文档内容
专题 7.4 空间直线、平面的垂直
目录
题型一： 直线与平面垂直的判定与性质......................................................................................3
题型二： 平面与平面垂直的判定与性质....................................................................................10
题型三： 垂直关系的判断.............................................................................................................15
题型四： 直线与平面所成的角....................................................................................................30
题型五： 二面角.............................................................................................................................40
题型六： 存在性问题.....................................................................................................................47
知识点总结
知识点一、直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α
互相垂直，记作l⊥α.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一
判定
个平面内的两条相
交直线垂直，那么
该直线与此平面垂
定理 ⇒l⊥α
直
性质
垂直于同一个平面
的两条直线平行
定理 ⇒a∥b
知识点二、平面与平面垂直
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角
的平面角，二面角的范围是[0°，180°].
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定
如果一个平面过另一
个平面的垂线，那么
这两个平面垂直
定理 ⇒α⊥β
两个平面垂直，如果
性质
一个平面内有一直线
垂直于这两个平面的
交线，那么这条直线
定理 ⇒l⊥α
与另一个平面垂直
知识点三、空间距离
(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个
点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距
离，叫做这条直线到这个平面的距离.
(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个
平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
知识点四、垂直、平行关系的相互转化
例题精讲题型一：直线与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，
a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
【例1】已知 ， ， 为三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确
的是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：若 ， ， ，则 与 可能平行与可能异面，故 错误；
若 ， ，则 或 ，故 错误；
若 ， ，则 或 ，故 错误；
若 ， 根据线面垂直的判定方法，易得 ，故 正确；
故选： ．
【变式训练1】已知直线 ， 和平面 ， ，若 ， ， ，要使 ，
则应增加的条件是
A． B． C． D．
【解答】解：由直线与平面垂直的性质定理可知，要使 ，
只需在已知直线 、 和平面 、 ，若 ， ， ，则应增加的条件
，
故选： ．
【变式训练2】已知平面 上的一条直线 和这个平面的一条斜线 ，则“ 垂直于 ”是“ 垂直于 在平面 上的投影”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】解：三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，
那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影，满足充分性；
三垂线定理，指的是平面内的一条直线，
如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直．所以满足必要性．
故选： ．
【变式训练3】已知直线 和平面 ，则下列命题中正确的是
A．若 与 斜交，则 内不存在与 垂直的直线
B．若 ，则 内的所有直线与 都垂直
C．若 与 斜交，则 内存在与 平行的直线
D．若 ，则 内的所有直线与 都平行
【解答】解：对于 ，若 与 斜交，则 内存在与 垂直的直线，故 错误；
对于 ，若 ，则由线面垂直的性质得 内的所有直线与 都垂直，故 正确；
对于 ，若1与 斜交，则 内不存在与 平行的直线，故 错误；
对于 ，若 ，则 内的直线与 平行或异面，故 错误．
故选： ．
【变式训练4】若 为一条直线， ， ， 为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是
A． ， B．若 ，
C． ， D．若 ，
【解答】解：对 ，若 ， ， ， 可能相交也可能平行，故 项不正确；
对 ， ， ，则可能有 ，故 ， 项不正确；
对 ， ， ，则必有 ，故 项正确．故选： ．
【变式训练5】已知直线 ， 与平面 ， ， ，能使 的充分条件是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
