文档内容
专题 7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)........................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:42)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:28)................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15)(cid:28)..............................................................................................................................................11
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:21)(cid:28)..................................................................................................................................13
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:53)(cid:31)(cid:46)(cid:21)(cid:28)..............................................................................................................................................15
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:28)..................................................................................................................................19
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:28)..............................................................................................................................22
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:28)..................................................................................25
1(cid:43)(cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:55)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:52)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)
(cid:25)(cid:40)(cid:65)(cid:66) (cid:67)(cid:21)(cid:68)(cid:69) (cid:25)(cid:70)(cid:50)(cid:71)
(1)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:55)(cid:79)(cid:80)
(cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:55)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:52)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)
(cid:81)(cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:55)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:32) 2022(cid:100)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:101)(cid:10)(cid:102)9(cid:21)(cid:77)
(cid:63)(cid:104)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:105)(cid:40)(cid:106)(cid:107).(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:100)(cid:32)(cid:24)(cid:25)
(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:83)(cid:77)(cid:84)(cid:85) 5(cid:50)
(cid:70)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:77)(cid:114)(cid:65)(cid:50)(cid:115)(cid:75)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:25)(cid:118)(cid:77)(cid:95)
(cid:86)(cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:55)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:32) 2022(cid:100)(cid:83)(cid:103)(cid:101)(cid:10)(cid:102) 15(cid:21)(cid:77)5
(cid:104)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:40)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:3)(cid:63)(cid:32)(cid:119)(cid:21)(cid:32)(cid:67)(cid:120)
(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:32)(cid:49)(cid:87) (cid:50)
(cid:56)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:94)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)
(2)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:94) 2023(cid:100)(cid:83)(cid:103)(cid:101)(cid:10)(cid:102) 15(cid:21)(cid:77)5
(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:46)(cid:21)(cid:122)(cid:124)(cid:125)(cid:20)(cid:126)(cid:21)(cid:43)(cid:127)(cid:51)(cid:21)(cid:32)(cid:128)
(cid:95)(cid:91)(cid:49)(cid:15)(cid:77)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:27)(cid:49)(cid:15) (cid:50)
(cid:129)(cid:25)(cid:118)(cid:77)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133).
(cid:89)(cid:99)(cid:46)(cid:21)
(cid:22)(cid:134)(cid:81)(cid:40)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)
1(cid:135)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:37)(cid:33)(cid:136)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)1(cid:94)2(cid:32)(cid:137)(cid:91)(cid:38)(cid:39)
(1)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:37)(cid:138)(cid:139)(cid:140)
(cid:141)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)1(cid:10)(cid:142)(cid:143)(cid:78)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:83)(cid:32)(cid:137)(cid:91)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31).
(cid:148)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)2(cid:10)(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:83)(cid:32)(cid:115)(cid:91)(cid:40)(cid:78)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:78)(cid:153)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106).
(cid:154)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)3(cid:10)(cid:149)(cid:150)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:7)(cid:41)(cid:40)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:157)(cid:158)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:144)(cid:142)(cid:159)(cid:40)(cid:32)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:42).
(cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)4(cid:10)(cid:30)(cid:117)(cid:136)(cid:161)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117).
(2)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:32)(cid:164)(cid:27)
(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)1(cid:10)(cid:141)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:122)(cid:148)(cid:56)(cid:121)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:155)(cid:156)(cid:122)(cid:154)(cid:166)(cid:167)(cid:40)(cid:43)(cid:42)(cid:41)(cid:31).(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)2(cid:10)(cid:141)(cid:56)(cid:121)(cid:55)(cid:42)(cid:104)(cid:168)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:40)(cid:104)(cid:168)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:122)(cid:148)(cid:27)(cid:55)(cid:42)(cid:169)(cid:170)(cid:30)(cid:31).
(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)3(cid:10)(cid:141)(cid:56)(cid:121)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:122)(cid:148)(cid:166)(cid:167)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:122)(cid:154)(cid:166)(cid:167)(cid:42)(cid:41)(cid:40).
(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)4(cid:10)(cid:141)(cid:56)(cid:121)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:30)(cid:117).
(3)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)1(cid:94)2(cid:32)(cid:137)(cid:91)(cid:38)(cid:39)
(cid:38)(cid:39) (cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175) (cid:176)(cid:128)(cid:174)(cid:175) (cid:177)(cid:9)(cid:174)(cid:175)
(cid:178)(cid:142)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:153)(cid:144)(cid:55)(cid:42)
(cid:40)A a a(cid:60)A(cid:41)(cid:31)(cid:136)
(cid:38)(cid:39)1 (cid:179)(cid:95)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)
(cid:31). (cid:30)(cid:31)∉ α,(cid:146)(cid:30)(cid:31)(cid:180)(cid:95).
(cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)
a
∩
b=P a(cid:60)b(cid:41)(cid:31)(cid:136)
(cid:38)(cid:39)2
(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31).
(cid:30)(cid:31)α,(cid:146)(cid:30)(cid:31)(cid:180)(cid:95).
(cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:30)(cid:117)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)
(cid:55)(cid:42)a//b (cid:55)(cid:42)a,b(cid:41)
(cid:38)(cid:39)3
(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31).
(cid:31)(cid:136)(cid:30)(cid:31)α,(cid:146)(cid:30)(cid:31)(cid:180)(cid:95).
2(cid:135)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15)
(1)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:10)(cid:149)(cid:150)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:144)(cid:181)(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:98)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:163)(cid:47)(cid:184)(cid:162)(cid:185).
(2)(cid:177)(cid:9)(cid:174)(cid:175)(cid:10)(cid:149)(cid:176)(1)(2)(cid:57)(cid:140)(cid:77)(cid:78)(cid:186)AOB(cid:60)(cid:186)A'O'B'(cid:59)(cid:77)OA(cid:187)O'A'(cid:77)OB(cid:187)O'B'(cid:77)(cid:188)(cid:186)AOB=(cid:186)A'O'B'
(cid:184)(cid:186)AOB+(cid:186)A'O'B'= .
(cid:22)(cid:134)(cid:81)(cid:40)2 (cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:32)(cid:166)(cid:167)(cid:75)(cid:189)(cid:28)
1(cid:135)(cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:32)(cid:166)(cid:167)
(1)(cid:166)(cid:167)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:189)(cid:10)(cid:190)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:173)(cid:191)(cid:192)(cid:166)(cid:138)(cid:193)(cid:32)(cid:42)((cid:184)(cid:40))(cid:78)(cid:153)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106).
(2)(cid:166)(cid:167)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:75)(cid:189)(cid:10)(cid:190)(cid:194)(cid:115)(cid:40)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:192)(cid:166)(cid:138)(cid:195)(cid:196)(cid:40)(cid:197)(cid:78)(cid:153)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:83).
(3)(cid:166)(cid:167)(cid:42)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:32)(cid:124)(cid:27)(cid:75)(cid:189)(cid:104)(cid:10)(cid:190)(cid:166)(cid:138)(cid:59)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:171)(cid:136)(cid:95)(cid:40)(cid:77)(cid:192)(cid:166)(cid:138)(cid:195)(cid:55)(cid:42)(cid:178)(cid:142)(cid:159)(cid:40).
(cid:22)(cid:134)(cid:81)(cid:40)3 (cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:21)(cid:28)
1(cid:135)(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:21)
(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:115)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:200)?(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:200)?
(1)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:115)(cid:201)(cid:70)(cid:128)(cid:10)
(cid:141)(cid:202)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:137)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(1)(cid:122)
(cid:148)(cid:202)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:90)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(2).(2)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:204)(cid:201)(cid:70)(cid:128)(cid:10)
(cid:141)(cid:202)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:90)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)8(1)(cid:122)
(cid:148)(cid:202)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:102)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:163)(cid:171)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:205)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(2)(cid:122)
(cid:154)(cid:202)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:161)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:205)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(3)(cid:122)
(cid:160)(cid:202)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:146)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:161)(cid:95)(cid:40)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:206)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(4)(cid:122)
(cid:207)(cid:202)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:146)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:208)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(5).
(cid:22)(cid:134)(cid:81)(cid:40)4 (cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:64)(cid:52)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:28)
1(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)
(1)(cid:137)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)
(cid:209)(cid:158)(cid:210)(cid:143)(cid:161)(cid:78)(cid:211)(cid:212)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:32)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:213)(cid:214)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42).(cid:136)(cid:104)(cid:77)(cid:51)(cid:52)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:145)(cid:137)(cid:201)(cid:10)
(2)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:216)(cid:189)
(cid:217)(cid:88)(cid:139)(cid:140)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)a,b(cid:143)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:218)(cid:40)(cid:77)(cid:164)(cid:176)(cid:203)(cid:77)(cid:219)(cid:124)(cid:27)(cid:95)(cid:91)(cid:184)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:220)(cid:221)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140).
2(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)
(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:137)(cid:201)(cid:77)(cid:222)(cid:76)(cid:149)(cid:223)(cid:10)
(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (cid:176)(cid:128)(cid:139)(cid:140) (cid:177)(cid:9)(cid:139)(cid:140) (cid:7)(cid:41)(cid:40)
(cid:55)(cid:42)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:106) (cid:145)(cid:224)(cid:13)(cid:91)(cid:7)(cid:41)(cid:40)
(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171) (cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:7)(cid:41)(cid:40)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117) (cid:225)(cid:145)(cid:7)(cid:41)(cid:40)
3(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)
(1)(cid:115)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)
(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:52)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:125)(cid:223)(cid:115)(cid:201)(cid:77)(cid:222)(cid:76)(cid:149)(cid:223)(cid:10)
(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (cid:176)(cid:128)(cid:139)(cid:140) (cid:177)(cid:9)(cid:139)(cid:140) (cid:7)(cid:41)(cid:40)
(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117) (cid:225)(cid:145)(cid:7)(cid:41)(cid:40)
(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171) (cid:145)(cid:95)(cid:144)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:42)
(2)(cid:115)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)
(cid:30)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:216)(cid:189)(cid:226)(cid:227)
(cid:216)(cid:115)(cid:91)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:203)(cid:77)(cid:65)(cid:4)(cid:228)(cid:229)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:32)(cid:183)(cid:98)(cid:181)(cid:30)(cid:117).
4(cid:135)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)
(1)(cid:49)(cid:87)(cid:10)(cid:230)(cid:134)a(cid:77)b(cid:104)(cid:115)(cid:144)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:178)(cid:142)(cid:51)(cid:52)(cid:211)(cid:228)(cid:95)(cid:40)O(cid:164)(cid:55)(cid:42)a'//a(cid:77)b'//b(cid:77)(cid:210)a'(cid:60)b'(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:213)(cid:214)
(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)a(cid:60)b(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)((cid:184)(cid:231)(cid:48)).
(2)(cid:232)(cid:233)(cid:10) .
(cid:22)(cid:75)(cid:189)(cid:226)(cid:227)(cid:60)(cid:234)(cid:235)(cid:28)
1(cid:135)(cid:166)(cid:167)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:60)(cid:42)(cid:41)(cid:40)(cid:197)(cid:236)(cid:27)(cid:237)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)3.
2(cid:135)(cid:115)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:238)(cid:235)(cid:237)(cid:95)(cid:91)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:32)(cid:106)(cid:48)(cid:203)(cid:77)(cid:107)(cid:133)(cid:239)(cid:240)(cid:153)(cid:91)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:32)(cid:106)(cid:48)(cid:241)(cid:97)(cid:47)(cid:136)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57)
(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:77)(cid:242)(cid:241)(cid:97)(cid:47)(cid:136)(cid:138)(cid:185)(cid:48).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)
(cid:22)(cid:243)1(cid:28)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:250)(cid:86)(cid:223)(cid:251)(cid:90)(cid:91)(cid:235)(cid:39)(cid:10)
(cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:122)
①(cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:30)(cid:117)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:122)
②(cid:178)(cid:142)(cid:137)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:122)
③(cid:178)(cid:142)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31).
(cid:138)④(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:235)(cid:39)(cid:32)(cid:91)(cid:13)(cid:217)(cid:44) (cid:45)A(cid:135)1 B(cid:135)2 C(cid:135)3 D(cid:135)4
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:40)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:116)(cid:117)(cid:56)(cid:121)(cid:257)(cid:241).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:77)(cid:133)(cid:134) (cid:252)(cid:165).
(cid:260)(cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:77)(cid:188)(cid:178)(cid:142)(cid:137)(cid:40)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:224)(cid:13)(cid:261)(cid:91)(cid:77)①(cid:262)② (cid:263)(cid:264).
(cid:260)(cid:40)(cid:78)(cid:55)(cid:42)(cid:179)(cid:77)(cid:188)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:260)(cid:40)(cid:78)(cid:55)(cid:42)(cid:83)(cid:77)③(cid:188)(cid:241)(cid:145)(cid:224)(cid:13)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:262) (cid:263)(cid:264).
(cid:257)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:119)(cid:21)(cid:145)2(cid:91)(cid:77) ④
(cid:262)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)1-1(cid:28)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:223)(cid:251)(cid:266)(cid:189)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:137)(cid:40)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) B(cid:135)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)
C(cid:135)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) D(cid:135)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:40)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:267)(cid:27)(cid:268)(cid:76)(cid:110)(cid:212)(cid:59)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:165)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:189)(cid:66)(cid:89)(cid:257)(cid:241).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:40)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:262)(cid:20)(cid:269)A(cid:263)(cid:264)(cid:77)
(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:270)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)(cid:262)(cid:20)(cid:269)B(cid:263)(cid:264)(cid:77)
(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:32)(cid:271)(cid:40)(cid:104)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:40)(cid:77)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:262)(cid:20)(cid:269)C(cid:252)(cid:165)(cid:77)
(cid:202)(cid:40)(cid:78)(cid:55)(cid:42)(cid:83)(cid:203)(cid:224)(cid:189)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:262)(cid:20)(cid:269)D(cid:263)(cid:264).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)1-2(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:137)(cid:223)·(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:167)·(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:77) (cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:263)(cid:264)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:260) = (cid:77) (cid:146) (cid:77)(cid:188) 𝛼 𝛽
B(cid:135)(cid:260)𝛼A(cid:77)∩𝛽B(cid:77)C𝑙 (cid:104)𝐴(cid:30)∈(cid:31)𝛼 (cid:106)𝐴(cid:143)∈𝛽(cid:41)(cid:42)(cid:137)𝐴(cid:40)∈(cid:77)𝑙 (cid:77) (cid:77)(cid:188)
C(cid:135)(cid:260)(cid:55)(cid:42) (cid:77)(cid:55)(cid:42)𝛼 (cid:77)(cid:188)a(cid:60)b(cid:217)𝐴(cid:54)∈(cid:31)𝛽 (cid:55)𝐵(cid:42)∈𝛽 𝐶∉𝛽
D(cid:135)(cid:260)A(cid:77)B𝑎(cid:104)⊂𝛼(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)𝑏(cid:32)⊂(cid:40)𝛽(cid:77) (cid:146) (cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:21)(cid:228)(cid:235)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)𝐴(cid:36)∈𝛼(cid:125)(cid:37)𝐵(cid:163)∈(cid:3)𝛼(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)𝐴(cid:279)𝐵(cid:269)⊂(cid:50)𝛼(cid:71)(cid:56)(cid:121).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:183)(cid:136)A(cid:77)(cid:280)(cid:217) (cid:146) (cid:77)(cid:188)A(cid:104)(cid:30)(cid:31) (cid:94)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:7)(cid:41)(cid:40)(cid:77)
(cid:281)(cid:280)(cid:217) = (cid:77)(cid:194)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)𝐴∈3𝛼(cid:241)(cid:282)𝐴∈𝛽(cid:77)(cid:262)A(cid:252)(cid:165)(cid:122)𝛼 𝛽
(cid:183)(cid:136)B(cid:77)𝛼∩(cid:194)𝛽(cid:33)(cid:34)𝑙(cid:92)(cid:93)1(cid:10)(cid:142)(cid:143)(cid:78)(cid:95)(cid:144)(cid:55)𝐴(cid:42)∈𝑙(cid:83)(cid:32)(cid:137)(cid:91)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)
(cid:281)(cid:280)(cid:217) (cid:77) (cid:146)A(cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:188) (cid:77)(cid:262)B(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)C(cid:77)𝐴∈(cid:194)𝛽(cid:136)(cid:30)𝐵(cid:31)∈𝛽(cid:94)(cid:30)(cid:31)𝐵(cid:61)(cid:62)𝐶∈(cid:143)𝛼(cid:165)(cid:49)(cid:77)𝐶∉𝛽
(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:60)(cid:55)(cid:42) (cid:61)𝛼(cid:62)(cid:283)(cid:143)(cid:165)𝛽(cid:49)(cid:77)(cid:241)(cid:97)(cid:54)(cid:31)(cid:43)(cid:163)(cid:171)(cid:43)(cid:30)(cid:117)(cid:43)(cid:155)(cid:156)(cid:77)(cid:262)C(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)D(cid:77)𝑎 (cid:194)(cid:33)(cid:34)𝑏(cid:92)(cid:93)2(cid:10)(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:83)(cid:32)(cid:115)(cid:91)(cid:40)(cid:78)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:78)(cid:153)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:262)D(cid:252)(cid:165)(cid:135)
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C(cid:135)
(cid:22)(cid:265)(cid:129)1-3(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:284)(cid:273)(cid:285)(cid:286)·(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:45)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:142)(cid:137)(cid:91)(cid:40)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)
B(cid:135)(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:115)(cid:144)(cid:30)(cid:117)(cid:55)(cid:42)(cid:197)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:143)(cid:95)(cid:49)(cid:41)(cid:31)
C(cid:135)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:217)(cid:30)(cid:31)(cid:176)(cid:128)
D(cid:135)(cid:149)(cid:150)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:7)(cid:41)(cid:40)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:157)(cid:158)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:144)(cid:142)(cid:159)(cid:40)(cid:32)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:42)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:241)(cid:56)(cid:121)A(cid:77)D(cid:77)(cid:194)(cid:38)(cid:39)(cid:241)(cid:56)(cid:121)B(cid:77)(cid:255)(cid:256)(cid:218)(cid:243)(cid:241)(cid:56)(cid:121)C.
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:7)(cid:15)(cid:134)(cid:77)(cid:142)(cid:143)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:137)(cid:40)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:262)A(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:280)(cid:217)(cid:115)(cid:144)(cid:30)(cid:117)(cid:55)(cid:42)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:287)(cid:115)(cid:91)(cid:171)(cid:40)(cid:197)(cid:78)(cid:153)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:262)(cid:153)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:242)(cid:78)(cid:153)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:57)(cid:125)(cid:137)(cid:144)(cid:55)
(cid:42)(cid:41)(cid:31)(cid:77)(cid:262)B(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:194)(cid:51)(cid:52)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:143)(cid:104)(cid:30)(cid:31)(cid:176)(cid:128)(cid:241)(cid:134)(cid:77)C(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:194)(cid:7)(cid:15)(cid:134)(cid:77)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:7)(cid:41)(cid:40)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:157)(cid:158)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:144)(cid:142)(cid:159)(cid:40)(cid:32)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:262)D(cid:252)(cid:165).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:42)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:243)2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:288)(cid:289)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:78)(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77)(cid:55)(cid:42) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:171)(cid:40)(cid:217) (cid:217)(cid:42)(cid:276)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:235)(cid:39)(cid:263)(cid:264)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐶 𝐴𝐵 𝐷 𝑀,𝑂
1 1
𝐵 𝐷A(cid:135) (cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42) B(cid:135) (cid:90)(cid:40)(cid:54)(cid:143)(cid:41)(cid:31)
1
C(cid:135)𝐴,𝑀,𝑂 (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31) D(cid:135)𝑀,𝑂,𝐴 ,𝐵(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)
1 1
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)𝐵(cid:254),𝐵(cid:28),𝑂(cid:194),𝑀(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:35)(cid:36)(cid:133)(cid:134) , (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)𝐵(cid:146),𝐷 ,𝐶,𝑀 (cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42), (cid:192)(cid:255)(cid:256) (cid:60) (cid:43)(cid:31)
1 1 1 1 1
(cid:43) (cid:31) (cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:134) 𝐴,𝐴 (cid:78)𝐶(cid:31),𝐶 (cid:60)𝑂(cid:31)𝑀 ,𝐵𝐵 (cid:32)(cid:171)(cid:42)(cid:83), (cid:161)(cid:15)(cid:56)𝑀(cid:121) 、𝐴 ,𝐶 (cid:257)(cid:241)(cid:56)𝐴(cid:121)𝐶(cid:196)𝐶(cid:20)
1 1 1 1 1 1 1
𝐴(cid:269)(cid:32)(cid:252)(cid:264). 𝐴𝐵 𝐷 𝑀 𝐴𝐶𝐶 𝐴 𝐴𝐵 𝐷 𝑂 𝐴
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)
(cid:280)(cid:217) // ,
1 1
𝐴𝐴 𝐶𝐶(cid:188) , (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31).
