文档内容
专题 7.4 空间直线、平面的垂直【八大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)........................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:28)........................................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:28)....................................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:28)................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:28)..................................................................................................................................10
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:28)..................................................................................................................12
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:27)(cid:28)..........................................................................................................................14
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:27)(cid:28)..............................................................................................................16
1(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:42)(cid:52)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:31)
(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:36)(cid:21)(cid:58)(cid:59) (cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)
(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:42)(cid:52)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:82)
(cid:55)(cid:52)(cid:83)(cid:55)(cid:84)(cid:85).(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:73)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:89)(cid:90)
2022 (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:17)(cid:13)(cid:79)(cid:10)
(cid:91)(cid:68)(cid:92)(cid:56)(cid:61)(cid:93)(cid:94)(cid:43)(cid:95)(cid:51)(cid:25)(cid:96)(cid:68)(cid:97)(cid:81)(cid:53)(cid:54)
(1)(cid:15)(cid:63)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:31) (cid:80)9(cid:21)(cid:68)5(cid:61)
(cid:64)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:68)(cid:98)
(cid:42)(cid:52)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:52)(cid:50)(cid:43)(cid:65) 2022 (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:17)(cid:13)(cid:79)(cid:10)
(cid:99)(cid:20)(cid:100)(cid:21)(cid:52)(cid:101)(cid:53)(cid:21)(cid:33)(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:96)(cid:68)(cid:104)(cid:105)(cid:106)
(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32) (cid:80)18(cid:21)(cid:68)12(cid:61)
(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:81)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:42)(cid:52)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)
(2)(cid:66)(cid:67)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:52)(cid:50)(cid:43) 2023(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:77)(cid:10)(cid:80)20(cid:21)(cid:68)
(cid:40)(cid:41)(cid:99)(cid:110)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:111)(cid:16)(cid:68)(cid:97)(cid:112)(cid:99)(cid:63)(cid:113)
(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:65)(cid:45) 12(cid:61)
(cid:21)(cid:33)(cid:80)(cid:97)(cid:114)(cid:115)(cid:33)(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:96)(cid:68)(cid:104)(cid:105)(cid:64)(cid:116)(cid:108)
(cid:46)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:47)(cid:27) 2024(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:77)(cid:10)(cid:80)17(cid:21)(cid:68)
(cid:93)(cid:81)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:117)(cid:118)(cid:45)(cid:115)(cid:21)(cid:68)
15(cid:61)
(cid:104)(cid:105)(cid:64)(cid:116)(cid:108)(cid:63)(cid:21)(cid:119)(cid:56)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:27)(cid:31)(cid:42)(cid:52)(cid:50)
(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:65)(cid:45)(cid:46).
(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:55)1 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:125)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:28)
1(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)
(1)(cid:44)(cid:127)
(cid:128)(cid:129)(cid:31)(cid:42)l(cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:84)(cid:33)(cid:130)(cid:131)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:133)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:31)(cid:42)l(cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:140)(cid:141)l(cid:142) .(cid:31)(cid:42)l(cid:143)
(cid:144)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:143)(cid:144)(cid:31)(cid:42)l(cid:33)(cid:30)(cid:43).(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:68)(cid:145)(cid:135)(cid:146)(cid:97)(cid:33)(cid:7)(cid:147)(cid:55)P(cid:143)(cid:144)(cid:30)(cid:148).
(2)(cid:55)(cid:149)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:150)(cid:151)
(cid:152)(cid:97)(cid:55)(cid:141)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:154)(cid:123)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68)(cid:155)(cid:156)(cid:55)(cid:65)(cid:30)(cid:148)(cid:54)(cid:33)(cid:42)(cid:157)(cid:68)(cid:143)(cid:144)(cid:158)(cid:159)(cid:55)(cid:149)(cid:156)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:157)(cid:68)(cid:30)(cid:42)(cid:157)(cid:33)
(cid:160)(cid:105)(cid:143)(cid:144)(cid:158)(cid:159)(cid:55)(cid:149)(cid:156)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:150)(cid:151).2(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)
(1)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:165)(cid:132)(cid:139)(cid:166)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:156)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:169)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:126)
(2)(cid:170)(cid:102)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:126)
(3)(cid:173)(cid:9)(cid:163)(cid:164)(cid:10)a α(cid:68)b α(cid:68)a∩b(cid:174)P(cid:68)l a(cid:68)l b l α.
(cid:156)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:71)(cid:140)(cid:176)“(cid:178)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:155)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)”.
⊂ ⊂ ⊥ ⊥ ⇒⊥
3(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)
(1)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:181)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:165)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:50)(cid:51)(cid:126)
(cid:182)(cid:170)(cid:102)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:126)
(cid:183)(cid:173)(cid:9)(cid:163)(cid:164)(cid:10)a α(cid:68)b α a(cid:184)b.
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:141)(cid:27)
⊥ ⊥ ⇒
(cid:180)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:42)(cid:50)(cid:51).
(cid:182)(cid:186)(cid:187)(cid:50)(cid:51)(cid:42).
(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:55)2 (cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:125)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:28)
1(cid:126)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:44)(cid:127)(cid:110)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)
(1)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:44)(cid:127)
(cid:97)(cid:112)(cid:188)(cid:68)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:128)(cid:129)(cid:145)(cid:135)(cid:171)(cid:189)(cid:33)(cid:109)(cid:43)(cid:190)(cid:81)(cid:31)(cid:109)(cid:43)(cid:190)(cid:68)(cid:136)(cid:137)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31).(cid:50)(cid:43) (cid:65) (cid:30)
(cid:31)(cid:68)(cid:140)(cid:141) (cid:142) .
(2)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:191)(cid:192)
(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:191)(cid:165)(cid:159)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:119)(cid:68)(cid:193)(cid:98)(cid:194)(cid:195)(cid:172)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:51)(cid:196)(cid:197)(cid:102)(cid:33)(cid:97)(cid:198)(cid:197)(cid:191)(cid:189)(cid:30)(cid:31).
(3)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)
(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:152)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31).
(cid:182)(cid:170)(cid:102)(cid:163)(cid:164)(cid:183)(cid:173)(cid:9)(cid:163)(cid:164)
.
(cid:156)(cid:44)(cid:15)(cid:175)(cid:71)(cid:140)(cid:176)“(cid:178)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:155)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)”.
2(cid:126)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)
(1)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)
(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:34)(cid:97)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:158)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31).
(cid:182)(cid:170)(cid:102)(cid:163)(cid:164)
(cid:183)(cid:173)(cid:9)(cid:163)(cid:164)
.
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:141)(cid:27)
(cid:180)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:52)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:108)
(cid:182)(cid:186)(cid:187)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:42).
(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:55)3 (cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:94)(cid:192)(cid:28)
1(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:94)(cid:192)
(1)(cid:44)(cid:127)(cid:192)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:132)(cid:201)(cid:43)(cid:31)(cid:42)(cid:171)(cid:189)(cid:33)(cid:190)(cid:81)(cid:31)(cid:190)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:158)(cid:165)(cid:132)(cid:201)(cid:43)(cid:31)(cid:42)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31).(cid:31)(cid:42)a(cid:65)(cid:31)(cid:42)
b(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:140)(cid:141)a(cid:142)b(cid:108)
(2)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:108)
(3)(cid:202)(cid:27)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:108)
2(cid:126)(cid:31)(cid:42)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:94)(cid:192)
(1)(cid:44)(cid:127)(cid:192)(cid:10)(cid:202)(cid:27)(cid:44)(cid:127)(cid:10)(cid:178)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:130)(cid:131)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:68)(cid:155)(cid:158)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:158)(cid:159)(cid:50)(cid:43)((cid:203)
(cid:98)(cid:27))(cid:108)
(2)(cid:202)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:125)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:165)(cid:132)(cid:139)(cid:166)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:158)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:136)(cid:125)(cid:158)
(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)((cid:98)(cid:27)(cid:94)(cid:192));
(3)(cid:175)(cid:141)(cid:44)(cid:15)(cid:27)(cid:33)(cid:204)(cid:205)(cid:35)(cid:21)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:132)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:42)(cid:64)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:200)(cid:97)(cid:132)(cid:206)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:158)
(cid:159)(cid:50)(cid:43)((cid:20)(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:53)(cid:21)(cid:98)(cid:27))(cid:108)
(4)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:118)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)
(cid:153)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)((cid:98)(cid:27)(cid:94)(cid:192))(cid:108)
(5)(cid:43)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:128)(cid:129)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:51)(cid:50)(cid:43)(cid:64)(cid:33)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:155)(cid:158)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:206)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)
(cid:43)(cid:108)
(6)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:178)(cid:165)(cid:139)(cid:166)(cid:50)(cid:43)(cid:181)(cid:119)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:155)(cid:158)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43).