【解答】解：直线 ， 与平面 ， ， ，
对于 ， ， ， 时， 也可能满足，如图1，故 错误；
对于 ， ， 时， 也可能满足，如图2，故 错误；
对于 ， ， 时，一定有 ，故 正确；
对于 选项， ， ， 时， 不一定成立，如图3，故 错误．故选： ．
【例2】如图，已知平面 平面 ，四边形 是矩形， ，点 ，
分别是 ， 的中点．
（Ⅰ）若点 为线段 中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ．
【解答】证明：（Ⅰ）平面 平面 ，四边形 是矩形， ，点 ，
分别是 ， 的中点，
连结 交 于 ，连结 ， ，如图，
四边形 是矩形， ，且 ，
又 ， 分别为 ， 的中点，四边形 是平行四边形，
四边形 是平行四边形， 为 的中点，
是 的中点， ，平面 ， 平面 ，
平面 ．
（Ⅱ）在矩形 中， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
面 ，
平面 ， ，
，点 是 的中点， ，
， 平面 ．
【变式训练1】如图，在长方体 中， ， ， ， 分别
是 ， 的中点．求证：
（1）四边形 为平行四边形；
（2） 平面 ．
【解答】证明：（1）以 为坐标原点， 分别为 ， ， 轴的正方向，建立
空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，2，
，
所以 ， ，
所以 ，
又 ， ， ， 四点不共线，所以四边形 为平行四边形．（2）由（1）知 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ， ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．
【变式训练2】如 图 ， 在 三 棱 锥 中 ， 侧 面 底 面 ， ，
， ， ， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 ．
【解答】证明：（1）在三棱锥 中，侧面 底面 ，侧面 底面
，
而 ，故 平面 ， 平面 ，
故 ；
又 ， 是 的中点，故 ，
而 ， ， 平面 ，
故 平面 ；
（2）因为 平面 ， 平面 ，故 ，又 ， ， ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，
故 ，又 ， ， 平面 ，
故 ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ．
【变式训练3】如图，在三棱锥 中， ， ，
是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
【解答】解：（1）
证明：在三角形 中，因为 ，且 是 的中点，所以 ，
且 ，连接 ，在等边三角形 中易得 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
因为 ，且 ， ，且 ，
所以 或其补角就是异面直线 ， 所成角，
连接 ，因为 平面 ，所以 ，
所以在 中，斜边 上的中线 ，
又因为 ， ，
所以在三角形 中， ，
因为 ，所以异面直线 与 所成角为 ．
题型二：平面与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理．
【例3】如图所示，在四棱锥 中， 是正方形， 平面 ，
， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ．
【解答】证明：（1）因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，又因为 为正方形，则 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
且 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，则 ，
又因为 是正方形，则 ，
且 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 平面 ，
且 平面 ，所以平面 平面 ．
【变式训练1】如图， 平面 ， 为圆 的直径， ， 分别为棱 ， 的
中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）证明：平面 平面 ．
【解答】证明：（1）因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）因为 为圆 的直径，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
由（1）知 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ．
【变式训练2】如图，已知正四棱柱 ，底面正方形 的边长为 2，
．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
【解答】证明：（1）因为四棱柱 为正四棱柱，
所以 平面 ，且 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ．得证．解：（2）设点 到平面 的距离为 ， 与 相交于点 ，连接 ，
因为正方形 的边长为2， ，
所以 ， ，
由三线合一可得： ，且 ，
由勾股定理得： ，
所以 ，
，
又 ，又 平面 ，
故 ，
由 ，
故点 到平面 的距离为 ．
【变式训练3】如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，
， 为 的中点， 为棱 上一动点．
（1） 在棱 上何处时，可使得 平面 ？并证明你的结论；
（2）求证：平面 平面 ．【解答】解：（1）当 为棱 的中点时， 平面 ，理由如下：
因为 为 的中点， 为 的中点，得 ，
由四边形 为正方形，得 ，因此 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
