文档内容
专题 7.4 空间直线、平面的垂直【八大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)........................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:28)........................................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:28)..................................................................................................................................12
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:28)..............................................................................................................17
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:28)..................................................................................................................................20
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:28)..................................................................................................................25
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:27)(cid:28)..........................................................................................................................30
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:27)(cid:28)..............................................................................................................34
1(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:42)(cid:52)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:31)
(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:36)(cid:21)(cid:58)(cid:59) (cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)
(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:42)(cid:52)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:82)
(cid:55)(cid:52)(cid:83)(cid:55)(cid:84)(cid:85).(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:73)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:89)(cid:90)
2022 (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:17)(cid:13)(cid:79)(cid:10)
(cid:91)(cid:68)(cid:92)(cid:56)(cid:61)(cid:93)(cid:94)(cid:43)(cid:95)(cid:51)(cid:25)(cid:96)(cid:68)(cid:97)(cid:81)(cid:53)(cid:54)
(1)(cid:15)(cid:63)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:31) (cid:80)9(cid:21)(cid:68)5(cid:61)
(cid:64)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:68)(cid:98)
(cid:42)(cid:52)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:52)(cid:50)(cid:43)(cid:65) 2022 (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:17)(cid:13)(cid:79)(cid:10)
(cid:99)(cid:20)(cid:100)(cid:21)(cid:52)(cid:101)(cid:53)(cid:21)(cid:33)(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:96)(cid:68)(cid:104)(cid:105)(cid:106)
(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32) (cid:80)18(cid:21)(cid:68)12(cid:61)
(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:81)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:42)(cid:52)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)
(2)(cid:66)(cid:67)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:52)(cid:50)(cid:43) 2023(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:77)(cid:10)(cid:80)20(cid:21)(cid:68)
(cid:40)(cid:41)(cid:99)(cid:110)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:111)(cid:16)(cid:68)(cid:97)(cid:112)(cid:99)(cid:63)(cid:113)
(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:65)(cid:45) 12(cid:61)
(cid:21)(cid:33)(cid:80)(cid:97)(cid:114)(cid:115)(cid:33)(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:96)(cid:68)(cid:104)(cid:105)(cid:64)(cid:116)(cid:108)
(cid:46)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:47)(cid:27) 2024(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:77)(cid:10)(cid:80)17(cid:21)(cid:68)
(cid:93)(cid:81)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:117)(cid:118)(cid:45)(cid:115)(cid:21)(cid:68)
15(cid:61)
(cid:104)(cid:105)(cid:64)(cid:116)(cid:108)(cid:63)(cid:21)(cid:119)(cid:56)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:31)(cid:42)(cid:52)(cid:50)
(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:65)(cid:45)(cid:46).
(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:55)1 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:125)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:28)
1(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)
(1)(cid:44)(cid:127)
(cid:128)(cid:129)(cid:31)(cid:42)l(cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:84)(cid:33)(cid:130)(cid:131)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:133)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:31)(cid:42)l(cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:140)(cid:141)l(cid:142) .(cid:31)(cid:42)l(cid:143)
(cid:144)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:143)(cid:144)(cid:31)(cid:42)l(cid:33)(cid:30)(cid:43).(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:68)(cid:145)(cid:135)(cid:146)(cid:97)(cid:33)(cid:7)(cid:147)(cid:55)P(cid:143)(cid:144)(cid:30)(cid:148).
(2)(cid:55)(cid:149)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:150)(cid:151)
(cid:152)(cid:97)(cid:55)(cid:141)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:154)(cid:123)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68)(cid:155)(cid:156)(cid:55)(cid:65)(cid:30)(cid:148)(cid:54)(cid:33)(cid:42)(cid:157)(cid:68)(cid:143)(cid:144)(cid:158)(cid:159)(cid:55)(cid:149)(cid:156)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:157)(cid:68)(cid:30)(cid:42)(cid:157)(cid:33)
(cid:160)(cid:105)(cid:143)(cid:144)(cid:158)(cid:159)(cid:55)(cid:149)(cid:156)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:150)(cid:151).2(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)
(1)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:165)(cid:132)(cid:139)(cid:166)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:156)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:169)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:126)
(2)(cid:170)(cid:102)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:126)
(3)(cid:173)(cid:9)(cid:163)(cid:164)(cid:10)a α(cid:68)b α(cid:68)a∩b(cid:174)P(cid:68)l a(cid:68)l b l α.
(cid:156)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:71)(cid:140)(cid:176)“(cid:178)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:155)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)”.
⊂ ⊂ ⊥ ⊥ ⇒⊥
3(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)
(1)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:181)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:165)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:50)(cid:51)(cid:126)
(cid:182)(cid:170)(cid:102)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:126)
(cid:183)(cid:173)(cid:9)(cid:163)(cid:164)(cid:10)a α(cid:68)b α a(cid:184)b.
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:141)(cid:27)
⊥ ⊥ ⇒
(cid:180)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:42)(cid:50)(cid:51).
(cid:182)(cid:186)(cid:187)(cid:50)(cid:51)(cid:42).
(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:55)2 (cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:125)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:28)
1(cid:126)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:44)(cid:127)(cid:110)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)
(1)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:44)(cid:127)
(cid:97)(cid:112)(cid:188)(cid:68)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:128)(cid:129)(cid:145)(cid:135)(cid:171)(cid:189)(cid:33)(cid:109)(cid:43)(cid:190)(cid:81)(cid:31)(cid:109)(cid:43)(cid:190)(cid:68)(cid:136)(cid:137)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31).(cid:50)(cid:43) (cid:65) (cid:30)
(cid:31)(cid:68)(cid:140)(cid:141) (cid:142) .
(2)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:191)(cid:192)
(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:191)(cid:165)(cid:159)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:119)(cid:68)(cid:193)(cid:98)(cid:194)(cid:195)(cid:172)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:51)(cid:196)(cid:197)(cid:102)(cid:33)(cid:97)(cid:198)(cid:197)(cid:191)(cid:189)(cid:30)(cid:31).
(3)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)
(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:152)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31).
(cid:182)(cid:170)(cid:102)(cid:163)(cid:164)(cid:183)(cid:173)(cid:9)(cid:163)(cid:164)
.
(cid:156)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:71)(cid:140)(cid:176)“(cid:178)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:155)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)”.
2(cid:126)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)
(1)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)
(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:34)(cid:97)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:158)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31).
(cid:182)(cid:170)(cid:102)(cid:163)(cid:164)
(cid:183)(cid:173)(cid:9)(cid:163)(cid:164)
.
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:141)(cid:27)
(cid:180)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:52)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:108)
(cid:182)(cid:186)(cid:187)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:42).
(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:55)3 (cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:94)(cid:192)(cid:28)
1(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:94)(cid:192)
(1)(cid:44)(cid:127)(cid:192)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:132)(cid:201)(cid:43)(cid:31)(cid:42)(cid:171)(cid:189)(cid:33)(cid:190)(cid:81)(cid:31)(cid:190)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:158)(cid:165)(cid:132)(cid:201)(cid:43)(cid:31)(cid:42)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31).(cid:31)(cid:42)a(cid:65)(cid:31)(cid:42)
b(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:140)(cid:141)a(cid:142)b(cid:108)
(2)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:108)
(3)(cid:202)(cid:27)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:108)
2(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:94)(cid:192)
(1)(cid:44)(cid:127)(cid:192)(cid:10)(cid:202)(cid:27)(cid:44)(cid:127)(cid:10)(cid:178)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:130)(cid:131)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:68)(cid:155)(cid:158)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:158)(cid:159)(cid:50)(cid:43)((cid:203)
(cid:98)(cid:27))(cid:108)
(2)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:125)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:165)(cid:132)(cid:139)(cid:166)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:158)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:136)(cid:125)(cid:158)
(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)((cid:98)(cid:27)(cid:94)(cid:192));
(3)(cid:175)(cid:141)(cid:44)(cid:15)(cid:27)(cid:33)(cid:204)(cid:205)(cid:35)(cid:21)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:132)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:42)(cid:64)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:200)(cid:97)(cid:132)(cid:206)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:158)
(cid:159)(cid:50)(cid:43)((cid:20)(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:53)(cid:21)(cid:98)(cid:27))(cid:108)
(4)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:118)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)
(cid:153)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)((cid:98)(cid:27)(cid:94)(cid:192))(cid:108)
(5)(cid:43)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:51)(cid:50)(cid:43)(cid:64)(cid:33)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:155)(cid:158)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:206)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)
(cid:43)(cid:108)
(6)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:178)(cid:165)(cid:139)(cid:166)(cid:50)(cid:43)(cid:181)(cid:119)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:155)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43).
3(cid:126)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:44)(cid:33)(cid:165)(cid:207)(cid:94)(cid:192)(cid:65)(cid:97)(cid:159)(cid:111)(cid:16)
(1)(cid:165)(cid:207)(cid:94)(cid:192)(cid:10)(cid:180)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:44)(cid:127)(cid:108)
(cid:182)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15).
(2)(cid:97)(cid:159)(cid:111)(cid:16)(cid:10)
(cid:118)(cid:154)(cid:123)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:68)(cid:97)(cid:112)(cid:56)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:95)(cid:51)(cid:111)(cid:16).(cid:118)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:141)(cid:166)(cid:42)(cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:68)(cid:111)(cid:16)(cid:176)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)
(cid:162)(cid:208)(cid:95)(cid:97)(cid:209)(cid:111)(cid:16)(cid:176)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31).
4(cid:126)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:45)(cid:46)(cid:65)(cid:212)(cid:213)
(1)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:214)(cid:152)(cid:80)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:97)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:109)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:118)(cid:80)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84).
(2)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:65)(cid:210)(cid:64)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43).
(3)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:210)(cid:64)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:50)(cid:51)(cid:153)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:215)(cid:118)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84).
(4)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:139)(cid:166)(cid:50)(cid:43)(cid:133)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:145)(cid:135)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43).
(5)(cid:93)(cid:159)(cid:165)(cid:165)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:206)(cid:165)(cid:165)(cid:30)(cid:31).
(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:55)4 (cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:139)(cid:138)(cid:111)(cid:16)(cid:28)
1(cid:126)(cid:42)(cid:52)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:139)(cid:138)(cid:111)(cid:16)
2(cid:126)(cid:50)(cid:51)(cid:3)(cid:32)(cid:65)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:139)(cid:138)(cid:111)(cid:16)
(cid:22)(cid:94)(cid:192)(cid:218)(cid:219)(cid:65)(cid:220)(cid:212)(cid:28)
1(cid:126)(cid:93)(cid:30)(cid:42)(cid:44)(cid:15)
(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:128)(cid:129)(cid:125)(cid:221)(cid:152)(cid:158)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:222)(cid:42)(cid:118)(cid:158)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:223)(cid:224)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:145)(cid:206)(cid:125)(cid:158)(cid:132)(cid:222)(cid:42)(cid:30)
(cid:31).
2(cid:126)(cid:93)(cid:30)(cid:42)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:225)(cid:44)(cid:15)
(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:128)(cid:129)(cid:125)(cid:221)(cid:152)(cid:156)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:222)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:145)(cid:206)(cid:125)(cid:158)(cid:132)(cid:222)(cid:42)(cid:118)(cid:156)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:223)(cid:224)(cid:30)(cid:31).
3(cid:126)(cid:165)(cid:159)(cid:139)(cid:166)(cid:50)(cid:43)(cid:181)(cid:119)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:145)(cid:135)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:206)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43).(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:31)(cid:42) (cid:52) (cid:52) (cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:52) (cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155) // 𝑙 𝑚 𝑛 𝛼 𝛽
B(cid:126)(cid:178)𝑙⊥𝑛(cid:68)𝑚//⊥(cid:68)𝑛 (cid:155) 𝑙 𝑚
C(cid:126)(cid:178)𝑙⊥𝛼(cid:68)𝑙 𝛽 (cid:68)(cid:155)𝛼⊥//𝛽
D(cid:126)(cid:178)𝑙⊥𝛼 (cid:68)𝑙⊥𝑚 = 𝑚(cid:68) 𝛼 (cid:68)(cid:155)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)𝛼(cid:28)⊥(cid:233)𝛽(cid:153)𝛼A∩(cid:68)𝛽(cid:185)(cid:234)𝑚(cid:235)(cid:236)𝑙⊥(cid:54)𝑚(cid:33)(cid:216)(cid:217)𝑙(cid:3)⊥(cid:32)𝛽 (cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:108)(cid:233)(cid:153)B(cid:68)(cid:185)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:108)(cid:233)(cid:153)C(cid:68)(cid:185)
(cid:42)(cid:43)(cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:108)(cid:233)(cid:153)D(cid:68)(cid:185)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:233)(cid:153)A(cid:68)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155) (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:139)(cid:166)(cid:215)(cid:201)(cid:43)(cid:108)
(cid:233)(cid:153)B(cid:68)(cid:178) // (cid:68)(cid:155)(cid:117)(cid:118)𝑙⊥𝑛 (cid:68)𝑚(cid:239)⊥(cid:240)𝑛// (cid:68)𝑙,𝑚(cid:241)(cid:242)(cid:176) (cid:68) (cid:68)(cid:243) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)(cid:244)B(cid:204)(cid:205)(cid:108)
1 1 1 1
(cid:233)(cid:153)C(cid:68)(cid:178)𝑙 𝛽(cid:68) (cid:68)𝑙(cid:155)⊂𝛽// (cid:215) 𝑙 𝑙(cid:68)(cid:244)C(cid:245)(cid:246)𝑙⊥(cid:108)𝛼 𝑙 ⊥𝛼 𝑙 ⊂𝛽 𝛼⊥𝛽
(cid:233)(cid:153)D(cid:68)(cid:178)𝑙⊥𝛼 (cid:68)𝑙⊥𝑚 = 𝑚(cid:68) 𝛼 𝑚(cid:68)⊂(cid:247)𝛼(cid:128)(cid:129) (cid:203)(cid:118) (cid:84)(cid:68)(cid:155)(cid:203)(cid:70)(cid:34) (cid:68)(cid:244)D(cid:245)(cid:246).
(cid:244)(cid:20)(cid:10)B. 𝛼⊥𝛽 𝛼∩𝛽 𝑚 𝑙⊥𝑚 𝑙 𝛼 𝑙⊥𝛽
(cid:22)(cid:248)(cid:103)1-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:154)(cid:123) (cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:132)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68) (cid:68) (cid:68) (cid:81)(cid:93)(cid:159)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:229)(cid:230)
(cid:35)(cid:21)(cid:176)(cid:36)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79) 𝑚 𝑛 𝛼 𝛽 𝛾
A(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155) B(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68) (cid:68)(cid:155)
C(cid:126)(cid:178)𝛼⊥𝛽(cid:68)𝛽⊥𝛾(cid:68)(cid:155)𝛼⊥//𝛾 D(cid:126) 𝛼⊥(cid:68)𝛽 𝑚//⊂(cid:68)𝛼 /𝑛/⊂(cid:68)𝛽(cid:155) 𝑚⊥𝑛
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)𝑚(cid:28)⊥(cid:256)𝛼(cid:257)(cid:53)𝑛⊥(cid:54)𝛼(cid:42)(cid:42)(cid:52)𝑚(cid:42)(cid:43)𝑛 (cid:52)(cid:43)(cid:43)(cid:236)(cid:54)(cid:33)(cid:258)𝑚(cid:259)⊥(cid:3)𝑛(cid:32)(cid:68)𝑚(cid:212)𝛼(cid:49)(cid:20)𝛼(cid:260)(cid:261)𝛽 (cid:262)(cid:38)𝑛(cid:39)⊥(cid:237)𝛽(cid:175).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)A(cid:10)(cid:178) (cid:68)(cid:155) (cid:65) (cid:175)(cid:263)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:175)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:68)(cid:244)A(cid:245)(cid:246)(cid:108)
B(cid:10)(cid:178) 𝛼⊥(cid:68)𝛽,𝛽(cid:155)⊥𝛾(cid:65) (cid:175)𝛼(cid:263)(cid:139)𝛾(cid:166)(cid:68)(cid:175)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:68)(cid:244)B(cid:245)(cid:246)(cid:108)
C(cid:10)(cid:178)𝛼⊥𝛽,𝑚⊂𝛼(cid:68),𝑛(cid:185)⊂(cid:42)𝛽 (cid:43)(cid:30)𝑚(cid:31)(cid:33)𝑛(cid:45)(cid:46)(cid:123) // (cid:68)(cid:244)C(cid:204)(cid:205)(cid:108)
D(cid:10)(cid:178)𝑚⊥𝛼,𝑛⊥//𝛼 // (cid:68)(cid:155) (cid:65) (cid:175)(cid:263)(cid:139)(cid:166)𝑚(cid:68)(cid:175)𝑛 (cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:68)(cid:244)D(cid:245)(cid:246).
(cid:244)(cid:20)(cid:10)𝑚C.⊥𝑛,𝑚 𝛼,𝛼 𝛽 𝑛 𝛽
(cid:22)(cid:248)(cid:103)1-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:154)(cid:123) (cid:81)(cid:165)(cid:132)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68) (cid:81)(cid:93)(cid:159)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:155)(cid:229)(cid:230)(cid:35)
(cid:21)(cid:81)(cid:36)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79) 𝑚,𝑛 𝛼,𝛽,𝛾
A(cid:126)(cid:178) (cid:68)(cid:155) B(cid:126)(cid:178) (cid:68)(cid:155) //
C(cid:126)(cid:178)𝛼⊥𝛽,𝑚/⊂/𝛼,𝑛/⊂/𝛽(cid:68)(cid:155)𝑚⊥𝑛 D(cid:126)(cid:178)𝛼⊥//𝛽,𝛽⊥//𝛾 (cid:68)(cid:155)𝛼 //𝛾
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)𝑚(cid:28)⊥(cid:233)𝛼(cid:153),𝑚A(cid:68)𝑛,𝑛(cid:268) 𝛽 =𝛼⊥(cid:68)𝛽(cid:247) // // (cid:119)(cid:68)𝑚(cid:175)(cid:38)𝑛,(cid:39)𝑚 A𝛼(cid:245)(cid:246)(cid:108)𝑛(cid:233)𝛼(cid:153)B(cid:68)(cid:268)(cid:178) = (cid:68)(cid:247) (cid:119)(cid:68)(cid:175)
𝛼∩𝛽 𝑙 𝑚 𝑙,𝑛 𝑙 𝛼∩𝛾 𝑙 𝑙⊥𝛽(cid:38)(cid:39)B(cid:245)(cid:246)(cid:108)(cid:233)(cid:153)C(cid:68)(cid:256)(cid:257)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:44)(cid:108)(cid:233)(cid:153)D(cid:68)(cid:256)(cid:257)(cid:132)(cid:269)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:44).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:233)(cid:153)A,(cid:242)(cid:176) (cid:270) = (cid:68)
(cid:241) (cid:68)(cid:155)(cid:268) //𝛼⊥//𝛽(cid:119), (cid:68)𝛼∩/𝛽/ (cid:68)𝑙(cid:244)A(cid:245)(cid:246)(cid:108)
(cid:233)(cid:153)𝑚⊂B(cid:68)𝛼,𝑛(cid:178)⊂𝛽 = (cid:68)𝑚(cid:247) 𝑙,𝑛 (cid:68)𝑙(cid:155)(cid:34)𝑚 𝑛 (cid:68)(cid:244)B(cid:245)(cid:246)(cid:108)
(cid:233)(cid:153)C(cid:68)(cid:242)𝛼(cid:176)∩𝛾 𝑙 //𝑙⊥𝛽 𝛼⊥𝛽,𝛽⊥𝛾
(cid:244) (cid:68)(cid:241) /𝑚/⊥(cid:68)𝛼(cid:244),𝑚(cid:117)(cid:118)𝑛,(cid:31)(cid:42) (cid:68)(cid:247) // (cid:68)
(cid:169)𝑛(cid:119)⊥𝛼 (cid:68)(cid:185)𝑛 (cid:43)𝛽(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)𝑎⊂(cid:15)𝛽(cid:123) 𝑎(cid:68)𝑛(cid:244)C(cid:204)(cid:205)(cid:108)
(cid:233)(cid:153)𝑎D⊥,(cid:268)𝛼 // // (cid:68)(cid:155) // (cid:215)(cid:271) 𝛼⊥(cid:68)𝛽(cid:244)D(cid:245)(cid:246)(cid:68)
(cid:244)(cid:20)(cid:10)C. 𝑚 𝑛,𝑚 𝛼 𝑛 𝛼 𝑛⊂𝛼
(cid:22)(cid:248)(cid:103)1-3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:82)(cid:272)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:165)(cid:132)(cid:31)(cid:42)m(cid:68)n(cid:125)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43)α(cid:68)β(cid:68)γ(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155)
B(cid:126)(cid:178)𝑚∥𝛼(cid:68)𝑚∥𝛽(cid:68)(cid:155)𝛼∥𝛽
C(cid:126)(cid:178)𝛼⊥𝛽(cid:68)𝛼⊥𝛾(cid:68) 𝛽∥=𝛾 (cid:68)(cid:155)
D(cid:126)(cid:178)𝛼⊥𝛾(cid:68)𝛽⊥𝛾(cid:68)𝛼∩𝛽(cid:68) 𝑚 =𝑚(cid:68)⊥𝛾(cid:155)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)𝑛(cid:28)⊂(cid:202)𝛾(cid:27)(cid:43)𝑛∥(cid:43)𝛼(cid:50)(cid:51)𝑛∥(cid:33)𝛽(cid:38)(cid:44)𝛼(cid:44)∩(cid:15)𝛽 (cid:175)𝑚(cid:38)(cid:39)(cid:273)𝑚A∥(cid:125)𝛾 B(cid:204)(cid:246)(cid:68)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:273)C(cid:33)(cid:204)(cid:246)(cid:68)
(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:273)D(cid:33)(cid:204)(cid:246).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:233)(cid:153)A(cid:68)(cid:268) (cid:68) (cid:119)(cid:68)(cid:165)(cid:50)(cid:43)α(cid:68)β(cid:175)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:175)(cid:263)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:171)(cid:99)A(cid:245)(cid:246)(cid:108)
(cid:233)(cid:153)B(cid:68) (cid:68) (cid:68)(cid:165)𝑚(cid:50)∥(cid:43)𝛼 β(cid:68)𝑚γ∥(cid:175)𝛽(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:175)(cid:263)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:171)(cid:99)B(cid:245)(cid:246)(cid:108)
(cid:233)(cid:153)C(cid:68)𝛼(cid:268)⊥𝛽 𝛼=⊥𝛾(cid:68) (cid:68) (cid:119)(cid:68)
(cid:270) = 𝛼(cid:68)∩𝛽 𝑚= (cid:68)𝛼(cid:118)⊥𝛾γ(cid:274)𝛽(cid:97)⊥(cid:55)𝛾O(cid:68)(cid:152)O(cid:61)(cid:275)(cid:141) (cid:153)B(cid:68) (cid:153)C(cid:68)
(cid:155)𝛼∩𝛾 (cid:68)𝑏 𝛽∩𝛾(cid:68)(cid:242)𝑐(cid:176) = (cid:68) 𝑂𝐵⊥𝑏 𝑂𝐶⊥𝑐
(cid:171)𝑂(cid:99)𝐵⊥𝛼 (cid:68)𝑂𝐶⊥𝛽(cid:68)(cid:171)(cid:99)𝛼∩𝛽 (cid:68)𝑚 (cid:68)
(cid:242)(cid:176)𝑚⊂𝛼 𝑚=⊂(cid:68)𝛽 𝑂𝐵⊥𝑚 (cid:68)𝑂(cid:171)𝐶(cid:99)⊥𝑚 (cid:68)(cid:171)(cid:99)C(cid:204)(cid:205)(cid:108)
𝑂𝐵∩𝑂𝐶 𝑂 𝑂𝐵⊂𝛾,𝑂𝐶⊂𝛾 𝑚⊥𝛾(cid:233)(cid:153)D(cid:68)(cid:268) = (cid:68) (cid:68) (cid:68) (cid:119)(cid:68)
(cid:175)(cid:240) (cid:215)𝛼∩𝛽 (cid:68)𝑚(cid:171)(cid:99)𝑛D⊂(cid:245)𝛾 (cid:246)𝑛.∥𝛼 𝑛∥𝛽
(cid:244)(cid:20)(cid:10)𝑚C∥.𝛾 𝑚⊂𝛾
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:276)(cid:277)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:64)(cid:68)(cid:280)(cid:43) (cid:81)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68) = =2(cid:68)
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 1 𝐴𝐷 𝑃𝐷
=120°(cid:68) =2 2(cid:68)(cid:55)E(cid:176)(cid:42)(cid:157) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:55)F(cid:118)(cid:42)(cid:157) (cid:281)(cid:68)(cid:247) = (cid:126)
2
∠𝑃𝐷𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐹
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:93)(cid:278)𝐶(cid:279)𝐷⊥𝐸𝐹 (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)𝑃−(cid:78)𝐴1𝐵(cid:79)𝐷(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:284)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:240)(cid:149)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:285)(cid:141)(cid:273)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:240)(cid:149)(cid:278)(cid:279)(cid:33)(cid:24)(cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:57)(cid:273)(cid:282)(cid:283).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:118)(cid:204)(cid:94)(cid:102) (cid:64)(cid:68) = (cid:68)(cid:241) = =2(cid:68) = =2
(cid:118) (cid:64)(cid:68)(cid:55)E(cid:176)(cid:42)(cid:157)PC(cid:33)(cid:64)(cid:55)𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷 𝐴(cid:68)𝐷 DE𝐶𝐷(cid:50)(cid:61) 𝐴𝐷 (cid:68)𝑃𝐷 ∴𝑃𝐷 𝐶𝐷
(cid:118)R△t 𝑃𝐶𝐷 (cid:64)(cid:68) = cos60°=1(cid:68) 𝐷𝐸⊥𝑃𝐶 ∠𝑃𝐷𝐶
△𝐶𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐶𝐷 1
(cid:152)E(cid:141) (cid:166)CD(cid:153)H(cid:68)(cid:286)(cid:287)FH(cid:68)(cid:155) = cos60°= (cid:68)
2
𝐸𝐻⊥𝐶𝐷 𝐷𝐻 𝐷𝐸
1
(cid:118)(cid:204)(cid:94)(cid:102) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) (cid:196)(cid:197)(cid:102)AFHD(cid:81)(cid:288)(cid:102)(cid:68)
2
𝐴 (cid:68) 𝐵𝐶 (cid:241) 𝐷 𝐴𝐹 (cid:68) ∴ = (cid:68) ， (cid:50)(cid:43) (cid:68)
∴𝐶𝐷⊥𝐹(cid:50)𝐻(cid:43) 𝐶𝐷(cid:68)⊥(cid:241)𝐸𝐻 𝐸(cid:50)𝐻(cid:43)∩𝐹𝐻 (cid:68)𝐻 𝐸𝐻 𝐹(cid:126)𝐻⊂ 𝐸𝐹𝐻
∴(cid:78)𝐶2𝐷(cid:79)⊥(cid:192)(cid:97)(cid:10)𝐸(cid:118)𝐹𝐻 𝐸𝐹(cid:64)⊂(cid:68) 𝐸=𝐹𝐻 ∴=𝐶2𝐷(cid:68)⊥𝐸𝐹=2 2(cid:68) (cid:68)
△𝑃𝐴𝐷 ∵𝐴𝐷 𝑃𝐷 𝑃𝐴 ∴𝐴𝐷⊥𝑃𝐷(cid:118)(cid:204)(cid:94)(cid:102) (cid:64)(cid:68) (cid:68)(cid:243) = (cid:68)CD(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:50)𝐴(cid:43)𝐵𝐶𝐷 (cid:68) 𝐴𝐷⊥(cid:50)𝐶(cid:43)𝐷 𝐶𝐷(cid:68)∩(cid:50)𝑃𝐷(cid:43) 𝐷 (cid:50)(cid:43)𝑃𝐷⊂ (cid:68) 𝑃𝐶𝐷
∴(cid:50)𝐴(cid:43)𝐷⊥ 𝑃(cid:50)𝐶(cid:43)𝐷 𝐴𝐷⊂ = (cid:68)𝐴𝐵(cid:152)𝐶𝐷P(cid:141)∴ 𝑃𝐶𝐷(cid:166)⊥CD(cid:153)𝐴Q𝐵(cid:68)𝐶𝐷 (cid:50)(cid:43) (cid:68)
𝑃𝐶𝐷=∩120°(cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷 =𝐶𝐷60°(cid:68) =𝑃𝑄⊥si𝐶n𝐷60°= 3(cid:68) ∴𝑃𝑄⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∵∠𝑃𝐷𝐶
=2(cid:68)
∴∠𝑃
=
𝐷1𝑄
×2× 3
𝑃
=
𝑄2 3𝑃𝐷
3 3
𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐷
(cid:192)(cid:109)(cid:10)(cid:118) (cid:64)(cid:68) = =2(cid:68) =2 2(cid:68) (cid:68)
(cid:118)(cid:204)(cid:94)(cid:102)△𝑃𝐴𝐷(cid:64)(cid:68) ∵𝐴𝐷 (cid:68)𝑃𝐷(cid:243) 𝑃𝐴 = (cid:68)C∴D𝐴(cid:68)𝐷⊥𝑃𝐷(cid:50)(cid:43) (cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷∩𝑃𝐷 𝐷 1 𝑃𝐷⊂ 𝑃𝐶𝐷
(cid:50)(cid:43) (cid:68) = =2(cid:68) = sin120°= 3
2
∴𝐴𝐷⊥ 𝑃𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝑃𝐶𝐷 𝐷𝑃⋅𝐷𝐶
= = = 1 =2 3(cid:126)
3 3
𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐷 𝑉𝑃−𝐴𝐶𝐷 𝑉𝐴−𝑃𝐶𝐷 𝑆△𝑃𝐷𝐶⋅𝐴𝐷
(cid:22)(cid:248)(cid:103)2-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:250)(cid:251)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:118)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:64)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:68) (cid:68)
= =2(cid:68) =4(cid:126) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐷⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶
𝐷𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:126)
(2)(cid:178) 𝐵𝐷(cid:176)⊥(cid:116)𝐴𝑃(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)(cid:57)(cid:55)C(cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)△(cid:231)𝑃(cid:232)𝐴𝐷(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:289)(cid:40)(cid:41) (cid:68)(cid:285)(cid:185)(cid:43)𝑃𝐵(cid:43)𝐷(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:57)(cid:63)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:152)(cid:55)P(cid:141) (cid:68)(cid:171)𝐴𝐷(cid:99)⊥𝐵𝐷 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:185)(cid:282)(cid:283)(cid:192)(cid:57)(cid:63)(cid:126)
𝑃𝑂⊥𝐴𝐷 𝑃𝑂⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:242)(cid:176) (cid:68) = = =2(cid:68)(cid:171)(cid:99) =2 2(cid:68) = (cid:68)
2 4
𝐴𝐵 π
𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐷𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐷𝐵𝐴
(cid:185)(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:240) = | |2+| |2 | || |cos = 16+ ×4×2 2× 2=2 2(cid:68)(cid:171)(cid:99) 2+ 2
4 2
π
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 −2 𝐴𝐵 𝐵𝐷 8−2 𝐴𝐷 𝐵𝐷= 2(cid:68)(cid:155) (cid:126)
(cid:242)(cid:176)𝐴𝐵(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐷⊥(cid:50)𝐵𝐷(cid:43) (cid:68)(cid:247)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99) 𝑃(cid:50)𝐴𝐷(cid:43)⊥PAD(cid:126)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐷∩ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐷⊂ 𝑃𝐴𝐷
(cid:242)(cid:176)𝐵𝐷⊥(cid:50)(cid:43)PAD(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:126)
(cid:78)2(cid:79)𝐴(cid:152)𝑃⊂(cid:55)P(cid:141) (cid:68)(cid:242)𝐵𝐷(cid:176)⊥(cid:50)𝐴(cid:43)𝑃 (cid:50)(cid:43)ABCD(cid:68)(cid:247)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43)
(cid:126) 𝑃𝑂⊥𝐴𝐷 𝑃𝐴𝐷⊥ 𝑃𝐴𝐷∩ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝑃𝑂⊥
(cid:242) 𝐴𝐵 (cid:176) 𝐶𝐷 | |=| |=| |=2 2,| |= (2 2) 2 ( 2) 2 = 6(cid:68)
𝑃𝐴 𝐴𝐷 𝑃𝐷 1 𝑃𝑂 − 1
(cid:118)Rt (cid:64)(cid:68) = ×2 2×2 2=4(cid:68)(cid:243) = ×2×2=2(cid:68)
2 2
△𝑃𝐵𝐷 𝑆△𝑃𝐵𝐷 𝑆△𝐵𝐶𝐷
= 1 | | = 1 × 6×2=2 6(cid:126)
3 3 3
(cid:270) 𝑉𝑃 (cid:55) −𝐵𝐶 C 𝐷 (cid:149)(cid:50) ⋅ (cid:43)𝑃𝑂 ⋅ (cid:33) 𝑆△ (cid:150) 𝐵𝐶 (cid:151) 𝐷 (cid:176)h(cid:68) = (cid:68)
(cid:155) 1 × =2 6𝑃 (cid:68) 𝐵 (cid:63) 𝐷 (cid:240) = 6(cid:68) 𝑉𝑃−𝐵𝐶𝐷 𝑉𝐶−𝑃𝐵𝐷
3 3 2
4ℎ ℎ
(cid:171)(cid:99)(cid:55)C(cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) 6(cid:126)
2
𝑃𝐵𝐷
(cid:22)(cid:248)(cid:103)2-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:292)(cid:293)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)
= = =2(cid:126) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐶⊥
𝑃𝐵𝐷,𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝑃
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:178) (cid:176) 𝐵𝐷(cid:33)⊥(cid:64)𝑃(cid:55)𝐶(cid:68) =60°(cid:68)(cid:57) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐸 𝑃𝐵𝐷(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:289)(cid:40)(cid:41) (cid:50)(cid:43) (cid:240)(cid:149) (cid:68)(cid:185)(cid:21)(cid:131)(cid:175)(cid:240) (cid:68)(cid:212)(cid:49)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:52)(cid:45)(cid:46)
(cid:237)(cid:175)(cid:240)(cid:40)(cid:108) 𝐴𝐹⊥ 𝑃𝐵𝐷 𝐴𝐹⊥𝐵𝐷 𝑃𝐴⊥𝐵𝐷
(cid:78)2(cid:79)(cid:294)(cid:289)(cid:40)(cid:41) //(cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:237)(cid:171)(cid:57)(cid:176) (cid:33)(cid:160)(cid:105)(cid:68)(cid:185)(cid:63)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:123)(cid:124)(cid:237)(cid:175)(cid:57)(cid:63).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)𝐸1𝐻(cid:79)(cid:270) 𝑃𝐵𝐷 =𝐻𝑀(cid:68)⊥(cid:286)(cid:287) 𝑃𝐵(cid:68)𝐷(cid:152) (cid:141) 𝐻𝑀(cid:68)(cid:30)(cid:148)(cid:176) (cid:68)
(cid:242)(cid:176)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) 𝐴𝐶(cid:68)∩𝐵(cid:50)𝐷(cid:43) 𝑂 (cid:50)(cid:43)𝑃𝑂 =𝐴 𝐴𝐹⊥𝑃𝑂(cid:50)(cid:43) (cid:68)𝐹
(cid:171)(cid:99) 𝑃(cid:50)𝐴𝐶(cid:43)⊥ (cid:68)𝑃𝐵𝐷 𝑃𝐴𝐶∩ 𝑃𝐵𝐷 𝑃𝑂,𝐴𝐹⊂ 𝑃𝐴𝐶
(cid:241) 𝐴𝐹⊥(cid:50)(cid:43) 𝑃𝐵(cid:68)𝐷(cid:171)(cid:99) (cid:68)
(cid:242)𝐵(cid:176)𝐷⊂ (cid:50)(cid:43)𝑃𝐵𝐷 𝐴𝐹(cid:50)⊥(cid:43)𝐵𝐷 (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
(cid:241) 𝑃𝐴⊥ (cid:50)(cid:43)𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐵𝐷⊂ =𝐴𝐵(cid:68)𝐶(cid:171)𝐷(cid:99) 𝑃(cid:50)𝐴⊥(cid:43)𝐵𝐷 (cid:68)
(cid:242)𝑃(cid:176)𝐴,𝐴𝐹⊂(cid:50)(cid:43) 𝑃𝐴𝐶(cid:68),𝑃(cid:171)𝐴(cid:99)∩𝐴𝐹 𝐴 (cid:126) 𝐵𝐷⊥ 𝑃𝐴𝐶
𝑃𝐶⊂ 𝑃𝐴𝐶 𝐵𝐷⊥𝑃𝐶
(cid:78)2(cid:79)(cid:274) (cid:33)(cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68)(cid:155) // (cid:68)
(cid:241) 𝐴(cid:50)𝑂(cid:43) 𝐻 (cid:50)(cid:43)𝐸𝐻 (cid:68)(cid:171)𝐸𝐻(cid:99) 𝐷𝑂//(cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)𝐷(cid:99)𝑂(cid:55)⊂ (cid:149)(cid:50)𝑃(cid:43)𝐵𝐷,𝐸𝐻(cid:33)⊄(cid:150)(cid:151)(cid:116)𝑃𝐵(cid:153)𝐷(cid:55) (cid:149)(cid:50)𝐸(cid:43)𝐻 (cid:33)𝑃(cid:150)𝐵(cid:151)𝐷(cid:126)
(cid:152) (cid:141)𝐸 𝑃(cid:68)𝐵(cid:30)𝐷(cid:148)(cid:176) (cid:68) 𝐻 𝑃𝐵𝐷
(cid:242)𝐻(cid:176)(cid:50)𝐻(cid:43)𝑀⊥𝑃𝑂(cid:50)(cid:43) 𝑀(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99)(cid:185)(cid:43)(cid:43)𝑃𝐴(cid:30)𝐶(cid:31)⊥(cid:33)(cid:45)𝑃(cid:46)𝐵(cid:175)𝐷(cid:240) 𝑃𝐴(cid:50)𝐶(cid:43)∩ (cid:68)𝑃𝐵𝐷 𝑃𝑂 𝐻𝑀⊂ 𝑃𝐴𝐶
(cid:185)(cid:78)1(cid:79)(cid:240) 𝐻(cid:68)𝑀⊥ 𝑃𝐵𝐷
(cid:242)(cid:176) =𝐴𝐶⊥𝐵𝐷,𝑃=𝐴6⊥0𝐴°(cid:68)𝑂(cid:171)(cid:99) =30°(cid:68)
(cid:242)(cid:176)
𝐴𝐵
=
𝐴
2(cid:68)
𝐷,∠
(cid:171)
𝐵
(cid:99)
𝐴𝐷
= 3 =
∠𝐷3𝐴𝐶
= 7(cid:126)
2
𝐴𝐷 𝐴𝑂 ,𝑂𝐻 ,𝑃𝑂
(cid:171)(cid:99)sin = = (cid:68)(cid:171)(cid:99) = = 3 = 21(cid:68)
7 7
𝑃𝐴 𝐻𝑀 𝑃𝐴⋅𝐻𝑂
∠𝑃𝑂𝐴 𝑃𝑂 𝐻𝑂 𝐻𝑀 𝑃𝑂
(cid:237)(cid:55) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) 21(cid:126)
7
𝐸 𝑃𝐵𝐷
(cid:22)(cid:248)(cid:103)2-3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:84)(cid:295)(cid:296)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:64)(cid:68) = =2(cid:68)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:298)(cid:102)(cid:68)
1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐴𝐵𝐵 𝐴
= .