1 1
(cid:280)(cid:217)𝐴,𝐴 𝐶 ,𝐶 ,
1
(cid:188) 𝑀 ∈(cid:30)𝐴(cid:31)𝐶 ,
1 1
(cid:281) 𝑀∈ (cid:30)(cid:31) 𝐴𝐶𝐶 𝐴,
1 1
(cid:188)(cid:40)𝑀 ∈ (cid:78)(cid:30)(cid:31)𝐴 𝐵 𝐷 (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:171)(cid:42)(cid:83),
1 1 1 1
(cid:161)(cid:15), 𝑀、 (cid:242)(cid:78)(cid:30)𝐴𝐶(cid:31)𝐶 𝐴 (cid:60)(cid:30)𝐴𝐵(cid:31) 𝐷 (cid:32)(cid:171)(cid:42)(cid:83),
1 1 1 1
(cid:57)(cid:125) 𝑂 𝐴(cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42); 𝐴𝐶𝐶 𝐴 𝐴𝐵 𝐷
(cid:108)(cid:287)𝐴 ,𝑀,𝑂 (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31),(cid:197)(cid:78)(cid:30)(cid:31) (cid:106)(cid:77)
1 1 1
(cid:287)(cid:40)B𝑀(cid:143),𝑂(cid:78),𝐴(cid:30),𝐴(cid:31) (cid:106)(cid:77) 𝐴𝐶𝐶 𝐴
1 1
(cid:57)(cid:125) (cid:90)(cid:40)𝐴(cid:143)𝐶𝐶(cid:41)(cid:31)𝐴 (cid:77)(cid:262)(cid:20)(cid:269)B(cid:252)(cid:165)(cid:122)
1
𝑀,(cid:137)𝑂,𝐴(cid:40),(cid:290)𝐵(cid:78)(cid:30)(cid:31) (cid:106)(cid:77)
1 1 1
(cid:287)𝐵,𝐵(cid:40),𝑂A,(cid:143)(cid:78)(cid:30)(cid:31) 𝐵𝐵 (cid:106)𝐷(cid:77)𝐷
1 1
(cid:57)(cid:125)(cid:55)(cid:42)AO与(cid:30)𝐵𝐵(cid:31)𝐷 𝐷 (cid:163)(cid:171)(cid:146)(cid:40)O(cid:104)(cid:171)(cid:40)(cid:77)
1 1
(cid:57)(cid:125)(cid:40)M(cid:143)(cid:78)(cid:30)(cid:31) 𝐵𝐵 𝐷 𝐷(cid:106)(cid:77)
1 1
(cid:257) (cid:90)(cid:40)(cid:143)𝐵(cid:41)𝐵(cid:31)𝐷(cid:77)𝐷
1
(cid:262)(cid:20)𝐵(cid:269),𝐵C,𝑂(cid:263),𝑀(cid:264)(cid:122)
(cid:77)(cid:146) = (cid:77)
1 1 1 1
(cid:57)𝐵𝐶(cid:125)∥𝐷 𝐴 (cid:217)𝐵(cid:30)𝐶(cid:117)𝐷(cid:90)(cid:181)𝐴 (cid:128)(cid:77)
1 1
(cid:57)(cid:125)𝐵𝐶𝐷 𝐴 (cid:41)(cid:31)(cid:77)
1 1
(cid:57)(cid:125)𝐶𝐴 ,𝐵𝐷 (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:77)
1
(cid:262)(cid:20)(cid:269)𝐵,𝐷D,𝐶(cid:252),𝑀(cid:165).
(cid:262)(cid:20): C.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)2-1(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:291)(cid:292)·(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:45)(cid:223)(cid:251)(cid:20)(cid:269)(cid:59)(cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:104)(cid:57)(cid:78)(cid:293)(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:153)(cid:90)(cid:91)(cid:40)
(cid:143)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑃 𝑄 𝑅 𝑆
A(cid:135) B(cid:135)C(cid:135) D(cid:135)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:267)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:30)(cid:117)(cid:3)(cid:63)(cid:32)(cid:294)(cid:16)(cid:241)(cid:56)(cid:121)ABC(cid:252)(cid:165)(cid:77)(cid:255)(cid:256)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:49)(cid:87)(cid:241)(cid:56)(cid:121)D(cid:263)(cid:264).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:78)A(cid:176)(cid:59)(cid:77)(cid:50)(cid:182)(cid:295)(cid:296) (cid:77)
(cid:194)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:241)(cid:282)(cid:90)(cid:181)(cid:128) (cid:217)(cid:297)(cid:128)(cid:77)𝑃(cid:188)𝑆,𝑄𝑅/,𝐴/𝐵,𝐶(cid:77)𝐷
(cid:280)(cid:217) (cid:217)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:262) 𝐴/𝐵/𝐶𝐷(cid:77)(cid:188) // 𝐴𝐵(cid:77)(cid:57)𝐶(cid:125)𝐷 (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31).
𝑃,𝑆 𝑃𝑆 𝐴𝐵 𝑃𝑆 𝑄𝑅 𝑃,𝑆,𝑅,𝑄
(cid:78)B(cid:176)(cid:59)(cid:77)(cid:298) (cid:217)(cid:57)(cid:78)(cid:293)(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:50)(cid:182)(cid:295)(cid:296) (cid:77)
𝐸,𝐹 𝑃𝑆,𝑆𝑅,𝑅𝐹,𝐹𝑄,𝐸𝑄,𝑃𝐸
(cid:194)A(cid:32)(cid:299)(cid:39)(cid:241)(cid:282) // (cid:77)(cid:262) (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:77)
(cid:161)(cid:15)(cid:241)(cid:282) // 𝑃(cid:77)𝑆(cid:262)𝐸𝑅// 𝑃(cid:77),𝑆(cid:161),𝐸,(cid:15)𝑅 (cid:241)(cid:282) // (cid:77) //
(cid:262) (cid:30)(cid:31)𝐸𝑅 𝑄(cid:77)𝐹 (cid:30)𝑃𝑆(cid:31) 𝑄𝐹(cid:77)(cid:57)(cid:125) 𝐸𝑃 𝑅(cid:205)𝐹 (cid:40)𝑆(cid:41)𝑅(cid:31)𝐸.𝑄
(cid:78)𝐹C∈(cid:176)(cid:59)(cid:77)𝑃(cid:194)𝑅𝑆 𝑄(cid:217)∈(cid:59)(cid:40)(cid:241)𝑃(cid:282)𝑅𝑆 // 𝑃(cid:77),𝑆(cid:161),𝑅,(cid:15)𝑄,𝐸,𝐹// (cid:77)
(cid:262) // (cid:77)(cid:57)𝑃(cid:125),𝑄 (cid:90)(cid:40)(cid:41)𝑃𝑄(cid:31).𝐴𝐵 𝑅𝑆 𝐴𝐵
𝑃𝑄 𝑅𝑆 𝑃,𝑆,𝑅,𝑄
(cid:78)D(cid:176)(cid:59)(cid:77) (cid:217)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:90)(cid:40)(cid:143)(cid:41)(cid:31).
𝑃𝑄,𝑅𝑆(cid:262)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)2-2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:155)(cid:300)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:90)(cid:181)(cid:128)ABCD(cid:59)(cid:77)E(cid:77)F(cid:50)(cid:182)(cid:217)AB(cid:77)AD(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) , (cid:50)
(cid:182)(cid:78) (cid:77)CD(cid:83)(cid:77)(cid:146) : = : =1:2.(cid:188)(cid:223)(cid:31)(cid:110)(cid:91)(cid:266)(cid:189)(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:91)(cid:13)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝐺𝐻
𝐵𝐶 𝐵𝐺𝐺𝐶 𝐷𝐻𝐻𝐶
E(cid:77)F(cid:77)G(cid:77)H(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:122) // (cid:260)(cid:55)(cid:42)EG(cid:60)(cid:55)(cid:42)FH(cid:171)(cid:136)(cid:40)P(cid:77)(cid:188)P(cid:77)A(cid:77)C(cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135)
① A(cid:135)0 B(cid:135)1②𝐸𝐺 𝐹𝐻;③ C(cid:135)2 D(cid:135)3
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:38)(cid:301)(cid:86) // (cid:77) // (cid:77)(cid:108)(cid:287) // (cid:77)(cid:194)(cid:302)(cid:97)(cid:166)(cid:167)E(cid:77)F(cid:77)G(cid:77)H(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:122) (cid:77)(cid:108)
(cid:287)(cid:55)(cid:42)EG(cid:60)(cid:55)(cid:42)FH𝐸𝐹(cid:303)(cid:163)𝐵(cid:171)𝐷(cid:77)𝐺(cid:298)𝐻(cid:171)(cid:40)𝐵𝐷(cid:217)P(cid:77)(cid:166)𝐸(cid:167)𝐹 P𝐺(cid:40)𝐻(cid:78)(cid:55)(cid:42) (cid:83)(cid:135) 𝐸𝐹≠𝐺𝐻
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77) 𝐴𝐶
E(cid:77)F(cid:50)(cid:182)(cid:217)AB(cid:77)AD(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) // (cid:77) = 1 (cid:77)
2
∴𝐸𝐹 𝐵𝐷 𝐸𝐹 𝐵𝐷
, (cid:50)(cid:182)(cid:78) (cid:77)CD(cid:83)(cid:77)(cid:146) = =1:2(cid:77) // (cid:77) = 2 (cid:77)
3
𝐺𝐻 𝐵𝐶 𝐵𝐺:𝐺𝐶 𝐷𝐻:𝐻𝐶 ∴𝐺𝐻 𝐵𝐷 𝐺𝐻 𝐵𝐷// (cid:77)(cid:188)E(cid:77)F(cid:77)G(cid:77)H(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:77)(cid:266)(cid:189) (cid:252)(cid:165)(cid:122)
∴𝐸𝐹 >𝐺𝐻(cid:77)(cid:90)(cid:181)(cid:128) (cid:104)(cid:304)(cid:128)(cid:77) // (cid:143)①(cid:58)(cid:268)(cid:77)(cid:266)(cid:189) (cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:260)∵𝐺(cid:55)𝐻(cid:42)𝐸𝐹(cid:60)(cid:55)(cid:42) 𝐹(cid:171)𝐸𝐺(cid:136)𝐻(cid:40)P(cid:77)(cid:188)(cid:194)𝐸𝐺 𝐹𝐻(cid:77) (cid:30)(cid:31) ②(cid:77)(cid:282) (cid:30)(cid:31) (cid:77)
(cid:161)(cid:15) 𝐸𝐺(cid:30)(cid:31) 𝐹(cid:77)𝐻(cid:281)(cid:30)(cid:31) (cid:30)𝑃(cid:31)∈𝐸𝐺 =𝐸𝐺⊂(cid:77) 𝐴𝐵𝐶 𝑃∈ 𝐴𝐵𝐶
(cid:188)P𝑃(cid:77)∈A(cid:77)C𝐴(cid:137)𝐶𝐷(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:77)(cid:266)𝐴(cid:189)𝐵𝐶∩(cid:252)(cid:165)(cid:122)𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝑃∈ 𝐴𝐶
(cid:266)∴ (cid:189)(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:145)2 (cid:91). ③
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)2-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:90)(cid:305)(cid:273)(cid:306)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:55)(cid:137)(cid:293)(cid:307) (cid:59)(cid:77) (cid:77) = = (cid:77)E(cid:43)
1 1 1 1
F(cid:43)G(cid:43)H(cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:43) (cid:43) (cid:43) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:266)(cid:189)𝐴𝐵(cid:59)𝐶−(cid:263)𝐴(cid:264)𝐵(cid:32)𝐶(cid:104)(cid:44) 𝐴(cid:45)𝐶⊥𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐴
1 1
𝐴𝐵 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐴𝐶
A(cid:135)
1
B(cid:135)E𝐴(cid:43)𝐶F⊥(cid:43)𝐺G𝐻(cid:43)H(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)
C(cid:135)(cid:298) =2(cid:77)(cid:188)(cid:30)(cid:31) (cid:53)(cid:159)(cid:137)(cid:293)(cid:307)(cid:57)(cid:282)(cid:53)(cid:31)(cid:32)(cid:308)(cid:74)(cid:217)1+ 3+2 5
1
D(cid:135) 𝐵(cid:43)𝐶 (cid:43) (cid:137)(cid:42)𝐸(cid:41)𝐹𝐶(cid:40)
1
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)𝐸(cid:254)𝐹(cid:28)𝐺(cid:255)𝐻(cid:256)(cid:42)𝐴𝐴(cid:42)(cid:30)(cid:117)(cid:37)(cid:309)(cid:128)(cid:183)(cid:48)(cid:42)(cid:310)(cid:55)(cid:56)(cid:121)A(cid:77)(cid:255)(cid:256)(cid:115)(cid:55)(cid:42)(cid:30)(cid:117)(cid:165)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:56)(cid:121)B(cid:77)(cid:164)(cid:86)(cid:53)(cid:31)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)
(cid:255)(cid:256)(cid:53)(cid:31)(cid:181)(cid:74)(cid:32)(cid:311)(cid:312)(cid:56)(cid:121)C(cid:77)(cid:267)(cid:27)(cid:163)(cid:171)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:7)(cid:41)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:282)(cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:241)(cid:56)(cid:121)D.
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:149)(cid:176)(cid:77)
(cid:295)(cid:296) , (cid:77)(cid:194) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:241)(cid:282) // (cid:77)
1 1 1 1
(cid:194) 𝐴=𝐶 𝐴 =𝐶 𝐻(cid:241),𝐺(cid:134)(cid:77)(cid:313)(cid:31)𝐶𝐴,𝐶𝐶 (cid:217)(cid:309)(cid:128)(cid:77)𝐻𝐺 𝐴𝐶
1 1 1
(cid:57)𝐴(cid:125)𝐶 𝐵𝐶 𝐴(cid:77)𝐴 (cid:57)(cid:125) 𝐴𝐴(cid:77)𝐶(cid:262)𝐶A(cid:252)(cid:165)(cid:122)
1 1 1
(cid:295)(cid:296)𝐴 𝐶⊥𝐴(cid:77)𝐶(cid:280)(cid:217)E(cid:43)𝐴F(cid:43)𝐶G⊥(cid:43)𝐺𝐻H(cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:43) (cid:43) (cid:43) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)
1 1
𝐻𝐸,𝐺𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐴𝐶(cid:57)(cid:125) // (cid:77) // (cid:77)(cid:57)(cid:125) // (cid:77)(cid:57)(cid:125)E(cid:43)F(cid:43)G(cid:43)H(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:77)(cid:262)B(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:314)(cid:74)𝐻𝐸(cid:171)𝐵𝐶 (cid:32)𝐺(cid:314)𝐹(cid:74)𝐵(cid:42)𝐶(cid:136) (cid:40)(cid:77)𝐺(cid:295)𝐹(cid:296)𝐻𝐸 (cid:77)(cid:171) (cid:136) (cid:40)(cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77) (cid:77)
1 1 1
(cid:298) 𝐹𝐸 (cid:165)𝐴(cid:49)𝐴(cid:30)(cid:31)(cid:217) (cid:77)(cid:188)𝑃 (cid:77)𝑃𝐶(cid:57)(cid:125) 𝐴𝐶 𝑄(cid:77)(cid:57)(cid:125) 𝑄𝐸 𝐶 𝐹(cid:77)
1 1 1 1
(cid:188)(cid:133)𝐹𝐸(cid:134),𝐹(cid:137)𝐶 (cid:293)(cid:307)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:90)𝛼 (cid:181)(cid:128)𝑃(cid:217),𝐶 ∈𝛼 (cid:77) (cid:78)𝑃R𝐶t ⊂𝛼 (cid:59)(cid:77)𝐶 𝑄,𝑄𝐸=⊂2𝛼2+12= 5(cid:77)
1 1 1 1
(cid:78)Rt (cid:59)(cid:77) = ( 2)
2𝐹
+
𝐸
1
𝑄
2
𝐶
= 3(cid:77)(cid:287)R
△
t
𝐶 𝐵 𝐹
(cid:59)(cid:77)
𝐶 𝐹
> =1(cid:77)
(cid:287) △>𝐵𝐸𝐹 = 𝐸 1 𝐹 2+22= 5(cid:77)(cid:57)(cid:125)(cid:53)(cid:31)(cid:32)(cid:308)(cid:74)△(cid:311)𝐴(cid:136)𝐸𝐻1+ 3 𝑄+𝐸2 𝐸 5 𝐻(cid:77)(cid:262)C(cid:263)(cid:264)(cid:122)
1 1
(cid:194)𝐶B𝑄(cid:134)(cid:77)𝐶 𝐻// (cid:146) (cid:77)(cid:57)(cid:125)(cid:304)(cid:128)(cid:32)(cid:115)(cid:315) (cid:43) (cid:57)(cid:78)(cid:55)(cid:42)(cid:303)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:95)(cid:40) (cid:77)
′
(cid:280)(cid:217) (cid:30)𝐺𝐹(cid:31) 𝐻𝐸 𝐻(cid:77)𝐸≠𝐺𝐹(cid:30)(cid:31) (cid:77) 𝐸𝐹 𝐺𝐻 𝑃
1 1 1 1
′ ′
(cid:281)(cid:30)𝑃(cid:31)∈ 𝐴 𝐴(cid:30)𝐵𝐵(cid:31) 𝑃 ∈ = 𝐴 𝐴(cid:77)𝐶𝐶(cid:57)(cid:125) (cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:60) (cid:155)(cid:156)(cid:77)
1 1 1 1 1 1
′
(cid:257) (cid:43)𝐴 𝐴(cid:43)𝐵𝐵 ∩(cid:137)(cid:42)(cid:41)𝐴(cid:40)𝐴𝐶(cid:136)𝐶 (cid:77)(cid:262)𝐴𝐴D(cid:252)(cid:165). 𝑃 ∈𝐴 𝐴 𝑃′ 𝑃
1
(cid:262)(cid:20)𝐸𝐹(cid:10)C𝐺.𝐻 𝐴𝐴 𝑃
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15)(cid:28)
(cid:22)(cid:243)3(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)·(cid:244)(cid:245)·(cid:316)(cid:191)(cid:164)(cid:317)(cid:45)(cid:250)(cid:86)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:10)
(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:60)(cid:318)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:50)(cid:182)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:163)(cid:47)(cid:122)
①(cid:149)(cid:150)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:318)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:50)(cid:182)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:319)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:320)(cid:48)((cid:184)(cid:55)(cid:48))(cid:163)(cid:47)(cid:122)
②(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:94)(cid:318)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:50)(cid:182)(cid:310)(cid:55)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:163)(cid:47)(cid:184)(cid:162)(cid:185)(cid:135)
③(cid:138)(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:119)(cid:21)(cid:145)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)0(cid:91) B(cid:135)1(cid:91) C(cid:135)2(cid:91) D(cid:135)3(cid:91)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:183)(cid:136) (cid:77)(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:60)(cid:318)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:50)(cid:182)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:188)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:163)(cid:47)(cid:184)(cid:162)(cid:185)(cid:77)(cid:256)(cid:302)(cid:56)(cid:121)(cid:122)
(cid:183)(cid:136) (cid:77)(cid:255)(cid:256)(cid:47)(cid:48)①(cid:49)(cid:15)(cid:56)(cid:121)(cid:122)(cid:183)(cid:136) (cid:77)(cid:51)(cid:52)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:310)(cid:55)(cid:321)(cid:322)(cid:54)(cid:31)(cid:310)(cid:55)(cid:77)(cid:302)(cid:203)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:145)(cid:241)(cid:97)(cid:143)(cid:163)(cid:47)(cid:146)(cid:143)
(cid:162)(cid:185)(cid:77)②(cid:256)(cid:302)(cid:56)(cid:121). ③
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:183)(cid:136) (cid:77)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:242)(cid:241)(cid:97)(cid:162)(cid:185)(cid:77)(cid:262) (cid:263)(cid:264)(cid:122)(cid:255)(cid:256)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15)(cid:77) (cid:323)(cid:173)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:183)(cid:136) (cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)①(cid:77) ① ②
③BC PB(cid:77)AC PA(cid:77) ACB(cid:32)(cid:115)(cid:144)(cid:181)(cid:50)(cid:182)(cid:310)(cid:55)(cid:136) APB(cid:32)(cid:115)(cid:144)(cid:181)(cid:77)(cid:324)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:143)(cid:95)(cid:49)(cid:163)(cid:47)(cid:77)(cid:242)(cid:143)(cid:95)(cid:49)(cid:162)(cid:185)(cid:77)(cid:262)
(cid:263)⊥(cid:264)(cid:135)(cid:57)(cid:125)⊥(cid:252)(cid:165)(cid:32)∠(cid:119)(cid:21)(cid:145)1(cid:91)(cid:135) ∠
(cid:262)③(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)3-1(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:244)(cid:245)·(cid:316)(cid:191)(cid:164)(cid:317)(cid:45)(cid:230)(cid:134) // (cid:77) // (cid:77) =30°(cid:77)(cid:188) =(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)30° B(cid:135)3𝐴0𝐵°(cid:184)1𝑃5𝑄0° 𝐵𝐶 𝑄𝑅 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝑃𝑄𝑅
C(cid:135)150° D(cid:135)30°(cid:184)120°
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15)(cid:77)(cid:257)(cid:241)(cid:282)(cid:237)(cid:235)(cid:39).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28) (cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:60) (cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:50)(cid:182)(cid:30)(cid:117)(cid:77)
(cid:255)(cid:256)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15)∠(cid:133)𝐴(cid:134)𝐵𝐶 =30∠°𝑃(cid:184)𝑄1𝑅50°.