证明：（2）在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
【变式训练4】如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ，
．点 为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
【解答】（1）证明：四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ，
．点 为 的中点，记 ，因为四边形 是矩形，
所以 ，
所以 ，
因为点 是 的中点，所以 ，
在 中， ，所以 ，
因为四边形 是矩形，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，所以 ，即 ，
因为 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（ 2 ） 解 ： 因 为 平 面 ， 所 以 是 三 棱 锥 的 高 ， 故
，
连 接 ， 因 为 平 面 ， ， 平 面 ， 所 以 ，，
在 中， ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
在 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， 所 以
，所以 ，
所以 ，即点 到平面 的距离是 ．
题型三：垂直关系的判断
【要点讲解】三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转
化．
【例4】如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，且 ， ，
， 平面 ， 于 ．给出下列四个结论：
① ；
② 平面 ；
③ 平面 ；④ ．
其中正确的选项是 ①②③④ ．
【解答】解：在 中， ， ， ，
可得 ，
即有 ，可得 ；
由 平面 ，可得 ，
而 ，可得 平面 ；
由 平面 ，可得 ，
而 ，又 ，
可得 平面 ，即有 ．
故答案为：①②③④．
【变式训练1】已知 ， 是两个互相垂直的平面， ， 是一对异面直线，下列五个结
论：
（1） ，
（2） ，
（3） ，
（4） ，
（5） ， ， ．其中能得到 的结论有 （ 3 ）（ 5 ） （把所有满足条件的序号都填上）
【解答】解： ， 是两个互相垂直的平面， ， 是一对异面直线，下列五个结论：
（1） ， ，也可能 ．推不出 ，所以不正确．
（2） ， ， 可能与 相交，推不出 ，所以不正确；
（3） ， ，能得到 的结论，正确；
（4） ， ， 可能与 相交，推不出 ，所以不正确；
（5） ， ， ．能得到 的结论，正确；
故答案为：（3）（5）．
【变式训练2】如图，在正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ， 为正方
体的顶点．则满足 的是 ①③ ．（填写正确的序号）
【解答】解：设正方体的棱长为2，
对于①，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，0， ， ，0， ， ，0，
， ，1， ，
则 ，
所以 ，
所以 ，故①正确，对于②，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，2， ， ，0， ， ，1，
， ，1， ，
则 ，
所以 ，
所以 与 不垂直，故②错误，
对于③，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，2， ， ，2， ， ，0，
， ，1， ，
则 ，
所以 ，
所以 ，故③正确，对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，0， ， ，2， ， ，2，
， ，1， ，
则 ，
所以 ，
所以 与 不垂直，故④错误，
故答案为：①③．
【变式训练3】以下四个正方体中，满足 平面 的有
A． B．C． D．
【解答】解：对 ， ， ，
与 所成角为 ，
故 与平面 不垂直，故 错误；
对 ，在正方体中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，故 正确；
对 ，连接 ， ，如图，
在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知， 为正三角形，
所以 ，
又 ， 与 所成的角为 ，
所以 与平面 不垂直，故 不正确；
对 ，连接 ， ，如图，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
同理可得 ，
再由 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，故 正确．
故选： ．
【变式训练4】如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
为 的中点，则下列结论正确的有
A． 平面 B． C． 平面 D． 平面
【解答】解：在三棱锥 中， 平面 ，可得 ．
又 ， ，可得 平面 ，故 正确；
由 ， 为 的中点，可得 ，而 平面 ， 平面 ，可
得 ，
则 平面 ，所以 ，故 、 都正确；
若 平面 ，可得 ，而 平面 ，即有 ，
可得在平面 内， 与 重合，显然矛盾，故 错误．
故选： ．
【变式训练5】如图，在正四棱柱 中， ， ， ， 分别是棱
， ， 的中点，则A．
B． 平面
C．直线 与 是异面直线
D．直线 与平面 的交点是 的外心
【解答】解：以点 为坐标原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，
对于 选项， ，1， ， ，0， ， ，1， ，
， ， ， ，即 ，故
正确；
对 于 选 项 ， ， 1 ， ， ， ， 即
，
又 ， ， 平面 ，平面 ，故 正确；
对于选项 ，连接 ， ，
，1， ， ，0， ， ，1， ， ，
则 ， ，所以 ，
由图知， ， 不共线，所以 ，则 ， ， 四点共面，
所以直线 与 是共面直线，故 错误；
对于选项 ，设直线 与平面 的交点为 ，