3(cid:126)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:44)(cid:33)(cid:165)(cid:207)(cid:94)(cid:192)(cid:65)(cid:97)(cid:159)(cid:111)(cid:16)
(1)(cid:165)(cid:207)(cid:94)(cid:192)(cid:10)(cid:180)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:44)(cid:127)(cid:108)
(cid:182)(cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:44)(cid:15).
(2)(cid:97)(cid:159)(cid:111)(cid:16)(cid:10)
(cid:118)(cid:154)(cid:123)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:68)(cid:97)(cid:112)(cid:56)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:95)(cid:51)(cid:111)(cid:16).(cid:118)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:141)(cid:166)(cid:42)(cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:68)(cid:111)(cid:16)(cid:176)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)
(cid:162)(cid:208)(cid:95)(cid:97)(cid:209)(cid:111)(cid:16)(cid:176)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:31).
4(cid:126)(cid:50)(cid:43)(cid:65)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:45)(cid:46)(cid:65)(cid:212)(cid:213)
(1)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:214)(cid:152)(cid:80)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:97)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:109)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:118)(cid:80)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84).
(2)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:65)(cid:210)(cid:64)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43).
(3)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:210)(cid:64)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:30)(cid:42)(cid:50)(cid:51)(cid:153)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:215)(cid:118)(cid:200)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84).
(4)(cid:128)(cid:129)(cid:165)(cid:159)(cid:139)(cid:166)(cid:50)(cid:43)(cid:133)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:145)(cid:135)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43).
(5)(cid:93)(cid:159)(cid:165)(cid:165)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:206)(cid:165)(cid:165)(cid:30)(cid:31).
(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:55)4 (cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:139)(cid:138)(cid:111)(cid:16)(cid:28)
1(cid:126)(cid:42)(cid:52)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:216)(cid:217)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:139)(cid:138)(cid:111)(cid:16)
2(cid:126)(cid:50)(cid:51)(cid:3)(cid:32)(cid:65)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:139)(cid:138)(cid:111)(cid:16)
(cid:22)(cid:94)(cid:192)(cid:218)(cid:219)(cid:65)(cid:220)(cid:212)(cid:28)
1(cid:126)(cid:93)(cid:30)(cid:42)(cid:44)(cid:15)
(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:128)(cid:129)(cid:125)(cid:221)(cid:152)(cid:158)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:222)(cid:42)(cid:118)(cid:158)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:223)(cid:224)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:145)(cid:206)(cid:125)(cid:158)(cid:132)(cid:222)(cid:42)(cid:30)
(cid:31).
2(cid:126)(cid:93)(cid:30)(cid:42)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:225)(cid:44)(cid:15)
(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:31)(cid:42)(cid:128)(cid:129)(cid:125)(cid:221)(cid:152)(cid:156)(cid:50)(cid:43)(cid:33)(cid:97)(cid:132)(cid:222)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:167)(cid:168)(cid:145)(cid:206)(cid:125)(cid:158)(cid:132)(cid:222)(cid:42)(cid:118)(cid:156)(cid:50)(cid:43)(cid:84)(cid:33)(cid:223)(cid:224)(cid:30)(cid:31).
3(cid:126)(cid:165)(cid:159)(cid:139)(cid:166)(cid:50)(cid:43)(cid:181)(cid:119)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:145)(cid:135)(cid:33)(cid:166)(cid:42)(cid:206)(cid:30)(cid:31)(cid:153)(cid:80)(cid:93)(cid:159)(cid:50)(cid:43).(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:3)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:31)(cid:42) (cid:52) (cid:52) (cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:52) (cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155) // 𝑙 𝑚 𝑛 𝛼 𝛽
B(cid:126)(cid:178)𝑙⊥𝑛(cid:68)𝑚//⊥(cid:68)𝑛 (cid:155) 𝑙 𝑚
C(cid:126)(cid:178)𝑙⊥𝛼(cid:68)𝑙 𝛽 (cid:68)(cid:155)𝛼⊥//𝛽
D(cid:126)(cid:178)𝑙⊥𝛼 (cid:68)𝑙⊥𝑚 = 𝑚(cid:68) 𝛼 (cid:68)(cid:155)
(cid:22)(cid:231)(cid:103)1-1𝛼(cid:28)⊥(cid:78)𝛽202𝛼4·∩(cid:232)𝛽(cid:233)(cid:234)𝑚(cid:235)·𝑙(cid:228)⊥(cid:236)𝑚(cid:237)(cid:238)(cid:79)𝑙⊥(cid:154)𝛽(cid:123) (cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:132)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68) (cid:68) (cid:68) (cid:81)(cid:93)(cid:159)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:229)(cid:230)
(cid:35)(cid:21)(cid:176)(cid:36)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79) 𝑚 𝑛 𝛼 𝛽 𝛾
A(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155) B(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68) (cid:68)(cid:155)
C(cid:126)(cid:178)𝛼⊥𝛽(cid:68)𝛽⊥𝛾(cid:68)(cid:155)𝛼⊥//𝛾 D(cid:126) 𝛼⊥(cid:68)𝛽 𝑚//⊂(cid:68)𝛼 /𝑛/⊂(cid:68)𝛽(cid:155) 𝑚⊥𝑛
(cid:22)(cid:231)(cid:103)1-2𝑚(cid:28)⊥(cid:78)𝛼202𝑛4·⊥(cid:239)𝛼(cid:240)(cid:241)(cid:242)𝑚·(cid:228)𝑛(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:154)(cid:123) 𝑚(cid:81)⊥(cid:165)𝑛(cid:132)(cid:203)𝑚(cid:181)𝛼(cid:33)(cid:31)𝛼(cid:42)(cid:68)𝛽 𝑛(cid:81)⊥(cid:93)𝛽(cid:159)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:155)(cid:229)(cid:230)(cid:35)
(cid:21)(cid:81)(cid:36)(cid:35)(cid:21)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79) 𝑚,𝑛 𝛼,𝛽,𝛾
A(cid:126)(cid:178) (cid:68)(cid:155) B(cid:126)(cid:178) (cid:68)(cid:155) //
C(cid:126)(cid:178)𝛼⊥𝛽,𝑚/⊂/𝛼,𝑛/⊂/𝛽(cid:68)(cid:155)𝑚⊥𝑛 D(cid:126)(cid:178)𝛼⊥//𝛽,𝛽⊥//𝛾 (cid:68)(cid:155)𝛼 //𝛾
(cid:22)(cid:231)(cid:103)1-3𝑚(cid:28)⊥(cid:78)𝛼2,0𝑚24·(cid:82)𝑛,𝑛(cid:243)·(cid:228)𝛽(cid:236)(cid:237)𝛼(cid:238)⊥(cid:79)𝛽(cid:154)(cid:123)(cid:165)(cid:132)(cid:31)(cid:42)m𝑚(cid:68)n𝑛,(cid:125)𝑚(cid:93)𝛼(cid:159)(cid:50)(cid:43)𝑛α(cid:68)𝛼β(cid:68)γ(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155)
B(cid:126)(cid:178)𝑚∥𝛼(cid:68)𝑚∥𝛽(cid:68)(cid:155)𝛼∥𝛽
C(cid:126)(cid:178)𝛼⊥𝛽(cid:68)𝛼⊥𝛾(cid:68) 𝛽∥=𝛾 (cid:68)(cid:155)
D(cid:126)(cid:178)𝛼⊥𝛾(cid:68)𝛽⊥𝛾(cid:68)𝛼∩𝛽(cid:68) 𝑚 =𝑚(cid:68)⊥𝛾(cid:155)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 𝑛(cid:40)⊂(cid:41)𝛾(cid:42)(cid:42)𝑛∥(cid:30)𝛼(cid:31)(cid:28)𝑛∥𝛽 𝛼∩𝛽 𝑚 𝑚∥𝛾
(cid:22)(cid:226)2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:244)(cid:245)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:64)(cid:68)(cid:248)(cid:43) (cid:81)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68) = =2(cid:68)
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 1 𝐴𝐷 𝑃𝐷
=120°(cid:68) =2 2(cid:68)(cid:55)E(cid:176)(cid:42)(cid:157) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:55)F(cid:118)(cid:42)(cid:157) (cid:249)(cid:68)(cid:250) = (cid:126)
2
∠𝑃𝐷𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐹
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:108)
𝐶𝐷⊥𝐸𝐹(2)(cid:57)(cid:93)(cid:246)(cid:247) (cid:33)(cid:251)(cid:252)(cid:126)
𝑃−𝐴𝐵𝐷
(cid:22)(cid:231)(cid:103)2-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:232)(cid:233)(cid:233)(cid:234)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:118)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:64)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:68) (cid:68)
= =2(cid:68) =4(cid:126) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐷⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶
𝐷𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:126)
(2)(cid:178) 𝐵𝐷(cid:176)⊥(cid:116)𝐴𝑃(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)(cid:57)(cid:55)C(cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
△𝑃𝐴𝐷 𝑃𝐵𝐷
(cid:22)(cid:231)(cid:103)2-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:232)(cid:233)(cid:253)(cid:254)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)
= = =2(cid:126) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐶⊥
𝑃𝐵𝐷,𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝑃
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:178) (cid:176) 𝐵𝐷(cid:33)⊥(cid:64)𝑃(cid:55)𝐶(cid:68) =60°(cid:68)(cid:57) (cid:149)(cid:50)(cid:43) (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐸 𝑃𝐵𝐷(cid:22)(cid:231)(cid:103)2-3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:84)(cid:255)(cid:256)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:93)(cid:246)(cid:257) (cid:64)(cid:68) = =2(cid:68)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:258)(cid:102)(cid:68)
1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐴𝐵𝐵 𝐴
= .