1 3
π
∠𝐴𝐵𝐵(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:108)
1
(2)(cid:154)(cid:123)(cid:50)(cid:43)𝐴𝐵⊥𝐵 𝐶(cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:68)(cid:57)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283).
1 1 1 1 1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)𝐴𝐵(cid:78)𝐶1⊥(cid:79)(cid:202)(cid:27)𝐴(cid:42)𝐵𝐵(cid:43)(cid:30)𝐴 (cid:31)(cid:40)𝐴𝐶(cid:41)(cid:42)⊥𝐵(cid:42)𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:108) 𝐴 −𝐵𝐶𝐶 𝐵
(cid:78)2(cid:79)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:256)(cid:257) =2 =2 (cid:175)(cid:240)(cid:63).
1 1 1 1 1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:270) (cid:176) 𝑉𝐴(cid:33)−(cid:64)𝐵𝐶(cid:55)𝐶 𝐵(cid:68)(cid:286)(cid:287)𝑉C𝐴O−(cid:68)𝐶𝐵𝐵 (cid:68)𝑉𝐶−𝐴(cid:68)𝐵𝐵 (cid:68)
1 1 1
(cid:242)(cid:176) = (cid:68)(cid:171)(cid:99) 𝑂 𝐴𝐵(cid:68) 𝐵 𝑂 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐴𝐵⊥𝑂𝐶
(cid:242)(cid:176)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:298)(cid:102)(cid:68) = (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:176)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)
1 1 1 3 1
π
𝐴𝐵𝐵 𝐴 ∠𝐴𝐵𝐵 △𝐴𝐵𝐵
(cid:155) (cid:68)
1
(cid:241)𝐴𝐵⊥𝑂𝐵 = (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1
(cid:242)𝑂(cid:176)𝐶∩𝑂𝐵(cid:50)(cid:43)𝑂 (cid:68)𝐴(cid:171)𝐵(cid:99)⊥ 𝑂𝐵 𝐶(cid:108)
1 1 1
𝐵 𝐶⊂ 𝑂𝐵 𝐶 𝐴𝐵⊥𝐵 𝐶
(cid:78)2(cid:79)(cid:242)(cid:176) (cid:68) = (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:176) 𝐴(cid:50)𝐶(cid:43)⊥𝐵 𝐶(cid:68)𝐴(cid:171)𝐶(cid:99)∩𝐴𝐵 𝐴 (cid:68) 𝐵 𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐶
1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)𝐵(cid:196)𝐶(cid:197)⊂(cid:102) 𝐴𝐵𝐶(cid:176)(cid:298)(cid:102)(cid:68)𝐵(cid:237)𝐶 ⊥=𝐵 𝐶 =2(cid:68)
1 1 1
(cid:242)(cid:176)(cid:50)(cid:43) 𝐵𝐶𝐶(cid:50)𝐵(cid:43) (cid:68)𝐵(cid:247)𝐶(cid:50)(cid:43)𝐵𝐵 (cid:50)(cid:43) = (cid:68) (cid:68)
1 1 1 1
(cid:171)(cid:99) 𝐴(cid:50)𝐵𝐶(cid:43)⊥ 𝐴𝐵(cid:68)𝐵(cid:247)𝐴 = 3(cid:68)𝐴𝐵𝐶∩ 𝐴𝐵𝐵 𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐵⊥𝑂𝐶
1 1
𝑂𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐵 𝐴 𝑂𝐶 2
(cid:241)(cid:242)(cid:176) = (cid:68)(cid:155) = (cid:68)
1 3 1 3
π π
∠𝐴𝐵𝐵 ∠𝐴𝐵 𝐵= =2
1 1 1
𝐴 𝐵 𝐵𝐵 1 1 1
(cid:244) =2 =2 =2× × × =2× × × ×sin
1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 2 1 1 1 1
𝑉𝐴 −𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝑉𝐴 −𝐶𝐵𝐵 𝑉𝐶−𝐴 𝐵𝐵 𝑆△𝐴 𝐵 𝐵 𝑂𝐶 𝐴 𝐵 𝐵𝐵 ∠𝐴𝐵
× =2× 1 × 1 ×2×2× 3× 3=2.
3 2 2
𝐵 𝑂𝐶
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:299)(cid:300)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:50)(cid:51)(cid:301)(cid:43)(cid:282) (cid:64)(cid:68)(cid:280)(cid:43) (cid:81)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:298)(cid:102)(cid:68)(cid:247)
1 1 1 1
=60 = 6 = (cid:65) (cid:166)(cid:153)𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵=𝐶45𝐷. 𝐴𝐵𝐶𝐷
1 1 1 1
∘ ∘
∠𝐵𝐴𝐷 ,𝐴𝐴 ,∠𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 𝐴𝐷,𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂,∠𝐴 𝐴𝑂
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1
(2)(cid:57)(cid:196)(cid:278)(cid:279)𝐴 𝑂⊥ 𝐴𝐵𝐶(cid:33)𝐷(cid:282)(cid:283).
1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)𝐴(cid:78)−𝐵1(cid:79)𝐵(cid:256)𝐷(cid:257)𝐷(cid:298)(cid:102)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:74)(cid:116)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:68)(cid:202)(cid:27)(cid:116)(cid:302)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:33)(cid:93)(cid:42)(cid:49)(cid:97)(cid:125)(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:303)(cid:15)(cid:68)
(cid:212)(cid:49)(cid:304)(cid:305)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:225)(cid:44)(cid:15)(cid:125)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:237)(cid:175)(cid:57)(cid:40)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:78)1(cid:79)(cid:33)(cid:212)(cid:213)(cid:110)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:125)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:68)(cid:202)(cid:27)(cid:288)(cid:102)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:304)(cid:305)(cid:44)(cid:15)(cid:68)(cid:212)(cid:49)(cid:278)(cid:279)(cid:33)(cid:282)(cid:283)
(cid:7)(cid:103)(cid:237)(cid:175)(cid:57)(cid:63).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:242)(cid:176)(cid:280)(cid:43) (cid:81)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:298)(cid:102)(cid:68)(cid:171)(cid:99) = .
(cid:242)(cid:176) = = 𝐴𝐵𝐶(cid:68)𝐷(cid:171)(cid:99) (cid:68)𝐴𝐵 𝐴𝐷
1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)∠𝐴 𝐴=𝐵 ∠.𝐴 𝐴𝐷,𝐴𝐴 𝐴𝐴 △𝐴 𝐴𝐵≅△𝐴 𝐴𝐷
1 1
(cid:242)(cid:176)(cid:55)𝐵𝐴 (cid:176)(cid:42)𝐷𝐴(cid:157) (cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:171)(cid:99) .
1
(cid:118) 𝑂 (cid:64)(cid:68)𝐵𝐷 = 6 =𝐴 𝑂3 ⊥𝐵𝐷 =45°(cid:68)
1 1 1
(cid:171)(cid:99)
△
c
𝐴
os
𝐴𝑂 𝐴
=
𝐴2=
1
,𝐴2𝑂 2
1
,∠2
(cid:68)
𝐴
(cid:63)
𝐴𝑂
(cid:240) = 3.
1 2 2× 1 × 1
𝐴 𝐴 +𝑂𝐴 −𝐴 𝑂
∠𝐴 𝐴𝑂 𝐴 𝐴 𝑂𝐴 𝐴 𝑂
2 2 2
(cid:171)(cid:99)( 6) =( 3) +( 3) ,(cid:237) 2= 2+ 2(cid:68)(cid:171)(cid:99)
1 1 1
(cid:241) = (cid:68) (cid:50)(cid:43) 𝐴 𝐴(cid:68) 𝑂𝐴 (cid:50)(cid:43)𝐴 𝑂 (cid:68) 𝐴 𝑂⊥𝑂𝐴.
(cid:171)𝑂(cid:99)𝐴∩𝐵𝐷(cid:50)(cid:43)𝑂 𝑂𝐴⊂. 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷
1
(cid:78)2(cid:79)𝐴(cid:185)𝑂(cid:78)⊥1(cid:79)(cid:123)𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷 (cid:68)(cid:241)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:298)(cid:102)(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
1
𝐴 𝑂⊥𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷(cid:241) = (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1
(cid:241)𝐴 𝑂∩𝐴(cid:50)𝐶(cid:43) 𝑂 𝐴(cid:68)𝑂(cid:171)⊂(cid:99) 𝐴 𝑂𝐴(cid:68)𝐴𝐶⊂ 𝐴 𝑂𝐴 𝐵𝐷⊥ 𝐴 𝑂𝐴
1 1 1
(cid:241)𝐴𝐴 ⊂ 𝐴 𝑂𝐴 (cid:81)(cid:50)(cid:51)𝐵(cid:301)𝐷(cid:43)⊥(cid:282)𝐴𝐴(cid:68)(cid:171)(cid:99) // (cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:171)𝐴(cid:99)𝐵(cid:196)𝐶𝐷(cid:197)−(cid:102)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (cid:176)(cid:288)(cid:102)(cid:68) 𝐴𝐴 𝐵𝐵
1 1
(cid:185)(cid:78)1(cid:79)(cid:123)(cid:68)𝐵𝐵 𝐷=𝐷 3 =1, (cid:68)(cid:171)(cid:99) = =2(cid:68)
1 1 1 1
(cid:86)(cid:243) = 𝐴 𝑂= ,𝑂=𝐵 𝐴=𝑂2⊥(cid:68)𝑂𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐷
1 1 1 1 1 1
(cid:286)(cid:287)𝐴 𝐵(cid:68)𝐴 𝐷(cid:166)(cid:153)𝐴 𝐵(cid:68)(cid:286)𝐴(cid:287)𝐷 (cid:68)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)
1 1 1 1 1
𝐵 𝐷 𝐵𝐷 𝑂 𝐴 𝑂
(cid:118) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) (cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)(cid:181)(cid:15) (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:241)△𝐷𝐴 𝐵 = 𝐴(cid:68)𝐷 𝐴 𝐵(cid:50)(cid:43)𝑂 𝐵 𝐷 (cid:68) (cid:50)(cid:43)𝐴 𝑂 ⊥𝐵(cid:68)𝐷 𝐴 𝑂 ⊥𝐵𝐷
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)𝐵 𝐷∩𝐵𝐷(cid:50)(cid:43)𝑂 𝐵 𝐷(cid:68)⊂(cid:42)(cid:157)𝐵𝐵 𝐷(cid:33)𝐷(cid:160)(cid:176)𝐵𝐷(cid:149)⊂(cid:50)(cid:43) 𝐵𝐵 𝐷 𝐷(cid:33)(cid:150)(cid:151).
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:185) 𝐴=𝑂 ⊥ =𝐵6𝐵(cid:68)𝐷(cid:175)𝐷(cid:240) =𝐴 𝑂 = 1𝐴0(cid:68) 𝐵𝐵 𝐷 𝐷
1 1 1
𝐵𝐷 2,𝐵𝐵 𝐷𝐵 2𝐷𝑂 2
(cid:118)(cid:31)(cid:190)(cid:93)(cid:190)(cid:102) (cid:64)(cid:68) = 2 2= 22 10 = 6(cid:68)
1 1 1 1 1 1 2 2
𝐴 1𝐷𝑂 𝐴 𝑂 𝐴1𝐷 −𝐷6𝑂 −
= = × ×2 6=2.
1 1 1 3 1 1 1 1 3 2
(cid:22)∴(cid:248)𝑉𝐴
(cid:103)
−𝐵
3
𝐵
-1
𝐷
(cid:28)
𝐷 (cid:78)202⋅4𝐴·(cid:196)𝑂(cid:227)⋅(cid:306)𝑆𝐵
(cid:251)
𝐵
·
𝐷
(cid:93)
𝐷
(cid:228)(cid:79)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:64)(cid:68) = (cid:68)(cid:280)(cid:43) (cid:176)(cid:116)(cid:302)(cid:307)(cid:102)(cid:68) (cid:68)
= = =2(cid:68) (cid:176)(cid:42)(cid:157) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68) 𝑃−𝐴𝐵𝐶.𝐷 𝐴𝑃 𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 ∥ 𝐴𝐵
𝐴𝐵 2𝐶𝐷 2𝐵𝐶 𝐸 𝑃𝐶 𝑃𝐶⊥𝐶𝐵
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
(2)(cid:178) =𝐴2𝐸(cid:68)⊥(cid:57)(cid:31)(cid:42)𝑃𝐶𝐵(cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:171)(cid:189)(cid:190)(cid:33)(cid:204)(cid:291)(cid:308).
(cid:22)(cid:63)(cid:21)𝑃𝐵(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:61)𝑃(cid:62)𝐷(cid:21)(cid:131)(cid:68)𝐴(cid:202)𝐵(cid:27)𝐶𝐷(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:57)(cid:63)(cid:237)(cid:175).
(cid:78)2(cid:79)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:309)(cid:149)(cid:42)(cid:43)(cid:190)(cid:68)(cid:310)(cid:149)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:64)(cid:57)(cid:63)(cid:204)(cid:291)(cid:308)(cid:237)(cid:175).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:242)(cid:176) = (cid:176)(cid:42)(cid:157) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
𝐴𝑃 𝐴𝐶,𝐸 𝑃𝐶 𝐴𝐸⊥𝑃𝐶1
(cid:118)(cid:116)(cid:302)(cid:307)(cid:102) (cid:64)(cid:68)(cid:141) (cid:153) (cid:68)(cid:155)(cid:185) = = =2(cid:240) = (cid:68)
2
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 𝐴𝐵 2𝐶𝐷 2𝐵𝐶 𝐹𝐵 𝐵𝐶
1
(cid:171)(cid:99)cos = = (cid:68)(cid:171)(cid:99) =60 =30 (cid:68)
2
𝐵𝐹 ∘ ∘
∠𝐶𝐵𝐴 𝐵𝐶 ∠𝐶𝐵𝐴 ,∠𝐹𝐶𝐵
1
(cid:242)(cid:176) = (cid:68)(cid:171)(cid:99) = = (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
2
𝐵𝐶 𝐵𝐹
(cid:171)(cid:99) 𝐴𝐵 2 = 𝐵𝐶 = 𝐴 3 𝐵 0 (cid:68)𝐵(cid:171)𝐶 (cid:99) = △ 90 𝐵𝐶 (cid:68) 𝐹 (cid:171) ∼△ (cid:99) 𝐵𝐴𝐶 (cid:68)
∘ ∘
(cid:242)(cid:176)∠𝐵𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐶 = (cid:68) ∠𝐴𝐶𝐵(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99)𝐴𝐶⊥𝐵𝐶(cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:242)(cid:176)𝑃𝐶(cid:118)⊥(cid:50)𝐶𝐵(cid:43),𝑃𝐶∩(cid:84)𝐴𝐶(cid:68)(cid:171)𝐶(cid:99)𝑃𝐶,𝐴𝐶⊂(cid:68) 𝑃𝐶𝐴 𝐵𝐶⊥ 𝑃𝐶𝐴
(cid:242)(cid:176)𝐴𝐸 =𝑃𝐶𝐴 (cid:118)(cid:50)𝐵(cid:43)𝐶⊥𝐴𝐸(cid:84)(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) .
(cid:78)2(cid:79)𝑃(cid:242)𝐶∩(cid:176)𝐵𝐶 =𝐶,𝑃𝐶,𝐵=𝐶1(cid:68)(cid:171)(cid:99)𝑃𝐶𝐵= 3 =𝐴𝐸⊥= 3𝑃(cid:68)𝐶𝐵
(cid:274) (cid:33)(cid:64)(cid:55)𝑃𝐵 (cid:68)2(cid:286),𝐵(cid:287)𝐶 (cid:68)(cid:155) 𝑃𝐶 (cid:68),𝐴𝑃 𝐴𝐶
(cid:242)𝐴(cid:176)𝐶 (cid:50)𝑀(cid:43) (cid:68)𝑃𝑀 (cid:50)𝑃(cid:43)𝑀P⊥C𝐴A𝐶(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
(cid:241) 𝐵𝐶⊥ = 𝑃(cid:68)𝐶𝐴 𝑃𝑀⊂(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99)𝑃𝑀⊥(cid:50)𝐵𝐶(cid:43) (cid:68)
(cid:171)𝐵(cid:99)𝐶∩𝐴𝐶(cid:176)𝐶(cid:31)(cid:42)𝐵𝐶,𝐴(cid:65)𝐶(cid:50)⊂(cid:43) 𝐴𝐵𝐶(cid:171)𝐷(cid:189)(cid:33)(cid:190)(cid:68)𝑃𝑀⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∠𝑃𝐷𝑀 𝑃𝐷 3 𝐴𝐵𝐶𝐷 1 1
(cid:118)(cid:204) (cid:64)(cid:68) = (cid:68)(cid:241)(cid:242)(cid:176) = = (cid:68)
2 2 2
△𝑃𝐴𝐶 𝑃𝑀 𝐷𝑀 𝐵𝐶
(cid:118)Rt (cid:64)(cid:68) 2= 2+ 2= 5 (cid:68)(cid:171)(cid:99) = 10(cid:68)
2 2
△𝑃𝐷𝑀 𝑃𝐷 3𝑃𝑀 𝐷𝑀 𝑃𝐷
(cid:171)(cid:99)sin = = 2 =3 10.
10 10
𝑃𝑀 2
∠𝑃𝐷𝑀 𝑃𝐷
(cid:171)(cid:99)(cid:31)(cid:42) (cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:171)(cid:189)(cid:190)(cid:33)(cid:204)(cid:291)(cid:308)(cid:176)3 10.
10
𝑃𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:22)(cid:248)(cid:103)3-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:311)(cid:250)(cid:312)(cid:313)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:196)(cid:197)(cid:102)ABCD(cid:81)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68)E(cid:176)(cid:197)CD(cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)
(cid:314)AE(cid:194) (cid:315)(cid:316)(cid:68)(cid:239)(cid:55)D(cid:149)(cid:317)(cid:55)P(cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:68)(cid:247) = (cid:126)
3
π
△𝐴𝐷𝐸 ∠𝑃𝐴𝐵(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:93)(cid:278)(cid:279)𝑃𝐸⊥ (cid:33)𝑃𝐴(cid:195)𝐵(cid:43)(cid:283)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)𝐸−(cid:78)𝑃1𝐴(cid:79)𝐵(cid:57)(cid:273)(cid:318)(cid:197)(cid:68)(cid:185)(cid:304)(cid:305)(cid:44)(cid:15)(cid:225)(cid:44)(cid:15)(cid:57)(cid:273) (cid:68)(cid:212)(cid:49) (cid:240)(cid:149)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:57)(cid:273)(cid:318)(cid:197)(cid:160)(cid:68)(cid:202)(cid:27)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:43)(cid:283)(cid:7)(cid:103)(cid:240)(cid:149)(cid:318)(cid:93)(cid:190)(cid:102)𝑃(cid:43)𝐵(cid:283)⊥(cid:68)𝑃𝐸(cid:139)(cid:319)(cid:240)(cid:149)𝑃(cid:195)𝐴(cid:43)⊥𝑃(cid:283)𝐸.
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:185)(cid:21)(cid:175)(cid:123) (cid:68)
= =1(cid:68) = 2+𝑃𝐴2⊥=𝑃𝐸5(cid:68)
𝑃𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐶 𝐵𝐶
= (cid:68) = (cid:68)
3
π
∵𝐴𝑃 𝐴𝐵 ∠𝑃𝐴𝐵
(cid:176)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)
∴△𝑃𝐴=𝐵2(cid:68)
∴𝑃𝐵2+ 2=5= 2(cid:68)
∴𝑃𝐵 𝑃𝐸(cid:126) 𝐵𝐸
∴𝑃𝐵⊥𝑃𝐸= (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
∵𝑃𝐵∩(cid:50)𝑃𝐴(cid:43) 𝑃 (cid:126)𝑃𝐵,𝑃𝐴⊂ 𝑃𝐴𝐵
(cid:78)∴2𝑃(cid:79)𝐸⊥(cid:185)(cid:78)1(cid:79)𝑃𝐴(cid:240)𝐵 (cid:68) (cid:68) = =2(cid:68)
𝑃𝐸⊥1 𝑃𝐵 𝑃𝐸⊥1𝑃𝐴 𝑃𝐴 𝑃𝐵
= = × = ×2×1=1(cid:68)
2 2
∴𝑆△𝑃𝐴𝐸 𝑆△𝑃𝐵𝐸 𝑃𝐴 𝑃𝐸
1
(cid:185)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:43)(cid:283)(cid:7)(cid:103)(cid:240) = × ×sin = 3(cid:68)
2 3
π
𝑆△𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵
1
= × =2(cid:68)
2
𝑆△𝐸𝐴𝐵 𝐷𝐴 𝐴𝐵
(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:195)(cid:43)(cid:283)
∴= 𝐸+−𝑃𝐴𝐵 + + =1+1+2+ 3=4+ 3(cid:126)
𝑆(cid:22)(cid:248)𝑆(cid:103)△𝑃3𝐴-𝐸3(cid:28)𝑆(cid:78)△2𝑃0𝐵2𝐸4·(cid:196)𝑆△(cid:227)𝐸(cid:320)𝐴𝐵(cid:321)·𝑆(cid:228)△(cid:253)𝑃𝐴(cid:254)𝐵 (cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:278)(cid:279)P—ABCD(cid:64)(cid:68)(cid:50)(cid:43)PAB (cid:50)(cid:43)ABCD(cid:68)PA AB(cid:68)
(cid:280)(cid:43)ABCD(cid:176)(cid:116)(cid:302)(cid:307)(cid:102)(cid:68)AB CD(cid:68)(cid:247) = = =2. ⊥ ⊥
∥ 𝐴𝐵 2𝐶𝐷 2𝐴𝐷(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)BC (cid:43)PAC(cid:108)
(2)(cid:178)(cid:55)A(cid:149)(cid:50) ⊥ (cid:43)PBC(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) 3(cid:68)(cid:57)(cid:196)(cid:278)(cid:279)P—ABCD(cid:33)(cid:282)(cid:283).
2
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:152) (cid:141) (cid:153) (cid:68)(cid:152) (cid:141) (cid:153) (cid:68)(cid:118)(cid:116)(cid:302)(cid:307)(cid:102) (cid:64)(cid:175)(cid:40)(cid:240) (cid:68)(cid:285)(cid:185)(cid:50)
(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)𝐷(cid:175)(cid:40)𝐷(cid:240)𝑀⊥𝐴𝐵 𝑀(cid:68)(cid:285)(cid:202)𝐶(cid:27)(cid:42)𝐶𝑁(cid:43)⊥(cid:30)𝐴(cid:31)𝐵(cid:33)(cid:38)𝑁(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:40)(cid:240)𝐴(cid:212)𝐵(cid:213)𝐶𝐷(cid:108) 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
(cid:78) 𝑃 2(cid:79) 𝐴𝐵 (cid:152) ⊥ (cid:141) 𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:153) (cid:68)(cid:175)(cid:240) 𝑃𝐴⊥𝐵𝐶 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:155) = 3(cid:68)(cid:118) (cid:64)(cid:175)(cid:240) = (cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:240) =1(cid:68)(cid:95)
2 6
π
𝐴 𝐴𝐸⊥𝑃𝐶 𝐸 𝐴𝐸⊥ 𝑃𝐵𝐶 𝐴𝐸 △𝐴𝐶𝑃 ∠𝐴𝐶𝑃 𝐴𝑃
(cid:243)(cid:175)(cid:57)(cid:273)(cid:196)(cid:278)(cid:279)P—ABCD(cid:33)(cid:282)(cid:283).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:152) (cid:141) (cid:153) (cid:68)(cid:152) (cid:141) (cid:153) (cid:68)(cid:155) (cid:68)
(cid:242)(cid:176)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:116)(cid:302)(cid:307)(cid:102)𝐷(cid:68)AB𝐷𝑀CD⊥(cid:68)𝐴𝐵(cid:247) 𝑀= 𝐶 =𝐶𝑁⊥𝐴=𝐵2 𝑁 𝐷𝑀∥𝐶𝑁
𝐴𝐵𝐶𝐷 1 ∥ 𝐴𝐵 2𝐶𝐷 2𝐴𝐷
(cid:242)(cid:176) = =1(cid:68) = = (cid:68)
2
𝑀𝑁 𝐶𝐷 𝐴𝑀 𝐵𝑁
1
(cid:171)(cid:99)cos = = (cid:68)(cid:171)(cid:99) = =60°(cid:68)
2
𝐴𝑀
(cid:171)(cid:99) ∠𝐷𝐴 = 𝑀 120° 𝐴(cid:68)𝐷 (cid:171)(cid:99) ∠ = 𝐷𝐴𝑀 ∠ = 𝐶 3 𝐵 0 𝑁 °(cid:68)
(cid:171)(cid:99)∠𝐴𝐷𝐶= =∠3𝐷0𝐴°(cid:68)𝐶(cid:171)∠(cid:99)𝐷𝐶𝐴 (cid:68)
(cid:242)(cid:176)∠(cid:50)𝐴(cid:43)𝐶𝐵 90°(cid:50),∠(cid:43)𝐶𝐴𝐵 (cid:68)(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐶⊥(cid:50)𝐵(cid:43)𝐶 = (cid:68) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99) 𝑃(cid:50)𝐴𝐵(cid:43)⊥ (cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐵∩ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑃𝐴⊥𝐴𝐵 𝑃𝐴⊂ 𝑃𝐴𝐵
(cid:242)(cid:176)𝑃𝐴⊥ (cid:50)(cid:43)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
(cid:242)(cid:176)𝐵𝐶⊂ =𝐴𝐵(cid:68)𝐶𝐷 𝑃(cid:50)𝐴(cid:43)⊥𝐵𝐶 (cid:68)
(cid:171)(cid:99)𝑃𝐴∩(cid:50)𝐴𝐶(cid:43) 𝐴 (cid:68)𝑃𝐴,𝐴𝐶⊂ 𝑃𝐴𝐶
(cid:78)2(cid:79)𝐵(cid:152)𝐶⊥(cid:141) 𝑃𝐴𝐶 (cid:153) (cid:68)
(cid:242)(cid:176) 𝐴(cid:50)𝐴(cid:43)𝐸⊥𝑃𝐶(cid:68) 𝐸 (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99)𝐵(cid:50)𝐶(cid:43)⊥ 𝑃(cid:50)𝐴𝐶(cid:43)𝐵𝐶⊂(cid:68) 𝑃𝐵𝐶
(cid:242)(cid:176)(cid:50)(cid:43)𝑃𝐴𝐶⊥(cid:50)(cid:43)𝑃𝐵𝐶= (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99) 𝑃(cid:50)𝐴𝐶(cid:43)∩ (cid:68)𝑃𝐵𝐶 𝑃𝐶 𝐴𝐸⊂ 𝑃𝐴𝐶
(cid:242)(cid:176) 𝐴 (cid:55) 𝐸 A ⊥ (cid:149)(cid:50)(cid:43) 𝑃𝐵 P 𝐶 BC(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) 3(cid:68)(cid:171)(cid:99) = 3(cid:68)
2 2
𝐴𝐸(cid:118) (cid:64)(cid:68) = = =2(cid:68)(cid:155) = 2 2= 3,
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 390°1,𝐵𝐶 1,𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 −𝐵𝐶
(cid:171)(cid:99)sin = = 2 = (cid:68)
𝐴𝐸 3 2
∠𝐴𝐶𝑃 𝐴𝐶
(cid:242)(cid:176) (cid:176)(cid:322)(cid:190)(cid:68)(cid:171)(cid:99) = (cid:68)
6
π
∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝐴𝐶𝑃
(cid:242)(cid:176) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
(cid:171)(cid:99) 𝑃𝐴⊥ = ta 𝐴 n 𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐶⊂ 3× 3= 𝐴𝐵 1 𝐶 (cid:68) 𝐷 𝑃𝐴⊥𝐴𝐶
3
𝐴𝑃 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝑃
(cid:118)Rt (cid:64)(cid:68) = = 1 (cid:68)(cid:155) = 2 2= 3(cid:68)
2 2
△𝐴𝐷𝑀 𝐴𝐷 1,𝐴𝑀 𝐷𝑀 𝐴𝐷 −𝐴𝑀
(cid:171)(cid:99)(cid:307)(cid:102) (cid:33)(cid:43)(cid:283)(cid:176) = 1 ×(1+2)× 3=3 3(cid:68)
2 2 4
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆
(cid:171)(cid:99)(cid:196)(cid:278)(cid:279)P—ABCD(cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176) 1 = 1 ×3 3×1= 3.
