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专题 7.4 空间直线、平面的垂直
目录
题型一： 直线与平面垂直的判定与性质......................................................................................3
题型二： 平面与平面垂直的判定与性质......................................................................................7
题型三： 垂直关系的判断.............................................................................................................10
题型四： 直线与平面所成的角....................................................................................................14
题型五： 二面角.............................................................................................................................18
题型六： 存在性问题.....................................................................................................................21
知识点总结
知识点一、直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α
互相垂直，记作l⊥α.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一
判定
个平面内的两条相
交直线垂直，那么
该直线与此平面垂
定理 ⇒l⊥α
直
性质
垂直于同一个平面
的两条直线平行
定理 ⇒a∥b
知识点二、平面与平面垂直
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角
的平面角，二面角的范围是[0°，180°].
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定
如果一个平面过另一
个平面的垂线，那么
这两个平面垂直
定理 ⇒α⊥β
两个平面垂直，如果
性质
一个平面内有一直线
垂直于这两个平面的
交线，那么这条直线
定理 ⇒l⊥α
与另一个平面垂直
知识点三、空间距离
(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个
点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距
离，叫做这条直线到这个平面的距离.
(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个
平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
知识点四、垂直、平行关系的相互转化
例题精讲题型一：直线与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，
a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
【例1】已知 ， ， 为三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确
的是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ，
【变式训练1】已知直线 ， 和平面 ， ，若 ， ， ，要使 ，
则应增加的条件是
A． B． C． D．
【变式训练2】已知平面 上的一条直线 和这个平面的一条斜线 ，则“ 垂直于 ”是
“ 垂直于 在平面 上的投影”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【变式训练3】已知直线 和平面 ，则下列命题中正确的是
A．若 与 斜交，则 内不存在与 垂直的直线
B．若 ，则 内的所有直线与 都垂直
C．若 与 斜交，则 内存在与 平行的直线
D．若 ，则 内的所有直线与 都平行【变式训练4】若 为一条直线， ， ， 为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是
A． ， B．若 ，
C． ， D．若 ，
【变式训练5】已知直线 ， 与平面 ， ， ，能使 的充分条件是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
【例2】如图，已知平面 平面 ，四边形 是矩形， ，点 ，
分别是 ， 的中点．
（Ⅰ）若点 为线段 中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ．
【变式训练1】如图，在长方体 中， ， ， ， 分别
是 ， 的中点．求证：（1）四边形 为平行四边形；
（2） 平面 ．
【变式训练2】如 图 ， 在 三 棱 锥 中 ， 侧 面 底 面 ， ，
， ， ， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 ．
【变式训练3】如图，在三棱锥 中， ， ，是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
题型二：平面与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理．
【例3】如图所示，在四棱锥 中， 是正方形， 平面 ，
， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ．【变式训练1】如图， 平面 ， 为圆 的直径， ， 分别为棱 ， 的
中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）证明：平面 平面 ．
【变式训练2】如图，已知正四棱柱 ，底面正方形 的边长为 2，
．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．【变式训练3】如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，
， 为 的中点， 为棱 上一动点．
（1） 在棱 上何处时，可使得 平面 ？并证明你的结论；
（2）求证：平面 平面 ．
【变式训练4】如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ，．点 为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
题型三：垂直关系的判断
【要点讲解】三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转
化．
【例4】如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，且 ， ，
， 平面 ， 于 ．给出下列四个结论：