1 3
π
∠𝐴𝐵𝐵
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:108)
1
(2)(cid:154)(cid:123)(cid:50)(cid:43)𝐴𝐵⊥𝐵 𝐶(cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:68)(cid:57)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:33)(cid:251)(cid:252).
1 1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐵 𝐴 𝐴𝐶 ⊥𝐵 𝐶 𝐴 −𝐵𝐶𝐶 𝐵
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:259)(cid:260)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:50)(cid:51)(cid:261)(cid:43)(cid:251) (cid:64)(cid:68)(cid:248)(cid:43) (cid:81)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:258)(cid:102)(cid:68)(cid:250)
1 1 1 1
=60 = 6 = (cid:65) (cid:166)(cid:153)𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵=𝐶45𝐷. 𝐴𝐵𝐶𝐷
1 1 1 1
∘ ∘
∠𝐵𝐴𝐷 ,𝐴𝐴 ,∠𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 𝐴𝐷,𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂,∠𝐴 𝐴𝑂
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1
(2)(cid:57)(cid:196)(cid:246)(cid:247)𝐴 𝑂⊥ 𝐴𝐵𝐶(cid:33)𝐷(cid:251)(cid:252).
1 1 1
𝐴 −𝐵𝐵 𝐷 𝐷(cid:22)(cid:231)(cid:103)3-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:262)(cid:234)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:64)(cid:68) = (cid:68)(cid:248)(cid:43) (cid:176)(cid:116)(cid:263)(cid:264)(cid:102)(cid:68) (cid:68)
= = =2(cid:68) (cid:176)(cid:42)(cid:157) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68) 𝑃−𝐴𝐵𝐶.𝐷 𝐴𝑃 𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 ∥ 𝐴𝐵
𝐴𝐵 2𝐶𝐷 2𝐵𝐶 𝐸 𝑃𝐶 𝑃𝐶⊥𝐶𝐵
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
(2)(cid:178) =𝐴2𝐸(cid:68)⊥(cid:57)(cid:31)(cid:42)𝑃𝐶𝐵(cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:171)(cid:189)(cid:190)(cid:33)(cid:204)(cid:265)(cid:266).
𝑃𝐵 𝑃𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:22)(cid:231)(cid:103)3-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:267)(cid:233)(cid:268)(cid:269)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:196)(cid:197)(cid:102)ABCD(cid:81)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68)E(cid:176)(cid:197)CD(cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)
(cid:270)AE(cid:194) (cid:271)(cid:272)(cid:68)(cid:273)(cid:55)D(cid:149)(cid:274)(cid:55)P(cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:68)(cid:250) = (cid:126)
3
π
△𝐴𝐷𝐸 ∠𝑃𝐴𝐵
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:93)(cid:246)(cid:247)𝑃𝐸⊥ (cid:33)𝑃𝐴(cid:195)𝐵(cid:43)(cid:252)
𝐸−𝑃𝐴𝐵
(cid:22)(cid:231)(cid:103)3-3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:275)(cid:276)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:246)(cid:247)P—ABCD(cid:64)(cid:68)(cid:50)(cid:43)PAB (cid:50)(cid:43)ABCD(cid:68)PA AB(cid:68)
⊥ ⊥(cid:248)(cid:43)ABCD(cid:176)(cid:116)(cid:263)(cid:264)(cid:102)(cid:68)AB CD(cid:68)(cid:250) = = =2.
∥ 𝐴𝐵 2𝐶𝐷 2𝐴𝐷
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)BC (cid:43)PAC(cid:108)
(2)(cid:178)(cid:55)A(cid:149)(cid:50) ⊥ (cid:43)PBC(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:176) 3(cid:68)(cid:57)(cid:196)(cid:246)(cid:247)P—ABCD(cid:33)(cid:251)(cid:252).
2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)4(cid:28)(cid:78)24-25(cid:24)(cid:109)(cid:249)·(cid:74)(cid:75)·(cid:277)(cid:208)(cid:141)(cid:278)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:154)(cid:123)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68) (cid:68)(cid:30)(cid:148)(cid:176)A(cid:68) (cid:68)
(cid:30)(cid:148)(cid:176)B(cid:68)(cid:31)(cid:42) (cid:68) (cid:68)(cid:279)(cid:38)(cid:39)(cid:31)(cid:42)a(cid:65)(cid:31)(cid:42)l(cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:3)𝛼∩(cid:32)(cid:68)(cid:69)𝛽(cid:137)(cid:41)𝑙(cid:15)𝐸(cid:185)𝐴(cid:126)⊥𝛼 𝐸𝐵⊥𝛽
𝑎⊂𝛽 𝑎⊥𝐴𝐵
(cid:22)(cid:231)(cid:103)4-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:232)(cid:233)(cid:233)(cid:234)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) (cid:68)
(cid:68)(cid:250) = = = =2 2(cid:68) =2(cid:126) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
𝐴𝐷⊥𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝐵𝐶 2𝐴𝐷 2𝐶𝐷 𝑃𝐴(1)(cid:57)(cid:93)(cid:246)(cid:247) (cid:33)(cid:251)(cid:252)(cid:108)
(2)(cid:57)(cid:40)(cid:10) 𝐵−𝐴𝐶(cid:126)𝑃
𝐴𝐵⊥𝑃𝐶
(cid:22)(cid:231)(cid:103)4-2(cid:28)(cid:78)2024(cid:24)(cid:97)·(cid:74)(cid:75)·(cid:26)(cid:21)(cid:280)(cid:281)(cid:79)(cid:118)(cid:93)(cid:246)(cid:247) (cid:64)(cid:68) (cid:176)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68) (cid:50)(cid:43)ABC(cid:68)(cid:282)
(cid:93)(cid:190)(cid:102)PAC(cid:283)PA(cid:225)(cid:119)(cid:284)(cid:285)(cid:111)(cid:286)PAD(cid:216)(cid:217)(cid:78)(cid:128)(cid:170)(cid:79)(cid:68)𝑃−(cid:250)𝐴(cid:109)𝐵𝐶(cid:43)(cid:190) △𝐴𝐵𝐶 (cid:33)(cid:287)(cid:114)(cid:176)90°(cid:126)𝑃(cid:40)𝐴(cid:41)⊥(cid:10)A(cid:68)B(cid:68)C(cid:68)D
(cid:196)(cid:55)(cid:147)(cid:43)(cid:68)(cid:250) (cid:108) 𝐷−𝑃𝐴−𝐵
𝐴𝐷⊥𝑃𝐵
(cid:22)(cid:231)(cid:103)4-3(cid:28)(cid:78)23-24(cid:24)(cid:97)(cid:229)·(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:234)·(cid:291)(cid:64)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:93)(cid:246)(cid:257) (cid:64)(cid:68)(cid:248)(cid:43) (cid:81)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:204)(cid:93)(cid:190)
1 1 1
(cid:102)(cid:68) (cid:176) (cid:33)(cid:82)(cid:292)(cid:68) = =60 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 △𝐴𝐵𝐶
1 1 1
∘
𝐺 △𝐴 𝐵𝐶 ∠𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 𝐴𝐶
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:108)
1
(2)(cid:154)(cid:123) 𝐵=𝐵⊥𝐵𝐶(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:250) (cid:50)(cid:43) (cid:126)(cid:57)(cid:40)(cid:10) // (cid:126)
1 1 1 1
𝐴 𝐴 2,𝑃∈ 𝐴𝐵𝐶 𝐶 𝑃⊥ 𝐴 𝐵𝐶 𝐴𝐺 𝐶 𝑃(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:38)(cid:44)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)5(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:93)(cid:246)(cid:257) (cid:171)(cid:34)(cid:246)(cid:160)(cid:133)(cid:176) =60° (cid:176) (cid:65)
1 1 1 1 1 1
(cid:166)(cid:55). 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 2,∠𝐵 𝐵𝐶 ,𝐷 𝐴 𝐶 𝐴𝐶
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1 1
(2)(cid:178) =
13𝐵
(cid:68)
𝐶𝐷
(cid:57)
⊥
(cid:93)(cid:246)(cid:257)
𝐴𝐵 𝐶
(cid:33)(cid:251)(cid:252).
