专题8.2两条直线的位置关系九大题型（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）_2026版《举一反三》专题练系列（共189个题型）

专题 8.2 两条直线的位置关系【九大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:28)........................................................................................................................3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:39)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:42)(cid:38)(cid:32)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:28)................................................................................................3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)(cid:28)................................................................................................................................4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:21)(cid:28)................................................................................................................................................4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:37)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:3)(cid:34)(cid:51)(cid:52)(cid:47)(cid:21)(cid:28)........................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:46)(cid:53)(cid:54)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:3)(cid:56)(cid:46)(cid:57)(cid:58)(cid:28)....................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:46)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)(cid:28)....................................................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:32)(cid:33)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:47)(cid:21)(cid:28)....................................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:32)(cid:33)(cid:59)(cid:43)(cid:44)(cid:28)............................................................................................................................................7 1(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:3)(cid:59) (cid:25)(cid:46)(cid:62)(cid:39) (cid:63)(cid:21)(cid:64)(cid:65) (cid:25)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (1)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:54)(cid:38)(cid:32) (cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:90)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:66)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:57) (2)(cid:69)(cid:27)(cid:76)(cid:43)(cid:44)(cid:77)(cid:34)(cid:43)(cid:78) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:3)(cid:59)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:86)(cid:34)(cid:25)(cid:102) (cid:39)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:79)(cid:80) 2022(cid:90)(cid:84)(cid:91)(cid:92)(cid:10)(cid:93)7(cid:21)(cid:88)5(cid:67) (cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:75)(cid:88)(cid:106)(cid:107)(cid:20)(cid:108)(cid:21)(cid:42)(cid:109)(cid:110)(cid:21)(cid:34)(cid:111)(cid:86) (3)(cid:81)(cid:82)(cid:35)(cid:83)(cid:84)(cid:30)(cid:46)(cid:85)(cid:34) 