3 3 4 4
𝑆⋅𝑃𝐴
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)4(cid:28)(cid:78)24-25(cid:24)(cid:109)(cid:281)·(cid:74)(cid:75)·(cid:323)(cid:208)(cid:141)(cid:324)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:154)(cid:123)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68) (cid:68)(cid:30)(cid:148)(cid:176)A(cid:68) (cid:68)
(cid:30)(cid:148)(cid:176)B(cid:68)(cid:31)(cid:42) (cid:68) (cid:68)(cid:325)(cid:38)(cid:39)(cid:31)(cid:42)a(cid:65)(cid:31)(cid:42)l(cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:3)𝛼∩(cid:32)(cid:68)(cid:69)𝛽(cid:137)(cid:41)𝑙(cid:15)𝐸(cid:185)𝐴(cid:126)⊥𝛼 𝐸𝐵⊥𝛽
𝑎⊂𝛽 𝑎⊥𝐴𝐵
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:40)(cid:41) (cid:50)(cid:43)EAB(cid:68) (cid:50)(cid:43)EAB(cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:240)(cid:40).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:31)(cid:42)a(cid:65)(cid:31)(cid:42)l(cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)(cid:10)𝑙⊥ (cid:126) 𝑎⊥
(cid:15)(cid:185)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68) (cid:126) 𝑎∥𝑙
(cid:241) ∵ (cid:68)𝛼∩ (cid:126)𝛽 𝑙 ∴𝑙⊂𝛼
(cid:181)(cid:15)∵𝐸𝐴⊥𝛼(cid:126)∴(cid:241)𝑙⊥𝐸𝐴 = (cid:68) (cid:50)(cid:43)EAB(cid:68) (cid:50)(cid:43)EAB
(cid:50)𝑙⊥(cid:43)𝐸𝐵EAB(cid:126)𝐸𝐴∩𝐸𝐵 𝐸 𝐸𝐴⊂ 𝐸𝐵⊂
∴𝑙⊥ (cid:68) (cid:68) (cid:126)
∵𝐸𝐵⊥𝛽 𝑎⊂𝛽 ∴𝐸𝐵⊥𝑎(cid:241) (cid:68) = (cid:68)(cid:68) (cid:50)(cid:43)EAB(cid:68) (cid:50)(cid:43)EAB
𝑎⊥(cid:50)𝐴(cid:43)𝐵 E𝐸A𝐵B(cid:68)∩𝐴𝐵 (cid:126)𝐵 𝐸𝐴⊂ 𝐴𝐵⊂
∴(cid:22)𝑎(cid:248)⊥(cid:103)4-1(cid:28)(cid:78)20∴2𝑎4·∥(cid:249)𝑙(cid:250)(cid:250)(cid:251)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:68)
(cid:68)(cid:247) = = = =2 2(cid:68) =2(cid:126) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
𝐴𝐷⊥𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝐵𝐶 2𝐴𝐷 2𝐶𝐷 𝑃𝐴
(1)(cid:57)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:108)
(2)(cid:57)(cid:40)(cid:10) 𝐵−𝐴𝐶(cid:126)𝑃
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)𝐴𝐵(cid:28)⊥(cid:78)𝑃1𝐶(cid:79)(cid:242)(cid:176) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:256)(cid:257)(cid:116)(cid:283)(cid:192) = (cid:175)(cid:240)(cid:212)(cid:129)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)𝑃(cid:46)𝐴(cid:44)⊥(cid:15)(cid:175)(cid:240)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:68)(cid:212)(cid:49)(cid:78)1𝑉(cid:79)𝐵−(cid:110)𝐴𝐶(cid:42)𝑃(cid:43)(cid:30)𝑉𝑃(cid:31)−𝐴(cid:33)𝐵𝐶(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:240) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:240)
(cid:40). 𝐴𝐵⊥𝑃𝐴 𝐴𝐵⊥ 𝑃𝐴𝐶
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:118)(cid:280)(cid:43) (cid:64)(cid:68) // (cid:68) (cid:68)(cid:247) = = =2 2(cid:68)
(cid:171)(cid:99) = =2(cid:68)(cid:241) =𝐴2𝐵𝐶2𝐷(cid:68)(cid:155) 𝐴𝐷2+𝐵𝐶2=𝐴𝐷⊥2(cid:68)𝐶𝐷(cid:171)(cid:99) 𝐵𝐶 2𝐴(cid:68)𝐷 2𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵1𝐶 1 𝐴𝐵 4𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵⊥𝐴𝐶
(cid:244) = = × ×2×2×2= .
3 2 3
𝑉𝐵−𝐴𝐶𝑃 𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶
(cid:78)2(cid:79)(cid:185)(cid:78)1(cid:79)(cid:123) (cid:68)(cid:241) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:155) (cid:68)
(cid:247) = (cid:68)𝐴𝐵⊥𝐴𝐶 (cid:50)(cid:43)𝑃𝐴⊥ (cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵⊥𝑃𝐴
𝐴𝐶∩(cid:50)𝑃(cid:43)𝐴 𝐴 (cid:68)𝐴(cid:243)𝐶,𝑃𝐴⊂(cid:50)(cid:43)𝑃𝐴𝐶(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:126)
∴(cid:22)𝐴(cid:248)𝐵(cid:103)⊥ 4-2(cid:28)𝑃(cid:78)𝐴𝐶2024𝑃(cid:24)𝐶(cid:97)⊂·(cid:74)(cid:75)·𝑃(cid:26)𝐴𝐶(cid:21)(cid:326)(cid:327)(cid:79)𝐴(cid:118)𝐵(cid:93)⊥𝑃(cid:278)𝐶(cid:279) (cid:64)(cid:68) (cid:176)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68) (cid:50)(cid:43)ABC(cid:68)(cid:328)
(cid:93)(cid:190)(cid:102)PAC(cid:329)PA(cid:225)(cid:119)(cid:330)(cid:331)(cid:111)(cid:332)PAD(cid:216)(cid:217)(cid:78)(cid:128)(cid:170)(cid:79)(cid:68)𝑃−(cid:247)𝐴(cid:109)𝐵𝐶(cid:43)(cid:190) △𝐴𝐵𝐶 (cid:33)(cid:333)(cid:114)(cid:176)90°(cid:126)𝑃(cid:40)𝐴(cid:41)⊥(cid:10)A(cid:68)B(cid:68)C(cid:68)D
(cid:196)(cid:55)(cid:147)(cid:43)(cid:68)(cid:247) (cid:108) 𝐷−𝑃𝐴−𝐵
𝐴𝐷⊥𝑃𝐵
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:240) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:162)(cid:208)(cid:202)(cid:27)(cid:334)(cid:40)(cid:192)(cid:175)(cid:240) (cid:196)(cid:55)(cid:147)(cid:43)(cid:68)(cid:95)(cid:243)(cid:256)
𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐶𝐷 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷(cid:257)(cid:109)(cid:43)(cid:190)(cid:33)(cid:335)(cid:336)(cid:110)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:240) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:237)(cid:240).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:247) (cid:50)𝐴𝐷(cid:43)⊥ (cid:68)𝑃𝐴𝐵 (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:68) ∵(cid:68)𝑃𝐴⊥， 𝐴𝐵(cid:50)𝐶(cid:43)AC𝐴D𝐷(cid:68)⊂(cid:241) 𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝐶(cid:68)⊂ 𝐴𝐵𝐶
∴𝑃𝐴⊥𝐴(cid:50)𝐶(cid:43)𝑃𝐴⊥(cid:68)𝐴(cid:37)𝐷(cid:270)𝐴𝐶 𝐴𝐷(cid:196)⊂(cid:55)(cid:203)(cid:147)(cid:43)(cid:68) 𝐴𝐶∩𝐴𝐷 𝐴
∴𝑃𝐴⊥(cid:50)(cid:43)𝐴𝐶𝐷(cid:68) 𝐴(cid:50),𝐵(cid:43),𝐶,𝐷 (cid:68)
∵𝑃(cid:50)𝐴(cid:43)⊥ /𝐴/(cid:50)𝐵𝐶(cid:43) 𝑃𝐴⊥(cid:68)(cid:65)(cid:50)𝐴(cid:43)𝐶𝐷 (cid:50)(cid:43) = (cid:337)(cid:338)(cid:68)(cid:244) (cid:196)(cid:55)(cid:147)(cid:43)(cid:108)
(cid:241)∴ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶(cid:68)𝐷(cid:171)(cid:99) 𝐴(cid:176)𝐵𝐶(cid:109)∩(cid:43)(cid:190) 𝐴𝐶𝐷 𝐴(cid:33)𝐶(cid:50)(cid:43)(cid:190)(cid:68)𝐴,𝐵,𝐶,𝐷
𝐴𝐵⊥𝑃=𝐴,9𝐴0𝐷(cid:68)⊥𝑃(cid:237)𝐴 ∠(cid:68)𝐵𝐴(cid:241)𝐷 (cid:68)𝐷(cid:247)−𝑃𝐴−𝐵 = ， ， (cid:50)(cid:43)PAB(cid:68)
∘
∴∠𝐵𝐴𝐷(cid:50)(cid:43) (cid:68)𝐴(cid:241)𝐷⊥𝐴𝐵(cid:50)(cid:43)𝑃𝐴⊥(cid:68)𝐴𝐷 𝑃𝐴∩𝐴𝐵 𝐴 𝑃𝐴 𝐴𝐵⊂
∴𝐴𝐷⊥ . 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐵⊂ 𝑃𝐴𝐵
(cid:22)∴(cid:248)𝐴𝐷(cid:103)⊥4𝑃-𝐵3(cid:28)(cid:78)23-24(cid:24)(cid:97)(cid:229)·(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:251)·(cid:342)(cid:64)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:64)(cid:68)(cid:280)(cid:43) (cid:81)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:204)(cid:93)(cid:190)
1 1 1
(cid:102)(cid:68) (cid:176) (cid:33)(cid:82)(cid:343)(cid:68) = =60 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 △𝐴𝐵𝐶
1 1 1
∘
𝐺 △𝐴 𝐵𝐶 ∠𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 𝐴𝐶
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:108)
1
(2)(cid:154)(cid:123) 𝐵=𝐵⊥𝐵𝐶(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:247) (cid:50)(cid:43) (cid:126)(cid:57)(cid:40)(cid:10) // (cid:126)
1 1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)𝐴(cid:232)𝐴(cid:28)(cid:78)2,𝑃1(cid:79)∈(cid:286) 𝐴𝐵(cid:166)𝐶 (cid:153)𝐶(cid:68)𝑃(cid:185)⊥(cid:82)(cid:343)(cid:175)𝐴 (cid:240)𝐵𝐶 (cid:176) (cid:33)(cid:64)𝐴(cid:55)𝐺 (cid:68)𝐶(cid:185)𝑃(cid:154)(cid:123)(cid:344)(cid:345)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:74)(cid:116)(cid:40)(cid:240) = (cid:68)(cid:285)
1 1 1
(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:52)(cid:45)𝐴(cid:46)𝐺(cid:303)(cid:15)𝐵𝐶(cid:237)(cid:240)𝐷. 𝐷 𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶
(cid:78)2(cid:79)(cid:185)(cid:346)(cid:44)(cid:132)(cid:269)(cid:68)(cid:40)(cid:240)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:176)(cid:204)(cid:196)(cid:43)(cid:282)(cid:68)(cid:95)(cid:243)(cid:40)(cid:240) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:285)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:240)(cid:212)
1 1
(cid:213). 𝐴−𝐴 𝐵𝐶 𝐴𝐺⊥ 𝐴 𝐵𝐶
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:118)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:64)(cid:68)(cid:286) (cid:166) (cid:153) (cid:68)(cid:286) (cid:68)(cid:185) (cid:176) (cid:33)(cid:82)(cid:343)(cid:68)(cid:240) (cid:176) (cid:33)
1 1 1 1 1
(cid:64)(cid:55)(cid:68) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐺 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐷 𝐺 △𝐴 𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶
(cid:185) = (cid:68) = (cid:68) = (cid:68)(cid:240) (cid:68)(cid:155) = (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:169)𝐴𝐵 𝐴𝐶 (cid:68)𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 (cid:68)∠(cid:241)𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 =𝐴𝐶 △𝐴 𝐴𝐵(cid:50)≌(cid:43)△𝐴 𝐴𝐶(cid:68) 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶
1 1 1 1
(cid:153)(cid:81)𝐴𝐷⊥(cid:50)𝐵𝐶(cid:43) 𝐴 𝐷⊥(cid:68)𝐵(cid:243)𝐶 𝐴𝐷(cid:50)∩(cid:43)𝐴 𝐷 (cid:68)𝐷,(cid:155)𝐴𝐷,𝐴 𝐷⊂ (cid:68)(cid:241)𝐴 𝐴𝐷// (cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)𝐵𝐶⊥ .𝐴 𝐴𝐷 𝐴 𝐴⊂ 𝐴 𝐴𝐷 𝐵𝐶⊥𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐵 𝐵
1
𝐵𝐶⊥𝐵 𝐵(cid:78)2(cid:79)(cid:185) = =2(cid:68) =60°(cid:68)(cid:240) (cid:176)(cid:204)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:108)(cid:181)(cid:15) (cid:206)(cid:176)(cid:204)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)
1 1 1 1
(cid:155) =𝐴 𝐴 =𝐴𝐵 =2(cid:68)∠(cid:86)𝐴(cid:243)𝐴(cid:93)𝐵 (cid:278)(cid:279) △𝐴(cid:33)𝐴(cid:171)𝐵(cid:34)(cid:278)(cid:160)(cid:347)(cid:176)2(cid:68)(cid:156)(cid:196)△(cid:43)𝐴(cid:282)𝐴(cid:176)𝐶(cid:204)(cid:196)(cid:43)(cid:282)(cid:68)
1 1 1
(cid:185)𝐴(cid:176)𝐵 𝐴 𝐶 (cid:33)𝐵(cid:82)𝐶(cid:343)(cid:68)(cid:240) (cid:50)(cid:43)𝐴−𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:298)(cid:102) (cid:64)(cid:68) (cid:152) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:237)(cid:31)𝐺 (cid:42)△𝐴(cid:65)𝐵𝐶(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:166)𝐴𝐺(cid:55)⊥(cid:176) 𝐴(cid:33)(cid:64)𝐵𝐶(cid:55)(cid:68)(cid:242)(cid:169)𝐴𝐶𝐶(cid:203)𝐴(cid:118)(cid:31)(cid:42)𝐴𝐶 (cid:281)𝐴(cid:68)(cid:241)𝐶 (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99) 𝐴/𝐶/ . 𝐴 𝐵𝐶 𝐴 𝐶 𝐺 𝐴𝐶 𝐶 𝑃⊥ 𝐴 𝐵𝐶
1
(cid:22)(cid:21)𝐴(cid:29)𝐺5 𝐶(cid:43)𝑃(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)5(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:171)(cid:34)(cid:278)(cid:160)(cid:133)(cid:176) =60° (cid:176) (cid:65)
1 1 1 1 1 1
(cid:166)(cid:55). 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 2,∠𝐵 𝐵𝐶 ,𝐷 𝐴 𝐶 𝐴𝐶
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1 1
(2)(cid:178) =
13𝐵
(cid:68)
𝐶𝐷
(cid:57)
⊥
(cid:93)(cid:278)(cid:297)
𝐴𝐵 𝐶
(cid:33)(cid:282)(cid:283).
1 1 1 1
2
𝐷𝐵 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:185)(cid:21)(cid:131)(cid:40)(cid:41) (cid:68) (cid:68)(cid:240)(cid:273) (cid:50)(cid:43)BCD(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:40)(cid:41)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)
1 1 1 1
; 𝑂𝐸⊥𝐴𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶𝐷⊥ 𝐴𝐵
1
𝐶(cid:78)2(cid:79)(cid:261)(cid:21)(cid:131)(cid:175)(cid:240) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:95)(cid:243)(cid:175)(cid:240) (cid:176)(cid:31)(cid:190)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)(cid:118) (cid:64)(cid:68)(cid:185)(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:15)(cid:57)(cid:273)
1 1 1 1
𝐵𝐶⊥ 𝐴𝑂𝐵 △𝐴𝐵 𝐶 1 △𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂
(cid:68)(cid:185)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:33)(cid:282)(cid:283) =3 =3 (cid:68)(cid:59)(cid:348)(cid:175)(cid:240)(cid:212)(cid:129).
1 1 1 1 1 3 1
𝐵 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝑉 𝑉𝐵 −𝐴𝐵𝐶 ⋅ ⋅𝐵𝐶⋅𝑆△𝐴𝑂𝐵
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:274)BC(cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:274) (cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:286)(cid:287)DE(cid:68)BE(cid:68)OE(cid:68)
1
(cid:242)(cid:176)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:171)(cid:34)(cid:278)𝑂(cid:160)(cid:133)(cid:176)𝐴𝐵 𝐸 =60°(cid:68)(cid:34) = = 3(cid:68) = (cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)BCDE
1 1 1 1 1 1 1
(cid:196)(cid:55)(cid:147)(cid:43)(cid:68)𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 2,∠𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝑂 𝐵 𝑂 𝐴𝐵 𝐵𝐵 ,𝐸 𝐴𝐵
(cid:171)(cid:99) (cid:68)(cid:247) (cid:50)(cid:43) = (cid:68)
1 1
(cid:237) 𝑂𝐸⊥(cid:50)𝐴(cid:43)𝐵 BCD(cid:68)𝐵𝐸(cid:241)⊥𝐴𝐵 ,𝐵(cid:50)𝐸,𝐵(cid:43)𝐸,𝑂𝐸⊂(cid:68)(cid:244)(cid:50)𝐵𝐶(cid:43)𝐷,𝑂𝐸∩𝐵(cid:50)𝐸(cid:43)𝐸 .
1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐵 ⊂ 𝐴𝐵 𝐶 𝐵𝐶𝐷⊥ 𝐴𝐵 𝐶(cid:78)2(cid:79) (cid:68)(cid:155) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:242)(cid:176) // (cid:68)
1 1 1 1
(cid:171)(cid:99) 𝐵𝐶⊥𝐴(cid:50)𝑂,(cid:43)𝐵𝐶⊥𝑂𝐵 𝐵(cid:50)𝐶(cid:43)⊥ 𝐴(cid:68)𝑂𝐵(cid:34) 𝐵𝐶 (cid:68)𝐵(cid:237)𝐶 (cid:176)(cid:31)(cid:190)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝐵 𝐶 ⊥ 𝐴𝑂𝐵 ,𝐴𝐵 ⊂ 𝐴𝑂𝐵 𝐵 𝐶 ⊥𝐴𝐵 △𝐴𝐵 𝐶
(cid:244) = = 13(cid:68)(cid:243) = 2 2=3(cid:68)
1 1 1 1 1 1
𝐴𝐶 2𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶 −𝐵 𝐶
(cid:118) (cid:64)(cid:68)cos = 3 = 1 ,(cid:155)sin = 3
1 1 2×3 2 1 2
+3−9
△𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵 − ∠𝐴𝑂𝐵
(cid:155)(cid:34)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:33)(cid:282)(cid:283)
1 1 1
=3 𝐴𝐵 = 𝐶− 3 𝐴1𝐵 𝐶 =2 1 3 3 3=3 3.
1 3 1 2 2 2
𝑉 𝑉𝐵 −𝐴𝐵𝐶 ⋅ ⋅𝐵𝐶⋅𝑆△𝐴𝑂𝐵 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(cid:22)(cid:248)(cid:103)5-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:349)(cid:321)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:43)(cid:282)ABCD(cid:64)(cid:68) = = = = =2(cid:68) (cid:68)
E(cid:68)F(cid:61)(cid:275)(cid:176)AB(cid:68)AC(cid:33)(cid:64)(cid:55). 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶⊥𝐵𝐷
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)BCD(cid:108)
(2)(cid:57)(cid:55)A(cid:149)(cid:50)𝐴(cid:43)𝐶𝐷BD⊥F(cid:33)(cid:150)(cid:151).
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:274)CD(cid:33)(cid:64)(cid:55)O(cid:68)(cid:202)(cid:27)(cid:304)(cid:305)(cid:44)(cid:15)(cid:240) (cid:68)(cid:285)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:52)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:240)
(cid:113)(cid:350)(cid:108) 𝑂𝐵⊥𝑂𝐴
(cid:78)2(cid:79)(cid:202)(cid:27)(cid:116)(cid:282)(cid:283)(cid:111)(cid:16)(cid:175)(cid:240)(cid:113)(cid:350).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:274)CD(cid:33)(cid:64)(cid:55)O(cid:68)(cid:286)(cid:287)OA(cid:68)OB(cid:68)
1
(cid:242)(cid:176) (cid:68) = =2(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)(cid:247) =2 2 = = 2(cid:68)
2
(cid:241) 𝐵 = 𝐶⊥𝐵 = 𝐷 2(cid:68) 𝐵𝐶 𝐵𝐷 (cid:68) 2= 𝑂𝐵2⊥𝐶𝐷2=2 𝐶 (cid:68) 𝐷 = 2 ,𝑂 (cid:68) 𝐵 𝐶𝐷
(cid:171)𝐴(cid:99)𝐶 2𝐴+𝐷 2=𝑂𝐴2⊥(cid:68)𝐶(cid:175)𝐷(cid:240)𝑂𝐴 𝐴𝐶(cid:68)−𝐶𝑂 𝑂𝐴
(cid:241) 𝑂𝐴 𝑂=𝐵 (cid:68)𝐴𝐵、 𝑂(cid:50)𝐴(cid:43)⊥𝑂𝐵(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43)BCD(cid:68)
(cid:241)𝑂𝐵∩𝐶(cid:50)𝐷(cid:43)A𝑂CD𝑂(cid:68)𝐵(cid:171)(cid:99)𝐶𝐷(cid:50)⊂(cid:43) 𝐵𝐶𝐷(cid:50)(cid:43)BCD𝑂(cid:108)𝐴⊥
(cid:78)𝑂2(cid:79)𝐴(cid:242)⊂(cid:176) =2(cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:185)(cid:78)1𝐴(cid:79)𝐶𝐷(cid:175)⊥(cid:240) = 2(cid:68) =2 2(cid:68)
1𝐴𝐵 1 𝑂𝐵 𝐶𝐷
= × × = ×2 2× 2=2(cid:68)
2 2
𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝑂𝐴
= 1 = 1 ×2× 2=2 2(cid:68)
3 3 3
𝑉𝐵−𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷⋅𝑂𝐵
(cid:241)F(cid:176)AC(cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:171)(cid:99) = 1 = 2(cid:68)
2 3
𝑉𝐴−𝐵𝐷𝐹 𝑉𝐵−𝐴𝐶𝐷
(cid:118) BDF(cid:64)(cid:68) =2(cid:68) = 3(cid:68) = 2+ 2= 5(cid:68)
△ 𝐵𝐷2 2 𝐵𝐹2 2 𝐷𝐹 𝐴𝐷 𝐴𝐹
(cid:155)cos = = (cid:68)
15
𝐵𝐹 +𝐷𝐹 −𝐵𝐷
∠𝐵𝐹𝐷 2𝐵𝐹⋅𝐷𝐹
(cid:171)(cid:99)sin = 11(cid:68)
15
∠𝐵𝐹𝐷
(cid:155) = 1 sin = 11.
2 2
𝑆△𝐵𝐷𝐹 𝐵𝐹⋅𝐷𝐹 ∠𝐵𝐹𝐷
(cid:270)(cid:55)A(cid:149)(cid:50)(cid:43)BDF(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176)d(cid:68)(cid:155) 1 × 11 = 2(cid:68)
3 2 3
𝑑
(cid:63)(cid:240) =2 22(cid:68)(cid:237)(cid:55)A(cid:149)(cid:50)(cid:43)BDF(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176)2 22.
11 11
𝑑
(cid:22)(cid:248)(cid:103)5-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:300)(cid:351)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:31)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:68)(cid:318)(cid:278)(cid:160)(cid:347)(cid:139)(cid:116). (cid:68) (cid:68) (cid:61)(cid:275)(cid:176)(cid:278) (cid:68)
1 1 1
(cid:68) (cid:33)(cid:64)(cid:55). 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵
1 1
𝐵𝐶 𝐴 𝐶(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1 1 1
(2)(cid:57)(cid:31)(cid:42) (cid:65)𝐴 𝐶𝐷(cid:171)⊥(cid:189)(cid:190)(cid:33)𝐴 (cid:204)𝐴𝐵(cid:291)𝐵(cid:308).
1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)𝐸𝐹(cid:28)(cid:78)𝐴1(cid:79)𝐵 (cid:185)(cid:21)(cid:131)(cid:175)(cid:40)(cid:240) (cid:68)(cid:118)(cid:31)(cid:93)(cid:278)(cid:297)(cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:175)(cid:240) (cid:68)(cid:95)(cid:243)(cid:175)(cid:40)(cid:240)
1 1
(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:237)(cid:40)(cid:240)(cid:50)(cid:43) 𝐶(cid:50)𝐷⊥(cid:43)𝐴𝐵 (cid:108) 𝐴𝐴 ⊥ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐴 ⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷⊥
1 1 1 1 1
(cid:78)2(cid:79)𝐴(cid:185)𝐵𝐵(cid:21)𝐴(cid:131)(cid:175)(cid:40)(cid:240) // 𝐴 (cid:68)𝐶𝐷(cid:237)⊥(cid:175)(cid:240)(cid:31)𝐴(cid:42)𝐴𝐵𝐵(cid:65) (cid:171)(cid:189)(cid:33)(cid:190)(cid:68)(cid:118) (cid:64)(cid:68)(cid:175)(cid:57)(cid:273) (cid:33)(cid:204)(cid:291)(cid:308)(cid:68)(cid:95)
1 1 1 1 1
(cid:243)(cid:57)(cid:273)(cid:153)(cid:31)(cid:42) (cid:65)𝐸𝐹 (cid:171)𝐴(cid:189)𝐷(cid:33)(cid:190)(cid:126) 𝐸𝐹 𝐴 𝐵 △𝐴 𝐴𝐷 ∠𝐷𝐴 𝐴
1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)𝐸(cid:78)𝐹1(cid:79)𝐴(cid:40)𝐵(cid:41)(cid:10)(cid:185)(cid:21)(cid:131)(cid:118)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102) (cid:64)(cid:68) (cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
(cid:118)(cid:31)(cid:278)(cid:297)(cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)𝐴(cid:171)𝐵𝐶(cid:99) 𝐷 𝐴𝐵(cid:68) 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
1 1
(cid:243) =𝐴𝐴(cid:68)⊥ 𝐴𝐵𝐶(cid:50)(cid:43)𝐶𝐷⊂ (cid:68)𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐴 ⊥𝐶𝐷
1 1 1 1
(cid:171)𝐴(cid:99)𝐴 ∩𝐴(cid:50)𝐵(cid:43)𝐴 𝐴𝐴 ,𝐴(cid:68)𝐵⊂ 𝐴𝐵𝐵 𝐴
1 1
(cid:241)(cid:242)𝐶(cid:176)𝐷⊥ (cid:50)𝐴(cid:43)𝐵𝐵 𝐴 (cid:68)
1
(cid:171)(cid:99)(cid:50)𝐶(cid:43)𝐷⊂ (cid:50)𝐴 (cid:43)𝐶𝐷 (cid:108)
1 1 1
(cid:78)2(cid:79)(cid:286)(cid:287)𝐴 𝐶𝐷(cid:68)⊥(cid:242)(cid:176) 𝐴(cid:68)𝐴(cid:68)𝐵𝐵(cid:61)(cid:275)(cid:176)(cid:278) (cid:68) (cid:68) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)
1 1
𝐷𝐸 𝐷 1𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴 𝐶
(cid:171)(cid:99) // (cid:68)(cid:247) = (cid:68)
2
𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶
1
(cid:118)(cid:93)(cid:278)(cid:297)(cid:64)(cid:68) = (cid:68) // (cid:68) = (cid:68)
1 1 1 1 1 2 1 1
𝐴𝐶 𝐴 𝐶 𝐴𝐶 𝐴 𝐶 𝐴 𝐹 𝐴 𝐶
(cid:171)(cid:99) // (cid:68)(cid:247) = (cid:68)
1 1
(cid:171)(cid:99)𝐷(cid:196)𝐸(cid:197)(cid:102)𝐴 𝐹 𝐷(cid:176)𝐸(cid:50)(cid:51)𝐴(cid:196)𝐹(cid:197)(cid:102)(cid:68)(cid:171)(cid:99) // (cid:68)
1 1
(cid:171)(cid:99) 𝐷(cid:237)𝐸𝐹(cid:176)𝐴(cid:31)(cid:42) (cid:65) (cid:171)(cid:189)(cid:33)(cid:190)𝐹𝐸(cid:68) 𝐴 𝐷
1 1 1 1
(cid:118) ∠𝐵 𝐴(cid:64)𝐷(cid:68)(cid:270)(cid:31)(cid:93)(cid:278)𝐸𝐹(cid:297)(cid:33)𝐴(cid:278)𝐵(cid:160)(cid:176)2(cid:68)(cid:155) = =1
1 1
(cid:175) △ (cid:240) 𝐴 co 𝐷 s 𝐴 = 2 =2 5(cid:126) 𝐴𝐴 2,𝐴𝐷
1
12 22 5
∠𝐷𝐴 𝐴 +
(cid:244)sin =cos =2 5
1 1 1
5
∠𝐵 𝐴 𝐷 ∠𝐷𝐴 𝐴
(cid:237)(cid:31)(cid:42) (cid:65) (cid:171)(cid:189)(cid:190)(cid:33)(cid:204)(cid:291)(cid:308)(cid:176)2 5(cid:126)
1 1
5
𝐸𝐹 𝐴 𝐵(cid:22)(cid:248)(cid:103)5-3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:352)(cid:321)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:64)(cid:68)(cid:280)(cid:43) (cid:81)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68) =
1 1 1 1
(cid:68)D(cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:152) (cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:166)(cid:278) (cid:153)E(cid:68)(cid:166)𝐴𝐵𝐶(cid:153)−𝐴F.𝐵 𝐶 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 𝐴𝐵 ∠
1 1 1
𝐴 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1 1 1
𝐴 𝐴𝐷⊥ 𝐸𝐵 𝐶 𝐹
(2)(cid:270)M(cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:166) (cid:153)P(cid:68)(cid:247) = .(cid:178) = =6(cid:68)(cid:247) = (cid:68)(cid:57)(cid:196)(cid:278)(cid:279)
1 1 1 1 3
π
𝐵 𝐶 𝐸𝐵 𝐶 𝐹 𝐴𝐷 𝑃𝐷 2𝑃𝐴 𝑃𝑀 𝐴𝐵 ∠𝑀𝑃𝐷
(cid:33)(cid:282)(cid:283).
1 1
𝐵(cid:22)−(cid:63)𝐸(cid:21)𝐵 (cid:231)𝐶(cid:232)𝐹(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:74)(cid:116)(cid:68)(cid:175)(cid:240) (cid:68)(cid:241) (cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:240) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:95)(cid:243)(cid:175)(cid:57)(cid:63)(cid:68)
1 1 1 1
(cid:78)2(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:240) // (cid:68)(cid:237)𝐵𝐶(cid:175)⊥(cid:57)𝐴(cid:63)𝐷 𝐵𝐶⊥(cid:33)𝐴𝐷(cid:160)(cid:105)(cid:68)(cid:202)(cid:27)𝐵(cid:43)𝐶(cid:43)⊥(cid:30)(cid:31)(cid:33)𝐴(cid:45)𝐴(cid:46)𝐷(cid:175)(cid:240) (cid:50)(cid:43)
(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:57)(cid:63) = sin𝐵𝐶 𝐸=𝐹3(cid:68)(cid:95)(cid:243)(cid:185)(cid:282)𝐴(cid:283)𝑃,𝑃(cid:7)𝐷(cid:103),𝐸(cid:237)𝐹 (cid:175)(cid:57)(cid:63). 𝐷𝑇⊥
1 1
𝐸(cid:22)𝐵(cid:63)𝐶(cid:113)𝐹(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)𝐷(cid:40)𝑇(cid:41)(cid:10)𝑃𝐷(cid:286)(cid:287)∠𝑀𝑃(cid:68)𝐷 .
1 1
(cid:242)(cid:176) = (cid:68) = 𝐴(cid:68)𝐵 𝐴=𝐶
1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)∠𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 𝐴𝐶 (cid:68)𝐴𝐵(cid:171)(cid:99)𝐴𝐶 𝐴=𝐴 .𝐴𝐴
1 1 1 1
(cid:242)(cid:176)△(cid:176)𝐴 𝐴(cid:33)𝐵≌(cid:64)△(cid:55)𝐴(cid:68)𝐴(cid:171)𝐶(cid:99) 𝐴 𝐵 . 𝐴 𝐶
1
(cid:242)(cid:176)𝐷 =𝐵𝐶 (cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)𝐵𝐶(cid:68)⊥(cid:171)𝐴(cid:99)𝐷 .
(cid:242)(cid:176)𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐷= 𝐵(cid:68)𝐶 (cid:68) (cid:50)𝐵(cid:43)𝐶⊥𝐴𝐷
1 1 1
(cid:171)(cid:99)𝐴 𝐷∩(cid:50)𝐴(cid:43)𝐷 𝐷 .𝐴 𝐷 𝐴𝐷⊂ 𝐴 𝐴𝐷
1
(cid:241) 𝐵𝐶⊥ (cid:68)(cid:171)𝐴 (cid:99)𝐴𝐷 (cid:50)(cid:43) .