由正方体的性质知， ，则四面体 为正四面体，
又因为 平面 ，则 为正三角形 的中心，
即 为正三角形 的外心，故 正确．
故选： ．
【变式训练6】棱长为2的正方体的展开图如图所示．关于该正方体，下列说法正确的是
A．
B． 平面
C．平面 平面
D．动点 在正方体的表面上运动， 为 中点，且 ，则点 的运动轨迹
围成的面积为
【解答】解：由展开图还原正方体，如下图．对于 ， ，且 ，
四边形 是平行四边形，
，故 正确；
对于 ， 平面 ， 平面 ，
，
又 ， ， ， 平面 ，
平面 ，故 正确；
对于 ， 平面 ， 平面 ，
，
， ， 、 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 ，故 正确；
对于 ， ， ，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ．
同理 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．
分别取 、 、 、 、 的中点 ， ， ， ， ，
连接 ， ， ， ， ， ，
易知 ， ， ，所以 ， ， ， ， ， 六点共面，且所在平面平行于平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
点 的轨迹是正六边形 的边，
点 的轨迹围成的面积为 ，故 错误．
故选： ．
【变式训练7】在正四面体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则
A． 与 平行，平面 平面
B． 与 异面，平面 平面
C． 与 平行， 与平面 平行
D． 与 异面， 与平面 平行
【解答】解： 与
平面 ， 平面 ， ，
所以 与 异面， 故选项错误，
与
由于 ， 分别是 ， 的中点，所以 ， ，
由于 ，所以 与 是异面直线， 选项错误，
连接 ，由于 ， 是等边三角形，所以 ， ，由于 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，由于 平面 ，
所以平面 平面 ，所以 选项正确，
设 是 的中点，连接 ， ，
由于 是 的中点，所以 ， ，
所以 ，所以平面 也即平面 ，
平面 ，所以 选项错误．
故选： ．
【变式训练8】在三棱柱 中， 为 的中点， ， 平
面 ， ，则下列结论错误的是
A．平面 平面 B．平面 平面
C． 平面 D．
【解答】解：在三棱柱 中， 平面 ， ，以点 为坐标
原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，则 ，0， 、 ，0， 、 ，2， 、
、 、 、 ，设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，
对于 选项，因为 ，即 与 不垂直，
所以，平面 与平面 不垂直， 错；
对于 选项， ，所以 与 不垂直，即平面 与平面 不垂直， 错；
对于 选项， ，因为 ，即 与 不垂直，则 与平
面 不平行， 错；
对于 选项， ，则 ，所以 ， 对．
故选： ．【变式训练9】如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的一点，
则下面结论中错误的是
A． B．
C． 平面 D．平面 平面
【解答】解：选项 ， 平面 ， ，
， ， 、 平面 ，
平面 ， ，即选项 正确；
选项 ， 平面 ， ，
， ， 、 平面 ，
平面 ， ，即选项 正确；
选项 ，若 平面 ， 平面 ， ，这与过一点有且仅有一条
直线垂直于同一个平面矛盾，即选项 错误；
选项 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，即选项 正确．
故选： ．【变式训练10】如图，正方体 中，点 、 、 、 分别为棱 ， ，
， 的中点，点 为棱 上的动点，则下列说法中正确的个数是
① 与 异面；
② 平面 ；
③平面 截正方体所得的截面图形始终是四边形；
④平面 平面 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：对于①，连接 ， ，
， ， 四边形 是平行四边形，
又 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 ， 与 是异面直线，故①正确；
对于②，连接 ，则 ， ，
四边形 是平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ，故②正确；
对于③，取 的中点 ，当 与 重合时，连接 ，则有 ， ， ， ，
四点共面，
即平面 截正方体的图形是四边形 ，如下图：
当 点在线段 上时，在平面 内作直线 ，交 的延长线于 ，
交 于 ，连接 ，
， ， ， ， 四点共面， 平面 ，
，
即平面 截正方体的图形是五边形 ，如下图：故③错误；
对于④，在正方形 内， ， ，
，
，又 平面 ， 平面 ，
， ， 平面 ， ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，故④正确．
故选： ．
【变式训练11】设 ， 为两条直线， ， 为两个平面，若 ，则
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【解答】解：对于 ，若 ， ， ，则 与 平行、相交或异面，故 错误；
对于 ，若 ， ， ，则 与 平行、相交或异面，故 错误；
对于 ，若 ， ， ，则 ，故 正确；
对于 ，若 ， ， ，则 与 平行、相交或异面，故 错误．
故选： ．题型四：直线与平面所成的角
【要点讲解】(1)根据线面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒
证⇒求(算)三步曲．(2)射影法：设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为
θ，则cos θ＝；设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，
则cos θ＝. (3)向量法，详见后续内容.