2024(cid:90)(cid:94)(cid:95)(cid:92)(cid:10)(cid:93)3(cid:21)(cid:88)4(cid:67) (cid:25)(cid:102)(cid:88)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:57)(cid:48)(cid:49) (cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:86)(cid:42)(cid:46)(cid:87)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:48) (cid:7)(cid:86)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:59)(cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:88)(cid:123)(cid:124)(cid:39)(cid:76). (cid:49)(cid:7)(cid:86)(cid:88)(cid:89)(cid:39)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:32) (cid:33)(cid:85)(cid:34)(cid:48)(cid:49) (cid:22)(cid:41)(cid:125)(cid:46)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:3)(cid:59)(cid:28) 1(cid:126)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:3)(cid:59) (cid:72)(cid:127)(cid:86) (cid:128)(cid:129)(cid:86) l :y=k x+b (cid:43)(cid:44) 1 1 1 l :y=k x+b 2 2 2(cid:53)(cid:131) (cid:119)(cid:88)(cid:132)(cid:133) (cid:55) (cid:130)(cid:45) k ≠k 1 2 (cid:53)(cid:131) (cid:119)(cid:88)(cid:132)(cid:133) (cid:38)(cid:32) k ·k =-1 (cid:55) 1 2 (cid:54) (cid:35)(cid:36) k =k (cid:134)b ≠b 1 2 1 2 (cid:53)(cid:131) (cid:119)(cid:88)(cid:132)(cid:133) (cid:55) A =λA ,B =λB ,C =λC (λ≠0) 1 2 1 2 1 2 (cid:135)(cid:136) k =k (cid:134)b =b (cid:53)(cid:131) (cid:119)(cid:88)(cid:132)(cid:133) (cid:55) 1 2 1 2 2(cid:126)(cid:35)(cid:36)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:137)(cid:78) (cid:35)(cid:36)(cid:10)(cid:37)(cid:32)(cid:33)Ax+By+n=0(cid:35)(cid:36)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:138)(cid:137)(cid:133)Ax+By+m=0. 3(cid:126)(cid:38)(cid:32)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:137)(cid:78) (cid:38)(cid:32)(cid:10)(cid:37)(cid:32)(cid:33)Ax+By+n=0(cid:38)(cid:32)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:138)(cid:137)(cid:133)Bx-Ay+m=0. (cid:22)(cid:41)(cid:125)(cid:46)2 (cid:139)(cid:140)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:86)(cid:28) 1(cid:126)(cid:30)(cid:46)(cid:85)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:86) (cid:35)(cid:83)(cid:141)(cid:30)(cid:46) (cid:85)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:86)(cid:133) . (cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:88)(cid:145)(cid:46)O(cid:87)(cid:146)(cid:147)(cid:128)(cid:46)P(x,y)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:133)|OP|= . 2(cid:126)(cid:46)(cid:87)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:86) (1)(cid:75)(cid:148)(cid:10) (cid:46)P(cid:87)(cid:32)(cid:33)l(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:88)(cid:149)(cid:150)(cid:96)(cid:46)P(cid:87)(cid:32)(cid:33)l(cid:34)(cid:38)(cid:33)(cid:151)PQ(cid:34)(cid:152)(cid:113)(cid:88)(cid:153)(cid:154)Q(cid:150)(cid:38)(cid:155).(cid:156)(cid:157)(cid:84)(cid:88)(cid:46)(cid:87)(cid:32)(cid:33)(cid:34) (cid:48)(cid:49)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:34)(cid:46)(cid:37)(cid:32)(cid:33)(cid:158)(cid:159)(cid:46)(cid:34)(cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:51)(cid:161)(cid:48)(cid:49). (2)(cid:7)(cid:86)(cid:10) (cid:40)(cid:41)(cid:128)(cid:162)(cid:75)(cid:46) (cid:88)(cid:128)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:133)l:Ax+By+C=0(cid:88)(cid:163)(cid:75)(cid:46)P(cid:87)(cid:32)(cid:33)l(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:133)d= . 