1 1 1 1
2
𝐷𝐵 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶
(cid:22)(cid:231)(cid:103)5-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:293)(cid:276)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:43)(cid:251)ABCD(cid:64)(cid:68) = = = = =2(cid:68) (cid:68)
E(cid:68)F(cid:61)(cid:294)(cid:176)AB(cid:68)AC(cid:33)(cid:64)(cid:55). 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶⊥𝐵𝐷
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)BCD(cid:108)
(2)(cid:57)(cid:55)A(cid:149)(cid:50)𝐴(cid:43)𝐶𝐷BD⊥F(cid:33)(cid:150)(cid:151).(cid:22)(cid:231)(cid:103)5-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:260)(cid:295)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:31)(cid:93)(cid:246)(cid:257) (cid:68)(cid:296)(cid:246)(cid:160)(cid:297)(cid:139)(cid:116). (cid:68) (cid:68) (cid:61)(cid:294)(cid:176)(cid:246) (cid:68)
1 1 1
(cid:68) (cid:33)(cid:64)(cid:55). 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵
1 1
𝐵𝐶 𝐴 𝐶
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1 1 1
(2)(cid:57)(cid:31)(cid:42) (cid:65)𝐴 𝐶𝐷(cid:171)⊥(cid:189)(cid:190)(cid:33)𝐴 (cid:204)𝐴𝐵(cid:265)𝐵(cid:266).
1 1
𝐸𝐹 𝐴 𝐵
(cid:22)(cid:231)(cid:103)5-3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:298)(cid:276)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:93)(cid:246)(cid:257) (cid:64)(cid:68)(cid:248)(cid:43) (cid:81)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68) =
1 1 1 1
(cid:68)D(cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:152) (cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:166)(cid:246) (cid:153)E(cid:68)(cid:166)𝐴𝐵𝐶(cid:153)−𝐴F.𝐵 𝐶 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 𝐴𝐵 ∠
1 1 1
𝐴 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1 1 1
𝐴 𝐴𝐷⊥ 𝐸𝐵 𝐶 𝐹
(2)(cid:299)M(cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:166) (cid:153)P(cid:68)(cid:250) = .(cid:178) = =6(cid:68)(cid:250) = (cid:68)(cid:57)(cid:196)(cid:246)(cid:247)
1 1 1 1 3
π
𝐵 𝐶 𝐸𝐵 𝐶 𝐹 𝐴𝐷 𝑃𝐷 2𝑃𝐴 𝑃𝑀 𝐴𝐵 ∠𝑀𝑃𝐷
(cid:33)(cid:251)(cid:252).
1 1
𝐵−𝐸𝐵 𝐶 𝐹
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:43)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:44)(cid:15)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)6(cid:28)(cid:78)2024·(cid:232)(cid:233)(cid:233)(cid:234)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:68)(cid:300)(cid:43)PAD(cid:81)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:204)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:250)(cid:65)(cid:248)(cid:43)(cid:30)
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:31)(cid:68)(cid:248)(cid:43)ABCD(cid:81) =60°(cid:33)(cid:258)(cid:102)(cid:68) (cid:176)(cid:246)PC(cid:249)(cid:33)(cid:301)(cid:55)(cid:250) = [0,1]).
𝑃𝑀
∠𝐴𝐵𝐶 𝑀 𝑃𝐶 𝜆(𝜆∈
(1)(cid:57)(cid:40): (cid:176)(cid:31)(cid:190)(cid:93)(cid:190)(cid:102);
△𝑃𝐵𝐶 2
(2)(cid:279)(cid:205)(cid:44) (cid:33)(cid:266)(cid:68)(cid:273)(cid:302)(cid:93)(cid:246)(cid:247) (cid:33)(cid:251)(cid:252)(cid:176) .
3
𝜆 𝑃−𝐴𝑀𝐷
(cid:22)(cid:231)(cid:103)6-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:267)(cid:295)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:93)(cid:246)(cid:257) (cid:33)(cid:248)(cid:43)(cid:81)(cid:116)(cid:263)(cid:31)(cid:190)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68) =90°(cid:68)(cid:300)(cid:43)
1 1 1
(cid:81)(cid:258)(cid:102)(cid:68) = =2(cid:68)(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵𝐶−(cid:50)𝐴(cid:43)𝐵 𝐶 (cid:126) ∠𝐴𝐶𝐵
1 1 1 1 1
𝐴𝐶𝐶 𝐴 ∠𝐴 𝐴𝐶 60°,𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶⊥ 𝐴𝐶𝐶 𝐴
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:108)
1 1
(2)(cid:57)(cid:55) 𝐴(cid:149)(cid:50)𝐶⊥(cid:43)𝐴𝐵 (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
1 1 1
𝐶 𝐴𝐵𝐵 𝐴
(cid:22)(cid:231)(cid:103)6-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:93)(cid:246)(cid:303) (cid:64)(cid:68) (cid:118) (cid:197)(cid:249)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)
=60°(cid:68) =2(cid:68) =4(cid:68) = 3(cid:68) .𝐴𝐵𝐶−𝐷𝐸𝐹 𝐻 𝐴𝐶 𝐴𝐶𝐹𝐷⊥ 𝐴𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐻 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐻⊥𝐵𝐶(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:178) 𝐸𝐹 (cid:33) ⊥ (cid:43) 𝐵𝐷 (cid:252)(cid:176)3 3(cid:68)(cid:57)(cid:93)(cid:246)(cid:247) (cid:33)(cid:251)(cid:252).