① ；
② 平面 ；
③ 平面 ；
④ ．
其中正确的选项是 ．【变式训练1】已知 ， 是两个互相垂直的平面， ， 是一对异面直线，下列五个结
论：
（1） ，
（2） ，
（3） ，
（4） ，
（5） ， ， ．
其中能得到 的结论有 （把所有满足条件的序号都填上）
【变式训练2】如图，在正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ， 为正方
体的顶点．则满足 的是 ．（填写正确的序号）
【变式训练3】以下四个正方体中，满足 平面 的有A． B．
C． D．
【变式训练4】如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
为 的中点，则下列结论正确的有
A． 平面 B． C． 平面 D． 平面
【变式训练5】如图，在正四棱柱 中， ， ， ， 分别是棱
， ， 的中点，则
A．B． 平面
C．直线 与 是异面直线
D．直线 与平面 的交点是 的外心
【变式训练6】棱长为2的正方体的展开图如图所示．关于该正方体，下列说法正确的是
A．
B． 平面
C．平面 平面
D．动点 在正方体的表面上运动， 为 中点，且 ，则点 的运动轨迹
围成的面积为
【变式训练7】在正四面体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则
A． 与 平行，平面 平面
B． 与 异面，平面 平面
C． 与 平行， 与平面 平行
D． 与 异面， 与平面 平行【变式训练8】在三棱柱 中， 为 的中点， ， 平
面 ， ，则下列结论错误的是
A．平面 平面 B．平面 平面
C． 平面 D．
【变式训练9】如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的一点，
则下面结论中错误的是
A． B．
C． 平面 D．平面 平面
【变式训练10】如图，正方体 中，点 、 、 、 分别为棱 ，
， ， 的中点，点 为棱 上的动点，则下列说法中正确的个数是
① 与 异面；
② 平面 ；
③平面 截正方体所得的截面图形始终是四边形；
④平面 平面 ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练11】设 ， 为两条直线， ， 为两个平面，若 ，则
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
题型四：直线与平面所成的角
【要点讲解】(1)根据线面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒
证⇒求(算)三步曲．(2)射影法：设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为
θ，则cos θ＝；设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，
则cos θ＝. (3)向量法，详见后续内容.
【例5】正方体 中，直线 与平面 所成的角为
A． B． C． D．
【变式训练1】正四棱柱 中， ，四面体 体积为 ，则
与平面 所成角的正弦值为A． B． C． D．
【变式训练2】在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为 1，则
与侧面 所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【变式训练3】在棱长为2的正方体 中， 为 上的动点，则 与平
面 所成角的正切值不可能为A．1 B． C． D．
【例6】如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为
， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【变式训练1】如图1， 是边长为6的等边三角形，点 ， 分别在线段 ，
上， ， ，沿 将 折起到 的位置，使得 ，如图2．（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
【变式训练2】如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ，
， ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
题型五：二面角
【要点讲解】根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，步骤是作(找)⇒证⇒
求(算)三步曲．【例7】如图，在正方体 中，截面 与底面 所成锐二面角
的正切值为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
点 是棱 的中点，则平面 与平面 所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，二面角 等于 ， ， 是棱 上两点， ， 分别在
半平面 ， 内， ， ，且 ， ，则A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，
且 ，点 为线段 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【变式训练4】 是正三角形，线段 和 都垂直于平面 ，设 ，
，且 为 的中点，如图：
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
（3）求平面 与平面 所成的二面角的大小．【变式训练5】如图，在三棱柱 中， 平面 ， 为正三角形，侧
面 是边长为2的正方形， 为 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 大小的余弦值．题型六：存在性问题
【例8】如图，在正方体 中，点 ， 分别是棱 和线段 上的动点，
则满足与 垂直的直线
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有无数条 D．不存在
【变式训练1】在正四面体 中，已知 ， 分别是 ， 上的点（不含端点），
则
A．不存在 ， ，使得
B．存在 ，使得
C．存在 ，使得 平面
D．存在 ， ，使得平面 平面
【变式训练2】如图，已知正方体 ，点 在直线 上， 为线段 的
中点，则下列命题中假命题为A．存在点 ，使得 B．存在点 ．使得
C．直线 始终与直线 异面 D．直线 始终与直线 异面
【例9】如图，正方形 所在平面和等腰梯形 所在平面相互垂直，已知 ，
．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，直三棱柱 中， ， ， ，
分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？说明理由．【变式训练2】如图示，正方形 与正三角形 所在平面互相垂直， 是 的中
点．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使面 面 ？并证明你的结论．【变式训练3】如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为
直角梯形， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得直线 垂直平面 ，若存在，求出线段
的长，若不存在，说明理由．