3(cid:126)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:86) (1)(cid:75)(cid:148) (cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:150)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:34)(cid:7)(cid:38)(cid:33)(cid:151)(cid:34)(cid:152). (2)(cid:7)(cid:86) (cid:137)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:33) (cid:88) (cid:88)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:85)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:133)d= . (cid:22)(cid:41)(cid:125)(cid:46)3 (cid:46)(cid:42)(cid:33)(cid:85)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:59)(cid:28) 1(cid:126)(cid:170)(cid:140)(cid:171)(cid:27)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:59) (1)(cid:46)(x,y)(cid:3)(cid:56)(cid:145)(cid:46)(0,0)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(-x,-y). (2)(cid:46)(x,y)(cid:3)(cid:56)x(cid:172)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(x,-y)(cid:88)(cid:3)(cid:56)y(cid:172)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(-x,y). (3)(cid:46)(x,y)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33)y=x(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(y,x)(cid:88)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33)y=- x(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(-y,-x). (4)(cid:46)(x,y)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33)x=a(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(2a-x,y)(cid:88)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33)y=b(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(x,2b-y).(5)(cid:46)(x,y)(cid:3)(cid:56)(cid:46)(a,b)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(2a-x,2b-y). (6)(cid:46)(x,y)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33)x+y=k(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(k-y,k-x)(cid:88)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33)x-y=k(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:133)(k+y,x-k). (cid:22)(cid:41)(cid:125)(cid:46)4 (cid:32)(cid:33)(cid:59)(cid:43)(cid:44)(cid:28) 1(cid:126)(cid:32)(cid:33)(cid:59)(cid:43)(cid:44) (cid:174) (cid:32) (cid:33) (cid:37) (cid:34) (cid:45) (cid:46) (cid:34) (cid:32) (cid:33) (cid:59) (cid:43) (cid:44) (cid:133) (cid:88)(cid:175)(cid:114)(cid:176)(cid:177)(cid:32)(cid:33) . (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:28) (cid:22)(cid:178)1(cid:28)(cid:53)2024·(cid:179)(cid:180)(cid:23)(cid:181)·(cid:139)(cid:182)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) + =0， :( +1) + +1=0(cid:88)(cid:163)“ =2”(cid:150)“ // 1 2 1 ”(cid:34)(cid:53) (cid:55) 𝑙 :2𝑥 𝑚𝑦−1 𝑙 𝑚 𝑥 3𝑦 𝑚 𝑙 2 𝑙 A(cid:126)(cid:183)(cid:67)(cid:114)(cid:184)(cid:62)(cid:31)(cid:185) B(cid:126)(cid:184)(cid:62)(cid:114)(cid:183)(cid:67)(cid:31)(cid:185) C(cid:126)(cid:183)(cid:62)(cid:31)(cid:185) D(cid:126)(cid:186)(cid:114)(cid:183)(cid:67)(cid:187)(cid:114)(cid:184)(cid:62)(cid:31)(cid:185) (cid:22)(cid:188)(cid:86)1-1(cid:28)(cid:53)2024·(cid:189)(cid:190)(cid:190)(cid:191)·(cid:192)(cid:182)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:46) (cid:88) (cid:88)(cid:134)(cid:32)(cid:33) (cid:37)(cid:32)(cid:33) +3=0(cid:38)(cid:32)(cid:88)(cid:163) = (cid:53) (cid:55) 𝑀(𝑚,−1) 𝑁(4,𝑚) 𝑀𝑁 2𝑥−𝑦 𝑚 7 2 A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126)9 3 3 −6 (cid:22)(cid:188)(cid:86)1-2(cid:28)(cid:53)2024·(cid:179)(cid:180)(cid:193)(cid:194)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)“ =0”(cid:150)“(cid:32)(cid:33) + =0(cid:37)(cid:32)(cid:33) 1 2 + +2024=0(cid:35)(cid:36)”(cid:34)(cid:53) (cid:55) 