4
△𝐴𝐵𝐶 𝐷−𝐴𝐵𝐻
(cid:22)(cid:231)(cid:103)6-3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:74)(cid:75)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:304)(cid:43)(cid:251) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43)
// = = =4(cid:68)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:81)(cid:204)𝑃𝐴(cid:94)𝐵𝐶(cid:102)𝐷(cid:68)𝐸 =𝑃𝐴2 ⊥3(cid:126)
𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐷𝐸 𝑃𝐴,𝑃𝐴 2𝐷𝐸 2𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐸
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) =90°(cid:108)
(2)(cid:40)(cid:41)(cid:10)∠𝑃𝐸𝐴(cid:50)(cid:43) (cid:108)
(3)(cid:57)(cid:93)(cid:246)𝑃(cid:247)𝐸⊥ (cid:33)𝐴𝐵(cid:251)𝐸(cid:252)(cid:126)
𝑃−𝐴𝐵𝐸(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)7(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:97)(cid:228)(cid:79)(cid:55) (cid:52) (cid:118)(cid:99) (cid:176)(cid:31)(cid:305)(cid:33)(cid:306) (cid:33)(cid:195)(cid:43)(cid:249)(cid:68)(cid:250) (cid:68) = =2(cid:68)(cid:154)(cid:123)(cid:306)
(cid:33)(cid:195)(cid:43)(cid:252)(cid:81)12 (cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:137)(cid:192)(cid:64)(cid:204)(cid:205)(cid:33)𝐴 (cid:159)𝐵(cid:13)(cid:81)(cid:78)𝑃𝐶 (cid:79) 𝑂 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝑂 (cid:50)(cid:43) π(cid:108) (cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108) (cid:126)
①𝐵A𝐶(cid:126)⊥0 𝑃𝐴𝐵 ②B(cid:126)1𝑃𝐴𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐶 ③C(cid:126)𝑃𝐵2⊥𝐴𝐶 D(cid:126)3
(cid:22)(cid:231)(cid:103)7-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:275)(cid:276)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:118)(cid:204)(cid:94)(cid:251) (cid:64)(cid:68)M(cid:81)(cid:246) (cid:249)(cid:97)(cid:55)(cid:68)(cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:43) (cid:65)(cid:246) (cid:166)(cid:153)(cid:55)N.(cid:307)(cid:308)(cid:229)(cid:43)(cid:88)(cid:159)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:210)(cid:64)(cid:171)(cid:34)(cid:204)(cid:205)(cid:33)𝐴(cid:212)𝐵(cid:213)𝐶𝐷(cid:81)−(cid:78)𝐴 𝐵 (cid:79)𝐶 𝐷 𝐴𝐴
1 1
𝑀(cid:196)𝐵(cid:197)𝐷(cid:102) 𝐶𝐶 (cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:196)(cid:197)(cid:102)(cid:108) (cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:175)(cid:309)(cid:81)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:108) (cid:117)(cid:118)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:31)(cid:42) (cid:30)(cid:31)(cid:108)
1 1 1 1
①(cid:130)(cid:131)(cid:50)(cid:43)𝑀𝐵𝑁𝐷(cid:133)(cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:30)②(cid:31). 𝑀𝐵𝑁𝐷 ③ 𝑀𝐵𝑁𝐷 𝐵𝐵 ④
1 1
𝑀𝐵𝑁𝐷 𝐴𝐶𝐵
A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126)
(cid:22)(cid:231)(cid:103)7①-2(cid:28)②(cid:78)23-24(cid:24)(cid:97)(cid:229)③·(cid:310)④(cid:311)(cid:312)(cid:193)·(cid:291)(cid:313)(cid:79)(cid:128)(cid:170)①(cid:68)④(cid:118)(cid:204)(cid:93)(cid:246)(cid:257) ①②(cid:64)④(cid:68) = =2(cid:68)(cid:55)M(cid:176)
1 1 1 1
(cid:33)(cid:64)(cid:55). 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐴
1 1
𝐴 𝐵
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
1 1 1
𝑀𝐶 ⊥ 𝐴𝐵𝐵 𝐴 | |
(2)(cid:118)(cid:246) (cid:249)(cid:81)(cid:314)(cid:117)(cid:118)(cid:55)Q(cid:68)(cid:273)(cid:302) (cid:50)(cid:43) (cid:315)(cid:178)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:57)(cid:308) 1 (cid:33)(cid:266)(cid:108)(cid:178)(cid:203)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:316)(cid:137)(cid:41)(cid:15)(cid:185).
1 1 | |
𝐵 𝑄
𝐵𝐵 𝐴𝑄⊥ 𝐵𝐶 𝑀 𝑄𝐵
(cid:22)(cid:231)(cid:103)7-3(cid:28)(cid:78)23-24(cid:24)(cid:97)(cid:229)·(cid:267)(cid:295)(cid:317)(cid:318)·(cid:319)(cid:157)(cid:280)(cid:281)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:64)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:248)
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴𝐵⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:43) (cid:81)(cid:31)(cid:190)(cid:264)(cid:102)(cid:68) =90°(cid:68)(cid:250) = = = = = 5 (cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:126)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝐴𝐷 2,𝐴𝐵 𝐵𝐶 1,𝑃𝐵 ,𝐸 𝑃𝐷
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:109)(cid:43)(cid:190)𝐴𝐵⊥𝐴𝐸 (cid:33)(cid:320)(cid:265)(cid:266)(cid:108)
(3)(cid:118)(cid:42)(cid:157) 𝐸(cid:249)−(cid:81)𝐴𝐶(cid:314)−(cid:117)𝐷(cid:118)(cid:55) (cid:273)(cid:302)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:315)(cid:178)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:316)(cid:321)(cid:41)(cid:55) (cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:108)(cid:178)(cid:203)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:316)(cid:137)(cid:41)(cid:15)
(cid:185)(cid:126) 𝐴𝑃 𝑀 𝐵𝐶𝐸𝑀⊥ 𝑃𝐴𝐵 𝑀
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:226)8(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:311)(cid:322)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:31)(cid:196)(cid:246)(cid:257) (cid:64)(cid:68)(cid:248)(cid:43) (cid:81)(cid:258)(cid:102)(cid:68) =
1 1 1 1 1
=4(cid:68) (cid:61)(cid:294)(cid:176) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:126) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴
1 1
𝑀,𝑁 𝐴 𝐵 ,𝐴𝐷
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) //(cid:50)(cid:43) (cid:108)
1
(2)(cid:178) 𝐴=𝑁60 (cid:68)(cid:57)𝐵(cid:40)𝐷𝑀(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:126)
1 1
∘
∠𝐵𝐴𝐷 𝐴 𝑀𝑁⊥ 𝐷𝐷 𝑀
(cid:22)(cid:231)(cid:103)8-1(cid:28)(cid:78)2024·(cid:288)(cid:233)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:176)(cid:31)(cid:190)(cid:264)(cid:102)(cid:68)(cid:250) // (cid:68) (cid:68) =2(cid:68)
𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐸𝐷⊥𝐶𝐷 𝐵𝐶= 3(cid:68) =1(cid:126) (cid:176)(cid:116)(cid:197)(cid:93)(cid:190)(cid:102)(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:126)