(cid:262)(cid:20)(cid:10)B. ∠𝑃𝑄𝑅
(cid:22)(cid:265)(cid:129)3-2(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)·(cid:244)(cid:245)·(cid:316)(cid:325)(cid:248)(cid:278)(cid:45)(cid:78)(cid:137)(cid:293)(cid:326)P(cid:327)ABC(cid:59)(cid:77)PB BC(cid:77)E(cid:77)D(cid:77)F(cid:50)(cid:182)(cid:104)AB(cid:77)PA(cid:77)AC
(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188) DEF(cid:328)(cid:44) (cid:45) ⊥
A(cid:135)30°∠ B(cid:135)45° C(cid:135)60° D(cid:135)90°
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:194) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:282)(cid:237) // // (cid:77)(cid:235)(cid:156)(cid:21)(cid:228)(cid:282)(cid:86) (cid:77)(cid:257)(cid:241)(cid:66)(cid:89).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:149)𝐸(cid:176),𝐷(cid:57),𝐹(cid:140)(cid:77)(cid:280)(cid:217)𝐴𝐵,𝑃𝐴,𝐴(cid:50)𝐶(cid:182)(cid:217) 𝐷(cid:32)𝐸(cid:59)(cid:40)𝑃𝐵(cid:77),𝐸(cid:241)𝐹(cid:282)𝐵𝐶// // (cid:77)𝐷𝐸⊥𝐸𝐹
(cid:281)(cid:280)(cid:217) (cid:77)(cid:57)(cid:125) 𝐸(cid:77),𝐷(cid:57),𝐹(cid:125) 𝐴𝐵=,𝑃9𝐴0,𝐴.𝐶 𝐷𝐸 𝑃𝐵,𝐸𝐹 𝐵𝐶
∘
(cid:262)(cid:20)(cid:10)𝑃D𝐵. ⊥𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐸𝐹 ∠𝐷𝐸𝐹
(cid:22)(cid:265)(cid:129)3-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:115)(cid:91)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:143)(cid:78)(cid:161)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:157)(cid:158)(cid:32)(cid:181)(cid:115)(cid:115)(cid:183)(cid:98)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:137)
(cid:48)(cid:128)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:244)(cid:47) B(cid:135)(cid:163)(cid:329)
C(cid:135)(cid:330)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:163)(cid:47) D(cid:135)(cid:224)(cid:189)(cid:56)(cid:121)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15)(cid:77)(cid:235)(cid:156)(cid:21)(cid:228)(cid:116)(cid:117)(cid:56)(cid:121).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:194)(cid:21)(cid:228)(cid:134)(cid:77)(cid:255)(cid:256)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15)(cid:77)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:32)(cid:137)(cid:91)(cid:48)(cid:183)(cid:98)(cid:163)(cid:47)(cid:77)(cid:57)(cid:125)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:163)(cid:329).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:243)4(cid:28)(cid:44)2023·(cid:331)(cid:332)(cid:331)(cid:333)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:162)(cid:163)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58) (cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:188) (cid:143)(cid:241)(cid:97)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)4 B(cid:135)5 C(cid:135)6 D(cid:135)7𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:164)(cid:86)(cid:176)(cid:128)(cid:77)(cid:241)(cid:282)(cid:86)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:162)(cid:163)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:57)(cid:50)(cid:58)(cid:32)(cid:199)(cid:50)(cid:13)(cid:77)(cid:257)(cid:241)(cid:282)(cid:86) (cid:32)(cid:334).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:335)(cid:336)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:59)(cid:30)(cid:117)(cid:32)(cid:91)(cid:13)(cid:112)(cid:50)(cid:337)(cid:10) 𝑛
(cid:44)1(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:115)(cid:115)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:149)(cid:176)1(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)4(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:44)2(cid:45)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:102)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:149)(cid:176)2(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)6(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:44)3(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:59)(cid:225)(cid:145)(cid:30)(cid:117)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:10)
(cid:44)i(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:115)(cid:115)(cid:163)(cid:171)(cid:146)(cid:171)(cid:42)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:149)(cid:176)3(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)7(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:44)ii(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:115)(cid:115)(cid:163)(cid:171)(cid:146)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:171)(cid:136)(cid:95)(cid:40)(cid:77)(cid:149)(cid:176)4(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)8(cid:199)(cid:50).
(cid:44)iii(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:115)(cid:115)(cid:163)(cid:171)(cid:146)(cid:171)(cid:42)(cid:155)(cid:156)(cid:77)(cid:149)(cid:176)5(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)6(cid:199)(cid:50)(cid:122)(cid:338)(cid:83)(cid:77)(cid:241)(cid:125)(cid:217)4(cid:43)6(cid:43)7(cid:43)8(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:143)(cid:97)(cid:217)5(cid:199)(cid:50)(cid:77)
(cid:262)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)4-1(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:123)(cid:83)·(cid:90)(cid:305)(cid:339)(cid:340)·(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)7(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:32)(cid:140)(cid:228)(cid:176)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135) B(cid:135)
C(cid:135) D(cid:135)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:279)(cid:269)(cid:56)(cid:121)(cid:257)(cid:241).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:183)(cid:136)A(cid:77)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)4(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:143)(cid:156)(cid:21)(cid:228)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)B(cid:77)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)6(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:143)(cid:156)(cid:21)(cid:228)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)C(cid:77)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)7(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:177)(cid:156)(cid:21)(cid:228)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)D(cid:77)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)8(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:143)(cid:156)(cid:21)(cid:228).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)4-2(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:341)(cid:291)·(cid:342)(cid:343)(cid:45)(cid:51)(cid:52)(cid:32)4(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:344)(cid:261)(cid:97)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:44) (cid:45)(cid:91)(cid:345)(cid:346)(cid:135)
A(cid:135)13 B(cid:135)14 C(cid:135)15 D(cid:135)16
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:238)(cid:347)(cid:38)(cid:15)(cid:135)(cid:325)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:102)4(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:344)(cid:261)(cid:145)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:77)(cid:153)(cid:137)(cid:144)(cid:171)
(cid:42)(cid:210)(cid:102)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:344)(cid:261)(cid:50)(cid:58)7(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:287)(cid:348)(cid:95)(cid:199)(cid:50)(cid:349)(cid:104)(cid:102)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:325)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:57)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:199)(cid:50)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:77)(cid:153)(cid:91)
(cid:53)(cid:31)(cid:210)(cid:57)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:199)(cid:50)(cid:95)(cid:50)(cid:217)(cid:123)(cid:77)(cid:194)(cid:302)(cid:241)(cid:282)4(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:344)(cid:261)(cid:97)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:32)(cid:345)(cid:346)(cid:13)(cid:135)
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:210)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)2(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:344)(cid:261)(cid:210)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:31)4(cid:199)(cid:50)(cid:77)3(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:344)(cid:261)(cid:210)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:350)8(cid:91)
(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:325)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:102)4(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:344)(cid:261)(cid:145)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:77)(cid:153)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:210)(cid:102)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:344)(cid:261)(cid:50)(cid:58)7(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:153)
(cid:351)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:348)(cid:95)(cid:199)(cid:50)(cid:349)(cid:104)(cid:102)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:325)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:199)(cid:50)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:77)(cid:153)(cid:91)(cid:53)(cid:31)(cid:210)(cid:57)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:199)(cid:50)(cid:95)(cid:50)(cid:217)(cid:123)(cid:77)
(cid:153)(cid:352)(cid:57)(cid:145)(cid:51)(cid:52)(cid:199)(cid:50)(cid:32)(cid:91)(cid:13)(cid:217)8+7=15(cid:135)
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C(cid:135)
(cid:22)(cid:265)(cid:129)4-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:90)(cid:305)(cid:106)(cid:291)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:162)(cid:163)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58) (cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:188) (cid:32)(cid:344)(cid:312)(cid:334)(cid:60)(cid:344)(cid:311)(cid:334)(cid:64)
(cid:94)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝑛 𝑛
A(cid:135)11 B(cid:135)12 C(cid:135)13 D(cid:135)14(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:66)(cid:86)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:199)(cid:50)(cid:13)(cid:257)(cid:241)(cid:282)(cid:89).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:335)(cid:336)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:59)(cid:30)(cid:117)(cid:32)(cid:91)(cid:13)(cid:112)(cid:50)(cid:337)(cid:10)
(cid:44)1(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:115)(cid:115)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:149)(cid:176)1(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)4(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:44)2(cid:45)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:102)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:149)(cid:176)2(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)6(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:44)3(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:59)(cid:225)(cid:145)(cid:30)(cid:117)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:10)
(cid:44)i(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:115)(cid:115)(cid:163)(cid:171)(cid:146)(cid:171)(cid:42)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:149)(cid:176)3(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)7(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:44)ii(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:115)(cid:115)(cid:163)(cid:171)(cid:146)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:171)(cid:136)(cid:95)(cid:40)(cid:77)(cid:149)(cid:176)4(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)8(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:44)iii(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:115)(cid:115)(cid:163)(cid:171)(cid:146)(cid:171)(cid:42)(cid:155)(cid:156)(cid:77)(cid:149)(cid:176)5(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)6(cid:199)(cid:50)(cid:77)
(cid:57)(cid:125)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)4(cid:43)6(cid:43)7(cid:43)8(cid:199)(cid:50)(cid:77) (cid:32)(cid:344)(cid:312)(cid:334)(cid:60)(cid:344)(cid:311)(cid:334)(cid:64)(cid:94)(cid:217)12.
(cid:262)(cid:20)(cid:10)B. 𝑛
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:53)(cid:31)(cid:46)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:243)5(cid:28)(cid:44)2023·(cid:90)(cid:305)(cid:273)(cid:306)·(cid:95)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:32)(cid:293)(cid:74)(cid:217)2(cid:77)E(cid:77)F(cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)
1 1 1 1 1
(cid:188)(cid:30)(cid:31) (cid:53)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:57)(cid:282)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:31)(cid:353)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐶
𝐴𝐸𝐹3 9
A(cid:135) B(cid:135) C(cid:135)9 D(cid:135)18
2 2
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256) (cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:104) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:282)(cid:237) (cid:77)(cid:267)(cid:27)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:235)(cid:354)(cid:218)(cid:355)(cid:77)(cid:145) (cid:77)(cid:108)
1 1 1 1
(cid:287)(cid:145) (cid:77)(cid:194)(cid:30)𝐸(cid:31)𝐹(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)𝐵𝐶(cid:36)(cid:282)𝐶(cid:237)𝐶 (cid:78)(cid:161)(cid:95)𝐸(cid:30)𝐹(cid:31)∥𝐵(cid:106)𝐶(cid:77)(cid:53)(cid:31) (cid:104)(cid:47)(cid:315)(cid:304)(cid:128)(cid:77)(cid:192)(cid:267)𝐴(cid:27)𝐷(cid:304)∥(cid:128)𝐵𝐶(cid:31)(cid:353)(cid:7)
1 1 1
(cid:129)(cid:66)𝐸(cid:89)𝐹.∥𝐴𝐷 𝐴,𝐷 ,𝐸,𝐹 𝐸𝐹𝐷 𝐴
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:194)(cid:21)(cid:134)(cid:295)(cid:296) (cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)
1 1 1
𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐷 𝐹
(cid:280)(cid:217) (cid:50)(cid:182)(cid:104) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:77)
1 1
(cid:78)(cid:252)𝐸(cid:75),𝐹(cid:76)(cid:59) 𝐵𝐶,𝐶𝐶(cid:77)(cid:57)(cid:125) 𝐸𝐹(cid:77)∥𝐵𝐶
1 1 1
(cid:57)(cid:125) 𝐴(cid:78)𝐷 (cid:161)∥(cid:95)𝐵𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)𝐸𝐹∥𝐴𝐷
1
(cid:57)(cid:125)𝐴(cid:30),𝐷(cid:31),𝐸,𝐹(cid:53)(cid:159)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:57)(cid:282)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:217)(cid:30)(cid:31) (cid:77)(cid:280)(cid:217)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:293)(cid:74)(cid:217)2(cid:77)
1
(cid:57)(cid:125) =𝐴𝐸2𝐹(cid:77) =2 2(cid:77) = = 2𝐸2𝐹+𝐷12𝐴= 5(cid:77)
1 1
(cid:188) (cid:237) 𝐸𝐹 (cid:32)(cid:356)(cid:357) 𝐴𝐷 (cid:217)(cid:47)(cid:315)(cid:304)(cid:128) 𝐷 𝐹 𝐴 (cid:32) 𝐸 (cid:24)(cid:217) 5 2 2 2 2 2 =3 2(cid:77)
1 1
2 2
−
(cid:57)(cid:125) 𝐸 (cid:53) 𝐴 (cid:31) 𝐷 (cid:31)(cid:353)(cid:217) = 1 (2 2+ 𝐸𝐹 2 𝐷 )× 𝐴 3 2= 9 (cid:77)(cid:262)B(cid:252) − (cid:165).
2 2 2
𝑆
(cid:262)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)5-1(cid:28)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:293)(cid:74)(cid:217)2(cid:32)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77)E(cid:217)(cid:293)BC(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)
1 1 1 1
(cid:27)(cid:142)(cid:40) (cid:77)E(cid:77) (cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:188)(cid:53)(cid:31)(cid:308)(cid:74)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
1 1
𝐴 𝐶
A(cid:135)3 2+2 5 B(cid:135)9 C(cid:135)2 2+2 5 D(cid:135)3 2+2 3
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:164)(cid:86)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:176)(cid:128)(cid:77)(cid:66)(cid:86)(cid:308)(cid:74)(cid:257)(cid:241).(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)
(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:358)AB(cid:32)(cid:59)(cid:40)G(cid:77)(cid:295)(cid:296)GE(cid:77) (cid:77) (cid:135)
1
(cid:280)(cid:217)E(cid:217)BC(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:57)(cid:125) //
𝐴
(cid:77)
𝐺
=
𝐴𝐶1
(cid:77)
2
𝐺𝐸 𝐴𝐶 𝐺𝐸 𝐴𝐶
(cid:281) // (cid:77) = (cid:77)
1 1 1 1
(cid:57)𝐴(cid:125)𝐴(cid:90)(cid:181)𝐶(cid:128)𝐶 𝐴𝐴 (cid:217)𝐶(cid:30)𝐶(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)
1 1
(cid:57)(cid:125) // 𝐴𝐶𝐶(cid:77)𝐴 = (cid:77)
1 1 1 1
(cid:57)(cid:125)𝐴𝐶 /𝐴/𝐶 (cid:77)𝐴𝐶 =𝐴 𝐶 (cid:77)
1 1 1 1
(cid:57)(cid:125)𝐴(cid:27)(cid:142)𝐶 (cid:40)𝐺𝐸(cid:77)E𝐴(cid:77)𝐶 (cid:32)2(cid:30)𝐺(cid:31)𝐸(cid:53)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:57)(cid:282)(cid:53)(cid:31)(cid:217)(cid:304)(cid:128) (cid:77)
1 1 1 1
(cid:138)(cid:308)(cid:74)(cid:217)2 𝐴2+ 5+𝐶 2+ 5=3 2+2 5(cid:135) 𝐴 𝐶 𝐸𝐺
(cid:262)(cid:20)(cid:10)A(cid:135)
(cid:22)(cid:265)(cid:129)5-2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:83)(cid:103)(cid:359)(cid:360)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:230)(cid:134) , (cid:50)(cid:182)(cid:104)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:32)(cid:293) (cid:94) (cid:32)
1 1 1 1 1 1
(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:194)(cid:40) , (cid:165)(cid:49)(cid:32)(cid:30)(cid:31) (cid:53)(cid:159)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:57)(cid:282)(cid:53)(cid:31)𝑃(cid:217)𝑄,(cid:44)𝑅 (cid:361)(cid:361)(cid:45) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵,𝐵𝐶 𝐶 𝐷