1 1 1 1 1
(cid:241)𝐵 𝐶 ∥𝐵(cid:50)𝐶(cid:43) 𝐵 𝐶 ⊥ 𝐴 𝐴𝐷
1 1 1 1
(cid:171)𝐵(cid:99)(cid:50)𝐶 (cid:43)⊂ 𝐸𝐵(cid:50)𝐶(cid:43)𝐹 .
1 1 1
𝐴 𝐴𝐷⊥ 𝐸𝐵 𝐶 𝐹(cid:78)2(cid:79)(cid:185)(cid:21)(cid:131)(cid:240)(cid:10) = 1 = 1 × 3×6= 3(cid:68) = 2 =2 3(cid:68)
3 3 2 3
𝐴𝑃 𝐴𝐷 𝑃𝐷 𝐴𝐷
(cid:242)(cid:176) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)𝐵 𝐶∥/𝐵/(cid:50)𝐶(cid:43) 𝐵 𝐶 ⊂ 𝐸𝐵 𝐶 𝐹 𝐵𝐶⊄ 𝐸𝐵 𝐶 𝐹
1 1
(cid:185)(cid:153)(cid:50)𝐵(cid:43)𝐶 𝐸𝐵 𝐶(cid:50)𝐹(cid:43) = (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1
𝐸𝐵 𝐶 𝐹 ∩ 1 𝐴𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐸𝐹⊂ 𝐴𝐵𝐶
(cid:171)(cid:99) // ,(cid:244) = =2.
3
𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐵𝐶
(cid:171)(cid:99)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:353)(cid:55) (cid:149)(cid:280)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:116)(cid:153)(cid:55) (cid:149)(cid:280)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151).
1 1 1 1 1 1
(cid:141) (cid:68)𝐵−(cid:30)𝐸(cid:148)𝐵(cid:176)𝐶 𝐹(cid:68)(cid:155)(cid:185)(cid:78)𝐵1(cid:79)(cid:123)(cid:50)𝐸(cid:43)𝐵 𝐶 𝐹 (cid:50)(cid:43) 𝐷 (cid:68)(cid:247)(cid:166)𝐸(cid:42)𝐵(cid:176)𝐶 𝐹 (cid:68) (cid:50)(cid:43) ,(cid:171)(cid:99)
1 1 1 1
(cid:50)𝐷(cid:43)𝑇⊥𝑃𝑀 𝑇 𝐴 𝐴𝐷⊥ 𝐸𝐵 𝐶 𝐹 𝑀𝐷 𝑀𝐷⊂ 𝐴 𝐴𝐷 𝐷𝑇⊥
1 1
𝐸𝐵 𝐶 𝐹
(cid:244) = sin =3.
𝐷𝑇 𝑃𝐷 ∠𝑀𝑃𝐷 1 1
(cid:280)(cid:43) (cid:33)(cid:43)(cid:283)(cid:176) ×( + )× = (6+2)×6=24.
1 1 2 1 1 2
𝐸𝐵 𝐶 𝐹 𝐵 𝐶 𝐸𝐹 𝑃𝑀
1
(cid:171)(cid:99)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176) ×24×3=24.
1 1 3
𝐵−𝐸𝐵 𝐶 𝐹
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)6(cid:28)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:250)(cid:251)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:68)(cid:354)(cid:43)PAD(cid:81)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:204)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:247)(cid:65)(cid:280)(cid:43)(cid:30)
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:31)(cid:68)(cid:280)(cid:43)ABCD(cid:81) =60°(cid:33)(cid:298)(cid:102)(cid:68) (cid:176)(cid:278)PC(cid:281)(cid:33)(cid:355)(cid:55)(cid:247) = [0,1]).
𝑃𝑀
∠𝐴𝐵𝐶 𝑀 𝑃𝐶 𝜆(𝜆∈
(1)(cid:57)(cid:40): (cid:176)(cid:31)(cid:190)(cid:93)(cid:190)(cid:102);
△𝑃𝐵𝐶 2
(2)(cid:325)(cid:205)(cid:44) (cid:33)(cid:308)(cid:68)(cid:239)(cid:240)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176) .
3
𝜆 𝑃−𝐴𝑀𝐷
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:274)AD(cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:286)(cid:212) (cid:155)(cid:185)(cid:116)(cid:302)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:240) (cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:240)
(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:155) (cid:68)(cid:243) /𝑂/ (cid:68)(cid:171)𝑂(cid:99)𝑃,𝑂𝐶,𝐴𝐶, (cid:68)(cid:95)(cid:243)(cid:175)(cid:40)(cid:240)(cid:212)(cid:213)(cid:108) 𝑂𝐶⊥𝐴𝐷,𝑂𝑃⊥𝐴𝐷 𝐴𝐷⊥
𝑃𝑂𝐶 𝐴𝐷⊥𝑃𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶⊥𝑃𝐶(cid:78)2(cid:79)(cid:185)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:240) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:155)(cid:185) = = = (cid:175)(cid:57)(cid:240)(cid:212)(cid:129).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:274)𝑃A𝑂D⊥(cid:64)(cid:55) 𝐴(cid:68)𝐵(cid:286)𝐶𝐷(cid:212) 𝑉𝑃−𝐴𝑀𝐷 𝑉𝑀−𝑃𝐴𝐷 𝜆𝑉𝐶−𝑃𝐴𝐷 𝜆𝑉𝑃−𝐴𝐶𝐷
(cid:242)(cid:176)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:298)(cid:102)(cid:68)(cid:247) =6𝑂0°(cid:68) 𝑂𝑃,𝑂𝐶,𝐴𝐶,
(cid:171)(cid:99) 𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:347)(cid:176)(cid:116)(cid:197)(cid:93)∠𝐴(cid:190)𝐵𝐶(cid:102)(cid:68)
(cid:242)(cid:176)△𝐴𝐵𝐶,(cid:206)△(cid:176)𝐴(cid:116)𝐶𝐷(cid:197)(cid:102)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)
(cid:171)(cid:99)△𝑃𝐴𝐷 .
𝑂𝐶⊥𝐴𝐷,𝑂𝑃⊥𝐴𝐷
(cid:241)(cid:242)(cid:176) = (cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)POC(cid:68)
(cid:171)(cid:99) 𝑂𝐶(cid:50)∩𝑂(cid:43)𝑃 𝑂(cid:68),𝑂𝐶⊂ 𝑃𝑂𝐶,𝑂𝑃⊂
(cid:241) 𝐴𝐷(cid:50)⊥(cid:43) 𝑃𝑂(cid:68)𝐶(cid:171)(cid:99) (cid:68)
(cid:242)𝑃(cid:176)𝐶⊂// 𝑃(cid:68)𝑂(cid:171)𝐶(cid:99) 𝐴𝐷⊥(cid:68)𝑃𝐶
(cid:237) 𝐵𝐶 =𝐴9𝐷0°(cid:68)(cid:86)(cid:243)𝐵𝐶⊥𝑃𝐶(cid:176)(cid:31)(cid:190)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:108)
(cid:78)∠2(cid:79)𝑃𝐶(cid:185)𝐵(cid:78)1(cid:79)(cid:175)(cid:123) △𝑃𝐵𝐶(cid:68)
(cid:241)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)𝑃𝑂⊥𝐴(cid:68)𝐷(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68) (cid:50)(cid:43)PAD(cid:68)
(cid:171)(cid:99) 𝑃𝐴𝐷(cid:50)⊥(cid:43) 𝐴𝐵(cid:68)𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐷∩ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝑃𝑂⊂
𝑃𝑂⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:242)(cid:176) (cid:176)(cid:278)PC(cid:281)(cid:33)(cid:355)(cid:55)(cid:247) = [0,1])(cid:68)
𝑃𝑀
(cid:171)(cid:99) 𝑀 = = 𝑃𝐶 𝜆(𝜆 = ∈ (cid:68)
(cid:242)(cid:176)𝑉𝑃−𝐴𝑀𝐷(cid:68) 𝑉𝑀−𝑃𝐴𝐷(cid:133)(cid:81)𝜆(cid:197)𝑉𝐶(cid:160)−𝑃(cid:176)𝐴𝐷 2(cid:33)𝜆(cid:204)𝑉𝑃(cid:93)−𝐴(cid:190)𝐶𝐷(cid:102)(cid:68)
(cid:171)(cid:99)△𝑃=𝐴𝐷 =△𝐴3𝐶(cid:68)𝐷
(cid:171)(cid:99) 𝑃𝑂 𝑂𝐶 = 1 = 1 × 3×4× 3=1(cid:68)
3 3 4
𝑉𝑃−𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷⋅𝑃𝑂
2
(cid:242)(cid:176)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176) (cid:68)
3
𝑃−𝐴𝑀𝐷
2
(cid:171)(cid:99) = .
3
𝜆
(cid:22)(cid:248)(cid:103)6-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:311)(cid:351)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:33)(cid:280)(cid:43)(cid:81)(cid:116)(cid:302)(cid:31)(cid:190)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68) =90°(cid:68)(cid:354)(cid:43)
1 1 1
(cid:81)(cid:298)(cid:102)(cid:68) = =2(cid:68)(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵𝐶−(cid:50)𝐴(cid:43)𝐵 𝐶 (cid:126) ∠𝐴𝐶𝐵
1 1 1 1 1
𝐴𝐶𝐶 𝐴 ∠𝐴 𝐴𝐶 60°,𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶⊥ 𝐴𝐶𝐶 𝐴(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:108)
1 1
(2)(cid:57)(cid:55) 𝐴(cid:149)(cid:50)𝐶⊥(cid:43)𝐴𝐵 (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)𝐶(cid:232)(cid:28)(cid:78)1𝐴(cid:79)𝐵𝐵(cid:202)(cid:27)𝐴(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:175)(cid:240) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:162)(cid:208)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:212)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:237)(cid:175)
1 1 1
(cid:240)(cid:40). 𝐴 𝐶⊥ 𝐴𝐵 𝐶
(cid:78)2(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:346)(cid:44)(cid:132)(cid:269)(cid:68)(cid:212)(cid:49)(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:15)(cid:68)(cid:202)(cid:27)(cid:116)(cid:282)(cid:283)(cid:192)(cid:57)(cid:273)(cid:55) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151).
1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:286)(cid:287) (cid:68)(cid:185)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:298)(cid:102)(cid:68)(cid:240)𝐶 𝐴(cid:68)𝐵𝐵(cid:185)𝐴 =90°(cid:68)(cid:240) (cid:68)
1 1 1 1 1
(cid:241)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) 𝐴𝐶(cid:68)(cid:50)(cid:43) 𝐴(cid:50)𝐴(cid:43)𝐶𝐶 = (cid:68)𝐴𝐶 ⊥𝐴(cid:43)𝐶ABC(cid:68)∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐶⊥𝐴𝐶
1 1 1 1
(cid:155) 𝐴(cid:50)𝐵𝐶(cid:43)⊥ 𝐴𝐶(cid:68)𝐶(cid:241)𝐴 (cid:50)𝐴(cid:43)𝐵𝐶∩ (cid:68)𝐴(cid:153)𝐶𝐶(cid:81)𝐴 𝐴𝐶 (cid:68)𝐵𝐶(cid:243)⊂ // (cid:68)(cid:155) (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:241)𝐵𝐶⊥ 𝐴𝐶=𝐶 𝐴(cid:68) 𝐴, 𝐶⊂ (cid:50)(cid:43)𝐴𝐶𝐶 𝐴 (cid:68)(cid:242)(cid:169)𝐵𝐶⊥𝐴(cid:50)𝐶(cid:43) 𝐵𝐶 (cid:68)𝐵(cid:241)𝐶 𝐵(cid:50)𝐶(cid:43)⊥𝐴 𝐶(cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)𝐴𝐶 ∩𝐵 𝐶 . 𝐶 𝐴𝐶 𝐵 𝐶 ⊂ 𝐴𝐵 𝐶 𝐴 𝐶⊥ 𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐵 ⊂ 𝐴𝐵 𝐶
1 1
𝐴 𝐶⊥𝐴𝐵
(cid:78)2(cid:79)(cid:55) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:68)(cid:237)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:280)(cid:43) (cid:281)(cid:33)(cid:24)(cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:185)(cid:78)1(cid:79)𝐶(cid:123) 𝐴(cid:50)𝐵(cid:43)𝐵 𝐴 (cid:68)(cid:155)(cid:93)(cid:278)(cid:279) 𝐶 −𝐴𝐴 𝐵(cid:33)(cid:280)(cid:43) 𝐴𝐴 𝐵(cid:281)(cid:33)(cid:24)(cid:176) (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝐵 𝐶 ⊥ 𝐴𝐶𝐶 𝐴 𝐵 −𝐴𝐴 𝐶 𝐴𝐴 𝐶1 𝐵 𝐶 1
(cid:270)(cid:55) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176)d(cid:68)(cid:185) = (cid:68)(cid:240) = (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1
(cid:243) 𝐶 = = 𝐴𝐵𝐵 = 𝐴 2(cid:68) =60°(cid:68) 𝑉 (cid:155) 𝐵 −𝐴𝐴 𝐶 𝑉 (cid:33) 𝐶 (cid:43) −𝐴 (cid:283) 𝐴 𝐵 𝑆 = △𝐴𝐴 3(cid:68) 𝐶 ⋅𝐵 𝐶 𝑆△𝐴𝐴 𝐵 ⋅𝑑
1 1 1 1
1 1
(cid:185)𝐵𝐶 =𝐴𝐴 =𝐴𝐶2(cid:68) ∠𝐴 𝐴=𝐶120°(cid:68)(cid:240) △𝐴=𝐴2𝐶3(cid:68)(cid:241) 𝑆△𝐴=𝐴2𝐶(cid:68) (cid:68)(cid:155) =4(cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:241) 𝐴𝐴 =2 𝐴 (cid:68) 𝐶 = ∠ 2 𝐴 2 𝐴 (cid:68) 𝐶 (cid:185)(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:15)(cid:240) 𝐴 c 𝐶 os =2𝐵2 4𝐶2 (2 2) 2 = 𝐵3𝐶 (cid:68) ⊥𝐴𝐶 𝐴𝐵
1 1 1 1 1 2×2×4 4
+ −
𝐴𝐴 𝐴 𝐵 ∠𝐴 𝐴𝐵
(cid:155)sin = 7(cid:68) (cid:33)(cid:43)(cid:283) = 1 ×2×4× 7= 7(cid:68)
1 1 4 1 1 1 1 2 4
∠𝐴 𝐴𝐵 △𝐴𝐴 𝐵 𝑆△𝐴𝐴 𝐵
(cid:155) 3×2= 7 (cid:68)(cid:237) =2 21 (cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:55) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176)2 21.
1 1 1
7 7
𝑑 𝑑 𝐶 𝐴𝐵𝐵 𝐴(cid:22)(cid:248)(cid:103)6-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:93)(cid:278)(cid:356) (cid:64)(cid:68) (cid:118) (cid:197)(cid:281)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
=60°(cid:68) =2(cid:68) =4(cid:68) = 3(cid:68) .𝐴𝐵𝐶−𝐷𝐸𝐹 𝐻 𝐴𝐶 𝐴𝐶𝐹𝐷⊥ 𝐴𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐻 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐻⊥𝐵𝐶
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:178) 𝐸𝐹 (cid:33) ⊥ (cid:43) 𝐵𝐷 (cid:283)(cid:176)3 3(cid:68)(cid:57)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283).
4
△𝐴𝐵𝐶 𝐷−𝐴𝐵𝐻
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:202)(cid:27)(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:15)(cid:212)(cid:49)(cid:304)(cid:305)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:225)(cid:44)(cid:15) (cid:68)(cid:285)(cid:202)(cid:27)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:52)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)
(cid:46)(cid:38)(cid:44)(cid:303)(cid:15)(cid:237)(cid:240). 𝐷𝐻⊥𝐴𝐶
(cid:78)2(cid:79)(cid:185)(cid:154)(cid:123)(cid:57)(cid:273) (cid:68)(cid:344)(cid:345)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:43)(cid:283)(cid:57)(cid:273) (cid:68)(cid:285)(cid:202)(cid:27)(cid:279)(cid:282)(cid:282)(cid:283)(cid:7)(cid:103)(cid:59)(cid:348)(cid:237)(cid:240).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)∠𝐴(cid:118)𝐶𝐵 (cid:64)(cid:68) =60°(cid:68)𝐴𝐻 =2(cid:68) =4(cid:68)
(cid:185)(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:15)(cid:240) 2= △2𝐷+𝐶𝐻2 ∠𝐴𝐶𝐷 cos 𝐶𝐻 =12𝐶(cid:68)𝐷(cid:155) 2= 2+ 2(cid:68)
(cid:237) (cid:68)(cid:243)𝐷𝐻(cid:50)(cid:43) 𝐶𝐷 𝐶𝐻(cid:50)(cid:43)−2𝐶𝐷(cid:68)⋅𝐶(cid:50)𝐻(cid:43)⋅ ∠𝐴𝐶𝐷(cid:50)(cid:43) =𝐶𝐷 (cid:68)𝐶𝐻 𝐷𝐻
𝐷𝐻(cid:50)⊥𝐴(cid:43)𝐶 (cid:68)(cid:153)𝐴(cid:81)𝐶𝐹𝐷⊥ (cid:50)(cid:43)𝐴𝐵𝐶(cid:68)(cid:241) 𝐴𝐶𝐹(cid:50)𝐷(cid:43)∩ (cid:68)𝐴𝐵(cid:155)𝐶 𝐴𝐶 (cid:68)
𝐷(cid:241)𝐻⊂ 𝐴(cid:68)𝐶𝐹𝐷 =𝐷𝐻(cid:68)⊥ 𝐴(cid:50)𝐵𝐶(cid:43) 𝐵𝐶(cid:68)⊂ (cid:50)𝐴𝐵(cid:43)𝐶 𝐷(cid:68)𝐻⊥𝐵𝐶
(cid:242)𝐵(cid:169)𝐻⊥𝐵𝐶(cid:50)(cid:43)𝐵𝐻∩𝐷(cid:68)𝐻(cid:243) 𝐻 𝐵(cid:50)𝐻(cid:43)⊂ (cid:68)𝐵𝐷(cid:155)𝐻 𝐷𝐻⊂(cid:68)(cid:241)𝐵𝐷/𝐻/ (cid:68)
(cid:171)(cid:99)𝐵𝐶⊥ . 𝐵𝐷𝐻 𝐷𝐵⊂ 𝐵𝐷𝐻 𝐵𝐶⊥𝐷𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹
(cid:78)2(cid:79)𝐸(cid:118)𝐹⊥Rt𝐷𝐵 (cid:64)(cid:68) =2(cid:68) = 3(cid:68) (cid:68)(cid:155) = 2 2=1(cid:68) =30°(cid:68)
(cid:185) = △1 × 𝐵𝐻𝐶 × 𝐶 × 𝐻 sin30° 𝐵 = 𝐶3 3(cid:68)(cid:63) 𝐵 (cid:240) 𝐻⊥ = 𝐵𝐶 3(cid:68)(cid:185) 𝐵𝐻 =3 𝐶 = 𝐻 −𝐵 + 𝐶 (cid:68)(cid:240) ∠𝐴 = 𝐶𝐵 1(cid:68)
2 4
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐻 𝐻𝐶 𝐴𝐻
(cid:242)(cid:169) = 1 = 1 × 1 ×1× 3×2 3= 1 (cid:68)
3 3 2 2 2
𝑉𝐷−𝐴𝐵𝐻 𝑆△𝐴𝐵𝐻⋅𝐷𝐻
1
(cid:171)(cid:99)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:81) .
2
𝐷−𝐴𝐵𝐻
(cid:22)(cid:248)(cid:103)6-3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:74)(cid:75)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:357)(cid:43)(cid:282) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43)
// = = =4(cid:68)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:81)(cid:204)𝑃𝐴(cid:94)𝐵𝐶(cid:102)𝐷(cid:68)𝐸 =𝑃𝐴2 ⊥3(cid:126)
𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐷𝐸 𝑃𝐴,𝑃𝐴 2𝐷𝐸 2𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐸(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) =90°(cid:108)
(2)(cid:40)(cid:41)(cid:10)∠𝑃𝐸𝐴(cid:50)(cid:43) (cid:108)
(3)(cid:57)(cid:93)(cid:278)𝑃(cid:279)𝐸⊥ (cid:33)𝐴𝐵(cid:282)𝐸(cid:283)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)𝑃−(cid:78)𝐴1𝐵(cid:79)𝐸(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:125)(cid:304)(cid:305)(cid:44)(cid:15)(cid:40)(cid:41)(cid:237)(cid:175).
(cid:78)2(cid:79)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:125)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:125)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:40)(cid:41)(cid:237)(cid:175)(cid:108)
(cid:78)3(cid:79)(cid:185)(cid:93)(cid:278)(cid:279)(cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:7)(cid:103)(cid:57)(cid:63)(cid:237)(cid:175).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:242)(cid:176) (cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:126)
(cid:242)(cid:176) // = = =𝑃𝐴4(cid:68)⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐷⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥𝐴𝐷
(cid:171)(cid:99)𝐷(cid:196)𝐸(cid:197)(cid:102)𝑃𝐴,𝑃𝐴 (cid:176)2(cid:31)𝐷𝐸(cid:190)(cid:307)2(cid:102)𝐴𝐷(cid:68)(cid:171)(cid:99) =2 2 =2 2(cid:126)
(cid:118) (cid:64)𝐴(cid:68)𝐷𝐸𝑃2+ 2= 2(cid:68)(cid:155)𝑃𝐸 (cid:68),𝐸𝐴
(cid:244)△𝑃𝐸𝐴=90°𝑃(cid:126)𝐸 𝐸𝐴 𝑃𝐴 𝑃𝐸⊥𝐸𝐴
(cid:78)2∠(cid:79)𝑃𝐸(cid:192)𝐴(cid:97)(cid:10)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:242)(cid:176) (cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:126)
(cid:118)Rt (cid:64)(cid:68) = 𝑃𝐴2⊥+ 2𝐴=𝐵2𝐶𝐷5,𝐴(cid:126)𝐵⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥𝐴𝐵
(cid:118) △𝑃𝐴(cid:64)𝐵(cid:68) 𝑃=𝐵2 3𝑃𝐴 2+𝐴𝐵2= 2(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:126)
(cid:185)(cid:78)△1𝑃(cid:79)𝐸(cid:123)𝐵 𝐵𝐸 (cid:68)(cid:241) ,𝑃𝐸 𝐵𝐸= 𝑃𝐵 (cid:50)(cid:43)𝑃𝐸⊥𝐸(cid:68)𝐵
(cid:171)(cid:99) (cid:50)𝑃𝐸(cid:43)⊥𝐸𝐴(cid:126) 𝐸𝐴∩𝐸𝐵 𝐸,𝐸𝐴,𝐸𝐵⊂ 𝐴𝐵𝐸
(cid:192)(cid:109)𝑃(cid:10)𝐸(cid:40)⊥(cid:41)(cid:10)(cid:242)𝐴𝐵(cid:176)𝐸 (cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99)(cid:50)(cid:43) (cid:50)𝑃𝐴(cid:43)⊥ (cid:126)𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑃𝐴⊂ 𝐴𝐷𝐸𝑃
(cid:242)(cid:176)(cid:196)(cid:197)𝐴(cid:102)𝐷𝐸𝑃⊥(cid:81)(cid:204)(cid:94)𝐴𝐵(cid:102)𝐶𝐷(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:126)
(cid:242)(cid:176)(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:50)(cid:43) = 𝐴𝐵⊥𝐴(cid:50)𝐷(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99) 𝐴(cid:50)𝐷𝐸(cid:43)𝑃∩ (cid:126)𝐴(cid:242)𝐵(cid:176)𝐶𝐷 𝐴𝐷(cid:50),𝐴(cid:43)𝐵⊂ (cid:68)𝐴(cid:171)𝐵𝐶(cid:99)𝐷 (cid:126)
(cid:185)(cid:78)𝐴1(cid:79)𝐵(cid:123)⊥ 𝐴𝐷𝐸(cid:68)𝑃(cid:241) 𝑃𝐸⊂= 𝐴𝐷𝐸𝑃 (cid:50)(cid:43)𝐴𝐵⊥(cid:68)𝑃𝐸
𝑃𝐸⊥𝐸𝐴 𝐸𝐴∩𝐴𝐵 𝐴,𝐸𝐴,𝐴𝐵⊂ 𝐴𝐵𝐸(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:126)
𝑃𝐸⊥ 𝐴𝐵𝐸 1
(cid:78)3(cid:79)(cid:270)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:24)(cid:176) (cid:68)(cid:155) = × × (cid:126)
三棱锥 3
𝑃−𝐴𝐵𝐸 ℎ 𝑉 𝑃−𝐴𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐵𝐸 ℎ
(cid:185)(cid:78)2(cid:79)(cid:240)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:24)(cid:237)(cid:176) (cid:126)
(cid:185)(cid:78)1(cid:79)(cid:240)(cid:68)𝑃𝐸⊥=2 2(cid:126)𝐴𝐵𝐸 𝑃−𝐴𝐵𝐸 𝑃𝐸
(cid:241)(cid:118) (cid:64)𝑃𝐸(cid:68) 2+ 2= 2(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:126)
△𝐴1𝐵𝐸 𝐸𝐴 𝐴1𝐵 𝐵𝐸 𝐸𝐴⊥𝐴𝐵
= × × = ×2 2×2=2 2(cid:68)
2 2
𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐵
1 8
(cid:171)(cid:99) = ×2 2×2 2= .
三棱锥 3 3
𝑉 𝑃−𝐴𝐵𝐸
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)7(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:97)(cid:228)(cid:79)(cid:55) (cid:52) (cid:118)(cid:99) (cid:176)(cid:31)(cid:358)(cid:33)(cid:359) (cid:33)(cid:195)(cid:43)(cid:281)(cid:68)(cid:247) (cid:68) = =2(cid:68)(cid:154)(cid:123)(cid:359)
(cid:33)(cid:195)(cid:43)(cid:283)(cid:81)12 (cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:137)(cid:192)(cid:64)(cid:204)(cid:205)(cid:33)𝐴 (cid:159)𝐵(cid:13)(cid:81)(cid:78)𝑃𝐶 (cid:79) 𝑂 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝑂 (cid:50)(cid:43) π(cid:108) (cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108) (cid:126)
①𝐵A𝐶(cid:126)⊥0 𝑃𝐴𝐵 ②B(cid:126)1𝑃𝐴𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐶 ③C(cid:126)𝑃𝐵2⊥𝐴𝐶 D(cid:126)3
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:35)(cid:21) (cid:108)(cid:274)(cid:42)(cid:157) (cid:33)(cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68)(cid:202)(cid:27)(cid:359)(cid:282)(cid:33)(cid:88)(cid:360)(cid:45)(cid:46)
(cid:175)(cid:240)(cid:273) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:285)(cid:202)(cid:27)(cid:64)(cid:216)(cid:42)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:212)(cid:49)(cid:43)①(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)𝐴(cid:44)𝐶(cid:44)(cid:15)(cid:175)𝑀(cid:38)(cid:39) (cid:108)𝑂(cid:202)𝑀(cid:27)(cid:334)(cid:40)(cid:192)(cid:175)(cid:38)(cid:39) .
(cid:22)(cid:63)(cid:113)𝑂(cid:152)𝑀(cid:238)⊥(cid:28)(cid:233)(cid:153)𝐴𝐵𝐶(cid:68)(cid:242)(cid:176) (cid:176)(cid:359) (cid:33)(cid:31)(cid:358)(cid:68) (cid:176)(cid:359) (cid:281)(cid:201)(cid:153) (cid:52) (cid:33)(cid:97)(cid:55)(cid:68)(cid:171)②(cid:99)(cid:68) (cid:68) ③
① 𝑃𝐶 𝑂 𝐵 𝑂 𝑃 𝐶 𝐵𝐶⊥𝑃𝐵
(cid:241)(cid:242)(cid:176) (cid:68) = (cid:68) (cid:52) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:233)(cid:108)
(cid:233)(cid:153) 𝐵(cid:68)𝐶(cid:274)⊥(cid:42)𝐴𝐵(cid:157) 𝑃𝐵(cid:33)∩(cid:64)𝐴(cid:55)𝐵 (cid:68)𝐵(cid:286)𝑃(cid:287)𝐵 𝐴(cid:68)𝐵⊂ 𝑃𝐴𝐵 𝐵𝐶⊥ 𝑃𝐴𝐵 ①
(cid:242)(cid:176)② (cid:68)(cid:155)𝐴𝐶(cid:176) 𝑀 (cid:361)(cid:287)(cid:362)𝑂(cid:33)𝑀(cid:362)(cid:343)(cid:68)
(cid:185)(cid:359)𝐴(cid:33)𝐵(cid:88)⊥(cid:360)𝐵(cid:45)𝐶 (cid:46)(cid:175)𝑀(cid:123) △𝐴𝐵(cid:50)𝐶(cid:43) (cid:68)
(cid:242)(cid:176) (cid:52) (cid:61)(cid:275)(cid:176) (cid:52)𝑂𝑀⊥(cid:33)(cid:64)(cid:55)𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:155) // (cid:68)(cid:155) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:241)(cid:242)𝑂(cid:176) 𝑀 (cid:50)(cid:43)𝑃𝐶 (cid:68)𝐴(cid:242)𝐶 (cid:169)(cid:68)(cid:50)(cid:43) 𝑂𝑀 (cid:50)𝑃𝐴(cid:43) 𝑃(cid:68)𝐴⊥ (cid:233)(cid:108)𝐴𝐵𝐶
𝑃𝐴⊂ 𝑃𝐴𝐶 𝑃𝐴𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐶 ②(cid:233)(cid:153) (cid:68)(cid:242)(cid:176) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:68) (cid:68)
(cid:178) ③ (cid:68)(cid:247)𝑃𝐴⊥ =𝐴𝐵𝐶(cid:68) 𝐴𝐶(cid:52)⊂ (cid:50)𝐴𝐵(cid:43)𝐶 (cid:68)(cid:155)𝑃𝐴⊥(cid:50)𝐴𝐶(cid:43) (cid:68)
(cid:242)𝑃(cid:176)𝐵⊥𝐴𝐶(cid:50)(cid:43)𝑃𝐴∩(cid:68)𝑃(cid:155)𝐵 𝑃 𝑃𝐴(cid:68) 𝑃𝐵⊂ 𝑃𝐴𝐵 𝐴𝐶⊥ 𝑃𝐴𝐵
(cid:363)(cid:364)𝐴(cid:281)𝐵(cid:68)⊂(cid:242)(cid:176) 𝑃𝐴𝐵 (cid:68)𝐴(cid:247)𝐶⊥𝐴=𝐵 =2(cid:68)(cid:155) (cid:176)(cid:116)(cid:302)(cid:31)(cid:190)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)
(cid:247) =45𝐴(cid:68)𝐵(cid:158)⊥(cid:65)𝐵𝐶 𝐴𝐵(cid:337)(cid:338)𝐵𝐶(cid:68)(cid:37)(cid:270)(cid:203)(cid:189)△(cid:365)𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:244) (cid:65) (cid:203)(cid:30)(cid:31)(cid:68) (cid:245).