𝐶𝐷 𝐸𝐷 △𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐵𝐸⊥ 𝐵𝐶𝐷𝐸
(1)(cid:42)(cid:157) (cid:249)(cid:81)(cid:314)(cid:117)(cid:118)(cid:97)(cid:55) (cid:68)(cid:273)(cid:302) //(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:178)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:316)(cid:137)(cid:41) (cid:55)(cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:108)(cid:178)(cid:203)(cid:117)(cid:118)(cid:68)(cid:316)(cid:137)(cid:41)(cid:15)(cid:185)(cid:108)
(2)(cid:53)(cid:54)(cid:64)𝐴𝐶(cid:34)(cid:97)(cid:301)(cid:55) (cid:68)(cid:323)(cid:148)𝐺 𝐷(cid:68)𝐺(cid:250) 𝐴𝐵𝐸=0(cid:126)(cid:57)(cid:55) (cid:33)(cid:324)(cid:325)𝐺(cid:160)(cid:105)(cid:126)
𝑄 𝐴𝑄⊥𝐵𝐸 𝑄𝐵⋅𝑄𝐶 𝑄
(cid:22)(cid:231)(cid:103)8-2(cid:28)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:244)(cid:245)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:78)1(cid:79)(cid:172)(cid:68)(cid:118)(cid:264)(cid:102) (cid:64)(cid:68) // (cid:68) (cid:68)(cid:250)
= = = =2(cid:68)(cid:128)(cid:170)(cid:78)2(cid:79)(cid:270) (cid:282)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:271)(cid:272)(cid:68)𝐵(cid:273)𝐶𝐷(cid:302)𝐸(cid:50)(cid:43) 𝐵𝐶 (cid:65)𝐷𝐸(cid:50)(cid:43)𝐵𝐴⊥𝐷(cid:30)𝐸(cid:31)(cid:68) (cid:176)
𝐸(cid:33)𝐴(cid:64)(cid:55)𝐷(cid:126)𝐴 𝐴𝐵 2𝐶𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐸 𝑀 𝐶𝐸
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) //(cid:43)
(2)(cid:57)(cid:40)(cid:10) 𝐵𝐶 𝐷(cid:108)𝐴𝐸;
(3)(cid:57)(cid:55) (cid:149)𝐴(cid:50)𝑀(cid:43)⊥𝐵𝐸(cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
𝐷 𝐵𝐶𝐸
(cid:22)(cid:231)(cid:103)8-3(cid:28)(cid:78)2024·(cid:84)(cid:255)(cid:256)(cid:326)(cid:327)·(cid:97)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:204)(cid:94)(cid:251) (cid:68)(cid:246)(cid:160)(cid:176)2(cid:126)
1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:126)
1 1 1
(2)(cid:178)(cid:50)(cid:43)𝐴 𝐶/(cid:50)⊥(cid:43)𝐵 𝐷 (cid:68)(cid:250)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:204)(cid:94)(cid:251)(cid:33)(cid:246)(cid:139)(cid:166)(cid:68)(cid:328)(cid:329)(cid:43)(cid:43)(cid:252)(cid:330)(cid:287)(cid:119)(cid:68)(cid:118)(cid:171)(cid:307)(cid:170)(cid:102)(cid:249)(cid:191)(cid:308)(cid:329)(cid:43)(cid:170)(cid:102)(cid:78)(cid:203)
1 1
(cid:331)(cid:137)(cid:308)(cid:191)(cid:192)𝛼(cid:125)(cid:15)(cid:185)𝐴(cid:79)𝐵(cid:68)𝐷(cid:69)(cid:57)(cid:308)(cid:329)(cid:43)𝛼(cid:43)(cid:252)(cid:33)(cid:330)(cid:287)(cid:266)(cid:126)
(3)(cid:154)(cid:123)(cid:50)(cid:43) /(cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:299)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:204)(cid:94)(cid:251)(cid:33)(cid:246) (cid:52) (cid:52) (cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:52) (cid:52) (cid:68)(cid:328)(cid:329)(cid:43) (cid:33)(cid:43)(cid:252)(cid:330)
1 1 1 1 1
(cid:287)(cid:119)(cid:68)(cid:57)(cid:55)𝛼(cid:149)(cid:50)(cid:43)𝐴𝐵 (cid:33)𝐷(cid:150)(cid:151)(cid:126) 𝛼 𝐴𝐵 𝐵𝐵 𝐵 𝐶 𝐸 𝐹 𝐺 𝐸𝐹𝐺
𝐹 𝐸𝐺𝐶
(cid:97)(cid:52)(cid:72)(cid:20)(cid:21)
1(cid:126)(cid:78)2024·(cid:234)(cid:332)(cid:49)(cid:333)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:299) (cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:159)(cid:203)(cid:181)(cid:50)(cid:43)(cid:68) (cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:132)(cid:203)(cid:181)(cid:31)(cid:42)(cid:68)(cid:155) // (cid:33)(cid:97)(cid:159)(cid:322)(cid:61)(cid:132)(cid:334)(cid:81)
(cid:78) (cid:79) 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝛼 𝛽
A(cid:126) // (cid:68) // (cid:68) B(cid:126) (cid:68) (cid:68)
C(cid:126)𝑎 𝛼(cid:68)𝑏 𝛽(cid:68)𝑎∥𝑏 D(cid:126)𝑎/⊥/𝛼(cid:68)𝑏/⊥/𝛽(cid:68)𝑎(cid:65)⊥𝑏(cid:139)(cid:166)
2(cid:126)(cid:78)20𝑎2⊥4·𝛼(cid:232)(cid:233)𝑏(cid:233)⊥(cid:234)𝛽·(cid:228)𝑎(cid:236)∥𝑏(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:158)(cid:81)(cid:97)(cid:159)(cid:204)𝑎(cid:94)𝛼(cid:251)(cid:33)𝑏(cid:50)(cid:43)𝛽 (cid:335)𝑎(cid:336)(cid:170)𝑏 (cid:68)(cid:118)(cid:156)(cid:204)(cid:94)(cid:251)(cid:64)(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81)
(cid:78) (cid:79)
A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126)
3(cid:126)(cid:78)20𝐴2𝐵4·∥(cid:260)𝐻(cid:295)𝐺·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:337)(cid:338)𝐶𝐺(cid:339)⊥(cid:340)𝐵·(cid:341)𝐻(cid:342)(cid:343)(cid:81)(cid:344)(cid:345)(cid:287)𝐶(cid:17)𝐺(cid:346)⊥(cid:289)𝐷𝐻(cid:347)(cid:171)(cid:348)(cid:33)(cid:97)(cid:349)(cid:350)𝐴(cid:141)𝐶.(cid:210)∥𝐷(cid:229)𝐺(cid:351)(cid:176)(cid:10)“(cid:352)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:352)(cid:356)(cid:357)(cid:68)(cid:352)(cid:356)(cid:51)(cid:358)(cid:68)(cid:352)(cid:353)(cid:359)(cid:358)(cid:360)(cid:68)(cid:360)(cid:361)(cid:203)(cid:362)(cid:363)(cid:361)(cid:364)(cid:68)(cid:304)(cid:60)(cid:365)(cid:366)(cid:367)(cid:60)(cid:368)”.(cid:128)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:37)(cid:128)(cid:282)(cid:352)(cid:91)(cid:141)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:352)(cid:356)(cid:33)(cid:357)
(cid:369)(cid:52)(cid:354)(cid:355)(cid:370)(cid:52)(cid:354)(cid:355)(cid:371)(cid:91)(cid:141)(cid:81)(cid:31)(cid:42).(cid:167)(cid:168)(cid:357)(cid:369)(cid:125)(cid:352)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51)(cid:68)(cid:354)(cid:355)(cid:372)(cid:373)(cid:119)(cid:68)(cid:354)(cid:355)(cid:371)(cid:65)(cid:352)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:354)(cid:355)(cid:370)
(cid:65)(cid:352)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:51).(cid:167)(cid:168)(cid:328)(cid:359)(cid:358)(cid:118)(cid:374)(cid:354)(cid:355)(cid:33)(cid:152)(cid:375)(cid:64)(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:137)(cid:192)(cid:376)(cid:377)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126)(cid:354)(cid:355)(cid:370)(cid:65)(cid:352)(cid:43)(cid:378)(cid:379)(cid:50)(cid:51)