𝑎 𝑙 :𝑥 2𝑎𝑦−2024 𝑙 :(𝑎−A1(cid:126))𝑥(cid:183)(cid:67)𝑎𝑦(cid:114)(cid:184)(cid:62)(cid:31)(cid:185) B(cid:126)(cid:184)(cid:62)(cid:114)(cid:183)(cid:67)(cid:31)(cid:185) C(cid:126)(cid:183)(cid:62)(cid:31)(cid:185) D(cid:126)(cid:186)(cid:114)(cid:183)(cid:67)(cid:187)(cid:114)(cid:184)(cid:62)(cid:31)(cid:185) (cid:22)(cid:188)(cid:86)1-3(cid:28)(cid:53)2024·(cid:179)(cid:180)·(cid:139)(cid:182)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) + + =0(cid:37)(cid:32)(cid:33) = (cid:38)(cid:32)(cid:88)(cid:163)(cid:53) (cid:55) A(cid:126) = 0 𝐴𝑥 B(cid:126)𝐵𝑦 =𝐶 0 𝑦 2𝑥−3 C(cid:126)𝐴=−2𝐵≠0 D(cid:126)𝐴 =2𝐵≠0 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2𝐵 (cid:39)−(cid:37)2𝐴(cid:40)≠(cid:41)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:42)(cid:38)(cid:32)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:28)𝐵 2𝐴≠ (cid:22)(cid:178)2(cid:28)(cid:53)2024·(cid:198)(cid:199)·(cid:192)(cid:182)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) (cid:37)(cid:32)(cid:33) =0(cid:35)(cid:36)(cid:88)(cid:134)(cid:166) (cid:172)(cid:84)(cid:34)(cid:127)(cid:48)(cid:150) (cid:88)(cid:163)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:150) (cid:53) (cid:55)(cid:126) 𝑙 𝑥−𝑦 𝑦 −2 𝑙 A(cid:126) +2=0 B(cid:126) +4=0 C(cid:126)𝑥−𝑦 =0 D(cid:126)𝑥−+2𝑦 =0 (cid:22)(cid:188)(cid:86)2𝑥-−1(cid:28)𝑦−(cid:53)22024·(cid:200)(cid:199)(cid:201)(cid:91)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:174)(cid:46) (𝑥 2)(cid:134)𝑦−(cid:37)4(cid:32)(cid:33) + +3=0(cid:38)(cid:32)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:150)(cid:53) (cid:55) A(cid:126) +5=0 B𝑃(cid:126)−1+,2 =0 𝑥 2𝑦 C(cid:126)𝑥−2𝑦+4=0 D(cid:126)𝑥 +2𝑦−=30 2𝑥−𝑦 2𝑥 𝑦(cid:22)(cid:188)(cid:86)2-2(cid:28)(cid:53)2024·(cid:202)(cid:203)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55) (cid:154)(cid:88) (3,2)(cid:88) (1,1)(cid:88) (2,3)(cid:88)(cid:163) (cid:204)(cid:84)(cid:34)(cid:24)(cid:205)(cid:166)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44) (cid:150)(cid:53) (cid:55) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 A(cid:126) + =0 B(cid:126) =0 C(cid:126)2𝑥+ 𝑦−7=0 D(cid:126)2𝑥−𝑦−+14=0 𝑥 2𝑦−8 𝑥−2𝑦 (cid:22)(cid:188)(cid:86)2-3(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:200)(cid:199)(cid:206)(cid:207)·(cid:208)(cid:209)(cid:55)(cid:174)(cid:46) ，0 (cid:37) = (cid:35)(cid:36)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:150)(cid:53) (cid:55) A(cid:126) =0 B(cid:126) +−2 +2=0 𝑦 𝑥 C(cid:126)𝑥−𝑦−+22=0 D(cid:126)𝑥+𝑦 =0 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3𝑥 − 𝑦(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)(cid:28) 𝑥 𝑦−2 (cid:22)(cid:178)3(cid:28)(cid:53)2024·(cid:91)(cid:180)(cid:91)(cid:210)·(cid:192)(cid:182)(cid:55)(cid:211)(cid:32)(cid:33) = +4(cid:37)(cid:32)(cid:33) = (cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:166)(cid:32)(cid:33) = +2(cid:84)(cid:88)(cid:163)(cid:156)(cid:13) = (cid:53) (cid:55) 𝑦 −2𝑥 𝑦 𝑘𝑥 𝑦 𝑥 𝑘 1 1 A(cid:126)4 B(cid:126)2 C(cid:126) D(cid:126) 2 4 (cid:22)(cid:188)(cid:86)3-1(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:135)(cid:212)(cid:152)(cid:213)·(cid:208)(cid:209)(cid:55)(cid:32)(cid:33) +6=0(cid:37)(cid:32)(cid:33) + =3(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:79)(cid:80)(cid:150)(cid:53) (cid:55) A(cid:126)(3，0) B(cid:126) C(cid:126) 