∘
(cid:244)(cid:204)∠𝐵(cid:205)𝐴𝐶(cid:35)(cid:21)(cid:176) . 𝐴𝐶⊥𝐴𝐵 𝑃𝐵 𝐴𝐶 ③
(cid:244)(cid:20)(cid:10)C. ①②
(cid:22)(cid:248)(cid:103)7-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:320)(cid:321)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:118)(cid:204)(cid:94)(cid:282) (cid:64)(cid:68)M(cid:81)(cid:278) (cid:281)(cid:97)(cid:55)(cid:68)(cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:43) (cid:65)(cid:278) (cid:166)(cid:153)(cid:55)N.(cid:346)(cid:273)(cid:229)(cid:43)(cid:88)(cid:159)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:210)(cid:64)(cid:171)(cid:34)(cid:204)(cid:205)(cid:33)𝐴(cid:212)𝐵(cid:213)𝐶𝐷(cid:81)−(cid:78)𝐴 𝐵 (cid:79)𝐶 𝐷 𝐴𝐴
1 1
𝑀(cid:196)𝐵(cid:197)𝐷(cid:102) 𝐶𝐶 (cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:196)(cid:197)(cid:102)(cid:108) (cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:175)(cid:263)(cid:81)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:108) (cid:117)(cid:118)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:31)(cid:42) (cid:30)(cid:31)(cid:108)
1 1 1 1
①(cid:130)(cid:131)(cid:50)(cid:43)𝑀𝐵𝑁𝐷(cid:133)(cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:30)②(cid:31). 𝑀𝐵𝑁𝐷 ③ 𝑀𝐵𝑁𝐷 𝐵𝐵 ④
1 1
𝑀𝐵𝑁𝐷 𝐴𝐶𝐵
A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)①(cid:232)②(cid:28)(cid:193)(cid:152)(cid:88)(cid:360)(cid:45)(cid:46)③(cid:240)④(cid:273)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:33)(cid:102)①(cid:366)④(cid:68)(cid:185)(cid:42)(cid:42)(cid:52)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)①(cid:237)②(cid:175)④(cid:240)(cid:273)(cid:31)(cid:42) (cid:125)(cid:50)(cid:43) (cid:65)
1 1 1
(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:3)(cid:32). 𝑀𝐵𝑁𝐷 𝐵𝐵 𝐴𝐶𝐵
1
(cid:22)(cid:63)(cid:113)𝑀𝐵(cid:152)𝑁(cid:238)𝐷(cid:28)(cid:233)(cid:153) (cid:68)(cid:242)(cid:176)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:278) (cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:196)(cid:55)(cid:147)(cid:43)(cid:68)
1 1 1
(cid:118)(cid:204)(cid:94)(cid:282) ① (cid:64)(cid:68)(cid:185)𝑀(cid:50)𝐵(cid:43)𝐷 𝐶𝐶//(cid:50)(cid:43) 𝑁 (cid:68)𝑀,𝐵,𝐷 ,𝑁
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:241)(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵𝐶𝐷−(cid:50)𝐴(cid:43)𝐵 𝐶 𝐷 = (cid:68)(cid:50)𝐵𝐶(cid:43)𝐶 𝐵 (cid:50)𝐴(cid:43)𝐷𝐷 𝐴 = (cid:68)(cid:171)(cid:99) // (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:181)(cid:15)(cid:175)𝑀(cid:240)𝐵𝐷 ∩// (cid:68)𝐴(cid:244)𝐷𝐷(cid:196)𝐴(cid:197)(cid:102)𝑀𝐷 (cid:97)(cid:44)𝑀(cid:81)𝐵(cid:50)𝐷(cid:51)∩(cid:196)(cid:197)(cid:102)𝐵(cid:68)𝐶𝐶(cid:244)𝐵 (cid:204)𝐵(cid:205)𝑁 𝑀𝐷 𝐵𝑁
1 1
(cid:233)(cid:153) (cid:68)𝑁(cid:118)𝐷(cid:204)(cid:94)𝑀(cid:282)𝐵 𝑀𝐵𝑁𝐷(cid:64)(cid:68) (cid:43) (cid:68)①
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:176)② (cid:43) 𝐴𝐵(cid:68)𝐶𝐷(cid:171)−(cid:99)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (cid:68)𝐴 𝐷 ⊥ 𝐴𝐵𝐵 𝐴
1 1 1 1
(cid:178) 𝐵𝑀⊂(cid:81)(cid:204)𝐴𝐵(cid:94)𝐵(cid:102)𝐴(cid:68) (cid:34) 𝐴 𝐷 ⊥(cid:68)𝐵𝑀 = (cid:68)
1 1 1
(cid:178)𝑀𝐵𝑁(cid:203)𝐷(cid:82)(cid:49)(cid:68)(cid:155) 𝑀𝐷 (cid:65)⊥𝐵𝑀 𝑀𝐷 (cid:337)(cid:338)𝐵𝑀(cid:68)
1 1 1 1
(cid:178)𝐴 ,𝑀(cid:82)(cid:49)(cid:68)(cid:155) 𝑀𝐷=⊥𝐵(cid:203)𝑀(cid:189)𝐴(cid:365)𝐷(cid:68)(cid:244)⊥𝐵𝑀(cid:245)(cid:246)(cid:108)
1 1
(cid:233)𝐴(cid:153),𝑀(cid:68)(cid:242)(cid:176) 𝑀𝐷 (cid:50)(cid:43)𝐵𝑀 (cid:68) ② <90°(cid:68)
1 1 1 1
③ 𝐵𝐷 ⊂ 𝑀𝐵𝑁𝐷 ∠𝐵 𝐵𝐷(cid:178)(cid:31)(cid:42) (cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:155)(cid:31)(cid:42) (cid:68)(cid:367)(cid:162)(cid:337)(cid:338)(cid:68)
1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)(cid:50)𝐵(cid:43)𝐵 (cid:65)𝑀(cid:31)𝐵𝑁(cid:42)𝐷 (cid:203)(cid:175)(cid:263)(cid:30)(cid:31)𝐵(cid:68)𝐵(cid:244)⊥𝐵(cid:245)𝐷(cid:246)
1 1
(cid:233)(cid:153) (cid:68)𝑀(cid:242)𝐵(cid:176)𝑁𝐷 (cid:50)(cid:43)𝐵𝐵 (cid:68) (cid:50)(cid:43)③ (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
1 1
(cid:241) ④ (cid:68) 𝐵𝐵 ⊥ =𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶⊂(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:68)(cid:171)(cid:99)𝐵𝐵 ⊥(cid:50)𝐴𝐶(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:241)𝐵𝐷⊥𝐴(cid:50)𝐶 (cid:43)𝐵𝐵 ∩𝐵𝐷(cid:68)(cid:171)𝐵(cid:99),𝐵𝐵 ,𝐵𝐷⊂ (cid:68) 𝐵𝐵 𝐷 𝐷 𝐴𝐶⊥ 𝐵𝐵 𝐷 𝐷
1 1 1 1
(cid:181)𝐷(cid:15)(cid:10)𝐵⊂ 𝐵𝐵 (cid:68)𝐷(cid:241)𝐷 (cid:50)𝐷(cid:43)𝐵⊥𝐴𝐶(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) = (cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99) 𝐷 𝐵(cid:50)⊥𝐴(cid:43)𝐵 (cid:68)𝐴(cid:242)𝐶⊂(cid:176) 𝐴𝐶(cid:50)𝐵(cid:43)𝐴𝐵 ⊂ (cid:68)(cid:171)𝐴(cid:99)𝐶𝐵(cid:50)(cid:43)𝐴𝐶∩𝐴𝐵 (cid:50)𝐴(cid:43) (cid:68)(cid:244) (cid:204)(cid:205).
1 1 1 1 1 1
(cid:48)(cid:281)(cid:171)𝐷 (cid:368)𝐵(cid:68)⊥ (cid:204)(cid:205)𝐴(cid:33)𝐶(cid:34)𝐵 . 𝐷 𝐵⊂ 𝑀𝐵𝑁𝐷 𝑀𝐵𝑁𝐷 ⊥ 𝐴𝐶𝐵 ④
(cid:244)(cid:20)(cid:10)C. ①④
(cid:22)(cid:248)(cid:103)7-2(cid:28)(cid:78)23-24(cid:24)(cid:97)(cid:229)·(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:193)·(cid:342)(cid:372)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:204)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:64)(cid:68) = =2(cid:68)(cid:55)M(cid:176)
1 1 1 1
(cid:33)(cid:64)(cid:55). 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐴
1 1
𝐴 𝐵
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1 1 1
𝑀𝐶 ⊥ 𝐴𝐵𝐵 𝐴 | |
(2)(cid:118)(cid:278) (cid:281)(cid:81)(cid:373)(cid:117)(cid:118)(cid:55)Q(cid:68)(cid:239)(cid:240) (cid:50)(cid:43) (cid:374)(cid:178)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:57)(cid:273) 1 (cid:33)(cid:308)(cid:108)(cid:178)(cid:203)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:375)(cid:137)(cid:41)(cid:15)(cid:185).
1 1 | |
𝐵 𝑄
𝐵𝐵 𝐴𝑄⊥ 𝐵𝐶 𝑀 𝑄𝐵
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:40)(cid:41)(cid:237)(cid:175)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:289)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:285)(cid:240)(cid:273)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:95)(cid:243)(cid:240)(cid:273)(cid:139)(cid:376)(cid:377)(cid:59)(cid:348)(cid:237)(cid:175).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:242)(cid:176)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:81)(cid:204)(cid:93)(cid:278)(cid:297)(cid:68)
1 1 1
(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:50)𝐴𝐵(cid:43)𝐶−𝐴 𝐵 𝐶,(cid:171)(cid:99) (cid:108)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:241)(cid:242)𝐴(cid:176)𝐴M⊥(cid:81) 𝐴(cid:33)𝐵(cid:64)𝐶(cid:55),𝑀(cid:68)𝐶(cid:171)⊂(cid:99) 𝐴 𝐵 𝐶 (cid:68) 𝐴𝐴 ⊥𝑀𝐶
1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:176) 𝐴 𝐵= , (cid:50)𝑀(cid:43)𝐶 ⊥𝐴 𝐵 (cid:50)(cid:43) ,(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) .
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:78)2(cid:79)𝐴(cid:185)𝐴(cid:78)∩1𝐴(cid:79)𝐵(cid:175)(cid:123)𝐴 𝐴 𝐵(cid:50)⊂(cid:43) 𝐴𝐵𝐵(cid:68)𝐴(cid:242),(cid:176)𝐴𝐴 ⊂ (cid:50)𝐴(cid:43)𝐵𝐵 𝐴 (cid:68) 𝑀𝐶 ⊥ 𝐴𝐵𝐵 𝐴
1 1 1 1 1
(cid:155)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)𝐶 𝑀⊥ (cid:68)𝐴𝐴 𝐵 𝐵 𝐶 𝑀⊂ 𝐵𝐶 𝑀
1 1 1
(cid:118)(cid:50)(cid:43)𝐵𝐶 𝑀⊥(cid:84)(cid:152)(cid:55)𝐴𝐴A𝐵(cid:141)𝐵 (cid:166) (cid:153)(cid:55)Q(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:169) 𝐴𝐴(cid:50)𝐵(cid:43)𝐵 (cid:68)(cid:153)(cid:81)𝐴(cid:55)𝑄⊥Q𝐵(cid:237)𝑀(cid:176)(cid:171)𝐵𝐵(cid:56)(cid:309)(cid:33)(cid:55), 𝐵𝐶 𝑀∩ 𝐴𝐴 𝐵 𝐵 𝐵𝑀
1
(cid:128)(cid:170)𝐴7𝑄(cid:171)⊥(cid:172)(cid:68)(cid:367)𝐵(cid:162)𝐶 𝑀 (cid:68)
1
△𝐴𝐵𝑄∽△𝐵𝐵 𝑀| | | | | |
(cid:242)(cid:169) = (cid:68)(cid:237)(cid:34) =1(cid:68)
| 𝐵1𝑄 | | 𝐴𝐵1 |
𝐵
1
𝑄
𝐵 𝑀 𝐵𝐵
| |
(cid:153)(cid:81)| |=1(cid:68)(cid:171)(cid:99) 1 =1.
| |
𝐵 𝑄
𝐵𝑄 𝑄𝐵
(cid:22)(cid:248)(cid:103)7-3(cid:28)(cid:78)23-24(cid:24)(cid:97)(cid:229)·(cid:311)(cid:351)(cid:378)(cid:379)·(cid:380)(cid:157)(cid:326)(cid:327)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:64)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:280)
(cid:43) (cid:81)(cid:31)(cid:190)(cid:307)(cid:102)(cid:68) =90°(cid:68)(cid:247) = = = 𝑃−=𝐴𝐵𝐶𝐷 = 5 (cid:176)𝑃𝐴𝐵(cid:33)⊥(cid:64)(cid:55)(cid:126)𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝐴𝐷 2,𝐴𝐵 𝐵𝐶 1,𝑃𝐵 ,𝐸 𝑃𝐷
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:109)(cid:43)(cid:190)𝐴𝐵⊥𝐴𝐸 (cid:33)(cid:290)(cid:291)(cid:308)(cid:108)
(3)(cid:118)(cid:42)(cid:157) 𝐸(cid:281)−(cid:81)𝐴𝐶(cid:373)−(cid:117)𝐷(cid:118)(cid:55) (cid:239)(cid:240)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:374)(cid:178)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:375)(cid:381)(cid:41)(cid:55) (cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:108)(cid:178)(cid:203)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:375)(cid:137)(cid:41)(cid:15)
(cid:185)(cid:126) 𝐴𝑃 𝑀 𝐵𝐶𝐸𝑀⊥ 𝑃𝐴𝐵 𝑀
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:175)(cid:240)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:175)(cid:40)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:289)(cid:27)(cid:30)(cid:42)(cid:192)(cid:309)(cid:273)(cid:109)(cid:43)(cid:190)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:190)(cid:68)(cid:285)(cid:63)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:237)(cid:175)(cid:108)
(cid:78)3(cid:79)(cid:214)(cid:152)(cid:61)(cid:62)(cid:107)(cid:123)(cid:68) (cid:176) (cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:234)(cid:235)(cid:40)(cid:41)(cid:64)(cid:55)(cid:119)(cid:68) (cid:147)(cid:43)(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:256)(cid:257)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:240) (cid:50)(cid:43)
(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:57)(cid:40)(cid:43)(cid:43)(cid:30)𝑀(cid:31).𝐴𝑃 𝑀,𝐸,𝐵,𝐶 𝐵𝐶⊥
(cid:22)𝑃𝐴(cid:63)𝐵(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79) = = = = = 5,(cid:171)(cid:99) 2+ 2= 2,(cid:244) (cid:68)
(cid:241) =90°(cid:68) /𝑃/𝐴 (cid:68)𝐴𝐷(cid:171)(cid:99)2,𝐴𝐵 𝐵𝐶(cid:68)(cid:241)1,𝑃𝐵 = (cid:68)𝑃𝐴 𝐴𝐵(cid:50)(cid:43)𝑃𝐵 ,𝐴𝐵⊥𝐴𝑃
(cid:171)(cid:99)∠𝐴𝐵𝐶 (cid:50)(cid:43) 𝐵𝐶(cid:68)𝐴𝐷 𝐴𝐵⊥𝐴𝐷 𝐴𝐷∩𝐴𝑃 𝐴 𝐴𝐷,𝐴𝑃⊂ 𝐴𝐷𝑃
(cid:241) 𝐴𝐵(cid:50)⊥(cid:43) 𝐴𝐷(cid:68)𝑃(cid:171)(cid:99) (cid:126)
(cid:78)𝐴2(cid:79)𝐸⊂(cid:270) (cid:176) 𝐴𝐷(cid:33)𝑃(cid:64)(cid:55)(cid:68)𝐴(cid:152)𝐵⊥(cid:141)𝐴𝐸 (cid:153) (cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68)
𝐹 𝐴𝐷 𝐹 𝐹𝑁⊥𝐴𝐶 𝑁 1𝐸𝑁
(cid:118) (cid:64)(cid:68) (cid:68) (cid:176)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:171)(cid:99) // (cid:68) = =1
2
△𝑃𝐴𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝑃 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝑃
(cid:242)(cid:176)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:247)(cid:210)(cid:166)(cid:42)(cid:176) (cid:68)(cid:241) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
𝑃𝐴𝐵⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐵⊥𝐴𝑃 𝐴𝑃⊂ 𝑃𝐴𝐵(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99)𝑃𝐴⊥ (cid:176)(cid:109)𝐴(cid:43)𝐵(cid:190)𝐶𝐷 𝐸𝐹(cid:33)⊥(cid:50)(cid:43)(cid:190)𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷
(cid:118)(cid:31)∠(cid:190)𝐸(cid:307)𝑁(cid:102)𝐹 (cid:64)(cid:68)𝐸−𝐴𝐶=−𝐷 =1(cid:68) =90°(cid:68)(cid:171)(cid:99) =45°(cid:68)(cid:171)(cid:99) =45°(cid:68)
(cid:241) =
1 𝐴
=
𝐵𝐶
1
𝐷
(cid:68)(cid:171)(cid:99)
𝐴𝐵
=
𝐵𝐶2(cid:68) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐹𝐴𝐶
2 2
𝐴𝐹 𝐴𝐷 𝐹𝑁
(cid:118)Rt (cid:64)(cid:68)tan = = 2(cid:68)(cid:171)(cid:99)cos = 3(cid:68)
3
𝐸𝐹
△𝐸𝐹𝑁 ∠𝐸𝑁𝐹 𝐸𝑁 ∠𝐸𝑁𝐹
(cid:171)(cid:99)(cid:109)(cid:43)(cid:190) (cid:33)(cid:290)(cid:291)(cid:308)(cid:176) 3(cid:126)
3
𝐸−𝐴𝐶−𝐷
(cid:78)3(cid:79)(cid:117)(cid:118) (cid:33)(cid:64)(cid:55) (cid:239)(cid:240)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:15)(cid:185)(cid:128)(cid:229)(cid:10)
(cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:176)𝐴𝑃 (cid:68)(cid:171)(cid:99)𝑀 (cid:176) 𝐵𝐶(cid:33)𝐸𝑀(cid:64)⊥(cid:216)(cid:42)(cid:68)𝑃(cid:171)𝐴𝐵(cid:99) // ,
𝐴(cid:241)𝑃 // (cid:68)𝑀(cid:244) //𝐸𝑀,(cid:244)△𝑃𝐴𝐷(cid:147)(cid:43)(cid:68) 𝑀𝐸 𝐴𝐷
(cid:242)𝐴(cid:176)𝐷(cid:50)(cid:43)𝐵𝐶 𝑀(cid:50)𝐸(cid:43)𝐵𝐶 𝑀(cid:68),𝐸(cid:247),𝐵(cid:210),𝐶(cid:166)(cid:42)(cid:176) (cid:68)(cid:241) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99) 𝑃(cid:50)𝐴𝐵(cid:43)⊥ (cid:68)𝐴 𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:241) 𝐵𝐶(cid:50)⊥ (cid:43) 𝑃𝐴𝐵(cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
𝐵𝐶⊂ 𝐵𝐶𝐸𝑀 𝐵𝐶𝐸𝑀⊥ 𝑃𝐴𝐵
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)8(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:370)(cid:382)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:31)(cid:196)(cid:278)(cid:297) (cid:64)(cid:68)(cid:280)(cid:43) (cid:81)(cid:298)(cid:102)(cid:68) =
1 1 1 1 1
=4(cid:68) (cid:61)(cid:275)(cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:126) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴
1 1
𝑀,𝑁 𝐴 𝐵 ,𝐴𝐷
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) //(cid:50)(cid:43) (cid:108)
1
(2)(cid:178) 𝐴=𝑁60 (cid:68)(cid:57)𝐵(cid:40)𝐷𝑀(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:126)
1 1
∘
(cid:22)(cid:63)(cid:21)∠𝐵(cid:231)𝐴(cid:232)𝐷(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:270) =𝐴 𝑀(cid:68)𝑁(cid:256)⊥(cid:257)(cid:93)(cid:190)𝐷𝐷(cid:102)(cid:64)𝑀(cid:216)(cid:42)(cid:125)(cid:50)(cid:51)(cid:196)(cid:197)(cid:102)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:40)(cid:240) // (cid:68)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)
1
𝐴𝐶∩𝐵𝐷 𝐹 𝐴 𝑁 𝑀𝐹(cid:38)(cid:44)(cid:175)(cid:240)(cid:212)(cid:213)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:185)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:240) (cid:108)(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:240) (cid:108)(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:125)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)
1 1 1 1
(cid:38)(cid:44)(cid:175)(cid:240)(cid:212)(cid:213). 𝐷 𝑀⊥𝐴 𝑀 𝐷𝐷 ⊥𝐴 𝑀
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:286)(cid:287) (cid:68) = (cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68)
𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝐴𝐶∩𝐵𝐷 𝐹 𝑀𝐹,𝑁𝐹
(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:298)(cid:102)(cid:68) (cid:176) (cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:241) (cid:176) (cid:64)(cid:55)(cid:68)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 1 ∴𝐹 𝐵𝐷 𝑁 𝐴𝐷 1 1
// (cid:68) = (cid:68)(cid:241) // // (cid:68) = = (cid:68)
2 1 1 1 1 2 1 1 2
∴𝑁𝐹 𝐴𝐵 𝑁𝐹 𝐴𝐵 𝐴 𝑀 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐴 𝑀 𝐴 𝐵 𝐴𝐵
// (cid:68) = (cid:68) (cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:196)(cid:197)(cid:102)(cid:68)
1 1 1
∴𝐴 𝑀//𝑁𝐹(cid:68)𝐴(cid:241)𝑀 𝑁(cid:50)𝐹(cid:43)∴ (cid:68) 𝐴 𝑀𝐹(cid:50)𝑁(cid:43) (cid:68) //(cid:50)(cid:43) .
1 1 1
(cid:78)∴2𝐴(cid:79)𝑁(cid:286)(cid:287)𝑀𝐹 (cid:68)𝑀𝐹⊂ 𝐵𝐷𝑀 𝐴 𝑁⊄ 𝐵𝐷𝑀 ∴𝐴 𝑁 𝐵𝐷𝑀
1 1
𝐵 𝐷
=60 (cid:68) =60 (cid:68)(cid:241) = (cid:68) (cid:176)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∘ ∘
(cid:241)∵∠𝐵(cid:176)𝐴𝐷 (cid:64)(cid:55)(cid:68)∴∠𝐵 𝐴 𝐷 (cid:108) 𝐴 𝐵 𝐴 𝐷 ∴△𝐴 𝐵 𝐷
1 1 1 1
𝑀(cid:196)(cid:278)𝐴(cid:297)𝐵 ∴𝐷 𝑀⊥(cid:176)𝐴(cid:31)𝑀(cid:196)(cid:278)(cid:297)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:241)∵ 𝐴(cid:50)𝐵(cid:43)𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 (cid:68)𝐷 (cid:68)∴𝐷𝐷 ⊥ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
1 1 1 1 1 1 1
𝐴 𝑀⊂ 𝐴=𝐵 (cid:68)𝐶 𝐷 , ∴𝐷𝐷 (cid:50)⊥𝐴(cid:43)𝑀 (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1
∵𝐷𝐷 ∩𝐷(cid:50)𝑀(cid:43) 𝐷 (cid:68)𝐷𝐷(cid:50)𝐷(cid:43)𝑀⊂ 𝐷(cid:50)𝐷(cid:43)𝑀 ∴𝐴. 𝑀⊥ 𝐷𝐷 𝑀
1 1 1 1
(cid:22)∵(cid:248)𝐴 (cid:103)𝑀⊂8-1(cid:28)(cid:78)𝐴20𝑀2𝑁4·(cid:339)(cid:250)∴ ·(cid:228)(cid:253)𝐴(cid:254)𝑀(cid:255)𝑁(cid:79)⊥(cid:128)(cid:170)(cid:171)𝐷(cid:172)𝐷(cid:68)𝑀(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:31)(cid:190)(cid:307)(cid:102)(cid:68)(cid:247) // (cid:68) (cid:68) =2(cid:68)
= 3(cid:68) =1(cid:126) (cid:176)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)𝐵𝐶(cid:43)𝐷𝐸 (cid:126) 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐸𝐷⊥𝐶𝐷 𝐵𝐶
𝐶𝐷 𝐸𝐷 △𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐵𝐸⊥ 𝐵𝐶𝐷𝐸(1)(cid:42)(cid:157) (cid:281)(cid:81)(cid:373)(cid:117)(cid:118)(cid:97)(cid:55) (cid:68)(cid:239)(cid:240) //(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:178)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:375)(cid:137)(cid:41) (cid:55)(cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:108)(cid:178)(cid:203)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:375)(cid:137)(cid:41)(cid:15)(cid:185)(cid:108)
(2)(cid:53)(cid:54)(cid:64)𝐴𝐶(cid:34)(cid:97)(cid:355)(cid:55) (cid:68)(cid:383)(cid:148)𝐺 𝐷(cid:68)𝐺(cid:247) 𝐴𝐵𝐸=0(cid:126)(cid:57)(cid:55) (cid:33)(cid:384)(cid:385)𝐺(cid:160)(cid:105)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)𝑄(cid:274) (cid:33)(cid:64)𝐴𝑄(cid:55)⊥𝐵(cid:68)𝐸 (cid:33)𝑄(cid:64)𝐵(cid:55)⋅𝑄(cid:68)𝐶 (cid:286)(cid:287) (cid:68)𝑄 (cid:68) (cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:40)(cid:41) // (cid:68) // (cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:240)
(cid:149)(cid:50)(cid:43) //(cid:50)(cid:43) 𝐵(cid:68)𝐶(cid:237)(cid:175)(cid:240)𝐹(cid:149) 𝐴𝐶//(cid:50)(cid:43) 𝐺 (cid:108) 𝐷𝐺 𝐺𝐹 𝐷𝐹 𝐷𝐹 𝐵𝐸 𝐺𝐹 𝐴𝐵
(cid:78)2(cid:79)(cid:274)𝐺𝐹𝐷(cid:33)(cid:64)(cid:55)𝐴(cid:68)𝐵𝐸(cid:286)(cid:287) (cid:52) 𝐷(cid:68)𝐺(cid:237)(cid:175)(cid:40)𝐴(cid:41)𝐵𝐸 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:240)(cid:149) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:241) =0(cid:68)(cid:155)
(cid:55) (cid:118)(cid:99)𝐵𝐸(cid:176)(cid:31)(cid:358)𝐻(cid:33)(cid:359)(cid:65)(cid:50)𝐴(cid:43)𝐻 𝐶𝐻(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:281)(cid:68)(cid:237)𝐵𝐸(cid:55)⊥(cid:33)(cid:384)(cid:385)𝐴𝐻(cid:176)𝐶(cid:362)(cid:68)(cid:274) (cid:33)𝑄(cid:64)∈(cid:55) (cid:68)𝐴(cid:152)𝐻(cid:55)𝐶 (cid:141)𝑄𝐵/⋅/𝑄𝐶(cid:166) (cid:153)
(cid:55)𝑄(cid:68)(cid:155)𝐵𝐶 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:285)(cid:57)(cid:273)𝐴𝐻𝐶(cid:33)(cid:384)(cid:385)(cid:362)(cid:33)(cid:386)(cid:358)𝑄(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:387)(cid:57)(cid:273)(cid:384)(cid:385)𝐵(cid:160)𝐶. 𝑂 𝑂 𝑂𝑇 𝐶𝐻 𝐶𝐻
(cid:22)𝑇(cid:63)(cid:113)(cid:152)𝑂(cid:238)𝑇(cid:28)⊥(cid:78)1(cid:79)𝐴(cid:42)𝐻𝐶(cid:157) (cid:281)(cid:117)(cid:118)𝑄(cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:239)(cid:240) 𝑟//(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:15)(cid:185)(cid:128)(cid:229)(cid:10)
𝐴𝐶 𝐺 𝐷𝐺 𝐴𝐵𝐸
(cid:274) (cid:33)(cid:64)(cid:55) (cid:68) (cid:33)(cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68) (cid:68) (cid:68)
𝐵𝐶 𝐹 𝐴𝐶 1 𝐺 𝐷𝐺 𝐺𝐹 𝐷𝐹
(cid:242)(cid:176) // (cid:247) = = (cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:196)(cid:197)(cid:102)(cid:68)
2
𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐷𝐸𝐵𝐹
(cid:171)(cid:99) // (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) //(cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:241) 𝐷/𝐹/ 𝐵(cid:68)𝐸 𝐷𝐹(cid:50)⊄(cid:43) 𝐴𝐵(cid:68)𝐸 𝐵𝐸(cid:50)⊂(cid:43) 𝐴𝐵(cid:68)𝐸(cid:171)(cid:99) 𝐷//𝐹(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵(cid:68)𝐸
(cid:241)𝐺𝐹 𝐴𝐵 =𝐺𝐹(cid:68)⊄ 𝐴𝐵𝐸(cid:50)(cid:43)𝐴𝐵⊂ (cid:68)(cid:171)𝐴(cid:99)𝐵𝐸(cid:50)(cid:43) 𝐺/𝐹/(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵(cid:68)𝐸
(cid:241)𝐷𝐹∩𝐺(cid:50)𝐹(cid:43) 𝐹 (cid:68)𝐷𝐹(cid:171),𝐺(cid:99)𝐹⊂ //(cid:50)𝐺(cid:43)𝐹𝐷 (cid:68) 𝐺𝐹𝐷 𝐴𝐵𝐸
(cid:237)𝐷(cid:176)𝐺⊂(cid:42)(cid:157) 𝐺(cid:33)𝐹𝐷(cid:64)(cid:55)(cid:119)(cid:68)𝐷𝐺 //(cid:50)(cid:43)𝐴𝐵𝐸 .
(cid:78)𝐺2(cid:79)(cid:274) 𝐴(cid:33)𝐶(cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:286)(cid:287)𝐷𝐺 (cid:52) 𝐴(cid:68)𝐵𝐸
(cid:241) = 𝐵𝐸 = 12 𝐻 +( 3) 2 = 𝐴𝐻 2(cid:68) 𝐶𝐻 (cid:176)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68) (cid:68)
𝐶𝐵 𝐸=𝐶 (cid:68) (cid:50)(cid:43) △(cid:68)𝐴(cid:171)𝐵𝐸(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68) 𝐴𝐻⊥𝐵𝐸 𝐶𝐻⊥𝐵𝐸
𝐴𝐻∩𝐶𝐻 𝐻 𝐴𝐻,𝐶𝐻⊂ 𝐴𝐻𝐶 𝐵𝐸⊥ 𝐴𝐻𝐶(cid:241) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:241)𝐴𝑄⊥𝐵𝐸=0(cid:68)(cid:171)𝑄(cid:99)∈(cid:55) (cid:118)𝐴(cid:99)𝐻𝐶 (cid:176)(cid:31)(cid:358)(cid:33)(cid:359)(cid:281)(cid:68)
(cid:171)𝑄(cid:99)𝐵(cid:55)⋅𝑄(cid:118)𝐶 (cid:99) (cid:176)(cid:31)(cid:358)(cid:33)𝑄(cid:359)(cid:65)𝐵(cid:50)𝐶(cid:43) (cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:281)(cid:68)
(cid:237)(cid:55) (cid:33)𝑄(cid:384)(cid:385)𝐵(cid:176)𝐶(cid:362)(cid:68) 𝐴𝐻𝐶
(cid:274) 𝑄(cid:33)(cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:185) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:152)(cid:55) (cid:141) (cid:166) (cid:153)(cid:55) (cid:68)
(cid:155)𝐵𝐶 (cid:50)(cid:43)𝑂 (cid:68)𝐵𝐸⊥ 𝐴𝐻𝐶 𝑂 𝑂𝑇⊥𝐶𝐻 𝐶𝐻 𝑇
(cid:241)
𝑂𝑇⊥
= ( 3
𝐴
)
𝐻2𝐶
+( )2=2(cid:68)(cid:155) =
1
=
1
(cid:68)
2 2
(cid:270) 𝐵 (cid:359) 𝐸 (cid:33)(cid:386)(cid:358)(cid:176) (cid:68) 2 (cid:33) − (cid:384) 1 (cid:385)(cid:362)(cid:33)(cid:386)(cid:358) 𝑂 (cid:176) 𝑇 (cid:68) 𝐵 (cid:155) 𝐻 = 1 =1(cid:68) = 12 1 2 = 3(cid:68)
2 2 2
𝑅 𝑄 𝑟 𝑅 𝐵𝐶 𝑟 −
(cid:171)(cid:99)(cid:55) (cid:33)(cid:384)(cid:385)(cid:160)(cid:105)(cid:176)2 =2 × 3= 3 .
2
𝑄 π𝑟 π π
(cid:22)(cid:248)(cid:103)8-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:276)(cid:277)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:78)1(cid:79)(cid:172)(cid:68)(cid:118)(cid:307)(cid:102) (cid:64)(cid:68) // (cid:68) (cid:68)(cid:247)
= = = =2(cid:68)(cid:128)(cid:170)(cid:78)2(cid:79)(cid:314) (cid:328)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:315)(cid:316)(cid:68)𝐵(cid:239)𝐶𝐷(cid:240)𝐸(cid:50)(cid:43) 𝐵𝐶 (cid:65)𝐷𝐸(cid:50)(cid:43)𝐵𝐴⊥𝐷(cid:30)𝐸(cid:31)(cid:68) (cid:176)
𝐸(cid:33)𝐴(cid:64)(cid:55)𝐷(cid:126)𝐴 𝐴𝐵 2𝐶𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐸 𝑀 𝐶𝐸
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) //(cid:43)
(2)(cid:57)(cid:40)(cid:10) 𝐵𝐶 𝐷(cid:108)𝐴𝐸;
(3)(cid:57)(cid:55) (cid:149)𝐴(cid:50)𝑀(cid:43)⊥𝐵𝐸(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)𝐷(cid:232)(cid:28)(cid:78)𝐵1(cid:79)𝐶𝐸(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:42)(cid:50)(cid:51)(cid:237)(cid:175)(cid:57)(cid:40)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:240)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:95)(cid:243)(cid:185)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:237)(cid:175)(cid:57)(cid:40)(cid:108)(cid:78)3(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:116)(cid:282)(cid:283)(cid:192)(cid:237)(cid:175)(cid:57)(cid:63).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79) (cid:68) (cid:68)
(cid:241) (cid:50)(cid:43) (cid:68)∵(cid:247)𝐵𝐶∥𝐷𝐸(cid:50)(cid:43)𝐵𝐶∥𝐷(cid:68)𝐴
∵𝐵/𝐶/(cid:50)⊄(cid:43) 𝐷𝐴(cid:108)𝐸 𝐵𝐶⊂ 𝐷𝐴𝐸
∴(cid:78)𝐵2𝐶(cid:79) (cid:50)(cid:43)𝐷𝐴𝐸 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:185)(cid:154)(cid:123)(cid:132)(cid:269)(cid:175)(cid:123)(cid:68) (cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)
=∵ (cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:50)⊥ (cid:43) 𝐴𝐵(cid:68)𝐸 (cid:50)(cid:43) (cid:68) 𝐷𝐴⊥𝐴𝐵,𝐴𝐵⊥𝐴𝐸,𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷∩
𝐴𝐵𝐸 𝐴(cid:50)𝐵(cid:43)𝐴𝐸⊂ 𝐴𝐵(cid:50)𝐸(cid:43)𝐵𝐶⊂(cid:126) 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:274)∴𝐴𝐸(cid:33)⊥(cid:64)(cid:55)𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:286)𝐷(cid:287),𝐶𝐵⊥(cid:52) 𝐴(cid:68)𝐵𝐸
(cid:118)𝐸𝐵 (cid:64)(cid:68)𝑁 =𝐴𝑁(cid:68)𝑀𝑁(cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)
△𝐴𝐵𝐸 (cid:126) ∵𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝑁 𝐸𝐵
(cid:118)∴𝐴𝑁⊥𝐵(cid:64)𝐸 (cid:68) = = //
(cid:241)△𝐸𝐵𝐶(cid:50)(cid:43) ∵𝐸，𝑀 𝑀𝐶,𝐸𝑁(cid:50)(cid:43)𝑁𝐵,∴ 𝑀𝑁 𝐵(cid:50)𝐶,(cid:43)
∵𝐶𝐵⊥ (cid:68)𝐴(cid:241)𝐵𝐸 ∴𝑀𝑁⊥= 𝐴𝐵𝐸, 𝐵𝐸(cid:50)⊂(cid:43) 𝐴𝐵,𝐸,
∴𝑀𝑁⊥(cid:50)𝐵𝐸(cid:43) ∵𝐴(cid:68)𝑁(cid:241)∩𝑀𝑁 𝑁(cid:50),(cid:43)𝐴𝑁,𝑀𝑁⊂ 𝐴𝑀𝑁
∴𝐵𝐸⊥ 𝐴𝑀𝑁 ∵𝐴𝑀⊂ 𝐴𝑀𝑁,∴𝐴𝑀⊥𝐵𝐸.