𝑃𝑄,𝑅 𝛽
A(cid:135)(cid:137)(cid:48)(cid:128) B(cid:135)(cid:90)(cid:181)(cid:128) C(cid:135)(cid:204)(cid:181)(cid:128) D(cid:135)(cid:205)(cid:181)(cid:128)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:21)(cid:228)(cid:77)(cid:358) (cid:32)(cid:59)(cid:40) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40) (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:241)(cid:282)(cid:142) , (cid:32)
1 1 1 1
(cid:53)(cid:31)(cid:176)(cid:128). 𝐴 𝐷 𝑇 𝐴𝐴 𝑀 𝐶𝐶 𝑆 𝑃𝑀,𝑇𝑀,𝑅𝑆,𝑄𝑆 𝑃𝑄,𝑅
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:89)(cid:10)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:358) (cid:32)(cid:59)(cid:40) (cid:77)
1 1
(cid:32)(cid:59)(cid:40) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40) (cid:77)𝐴(cid:295)𝐷(cid:296) 𝑇 (cid:77)
1 1
(cid:194)𝐴𝐴(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)𝑀(cid:35)(cid:36)𝐶(cid:241)𝐶(cid:134) /𝑆/ //𝑃𝑀(cid:77),𝑇𝑀,𝑅𝑆,𝑄𝑆
1 1
𝐴 𝐶 𝑀𝑆 𝐴𝐶(cid:194)(cid:59)(cid:61)(cid:42)(cid:35)(cid:36)(cid:241)(cid:134) // // (cid:77)
1 1
(cid:57)(cid:125)(cid:77) // // 𝑃𝑄(cid:77) 𝐴𝐶,𝑅𝑇 𝐴 𝐶
(cid:57)(cid:125)(cid:77)𝑃(cid:194)𝑄(cid:40)𝑀, 𝑆 (cid:165)𝑅𝑇(cid:49)(cid:32)(cid:30)(cid:31) (cid:257)(cid:217)(cid:53)(cid:31) (cid:77)(cid:138)(cid:217)(cid:205)(cid:181)(cid:128)(cid:135)
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D(cid:135)𝑃𝑄,𝑅 𝛽 𝑃𝑄𝑆𝑅𝑇𝑀
(cid:22)(cid:265)(cid:129)5-3(cid:28)(cid:44)2023·(cid:362)(cid:363)(cid:94)(cid:30)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:32)(cid:293)(cid:74)(cid:217)6(cid:77)(cid:40) (cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:78)(cid:293) (cid:77)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:83)(cid:77)(cid:146)(cid:364)(cid:365) 1 = 1 = 1 (cid:77)(cid:40) (cid:217)(cid:366)(cid:31) (cid:32)(cid:59) 𝐴 (cid:367) 𝐵 (cid:77) 𝐶𝐷 (cid:142) − (cid:40) 𝐴 𝐵 (cid:77) 𝐶 (cid:77) 𝐷 (cid:164)(cid:30)(cid:31) (cid:77)(cid:188) 𝐸 (cid:30) 𝐹 (cid:31) (cid:53)(cid:252) 𝐷 (cid:75) 𝐴 (cid:76) 𝐷 𝐶
𝐷1𝐸1 𝐷1𝐹1 3
𝐷 𝐴 𝐷 𝐶 𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝑂 𝐸𝐹𝑂 𝐸𝐹𝑂
(cid:57)(cid:282)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:31)(cid:353)(cid:217)(cid:44) (cid:45)
1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶A𝐷(cid:135)−𝐴8 𝐵22𝐶 𝐷 B(cid:135)6 22 C(cid:135)4 22 D(cid:135)2 22
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:194)(cid:136)(cid:83)(cid:223)(cid:366)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:188)(cid:241)(cid:282)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:83)(cid:223)(cid:366)(cid:31)(cid:32)(cid:171)(cid:42)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:188)(cid:241)(cid:282) (cid:217)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:83)(cid:366)(cid:31)
1 1
(cid:32)(cid:171)(cid:42)(cid:77) (cid:217)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:223)(cid:366)(cid:31) (cid:32)𝐸𝐹(cid:171)𝑂(cid:42)(cid:77)(cid:188)(cid:304)(cid:128) (cid:217)(cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:252)(cid:75)(cid:76)𝐸(cid:32)𝐹(cid:53)(cid:31)(cid:77)𝐸(cid:241)𝐹(cid:166)𝑂 (cid:282)(cid:304)(cid:128) 𝐴 𝐵
1 1
𝐶(cid:217)(cid:47)𝐷(cid:315)(cid:304)(cid:128)(cid:77)(cid:255)𝐴𝐶(cid:256)(cid:230)(cid:134)(cid:32)𝐸(cid:13)𝐹𝑂(cid:368)(cid:3)(cid:63)(cid:66)(cid:89)𝐴𝐵(cid:257)𝐶(cid:241)𝐷. 𝐸𝐹𝐶𝐴 𝐸𝐹𝐶𝐴
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:295)(cid:296) (cid:77) (cid:77) (cid:60) (cid:171)(cid:40)(cid:257)(cid:217) (cid:77)
1 1
(cid:280)(cid:217) 𝐷1 1 𝐸1 = 𝐷1 1 𝐹1 = 1 3 𝐴 (cid:77) 𝐶 (cid:57) ,𝐵𝐷 (cid:125) 𝐴 ‖ 𝐶 1 1 (cid:77) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂
𝐷 𝐴 𝐷 𝐶 𝐸𝐹𝐴 𝐶
(cid:280)(cid:217) 1 1‖ (cid:77)(cid:57)(cid:125) ‖ (cid:77)
(cid:57)(cid:125)𝐴 𝐶 𝐴𝐶 (cid:41)(cid:31)(cid:77)𝐸𝐹𝐴𝐶
(cid:57)(cid:125)𝐸(cid:30),𝐹(cid:31),𝑂,𝐴,𝐶(cid:53)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:57)(cid:282)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:217)(cid:304)(cid:128) (cid:77)
1 1 1 1
(cid:280)(cid:217)(cid:252)(cid:75)(cid:76) 𝐸𝐹𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷− (cid:32) 𝐴 (cid:293) 𝐵 (cid:74) 𝐶 (cid:217) 𝐷 6(cid:77)(cid:146) 1 = 1 = 1 (cid:77) 𝐸𝐹𝐶𝐴
1 1 1 1 𝐷1𝐸1 𝐷1𝐹1 3
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷 𝐴 𝐷 𝐶
(cid:57)(cid:125) = 2+ 2= 62+62=6 2(cid:77)
(cid:78)Rt 𝐴𝐶 𝐴(cid:59)𝐵(cid:77) 𝐵𝐶 = =2(cid:77)(cid:188) = 2+ 2=2 2(cid:77)
1 1 1 1 1
(cid:78)Rt △𝐷 𝐸𝐹 (cid:59)(cid:77) 𝐷 𝐸 = 𝐷 𝐹 = 𝐸𝐹 = 𝐷 4(cid:77)𝐸(cid:188) 𝐷 𝐹
1 1 1 1 1
△𝐴𝐴 𝐸 𝐴 𝐸 𝐷 𝐴 −𝐷 𝐸 6−2
= 2+ 2= 62+42=2 13(cid:77)
1 1
(cid:78) 𝐴𝐸 Rt 𝐴𝐴 (cid:77)𝐴 𝐸 = = =4(cid:77)(cid:188)
1 1 1 1 1
△𝐶𝐶 𝐹 𝐶 𝐹 𝐷 𝐶 −𝐷 𝐹 6−2= 2+ 2= 62+42=2 13(cid:77)
1 1
𝐶𝐹 𝐶𝐶 𝐶 𝐹
(cid:142) (cid:164) (cid:136) (cid:77)(cid:188) = =6 2 2=2 2(cid:77)
2 2
𝐴𝐶−𝐸𝐹 −2
𝐸 𝐸𝑀⊥𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝑀
(cid:57)(cid:125) = 2 2= (2 13) 2 (2 2) 2 =2 11,
(cid:57)(cid:125)𝐸(cid:47)𝑀(cid:315)(cid:304)(cid:128)𝐴𝐸 −𝐴𝑀(cid:32)(cid:31)(cid:353)(cid:217) −
1 𝐸𝐹𝐶𝐴 1
× + × = ×(2 2+6 2)×2 11=8 22,
2 2
(𝐸𝐹 𝐴𝐶) 𝐸𝑀
(cid:262)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:28)
(cid:22)(cid:243)6(cid:28)(cid:44)2024·(cid:83)(cid:103)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:223)(cid:176)(cid:77) (cid:104)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:31)(cid:183)(cid:48)(cid:42) (cid:83)(cid:32)(cid:369)(cid:40)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:55)(cid:42)(cid:59)(cid:77)
1 1 1 1 1 1
(cid:370)(cid:371)(cid:60)(cid:55)(cid:42) (cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐶
𝐵𝑃
A(cid:135)(cid:55)(cid:42) B(cid:135)(cid:55)(cid:42) C(cid:135)(cid:55)(cid:42) D(cid:135)(cid:55)(cid:42)
1 1 1
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)𝐷(cid:267)𝐷(cid:27)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:218)(cid:355)𝐵(cid:37)𝐶(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:49)(cid:87)(cid:95)(cid:95)𝐴(cid:56)𝐷(cid:49)(cid:257)(cid:241). 𝐴𝐶
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:202)P(cid:61)(cid:136) (cid:59)(cid:40)(cid:203)(cid:77)(cid:133)(cid:134) (cid:77)(cid:194)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:218)(cid:355)(cid:241)(cid:134)(cid:90)(cid:181)(cid:128) (cid:217)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)(cid:302)
1 1 1 1 1 1
(cid:203) (cid:43) (cid:31) 𝐴 𝐶(cid:77)(cid:262)A(cid:263)(cid:264)(cid:122) 𝑃∈𝐵 𝐷 𝐵𝐵 𝐷 𝐷
1 1 1
(cid:202)𝐵P𝑃(cid:60)𝐷𝐷(cid:155)(cid:156)⊂(cid:203)(cid:77)𝐵(cid:302)𝐵(cid:203)𝐷 𝐷(cid:43) (cid:31) (cid:77)(cid:262)B(cid:263)(cid:264)(cid:122)
1 1 1 1
(cid:202)P(cid:60)𝐶 (cid:155)(cid:156)(cid:203)(cid:77)(cid:194)(cid:252)𝐵(cid:75)𝑃(cid:76)(cid:32)𝐵(cid:218)𝐶(cid:355)⊂(cid:241)(cid:134)𝐵(cid:90)𝐵(cid:181)𝐶(cid:128)𝐶 (cid:217)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)(cid:302)(cid:203) // (cid:77)(cid:262)C(cid:263)(cid:264)(cid:122)
1 1 1 1
(cid:194)(cid:252)(cid:75)(cid:76)𝐶 (cid:32)(cid:218)(cid:355)(cid:241)(cid:134)(cid:90)(cid:181)(cid:128) (cid:217)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)𝐴(cid:128)𝐵(cid:77)𝐶 𝐷 𝐵𝑃 𝐴𝐷
1 1
(cid:287) (cid:30)(cid:31) (cid:77) (cid:30)(cid:31)𝐴𝐶𝐶 𝐴 (cid:77) // , (cid:43) (cid:30)(cid:31) (cid:77) = (cid:77)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝐵∉ 𝐴𝐶𝐶 𝐴 𝑃∈ 𝐴𝐶𝐶 𝐴 𝐴𝐶 𝐴 𝐶 𝐴𝐶 𝐴 𝐶 ⊂ 𝐴𝐶𝐶 𝐴 𝐵𝑃∩𝐴 𝐶 𝑃(cid:262) (cid:60) (cid:370)(cid:371)(cid:54)(cid:31)(cid:77)(cid:257)D(cid:252)(cid:165).
(cid:262)(cid:20)𝐴𝐶(cid:10)D𝐵.𝑃
(cid:22)(cid:265)(cid:129)6-1(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:284)(cid:372)·(cid:342)(cid:59)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:153)(cid:104)(cid:95)(cid:91)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:373)(cid:374)(cid:176)(cid:77)(cid:260)(cid:198)(cid:138)(cid:375)(cid:376)(cid:58)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:223)(cid:251)
(cid:55)(cid:42)(cid:59)(cid:77)(cid:60)(cid:55)(cid:42) (cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
𝐴𝐷
A(cid:135) B(cid:135) C(cid:135) D(cid:135)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)𝐹(cid:254)𝐺(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:373)𝐸(cid:374)𝐻(cid:176)(cid:282)(cid:237)(cid:55)(cid:79)(cid:176)(cid:77)(cid:257)(cid:241)𝐸(cid:56)𝐹 (cid:121). 𝐵𝐶
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:194)(cid:30)(cid:31)(cid:373)(cid:374)(cid:176)(cid:282)(cid:237)(cid:159)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:55)(cid:79)(cid:176)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77)(cid:60)(cid:55)(cid:42) (cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:104) (cid:77)
(cid:138)(cid:59) // // // (cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:60) (cid:41)(cid:31)(cid:43) (cid:60) (cid:41)(cid:31)(cid:43) (cid:60) (cid:41)𝐴𝐷(cid:31)(cid:135) 𝐸𝐹
(cid:262)(cid:20)𝐴(cid:10)𝐷C. 𝐵𝐶 𝐸𝐻 𝐹𝐺 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐸𝐻 𝐴𝐷 𝐹𝐺
(cid:22)(cid:265)(cid:129)6-2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:340)(cid:332)(cid:377)(cid:378)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:11)(cid:379)(cid:380)(cid:381)(cid:316)(cid:83)(cid:161)(cid:11)(cid:158)(cid:50)(cid:319)(cid:382)(cid:383)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:139)(cid:31)(cid:373)(cid:374)(cid:176)(cid:135)(cid:384)(cid:312)(cid:319)(cid:282)(cid:237)
(cid:88)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:139)(cid:31)(cid:373)(cid:374)(cid:176)(cid:77)(cid:188)(cid:78)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77) (cid:43) (cid:43) (cid:43) (cid:153)(cid:90)(cid:144)(cid:42)(cid:276)(cid:57)(cid:78)(cid:32)(cid:55)(cid:42)(cid:59)(cid:77)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:145)(cid:44) (cid:45)
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐺𝐻
A(cid:135)1(cid:183) B(cid:135)3(cid:183) C(cid:135)5(cid:183) D(cid:135)2(cid:183)(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:164)(cid:86)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:176)(cid:128)(cid:77)(cid:235)(cid:156)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:49)(cid:87)(cid:56)(cid:121)(cid:241)(cid:282)(cid:86)(cid:235)(cid:39).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:164)(cid:86)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:176)(cid:128)(cid:149)(cid:223)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:10)
(cid:188) (cid:60) (cid:43) (cid:60) (cid:43) (cid:60) (cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:41)3(cid:183).
(cid:262)𝐴(cid:20)𝐵(cid:10)B𝐶.𝐷 𝐴𝐵 𝐺𝐻 𝐸𝐹 𝐺𝐻
(cid:22)(cid:265)(cid:129)6-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:90)(cid:305)(cid:385)(cid:386)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:90)(cid:293)(cid:326) (cid:57)(cid:145)(cid:293)(cid:74)(cid:197)(cid:163)(cid:47)(cid:77) (cid:43) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:43) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:223)(cid:251)
(cid:266)(cid:189)(cid:263)(cid:264)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀 𝑁 𝑃𝐴 𝐶𝐷
A(cid:135) (cid:60) (cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) B(cid:135) //(cid:30)(cid:31)
C(cid:135)𝑀𝑁//𝑃𝐷 D(cid:135)𝑀𝑁 𝑃𝐵𝐶
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)𝑀(cid:254)𝑁(cid:28)(cid:216)𝐴𝐶(cid:86)(cid:176)(cid:128)(cid:77)(cid:267)(cid:27)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:125)(cid:37)(cid:55)(cid:42)(cid:60)𝑀(cid:30)𝑁(cid:31)⊥(cid:30)𝑃𝐵(cid:117)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:49)(cid:15)(cid:77)(cid:56)(cid:121)(cid:20)(cid:269)A(cid:43)B(cid:43)C(cid:32)(cid:252)(cid:264)(cid:77)(cid:194)(cid:42)
(cid:42)(cid:310)(cid:55)(cid:241)(cid:56)(cid:121)(cid:20)(cid:269)D(cid:135)
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:194)(cid:21)(cid:228)(cid:241)(cid:134)(cid:90)(cid:293)(cid:326) (cid:57)(cid:145)(cid:293)(cid:74)(cid:197)(cid:163)(cid:47)(cid:77)
(cid:43) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:43) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) 𝑃−(cid:60)𝐴𝐵𝐶(cid:104)𝐷(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:77)A(cid:20)(cid:269)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:358)𝑀 𝑁(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:217)𝑃𝐴(cid:77)𝐶(cid:295)𝐷(cid:296) (cid:43) 𝑀(cid:77)𝑁 𝑃𝐷
(cid:90)𝑃(cid:181)𝐵(cid:128) (cid:217)𝐻(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)𝑀(cid:128)𝐻(cid:77)𝐻𝐶 // (cid:146) = (cid:77)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∴𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 1
(cid:43) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:43) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188) // (cid:146) = (cid:77)
2
∵𝑀 𝐻 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑀𝐻 𝐴𝐵 𝑀𝐻 𝐴𝐵
(cid:217) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) // (cid:146) = (cid:77)(cid:188)(cid:90)(cid:181)(cid:128) (cid:217)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)
∵𝑁 /𝐶/𝐷 (cid:77)(cid:146) ∴𝐶(cid:30)𝑁(cid:31)𝑀𝐻(cid:77)𝐶𝑁 𝑀(cid:30)𝐻(cid:31) (cid:77) 𝐶𝐻/𝑀/(cid:30)𝑁(cid:31) (cid:77)B(cid:20)(cid:269)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:260)∴𝑀𝑁//𝐶𝐻(cid:77)(cid:194)(cid:136)𝑀𝑁⊄// 𝑃(cid:77)𝐵𝐶(cid:188) 𝐶𝐻//⊂ (cid:77)(cid:92)𝑃(cid:93)𝐵𝐶(cid:83) ∴𝑀𝑁 = (cid:77)𝑃C𝐵𝐶(cid:20)(cid:269)(cid:263)(cid:264)(cid:122)
𝑀𝑁= 𝐴𝐶(cid:77) (cid:217) 𝐶𝐻(cid:32)(cid:59)𝑀(cid:40)𝑁(cid:77) 𝐶𝐻 𝐴𝐶(cid:77) /𝐴/𝐶∩(cid:77)𝐶𝐻 𝐶 (cid:77)D(cid:20)(cid:269)(cid:252)(cid:165).
∵𝑃𝐶 𝐵𝐶 𝐻 𝑃𝐵 ∴𝐶𝐻⊥𝑃𝐵 ∵𝑀𝑁 𝐶𝐻 ∴𝑀𝑁⊥𝑃𝐵(cid:262)(cid:20)(cid:10)C(cid:135)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:28)
(cid:22)(cid:243)7(cid:28)(cid:44)2024·(cid:23)(cid:387)(cid:388)(cid:389)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:366)(cid:31)(cid:181)(cid:74)(cid:217)2(cid:32)(cid:252)(cid:90)(cid:293)(cid:307) (cid:32)(cid:76)(cid:353)(cid:217)16(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:60)
1 1 1 1
(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:390)(cid:334)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐶
1
𝐴 𝐵 A(cid:135)2 5 B(cid:135) 5 C(cid:135) 10 D(cid:135)3 10
5 5 10 10
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:165)(cid:49) (cid:44)(cid:184)(cid:138)(cid:185)(cid:48)(cid:45)(cid:217)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:77)(cid:66)(cid:86) (cid:77)(cid:116)(cid:287)(cid:66)(cid:89).
1 1 1
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:295)(cid:296)∠𝐴𝐶𝐷 (cid:77)(cid:188) // (cid:77)(cid:358)𝐴𝐶(cid:32)𝐴(cid:59)𝐵(cid:40) (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:188)𝐶𝐶 (cid:77)
1 1 1 1 1 1
(cid:57)(cid:125) (cid:44)(cid:184)(cid:138)(cid:185)(cid:48)(cid:45)𝐴(cid:217)𝐷(cid:55),𝐶(cid:42)𝐷 (cid:60) 𝐴 𝐵(cid:57)(cid:58)𝐷(cid:32)𝐶(cid:48)(cid:77)𝐴𝐶 𝑂 𝑂𝐷 𝑂𝐷 ⊥𝐴𝐶
1 1
∠𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐴 𝐵 16
(cid:281)(cid:252)(cid:90)(cid:293)(cid:307)(cid:32)(cid:76)(cid:353)(cid:217)16(cid:77)(cid:188)(cid:159)(cid:293)(cid:307)(cid:32)(cid:24)(cid:217) = =4(cid:77)
1 2×2
𝐶𝐶
(cid:281) =2 2 = = 42+22=2 5(cid:77)
1 1
(cid:57) 𝐴 (cid:125) 𝐶 cos ,𝐴 1 𝐷 = 1 2 𝐶𝐷 = 2 = 10(cid:77)
2 5 10
𝐴𝐶1
∠𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷
(cid:257)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:390)(cid:334)(cid:217) 10.
1
10
𝐴𝐶 𝐴 𝐵
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)7-1(cid:28)(cid:44)2024·(cid:272)(cid:273)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77)E(cid:43)F(cid:43)M(cid:43)N(cid:50)(cid:182)(cid:104) 、 、 、
1 1 1 1 1 1 1
(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)EF(cid:60)MN(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:311)(cid:312)(cid:217)𝐴𝐵(cid:44)𝐶 𝐷 −(cid:45)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷𝐷 𝐷 𝐶 𝐵𝐶 𝐵
1
𝐵A(cid:135) B(cid:135) C(cid:135) D(cid:135)
6 4 3 2
π π π π
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:78)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)(cid:164)(cid:86)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)EF(cid:60)MN(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:77)(cid:267)(cid:27)(cid:49)(cid:87)(cid:189)(cid:66)(cid:89)(cid:257)(cid:282).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:78)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77)(cid:295)(cid:296) , (cid:77)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐵 𝐶,𝐴 𝐷,𝐴 𝐶 𝐶 𝐷
(cid:194) // // = = (cid:77)(cid:282)(cid:90)(cid:181)(cid:128) (cid:217)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77) // (cid:77)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:194)𝐴E(cid:43)𝐵F(cid:43)𝐴M𝐵(cid:43)N𝐶𝐷(cid:50),𝐴(cid:182)𝐵(cid:104) 𝐴𝐵、 𝐶𝐷、 、 𝐴(cid:32)𝐵(cid:59)𝐶(cid:40)𝐷(cid:77)(cid:282) // //𝐵 𝐶(cid:77)𝐴 𝐷// (cid:77)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:280)(cid:302) (cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)𝐷E𝐷F(cid:60)𝐷M𝐶N(cid:57)(cid:58)𝐵𝐶(cid:32)(cid:48)𝐵𝐵(cid:184)(cid:138)(cid:185)(cid:48)(cid:77) 𝑀𝑁 𝐵 𝐶 𝐴 𝐷 𝐸𝐹 𝐶 𝐷
1 1
∠𝐴 𝐷𝐶
(cid:78) (cid:59)(cid:77) = = (cid:77)(cid:280)(cid:302) = (cid:77)
1 1 1 1 1 1 1 1 3
π
△𝐴 𝐷𝐶 𝐴 𝐷 𝐴 𝐶 𝐶 𝐷 ∠𝐴 𝐷𝐶
(cid:57)(cid:125)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)EF(cid:60)MN(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:104) .