B(cid:126)(cid:354)(cid:355)(cid:370)(cid:65)(cid:357)(cid:369)(cid:378)(cid:379)(cid:30)(cid:31)
C(cid:126)(cid:354)(cid:355)(cid:371)(cid:65)(cid:352)(cid:43)(cid:378)(cid:379)(cid:30)(cid:31)
D(cid:126)(cid:354)(cid:355)(cid:371)(cid:65)(cid:357)(cid:369)(cid:378)(cid:379)(cid:30)(cid:31)
4(cid:126)(cid:78)2024·(cid:380)(cid:311)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123)m(cid:68)n(cid:81)(cid:165)(cid:132)(cid:203)(cid:82)(cid:49)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:159)(cid:203)(cid:82)(cid:49)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81)
(cid:78) (cid:79) 𝛼,𝛽
A(cid:126)(cid:178) // // // (cid:68)(cid:155) //
B(cid:126)(cid:178)𝑚 𝛼,𝑛 𝛽,𝛼 /𝛽/ //𝑚(cid:68)𝑛(cid:155) //
C(cid:126)(cid:178)𝑚⊂𝛼,𝑛/⊂/𝛼,𝑚 𝛽(cid:68),𝑛(cid:155)𝛽 𝛼 𝛽
D(cid:126)(cid:178)𝑚⊥𝛼,𝑚 𝑛,𝛼⊥𝛽(cid:68)(cid:155)𝑛⊥𝛽
5(cid:126)(cid:78)2024𝑚·(cid:232)⊥(cid:233)𝛼,(cid:381)𝑛⊥(cid:382)𝛽·(cid:228),𝑚(cid:236)⊥(cid:237)𝑛(cid:238)(cid:79)𝛼(cid:118)⊥(cid:204)𝛽(cid:94)(cid:251) (cid:64)(cid:68)E(cid:68)F(cid:61)(cid:294)(cid:81) (cid:68) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:155)(cid:78) (cid:79)
1 1 1 1 1 1
A(cid:126) // 𝐴𝐵𝐶B𝐷(cid:126)−𝐴 𝐵/𝐶/(cid:50)𝐷(cid:43)BCE 𝐷𝐷 𝐵𝐶
1
C(cid:126)𝐸𝐹 𝐵𝐷 D(cid:126)𝐹𝐷 (cid:50)(cid:43)
1 1 1
6(cid:126)(cid:78)20𝐸2𝐹4·⊥(cid:260)𝐵(cid:295)𝐶(cid:383)(cid:311)·(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123)(cid:204)(cid:94)(cid:251) 𝐴𝐹⊥ 𝐵𝐶(cid:61)𝐶(cid:294)𝐵(cid:81) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:155)(cid:78) (cid:79)
1 1 1 1 1 1
A(cid:126) (cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ,𝑀,𝑁 𝐴 𝐷,𝐷 𝐵
1 1
B(cid:126)𝐴 𝐷 ∥ 𝐷 𝐵,𝑀𝑁 ∥(cid:50)(cid:43) 𝐴𝐵𝐶𝐷
1 1 1 1
C(cid:126)𝐴 𝐷 ∥ 𝐷 𝐵,𝑀 𝑁⊥(cid:50)(cid:43) 𝐵𝐵 𝐷 𝐷
1 1
D(cid:126)𝐴 𝐷⊥𝐷 𝐵,𝑀𝑁 ∥(cid:50)(cid:43)𝐴𝐵𝐶𝐷
1 1 1 1
7(cid:126)(cid:78)20𝐴24𝐷·(cid:232)⊥(cid:233)𝐷(cid:253)𝐵,(cid:254)𝑀·𝑁(cid:228)⊥(cid:236)(cid:237)(cid:238)𝐵(cid:79)𝐵(cid:128)𝐷(cid:170)𝐷(cid:68)(cid:196)(cid:197)(cid:102) (cid:81)(cid:384)(cid:257)(cid:33)(cid:385)(cid:329)(cid:43)(cid:68) (cid:81)(cid:248)(cid:43)(cid:384)(cid:386)(cid:249)(cid:201)(cid:153) (cid:68) (cid:33)(cid:97)(cid:55)(cid:68)(cid:155)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴 𝐵(cid:229)(cid:43)(cid:212)(cid:213)(cid:64)(cid:376)(cid:377)(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126)
B(cid:126)𝐴𝐸/⊥/(cid:50)𝐶𝐸(cid:43)
C(cid:126)𝐵(cid:50)𝐶(cid:43) 𝐴𝐷(cid:50)𝐸(cid:43)
D(cid:126) 𝐴(cid:50)𝐷𝐸(cid:43)⊥ 𝐵𝐶𝐸
8(cid:126)(cid:78)20𝐷2𝐸4·⊥(cid:196)(cid:227)(cid:267)𝐵(cid:234)𝐶·𝐸(cid:109)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:258)(cid:102) (cid:33)(cid:387)(cid:190)(cid:42) (cid:65) (cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:68) (cid:81) (cid:33)(cid:64)(cid:216)(cid:42)(cid:68) (cid:65) (cid:166)
(cid:153)(cid:55) (cid:68)(cid:154)(cid:123) (cid:81) (cid:283) (cid:285)(cid:111)(cid:152)𝐴𝐵(cid:375)𝐶𝐷(cid:64)(cid:33)(cid:97)(cid:159)(cid:170)𝐴(cid:102)𝐶﹐𝐵(cid:250)𝐷 (cid:50)(cid:43)𝑂 𝐸𝐹.(cid:307)△(cid:308)𝐵(cid:229)𝐶(cid:230)𝐷(cid:212)(cid:213)(cid:10) 𝐴𝐶 𝐸𝐹
𝐺 △𝑃𝐸𝐹 △𝐶𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝑃∉ 𝐴𝐵𝐶𝐷
//(cid:50)(cid:43) (cid:108)
①𝐵(cid:50)𝐷(cid:43) 𝑃𝐸(cid:50)𝐹(cid:43) (cid:108)
②“(cid:31)(cid:42)𝑃𝐴𝐶⊥(cid:31)(cid:42)𝐴𝐵”𝐶(cid:378)𝐷(cid:379)(cid:203)(cid:189)(cid:388).
③(cid:210)(cid:64)(cid:171)(cid:34)𝑃(cid:204)𝐹(cid:205)⊥(cid:212)(cid:213)𝐴(cid:33)𝐶(cid:389)(cid:9)(cid:176)(cid:78) (cid:79)
A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126)
(cid:109)(cid:52)(cid:304)(cid:20)①(cid:21)②③ ①② ①③ ②③
9(cid:126)(cid:78)2024·(cid:267)(cid:295)(cid:390)(cid:243)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:154)(cid:123) (cid:68) (cid:81)(cid:165)(cid:159)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:68)m(cid:68)n(cid:68)l(cid:81)(cid:93)(cid:132)(cid:203)(cid:181)(cid:33)(cid:31)(cid:42)(cid:68)(cid:155)(cid:229)(cid:230)(cid:35)(cid:21)(cid:64)(cid:204)(cid:205)
(cid:33)(cid:81)(cid:78) (cid:79) 𝛼 𝛽
A(cid:126)(cid:178) (cid:68) (cid:68)(cid:155)
B(cid:126)(cid:178)𝑚⊥(cid:68)𝛼 𝑛⊥(cid:68)𝛼(cid:155) 𝑚∥𝑛
C(cid:126)(cid:178)𝑚∥𝛼 =𝑛∥(cid:68)𝛼 𝑚(cid:68)∥𝑛 (cid:68)(cid:155)
D(cid:126)(cid:178)𝛼∩𝛽=𝑙(cid:68)𝑚∥𝛼 (cid:68)𝑚∥𝛽 (cid:68)𝑚(cid:155)∥𝑙
10(cid:126)(cid:78)202𝛼4∩·(cid:310)𝛽(cid:311)(cid:391)𝑙 (cid:41)𝑚·(cid:228)⊂(cid:236)𝛼(cid:237)𝑚(cid:238)⊥(cid:79)𝑙(cid:128)(cid:170)(cid:81)𝑚(cid:97)⊥(cid:159)𝛽(cid:204)(cid:94)(cid:251)(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:335)(cid:336)(cid:170)(cid:68)(cid:155)(cid:118)(cid:156)(cid:204)(cid:94)(cid:251)(cid:64)(cid:78) (cid:79)A(cid:126) B(cid:126)
C(cid:126)𝐴𝐹∥(cid:65)𝐶𝑁 (cid:189)60°(cid:190) D(cid:126)𝐵𝑀(cid:65)⊥𝐷𝐸(cid:81)(cid:201)(cid:43)(cid:31)(cid:42)
11(cid:126)(cid:78)2𝐶02𝑁4·(cid:380)𝐵(cid:311)𝑀·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:246)(cid:247)P-AB𝑁C𝐸D(cid:64)𝐵𝑀(cid:68)PA (cid:248)(cid:43)ABCD(cid:68)(cid:250)(cid:196)(cid:197)(cid:102)ABCD(cid:176)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68)
= (cid:68)(cid:55)E(cid:68)M(cid:68)N(cid:61)(cid:294)(cid:176)AD(cid:68)PD(cid:68)BC(cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:140)(cid:152)(cid:55)⊥M(cid:68)N(cid:68)E(cid:33)(cid:50)(cid:43)(cid:176) (cid:68)(cid:196)(cid:246)(cid:247)P-ABCD(cid:33)(cid:251)
(cid:252)𝑃𝐴(cid:176)V𝐴(cid:68)𝐵(cid:155)(cid:78) (cid:79) 𝛼
A(cid:126)AM (cid:50)(cid:43)PCD
B(cid:126)BM⊥PD
⊥ 11
C(cid:126)(cid:50)(cid:43) (cid:329)(cid:196)(cid:246)(cid:247)P-ABCD(cid:165)(cid:392)(cid:61)(cid:64)(cid:106)(cid:287)(cid:392)(cid:61)(cid:88)(cid:393)(cid:251)(cid:33)(cid:251)(cid:252)(cid:176)