(cid:78)3(cid:79)(cid:185)(cid:78)2(cid:79) (cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) ,
𝐴𝐸⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐶𝐵⊥ 𝐴𝐵𝐸 1×1×2×2
(cid:270)(cid:55) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) (cid:68)(cid:185) = (cid:240) = = 2 = 2(cid:68)
1×1× 22 22
𝑆△𝐵𝐶𝐷𝐴𝐸 2
(cid:244)(cid:55) 𝐷 (cid:149)(cid:50)(cid:43) 𝐵𝐶𝐸 (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) ℎ 2. 𝑉𝐷−𝐵𝐶𝐸 𝑉𝐸−𝐵𝐶𝐷 ℎ 𝑆△𝐵𝐶𝐸 +
(cid:22)(cid:248)𝐷(cid:103)8-3(cid:28)(cid:78)𝐵𝐶2𝐸024·(cid:84)(cid:295)(cid:296)(cid:388)(cid:389)·(cid:97)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:204)(cid:94)(cid:282) (cid:68)(cid:278)(cid:160)(cid:176)2(cid:126)
1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:126)
1 1 1
𝐴 𝐶⊥𝐵 𝐷(2)(cid:178)(cid:50)(cid:43) /(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:247)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:33)(cid:278)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:268)(cid:390)(cid:43)(cid:43)(cid:283)(cid:391)(cid:333)(cid:119)(cid:68)(cid:118)(cid:171)(cid:346)(cid:170)(cid:102)(cid:281)(cid:191)(cid:273)(cid:390)(cid:43)(cid:170)(cid:102)(cid:78)(cid:203)
1 1
(cid:392)(cid:137)(cid:273)(cid:191)(cid:192)𝛼(cid:125)(cid:15)(cid:185)𝐴(cid:79)𝐵(cid:68)𝐷(cid:69)(cid:57)(cid:273)(cid:390)(cid:43)𝛼(cid:43)(cid:283)(cid:33)(cid:391)(cid:333)(cid:308)(cid:126)
(3)(cid:154)(cid:123)(cid:50)(cid:43) /(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:270)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:33)(cid:278) (cid:52) (cid:52) (cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:52) (cid:52) (cid:68)(cid:268)(cid:390)(cid:43) (cid:33)(cid:43)(cid:283)(cid:391)
1 1 1 1 1
(cid:333)(cid:119)(cid:68)(cid:57)(cid:55)𝛼(cid:149)(cid:50)(cid:43)𝐴𝐵 (cid:33)𝐷(cid:150)(cid:151)(cid:126) 𝛼 𝐴𝐵 𝐵𝐵 𝐵 𝐶 𝐸 𝐹 𝐺 𝐸𝐹𝐺
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)𝐹(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:256)𝐸𝐺(cid:257)𝐶(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:240)(cid:212)(cid:129)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:43)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:110)(cid:204)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:33)(cid:43)(cid:283)(cid:7)(cid:103)(cid:175)(cid:240)(cid:212)(cid:129)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:256)(cid:257)(cid:116)(cid:283)(cid:192)(cid:57)(cid:55)(cid:149)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:175)(cid:240)(cid:212)(cid:129).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:286)(cid:287) (cid:68) (cid:68)(cid:242)(cid:176) (cid:81)(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:176) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)𝐴(cid:99)𝐶 𝐴 𝐶 . 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 ⊥ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:241)(cid:242)𝐵(cid:176)(cid:196)𝐷(cid:197)⊂(cid:102) 𝐴 𝐵 𝐶(cid:81)𝐷(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68)𝐶(cid:171)𝐶 (cid:99)⊥𝐵 𝐷 (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:242)(cid:176) 𝐴 𝐵= 𝐶 (cid:68)𝐷(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43)𝐴 𝐶 ⊥(cid:68)𝐵(cid:242)𝐷(cid:176) (cid:50)(cid:43) C (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)𝐴 𝐶 ∩𝐶𝐶 (cid:126)𝐶 𝐵 𝐷 ⊥ 𝐴 𝐶 𝐶 𝐴 𝐶⊂ 𝐴 𝐶
1 1 1
𝐴 𝐶⊥𝐵 𝐷
(cid:78)2(cid:79)(cid:390)(cid:43)(cid:170)(cid:102)(cid:68)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:33)(cid:301)(cid:197)(cid:102)(cid:126)(cid:256)(cid:257)(cid:21)(cid:131)(cid:123)(cid:390)(cid:43)(cid:43)(cid:283)(cid:391)(cid:333)(cid:119)(cid:68)(cid:170)(cid:102)(cid:176)(cid:197)(cid:160)(cid:176) 2(cid:33)
1
(cid:204)(cid:301)(cid:197)(cid:102)(cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:391)(cid:333)(cid:33)(cid:390)(cid:43)(cid:43)(cid:283)(cid:176) =6× × 2× 2×sin60°(cid:68)(cid:171)(cid:99) =3 3(cid:126)
2
𝑆 𝑆
(cid:78)3(cid:79)(cid:242)(cid:176)(cid:50)(cid:43) /(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:268)(cid:390)(cid:43) (cid:33)(cid:43)(cid:283)(cid:391)(cid:333)(cid:119)(cid:68) (cid:52) (cid:52) (cid:61)(cid:275)(cid:81)
1 1
(cid:278) (cid:52) (cid:52) 𝛼 (cid:33)(cid:64)𝐴(cid:55)𝐵(cid:68)𝐷(cid:107)(cid:123) = 𝐸𝐹𝐺 (cid:68) 𝐸 𝐹 𝐺
1 1 1
𝐴𝐵 𝐵𝐵 3𝐵 𝐶 𝑉𝐹−𝐸𝐺𝐶 𝑉𝐸−𝐹𝐺𝐶
(cid:107)(cid:57) = (cid:68)(cid:242)(cid:176)(cid:55) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176)1(cid:68)
2
𝑆△𝐹𝐺𝐶 𝐸 𝐹𝐺𝐶1 3 1
(cid:171)(cid:99) = = × ×1= (cid:126)
3 2 2
𝑉𝐹−𝐸𝐺𝐶 𝑉𝐸−𝐹𝐺𝐶
(cid:107)(cid:57) = 5(cid:68) = 5(cid:68) = 6(cid:68)(cid:171)(cid:99) = 1 × 6× 14= 21(cid:126)
2 2 2
𝐸𝐶 𝐺𝐶 𝐸𝐺 𝑆△𝐸𝐺𝐶
(cid:270) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) (cid:68)
(cid:171) 𝐹 (cid:99) 1 × 𝐸𝐺𝐶 × = 1 × 𝑑21× = 1 (cid:68)(cid:171)(cid:99) = 21(cid:126)
3 3 2 2 7
𝑆△𝐸𝐺𝐶 𝑑 𝑑 𝑑
(cid:171)(cid:99) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) 21(cid:126)
7
𝐹 𝐸𝐺𝐶
(cid:97)(cid:52)(cid:72)(cid:20)(cid:21)
1(cid:126)(cid:78)2024·(cid:251)(cid:393)(cid:49)(cid:394)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:270) (cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:159)(cid:203)(cid:181)(cid:50)(cid:43)(cid:68) (cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:132)(cid:203)(cid:181)(cid:31)(cid:42)(cid:68)(cid:155) // (cid:33)(cid:97)(cid:159)(cid:382)(cid:61)(cid:132)(cid:269)(cid:81)
(cid:78) (cid:79) 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝛼 𝛽
A(cid:126) // (cid:68) // (cid:68) B(cid:126) (cid:68) (cid:68)
C(cid:126)𝑎 𝛼(cid:68)𝑏 𝛽(cid:68)𝑎∥𝑏 D(cid:126)𝑎/⊥/𝛼(cid:68)𝑏/⊥/𝛽(cid:68)𝑎(cid:65)⊥𝑏(cid:139)(cid:166)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)𝑎⊥(cid:232)𝛼(cid:28)(cid:212)𝑏(cid:49)⊥𝛽(cid:382)(cid:61)𝑎(cid:132)∥(cid:269)𝑏 (cid:33)(cid:44)(cid:127)(cid:68)(cid:285)(cid:202)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:64)𝑎(cid:42)(cid:42)𝛼 (cid:52)𝑏(cid:42)(cid:43)𝛽(cid:52)𝑎(cid:43)(cid:43)𝑏(cid:54)(cid:33)(cid:3)(cid:32)(cid:97)(cid:97)(cid:38)(cid:39)(cid:237)(cid:175).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:233)(cid:153)(cid:20)(cid:260)A(cid:68)(cid:268)(cid:383)(cid:148) (cid:68) (cid:68) (cid:119)(cid:68) (cid:175)(cid:263)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:128)(cid:170)(cid:10)(cid:27)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:395)(cid:195)(cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:27)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:395)(cid:195)(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:244)A(cid:245)𝑎(cid:246)∥(cid:108)𝛼 𝑏∥𝛽 𝑎∥𝑏 𝛼,𝛽 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝛼
𝐴𝐸𝐹𝐷 𝛽
(cid:233)(cid:153)(cid:20)(cid:260)B(cid:68)(cid:268)(cid:383)(cid:148) (cid:68) (cid:68) (cid:119)(cid:68) (cid:175)(cid:263)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:128)(cid:170)(cid:10)(cid:27)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:395)(cid:195)(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:27)(cid:196)(cid:197)(cid:102)
(cid:395)(cid:195)(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:244)B(cid:245)𝑎(cid:246)⊥(cid:108)𝛼 𝑏⊥𝛽 𝑎⊥𝑏 𝛼,𝛽 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝛼 𝐴𝐸𝐹𝐷
𝛽(cid:233)(cid:153)(cid:20)(cid:260)C(cid:68)(cid:242)(cid:176) (cid:68) // (cid:68)(cid:241) (cid:68)(cid:171)(cid:99) // (cid:68)(cid:244) (cid:68) (cid:68) (cid:81) // (cid:33)(cid:97)(cid:159)(cid:382)(cid:61)(cid:132)(cid:269)(cid:68)
(cid:244)C(cid:204)(cid:205)(cid:108) 𝑎⊥𝛼 𝑎 𝑏⇒𝑏⊥𝛼 𝑏⊥𝛽 𝛼 𝛽 𝑎⊥𝛼 𝑏⊥𝛽 𝑎∥𝑏 𝛼 𝛽
(cid:233)(cid:153)(cid:20)(cid:260)D(cid:68)(cid:268)(cid:383)(cid:148) // (cid:68) // (cid:68) (cid:65) (cid:139)(cid:166)(cid:119)(cid:68) (cid:175)(cid:263)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:128)(cid:170)(cid:10)(cid:27)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:395)(cid:195)(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:27)(cid:196)(cid:197)(cid:102)
(cid:395)(cid:195)(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:244)𝑎D(cid:245)𝛼(cid:246)𝑏(cid:108)𝛽 𝑎 𝑏 𝛼,𝛽 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝛼
𝐴𝐸𝐹𝐷 𝛽
(cid:244)(cid:20)(cid:10)C.
2(cid:126)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:250)(cid:251)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:158)(cid:81)(cid:97)(cid:159)(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:396)(cid:397)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:156)(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:64)(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81)
(cid:78) (cid:79)
A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)𝐴𝐵(cid:232)∥(cid:28)𝐻(cid:328)𝐺 (cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:33)(cid:396)𝐶(cid:397)𝐺(cid:170)⊥𝐵(cid:82)𝐻(cid:23)(cid:198)(cid:49)(cid:189)(cid:204)(cid:94)(cid:282)𝐶(cid:68)𝐺⊥(cid:233)𝐷(cid:20)𝐻(cid:260)(cid:398)(cid:159)(cid:61)(cid:62)(cid:68)(cid:38)𝐴(cid:39)𝐶∥(cid:107)𝐷(cid:240)𝐺(cid:234)(cid:34)A(cid:20)(cid:260)(cid:204)(cid:205).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:328)(cid:396)(cid:397)(cid:170)(cid:82)(cid:23)(cid:198)(cid:49)(cid:189)(cid:204)(cid:94)(cid:282). (cid:367)(cid:162) . (cid:242)(cid:169)A(cid:20)(cid:260)(cid:204)(cid:205).
𝐴𝐵∥𝐻𝐺(cid:185)(cid:170)(cid:107)(cid:240) (cid:68)(cid:367)(cid:162) (cid:65) (cid:171)(cid:189)(cid:190)(cid:399)(cid:31)(cid:190)(cid:68)(cid:242)(cid:169)(cid:201)(cid:43)(cid:31)(cid:42) (cid:65) (cid:171)(cid:189)(cid:190)(cid:206)(cid:399)(cid:31)(cid:190)(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:203)(cid:189)
(cid:365). (cid:242)(cid:169)𝐶B𝐺(cid:52)∥C𝐷(cid:20)𝐻(cid:260)(cid:203)(cid:204)𝐷(cid:205)𝐻. 𝐵𝐻 𝐶𝐺 𝐵𝐻 𝐶𝐺⊥𝐵𝐻
(cid:185)(cid:170)(cid:107)(cid:240) (cid:68)(cid:367)(cid:162) (cid:65) (cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:242)(cid:169) (cid:203)(cid:189)(cid:365). (cid:242)(cid:169)D(cid:20)(cid:260)(cid:203)(cid:204)(cid:205).
(cid:244)(cid:20)(cid:10)A.𝐴𝐶∥𝐸𝐺 𝐸𝐺 𝐷𝐺 𝐴𝐶∥𝐷𝐺
3(cid:126)(cid:78)2024·(cid:300)(cid:351)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:403)·(cid:404)(cid:405)(cid:406)(cid:81)(cid:407)(cid:408)(cid:333)(cid:17)(cid:409)(cid:340)(cid:410)(cid:171)(cid:411)(cid:33)(cid:97)(cid:294)(cid:412)(cid:141).(cid:210)(cid:229)(cid:413)(cid:176)(cid:10)“(cid:414)(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:414)(cid:361)(cid:418)(cid:68)
(cid:414)(cid:361)(cid:51)(cid:419)(cid:68)(cid:414)(cid:415)(cid:420)(cid:419)(cid:421)(cid:68)(cid:421)(cid:422)(cid:203)(cid:423)(cid:424)(cid:422)(cid:425)(cid:68)(cid:357)(cid:60)(cid:426)(cid:427)(cid:428)(cid:60)(cid:429)”.(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:37)(cid:128)(cid:328)(cid:414)(cid:91)(cid:141)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:414)(cid:361)(cid:33)(cid:418)
(cid:232)(cid:52)(cid:416)(cid:417)(cid:430)(cid:52)(cid:416)(cid:417)(cid:431)(cid:91)(cid:141)(cid:81)(cid:31)(cid:42).(cid:167)(cid:168)(cid:418)(cid:232)(cid:125)(cid:414)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:68)(cid:416)(cid:417)(cid:432)(cid:433)(cid:119)(cid:68)(cid:416)(cid:417)(cid:431)(cid:65)(cid:414)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:416)(cid:417)(cid:430)
(cid:65)(cid:414)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51).(cid:167)(cid:168)(cid:268)(cid:420)(cid:419)(cid:118)(cid:434)(cid:416)(cid:417)(cid:33)(cid:152)(cid:238)(cid:64)(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:137)(cid:192)(cid:245)(cid:246)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126)(cid:416)(cid:417)(cid:430)(cid:65)(cid:414)(cid:43)(cid:435)(cid:436)(cid:50)(cid:51)
B(cid:126)(cid:416)(cid:417)(cid:430)(cid:65)(cid:418)(cid:232)(cid:435)(cid:436)(cid:30)(cid:31)
C(cid:126)(cid:416)(cid:417)(cid:431)(cid:65)(cid:414)(cid:43)(cid:435)(cid:436)(cid:30)(cid:31)
D(cid:126)(cid:416)(cid:417)(cid:431)(cid:65)(cid:418)(cid:232)(cid:435)(cid:436)(cid:30)(cid:31)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:256)(cid:257)(cid:154)(cid:123)(cid:132)(cid:269)(cid:212)(cid:49)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:125)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:240)(cid:212)(cid:213)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:367)(cid:162)(cid:68)(cid:118)(cid:434)(cid:416)(cid:417)(cid:33)(cid:152)(cid:238)(cid:64)(cid:68)(cid:416)(cid:417)(cid:430)(cid:65)(cid:414)(cid:43)(cid:435)(cid:436)(cid:50)(cid:51)(cid:68)
(cid:437)(cid:65)(cid:418)(cid:232)(cid:171)(cid:189)(cid:33)(cid:190)(cid:118)(cid:248)(cid:16)
(cid:416)(cid:417)(cid:431)(cid:65)(cid:414)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:244)(cid:206)(cid:65)(cid:418)(cid:232)(cid:435)(cid:436)(cid:30)(cid:31)(cid:126)
(cid:244)(cid:20)(cid:10)B(cid:126)
4(cid:126)(cid:78)2024·(cid:438)(cid:370)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123)m(cid:68)n(cid:81)(cid:165)(cid:132)(cid:203)(cid:82)(cid:49)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:159)(cid:203)(cid:82)(cid:49)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81)
(cid:78) (cid:79) 𝛼,𝛽
A(cid:126)(cid:178) // // // (cid:68)(cid:155) //
B(cid:126)(cid:178)𝑚 𝛼,𝑛 𝛽,𝛼 /𝛽/ //𝑚(cid:68)𝑛(cid:155) //
C(cid:126)(cid:178)𝑚⊂𝛼,𝑛/⊂/𝛼,𝑚 𝛽(cid:68),𝑛(cid:155)𝛽 𝛼 𝛽
𝑚⊥𝛼,𝑚 𝑛,𝛼⊥𝛽 𝑛⊥𝛽D(cid:126)(cid:178) (cid:68)(cid:155)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)𝑚(cid:28)⊥(cid:202)𝛼,𝑛(cid:27)⊥(cid:53)𝛽(cid:54),𝑚(cid:42)⊥(cid:42)𝑛(cid:33)(cid:3)𝛼(cid:32)⊥(cid:52)𝛽(cid:43)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:125)(cid:45)(cid:46)(cid:398)(cid:97)(cid:38)(cid:44)(cid:318)(cid:20)(cid:260)(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:240)(cid:273)(cid:212)
(cid:213).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:233)(cid:153)A(cid:68)(cid:178) // (cid:68) // (cid:68)(cid:155) // (cid:215) (cid:68)(cid:155)m(cid:68)n(cid:139)(cid:166)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:201)(cid:43)(cid:133)(cid:34)(cid:175)(cid:263)(cid:68)A(cid:245)(cid:246)(cid:108)
(cid:233)(cid:153)B(cid:68)(cid:178) 𝑛// 𝛽 //𝛼 (cid:68)𝛽(cid:155) (cid:65)𝑛 (cid:139)𝛼(cid:166)(cid:215)𝑛⊂(cid:50)𝛼(cid:51)(cid:68)B(cid:245)(cid:246)(cid:108)
(cid:233)(cid:153)C(cid:68)(cid:178)𝑚⊂𝛼,𝑛/⊂/𝛼(cid:68),𝑚(cid:155)𝛽,𝑛 (cid:68)𝛽(cid:241) 𝛼 (cid:68)𝛽 (cid:155) // (cid:215) (cid:68)C(cid:245)(cid:246)(cid:108)
(cid:233)(cid:153)D(cid:68)(cid:185)𝑚⊥𝛼,𝑚 𝑛(cid:68)(cid:240)𝑛/⊥/𝛼(cid:215) 𝛼⊥(cid:68)𝛽(cid:178) /𝑛/ (cid:68)𝛽(cid:155)𝑛(cid:117)⊂(cid:118)𝛽(cid:152) (cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:65) (cid:139)(cid:166)(cid:68)
(cid:439)(cid:166)(cid:42)(cid:176) (cid:68)𝑚(cid:155)⊥/𝛼/,𝑚(cid:68)⊥(cid:243)𝑛 𝑛(cid:68)(cid:153)𝛼(cid:81)𝑛⊂𝑎(cid:68) 𝑛 (cid:108)𝛼(cid:178) (cid:68)(cid:243)𝑛 (cid:68)(cid:155)𝛼 (cid:68)
(cid:242)(cid:169) 𝑙(cid:68)D(cid:204)𝑛 (cid:205)𝑙. 𝑛⊥𝛽 𝑙⊥𝛽 𝛼⊥𝛽 𝑛⊂𝑎 𝑛⊥𝛽 𝛼⊥𝛽
(cid:244)(cid:20)𝛼(cid:10)⊥D𝛽.
5(cid:126)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:440)(cid:441)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:118)(cid:204)(cid:94)(cid:282) (cid:64)(cid:68)E(cid:68)F(cid:61)(cid:275)(cid:81) (cid:68) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:155)(cid:78) (cid:79)
1 1 1 1 1 1
A(cid:126) // 𝐴𝐵𝐶B𝐷(cid:126)−𝐴 𝐵/𝐶/(cid:50)𝐷(cid:43)BCE 𝐷𝐷 𝐵𝐶
1
C(cid:126)𝐸𝐹 𝐵𝐷 D(cid:126)𝐹𝐷 (cid:50)(cid:43)
1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)𝐸𝐹(cid:232)⊥(cid:28)𝐵(cid:233)𝐶 (cid:153)A(cid:68)(cid:137)(cid:41) (cid:201)(cid:43)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:108)𝐴(cid:233)𝐹(cid:153)⊥ B(cid:68)(cid:137)𝐵𝐶(cid:41)𝐶(cid:50)𝐵(cid:43) //(cid:50)(cid:43) (cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:108)(cid:233)(cid:153)C(cid:68)
1
(cid:175)(cid:99)(cid:27)(cid:334)(cid:40)(cid:192)(cid:442)(cid:273)(cid:337)(cid:338)(cid:68)(cid:95)𝐸(cid:243)𝐹(cid:38),𝐵(cid:39)𝐷(cid:108)(cid:233)(cid:153)D(cid:68)(cid:367)(cid:162)(cid:203)(cid:30)(cid:31). 𝐵𝐶𝐸 𝐺𝐻𝐷
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:233)(cid:153)A(cid:68)
(cid:270) (cid:176) (cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:155) // (cid:68)(cid:437) (cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:201)(cid:43)(cid:68)(cid:244)A(cid:245)(cid:246)(cid:108)
1
(cid:233)(cid:153)𝐺 B𝐵(cid:68)𝐵(cid:270) (cid:33)(cid:64)𝐸(cid:55)𝐺(cid:176)𝐵H𝐷(cid:68)(cid:155) 𝐸𝐺/,/𝐸𝐹 (cid:68) // 𝐸(cid:68)𝐹,𝐵𝐷
1 1
(cid:242)(cid:176) (cid:50)𝐶(cid:43)𝐶 (cid:68) (cid:50)(cid:43)𝐵𝐶 (cid:68)𝐺𝐻 𝐵𝐸(cid:50)(cid:43)𝐺𝐷 (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1
𝐺𝐻⊄ 𝐵𝐸𝐶 𝐵𝐶⊂ 𝐵𝐸𝐶 𝐺𝐷 ⊄ 𝐵𝐸𝐶 𝐵𝐸⊂ 𝐵𝐸𝐶
(cid:171)(cid:99) //(cid:50)(cid:43) (cid:68) //(cid:50)(cid:43) (cid:68)
1
𝐺𝐻 𝐵𝐸𝐶 𝐺𝐷 𝐵𝐸𝐶(cid:241)(cid:242)(cid:176) = (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1
(cid:244)(cid:50)(cid:43)𝐺𝐻∩//𝐺(cid:50)𝐷(cid:43) 𝐺,𝐺𝐻(cid:68),𝐺𝐷 ⊂ 𝐺𝐻𝐷
1
(cid:241) 𝐵𝐶(cid:50)𝐸(cid:43) 𝐺(cid:68)𝐻𝐷(cid:244) //(cid:50)(cid:43)BCE(cid:68)(cid:20)(cid:260)B(cid:204)(cid:205)(cid:126)
1 1 1
(cid:233)(cid:153)𝐹𝐷C(cid:68)⊂(cid:118) 𝐺𝐻𝐷 (cid:64)(cid:68)𝐹𝐷 (cid:68) = (cid:68)(cid:244)EF(cid:65) (cid:203)(cid:175)(cid:263)(cid:30)(cid:31)(cid:78)(cid:373)(cid:155) (cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:61) (cid:68)(cid:70)(cid:240)(cid:149)
1 1 1 1 1
= (cid:68)(cid:158)△(cid:65)𝐸𝐵𝐶 𝐵𝐸(cid:337)≠(cid:338)𝐸(cid:79)𝐶(cid:68)C𝐵(cid:20)𝐹(cid:260)𝐹(cid:245)𝐶(cid:246)(cid:126) 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐵𝐶
1 1
(cid:233)𝐸𝐵(cid:153)D𝐸(cid:68)𝐶 𝐵𝐸≠𝐸𝐶
(cid:107)(cid:123) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:241) = (cid:68)(cid:244)D(cid:20)(cid:260)(cid:245)(cid:246)(cid:126)
1 1
(cid:244)(cid:20)(cid:10)𝐴𝐵B⊥. 𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐴𝐵∩𝐴𝐹 𝐴
6(cid:126)(cid:78)2024·(cid:300)(cid:351)(cid:443)(cid:370)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:204)(cid:94)(cid:282) (cid:61)(cid:275)(cid:81) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:155)(cid:78) (cid:79)
1 1 1 1 1 1
A(cid:126) (cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ,𝑀,𝑁 𝐴 𝐷,𝐷 𝐵
1 1
B(cid:126)𝐴 𝐷 ∥ 𝐷 𝐵,𝑀𝑁 ∥(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵𝐶𝐷
1 1 1 1
C(cid:126)𝐴 𝐷 ∥ 𝐷 𝐵,𝑀 𝑁⊥(cid:50)(cid:43) 𝐵𝐵 𝐷 𝐷
1 1
D(cid:126)𝐴 𝐷⊥𝐷 𝐵,𝑀𝑁 ∥(cid:50)(cid:43)𝐴𝐵𝐶𝐷
1 1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)𝐴(cid:232)𝐷(cid:28)⊥(cid:193)𝐷(cid:152)𝐵,(cid:40)𝑀𝑁(cid:41)⊥ 𝐵(cid:43)𝐵 𝐷 𝐷(cid:175)(cid:240) (cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:444)(cid:445)AB(cid:68)(cid:285)(cid:202)(cid:27) // (cid:40)(cid:41) (cid:50)(cid:43)
1 1 1 1
(cid:99)(cid:110)(cid:444)(cid:445)D(cid:237)(cid:175). 𝐴 𝐷⊥ 𝐴𝐵𝐷 𝐴 𝐷⊥𝐷 𝐵 𝑀𝑁 𝐴𝐵 𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:185)(cid:154)(cid:123) (cid:43) (cid:68) (cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1
(cid:155) (cid:68)(cid:241) 𝐴𝐵⊥ (cid:68)𝐴𝐷𝐷 𝐴 𝐴=𝐷(cid:68)⊂ 𝐴𝐷𝐷 𝐴(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99)𝐴𝐵⊥𝐴 𝐷(cid:43) 𝐴𝐷(cid:68)⊥(cid:241)𝐴 𝐷 (cid:43)𝐴𝐵∩𝐴(cid:68)𝐷(cid:171)(cid:99)𝐴 𝐴𝐵,𝐴𝐷 (cid:68)⊂(cid:444)(cid:445)𝐴𝐵A𝐷B(cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:41)(cid:367)𝐴 𝐷(cid:61)⊥(cid:275)(cid:176)𝐴𝐵𝐷 𝐵(cid:33)𝐷(cid:64)(cid:55)𝐴(cid:68)𝐵𝐷(cid:171)(cid:99) /𝐴/ 𝐷(cid:68)⊥𝐷 𝐵
1 1
(cid:241) 𝑀,𝑁(cid:43) 𝐴(cid:68)𝐷 ,𝐵𝐷(cid:43) (cid:68) 𝑀𝑁 𝐴𝐵
(cid:171)𝑀(cid:99)𝑁⊄ 𝐴𝐵(cid:50)𝐶(cid:43)𝐷 𝐴𝐵⊂(cid:68)C𝐴(cid:204)𝐵(cid:205)𝐶𝐷(cid:108)
(cid:178) 𝑀𝑁(cid:50)∥(cid:43) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:68)(cid:155)(cid:392)(cid:34) (cid:68)(cid:241) // (cid:68)
1 1
(cid:171)𝑀(cid:99)𝑁⊥ 𝐵(cid:68)𝐵(cid:41)𝐷(cid:367)𝐷(cid:203)(cid:189)(cid:365)(cid:68)D𝑀(cid:245)𝑁(cid:246)⊥.𝐵𝐷 𝑀𝑁 𝐴𝐵
(cid:244)(cid:20)(cid:10)𝐴𝐵C⊥. 𝐵𝐷7(cid:126)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:292)(cid:293)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:81)(cid:362)(cid:297)(cid:33)(cid:446)(cid:390)(cid:43)(cid:68) (cid:81)(cid:280)(cid:43)(cid:362)(cid:447)(cid:281)(cid:201)(cid:153) (cid:68) (cid:33)(cid:97)(cid:55)(cid:68)(cid:155)
(cid:229)(cid:43)(cid:212)(cid:213)(cid:64)(cid:245)(cid:246)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴 𝐵
A(cid:126)
B(cid:126)𝐴𝐸/⊥/(cid:50)𝐶𝐸(cid:43)
C(cid:126)𝐵(cid:50)𝐶(cid:43) 𝐴𝐷(cid:50)𝐸(cid:43)
D(cid:126) 𝐴(cid:50)𝐷𝐸(cid:43)⊥ 𝐵𝐶𝐸
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)𝐷𝐸(cid:232)⊥(cid:28)(cid:185)(cid:132)𝐵(cid:269)𝐶𝐸(cid:68)(cid:212)(cid:49)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:40)(cid:41) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:285)(cid:40)(cid:41) (cid:68)(cid:38)(cid:39)A(cid:68)
(cid:185) (cid:68)(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:40)(cid:41) //(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐸(cid:68)⊥(cid:38)(cid:39)B𝐵(cid:68)𝐶𝐸 𝐴𝐸⊥𝐶𝐸
(cid:185)𝐵𝐶∥𝐴(cid:50)𝐷(cid:43) (cid:68)(cid:212)(cid:49)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:44)(cid:44)𝐵𝐶(cid:15)(cid:40)(cid:41)(cid:50)𝐴(cid:43)𝐷𝐸 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:38)(cid:39)C(cid:68)
(cid:270)𝐴𝐸⊥(cid:50)(cid:43)𝐵𝐶𝐸(cid:68)(cid:212)(cid:49)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:40) (cid:68)𝐴(cid:303)𝐷𝐸(cid:273)⊥(cid:337)(cid:338)(cid:68)𝐵(cid:38)𝐶𝐸(cid:39)D.
(cid:22)𝐷(cid:63)𝐸(cid:113)⊥(cid:152)(cid:238)(cid:28)𝐵(cid:242)𝐶𝐸(cid:176)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:81)(cid:362)(cid:297)(cid:33)(cid:446)𝐷(cid:390)𝐸(cid:43)∥𝐴(cid:68)𝐸(cid:155)(cid:42)(cid:157) (cid:81)(cid:31)(cid:358)(cid:68) (cid:133)(cid:81)(cid:448)(cid:42)(cid:126)
(cid:241) (cid:81)(cid:280)(cid:43)(cid:362)(cid:447)(cid:281)(cid:201)(cid:153) 𝐴(cid:33)𝐵(cid:97)𝐶𝐷(cid:55)(cid:68) 𝐴𝐵 𝐵𝐶,𝐴𝐷
(cid:153)𝐸(cid:81)(cid:240) . 𝐴,𝐵
(cid:243) 𝐴(cid:50)𝐸(cid:43)⊥𝐵𝐸 (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:155) .