3
π
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)7-2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:391)(cid:392)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:55)(cid:137)(cid:293)(cid:307) (cid:59)(cid:77) = = =45°(cid:77)P
1 1 1 1
(cid:217) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐷−𝐴 𝐵 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 ,∠𝐴𝐵𝐷
1 1 1
𝐵 𝐷 𝑃𝐵 𝐴𝐷
A(cid:135)30° B(cid:135)45° C(cid:135)60° D(cid:135)90°
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28) (cid:104) (cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:133)(cid:134) (cid:217)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:77)(cid:255)(cid:256)(cid:230)(cid:134)(cid:144)(cid:393)(cid:37)(cid:193)
1 1 1
𝐸 𝐵𝐷 𝐸𝐷 ,𝐴𝐸 ∠𝐴𝐷 𝐸 𝑃𝐵 𝐴𝐷(cid:390)(cid:49)(cid:15)(cid:66)(cid:138)(cid:193)(cid:390)(cid:334)(cid:77)(cid:257)(cid:241)(cid:282) (cid:32)(cid:311)(cid:312).
1
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:260) (cid:104) (cid:59)(cid:40)(cid:77)∠𝐴(cid:295)𝐷(cid:296)𝐸 (cid:77)
1
𝐸 𝐵𝐷 𝐸𝐷 ,𝐴𝐸
(cid:55)(cid:137)(cid:293)(cid:307) (cid:59) // (cid:146) = (cid:77)(cid:188) (cid:217)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)
1 1 1 1 1 1
(cid:57)(cid:125) //𝐴𝐵𝐷−(cid:77)𝐴(cid:262)𝐵(cid:55)𝐷(cid:42) 𝑃(cid:60)𝐷 𝐵(cid:57)𝐸(cid:58)𝑃(cid:48)𝐷(cid:257)(cid:217)𝐵𝐸 (cid:77)𝐵𝐸𝐷 𝑃
1 1 1
(cid:394) 𝑃=𝐵 𝐷=𝐸 =2(cid:77)𝑃(cid:281)𝐵 𝐴𝐷 =45°(cid:77)(cid:188) ∠𝐴𝐷 𝐸=45°(cid:146) (cid:77)(cid:188) = 2(cid:77)
1
(cid:281)
𝐴𝐵
=
𝐴
2
𝐷
2,
𝐴𝐴
= 6(cid:77)(cid:262)
∠
c
𝐴
o
𝐵
s
𝐷
=
2
1
∠𝐴𝐷
1
𝐵2 2
=
3𝐴
(cid:77)
𝐸
(cid:281)
⊥𝐵𝐷 𝐴𝐸
(cid:77)
1 1 1 1
1 1 2
𝐴𝐷 +𝐷 𝐸 −𝐴𝐸
𝐴𝐷 𝐷 𝐸 ∠𝐴𝐷 𝐸 2𝐴𝐷 ⋅𝐷 𝐸 ∠𝐴𝐷 𝐸∈(0,𝜋)
(cid:57)(cid:125) =30°.
1
(cid:262)(cid:20)∠(cid:10)𝐴A𝐷. 𝐸
(cid:22)(cid:265)(cid:129)7-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:391)(cid:392)(cid:285)(cid:395)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:252)(cid:137)(cid:293)(cid:307) (cid:59)(cid:77) = (cid:77)(cid:40) (cid:104)(cid:42)(cid:276) (cid:83)
1 1 1 1 1
(cid:396)(cid:109) (cid:32)(cid:137)(cid:47)(cid:50)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:390)(cid:334)(cid:217)(cid:44) 𝐴 (cid:45)𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐴 𝐴𝐵 𝐷 𝐴 𝐴
1 1 1
𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 𝐶
A(cid:135) 5 B(cid:135) 10 C(cid:135) 10 D(cid:135) 5
10 10 20 20
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:267)(cid:27)(cid:30)(cid:397)(cid:189)(cid:164)(cid:86)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:77)(cid:267)(cid:27)(cid:193)(cid:390)(cid:49)(cid:15)(cid:89)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:257)(cid:241)(cid:66)(cid:282)(cid:258)(cid:398).
1 1
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28) 𝐶 𝐷 𝐵 𝐶(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77)(cid:143)(cid:399)(cid:358) = =3(cid:77)(cid:50)(cid:182)(cid:358)(cid:293) , (cid:83)(cid:40) (cid:77)
1 1 1 1
(cid:229)(cid:282) = =𝐴𝐴=2𝐴(cid:77)𝐵(cid:194) // (cid:77)(cid:146)𝐶𝐶 𝐶=𝐵 ,𝐶(cid:77)𝐵 𝑀,𝑁,𝐾
1 1 1 1
(cid:57)(cid:125)𝐶(cid:90)(cid:181)𝑀(cid:128)𝐶 𝑁 𝐶(cid:217)𝐾(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)𝐶(cid:128)𝑀(cid:77)(cid:57)𝐴(cid:125)𝐷 /𝐶/ 𝑀(cid:77)𝐴𝐷
1 1
𝐴𝐷𝐶 𝑀 𝐷𝐶 𝐴𝑀
(cid:78) (cid:59)(cid:77)(cid:194) 1 = 1 (cid:282) // (cid:77)
1 1 1
𝐶1𝑀 𝐶1𝑁1
△𝐶 𝐶𝐵 𝐶 𝐶 𝐶 𝐵 𝑀𝑁 𝐶𝐵
(cid:57)(cid:125)(cid:262) (cid:44)(cid:184)(cid:138)(cid:185)(cid:48)(cid:45)(cid:217)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:77)
1 1
(cid:280)(cid:217) ∠/𝐴/𝑀𝑁 (cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:366)(cid:31) (cid:77)(cid:287)𝐶 𝐷 𝐵(cid:366)𝐶(cid:31) (cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:77)
1
(cid:78) 𝑁𝐾 (cid:59)𝐵𝐵(cid:77) = 𝑁𝐾2⊥+ 2𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐾⊂cos60 𝐴=𝐵𝐶9+ 𝑁𝐾=⊥7𝐴(cid:77)𝐾
∘
(cid:57)(cid:125)△𝐴𝐶𝐾= 𝐴2𝐾+ 𝐴2𝐶= 9𝐶+𝐾7−=2𝐴4𝐶(cid:77)⋅𝐶𝐾⋅ 4−6
(cid:78) 𝐴𝑁 (cid:59) 𝑁 (cid:77) 𝐾 cos 𝐴𝐾 = 2 2 2 = 10 = 5(cid:77)
2 102 2 20
𝐴𝑀 +𝑀𝑁 −𝐴𝑁 +8−16
△𝐴𝑀𝑁 ∠𝐴𝑀𝑁 2𝐴𝑀⋅𝑀𝑁 ⋅ ⋅
(cid:262)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:390)(cid:334)(cid:217) 5.
1 1
20
𝐶 𝐷 𝐵 𝐶
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:28)
(cid:22)(cid:243)8(cid:28)(cid:44)2024·(cid:83)(cid:103)(cid:74)(cid:400)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:55)(cid:42) (cid:94)(cid:30)(cid:31) (cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:56)(cid:121)(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:260) // // (cid:77)(cid:188) // 𝑎,𝑏B(cid:135)(cid:260)𝛼// // (cid:77)(cid:188) //
C(cid:135)(cid:260)𝑎//𝛼,𝑏 𝛼(cid:77)(cid:188)𝑎 𝑏 D(cid:135)(cid:260)𝑎 𝑏,𝑏//𝛼(cid:77)(cid:188)𝑎 𝛼
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)𝑎(cid:28)(cid:255)𝛼,𝑏(cid:256)⊥(cid:51)𝛼(cid:52)(cid:59)(cid:55)𝑎⊥(cid:42)𝑏(cid:77)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:50)(cid:71)𝑎(cid:56)⊥(cid:121)𝑏,𝑏(cid:196)(cid:91)𝛼(cid:20)(cid:269).𝑎⊥𝛼
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:183)(cid:136)A(cid:77)(cid:194) // (cid:77) // (cid:77)(cid:188) (cid:60) (cid:241)(cid:97)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:54)(cid:31)(cid:77)(cid:262)A(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)B(cid:77)(cid:194) // (cid:77) // (cid:77)𝑎(cid:188) 𝛼// 𝑏(cid:184) 𝛼 (cid:77)𝑎(cid:262)𝑏B(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)C(cid:77)(cid:194)𝑎//𝑏(cid:77)𝑏 𝛼(cid:77)(cid:188)𝑎 𝛼(cid:77)𝑎(cid:262)⊂C𝛼(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)D(cid:77)(cid:194)𝑎 𝛼(cid:77)𝑏/⊥/𝛼(cid:77)(cid:188)𝑎/⊥/𝑏(cid:184) (cid:184) (cid:77)(cid:262)D(cid:263)(cid:264).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C. 𝑎⊥𝑏 𝑏 𝛼 𝑎 𝛼 𝑎⊂𝛼 𝑎⊥𝛼
(cid:22)(cid:265)(cid:129)8-1(cid:28)(cid:44)2024·(cid:341)(cid:291)(cid:401)(cid:402)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:298)m(cid:77)n(cid:104)(cid:115)(cid:144)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:55)(cid:42)(cid:77)α(cid:77)β(cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:59)
(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)A(cid:135)(cid:260) (cid:77) (cid:77)(cid:188)
B(cid:135)(cid:260)𝛼⊥𝛽(cid:77)𝑚∥𝛼 (cid:77) 𝑚⊥(cid:77)𝛽(cid:188)
C(cid:135)(cid:260)𝑚⊥𝛽(cid:77)𝑚⊥𝛼(cid:77)𝑛∥𝛼(cid:77)(cid:188)𝑛∥𝛽
D(cid:135)(cid:260)𝑚⊥𝛼=𝑛⊥(cid:77)𝛽 𝑚(cid:77)∥𝑛 (cid:77)𝛼(cid:188)⊥𝛽
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)𝛼(cid:28)∩(cid:194)𝛽(cid:51)(cid:52)𝑚(cid:59)𝑛(cid:32)∥(cid:42)𝛼(cid:42)𝑛(cid:77)∥(cid:42)𝛽(cid:31)(cid:77)(cid:31)𝑚(cid:31)∥𝑛(cid:52)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:279)(cid:269)(cid:50)(cid:71)(cid:56)(cid:121)(cid:257)(cid:241).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:260) (cid:77) (cid:77)(cid:188) (cid:184) (cid:77)(cid:57)(cid:125)A(cid:263)(cid:122) (cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:184)
(cid:77)(cid:57)(cid:125)B(cid:263)𝛼(cid:122)⊥𝛽 𝑚∥𝛼 𝑚∥𝛽 𝑚⊂𝛽 ∵𝑚⊥𝛽 𝑚⊥𝛼 ∴𝛼∥𝛽 𝑛∥𝛼 ∴𝑛∥𝛽
𝑛(cid:260)⊂𝛽 (cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:188) (cid:77)(cid:57)(cid:125)C(cid:263)(cid:122)(cid:260) = (cid:77) (cid:77) (cid:77)(cid:188) (cid:60)(cid:115)(cid:31)(cid:32)(cid:171)(cid:42) (cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:257)
𝑚⊥(cid:77)𝛼(cid:262)𝑛D⊥(cid:183)𝛽. 𝑚∥𝑛 𝛼∥𝛽 𝛼∩𝛽 𝑚 𝑛∥𝛼 𝑛∥𝛽 𝑛 𝑚
𝑚(cid:262)(cid:20)∥𝑛(cid:10)D.
(cid:22)(cid:265)(cid:129)8-2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:284)(cid:273)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:217)(cid:115)(cid:144)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:55)(cid:42)(cid:77) (cid:217)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:217)(cid:67)(cid:119)(cid:21)(cid:32)
(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑚,𝑛 𝛼,𝛽
A(cid:135)(cid:260) (cid:77) (cid:77) // (cid:77) // (cid:77)(cid:188) //
B(cid:135)(cid:260)𝑚/⊂/𝛼(cid:77)𝑛⊂𝛼(cid:77)(cid:188)𝑚 /𝛽/ 𝑛 𝛽 𝛼 𝛽
C(cid:135)(cid:260)𝑚//𝛼(cid:77)𝑛⊂𝛼(cid:77) 𝑚 (cid:77)𝑛(cid:188) //
D(cid:135)(cid:260)𝑛//𝑚(cid:77)𝑚⊄𝛼 (cid:77)𝑛⊂𝛼 (cid:77)(cid:188)𝑚 //𝛼
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)𝛼(cid:28)(cid:194)𝛽(cid:51)𝑚(cid:52)⊂(cid:59)𝛼(cid:55)(cid:42)𝑛(cid:60)⊂(cid:55)𝛽 (cid:42)(cid:77)𝑚(cid:55)(cid:42)𝑛(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:279)(cid:95)(cid:56)(cid:121)(cid:196)(cid:91)(cid:20)(cid:269)(cid:257)(cid:241).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)A(cid:10)(cid:194) // // (cid:77)(cid:241)(cid:134) (cid:43) (cid:241)(cid:97)(cid:30)(cid:117)(cid:184)(cid:163)(cid:171)(cid:77)A(cid:263)(cid:264)(cid:122)
B(cid:10)(cid:194) // (cid:77) (cid:77)𝑚(cid:241)⊂(cid:134)𝛼,𝑛(cid:43)⊂𝛼(cid:241),𝑚(cid:97)(cid:30)𝛽,𝑛(cid:117)(cid:184)𝛽(cid:54)(cid:31)(cid:77)B𝛼(cid:263)𝛽(cid:264)(cid:122)
C(cid:10)(cid:194)𝑚//𝛼(cid:77)𝑛⊂𝛼(cid:77) 𝑚(cid:77)(cid:241)𝑛(cid:134) // (cid:77)C(cid:252)(cid:165)(cid:122)
D(cid:10)(cid:194)𝑛//𝑚(cid:77)𝑚⊄𝛼 (cid:77)𝑛⊂𝛼 (cid:77)(cid:241)(cid:134)𝑚 (cid:43)𝛼 (cid:241)(cid:97)(cid:30)(cid:117)(cid:184)(cid:54)(cid:31)(cid:77)D(cid:263)(cid:264).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)𝛼C. 𝛽 𝑚⊂𝛼 𝑛⊂𝛽 𝑚 𝑛
(cid:22)(cid:265)(cid:129)8-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:403)(cid:273)(cid:404)(cid:286)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:104)(cid:115)(cid:144)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:55)(cid:42)(cid:77) (cid:104)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31).(cid:223)(cid:251)(cid:266)(cid:189)
､ ､ ､
(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑚 𝑛 𝛼 𝛽 𝛾
A(cid:135)(cid:260) (cid:77)(cid:188)
B(cid:135)(cid:260)𝑚 ∥ 𝛼,𝑚 ∥ 𝛽(cid:77)(cid:188) 𝛼 ∥ 𝛽
C(cid:135)(cid:260)𝑚 ∥ 𝛼,𝑛 (cid:77)∥ (cid:188)𝛼 𝑚 ∥ 𝑛
D(cid:135)(cid:260)𝛼⊥𝛽,𝛽⊥𝛾 𝛼 ∥(cid:77)𝛾(cid:188)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)𝑚(cid:28)⊥(cid:194)𝛼(cid:42),𝑚(cid:42)⊥(cid:77)𝛽,(cid:42)𝛼 (cid:31)∥(cid:77)𝛾(cid:31)(cid:31)(cid:64)𝛽 (cid:52)∥(cid:32)𝛾(cid:3)(cid:63)(cid:279)(cid:269)(cid:56)(cid:121)(cid:257)(cid:241).(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:183)(cid:136)(cid:20)(cid:269)A(cid:10)(cid:260) (cid:77)(cid:188) (cid:60) (cid:30)(cid:117)(cid:184)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:262)A(cid:143)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)(cid:20)(cid:269)B(cid:10)(cid:260) 𝑚(cid:77)∥(cid:188)𝛼,𝑚(cid:60) ∥(cid:241)𝛽(cid:30)(cid:117)､(cid:54)𝛼 (cid:31)𝛽(cid:184)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:262)B(cid:143)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)(cid:20)(cid:269)C(cid:10)(cid:260)𝑚 ∥ 𝛼,𝑛 (cid:77)∥ (cid:188)𝛼 𝑚 (cid:184)𝑛 = (cid:77)(cid:262)C(cid:143)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)(cid:20)(cid:269)D(cid:10)(cid:260)𝛼⊥𝛽,𝛽⊥𝛾 (cid:77)(cid:188)𝛼 ∥ 𝛾 (cid:77)𝛼(cid:281)∩𝛾 𝑙 (cid:77)(cid:188) (cid:77)(cid:257)D(cid:252)(cid:165).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D. 𝑚⊥𝛼,𝑚⊥𝛽 𝛼 ∥ 𝛽 𝛼 ∥ 𝛾 𝛽 ∥ 𝛾
(cid:95)(cid:43)(cid:405)(cid:20)(cid:21)
1(cid:135)(cid:44)2024·(cid:391)(cid:392)(cid:406)(cid:407)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:104)(cid:67)(cid:119)(cid:21)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:344)(cid:261)(cid:241)(cid:165)(cid:49)1(cid:91)(cid:30)(cid:31) B(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:344)(cid:261)(cid:241)(cid:165)(cid:49)2(cid:91)(cid:30)(cid:31)
C(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:344)(cid:261)(cid:241)(cid:165)(cid:49)3(cid:91)(cid:30)(cid:31) D(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:344)(cid:261)(cid:241)(cid:165)(cid:49)4(cid:91)(cid:30)(cid:31)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:56)(cid:121)(cid:257)(cid:241).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:77)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:344)(cid:261)(cid:241)(cid:165)(cid:49)3(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)
(cid:243)(cid:149)(cid:10)(cid:137)(cid:293)(cid:326) (cid:59)(cid:32)(cid:137)(cid:91)(cid:313)(cid:31).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C. 𝑆−𝐴𝐵𝐶
2(cid:135)(cid:44)2024·(cid:83)(cid:103)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:77)“a(cid:43)b(cid:217)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)”(cid:104)“a(cid:43)b(cid:143)(cid:163)(cid:171)”(cid:32)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:306)(cid:50)(cid:408)(cid:303)(cid:65)(cid:144)(cid:393) B(cid:135)(cid:303)(cid:65)(cid:408)(cid:306)(cid:50)(cid:144)(cid:393)
C(cid:135)(cid:306)(cid:65)(cid:144)(cid:393) D(cid:135)(cid:409)(cid:408)(cid:306)(cid:50)(cid:281)(cid:408)(cid:303)(cid:65)(cid:144)(cid:393)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:267)(cid:27)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:49)(cid:87)(cid:37)(cid:306)(cid:50)(cid:144)(cid:393)(cid:43)(cid:303)(cid:65)(cid:144)(cid:393)(cid:32)(cid:49)(cid:87)(cid:56)(cid:121)(cid:257)(cid:282).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:55)(cid:42)a(cid:43)b(cid:217)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42)a(cid:43)b(cid:143)(cid:163)(cid:171)(cid:77)
(cid:410)(cid:64)(cid:77)(cid:55)(cid:42)a(cid:43)b(cid:143)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:55)(cid:42)a(cid:43)b(cid:241)(cid:97)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:242)(cid:241)(cid:97)(cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:77)
(cid:57)(cid:125)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:77)“a(cid:43)b(cid:217)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)”(cid:104)“a(cid:43)b(cid:143)(cid:163)(cid:171)”(cid:32)(cid:306)(cid:50)(cid:408)(cid:303)(cid:65)(cid:144)(cid:393).
(cid:262)(cid:20)(cid:10)A.