16
𝛼 𝑉
D(cid:126)(cid:50)(cid:43)PBC (cid:50)(cid:43)PCD
(cid:93)(cid:52)(cid:101)(cid:53)(cid:21) ⊥
12(cid:126)(cid:78)2023·(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:235)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:118)(cid:204)(cid:196)(cid:246)(cid:257) (cid:64)(cid:68) = =4(cid:68)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:246)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:61)(cid:294)(cid:166)(cid:153)(cid:55) (cid:68)(cid:210)(cid:64) (cid:61)(cid:294)(cid:81) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:33)−(cid:64)𝐴(cid:55)𝐵(cid:68)𝐶(cid:250)𝐷 𝐴𝐵 (cid:68)2(cid:155),𝐴𝐴 = 𝛼(cid:126) 𝐴𝐴 ,𝐵𝐵 ,𝐶𝐶
1 1 1 1 1
,1𝐷3𝐷(cid:126)(cid:78)2024·(cid:232)(cid:233)𝑀(cid:234),𝐸(cid:235),𝑁·,(cid:228)𝐹(cid:236)(cid:237)(cid:238)𝐸(cid:79),𝐹(cid:154)(cid:123)(cid:196)(cid:246)𝐵𝐵(cid:247),𝐷𝐷 (cid:33)(cid:248)(cid:43)𝐴 𝐶⊥(cid:176)𝑀(cid:258)𝐸(cid:102)(cid:68)𝐴(cid:210)𝑀(cid:64)
= = = =2 6 (cid:68)(cid:55) (cid:118) 𝑆 (cid:42) −𝐴 (cid:157) 𝐵𝐶𝐷 (cid:249)(cid:68)(cid:178)(cid:50) 𝐴𝐵 (cid:43) 𝐶𝐷 (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:155) = (cid:126)
3
𝐵𝐻
∠ 14 𝐵 (cid:126) 𝐶𝐷 (cid:78)20 1 2 2 4 0 ·(cid:394) °,𝑆 (cid:311) 𝐴 (cid:395)(cid:242) 𝑆𝐵 ·(cid:228)(cid:236) 2𝐴 (cid:237) 𝐵 (cid:238)(cid:79)(cid:128) 𝑆𝐶 (cid:170)(cid:68)(cid:118) 𝐻 (cid:246)(cid:160)(cid:176)1 𝑆𝐵 (cid:33)(cid:204)(cid:94)(cid:251) 𝑆𝐴𝐵⊥ 𝐶𝐷 (cid:64) 𝐻 (cid:68)(cid:55)𝐵𝑆(cid:118)(cid:42)(cid:157) (cid:249)(cid:122)(cid:301)(cid:68)
1 1 1 1 1
(cid:155)(cid:229)(cid:230)(cid:212)(cid:213)(cid:204)(cid:205)(cid:33)(cid:81) (cid:126) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑃 𝐵 𝐶
(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43)
1 1
①(cid:93)(cid:246)𝐵(cid:247)𝐷 𝑃⊥ (cid:33)𝐴𝐶(cid:251)𝐵(cid:252)(cid:176)(cid:44)(cid:266)
1 1
② 𝐴 −𝐷𝑃𝐶(cid:118) (cid:249)(cid:117)(cid:118)(cid:55) (cid:68)(cid:273)(cid:302) //(cid:43)
1 1 1
③ 𝐵+𝐶 (cid:33)(cid:330)(cid:114)𝑃(cid:266)(cid:176)2𝐴 𝑃 𝐴𝐶𝐷
1 1
④𝐴 𝑃 𝑃𝐶
(cid:196)(cid:52)(cid:63)(cid:113)(cid:21)
15(cid:126)(cid:78)2024·(cid:232)(cid:233)(cid:381)(cid:382)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68)(cid:248)(cid:43) (cid:176)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:68)E
(cid:176)(cid:42)(cid:157) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68) = =2(cid:126) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝑃𝐴 𝐴𝐵
(1)(cid:57)(cid:40)(cid:10) (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:55)E𝐵(cid:149)𝐷(cid:50)⊥(cid:43)𝑃𝐶 (cid:33)(cid:150)(cid:151)(cid:126)
𝑃𝐵𝐷
16(cid:126)(cid:78)2024·(cid:396)(cid:397)(cid:397)(cid:233)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:81)(cid:97)(cid:159)(cid:50)(cid:43)(cid:329)(cid:248)(cid:43)(cid:197)(cid:160)(cid:176)2(cid:33)(cid:204)(cid:94)(cid:102)(cid:33)(cid:160)(cid:94)(cid:251) (cid:171)(cid:302)
1 1 1 1
(cid:33)(cid:88)(cid:393)(cid:251) (cid:65) (cid:139)(cid:166)(cid:153)(cid:55) = = = . 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻,𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂,𝐴𝐸 1,𝐶𝐺 2,𝐵𝐹 𝐷𝐻(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:93)(cid:246)(cid:247)𝑂𝐺⊥ (cid:33)𝐵𝐷(cid:251)𝐸(cid:252).
𝐺−𝐵𝐷𝐸
17(cid:126)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:64)(cid:68) // (cid:68) =60°(cid:68) =1(cid:68)
= =2(cid:68) (cid:126) 𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐸⊥𝐶𝐷
(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) (cid:108)
(2)(cid:178) (cid:68)𝐵𝐷𝐸⊥=4 2(cid:68)𝐴𝐵𝐶(cid:176)𝐷 (cid:64)(cid:55)(cid:68)(cid:57)(cid:93)(cid:246)(cid:247) (cid:33)(cid:251)(cid:252)(cid:126)
𝐴𝐷⊥𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐹 𝐶𝐸 𝐹−𝐴𝐵𝐸
18(cid:126)(cid:78)2024·(cid:196)(cid:227)(cid:189)(cid:133)·(cid:93)(cid:228)(cid:79)(cid:128)(cid:170)(cid:68)(cid:118)(cid:93)(cid:246)(cid:257) (cid:64)(cid:68) (cid:50)(cid:43) (cid:68) =90°(cid:68) = 2(cid:68)
1 1 1 1
=2(cid:68) (cid:81)(cid:246) (cid:33)(cid:64)(cid:55)(cid:68) (cid:118)(cid:246) (cid:249)(cid:68)(cid:250)𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵. 𝐶 𝐴𝐴 ⊥ 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐴
1 1 1
𝐴𝐴 𝐷 𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐵 𝐴𝐸⊥𝐴 𝐶(1)(cid:40)(cid:41)(cid:10) //(cid:50)(cid:43) (cid:108)
1
(2)(cid:178)(cid:196)(cid:246)(cid:247)𝐵𝐷 𝐴𝐸𝐶(cid:33)(cid:251)(cid:252)(cid:116)(cid:153)1(cid:68)(cid:38)(cid:39)(cid:50)(cid:43) (cid:65)(cid:50)(cid:43) (cid:81)(cid:314)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:69)(cid:137)(cid:41)(cid:15)(cid:185).
1 1 1 1 1 1
𝐶 −𝐴𝐸𝐵 𝐴 𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐶𝐶 𝐴
19(cid:126)(cid:78)2024·(cid:232)(cid:233)(cid:233)(cid:234)·(cid:97)(cid:228)(cid:79)(cid:170)1(cid:171)(cid:172)(cid:33)(cid:81)(cid:116)(cid:263)(cid:264)(cid:102) (cid:68) // (cid:68) =3(cid:68) =1(cid:68) = (cid:68)
3
π
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
(cid:153) (cid:55)(cid:68)(cid:398)(cid:282) (cid:270)(cid:31)(cid:42) (cid:271)(cid:272)(cid:149) (cid:33)(cid:216)(cid:217)(cid:68)(cid:399)(cid:400) (cid:68) (cid:68)(cid:102)(cid:189)(cid:97)(cid:159)(cid:196)(cid:246)(cid:247) (cid:68)(cid:128)(cid:170)2(cid:171)
(cid:172).𝐸 △𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸 △𝑃𝐷𝐸 𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃−𝐸𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:178)(cid:50)(cid:43) (cid:50)(cid:43) = (cid:68)(cid:57)(cid:40)(cid:10) // (cid:108)
(2)(cid:57)(cid:40)(cid:10)(cid:50)𝑃𝐶(cid:43)𝐷∩ (cid:50)𝑃𝐵(cid:43)𝐸 𝑙 (cid:108) 𝐷𝐶 𝑙
𝑃𝐵𝐸⊥ 𝐵𝐶𝐷𝐸
(3)(cid:178)(cid:109)(cid:43)(cid:190) (cid:33)(cid:287)(cid:114)(cid:176) (cid:68)(cid:57)(cid:93)(cid:246)(cid:247) (cid:33)(cid:251)(cid:252).
3
π
𝑃−𝐸𝐷−𝐵 𝐸−𝑃𝐶𝐷