【例5】正方体 中，直线 与平面 所成的角为
A． B． C． D．
【解答】解：正方体 中，连接 ，连接 ，如图，
则有 ，而 平面 ， 平面 ，即有 ，
又 ， ， 平面 ，因此 平面 ，
则 是直线 与平面 所成的角，
在 △ 中， ， ，则有 ，
所以直线 与平面 所成的角为 ．
故选： ．
【变式训练1】正四棱柱 中， ，四面体 体积为 ，则
与平面 所成角的正弦值为A． B． C． D．
【解答】解：设 ，
因为正四棱柱 中， ，四面体 体积为 ，
所以 ，
所以 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
，2， ， ，0， ， ， ， ，
设 ， ， 是平面平面 的一个法向量，则 ，令 ，则 ，
所以 ，1， ，
， ， ，
所以 ， ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
故选： ．
【变式训练2】在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为 1，则
与侧面 所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：如，分别取 ， 的中点 ， ．由正三棱柱 易证，
平面 ．
连接 ，易知 ， ， 两两垂直．
以 为原点直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系
由已知得： ，0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
所以 ， ， ， ，0， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ， ， ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，故 ， ， ．
设 与侧面 所成角为 ，则 ．
故选： ．
【变式训练3】在棱长为2的正方体 中， 为 上的动点，则 与平
面 所成角的正切值不可能为
A．1 B． C． D．
【解答】解：如图，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
由 可知，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
所以 与平面 所成角为 ， ，而 ．
所以 ．显然 ，故 不可能．
故选： ．
【例6】如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为
， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：（法一）
取 的中点 ，连接 ， ，因为直三棱柱 中， 为 的中点，
所以 ，且 ，
因为 ， 分别 ， 的中点，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（法二）
取 的中点 ，连接 ， ，
由直三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
又因为 为 的中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为点 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
而 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
而 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为在直三棱柱 中又有 ，
所以 ， ， 两两垂直，分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图
所示的空间直角坐标系：则 ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，1， ，
所以 ， ， ，
设 是平面 的法向量，
则 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成的角的余弦为 ．
【变式训练1】如图1， 是边长为6的等边三角形，点 ， 分别在线段 ，
上， ， ，沿 将 折起到 的位置，使得 ，如图2．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
【解答】解：（Ⅰ）在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
将 代入上式整理得到：
所以 ，
所以 ，在 中， ， ， ，
易得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 平面 ，
所以平面 平面 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ， ， 两两互相垂直，所以以 为原点， ， ， 所
在直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，0， ， ，0， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，
设 ，
易知 ，故 ，
又因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
即 ．