(cid:242)𝐵(cid:176)𝐶⊥ 𝐴＝𝐵𝐸(cid:68)𝐴𝐸⊂ (cid:50)𝐴(cid:43)𝐵𝐸 (cid:68)𝐵𝐶⊥𝐴𝐸
(cid:155) 𝐵𝐶(cid:50)∩(cid:43)𝐵𝐸 𝐵(cid:68)𝐵𝐶,𝐵𝐸⊂ 𝐵𝐶𝐸
(cid:242)𝐴(cid:176)𝐸⊥ (cid:50)𝐵(cid:43)𝐶𝐸 (cid:68)(cid:242)(cid:169)(cid:240) (cid:68)A(cid:204)(cid:205)(cid:108)
𝐶𝐸⊂ 𝐵𝐶𝐸 𝐴𝐸⊥𝐶𝐸(cid:242)(cid:176) , (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99)𝐵𝐶/∥/𝐴(cid:50)𝐷(cid:43)𝐵𝐶⊄ (cid:68)B𝐴(cid:204)𝐷𝐸(cid:205)(cid:108)𝐴𝐷⊂ 𝐴𝐷𝐸
(cid:242)(cid:176)𝐵𝐶 (cid:50)(cid:43)𝐴𝐷𝐸(cid:68)(cid:243) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:171)(cid:99)𝐴(cid:50)𝐸(cid:43)⊥ 𝐵𝐶(cid:50)𝐸(cid:43) 𝐴𝐸(cid:68)⊂C(cid:204)(cid:205)𝐴(cid:126)𝐷𝐸
(cid:55) (cid:203)(cid:118)(cid:280)𝐴𝐷(cid:43)𝐸⊥ (cid:84)(cid:68)𝐵(cid:243)𝐶𝐸(cid:31)(cid:42) (cid:118)(cid:280)(cid:43) (cid:84)(cid:68)(cid:237) (cid:81)(cid:165)(cid:132)(cid:203)(cid:181)(cid:31)(cid:42)(cid:68)
(cid:178)𝐷 (cid:50)(cid:43)𝐴𝐵𝐸(cid:68)(cid:242) (cid:50)𝐴(cid:43)𝐸 (cid:68) 𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸,𝐷𝐸
(cid:155)𝐷𝐸⊥ (cid:68)𝐵(cid:65)𝐶𝐸 𝐴𝐸=⊥ (cid:337)(cid:338)𝐵(cid:68)𝐶𝐸D(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:108)
(cid:244)(cid:20)𝐷𝐸(cid:10)∥D𝐴.𝐸 𝐷𝐸∩𝐴𝐸 𝐸
8(cid:126)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:311)(cid:251)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:298)(cid:102) (cid:33)(cid:233)(cid:190)(cid:42) (cid:65) (cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:68) (cid:81) (cid:33)(cid:64)(cid:216)(cid:42)(cid:68) (cid:65) (cid:166)
(cid:153)(cid:55) (cid:68)(cid:154)(cid:123) (cid:81) (cid:329) (cid:331)(cid:111)(cid:152)𝐴𝐵(cid:238)𝐶𝐷(cid:64)(cid:33)(cid:97)(cid:159)(cid:170)𝐴(cid:102)𝐶﹐𝐵(cid:247)𝐷 (cid:50)(cid:43)𝑂 𝐸𝐹.(cid:346)△(cid:273)𝐵(cid:229)𝐶(cid:230)𝐷(cid:212)(cid:213)(cid:10) 𝐴𝐶 𝐸𝐹
𝐺 △𝑃𝐸𝐹 △𝐶𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝑃∉ 𝐴𝐵𝐶𝐷
//(cid:50)(cid:43) (cid:108)
①𝐵(cid:50)𝐷(cid:43) 𝑃𝐸(cid:50)𝐹(cid:43) (cid:108)
②“(cid:31)(cid:42)𝑃𝐴𝐶⊥(cid:31)(cid:42)𝐴𝐵”𝐶(cid:435)𝐷(cid:436)(cid:203)(cid:189)(cid:365).
③(cid:210)(cid:64)(cid:171)(cid:34)𝑃(cid:204)𝐹(cid:205)⊥(cid:212)(cid:213)𝐴(cid:33)𝐶(cid:449)(cid:9)(cid:176)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)①(cid:232)②(cid:28)③(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)①(cid:33)②(cid:38)(cid:44)(cid:38)(cid:39) (cid:108)(cid:202)(cid:27)(cid:43)①(cid:43)③(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:303)(cid:15)(cid:38)(cid:39)②③(cid:108)(cid:450)(cid:226)(cid:137)(cid:41)(cid:38)(cid:39) .
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:298)(cid:102) (cid:33)(cid:233)(cid:190)(cid:42) (cid:65)①(cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:68) (cid:81) (cid:33)(cid:64)(cid:216)(cid:42)②(cid:68)(cid:155) // (cid:68) ③
(cid:243) (cid:50)(cid:43) (cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:50)(cid:43) (cid:68)𝐴𝐶(cid:242)(cid:169)𝐵𝐷 //(cid:50)(cid:43)𝑂 𝐸(cid:68)𝐹 △(cid:204)𝐵(cid:205)𝐶𝐷(cid:108) 𝐸𝐹 𝐵𝐷
(cid:286)𝐸(cid:287)𝐹⊂(cid:68)(cid:185)𝑃𝐸𝐹 𝐵(cid:68)𝐷⊄(cid:240) 𝑃𝐸𝐹 𝐵𝐷(cid:68)(cid:243) 𝑃𝐸𝐹 =① (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:155) 𝑃𝐺(cid:50)(cid:43)𝐵𝐷⊥(cid:68)𝐴(cid:241)𝐶 𝐸𝐹(cid:50)⊥(cid:43)𝐴𝐺,𝐸𝐹(cid:68)⊥𝑃(cid:242)𝐺(cid:169)(cid:50)(cid:43)𝐴𝐺∩𝑃𝐺(cid:50)(cid:43)𝐺,𝐴𝐺,𝑃𝐺(cid:68)⊂ (cid:204)𝑃(cid:205)𝐴(cid:108)𝐶
𝐸𝐹⊥ 𝑃𝐴𝐶 𝐸𝐹⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ②
(cid:367)(cid:162) (cid:81)(cid:109)(cid:43)(cid:190) (cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:190)(cid:68) (cid:185) (cid:329) (cid:331)(cid:111)(cid:152)(cid:238)(cid:64)(cid:68)
∠(cid:86)𝑃𝐺1𝐴80 (cid:398)(cid:422)(cid:451)𝑃(cid:114)−(cid:149)𝐸𝐹0−(cid:78)𝐴(cid:203)(cid:452)(cid:453)180 (cid:125)△0𝑃(cid:79)𝐸𝐹(cid:68)(cid:268)△𝐶𝐸𝐹 =𝐸9𝐹0 (cid:119)(cid:68) (cid:68)
∘ ∘ ∘ ∘ ∘
∠𝑃𝐺𝐴 ∠𝑃𝐺𝐴 𝐴𝐺⊥𝑃𝐺= (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:155) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:243) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:153)(cid:81) (cid:68) (cid:245)(cid:246)(cid:68)
(cid:171)𝑃𝐺(cid:99)∩(cid:171)𝐸𝐹(cid:34)(cid:204)𝐺(cid:205),𝑃(cid:212)𝐺,(cid:213)𝐸𝐹(cid:33)⊂(cid:449)(cid:9)(cid:176)𝑃𝐸𝐹 . 𝐴𝐺⊥ 𝑃𝐸𝐹 𝑃𝐹⊂ 𝑃𝐸𝐹 𝑃𝐹⊥𝐴𝐺 ③
(cid:244)(cid:20)(cid:10)B. ①②
(cid:109)(cid:52)(cid:357)(cid:20)(cid:21)
9(cid:126)(cid:78)2024·(cid:311)(cid:351)(cid:454)(cid:272)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123) (cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:159)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:68)m(cid:68)n(cid:68)l(cid:81)(cid:93)(cid:132)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68)(cid:155)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:64)(cid:204)(cid:205)
(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79) 𝛼 𝛽
A(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155)
B(cid:126)(cid:178)𝑚⊥(cid:68)𝛼 𝑛⊥(cid:68)𝛼(cid:155) 𝑚∥𝑛
C(cid:126)(cid:178)𝑚∥𝛼 =𝑛∥(cid:68)𝛼 𝑚(cid:68)∥𝑛 (cid:68)(cid:155)
D(cid:126)(cid:178)𝛼∩𝛽=𝑙(cid:68)𝑚∥𝛼 (cid:68)𝑚∥𝛽 (cid:68)𝑚(cid:155)∥𝑙
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)𝛼∩(cid:28)𝛽(cid:256)(cid:257)𝑙(cid:42)𝑚(cid:43)(cid:30)⊂(cid:31)𝛼 (cid:45)𝑚(cid:46)⊥(cid:44)𝑙(cid:15)(cid:38)𝑚(cid:39)⊥A𝛽(cid:68)(cid:185)(cid:132)(cid:269)(cid:205)(cid:44) (cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)(cid:68)(cid:38)(cid:39)B(cid:68)
(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:68)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:40)(cid:41) (cid:68)(cid:38)(cid:39)C(cid:68)(cid:185)𝑚(cid:132),(cid:269)𝑛 (cid:205)(cid:44) (cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)(cid:68)(cid:38)(cid:39)D.
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:247)m(cid:68)n𝑚(cid:176)∥(cid:165)𝑙 (cid:132)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68)(cid:185)(cid:42)(cid:43)𝑚(cid:30),𝛽(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:240) (cid:68)(cid:171)(cid:99)A(cid:204)(cid:205)(cid:108)
(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155)𝑚m⊥(cid:65)𝛼 n𝑛(cid:175)⊥(cid:263)𝛼(cid:139)(cid:166)(cid:52)(cid:50)(cid:51)(cid:215)(cid:201)(cid:43)(cid:68)(cid:171)(cid:99)B(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:108) 𝑚∥𝑛
(cid:178)𝑚∥𝛼(cid:68)𝑛∥𝛼(cid:68)(cid:270)(cid:152)m(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:65) (cid:68) (cid:61)(cid:275)(cid:166)(cid:153) (cid:68) (cid:68)(cid:155) (cid:68) (cid:68) (cid:68)
1 2 1 2 1 2
(cid:171)𝑚(cid:99)∥𝛼 (cid:68)𝑚∥(cid:241)𝛽(cid:242)(cid:176) = (cid:68) 𝛼 (cid:68)𝛽(cid:171)(cid:99) (cid:68)𝑙 (cid:155)𝑙 (cid:68)𝑚(cid:171)∥(cid:99)𝑙 ∥C𝑙 (cid:204)(cid:205)𝑙 ⊄(cid:108)𝛽 𝑙 ⊂𝛽
1 1 1
𝑙 ∥𝛽 𝛼∩𝛽 𝑙 𝑙 ⊂𝛼 𝑙 ∥𝑙 𝑚∥𝑙
(cid:242)(cid:176) = (cid:68) (cid:68) (cid:68)(cid:178)(cid:50)(cid:43) (cid:65) (cid:203)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:155) (cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:139)(cid:166)(cid:437)(cid:203)(cid:30)(cid:31)(cid:126)(cid:244)D(cid:245)(cid:246).
(cid:244)(cid:20)(cid:10)𝛼∩A𝛽C. 𝑙 𝑚⊂𝛼 𝑚⊥𝑙 𝛼 𝛽 𝑚 𝛽
10(cid:126)(cid:78)2024·(cid:369)(cid:370)(cid:455)(cid:41)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:81)(cid:97)(cid:159)(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:396)(cid:397)(cid:170)(cid:68)(cid:155)(cid:118)(cid:156)(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:64)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126) B(cid:126)
𝐴𝐹∥𝐶𝑁 𝐵𝑀⊥𝐷𝐸C(cid:126) (cid:65) (cid:189)60°(cid:190) D(cid:126) (cid:65) (cid:81)(cid:201)(cid:43)(cid:31)(cid:42)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)𝐶(cid:232)𝑁(cid:28)𝐵(cid:185)𝑀(cid:396)(cid:397)(cid:170)(cid:456)(cid:315)(cid:189)(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:68)(cid:256)(cid:257)(cid:204)(cid:94)(cid:282)𝑁(cid:33)𝐸(cid:45)𝐵(cid:46)𝑀(cid:38)(cid:39)(cid:31)(cid:42)(cid:54)(cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:396)(cid:397)(cid:170)(cid:456)(cid:315)(cid:189)(cid:33)(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:242)(cid:176) // (cid:68) (cid:68)(cid:242)(cid:169) (cid:68)(cid:171)(cid:99)A(cid:245)(cid:246)(cid:108)(cid:181)
(cid:15) // (cid:68) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)B(cid:204)(cid:205)(cid:108) 𝐶𝑁 𝐵𝐸 𝐵𝐸⊥𝐴𝐹 𝐶𝑁⊥𝐴𝐹
𝐷𝐸 (cid:215)𝐶(cid:210)𝐹(cid:457)𝐶(cid:190)𝐹(cid:81)⊥𝐵𝑀(cid:65) (cid:171)𝐵(cid:189)𝑀(cid:33)⊥(cid:190)𝐷𝐸(cid:68)(cid:241) (cid:81)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)(cid:171)(cid:99) =60°(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:65) (cid:171)(cid:189)(cid:33)(cid:190)
∠(cid:81)𝑀6𝐵0°𝐸(cid:68)C(cid:204)(cid:205). 𝐶𝑁 𝐵𝑀 △𝑀𝐵𝐸 ∠𝑀𝐵𝐸 𝐶𝑁 𝐵𝑀
(cid:241) //(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:247) (cid:65) (cid:203)(cid:50)(cid:51)(cid:68)(cid:244) (cid:65) (cid:81)(cid:201)(cid:43)(cid:31)(cid:42)(cid:68)D(cid:204)(cid:205).
(cid:244)(cid:20)𝑁𝐸(cid:10)BCD.𝑀𝐹𝐵𝐶 𝑁𝐸 𝐵𝑀 𝑁𝐸 𝐵𝑀
11(cid:126)(cid:78)2024·(cid:438)(cid:370)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:278)(cid:279)P-ABCD(cid:64)(cid:68)PA (cid:280)(cid:43)ABCD(cid:68)(cid:247)(cid:196)(cid:197)(cid:102)ABCD(cid:176)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68)
= (cid:68)(cid:55)E(cid:68)M(cid:68)N(cid:61)(cid:275)(cid:176)AD(cid:68)PD(cid:68)BC(cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:140)(cid:152)(cid:55)⊥M(cid:68)N(cid:68)E(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:176) (cid:68)(cid:196)(cid:278)(cid:279)P-ABCD(cid:33)(cid:282)
(cid:283)𝑃𝐴(cid:176)V𝐴(cid:68)𝐵(cid:155)(cid:78) (cid:79) 𝛼
A(cid:126)AM (cid:50)(cid:43)PCD
B(cid:126)BM⊥PD
⊥ 11
C(cid:126)(cid:50)(cid:43) (cid:390)(cid:196)(cid:278)(cid:279)P-ABCD(cid:165)(cid:458)(cid:61)(cid:64)(cid:106)(cid:333)(cid:458)(cid:61)(cid:88)(cid:360)(cid:282)(cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176)
16
𝛼 𝑉
D(cid:126)(cid:50)(cid:43)PBC (cid:50)(cid:43)PCD
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:233)(cid:153)⊥A(cid:68)(cid:185)(cid:154)(cid:123)(cid:289)(cid:40)(cid:240) (cid:68)(cid:285)(cid:40)(cid:240) (cid:68)(cid:155)(cid:175)(cid:240)AM (cid:50)(cid:43)PCD(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:108)(cid:233)(cid:153)
B(cid:68)(cid:185)(cid:154)(cid:123)(cid:175)(cid:240) = = (cid:68)(cid:244)(cid:240)𝐴𝑀⊥𝑃(cid:81)𝐷(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)𝐶(cid:102)𝐷(cid:68)⊥(cid:241)𝐴𝑀M(cid:176)PD(cid:33)(cid:64)(cid:55)⊥(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:108)
𝑃𝐵 𝐵𝐷 𝑃𝐷 △𝑃𝐵𝐷 𝐵𝑀⊥𝑃𝐷1
(cid:233)(cid:153)C(cid:68)(cid:289)(cid:240)(cid:152)(cid:55)M(cid:68)N(cid:68)E(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:176) (cid:153)PC(cid:166)(cid:153)(cid:55)H(cid:68)(cid:95)(cid:243)(cid:240)(cid:240) = (cid:68)(cid:240)
三棱锥 8 三棱锥
𝛼 𝑉 𝐻−𝑀𝐸𝐷 𝑉 𝐶−𝑃𝐴𝐷
1 1 1 1 1 5
= (cid:68)(cid:240) = (cid:68)(cid:240) = (cid:68)(cid:240) = + = (cid:68)(cid:240)
四棱锥 4 三棱锥 2 三棱锥 16 多面体 4 16 16
𝑉 𝐻−𝑁𝐶𝐷𝐸 𝑉 𝑉 𝐶−𝑃𝐴𝐷 𝑉 𝑉 𝐻−𝑀𝐸𝐷 𝑉 𝑉 𝑀𝐻𝑁𝐸𝐷𝐶 𝑉 𝑉 𝑉
5 11
= = (cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:108)(cid:233)(cid:153)D(cid:68)(cid:141)(cid:273)(cid:109)(cid:43)(cid:190)B-PC-D(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:190) (cid:68)(cid:185)(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:15)(cid:59)(cid:348)
多面体 16 16
𝑉 𝑃𝐴𝐵𝑁𝐸𝑀𝐻 𝑉− 𝑉 𝑉 ∠𝐵𝐹𝐷
1
(cid:273)cos = (cid:68)(cid:175)(cid:240)(cid:50)(cid:43)PBC(cid:65)(cid:50)(cid:43)PCD(cid:203)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39).
2
∠𝐵𝐹𝐷 −
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)
(cid:242)(cid:176)(cid:196)(cid:197)(cid:102)ABCD(cid:176)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68) = (cid:68)
(cid:171)(cid:99) = (cid:68)(cid:241)M(cid:176)PD(cid:33)(cid:64)𝑃𝐴(cid:55)(cid:68)𝐴(cid:171)𝐵(cid:99) (cid:68)
(cid:241)PA𝑃𝐴(cid:280)(cid:43)𝐴𝐷ABCD(cid:68)(cid:240) (cid:68) 𝐴𝑀⊥𝑃𝐷
(cid:241)(cid:196)(cid:197)⊥(cid:102)ABCD(cid:176)(cid:204)(cid:94)𝑃(cid:102)𝐴(cid:68)⊥(cid:240)𝐶𝐷 (cid:68)
(cid:241) = (cid:68)(cid:247) 、 𝐴(cid:50)𝐷(cid:43)⊥P𝐶𝐷AD(cid:68)
(cid:171)𝑃(cid:99)𝐴∩𝐴𝐷(cid:50)(cid:43)𝐴PAD𝑃(cid:68)𝐴 𝐴𝐷⊂
(cid:241) 𝐶𝐷⊥(cid:50)(cid:43)PAD(cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
(cid:241)𝐴𝑀⊂ = (cid:68)(cid:247) 、𝐶𝐷⊥𝐴(cid:50)𝑀(cid:43)PCD(cid:68)
(cid:171)𝐶(cid:99)𝐷A∩M𝑃𝐷(cid:50)(cid:43)𝐷PCD𝐶(cid:68)𝐷(cid:244)A𝑃𝐷(cid:204)⊂(cid:205)(cid:108)
(cid:128)(cid:170),(cid:286)(cid:287)⊥ (cid:68)(cid:185)(cid:196)(cid:197)(cid:102)ABCD(cid:176)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68) = (cid:68)
(cid:175)(cid:240) =𝐵𝐷 = = = (cid:68) 𝑃𝐴 𝐴𝐵
(cid:241)PA𝑃𝐴(cid:280)(cid:43)𝐴𝐵ABC𝐴D𝐷(cid:68)(cid:155)𝐶𝐷 =𝐵𝐶 = (cid:68)(cid:244) (cid:81)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)
(cid:241)M(cid:176)⊥ PD(cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:171)𝑃(cid:99)𝐵 𝐵𝐷 𝑃(cid:68)𝐷(cid:244)B(cid:204)△(cid:205)𝑃𝐵(cid:108)𝐷
(cid:286)(cid:287) 、 (cid:68)(cid:241)(cid:55)E(cid:68)M𝐵(cid:68)𝑀N⊥(cid:61)𝑃𝐷(cid:275)(cid:176)AD(cid:68)PD(cid:68)BC(cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)
(cid:155)(cid:34)𝑀𝐸//𝑁𝐸 // (cid:68)
(cid:241) 𝑀、𝐸 𝑃𝐴(cid:50),𝑁(cid:43)𝐸 𝐴𝐵(cid:68)
(cid:175)𝑀(cid:240)𝐸 𝑁//𝐸(cid:50)⊄(cid:43) 𝑃𝐴(cid:68)𝐵 //(cid:50)(cid:43) (cid:68)
𝑀𝐸 𝑃𝐴𝐵 𝑁𝐸 𝑃𝐴𝐵(cid:140)(cid:152)(cid:55)M(cid:68)N(cid:68)E(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:176) (cid:68)(cid:166) (cid:153)(cid:55) (cid:68)(cid:286)(cid:287) 、 (cid:68)
(cid:241) = (cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:50)(cid:43)𝛼 𝑃/𝐶/(cid:50)(cid:43)𝐻 𝑀𝐻 𝑁𝐻
(cid:241)𝑀(cid:185)𝐸(cid:43)∩(cid:43)𝑁(cid:50)𝐸(cid:51)(cid:33)𝐸(cid:45)(cid:46)(cid:175)(cid:240) 𝑀/𝐸/𝑁𝐻(cid:68) 𝑃𝐴𝐵
(cid:244) (cid:176) PBC(cid:33)(cid:64)(cid:216)(cid:42)(cid:68)𝑁(cid:185)𝐻(cid:55)𝑃𝐵、 、 、 (cid:61)(cid:275)(cid:176) 、 、 、 (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)
𝑁𝐻 △ 1 𝐻 𝑀 𝐸 𝑁 𝑃𝐶 𝑃𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:240) = (cid:68)
三棱锥 8 三棱锥
𝑉 𝐻−𝑀𝐸𝐷 𝑉 𝐶−𝑃𝐴𝐷
1
(cid:241)(cid:196)(cid:278)(cid:279)P-ABCD(cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176)V(cid:68)(cid:240) = (cid:68)
四棱锥 4
𝑉 𝐻−𝑁𝐶𝐷𝐸 𝑉
1 1
(cid:241) = (cid:68)(cid:155) = (cid:68)
三棱锥 2 三棱锥 16
𝑉 𝐶−𝑃𝐴𝐷 𝑉 𝑉 𝐻−𝑀𝐸𝐷 𝑉
1 1 5
(cid:171)(cid:99) = + = (cid:68)
多面体 4 16 16
𝑉 𝑀𝐻𝑁𝐸𝐷𝐶 𝑉 𝑉 𝑉
5 11
(cid:155) = =
多面体 16 16
𝑉 𝑃𝐴𝐵𝑁𝐸𝑀𝐻 𝑉− 𝑉 𝑉
11
(cid:244)(cid:106)(cid:333)(cid:458)(cid:61)(cid:88)(cid:360)(cid:282)(cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176) (cid:68)(cid:244)C(cid:204)(cid:205)(cid:108)
16
𝑉
(cid:152)B(cid:141) (cid:153)(cid:55)F(cid:286)(cid:287) (cid:68)
(cid:185)(cid:154)(cid:123)(cid:240)𝐵𝐹⊥𝑃𝐶 (cid:68)𝐷(cid:155)𝐹 (cid:68)
(cid:155) (cid:176)△(cid:109)𝑃(cid:43)𝐵𝐶(cid:190)≌B△-P𝑃C𝐷-D𝐶 (cid:33)(cid:50)𝐷(cid:43)𝐹(cid:190)⊥(cid:68)𝑃𝐶
(cid:270)∠𝐵𝐹=𝐷1(cid:68)(cid:185)(cid:116)(cid:43)(cid:283)(cid:192)(cid:240) = (cid:68)
(cid:240) 𝐴𝐵 = 2 = 6(cid:68)(cid:244) 𝐵𝐹⋅ = 𝑃𝐶 = 𝑃𝐵6⋅ (cid:68) 𝐵𝐶
3 3 3
𝑃𝐵⋅𝐵𝐶
𝐵𝐹 𝑃𝐶 𝐵𝐹 𝐷𝐹 2
2 2 2 1
(cid:118) (cid:64)(cid:68)cos = = 3= (cid:68)
4 2
𝐵𝐹 +𝐷𝐹 −𝐵𝐷 −3
(cid:244)(cid:50) △ (cid:43) 𝐵𝐹 P 𝐷 BC(cid:65)(cid:50)(cid:43) ∠𝐵 P 𝐹 C 𝐷 D(cid:203)(cid:30)2(cid:31)𝐵𝐹(cid:68)⋅𝐷𝐹(cid:244)D(cid:245)(cid:246). −
(cid:244)(cid:20)(cid:10)ABC.
(cid:93)(cid:52)(cid:101)(cid:53)(cid:21)
12(cid:126)(cid:78)2023·(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:118)(cid:204)(cid:196)(cid:278)(cid:297) (cid:64)(cid:68) = =4(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:278)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:61)(cid:275)(cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:68)(cid:210)(cid:64) (cid:61)(cid:275)(cid:81) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:33)−(cid:64)𝐴(cid:55)𝐵(cid:68)𝐶(cid:247)𝐷 𝐴𝐵 (cid:68)2(cid:155),𝐴𝐴 = 3 (cid:126)𝛼 𝐴𝐴 ,𝐵𝐵 ,𝐶𝐶
1 1 1 1 1
,(cid:22)𝐷𝐷(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:212)(cid:49)𝑀,(cid:53)𝐸,𝑁(cid:54),𝐹(cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)𝐸(cid:33),𝐹(cid:38)(cid:39)(cid:99)𝐵(cid:110)𝐵(cid:139),𝐷(cid:3)𝐷(cid:59)(cid:348)(cid:59)(cid:348)(cid:237)(cid:175)𝐴(cid:240)𝐶. ⊥𝑀𝐸 𝐴 𝑀
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:242)(cid:176)(cid:50)(cid:43) (cid:214)(cid:152)(cid:278) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:171)(cid:99)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:298)(cid:102)(cid:68)
1 1
(cid:286)(cid:287) (cid:52) (cid:68) (cid:52) 𝛼(cid:68)(cid:439) 𝐵𝐵 ,𝐷𝐷= (cid:68) 𝑀𝐸𝑁𝐹
(cid:155) 𝐴𝐶 𝐵(cid:68)𝐷(cid:241)𝐸𝐹 𝑀(cid:280)𝑁(cid:43) 𝐸𝐹∩(cid:68)𝑀𝑁 𝑂(cid:50)(cid:43) (cid:68)
1
(cid:244)𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 (cid:68)(cid:241)𝐴𝐴 (cid:52)⊥ 𝐴𝐵(cid:50)𝐶(cid:43)𝐷 𝐵𝐷(cid:68)⊂(cid:247) 𝐴𝐵𝐶𝐷 = (cid:68)
1 1 1 1
𝐴𝐴 ⊥𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐴 ⊂ 𝐴𝐴 𝐶 𝐴𝐶∩𝐴𝐴 𝐴(cid:244) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:241) (cid:61)(cid:275)(cid:81) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:244) // (cid:68)
1 1 1
(cid:244)𝐵𝐷⊥(cid:50)(cid:43)𝐴𝐴 𝐶(cid:68)(cid:185)𝐸,𝐹 (cid:50)(cid:43)𝐵𝐵 ,𝐷(cid:68)𝐷(cid:244) (cid:68)𝐸𝐹 𝐵𝐷
1 1 1 1
(cid:241)𝐸(cid:242)𝐹(cid:176)⊥ 𝐴𝐴 𝐶(cid:68) (cid:52)𝐴 𝐶⊂ (cid:50)(cid:43)𝐴𝐴 𝐶 (cid:68)𝐸𝐹⊥𝐴 𝐶= (cid:68)
1
(cid:244) 𝐴(cid:50)𝐶(cid:43)⊥𝑀𝐸 𝐸(cid:68)𝐹(cid:241)𝑀𝐸⊂ (cid:50)(cid:43)𝑀𝐸𝑁𝐹(cid:68)𝐸𝐹∩𝑀𝐸 𝐸
1
(cid:244)𝐴 𝐶⊥ (cid:68)𝑀(cid:155)𝐸𝑁𝐹 𝑀(cid:65)𝑁⊂ 𝑀(cid:139)𝐸(cid:376)𝑁𝐹(cid:68)
1 1 1
𝐴 = 𝐶⊥ 22 𝑀 + 𝑁 22=2 △ 2 𝐴 (cid:68) 𝑀𝑂 = △𝐴 42 𝐶 + 𝐴 (2 2) 2 =2 6(cid:68)
1
(cid:244)
𝐴𝐶
(cid:34) 1 = 1 (cid:68)(cid:237) 1 =
𝐴1
2 ×
𝐶
2 6(cid:68)(cid:237) 1 =3.
𝐴1𝑀 𝐴1𝑂 𝐴 2 𝑀 6 4
𝐴 𝐶 𝐴 𝐴 𝐴 𝑀
(cid:244)(cid:113)(cid:350)(cid:176)(cid:10)3.
13(cid:126)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:280)(cid:43) (cid:176)(cid:298)(cid:102)(cid:68)(cid:210)(cid:64)
= = = =2 6 (cid:68)(cid:55) (cid:118) 𝑆 (cid:42) −𝐴 (cid:157) 𝐵𝐶𝐷 (cid:281)(cid:68)(cid:178)(cid:50) 𝐴𝐵 (cid:43) 𝐶𝐷 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:155) = 2 (cid:126)
3 5
𝐵𝐻
∠ (cid:22) 𝐵 (cid:63) 𝐶𝐷 (cid:21)(cid:231) 1 (cid:232) 20 (cid:28) °, (cid:270) 𝑆𝐴 (cid:50)(cid:43) 𝑆𝐵 2 (cid:65) 𝐴𝐵 (cid:31)(cid:42) 𝑆 (cid:166) 𝐶 (cid:153)(cid:55) 𝐻 (cid:68)(cid:286)(cid:287) 𝑆𝐵 (cid:68)(cid:274) (cid:64) 𝑆𝐴 (cid:55) 𝐵⊥ (cid:68)(cid:286)(cid:287) 𝐶𝐷𝐻 (cid:68)𝐵𝑆 (cid:65) (cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:68)
(cid:286)(cid:287) (cid:68)(cid:40)(cid:41) // 𝐶𝐷/𝐻/ (cid:68)(cid:162)𝑆(cid:208)𝐴(cid:40)(cid:41) 𝐺 (cid:50)(cid:43) 𝐷𝐺,𝐻(cid:68)𝐺(cid:240)(cid:40)𝐴𝐵 𝑀(cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:185)𝑆(cid:43)𝑀(cid:43),𝐶𝑀(cid:30)(cid:31)𝑆(cid:33)𝑀(cid:45)(cid:46)𝐺𝐻(cid:44)(cid:15)(cid:240) 𝐸
(cid:50)(cid:43)𝐶𝐸 (cid:68)(cid:240) 𝐶𝐷 𝐻𝐺(cid:68)(cid:270)𝐴𝐵(cid:273) =1(cid:68)(cid:59)𝐴(cid:348)𝐵(cid:273)⊥ 𝑆𝐶(cid:208)𝑀(cid:175)(cid:240)(cid:212)𝐶(cid:213)𝐸(cid:459)⊥𝐻𝐺 𝐶𝐸⊥
(cid:22)(cid:63)(cid:113)𝑆𝐴(cid:152)𝐵(cid:238)(cid:28)𝐶(cid:270)𝐸(cid:50)⊥(cid:43)𝑆𝑀 (cid:65)(cid:31)𝐴(cid:42)𝐵 (cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:68)𝑆(cid:286)𝑀(cid:287),𝐸𝑀 (cid:68)(cid:274) (cid:64)(cid:55) (cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68) (cid:65) (cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:68)
(cid:286)(cid:287) (cid:68) 𝐶𝐷𝐻 𝑆𝐴 𝐺 𝐷𝐺,𝐻𝐺 𝐴𝐵 𝑀 𝑆𝑀,𝐶𝑀 𝑆𝑀 𝐺𝐻 𝐸
(cid:242)(cid:176)𝐶𝐸// (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) //(cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:241)(cid:50)𝐶(cid:43)𝐷 𝐴 𝐵 (cid:50)𝐶𝐷(cid:43)⊄ 𝑆=𝐴𝐵 (cid:68)𝐴𝐵⊂ (cid:50)(cid:43)𝑆𝐴𝐵 (cid:68)(cid:171)(cid:99)𝐶𝐷 // 𝑆(cid:68)𝐴(cid:86)𝐵 (cid:243) // // (cid:68)
(cid:241)(cid:298)(cid:102)𝑆𝐴𝐵 ∩(cid:64)(cid:68) 𝐶𝐷𝐻=1𝐻2𝐺0°(cid:68)𝐶(cid:171)𝐷(cid:99)⊂ 𝐶𝐷(cid:81)𝐻(cid:116)(cid:197)(cid:93)𝐶(cid:190)𝐷(cid:102)(cid:68)𝐻𝐺(cid:155) 𝐶𝐷(cid:68)𝐻𝐺 𝐴𝐵
(cid:243) =𝐴𝐵𝐶(cid:68)𝐷(cid:171)(cid:99)∠𝐵𝐶𝐷 (cid:68) △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝑀⊥𝐴𝐵
(cid:241)𝑆𝐴 𝑆𝐵 = (cid:68)𝑆𝑀⊥𝐴𝐵 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:243)𝑆𝑀∩(cid:50)𝐶𝑀(cid:43) 𝑀 (cid:68)𝑆(cid:171)𝑀,(cid:99)𝐶𝑀⊂ (cid:68)𝑆𝐶(cid:86)𝑀(cid:243) 𝐴𝐵(cid:68)⊥ 𝑆𝐶𝑀
(cid:242)𝐶(cid:176)𝐸(cid:50)⊂(cid:43) 𝑆 𝐶𝑀(cid:50)(cid:43) 𝐶𝐸(cid:68)⊥(cid:50)𝐴𝐵(cid:43) 𝐶𝐸(cid:50)⊥(cid:43)𝐻𝐺 = (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:241)(cid:242)(cid:176)
𝑆𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐷𝐻 𝑆𝐴𝐵 ∩ 𝐶𝐷𝐻 𝐻𝐺 𝐶𝐸⊂ 𝐶𝐷𝐻 𝐶𝐸⊥ 𝑆𝐴𝐵 𝑆𝑀⊂(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
(cid:270) 𝑆 = 𝐴𝐵 1(cid:68)(cid:155)(cid:185) 𝐶 (cid:154) 𝐸 (cid:123) ⊥ (cid:240) 𝑆𝑀 = =2(cid:68) = 6(cid:68)
2
𝐴𝐵 𝑆𝐴 𝑆𝐵 𝑆𝐶
= 3(cid:68) = 2 2= 15(cid:68)
2 2
𝐶𝑀 (cid:64)(cid:68) 𝑆𝑀 cos 𝑆𝐴 − = 𝐴 2 6 4 𝑀 × + 3 4 2 6 − × 1 4 2 5 3 = 2 2(cid:68)(cid:86)(cid:243) =135°(cid:68)sin = 2 2(cid:68) = 𝑆 1 2△𝑆𝐶𝑀 = 1 2 𝑆𝐶⋅𝐶𝑀 1 2 sin ∠𝑆𝐶𝑀 =
2
△6×𝑆
2
3𝐶×𝑀
2
2
= 15(cid:68)
∠𝑆𝐶𝑀 − ∠𝑆𝐶𝑀 ∠𝑆𝐶𝑀 𝐶𝐸 𝑆𝑀 𝑆𝑀
15 10
2
= 2 2= 15(cid:68)
5
𝐸𝑀 𝐶𝑀 −𝐶𝐸15
2
(cid:171)(cid:99) = = 5 = .