3(cid:135)(cid:44)2024(cid:24)(cid:95)·(cid:244)(cid:245)·(cid:26)(cid:21)(cid:277)(cid:278)(cid:45)(cid:30)(cid:31)α(cid:77)β(cid:77)γ(cid:143)(cid:97)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:44)(cid:361)(cid:361)(cid:45)A(cid:135)5(cid:199)(cid:50) B(cid:135)6(cid:199)(cid:50)
C(cid:135)7(cid:199)(cid:50) D(cid:135)8(cid:199)(cid:50)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:143)(cid:161)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:282)(cid:86)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:210)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)4,6,7,8(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:56)(cid:121)(cid:20)(cid:269)(cid:282)(cid:86)(cid:235)(cid:150).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)4(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:161)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)6(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:202)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:102)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:163)(cid:171)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)6(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:202)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:115)(cid:115)(cid:163)(cid:171)(cid:146)(cid:145)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)7(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:122)
(cid:202)(cid:145)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:102)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:115)(cid:91)(cid:163)(cid:171)(cid:30)(cid:31)(cid:203)(cid:77)(cid:241)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)8(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:135)
(cid:57)(cid:125)(cid:30)(cid:31)α(cid:77)β(cid:77)γ(cid:143)(cid:97)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)5(cid:199)(cid:50)(cid:135)
(cid:262)(cid:20)(cid:10)A(cid:135)
4(cid:135)(cid:44)2024·(cid:391)(cid:392)(cid:411)(cid:305)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:223)(cid:251)(cid:266)(cid:189)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:260)(cid:55)(cid:42) (cid:115)(cid:115)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:41)(cid:31)
B(cid:135)(cid:260)(cid:55)(cid:42)𝑙,𝑚(cid:60),𝑛(cid:30)(cid:31) (cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:163)(cid:47)𝑙,𝑚(cid:77),𝑛(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117)
C(cid:135)(cid:260)(cid:30)(cid:31)𝑙,𝑚(cid:83)(cid:145)(cid:137)(cid:91)𝛼(cid:143)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:40)(cid:237)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:356)𝑙(cid:357),𝑚(cid:163)(cid:47)(cid:77)(cid:188)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:30)(cid:117)
D(cid:135)(cid:260)(cid:143)(cid:41)𝛼(cid:31)(cid:32)4(cid:91)(cid:40)(cid:237)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:356)(cid:357)(cid:163)𝛽(cid:47)(cid:77)(cid:188)(cid:153)(cid:352)(cid:32)(cid:30)(cid:31) (cid:145)𝛼(cid:146)(cid:147)(cid:145)7𝛽(cid:91)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:21)(cid:228)(cid:77)(cid:235)(cid:156)(cid:51)(cid:52)𝛼(cid:59)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:32)(cid:56)𝛼(cid:49)(cid:94)(cid:35)(cid:36)(cid:77)(cid:279)(cid:269)(cid:56)(cid:49)(cid:77)(cid:257)(cid:241)(cid:66)(cid:89).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:183)(cid:136)A(cid:59)(cid:77)(cid:202)(cid:55)(cid:42) (cid:171)(cid:136)(cid:161)(cid:95)(cid:40)(cid:203)(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:241)(cid:97)(cid:143)(cid:41)(cid:31)(cid:77)(cid:57)(cid:125)A(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)B(cid:59)(cid:77)(cid:202)(cid:55)(cid:42) (cid:412)(cid:413)(cid:75)(cid:414)(cid:143)𝑙(cid:161),𝑚(cid:203),𝑛(cid:77)(cid:55)(cid:42) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:57)(cid:58)𝑙(cid:32),𝑚(cid:48),𝑛(cid:242)(cid:241)(cid:97)(cid:163)(cid:47)(cid:77)(cid:57)(cid:125)B(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)C(cid:59)(cid:77)(cid:202)(cid:153)3𝑙(cid:91),𝑚(cid:40)(cid:143)(cid:78)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:161)(cid:313)(cid:203)(cid:77)𝑙(cid:30),𝑚(cid:31) (cid:60)(cid:30)𝛼(cid:31) (cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:57)(cid:125)C(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)D(cid:59)(cid:77)(cid:255)(cid:256)(cid:21)(cid:228)(cid:77)(cid:323)(cid:173)(cid:153)4𝛽(cid:91)(cid:40)(cid:143)(cid:241)(cid:97)(cid:78)(cid:30)(cid:31)𝛼 (cid:32)(cid:161)(cid:313)𝛽(cid:77)
(cid:202)(cid:153)4(cid:91)(cid:40)(cid:78)(cid:30)(cid:31) (cid:115)(cid:313)1(cid:77)3(cid:50)(cid:350)(cid:203)(cid:77)(cid:153)(cid:352)(cid:32)(cid:30)(cid:31)𝛼(cid:145)4(cid:91)(cid:77)
(cid:202)(cid:153)4(cid:91)(cid:40)(cid:78)(cid:30)(cid:31)𝛼(cid:115)(cid:313)2(cid:77)2(cid:50)(cid:350)(cid:203)(cid:77)(cid:153)(cid:352)(cid:32)(cid:30)(cid:31)𝛼(cid:145)3(cid:91)(cid:77)
(cid:57)(cid:125)(cid:153)(cid:352)(cid:32)(cid:30)(cid:31) (cid:145)𝛼(cid:146)(cid:147)(cid:145)7(cid:91)(cid:77)(cid:57)(cid:125)D(cid:252)(cid:165). 𝛼
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D(cid:135) 𝛼
5(cid:135)(cid:44)2024·(cid:106)(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:94)(cid:418)(cid:218)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:230)(cid:134)(cid:252)(cid:90)(cid:293)(cid:326) (cid:32)(cid:57)(cid:145)(cid:293)(cid:74)(cid:290)(cid:163)(cid:47)(cid:77) (cid:217)(cid:293) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)
(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:390)(cid:334)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝑃𝐴
𝐵𝐸 𝑃𝐶A(cid:135) 6 B(cid:135) 6 C(cid:135) 3 D(cid:135) 3
3 3 3 3
− −
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:117)(cid:241)(cid:282)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:217) (cid:44)(cid:184)(cid:138)(cid:185)(cid:48)(cid:45)(cid:77)(cid:257)(cid:241)(cid:255)(cid:256)(cid:193)(cid:390)(cid:49)(cid:15)(cid:66)(cid:89).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:358) (cid:32)(cid:59)(cid:40) (cid:77)(cid:295)𝐵(cid:296)𝐸 𝑃𝐶 (cid:77) ∠𝐵𝐸𝑂
(cid:194)(cid:21)(cid:228)(cid:134)(cid:77) // 𝐴(cid:77)𝐶 𝐴𝐶 𝑂 𝐵𝑂,𝐸𝑂
(cid:188)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)𝐸𝑂(cid:60)𝑃𝐶(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:217) (cid:44)(cid:184)(cid:138)(cid:185)(cid:48)(cid:45)(cid:77)
(cid:78) (cid:59) 𝐵 (cid:77) 𝐸 𝑃 = 𝐶1 = ∠𝐵𝐸 = 𝑂1 = 2 = 3 = 3(cid:77)
2 2 2
△𝐵𝑂𝐸 𝐸𝑂 𝑃𝐶 1,𝑂𝐵 𝐴𝐶 ,𝐵𝐸 𝑃𝐴
(cid:188)cos = 2 2 2 = 3 = 3(cid:77)
2× × 2 3 3
𝐵𝐸 +𝐸𝑂 −𝐵𝑂 +1−2
∠𝐵𝐸𝑂 𝐵𝐸 𝐸𝑂
(cid:188)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:390)(cid:334)(cid:217) 3(cid:77)
3
𝐵𝐸 𝑃𝐶
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C(cid:135)
6(cid:135)(cid:44)2024·(cid:400)(cid:419)(cid:420)(cid:305)·(cid:137)(cid:246)(cid:45) (cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:40)(cid:77) (cid:217)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:38)(cid:15)(cid:263)(cid:264)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135) 𝐴,𝐵 𝛼,𝛽
B(cid:135)𝐴∈𝑙,𝐴∈𝛼,𝐵∈𝑙,𝐵∈𝛼⇒𝑙⊂𝛼 =
C(cid:135)𝐴∈𝛼,𝐴∈𝛽,𝐵∈𝛼,𝐵∈𝛽⇒𝛼∩𝛽 𝐴𝐵
D(cid:135)𝑙⊄𝛼,𝐴∈𝑙⇒𝐴∉𝛼
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)𝐴(cid:254)∈𝑙(cid:28),𝑙⊂A(cid:43)𝛼⇒B𝐴(cid:241)∈(cid:194)𝛼(cid:421)(cid:83)(cid:32)(cid:7)(cid:15)(cid:241)(cid:55)(cid:296)(cid:56)(cid:121)(cid:122)C(cid:241)(cid:194) (cid:60) (cid:163)(cid:171)(cid:203)(cid:77)(cid:171)(cid:40)(cid:217)A(cid:40)(cid:32)(cid:70)(cid:111)(cid:116)(cid:117)(cid:56)(cid:121)(cid:122)D(cid:241)(cid:55)
(cid:296)(cid:255)(cid:256)(cid:42)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:112)(cid:56)(cid:121)(cid:40)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63). 𝑙 𝛼
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)A(cid:77)(cid:55)(cid:42)(cid:83)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:40)(cid:78)(cid:384)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42)(cid:78)(cid:159)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:262)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
B(cid:77)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:40)(cid:161)(cid:203)(cid:78)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:188)(cid:115)(cid:40)(cid:57)(cid:78)(cid:55)(cid:42)(cid:217)(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:171)(cid:42)(cid:77)(cid:262)(cid:252)(cid:165)(cid:122)C(cid:77) (cid:145)(cid:115)(cid:201)(cid:70)(cid:111)(cid:77) (cid:60) (cid:163)(cid:171)(cid:184) // (cid:77)(cid:138)(cid:59) (cid:60) (cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:146)(cid:171)(cid:40)(cid:217)A(cid:40)(cid:77)(cid:188)C(cid:263)(cid:264)(cid:122)
D(cid:77)𝑙(cid:55)⊄(cid:42)𝛼 (cid:78)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:188)(cid:55)𝑙(cid:42)𝛼(cid:83)(cid:32)(cid:40)(cid:197)𝑙(cid:78)𝛼(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:262)𝑙(cid:235)𝛼(cid:39)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:262)(cid:20)(cid:10)C.
7(cid:135)(cid:44)2024·(cid:403)(cid:273)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:137)(cid:293)(cid:307) (cid:59)(cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:217) , , (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:266)(cid:189)(cid:263)(cid:264)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐸,𝐹,𝐺,𝐻 𝐵𝐵 ,𝐶𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶
A(cid:135) (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31) B(cid:135) //
C(cid:135)𝐸,𝐹,𝐺,𝐻 (cid:137)(cid:42)(cid:41)(cid:40) D(cid:135)𝐸𝐹 𝐺𝐻=
1 1 1
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)𝐸𝐺(cid:254),𝐹(cid:28)𝐻,(cid:183)𝐴𝐴(cid:136)AB(cid:77)(cid:267)(cid:27)(cid:42)(cid:42)(cid:30)(cid:117)(cid:32)(cid:422)(cid:423)(cid:35)(cid:60)∠(cid:30)𝐸(cid:31)𝐺𝐵(cid:7)(cid:15)(cid:32)∠𝐹(cid:38)𝐻(cid:39)𝐶 (cid:257)(cid:241)(cid:56)(cid:121)(cid:122)(cid:183)(cid:136)C(cid:77)(cid:267)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:7)(cid:15)(cid:56)(cid:121)(cid:282)
(cid:77) (cid:32)(cid:171)(cid:40) (cid:78) (cid:77)(cid:108)(cid:287)(cid:241)(cid:56)(cid:121)(cid:122)(cid:183)(cid:136)D(cid:77)(cid:424)(cid:410)(cid:243)(cid:257)(cid:241)(cid:56)(cid:121).
1
(cid:22)𝐸𝐺(cid:89)(cid:258)𝐹𝐻(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:183)𝑃(cid:136)𝐴A𝐴B(cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77) (cid:77)
𝐸𝐹 𝐺𝐻
(cid:280)(cid:217) (cid:104) (cid:32)(cid:59)(cid:61)(cid:42)(cid:77)(cid:57)(cid:125) // (cid:77)
1 1 1 1 1
(cid:280)(cid:217)𝐺𝐻 //△𝐴(cid:77)𝐵(cid:146)𝐶 = (cid:77)(cid:57)(cid:125)𝐺(cid:90)𝐻(cid:181)(cid:128)𝐵 𝐶 (cid:104)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)
1 1 1 1 1 1
(cid:57)(cid:125)𝐵 𝐸// 𝐶 𝐹(cid:77)(cid:57)𝐵(cid:125)𝐸 //𝐶 𝐹(cid:77)(cid:57)(cid:125) 𝐵 𝐸(cid:90)𝐹𝐶(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:77)(cid:262)AB(cid:252)(cid:165)(cid:122)
1 1
(cid:183)(cid:136)𝐸C𝐹(cid:77)(cid:149)𝐵(cid:176)𝐶(cid:77)(cid:314)(cid:74) 𝐸𝐹(cid:77) 𝐺𝐻(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:40)𝐸,𝐹(cid:77),𝐺,𝐻 𝐻
(cid:280)(cid:217) (cid:77) (cid:30)𝐸(cid:31)𝐺 𝐹𝐻 (cid:77)(cid:57)(cid:125)𝑃 (cid:30)(cid:31) (cid:77)
1 1 1 1
(cid:280)(cid:217)𝑃∈𝐸𝐺(cid:77)𝐸𝐺⊂ (cid:30)(cid:31)𝐴𝐵𝐵 𝐴 (cid:77)(cid:57)(cid:125)𝑃∈(cid:30)(cid:31)𝐴𝐵𝐵 𝐴 (cid:77)
1 1 1 1
(cid:280)(cid:217)𝑃(cid:30)∈(cid:31)𝐹𝐻 𝐹𝐻⊂(cid:30)(cid:31)𝐴𝐶𝐶 𝐴 = (cid:77)𝑃∈ 𝐴𝐶𝐶 𝐴
1 1 1 1 1
(cid:57)(cid:125) 𝐴𝐵𝐵(cid:77)𝐴(cid:57)(cid:125)∩ 𝐴𝐶𝐶 𝐴(cid:137)(cid:42)(cid:41)𝐴𝐴(cid:40)(cid:77)(cid:262)C(cid:252)(cid:165)(cid:122)
1 1
𝑃∈𝐴𝐴 𝐸𝐺,𝐹𝐻,𝐴𝐴(cid:183)(cid:136)D(cid:77)(cid:280)(cid:217) = (cid:77)(cid:202) (cid:203)(cid:77)tan tan (cid:77)
1 1 1 1 1 1
𝐸𝐵 𝐹𝐶 𝐺𝐵 ≠𝐻𝐶 ∠𝐸𝐺𝐵 ≠ ∠𝐹𝐻𝐶
(cid:281)0< < (cid:77)(cid:188) (cid:77)(cid:262)D(cid:263)(cid:264).
1 1 2 1 1
π
∠𝐸𝐺𝐵 ,∠𝐹𝐻𝐶 ∠𝐸𝐺𝐵 ≠∠𝐹𝐻𝐶
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D.
8(cid:135)(cid:44)2024·(cid:391)(cid:392)(cid:411)(cid:305)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:78)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:260) =4(cid:77)(cid:188)(cid:30)
1 1 1 1 1
(cid:31) (cid:53)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:57)(cid:282)(cid:53)(cid:31)(cid:32)(cid:31)(cid:353)(cid:217)(cid:44) 𝐴 𝐵(cid:45)𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸,𝐹,𝐺 𝐵𝐶,𝐶𝐷,𝐷𝐷 𝐴𝐵
𝐸A𝐹(cid:135)𝐺 6 2 B(cid:135)6 3 C(cid:135)12 2 D(cid:135)12 3
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:72)(cid:73)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:241)(cid:282)(cid:159)(cid:53)(cid:31)(cid:104)(cid:181)(cid:74)(cid:217)2 2(cid:32)(cid:252)(cid:205)(cid:181)(cid:128)(cid:77)(cid:69)(cid:425)(cid:138)(cid:31)(cid:353)(cid:257)(cid:241)(cid:282).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:142)(cid:40) (cid:164) (cid:32)(cid:30)(cid:117)(cid:42)(cid:171) (cid:136)(cid:40) (cid:77)(cid:142)(cid:40) (cid:164) (cid:32)(cid:30)(cid:117)(cid:42)(cid:171) (cid:136)(cid:40) (cid:77)
1 1 1
(cid:142)(cid:40) (cid:164) (cid:32)(cid:30)(cid:117)(cid:42)(cid:171) 𝐺(cid:136)𝐸(cid:40)𝐹 (cid:77)(cid:133)(cid:134)(cid:40) 𝐵𝐵(cid:197)(cid:78)(cid:53)𝐽 (cid:31) 𝐽(cid:106)(cid:77)𝐹𝐺 𝐴 𝐵 𝐼
1 1
(cid:146)(cid:197)𝐼(cid:104)(cid:138)𝐸(cid:57)𝐹 (cid:78)(cid:293)(cid:32)(cid:59)(cid:40)𝐴(cid:77)𝐷(cid:108)(cid:287)(cid:57)𝐻(cid:282)(cid:53)(cid:31)(cid:104)(cid:181)𝐽,(cid:74)𝐼,𝐻(cid:217)2 2(cid:32)(cid:252)𝐸(cid:205)𝐹𝐺(cid:181)(cid:128)(cid:77)
(cid:57)(cid:66)(cid:31)(cid:353) =6× 1 ×2 2× 2 2×sin60°)=12 3.
2
𝑆
(cid:262)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:123)(cid:43)(cid:261)(cid:20)(cid:21)
9(cid:135)(cid:44)2024·(cid:288)(cid:289)(cid:74)(cid:426)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:223)(cid:251)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:427)(cid:428)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)
B(cid:135)(cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:30)(cid:117)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)
C(cid:135)(cid:178)(cid:142)(cid:137)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)
D(cid:135)(cid:178)(cid:142)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:257)(cid:241)(cid:279)(cid:269)(cid:56)(cid:121).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:77)(cid:133)(cid:134)A(cid:77)B(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)C(cid:269)(cid:77)(cid:260)(cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:77)(cid:178)(cid:142)(cid:137)(cid:40)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:224)(cid:13)(cid:261)(cid:91)(cid:77)(cid:262)C(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)D(cid:77)(cid:260)(cid:153)(cid:91)(cid:40)(cid:78)(cid:55)(cid:42)(cid:179)(cid:77)(cid:188)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:260)(cid:153)(cid:91)(cid:40)(cid:78)(cid:55)(cid:42)(cid:83)(cid:77)(cid:241)(cid:145)(cid:224)(cid:13)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:262)D(cid:143)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:262)(cid:20)(cid:10)AB.10(cid:135)(cid:44)2024·(cid:291)(cid:292)(cid:273)(cid:219)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:77) (cid:104)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:77) (cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:235)(cid:39)(cid:143)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)
A(cid:135)(cid:260) (cid:77)(cid:188) 𝑎 𝑏 𝛼,𝛽
B(cid:135)(cid:260)𝛼∥𝛽,𝑎∥𝛼,𝑏∥𝛽 (cid:77)(cid:188)𝑎∥𝑏
C(cid:135)(cid:260)𝛼⊥𝛽,𝑎⊥𝛼,𝑏⊥𝛽 𝑎(cid:77)⊥(cid:188)𝑏
D(cid:135)(cid:260)𝑎⊂𝛼,𝑏⊂𝛽,𝑎∥𝛽,𝑏∥𝛼(cid:77)(cid:188)𝛼∥𝛽
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)𝑎(cid:28)⊂(cid:255)𝛼,(cid:256)𝑏⊂(cid:21)𝛽(cid:228),𝑎(cid:77)∥(cid:194)𝛽,𝑎(cid:51)⊥(cid:52)𝑏(cid:59)(cid:32)(cid:42)𝛼⊥(cid:31)𝛽(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:77)(cid:183)(cid:20)(cid:269)(cid:279)(cid:95)(cid:56)(cid:121)(cid:77)(cid:257)(cid:241)(cid:66)(cid:89).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:260) (cid:77)(cid:188) (cid:30)(cid:117)(cid:184)(cid:163)(cid:171)(cid:184)(cid:54)(cid:31)(cid:77)(cid:262)A(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:260) 𝛼∥(cid:77)𝛽,(cid:188)𝑎∥𝛼,𝑏∥(cid:77)𝛽(cid:262)B(cid:252)𝑎,𝑏(cid:165)(cid:122)
(cid:260)𝛼⊥𝛽,𝑎⊥𝛼,𝑏⊥𝛽 𝑎(cid:77)⊥(cid:188)𝑏 (cid:30)(cid:117)(cid:184)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:262)C(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:260)𝑎⊂𝛼,𝑏⊂𝛽,𝑎∥𝛽,𝑏∥𝛼(cid:77)(cid:188)𝛼,𝛽(cid:30)(cid:117)(cid:184)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:262)D(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:262)(cid:20)𝑎⊂(cid:10)𝛼A,𝑏C⊂D.𝛽,𝑎∥𝛽,𝑎⊥𝑏 𝛼,𝛽
11(cid:135)(cid:44)2024·(cid:331)(cid:332)(cid:429)(cid:333)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77) (cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:266)(cid:189)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)𝐴(cid:44)𝐵𝐶 𝐷 −(cid:45)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐶 𝐷 𝐵 𝐶
𝑂 𝑀 𝐵𝐷 𝐸𝐹
A(cid:135)(cid:90)(cid:40) (cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:78)(cid:161)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
B(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)𝐵 (cid:42)𝐷 (cid:77)𝐸 𝐹(cid:77) (cid:145)(cid:7)(cid:41)(cid:40)
1
C(cid:135)(cid:55)(cid:42) (cid:60)𝐵𝐹(cid:55)(cid:42)𝐷𝐸 (cid:143)𝐶(cid:104)𝐶(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)
1
D(cid:135)(cid:55)(cid:42)𝐴 𝐶(cid:83)(cid:270)(cid:78)𝑂(cid:40)𝐹 (cid:229) (cid:77) (cid:77) (cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
1
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)𝐴(cid:183)𝐶(cid:136)A(cid:10)(cid:255)(cid:256)𝑁(cid:30)𝑀(cid:117)(cid:3)𝑁(cid:63)(cid:241)𝑂(cid:166) // (cid:77)(cid:257)(cid:241)(cid:282)(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:122)(cid:183)(cid:136)B(cid:10)(cid:255)(cid:256)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:50)(cid:71)(cid:56)(cid:121)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)C(cid:10)(cid:255)(cid:256)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:49)(cid:15)(cid:50)(cid:71)(cid:56)(cid:121)𝐵𝐷(cid:122)(cid:183)𝐸(cid:136)𝐹 D(cid:10)(cid:241)(cid:134) (cid:60) (cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:257)(cid:241)(cid:56)(cid:121).