【变式训练2】如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ，
， ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）取 中点为 ，连接 ， ，如图所示，
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 且 ，又因为 且 ，
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
解：（2）取 中点为 ，以 为空间直角坐标系原点， 为 轴， 为 轴， 为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，令 ，解得 ，
即 ，
又因为 ， ， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ， ．
题型五：二面角
【要点讲解】根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，步骤是作(找)⇒证⇒
求(算)三步曲．【例7】如图，在正方体 中，截面 与底面 所成锐二面角
的正切值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接 交 于点 ，连接 ，
则 ， ， 为二面角 的平面角，
设 ，则 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是棱 的中点，则平面 与平面 所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，4， ， ，2， ， ，4， ，设平面
的法向量 ，
，则 ，
令 ，则 ， ，
，
同理可得：平面 的法向量 ，故 ，
设平面 与平面 所成角为 ，则 ，
故平面 与平面 所成角的正弦值 ．
故选： ．
【变式训练2】如图，二面角 等于 ， ， 是棱 上两点， ， 分别在
半平面 ， 内， ， ，且 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为二面角 为 ， ， 为棱 上的两点， ， 分别在半平
面 、 内， ， ，
所以 ， ， ， ，
又 ，
所以
．
故选： ．
【变式训练3】如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，
且 ，点 为线段 的中点．（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【解答】解：（1）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
， 分别为 ， 的中点，
，
又 在平面 内， 不在平面 内，
平面 ；
（2） 平面 ，
，
又 四边形 为正方形，
，
平面 ，
以点 为坐标原点， 分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
各点坐标如下， ，0， ， ，0， ， ，2， ，
，2， ， ，0， ， ，1， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
平面 ， ，
平面 的一个法向量为 ，
，
又二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ．
【变式训练4】 是正三角形，线段 和 都垂直于平面 ，设 ，
，且 为 的中点，如图：
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
（3）求平面 与平面 所成的二面角的大小．
【解答】解：（1）证明：如图所示，取 中点 ，连 、 ．
， ，
，且 ．又 ，且 ，
且 ．
四边形 为平行四边形， ．
平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）证明： 平面 ，
．
又 是正三角形， 是 的中点，
．
平面 ．
又 ，
平面 ．
平面 平面 ．
， ，
．
平面 ，
．
（3）解：延长 交 延长线于 ，连 ．
由 ， 知， 为 的中点，
．
又 平面 ， ．
平面 ．
为所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形 中，可得 ．
平面 与平面 所成的较小二面角是 ．【变式训练5】如图，在三棱柱 中， 平面 ， 为正三角形，侧
面 是边长为2的正方形， 为 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 大小的余弦值．
【解答】 证明： 为正三角形， 为 的中点．
，
平面 ， 面 ， ，
，
面 ，又 面 ，
平面 平面
（Ⅱ）解：取 的中点 ，连接 ， ， 为正三角形， ，
平面 ，又 ， 平面 ， 为二面角 平
面角，侧面 是边长为2的正方形，所以 ，
为正三角形， ，
所以 ，
，
二面角 大小的余弦值为 ．
题型六：存在性问题
【例8】如图，在正方体 中，点 ， 分别是棱 和线段 上的动点，
则满足与 垂直的直线
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有无数条 D．不存在
【解答】解：作 交于 ，连接 ，在正方体中，可知 ，
当 ， 的高度一样时，则 ，
可得四边形 为平行四边形，所以 ，正方体中， 面 ， 面 ，