15 5
𝐵𝐻 𝑀𝐸 2
𝐵𝑆 𝑀𝑆
2
(cid:244)(cid:113)(cid:350)(cid:176)(cid:10) .
5
14(cid:126)(cid:78)2024·(cid:460)(cid:370)(cid:461)(cid:267)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:278)(cid:160)(cid:176)1(cid:33)(cid:204)(cid:94)(cid:282) (cid:64)(cid:68)(cid:55) (cid:118)(cid:42)(cid:157) (cid:281)(cid:122)(cid:355)(cid:68)
1 1 1 1 1
(cid:155)(cid:229)(cid:230)(cid:212)(cid:213)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81) (cid:126) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑃 𝐵 𝐶
(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) ①②③
1 1
①(cid:93)(cid:278)𝐵(cid:279)𝐷 𝑃⊥ (cid:33)𝐴𝐶(cid:282)𝐵(cid:283)(cid:176)(cid:44)(cid:308)
1 1
②(cid:118) (cid:281)𝐴(cid:117)−(cid:118)𝐷𝑃(cid:55)𝐶 (cid:68)(cid:239)(cid:240) //(cid:43)
1 1 1
③ 𝐵+𝐶 (cid:33)(cid:391)(cid:114)𝑃(cid:308)(cid:176)2𝐴 𝑃 𝐴𝐶𝐷
1 1
④𝐴 𝑃 𝑃𝐶
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:40)(cid:41) (cid:50)(cid:43) (cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39) (cid:68)(cid:185) //(cid:50)(cid:43) (cid:237)(cid:175)(cid:38)(cid:39) (cid:68)(cid:268) (cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:119)(cid:68)(cid:40)
1 1 1 1 1 1
(cid:41)(cid:50)(cid:43) //(cid:50)(cid:43)𝐵𝐷 ⊥ (cid:68)(cid:237)𝐴(cid:175)𝐵(cid:38)𝐶(cid:39) (cid:68)(cid:16)①(cid:315)(cid:42)(cid:176)(cid:31)𝐵(cid:42)𝐶(cid:68)(cid:202)(cid:27)𝐶(cid:290)𝐴(cid:291)𝐷(cid:44)(cid:15)(cid:38)(cid:39) ②. 𝑃 𝐵 𝐶
1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)𝐴 (cid:238)𝑃𝐶(cid:28)(cid:233)(cid:153) 𝐴(cid:10)𝐷(cid:185)𝐶(cid:204)(cid:94)(cid:282)(cid:33)(cid:45)③(cid:46)(cid:175)(cid:123) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) ④ (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99)
1 1
① 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝐷𝐷 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐷(cid:68)
(cid:241)⊥𝐴𝐶 = (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:241)𝐵𝐷∩𝐷(cid:50)𝐷(cid:43) 𝐷 𝐵𝐷,(cid:68)𝐷𝐷(cid:171)(cid:99)⊂ 𝐵𝐷𝐷(cid:68)𝐵 𝐴𝐶⊥ 𝐵𝐷𝐷 𝐵
1 1 1 1
(cid:181)𝐵(cid:15)𝐷(cid:175)(cid:40)⊂ 𝐵𝐷𝐷 𝐵(cid:68)(cid:241) 𝐴𝐶⊥=𝐵𝐷(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99) 𝐵(cid:50)𝐶(cid:43)⊥𝐵𝐷 (cid:68)(cid:241)𝐵 𝐶∩𝐴𝐶(cid:50)(cid:43)𝐶 𝐵 𝐶(cid:68),𝐴(cid:171)𝐶(cid:99)⊂(cid:50)(cid:43)𝐴𝐵 𝐶 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:244) (cid:204)(cid:205)(cid:108)
1 1 1 1 1 1
𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 𝐶 𝐵𝐷 ⊂ 𝐵𝐷 𝑃 𝐵𝐷 𝑃⊥ 𝐴𝐶𝐵 ①
(cid:233)(cid:153) (cid:10)(cid:242)(cid:176) // (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) //(cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:241) ② (cid:68)(cid:171)𝐵(cid:99)𝐶(cid:55) 𝐴(cid:149)𝐷(cid:50)(cid:43)𝐵 𝐶⊄ (cid:33)(cid:150)𝐶(cid:151)𝐴(cid:176)𝐷(cid:44)(cid:308)𝐴(cid:270)𝐷(cid:176)⊂ (cid:68) 𝐶 𝐴 𝐷 (cid:33)(cid:43)(cid:283)𝐵(cid:206)𝐶(cid:176)(cid:44)(cid:308)𝐶(cid:68)𝐴 𝐷
1 1 1 1 1
𝑃∈𝐵 𝐶 𝑃 1 𝐶 𝐴 𝐷 𝑑 △𝐶 𝐴 𝐷
(cid:241) = = (cid:176)(cid:44)(cid:308)(cid:68)(cid:244) (cid:204)(cid:205)(cid:108)
1 1 1 1 3 1 1
𝑉𝐴 −𝐷𝑃𝐶 𝑉𝑃−𝐴 𝐷𝐶 𝑆△𝐶 𝐴 𝐷⋅𝑑 ②
(cid:233)(cid:153) (cid:10)(cid:268) (cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:119)(cid:68)(cid:55) (cid:206)(cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68) // (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1
③(cid:50)(cid:43)𝑃 𝐵(cid:68)𝐶(cid:171)(cid:99) //(cid:50)(cid:43)𝑃 𝐵(cid:68)𝐶(cid:237) //(cid:50)𝐵(cid:43)𝐶 𝐴𝐷(cid:68) 𝐵𝐶 ⊄ 𝐴𝐷 𝐶
1 1 1 1 1 1
𝐴(cid:181)𝐷(cid:15)⊂(cid:175)(cid:40) 𝐴𝐷//𝐶(cid:50)(cid:43) 𝐵𝐶(cid:68) 𝐴𝐷 𝐶 𝑃𝐶 𝐴𝐷 𝐶
1 1 1
(cid:241) 𝐴 𝐶 = (cid:68)𝐴𝐷 𝐶 (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:171)𝐴(cid:99)(cid:50)𝐶 (cid:43)∩𝑃𝐶 /𝐶/(cid:50)(cid:43)𝐴 𝐶 ,𝑃𝐶(cid:68)(cid:241)⊂ 𝐴(cid:50)𝑃(cid:43)𝐶 (cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:171)(cid:99) /𝐴/(cid:43)𝑃𝐶 (cid:68)(cid:244)𝐴𝐷(cid:204)𝐶(cid:205)(cid:108)𝐴 𝑃⊂ 𝐴 𝑃𝐶
1 1
𝐴 𝑃 𝐴𝐶𝐷 ③(cid:233)(cid:153) (cid:10)(cid:128)(cid:229)(cid:170)(cid:68)(cid:328) (cid:314)(cid:462) (cid:456)(cid:315)(cid:149)(cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:147)(cid:43)(cid:247) (cid:52) (cid:118) (cid:33)(cid:201)(cid:354)(cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:286)(cid:287)④ (cid:65) (cid:166)(cid:153)(cid:55)△(cid:68)𝐵 (cid:155)𝐶 𝐶 (cid:237)𝐵(cid:176)𝐶 + (cid:33)(cid:391)𝐵(cid:114)𝐶(cid:308)𝐷(cid:68)𝐴 𝐴 𝐶 𝐵 𝐶
1 1 1 1 1 1 1
(cid:241) 𝐴 𝐶 =𝐵 1𝐶35°(cid:68) 𝑃 =𝐴 𝐶 =1(cid:68)𝐴 𝑃 𝑃𝐶
1 1 1 1 1 1 1
∠𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐵 𝐶
(cid:171)(cid:99) = 12+12 ×1×1×cos135°= 2+ 2(cid:68)
1 1
𝐴 𝐶 −2
(cid:237) + (cid:33)(cid:391)(cid:114)(cid:308)(cid:176) 2+ 2(cid:68)(cid:244) (cid:245)(cid:246).
1 1
𝐴 𝑃 𝑃𝐶 ④
(cid:244)(cid:113)(cid:350)(cid:176)(cid:10) .
(cid:196)(cid:52)(cid:63)(cid:113)(cid:21)①②③
15(cid:126)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:440)(cid:441)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:280)(cid:43) (cid:176)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68)E
(cid:176)(cid:42)(cid:157) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68) = =2(cid:126) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝑃𝐴 𝐴𝐵
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:55)E𝐵(cid:149)𝐷(cid:50)⊥(cid:43)𝑃𝐶 (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1𝑃(cid:79)𝐵(cid:289)𝐷(cid:256)(cid:257)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:40)(cid:41) (cid:50)(cid:43)PAC(cid:68)(cid:212)(cid:49)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:303)(cid:240)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:108)
𝐵𝐷⊥
(cid:78)2(cid:79)(cid:270)(cid:55)A(cid:149)(cid:50)(cid:43)PBD(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176)d(cid:68)(cid:240)(cid:55)E(cid:149)(cid:50)(cid:43)PBD(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) (cid:126)(cid:212)(cid:49)(cid:93)(cid:278)(cid:279)(cid:116)(cid:282)(cid:283)(cid:248)(cid:463) =
2
𝑑
𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐷 𝑉𝐴−𝑃𝐵𝐷(cid:57)(cid:240)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:68)
(cid:241)(cid:280)(cid:43)ABCD(cid:176)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68) ∵𝑃𝐴⊥ (cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∴𝑃𝐴⊥𝐵𝐷
(cid:241) = (cid:68)(cid:247) ∴𝐵(cid:50)𝐷(cid:43)⊥𝐴𝐶 (cid:68)
𝑃𝐴∩𝐴(cid:50)𝐶(cid:43)P𝐴AC(cid:68)𝑃𝐴,𝐴𝐶⊂ 𝑃𝐴𝐶
∴𝐵𝐷⊥(cid:50)(cid:43)PAC(cid:68) (cid:126)
(cid:78)∵2𝑃(cid:79)𝐶⊂ E(cid:176)(cid:42)(cid:157)AB∴(cid:33)𝐵(cid:64)𝐷(cid:55)⊥𝑃(cid:68)𝐶
∵
(cid:178)(cid:55)A(cid:149)(cid:50)(cid:43)PBD(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176)d(cid:68)(cid:155)(cid:55)E(cid:149)(cid:50)(cid:43)PBD(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) (cid:126)
2
𝑑
∴
(cid:185)(cid:21)(cid:107)(cid:123) = = = 22+22=2 2(cid:68)
= 𝑃𝐵1 × 𝑃 2 𝐷 2× 𝐵 2 𝐷 2× 3=2 3(cid:126)
2 2
∴𝑆△𝑃𝐵𝐷
= (cid:68) 1 ×( 1 ×2×2)×2= 1 ×2 3× (cid:68)(cid:63)(cid:240) =2 3(cid:126)
3 2 3 3
∵𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐷 𝑉𝐴−𝑃𝐵𝐷 ∴ 𝑑 𝑑
(cid:55)E(cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) = 3(cid:126)
2 3
𝑑
∴ 𝑃𝐵𝐷
16(cid:126)(cid:78)2024·(cid:464)(cid:465)(cid:465)(cid:250)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:81)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:390)(cid:280)(cid:43)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:33)(cid:160)(cid:94)(cid:282) (cid:171)(cid:240)
1 1 1 1
(cid:33)(cid:88)(cid:360)(cid:282) (cid:65) (cid:139)(cid:166)(cid:153)(cid:55) = = = . 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻,𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂,𝐴𝐸 1,𝐶𝐺 2,𝐵𝐹 𝐷𝐻
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:93)(cid:278)(cid:279)𝑂𝐺⊥ (cid:33)𝐵𝐷(cid:282)𝐸(cid:283).
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)𝐺−(cid:78)𝐵1𝐷(cid:79)𝐸(cid:344)(cid:345) (cid:68)(cid:175)(cid:40) (cid:68)(cid:285)(cid:202)(cid:27) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:175)(cid:240) (cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:175)
(cid:240)(cid:40)(cid:108) △𝐸𝐴𝑂∽△𝑂𝐶𝐺 𝐸𝑂⊥𝐺𝑂 𝐵𝐷⊥ 𝐴𝐶𝐺𝐸 𝐵𝐷⊥𝑂𝐺
(cid:78)2(cid:79)(cid:289)(cid:57) (cid:125) (cid:68)(cid:202)(cid:27)(cid:278)(cid:279)(cid:282)(cid:283)(cid:7)(cid:103)(cid:59)(cid:348)(cid:175)(cid:240).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)𝑆(cid:28)△𝐵(cid:78)𝐷𝐸 1(cid:79)𝑂(cid:128)𝐺(cid:170)(cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68)
𝐸𝑂(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68) =2, = = = = 2(cid:68)
∵ (cid:50)𝐴(cid:43)𝐵𝐶𝐷 (cid:50)(cid:43)𝐴𝐵 ∴𝑂𝐴 (cid:50)𝑂(cid:43)𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐷 (cid:68)
∵𝐴𝐸
=
⊥ 1
=
𝐴2𝐵
,
𝐶𝐷
=
,𝐶𝐺2, ⊥
=
𝐴𝐵𝐶
(cid:68)
𝐷,𝐴𝐶⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷,∴𝐴𝐸⊥𝐴𝐶,𝐶𝐺⊥𝐴𝐶
2 2 2
𝐴𝐸 𝑂𝐶 𝐴𝐸 𝑂𝐶
∵𝐴𝑂 𝐶𝐺 ∴𝐴𝑂 𝐶𝐺
= = = , (cid:68)
2
𝐴𝐸 𝑂𝐶 π
∵𝐴𝑂 𝐶𝐺,∠𝑂𝐴𝐸 ∠𝑂𝐶𝐺 ∴△𝐸𝐴𝑂∽△𝑂𝐶𝐺
= (cid:68) + = + = (cid:68)
2
π
∴∠𝐴𝐸𝑂 ∠𝐶𝑂𝐺 ∴∠𝐸𝑂𝐴 ∠𝐶𝑂𝐺 ∠𝐸𝑂𝐴 ∠𝐴𝐸𝑂
= ( + )= (cid:68) (cid:68)
2
π
∴∠𝐸𝑂𝐺 π− ∠𝐴𝑂𝐸 ∠𝐶𝑂𝐺= ∴𝐸𝑂 (cid:50) ⊥ (cid:43) 𝐺𝑂 (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:241)∵𝐵𝐷⊥𝐴(cid:50)𝐶(cid:43),𝐵𝐷⊥𝐴𝐸,𝐴𝐶∩𝐴𝐸 (cid:68)𝐴,𝐴𝐶,𝐴𝐸⊂ 𝐴𝐶𝐺𝐸,∴𝐵𝐷⊥ 𝐴𝐶𝐺𝐸
𝑂𝐺⊂ 𝐴𝐶𝐺𝐸,∴𝐵𝐷⊥𝑂𝐺= (cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
(cid:78)∵2𝐵(cid:79)𝐷(cid:185)⊥𝑂𝐺,𝐸=𝑂⊥(cid:68)𝐺𝑂(cid:175),𝑂(cid:240)𝐸(cid:196)∩𝐵(cid:197)𝐷(cid:102) 𝑂,𝑂𝐸,(cid:176)𝐵𝐷(cid:288)⊂(cid:102)(cid:68)(cid:241)𝐵(cid:185)𝐷𝐸(cid:176),∴𝑂𝐺(cid:33)⊥(cid:64)(cid:55)(cid:68)𝐵𝐷𝐸
(cid:176) (cid:33)𝐵𝐹(cid:64)(cid:55)𝐷(cid:68)𝐻(cid:175)(cid:240) = =𝐵𝐹𝐻𝐷(cid:68) 𝑂 𝐵𝐷
(cid:118)𝑀(cid:307)𝐻(cid:102)𝐹 (cid:64)(cid:68) =𝐻𝐷 𝐵=𝐹 𝑂(cid:176)𝑀 (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68) (cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)
𝐴𝐶𝐺𝐸 𝐴𝐸3 1,𝐶𝐺 2,𝑂 𝐴𝐶 𝑀 𝐸𝐺
(cid:175)(cid:240) = = (cid:68)
2 2
𝐴𝐸+𝐶𝐺
𝑀𝑂
(cid:241)(cid:185) = = 12+22= 5 =2 2 = ( 5) 2 ( 2) 2 = 3(cid:68)
𝐷𝐸 𝐵1𝐸 ,𝐵𝐷 ,𝐸𝑂 −
(cid:34) = ×2 2× 3= 6(cid:68)
2
𝑆△𝐵𝐷𝐸
(cid:241)(cid:185) = ( 2) 2 +22= 6(cid:68)(cid:175)(cid:240)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176) 1 × 6× 6=2.
3
17(cid:126)𝑂(cid:78)𝐺2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:228)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)𝐺(cid:196)−(cid:278)𝐵𝐷(cid:279)𝐸 (cid:64)(cid:68) // (cid:68) =60°(cid:68) =1(cid:68)
= =2(cid:68) (cid:126) 𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐸⊥𝐶𝐷(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
(2)(cid:178) (cid:68)𝐵𝐷𝐸⊥=4 2(cid:68)𝐴𝐵𝐶(cid:176)𝐷 (cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:57)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:126)
(cid:22)(cid:63)(cid:21)𝐴𝐷(cid:231)⊥(cid:232)𝐷(cid:28)𝐸(cid:78)𝐷1(cid:79)𝐸(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)𝐹(cid:30)(cid:31)𝐶𝐸(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:52)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)𝐹(cid:33)−𝐴(cid:38)𝐵(cid:44)𝐸(cid:303)(cid:15)(cid:237)(cid:240).
(cid:78)2(cid:79)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:40)(cid:240) (cid:50)(cid:43)ABCD(cid:68)(cid:285)(cid:202)(cid:27)(cid:116)(cid:282)(cid:283)(cid:111)(cid:16)(cid:57)(cid:273)(cid:282)(cid:283).
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:118) (cid:64)𝐸(cid:68)𝐷(cid:185)⊥(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:15)(cid:240) = 2+ 2 cos = 3(cid:126)
(cid:185) 2= 2+ 2(cid:68)(cid:240)△𝐴𝐷𝐵 (cid:68)(cid:243) // (cid:68)𝐷𝐵 𝐴(cid:68)𝐷(cid:155) 𝐴𝐵 −2𝐴(cid:68)𝐷⋅𝐴𝐵⋅ ∠𝐷𝐴𝐵
(cid:241)𝐴𝐷 𝐷𝐵= 𝐴𝐵 𝐷(cid:50)𝐵(cid:43)⊥𝐴E𝐵DB(cid:68)(cid:242)𝐶𝐷(cid:169) 𝐴𝐵 (cid:50)𝐸𝐵(cid:43)⊥E𝐶D𝐷B(cid:68)(cid:243)𝐸𝐵⊥𝐴(cid:50)𝐵(cid:43)ABCD(cid:68)
(cid:171)(cid:99)𝐸𝐵(cid:50)∩(cid:43)𝐷𝐵 𝐵,𝐸(cid:50)𝐵(cid:43),𝐷𝐵A⊂BCD(cid:126) 𝐴𝐵⊥ 𝐴𝐵⊂
𝐸𝐷𝐵⊥ 1 1
(cid:78)2(cid:79)(cid:185)F(cid:81)EC(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:240) = = (cid:126)
2 2
𝑉𝐹−𝐴𝐵𝐸 𝑉𝐶−𝐴𝐵𝐸 𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶
(cid:185)(cid:78)1(cid:79)(cid:123) (cid:50)(cid:43)EDB(cid:68) (cid:50)(cid:43)EDB(cid:68)(cid:155) (cid:68)
(cid:243) 𝐴(cid:68)𝐵⊥ = 𝐸𝐷⊂ (cid:50)(cid:43)ABCD(cid:68)𝐴(cid:155)𝐵⊥𝐸𝐷 (cid:50)(cid:43)ABCD(cid:68)
(cid:242)(cid:169) 𝐸𝐷⊥𝐴𝐷 = 𝐴1𝐷∩𝐴𝐵 𝐴,𝐴 = 𝐷1,𝐴 × 𝐵1⊂ ×1× 3×4 2= 𝐸2𝐷6⊥ (cid:126)(cid:237) = 6(cid:68)
3 3 2 3 3
𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶⋅𝐸𝐷 𝑉𝐹−𝐴𝐵𝐸
(cid:171)(cid:99)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176) 6(cid:126)
3
𝐹−𝐴𝐵𝐸
18(cid:126)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) =90°(cid:68) = 2(cid:68)
1 1 1 1
=2(cid:68) (cid:81)(cid:278) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68) (cid:118)(cid:278) (cid:281)(cid:68)(cid:247)𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵. 𝐶 𝐴𝐴 ⊥ 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐴
1 1 1
𝐴𝐴 𝐷 𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐵 𝐴𝐸⊥𝐴 𝐶(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) //(cid:50)(cid:43) (cid:108)
1
(2)(cid:178)(cid:196)(cid:278)(cid:279)𝐵𝐷 𝐴𝐸𝐶(cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:116)(cid:153)1(cid:68)(cid:38)(cid:39)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:81)(cid:373)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:69)(cid:137)(cid:41)(cid:15)(cid:185).
1 1 1 1 1 1
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)𝐶(cid:78)−𝐴1(cid:79)𝐸𝐵(cid:289)𝐴(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:65)(cid:45)(cid:46)𝐴(cid:44)𝐸𝐶(cid:15)(cid:40)(cid:240) 𝐴𝐶𝐶 𝐴(cid:68)(cid:285)(cid:202)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:61)(cid:42)(cid:157)(cid:189)(cid:377)(cid:226)(cid:33)(cid:303)(cid:213)(cid:40)
1
(cid:240) // (cid:68)(cid:86)(cid:243)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:237)(cid:175)(cid:240)(cid:40)(cid:108) 𝐴𝐸⊥𝐴 𝐵
(cid:78)𝐵2(cid:79)𝐷(cid:202)𝐹(cid:27)𝐺(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:57)(cid:273) (cid:68)(cid:439) = (cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:52)(cid:43)(cid:43)(cid:30)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:303)(cid:15)(cid:237)(cid:240)𝐶. −𝐴𝐸𝐵 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶∩𝐴𝐶 𝑂 𝐸𝑂
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:118)(cid:93)(cid:278)(cid:297) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:155) (cid:68)
1 1 1 1 1
(cid:241) (cid:68) = 𝐴𝐵𝐶−𝐴 (cid:50)𝐵 (cid:43)𝐶 (cid:68)𝐴(cid:153)𝐴(cid:81)⊥ (cid:50)𝐴𝐵(cid:43)𝐶 𝐵𝐶(cid:68)⊂ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐴 ⊥𝐵𝐶
1 1
(cid:243)𝐵𝐶⊥𝐴(cid:50)𝐵(cid:43)𝐴𝐵∩(cid:68)𝐴(cid:155)𝐴 𝐴,𝐴𝐵(cid:68),𝐴𝐴(cid:241)⊂ 𝐴𝐵(cid:68)𝐸 𝐵𝐶=⊥ 𝐴𝐵𝐸 (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1
(cid:242)𝐴(cid:169)𝐸⊂ (cid:50)(cid:43)𝐴𝐵𝐸 (cid:68)𝐵(cid:243)𝐶⊥𝐴𝐸 (cid:50)(cid:43)𝐴𝐸⊥𝐴(cid:68)𝐶(cid:155)𝐴 𝐶∩𝐵𝐶(cid:68)𝐶,𝐴 𝐶,𝐵𝐶⊂ 𝐴 𝐵𝐶
1 1 1 1
𝐴𝐸⊥ 𝐴 𝐵𝐶 𝐴 𝐵⊂ 𝐴 𝐵𝐶 𝐴𝐸⊥𝐴 𝐵
(cid:118)(cid:288)(cid:102) (cid:64)(cid:68)(cid:185) = 2 =2(cid:68) =tan =tan = 1(cid:68)
1 1 1 1
𝐴𝐵 𝐴𝐴
𝐴𝐵𝐵 𝐴 𝐴𝐵 ,𝐴𝐴 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐴𝐵𝐴 𝐴𝐵
1
(cid:240) =1= (cid:68)(cid:237) (cid:176)(cid:278) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:439) = (cid:68)
2 1 1 1
𝐵𝐸 𝐵𝐵 𝐸 𝐵𝐵 𝐴 𝐵∩𝐴𝐸 𝐹
(cid:286)(cid:287) (cid:166) (cid:153) (cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68)
1 1
𝐴 𝐷 𝐴𝐶 𝐺 𝐹𝐺
(cid:367)(cid:162) 1 = 1 1=2= 1= 1 (cid:68)
𝐴 𝐺 𝐴 𝐶 𝐴𝐴 𝐴 𝐹
(cid:118) 𝐺𝐷 (cid:64)𝐴𝐷(cid:68) // 𝐵𝐸(cid:68)(cid:243)𝐹𝐵 (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1
(cid:171)(cid:99)△𝐴 /𝐵/𝐷(cid:50)(cid:43) 𝐵𝐷 .𝐹𝐺 𝐹𝐺⊂ 𝐴𝐸𝐶 𝐵𝐷⊄ 𝐴𝐸𝐶
1
𝐵𝐷 𝐴𝐸𝐶
(cid:78)2(cid:79)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:15)(cid:185)(cid:128)(cid:229)(cid:10)
1 1 1
𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐶𝐶 𝐴(cid:270) = (cid:68)(cid:185)(cid:78)1(cid:79)(cid:123)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
1 1 1 1 1 1
𝐵 𝐶 𝑥 𝐵 𝐶1⊥ 1 𝐴𝐵𝐵 𝐴
(cid:155)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:176) × (2+1)× 2 =1(cid:68)(cid:63)(cid:240) = 2(cid:68)
1 1 1 3 2
𝐶 −𝐴𝐸𝐵 𝐴 𝑥 𝑥
(cid:237)(cid:34) = = 2(cid:68)
(cid:242)(cid:169)𝐴𝐵=𝐵𝐶 = = (cid:68)(cid:439) = (cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68)(cid:367)(cid:162) (cid:81) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)
1 1 1 1 1 1
(cid:153)(cid:81)𝐸𝐴 𝐸𝐶 (cid:68)𝐸𝐴 𝐸𝐶(cid:68)(cid:247)𝐴 𝐶∩𝐴𝐶 (cid:50)(cid:43)𝑂 𝐸(cid:68)𝑂(cid:155) 𝑂(cid:50)(cid:43)𝐴 𝐶,𝐴𝐶 (cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:241) 𝐸𝑂(cid:50)⊥𝐴(cid:43)𝐶 𝐸𝑂(cid:68)⊥(cid:171)𝐴(cid:99)𝐶(cid:50)(cid:43) 𝐴 𝐶,𝐴𝐶(cid:50)⊂(cid:43) 𝐴𝐶𝐶. 𝐴 𝐸𝑂⊥ 𝐴𝐶𝐶 𝐴
1 1 1 1
𝐸𝑂⊂ 𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐸𝐶 ⊥ 𝐴𝐶𝐶 𝐴
19(cid:126)(cid:78)2024·(cid:249)(cid:250)(cid:250)(cid:251)·(cid:97)(cid:228)(cid:79)(cid:170)1(cid:171)(cid:172)(cid:33)(cid:81)(cid:116)(cid:302)(cid:307)(cid:102) (cid:68) // (cid:68) =3(cid:68) =1(cid:68) = (cid:68)
3
π
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
(cid:153) (cid:55)(cid:68)(cid:466)(cid:328) (cid:314)(cid:31)(cid:42) (cid:315)(cid:316)(cid:149) (cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:68)(cid:286)(cid:287) (cid:68) (cid:68)(cid:102)(cid:189)(cid:97)(cid:159)(cid:196)(cid:278)(cid:279) (cid:68)(cid:128)(cid:170)2(cid:171)
(cid:172).𝐸 △𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸 △𝑃𝐷𝐸 𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃−𝐸𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:178)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68)(cid:57)(cid:40)(cid:10) // (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:40)(cid:10)(cid:50)𝑃𝐶(cid:43)𝐷∩ (cid:50)𝑃𝐵(cid:43)𝐸 𝑙 (cid:108) 𝐷𝐶 𝑙
𝑃𝐵𝐸⊥ 𝐵𝐶𝐷𝐸
(3)(cid:178)(cid:109)(cid:43)(cid:190) (cid:33)(cid:333)(cid:114)(cid:176) (cid:68)(cid:57)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283).
3
π
𝑃−𝐸𝐷−𝐵 𝐸−𝑃𝐶𝐷
(cid:22)(cid:63)(cid:21)(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:78)1(cid:79)(cid:289)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:40)(cid:41) //(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:285)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:240)(cid:40)(cid:108)
(cid:78)2(cid:79)(cid:289)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:40)(cid:41) (cid:50)(cid:43) 𝐷(cid:68)𝐶(cid:285)(cid:185)(cid:43)𝑃(cid:43)𝐵(cid:30)𝐸(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:240)(cid:40)(cid:108)
(cid:78)3(cid:79)(cid:202)(cid:27)(cid:116)(cid:282)(cid:283)(cid:192)(cid:328)(cid:93)(cid:278)(cid:279) 𝐷(cid:33)𝐸(cid:282)⊥(cid:283)(cid:111)(cid:16)𝑃𝐵(cid:176)𝐸(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:68)(cid:285)(cid:185)(cid:80)(cid:78)2(cid:79)(cid:115)(cid:33)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:186)(cid:187)(cid:42)
(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:237)(cid:93)(cid:278)(cid:279) (cid:33)(cid:24)(cid:68)𝐸−(cid:285)𝑃(cid:59)𝐶𝐷(cid:348)(cid:237)(cid:175)(cid:126) 𝑃−𝐸𝐶𝐷
(cid:22)(cid:63)(cid:113)(cid:152)(cid:238)(cid:28)(cid:78)𝑃1(cid:79)−𝐸(cid:63)𝐶(cid:10)𝐷(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:185)(cid:21)(cid:131)(cid:123) // (cid:68)(cid:242)(cid:176) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) //(cid:50)(cid:43)
𝐷𝐶 𝐵𝐸 𝐷𝐶⊈ 𝑃𝐵𝐸 𝐵𝐸⊆ 𝑃𝐵𝐸 𝐷𝐶(cid:68)
(cid:241)𝑃𝐵(cid:242)𝐸(cid:176) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68)
(cid:256)(cid:257)(cid:31)𝐷(cid:42)𝐶(cid:65)⊆(cid:50)(cid:43)(cid:50)𝑃(cid:51)𝐶𝐷(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)𝑃(cid:15)𝐶𝐷(cid:68)∩(cid:175)(cid:240) 𝑃𝐵/𝐸/ (cid:126)𝑙
(cid:78)2(cid:79)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:185)(cid:21)(cid:123) (cid:68) (cid:68)𝐷𝐶 𝑙
(cid:242)(cid:176) (cid:50)(cid:43) (cid:68)𝐷𝐸⊥𝐵𝐸(cid:50)(cid:43)𝐷𝐸⊥𝑃(cid:68)𝐸 = (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
(cid:241)(cid:242)𝐵(cid:176)𝐸⊆ (cid:50)𝑃(cid:43)𝐵𝐸 𝑃𝐸(cid:68)⊆(cid:171)(cid:99)(cid:50)𝑃(cid:43)𝐵𝐸 𝐵𝐸(cid:50)∩(cid:43)𝑃𝐸 𝐸 . 𝐷𝐸⊥ 𝑃𝐵𝐸
𝐷𝐸⊆ 𝐵𝐶𝐷𝐸 𝑃𝐵𝐸⊥ 𝐵𝐶𝐷𝐸
(cid:78)3(cid:79)(cid:185)(cid:21)(cid:123) (cid:68) (cid:68)(cid:171)(cid:99) = (cid:68)(cid:152) (cid:141) (cid:166) (cid:153)(cid:55) (cid:68)
3
π
𝐷𝐸⊥𝐵𝐸 𝐷𝐸⊥𝑃𝐸 ∠𝑃𝐸𝐵 𝑃 𝑃𝐹⊥𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝐹
(cid:155)| |= 3(cid:68)| |= 1 (cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:171)(cid:99) (cid:68)
2 2
(cid:241)(cid:242)𝑃𝐹(cid:176) 𝐸(cid:68)𝐹(cid:171)(cid:99) 𝐷𝐸 (cid:50) ⊥ (cid:43) 𝑃𝐵 (cid:68) 𝐸 𝑃𝐹⊥𝐷𝐸
(cid:93)(cid:278)(cid:279)𝑃𝐹⊥𝐵𝐸(cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:116)𝑃𝐹(cid:153)⊥(cid:93)(cid:278)(cid:279)𝐷𝐶𝐸 (cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:68)
(cid:171)(cid:99) =
𝐸−1𝑃𝐶𝐷
=
1
×
1
×1×
𝑃−
3
𝐸𝐶
×
𝐷3= 1
.
3 3 2 2 4
𝑉 𝑆△𝐸𝐶𝐷⋅𝑃𝐹
