − − ⋯ − 𝑛 𝑖 1 1 1 1 = 4 2 𝑛 = + (cid:89) 2 1 2 2 2 +1 𝑛 1− 2 𝑛 𝑛 − = 12− = 1 − 1 < 1 1 (cid:89) 2 +𝑛1 2 2 +1 2 2 +2 −1 ∵𝑐𝑛 𝑛 −1 1− 𝑛 −1 − 𝑛 1 1 1 1 1 1 𝑛 < + + + 2 23 2 24 2 2 +2 =1 ∴ 𝑐𝑖 − − ⋯ − 𝑛 𝑖1 1 1 1 = 8 2 𝑛 = + . 2 1 2 4 2 +2 𝑛 1− 2 𝑛 𝑛 (cid:136)(cid:244) − (cid:198)(cid:240)1−. −