所以 ，进而可证得 ，
因为 ， 点的位置无数多个，所以这样的直线 由无数多条．
故选： ．
【变式训练1】在正四面体 中，已知 ， 分别是 ， 上的点（不含端点），
则
A．不存在 ， ，使得
B．存在 ，使得
C．存在 ，使得 平面
D．存在 ， ，使得平面 平面
【解答】解：（1）对于 ， 选项，取 ， 分别为 ， 的中点如图：
因为 是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．
所以 ，所以 ，同理可证 ．故 错误；
又因为 ， ，且 ，故 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ．故 正确．
（2）对于 选项，将 看成正三棱锥的顶点，易知当 在 上移动时， 的最小
值为直线 与平面 所成的角，即（1）中的 ，显然为锐角，最大角为
，故当 在 上移动时，不存在 ，使得 ．故 错误．
（3）对于 选项，将 看成顶点，则由 向底面作垂线，垂足为底面正三角形 的中
心，不落在 上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在 ，
使得 平面 ，故 错误．
故选： ．【变式训练2】如图，已知正方体 ，点 在直线 上， 为线段 的
中点，则下列命题中假命题为
A．存在点 ，使得 B．存在点 ．使得
C．直线 始终与直线 异面 D．直线 始终与直线 异面
【解答】解：正方体 中，易得 平面 ，
点 在直线 上， 为线段 的中点，
当点 和 重合时， 平面 ，
，故 正确；
连接 ，如图所示：当点 为线段 的中点时， 为三角形 的中位线，即 ，故 正确；
平面 ，当点 和点 重合时， 平面 ，
则直线 和 在同一平面内，故 错误；
平面 ， 平面 ， ，
故直线 始终与直线 不相交，且不平行，是异面直线，故 正确．
故选： ．
【例9】如图，正方形 所在平面和等腰梯形 所在平面相互垂直，已知 ，
．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明： 平面 平面 ，
平面 平面 ， ， 平面 ，
平面 ．
平面 ，
．过 作 于 ，则 ， ， ，
， ，
，
，
平面 ，
平面 ，
．
（2）解：存在满足条件的点 ，且 ，理由如下：
由（1）可知， 、 、 两两垂直，
以 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，0， ， ，0， ， ， ．
假设在线段 上存在一点 满足题意，则点 不与点 、 重合，设 ，则 ， ，设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ， ， 可 得
，
令 ，则 ，所以 为平面 的一个法向量．
同理，可求得 为平面 的一个法向量．
当 时，即 时，平面 平面 ，解得 ，
因此，存在满足题意的点 ，此时 ．
【变式训练1】如图，直三棱柱 中， ， ， ，
分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？说明理由．
【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：取 中点 ，连接 ， ．
在 中，因为 为 中点，所以 ， ．
在矩形 中，因为 为 中点，所以 ， ．
所以 ， ．
所以 四边形 为平行四边形，所以 ． （4分）
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． （6分）
（Ⅱ）解：线段 上存在点 ，且 为 中点时，
有 平面 ． （8分）
证明如下：连接 ．
在正方形 中易证 ．
又 平面 ，所以 ，从而 平面 ．
所以 ． （10分）
同理可得 ，所以 平面 ．
故线段 上存在点 ，使得 平面 ． （12分）【变式训练2】如图示，正方形 与正三角形 所在平面互相垂直， 是 的中
点．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使面 面 ？并证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：由正方形 与正三角形 所在平面互相垂直， 是
的中点，
可得 ， 平面 ，
而 平面 ，则 ；
（2）在线段 上存在一点 ，且 为 的中点，使面 面 ．
证明：由（1）可得 平面 ，
又 平面 ，可得 ．
由 为 的中点，可得 ，
在直角三角形 中， ，
在直角三角形 中， ，
而 ，则 ，
，可得 ，
即有 ，
可得 平面 ，
又 平面 ，可得面 面 ．
【变式训练3】如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为
直角梯形， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得直线 垂直平面 ，若存在，求出线段
的长，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明： 在四棱锥 中，
面 ， 面 ， 面 ，
， ，
由在直角梯形 中， ，
又 面 ， 面 ，
面 ，又 面 ，
；
（2）由题意及（1）得，存在一点 ，使得直线 垂直于平面 ．在四棱锥 中， ， ，
建系如图所示，根据题意可得：
，0， ， ，0， ， ，1， ， ，2， ， ，0， ，
， ， ，
设 ， ， ， ，
又点 在线段 上， ，
，
， ， ， ，
若 面 ，
则 ，
解得 ，
，
．