1
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:164)(cid:176)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:10) 𝑂𝑀 𝐴 𝐶(cid:183)(cid:136)(cid:20)(cid:269)A(cid:10)(cid:295)(cid:296) (cid:77)
1 1
(cid:280)(cid:217) // 𝐵=𝐷 (cid:77)(cid:241)(cid:134) (cid:217)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)(cid:188) // (cid:77)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:281)(cid:280)𝐵(cid:217)𝐵 (cid:77)𝐷(cid:50)𝐷(cid:182),𝐵(cid:217)𝐵 𝐷𝐷(cid:77) (cid:32)𝐵(cid:59)𝐵(cid:40)𝐷(cid:77)𝐷(cid:188) // (cid:77) 𝐵 𝐷 𝐵𝐷
1 1 1 1 1 1
(cid:241)(cid:282) 𝐸// 𝐹 (cid:77)(cid:57)(cid:125)𝐶(cid:90)𝐷(cid:40) (cid:77)𝐵 𝐶(cid:77) (cid:77) (cid:78)(cid:161)(cid:95)𝐵(cid:30)𝐷(cid:31)(cid:106)𝐸(cid:77)𝐹(cid:262)A(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:183)(cid:136)(cid:20)𝐵𝐷(cid:269)B𝐸(cid:10)𝐹 (cid:314)(cid:74) 𝐵(cid:77)(cid:188)𝐷 𝐸 (cid:163)𝐹 (cid:171)(cid:136)(cid:40) (cid:77)(cid:257) (cid:77)
(cid:281)(cid:280)(cid:217) (cid:30)(cid:31) 𝐵𝐹,𝐷𝐸(cid:77) 𝐵𝐹,𝐷(cid:30)𝐸(cid:31) 𝑃(cid:77) 𝑃∈𝐵𝐹,𝑃∈𝐷𝐸
1 1 1 1
(cid:188) (cid:30)𝐵𝐹(cid:31)⊂ 𝐵(cid:77)𝐶𝐶 𝐵 (cid:30)(cid:31)𝐷𝐸⊂ (cid:77)𝐷𝐷 𝐶 𝐶
1 1 1 1
(cid:146)𝑃(cid:30)∈(cid:31) 𝐵𝐶𝐶 𝐵(cid:30)(cid:31)𝑃∈ 𝐷=𝐷 𝐶 𝐶(cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:77)
1 1 1 1 1 1
(cid:257)(cid:137)(cid:144)𝐵(cid:55)𝐶(cid:42)𝐶 𝐵 (cid:77)∩ (cid:77)𝐷𝐷 (cid:145)𝐶(cid:7)𝐶(cid:41)𝐶(cid:40)𝐶(cid:77)(cid:262)B(cid:252)𝑃(cid:165)⊂(cid:122)𝐶𝐶
1
(cid:183)(cid:136)(cid:20)(cid:269)C(cid:10)𝐵𝐹(cid:280)(cid:217)𝐷𝐸 𝐶𝐶(cid:30)(cid:31) (cid:77) (cid:30)(cid:31) = (cid:77) (cid:77)
1 1 1 1 1 1
(cid:57)(cid:125)(cid:55)(cid:42) (cid:60)(cid:55)(cid:42)𝐴 𝐶⊂(cid:104)(cid:54)(cid:31)𝐴(cid:55)𝐴(cid:42)𝐶(cid:77)𝐶(cid:262)𝑂C𝐹(cid:263)∩(cid:264)(cid:122) 𝐴𝐴 𝐶 𝐶 𝑂 𝑂∉𝐴 𝐶
1
(cid:183)(cid:136)(cid:20)(cid:269)𝐴D(cid:10)𝐶 (cid:280)(cid:217) 𝑂𝐹 (cid:290)(cid:78)(cid:30)(cid:31) (cid:106)(cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:188) (cid:60) (cid:163)(cid:171)(cid:77)
1 1 1 1 1
(cid:57)(cid:125)(cid:55)(cid:42) (cid:83)(cid:270)(cid:78)𝐴(cid:40),𝑂,𝐶(cid:229),𝐶 (cid:77) (cid:77) (cid:137)𝐴𝐴(cid:40)(cid:41)𝐶 (cid:42)𝐶 (cid:77)(cid:262)D(cid:252)𝑂(cid:165)𝑀(cid:122) 𝑂𝑀 𝐴 𝐶
1
(cid:262)(cid:20)(cid:10)AB𝐴D𝐶. 𝑁 𝑀 𝑁 𝑂
(cid:137)(cid:43)(cid:127)(cid:51)(cid:21)
12(cid:135)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:78)(cid:137)(cid:293)(cid:326) (cid:59)(cid:77) = 3(cid:77) =1(cid:77) = = = =2(cid:77) (cid:217) (cid:32)
(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193) 𝑃 (cid:390) − (cid:334) 𝐴𝐵 (cid:104) 𝐶 5 7𝐴 𝐶 (cid:135) 𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝐴𝐵 𝑀 𝐴𝐶
28
𝐵𝑀 𝑃𝐴
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:190)(cid:255)(cid:256)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:49)(cid:87)(cid:165)(cid:49) (cid:217)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:184)(cid:138)(cid:185)(cid:48)(cid:122)(cid:192)(cid:255)(cid:256)(cid:430)(cid:431)
(cid:49)(cid:15)(cid:66)(cid:86) (cid:77)(cid:193)(cid:390)(cid:49)(cid:15)(cid:66)(cid:86)cos .(cid:77)(cid:116)(cid:287)(cid:282)(cid:86)∠𝐷𝑀2𝐵(cid:122)(cid:344)(cid:191)(cid:78) 𝐵𝑀 (cid:59)𝑃𝐴(cid:77)(cid:267)(cid:27)(cid:193)(cid:390)(cid:49)(cid:15)(cid:257)(cid:241)(cid:66)(cid:86)cos
. 𝐵𝑀 ∠𝐷𝐶𝐵 𝐵𝐷 △𝐵𝑀𝐷
(cid:22)∠𝐷(cid:89)𝑀(cid:258)𝐵(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:358) (cid:32)(cid:59)(cid:40) (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:10)
𝑃𝐶 𝐷 𝑀𝐷,𝐵𝐷
(cid:280)(cid:217) (cid:217) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) (cid:217) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)
𝑀 𝐴𝐶 𝐷 𝑃𝐶 1
(cid:188)(cid:255)(cid:256)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:32)(cid:59)(cid:61)(cid:42)(cid:49)(cid:15)(cid:241)(cid:282) (cid:77)(cid:146) = =1.
2
𝐷𝑀∥𝑃𝐴 𝐷𝑀 𝑃𝐴(cid:57)(cid:125) (cid:217)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:184)(cid:138)(cid:185)(cid:48)(cid:135)
(cid:280)(cid:217)∠(cid:78)𝐷𝑀𝐵 (cid:59)(cid:77) =𝐵𝑀3(cid:77)𝑃𝐴 =1(cid:77) =2(cid:77)
(cid:57)(cid:125) △2=𝐴𝐵𝐶2+ 𝐴𝐶2(cid:77)(cid:188) 𝐵𝐶 . 𝐴𝐵
(cid:281) 𝐴𝐵 = 𝐵 = 𝐶1 𝐴 = 𝐶 3(cid:77)(cid:57) 𝐴𝐶 (cid:125) ⊥𝐵𝐶 = 2+ 2= 7(cid:135)
2 2 2
(cid:281) 𝐴 (cid:78) 𝑀 𝑀𝐶 (cid:59)(cid:77) 𝐴𝐶 =1(cid:77) = 𝐵𝑀 =2𝐵 , 𝐶 𝑀𝐶
(cid:57)(cid:125)(cid:194)
△
(cid:193)
𝑃𝐵
(cid:390)
𝐶
(cid:49)(cid:15)(cid:241)
𝐵𝐶
(cid:282)(cid:10)cos
𝑃𝐵 𝑃
=
𝐶 22 12 22
=
1
.
2×2×1 4
+ −
∠𝐷𝐶𝐵
(cid:281)(cid:280)(cid:217)(cid:78) (cid:59)(cid:77) = =1(cid:77)
(cid:57)(cid:125)(cid:194)(cid:193)(cid:390) △ (cid:49) 𝐵𝐷 (cid:15) 𝐶 (cid:241)(cid:282)(cid:10) 𝐷𝐶 2 𝐵 = 𝐶 1+ ×1×1× 1 = 3 .
4 2
(cid:188)(cid:78) (cid:59)(cid:77)(cid:194)(cid:193)(cid:390) 𝐵 (cid:49) 𝐷 (cid:15)(cid:241)(cid:282)(cid:77) 1− co 2 s = 2 2 2 = 1 7 4 3 2 =5 7(cid:77)
2× × 2×1× 7 28
𝐷𝑀 +𝐵𝑀 −𝐵𝐷 + −2
△𝐵𝑀𝐷 ∠𝐷𝑀𝐵 𝐷𝑀 𝐵𝑀
(cid:57)(cid:125)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:390)(cid:334)(cid:217)5 7(cid:135)
28
𝐵𝑀 𝑃𝐴
(cid:262)(cid:258)(cid:398)(cid:217)(cid:10)5 7.
28
13(cid:135)(cid:44)2024·(cid:340)(cid:332)(cid:432)(cid:273)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:78)(cid:252)(cid:90)(cid:293)(cid:307) (cid:59)(cid:77) =4(cid:77) =6(cid:77)M(cid:77)N(cid:50)(cid:182)(cid:104) (cid:77) (cid:32)
1 1 1 1 1
(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:30)(cid:31) (cid:53)(cid:159)(cid:90)(cid:293)(cid:307)(cid:57)(cid:282)(cid:53)(cid:31)(cid:32)𝐴𝐵(cid:308)𝐶𝐷(cid:74)−(cid:217)𝐴 𝐵1𝐶4 𝐷2 (cid:135) 𝐴𝐵 𝐴𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐷
1
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)𝑀(cid:164)𝑁(cid:86)𝐶(cid:433)(cid:73)(cid:42)(cid:77)(cid:282)(cid:237)(cid:30)(cid:31) (cid:53)(cid:159)(cid:90)(cid:293)(cid:307)(cid:57)(cid:282)(cid:53)(cid:31)(cid:217)(cid:204)(cid:181)(cid:128) (cid:77)(cid:66)(cid:86)(cid:196)(cid:181)(cid:181)(cid:74)(cid:77)(cid:163)(cid:434)(cid:282)
1 1
(cid:237)(cid:258)(cid:398). 𝑀𝑁𝐶 𝑁𝑀𝐺𝐶 𝑄
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:314)(cid:74) (cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:40) (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:171) (cid:136)(cid:40) (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)
1 1
(cid:280)(cid:217)(cid:252)(cid:90)(cid:293)(cid:307) 𝑁𝑀,𝐶𝐵 (cid:59)(cid:77)𝐻 =4(cid:77)𝐶 𝐻 𝐵=𝐵6(cid:77)M(cid:77)𝐺N(cid:50)(cid:182)(cid:104)𝑀𝐺 (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)
1 1 1 1 1
(cid:57)(cid:125) = 𝐴𝐵2𝐶+𝐷−𝐴2𝐵=𝐶2 𝐷2(cid:77) 𝐴=𝐵 (cid:77) 𝐴𝐴=6(cid:77) 𝐴𝐵 𝐴𝐷
1
𝑀𝑁 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝐵𝐻1 𝐴𝑁 𝐶𝐶
(cid:280)(cid:217) (cid:77) = = (cid:77)(cid:262) =2(cid:77) = 2+ 2=2 2(cid:77)
1 𝐺𝐵1
𝐵𝐻
3
△𝐻𝐵𝐺∽△𝐻𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝐶𝐻 𝐵𝐺 𝐺𝐻 𝐵𝐺 𝐵𝐻
(cid:78) (cid:83)(cid:358)(cid:40) (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:188) = 2+ 2=2 2(cid:77)
1 1
(cid:161)(cid:15) 𝐷𝐷 (cid:241)(cid:134) = 𝑄 (cid:77)(cid:57) 𝑁 (cid:125) 𝑄, (cid:90) 𝐶 (cid:181) 𝑄 (cid:128) 𝑁𝑄 (cid:217)(cid:30)𝐷(cid:117)𝑁(cid:90)(cid:181)𝐷(cid:128)𝑄(cid:77)
(cid:262) 𝐺(cid:90)𝑄(cid:40)(cid:41)𝑁𝐻(cid:31)(cid:77) 𝐺𝑄𝑁𝐻
(cid:188)𝐺(cid:30),𝐻(cid:31),𝑁,𝑄 (cid:53)(cid:159)(cid:90)(cid:293)(cid:307)(cid:57)(cid:282)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:217)(cid:204)(cid:181)(cid:128) (cid:77)
1 1
𝑀𝑁𝐶 𝑁𝑀𝐺𝐶 𝑄
= 2+ 2=2 2(cid:77) = 2+ 2= 42+42=4 2(cid:77)
1 1 1 1
𝑀 (cid:161) 𝐺 (cid:15) 𝑀 = 𝐵 4 2 𝐵(cid:77)𝐺 𝐶 𝐺 𝐶 𝐵 𝐵 𝐺
1
(cid:262)(cid:53)𝐶(cid:31)(cid:308)𝑄(cid:74)(cid:217) + + + + =2 2+2 2+4 2+4 2+2 2=14 2.
1 1
𝑀𝑁 𝑀𝐺 𝐶 𝐺 𝐶 𝑄 𝑁𝑄(cid:262)(cid:258)(cid:398)(cid:217)(cid:10)14 2.
14(cid:135)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77) (cid:104)(cid:30)(cid:31) (cid:179)(cid:115)(cid:144)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:250)(cid:86)(cid:90)(cid:91)(cid:144)
､ ､ ､
(cid:393)(cid:10) (cid:122) // (cid:122) // (cid:122)𝛼 𝛽 (cid:77)(cid:125)(cid:223)(cid:90)(cid:91)(cid:38)(cid:15)𝑚(cid:60)𝑛(cid:166)(cid:167)(cid:59)(cid:77)𝛼 (cid:138)𝛽(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104) (cid:44)1(cid:45)(cid:44)3(cid:45) .(cid:44)(cid:127)
(cid:435)(cid:252)①(cid:165)(cid:38)𝑚(cid:15)⊥(cid:60)𝑛(cid:166)②(cid:167)𝛼(cid:32)(cid:436)𝛽(cid:9)(cid:45)③𝑛 𝛽 ④𝑚⊥𝛼
(cid:44)1(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:77)(cid:188) (cid:58)(cid:268)
(cid:44)2(cid:45)(cid:230)(cid:134)②③④(cid:77)(cid:188)①(cid:58)(cid:268)
(cid:44)3(cid:45)(cid:230)(cid:134)①③④(cid:77)(cid:188)②(cid:58)(cid:268)
(cid:44)4(cid:45)(cid:230)(cid:134)①②④(cid:77)(cid:188)③(cid:58)(cid:268)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)①(cid:28)②(cid:194)③(cid:42)(cid:31)(cid:30)(cid:117)④(cid:77)(cid:310)(cid:55)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:49)(cid:15)(cid:94)(cid:35)(cid:36)(cid:49)(cid:15)(cid:77)(cid:125)(cid:37)(cid:31)(cid:31)(cid:30)(cid:117)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:77)(cid:35)(cid:36)(cid:49)(cid:15)(cid:56)(cid:121)(cid:257)(cid:241)(cid:77)(cid:143)(cid:252)
(cid:165)(cid:32)(cid:424)(cid:86)(cid:95)(cid:91)(cid:410)(cid:243)(cid:257)(cid:241).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:44)1(cid:45)(cid:260) (cid:77) // (cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:77)(cid:280)(cid:217) // (cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:77)(cid:44)1(cid:45)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:44)2(cid:45)(cid:260) (cid:77) 𝑚(cid:77)(cid:146)⊥𝛼(cid:104)𝛼(cid:30)(cid:31)𝛽 (cid:179)(cid:32)(cid:55)𝑚(cid:42)⊥(cid:77)𝛽(cid:188) // 𝑛(cid:77)(cid:281)𝛽(cid:280)(cid:217) /𝑚/ ⊥(cid:77)𝑛(cid:57)(cid:125) (cid:60) (cid:30)(cid:117)(cid:184)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:44)2(cid:45)(cid:263)(cid:264)(cid:122)
(cid:44)3(cid:45)(cid:280)𝑚(cid:217)⊥/𝛼/ (cid:77)𝑚⊥𝑛 (cid:77)(cid:188)𝑛 (cid:77)𝛼(cid:281)(cid:280)(cid:217) (cid:77)𝑛 (cid:104)𝛼(cid:30)(cid:31) (cid:179)(cid:32)𝑛(cid:55)𝛽(cid:42)(cid:77)(cid:57)(cid:125)𝛼 //𝛽 (cid:77)(cid:44)3(cid:45)(cid:252)(cid:165)(cid:122)
(cid:44)4(cid:45)(cid:260) /𝛼/ (cid:77)𝛽 /𝑚/ ⊥(cid:77)𝛼(cid:146) (cid:104)𝑚(cid:30)⊥(cid:31)𝛽(cid:179)(cid:32)(cid:55)(cid:42)𝑚(cid:77)⊥(cid:188)𝑛 //𝑛 (cid:77)(cid:281)(cid:280)𝛽(cid:217) (cid:77)(cid:188) (cid:60)𝑛(cid:30)𝛽(cid:117)(cid:184)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:44)4(cid:45)(cid:263)(cid:264).
(cid:262)(cid:258)(cid:398)(cid:217)𝑛(cid:10)(cid:44)𝛽 1(cid:45)𝛼(cid:44)𝛽3(cid:45). 𝑛 𝛼 𝑛 𝛼 𝑚⊥𝑛 𝑚 𝛼
(cid:90)(cid:43)(cid:89)(cid:258)(cid:21)
15(cid:135)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)·(cid:244)(cid:245)·(cid:316)(cid:325)(cid:248)(cid:278)(cid:45)(cid:27)(cid:177)(cid:9)(cid:174)(cid:175)(cid:139)(cid:140)(cid:223)(cid:251)(cid:174)(cid:437)(cid:77)(cid:96)(cid:216)(cid:86)(cid:176)(cid:128)(cid:10)
(1)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31) ， ， (cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:95)(cid:40)P(cid:77)(cid:146)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:163)(cid:171)(cid:136) (cid:77)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:163)(cid:171)(cid:136) (cid:77)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:163)
(cid:171)(cid:136) (cid:122) 𝛼 𝛽 𝛾 𝛼 𝛽 𝑃𝐴 𝛼 𝛾 𝑃𝐵 𝛽 𝛾
(2)(cid:30)𝑃(cid:31)𝐶ABD(cid:60)(cid:30)(cid:31)BDC(cid:163)(cid:171)(cid:136)BD(cid:77)(cid:30)(cid:31)ABC(cid:60)(cid:30)(cid:31)ADC(cid:163)(cid:171)(cid:136)AC.
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:255)(cid:256)(cid:40)(cid:42)(cid:31)(cid:32)(cid:3)(cid:63)(cid:77)(cid:198)(cid:17)(cid:438)(cid:174)(cid:175)(cid:294)(cid:16)(cid:217)(cid:177)(cid:9)(cid:174)(cid:175)(cid:94)(cid:176)(cid:128)(cid:174)(cid:175)(cid:135)
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:44)1(cid:45)(cid:177)(cid:9)(cid:174)(cid:175)(cid:139)(cid:140)(cid:10) = ， = ， = ， = ,
(cid:176)(cid:128)(cid:139)(cid:140)(cid:10)(cid:149)(cid:176) 𝛼∩𝛽∩𝛾 𝑃 𝛼∩𝛽 𝑃𝐴 𝛼∩𝛾 𝑃𝐵 𝛽∩𝛾 𝑃𝐶(cid:122)
(cid:44)2(cid:45)(cid:177)(cid:9)(cid:174)(cid:175)(cid:139)(cid:140)(cid:10)(cid:30)(cid:31) (cid:30)(cid:31) = (cid:77)(cid:30)(cid:31) (cid:30)(cid:31) = (cid:77)(cid:176)(cid:128)(cid:139)(cid:140)(cid:10)(cid:149)(cid:176)
𝐴𝐵𝐷∩ 𝐵𝐷𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐶∩ 𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐶
16(cid:135)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:123)·(cid:83)(cid:103)·(cid:316)(cid:439)(cid:243)(cid:21)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:55)(cid:42) (cid:94)(cid:30)(cid:31) (cid:43) (cid:77)(cid:56)(cid:121)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:32)(cid:67)(cid:120)(cid:77)(cid:96)(cid:266)(cid:167)(cid:15)(cid:194)(cid:10)
(1)(cid:260) (cid:77) (cid:77)(cid:188) (cid:122) 𝑎,𝑏 𝛼 𝛽
(2)(cid:260)𝑎∥𝛼(cid:77)𝑏⊥𝑎(cid:77)(cid:188)𝑏⊥𝛼(cid:122)
(3)(cid:260)𝑎∥𝛼(cid:77)𝛼⊥𝛽(cid:77)(cid:188)𝑎⊥𝛽(cid:135)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)𝑎∥(cid:253)𝑏(cid:254)(cid:28)𝑏⊂(cid:255)𝛼(cid:256)(cid:42)(cid:42)𝑎(cid:43)∥𝛼(cid:42)(cid:31)(cid:37)(cid:31)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:279)(cid:95)(cid:56)(cid:121)(cid:257)(cid:241).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:44)1(cid:45)(cid:119)(cid:21)(cid:217)(cid:120)(cid:119)(cid:21)(cid:77)(cid:15)(cid:194)(cid:149)(cid:223)(cid:10)
(cid:243)(cid:149)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77) //(cid:30)(cid:31) (cid:77) (cid:77) //(cid:30)(cid:31) .
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:44)2(cid:45)(cid:119)(cid:21)(cid:217)(cid:120)(cid:119)(cid:21)𝐴(cid:77)𝐵(cid:15)(cid:194)(cid:149)𝐴(cid:223)𝐵(cid:10)𝐶 𝐷 𝐴𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
(cid:243)(cid:149)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77)(cid:30)(cid:31) (cid:30)(cid:31) (cid:77)
1 1 1 1 1 1
//(cid:30)(cid:31) (cid:77) 𝐴𝐴//𝐷(cid:30)(cid:31)𝐷⊥ 𝐴.𝐵 𝐶 𝐷
1 1 1 1 1 1
𝐵(cid:44)𝐶3(cid:45)(cid:119)(cid:21)𝐴(cid:217)𝐵(cid:120)𝐶(cid:119)𝐷(cid:21)(cid:77)(cid:15)𝐵𝐶(cid:194)(cid:149)(cid:223)(cid:10)𝐴𝐴 𝐷 𝐷
(cid:243)(cid:149)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77) (cid:30)(cid:31) (cid:77)
1 1 1 1 1 1
// (cid:77) 𝐴 𝐵(cid:30)⊂(cid:31) 𝐴 𝐵 𝐶. 𝐷
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ⊂ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
17(cid:135)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:90)(cid:293)(cid:326) (cid:59)(cid:77) // (cid:77) =2(cid:77) =3(cid:77) (cid:104) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)
1 1 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝑃𝐷 𝐹,𝑀
(cid:50)(cid:182)(cid:78) (cid:83)(cid:77)(cid:146) = = (cid:135)
3 3
𝑃𝐶,𝑃𝐵 𝑃𝐹 𝑃𝐶,𝐵𝑀 𝐵𝑃(1)(cid:166)(cid:167)(cid:10) (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:122)
(2)(cid:260) 𝐸,𝐹,𝐴,𝑀 (cid:30)(cid:31) = = (cid:77)(cid:66)(cid:90)(cid:293)(cid:326) (cid:32)(cid:76)(cid:353)(cid:135)
(cid:22)(cid:89)(cid:21)𝐶𝐷(cid:253)⊥(cid:254)𝐴(cid:28)𝐷,(cid:44)𝑃𝐴1(cid:45)⊥(cid:358) 𝐴(cid:32)𝐵(cid:59)𝐶𝐷(cid:40),𝑃𝐴(cid:77)(cid:295)𝐴(cid:296)𝐷 𝐶𝐷 (cid:77)(cid:194)(cid:137)(cid:48)(cid:128)𝑃−(cid:59)𝐴(cid:61)𝑀(cid:42)𝐹𝐸(cid:49)(cid:15)(cid:282) // (cid:77)(cid:192)(cid:255)(cid:256)(cid:42)(cid:276)(cid:52)(cid:32)(cid:3)(cid:63)(cid:282)(cid:237)
// (cid:77) = (cid:77)𝐶(cid:108)𝐹(cid:287)(cid:282)(cid:237)𝐺(cid:90)(cid:181)(cid:128) 𝑀𝐺,𝐷(cid:217)𝐺(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:77)(cid:257)(cid:282) //𝐷𝐺(cid:77)(cid:344)𝐸𝐹(cid:191)(cid:267)(cid:27)(cid:30)(cid:117)(cid:42)(cid:32)(cid:422)(cid:423)(cid:35)(cid:282)(cid:237)
𝑀𝐺//𝐴𝐷(cid:77)(cid:257)𝑀𝐺(cid:241)(cid:166)𝐴(cid:282)𝐷(cid:235)(cid:39)(cid:122) 𝐴𝐷𝐺𝑀 𝐴𝑀 𝐷𝐺
𝐴(cid:44)𝑀2(cid:45)𝐸(cid:267)𝐹(cid:27)(cid:440)(cid:185)(cid:189)(cid:198)(cid:90)(cid:293)(cid:326) (cid:32)(cid:76)(cid:353)(cid:47)(cid:441)(cid:217)2(cid:91)(cid:137)(cid:293)(cid:326)(cid:32)(cid:76)(cid:353)(cid:64)(cid:94)(cid:77)(cid:161)(cid:203)(cid:261)(cid:442)(cid:267)(cid:27)(cid:137)(cid:293)(cid:326)(cid:76)(cid:353)(cid:64)(cid:52)(cid:32)
(cid:3)(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:294)(cid:16)(cid:66)(cid:89)(cid:135) 𝑃−𝐴𝑀𝐹𝐸
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:44)1(cid:45)(cid:166)(cid:167)(cid:10)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77)(cid:358) (cid:32)(cid:59)(cid:40) (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)
(cid:280)(cid:217) (cid:50)(cid:182)(cid:104) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:57)(cid:125) //𝐶𝐹(cid:77) 𝐺 𝑀𝐺,𝐷𝐺
𝐸,𝐹 2 𝑃𝐷,𝑃𝐺 2 𝐷𝐺 𝐸𝐹 2
(cid:281)(cid:280)(cid:217) = = (cid:77)(cid:57)(cid:125) // (cid:146) = =2(cid:77)
3 3 3
𝑃𝑀 𝑃𝐵,𝑃𝐺 𝑃𝐶 𝑀𝐺 𝐵𝐶 𝑀𝐺 𝐵𝐶
(cid:281)(cid:194) // (cid:77) =2(cid:77)(cid:57)(cid:125) // (cid:77)(cid:146) = (cid:77)
(cid:57)(cid:125)𝐴(cid:90)𝐷(cid:181)(cid:128)𝐵𝐶 𝐴𝐷(cid:217)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)𝑀(cid:128)𝐺(cid:77)(cid:57)𝐴𝐷(cid:125) /𝑀/𝐺 (cid:77)𝐴𝐷
(cid:280)(cid:217) // 𝐴(cid:77)𝐷𝐺(cid:57)𝑀(cid:125) // (cid:77)(cid:188) 𝐴𝑀(cid:90)(cid:40)𝐷(cid:41)𝐺(cid:31)(cid:135)
(cid:44)2(cid:45)𝐷(cid:89)𝐺(cid:10)𝐸(cid:149)𝐹(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77)𝐴𝑀(cid:142)(cid:40)𝐸𝐹(cid:164) 𝐸/,/𝐹,𝐴,𝑀(cid:171) (cid:136)(cid:40) (cid:77)(cid:188) =2(cid:77)
1 𝐴 𝐴𝑁 𝐶𝐷1 𝐵𝐶 𝑁 𝐴𝑁⊥𝐵𝐶,𝐴𝑁
(cid:241)(cid:282) = ×3×2=3(cid:77) = ×2×2=2(cid:77)
2 2
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:188) = + = +
1𝐶𝑀,𝐶𝐸 1𝑉𝑃−𝐴𝑀𝐹𝐸 1𝑉𝑃−2𝐴𝑀𝐹 𝑉𝑃−𝐴1𝐸𝐹 1𝑉𝐹−𝐴𝑀𝑃 𝑉𝐹−𝑃𝐴𝐸
= + = × + ×
3 3 3 3 3 2
2𝑉𝐶−𝐴𝑀𝑃 1 𝑉𝐶−𝑃𝐴𝐸 2 1 𝑉𝐶−𝑃𝐴𝐵 1 𝑉1𝐶−𝑃𝐴𝐷
= + = × + ×
9 6 9 3 6 3
𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶 𝑉𝑃−𝐴𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶⋅𝑃𝐴 𝑆△𝐴𝐶𝐷⋅𝑃𝐴
2 1 2
= ×3×2+ ×2×2= (cid:135)
27 18 318(cid:135)(cid:44)2023·(cid:83)(cid:103)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:78)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:32)(cid:443)(cid:326)(cid:59)(cid:77)(cid:366)(cid:31)(cid:55)(cid:444)(cid:60)(cid:445)(cid:42)(cid:74)(cid:290)(cid:217)4(cid:77)(cid:40)C(cid:104)(cid:366)(cid:31)(cid:55)(cid:444)AB(cid:57)(cid:183)(cid:446)
(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:40)D(cid:104)(cid:445)(cid:42)PA(cid:32)(cid:59)(cid:40).
(1)(cid:66)(cid:159)(cid:443)(cid:326)(cid:32)(cid:313)(cid:31)(cid:353)(cid:60)(cid:76)(cid:353)(cid:122)
(2)(cid:66)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)AB(cid:60)CD(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:311)(cid:312).
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)(cid:44)1(cid:45)(cid:194)(cid:443)(cid:326)(cid:32)(cid:313)(cid:31)(cid:353)(cid:60)(cid:76)(cid:353)(cid:7)(cid:129)(cid:66)(cid:89)(cid:257)(cid:241)(cid:122)
(cid:44)2(cid:45)(cid:447)(cid:237)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)AB(cid:60)CD(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:77)(cid:69)(cid:425)(cid:257)(cid:241).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:44)1(cid:45)(cid:194)(cid:21)(cid:228)(cid:77)(cid:282) =2(cid:77) =4(cid:77)
= 2 2=2 3(cid:77) 𝑂𝐵 𝑃𝐵
𝑃𝑂 = 𝑃 = 𝐵 8 − (cid:77) 𝑂𝐵 = 1 2 = 1 22 2 3=8 3 (cid:122)
3 3 3
𝑆 π𝑟𝑙 π 𝑉 π𝑟 ℎ ⋅π⋅ ⋅ π
(cid:44)2(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:10)
(cid:358)PO(cid:32)(cid:59)(cid:40)E(cid:77)(cid:295)(cid:296)DE(cid:77)CE(cid:77)(cid:280)(cid:217)(cid:40)D(cid:104)(cid:445)(cid:42)PA(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:77)
(cid:188) 𝐷𝐸∥(cid:184)𝐴(cid:138)𝐵(cid:185)(cid:48)(cid:257)(cid:217)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)AB(cid:60)CD(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:77)
(cid:280)∠(cid:217)𝐶𝐷𝐸 (cid:30)(cid:31) (cid:77) (cid:30)(cid:31) (cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:77)(cid:57)(cid:125) (cid:77)
(cid:280)(cid:217)(cid:40)𝑃𝑂C⊥(cid:104)(cid:366)(cid:31)𝐴𝐵(cid:55)𝐶(cid:444)𝐴A𝐵B⊂(cid:57)(cid:183)(cid:446)𝐴(cid:32)𝐵(cid:59)𝐶(cid:40)(cid:77)(cid:57)𝑃(cid:125)𝑂⊥𝐴𝐵 (cid:77)(cid:57)𝑃(cid:125)𝑂⊥𝐷𝐸 ,
(cid:281) = (cid:77)(cid:146)(cid:115)(cid:55)(cid:42)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:57)(cid:125) 𝐶𝑂 (cid:30) ⊥ (cid:31) 𝐴𝐵 EOC(cid:77) 𝐶𝑂⊥ (cid:30) 𝐷𝐸 (cid:31) (cid:77) (cid:77) = 1 =1(cid:77)
2
𝐶𝑂∩𝑂𝐸 𝑂 𝐷𝐸⊥ 𝐸𝐶⊂ 𝐸𝑂𝐶 ∴𝐷𝐸⊥𝐸𝐶 𝐷𝐸 𝑂𝐴
= 2+ 2= 22+( 3) 2 = 7(cid:77)
𝐶𝐸 𝑂𝐶 𝑂𝐸
(cid:136)(cid:104)tan = 7= 7(cid:77)(cid:257)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)AB(cid:60)CD(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:311)(cid:217)arctan 7.
1
∠𝐶𝐷𝐸
19(cid:135)(cid:44)2024·(cid:331)(cid:392)(cid:284)(cid:448)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:90)(cid:293)(cid:326) (cid:59)(cid:77)(cid:366)(cid:31) (cid:217)(cid:55)(cid:48)(cid:304)(cid:128)(cid:77) (cid:30)(cid:31) (cid:77)
(cid:77) (cid:77) = =4(cid:77) = =2(cid:77)𝑃−(cid:217)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:142) 𝐴(cid:77)𝐵𝐶(cid:77)𝐷 (cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:90)𝑃(cid:293)𝐴(cid:326)⊥ 𝐴𝐵𝐶(cid:57)𝐷(cid:282)𝐴(cid:32)𝐷(cid:53)∥
𝐵(cid:31)𝐶(cid:217)𝐴(cid:135)𝐵⊥𝐴𝐷 𝑃𝐴 𝐴𝐷 𝐵𝐴 𝐵𝐶 𝑀 𝑃𝐴 𝐶 𝐷 𝑀 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷
𝛼
(1)(cid:260) (cid:60)(cid:293) (cid:171)(cid:136)(cid:40) (cid:77)(cid:216)(cid:86)(cid:53)(cid:31) (cid:77)(cid:449)(cid:450)(cid:164)(cid:176)(cid:451)(cid:452)(cid:44)(cid:143)(cid:27)(cid:266)(cid:167)(cid:15)(cid:194)(cid:45)(cid:77)(cid:96)(cid:166)(cid:167) =3(cid:135)
𝑃𝐵
(2)(cid:66) 𝛼 (cid:261)(cid:31)(cid:76) 𝑃𝐵 𝐹 (cid:32)(cid:76)(cid:353)(cid:135) 𝛼 𝐹𝐵
(cid:22)(cid:89)(cid:21)(cid:253)(cid:254)(cid:28)𝐴𝐵(cid:44)𝐶1𝐷(cid:45)𝑀(cid:314)𝐹 (cid:74) = (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:171) (cid:136) (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:241)(cid:282)(cid:53)(cid:31) (cid:122)(cid:142) (cid:164) (cid:171) (cid:136) (cid:77)
𝐷𝐶∩𝐴𝐵 𝐸 𝑀𝐸 𝑃𝐵 𝐹 𝐹𝐶 𝛼 𝑀 𝑀𝑁∥𝐴𝐵 𝑃𝐵 𝑁
(cid:219)(cid:142)(cid:166)(cid:167) (cid:77)(cid:241)(cid:282) =3(cid:122)
𝑃𝐵
(cid:44)2(cid:45)(cid:194)(cid:44) △ 1(cid:45) 𝑀 (cid:241) 𝑁𝐹 (cid:282) ∼△𝐸𝐵𝐹 = 𝐹𝐵 (cid:77)(cid:191)(cid:194)(cid:21)(cid:453)(cid:144)(cid:393)(cid:241)(cid:282)(cid:258)(cid:398).
(cid:22)(cid:89)(cid:258)(cid:142)(cid:259)(cid:28)(cid:44)1(cid:45)𝑉(cid:314)𝐴𝐵(cid:74)𝐶𝐷𝑀𝐹 𝑉𝐸−=𝑀𝐴𝐷(cid:77)−𝑉(cid:295)𝐸(cid:296)−𝐹𝐵𝐶 (cid:171) (cid:136) (cid:77)(cid:295)(cid:296) (cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:90)(cid:181)(cid:128) (cid:217)(cid:53)(cid:31) .
𝐷𝐶∩1𝐴𝐵 𝐸 𝑀𝐸 𝑃𝐵 𝐹 𝐹𝐶 𝑀𝐹𝐶𝐷 𝛼
(cid:59)(cid:77) (cid:77)(cid:194) = (cid:77)(cid:188) (cid:217) (cid:59)(cid:40)(cid:77) (cid:217) (cid:59)(cid:40)(cid:135)
2
𝐵𝐶
△𝐴𝐷𝐸 𝐵𝐶∥𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐶 𝐷𝐸 𝐵 𝐴𝐸
1
(cid:142) (cid:164) (cid:171) (cid:136) (cid:77)(cid:188) = =1.
2
𝑀 𝑀𝑁∥𝐴𝐵 𝑃𝐵 𝑁 𝑀𝑁 𝐴𝐵
1 1
, = = . = (cid:77)(cid:257) = (cid:135)
2 3
𝐹𝑁 𝑀𝑁
(cid:44) ∴△ 2(cid:45) 𝑀𝑁𝐹∼△𝐸 = 𝐵𝐹 ∴𝐵𝐹 𝐵𝐸 . ∴𝐵𝐹 2𝑁𝐹 𝐵𝐹 𝐵𝑃
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀𝐹 𝑉𝐸−𝑀𝐴𝐷−𝑉𝐸−𝐹𝐵𝐶1
(cid:194)(cid:21)(cid:228)(cid:37)(cid:44)1(cid:45)(cid:241)(cid:282) (cid:77) = = = = =4.
2
𝐴𝐷⊥𝐴𝑀 𝐴𝐷 4,𝐴𝑀 𝐴𝑃 2,𝐴𝐸 2𝐴𝐵
1 1 1 1 16
(cid:188) = = = ×4×2×4= (cid:122)
3 3 2 6 3
𝑉𝐸−𝑀𝐴𝐷 𝑆△𝐴𝐷𝑀⋅𝐴𝐸 ⋅ 𝐴𝐷⋅𝐴𝑀⋅𝐴𝐸
(cid:281)(cid:241)(cid:282) = = =2(cid:77)(cid:40)F(cid:237)(cid:30)(cid:31)BEC(cid:356)(cid:357)(cid:217) 1 =4(cid:77)
3
𝐵𝐸⊥𝐵𝐶,𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑃𝐴,𝑃𝐴
1 1 1 1 1 1 8
(cid:188) = = = = × ×2×2×4= .
3 3 9 2 9 2 9
𝑉𝐸−𝐹𝐵𝐶 𝑉𝐹−𝐵𝐸𝐶 𝑆△𝐵𝐸𝐶⋅ 𝑃𝐴 ⋅ 𝐵𝐸⋅𝐵𝐶⋅𝑃𝐴
40
(cid:188) = = (cid:135)
9
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀𝐹 𝑉𝐸−𝑀𝐴𝐷−𝑉𝐸−𝐹𝐵𝐶