2𝑥−𝑦 D(cid:126)𝑥 𝑦 (cid:22)(cid:188)(cid:86)3-2(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)(−·(cid:214)1,4(cid:215))(cid:216)(cid:198)·(cid:208)(cid:209)(cid:55)(cid:217)(cid:174)((cid:30)−3(cid:31),6(cid:32)) (cid:33) +10=(40,−(cid:218)1) + =0(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:88)(cid:134)(cid:38) (cid:32)(cid:56)(cid:32)(cid:33) =0(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 2𝑥−3𝑦 3𝑥 4𝑦−2 A(cid:126) 2𝑥−𝑦−1=0 B(cid:126) + =0 C(cid:126)𝑥−2𝑦−6=0 D(cid:126)𝑥 +2𝑦−2=0 (cid:22)(cid:188)(cid:86)32-𝑥3−(cid:28)𝑦(cid:53)−233-24(cid:24)(cid:192)(cid:219)·(cid:84)(cid:91)·(cid:208)(cid:154)(cid:55)(cid:32)(cid:33) 2𝑥+ 𝑦−+21=0, + =0, + =0(cid:88)(cid:211)(cid:139)(cid:31)(cid:32) 1 2 3 (cid:33)(cid:220)(cid:78)(cid:221)(cid:222)(cid:139)(cid:223)(cid:111)(cid:88)(cid:163)(cid:156)(cid:13) (cid:138)(cid:224)(cid:52)(cid:34)(cid:162)(cid:13)(cid:133)𝑙(cid:53): 7 𝑥 (cid:55)2𝑦 𝑙 :𝑚𝑥 𝑦 𝑙 :𝑥 𝑚𝑦−1 A(cid:126)3 B(cid:126)4𝑚 C(cid:126)5 D(cid:126)6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:21)(cid:28) (cid:22)(cid:178)4(cid:28)(cid:53)2024·(cid:225)(cid:226)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:33) + =0(cid:37) +5=0(cid:169)(cid:85)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 1 2 A(cid:126) 5 B(cid:126)2 5 𝑙 :2C𝑥(cid:126)3𝑦−55 𝑙 :𝑥−𝑏𝑦D(cid:126)5 5 (cid:22)(cid:188)(cid:86)4-1(cid:28)(cid:53)2024·(cid:91)(cid:180)(cid:91)(cid:210)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:137) 1 )(cid:88)(cid:211)(cid:227)(cid:13) = 2 >0)(cid:228)(cid:229)(cid:84)(cid:146)(cid:147)(cid:128)(cid:46) , )(cid:230)(cid:155) 8 0 0 𝐴(0, 𝑦 𝑎𝑥 (𝑎 𝑃(𝑥 𝑦 1 = + (cid:88)(cid:163) =(cid:53) (cid:55) 0 8 |𝑃𝐴| 𝑦 𝑎 1 1 A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126)2 D(cid:126)4 4 2 (cid:22)(cid:188)(cid:86)4-2(cid:28)(cid:53)2024·(cid:179)(cid:180)(cid:6)(cid:194)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44) 2+ +2 2 =2(cid:166)(cid:156)(cid:13)(cid:231)(cid:232)(cid:141)(cid:50)(cid:76)(cid:88)(cid:163) 2+ 2(cid:34) −𝑥 2𝑎𝑥 𝑏 𝑎 𝑏(cid:51)(cid:233)(cid:52)(cid:133)(cid:53) (cid:55) A(cid:126) 1 B(cid:126) 1 C(cid:126) 2 D(cid:126) 2 2 4 2 4 (cid:22)(cid:188)(cid:86)4-3(cid:28)(cid:53)2024·(cid:206)(cid:234)(cid:180)(cid:95)·(cid:128)(cid:182)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:156)(cid:13) > <0(cid:88)(cid:163) 3 (cid:34)(cid:224)(cid:52)(cid:231)(cid:232)(cid:150)(cid:53) (cid:55) 2 2 𝑏−𝑎 A(cid:126) B 𝑎 (cid:126) 0,𝑏 𝑎 +𝑏 C(cid:126)[−2,−1) D(cid:126)(−2,−1) (cid:22)(cid:21)(cid:29)5( − 2(cid:37).−(cid:48)1](cid:49)(cid:50)(cid:3)(cid:34)(cid:51)(cid:52)(cid:47)(cid:21)(cid:28) [−2,−1] (cid:22)(cid:178)5(cid:28)(cid:53)2024·(cid:202)(cid:203)·(cid:192)(cid:182)(cid:55)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:133)( +2) +( ) =0( )(cid:88)(cid:131)(cid:145)(cid:46) (cid:87)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:115) (cid:119)(cid:88) (cid:34)(cid:52)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝑙 𝜆 𝑥 𝜆−1 𝑦−3𝜆 𝜆∈𝑅 𝑂 𝑙 A𝜆(cid:126) B(cid:126) C(cid:126)1 D(cid:126)5 (cid:22)(cid:188)(cid:86)5−-11(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)−·5(cid:191)(cid:235)·(cid:236)(cid:151)(cid:237)(cid:118)(cid:55)(cid:211)P(cid:88)Q(cid:67)(cid:143)(cid:133)(cid:32)(cid:33)3x(cid:238)4y(cid:239)12(cid:240)0(cid:37)6x(cid:238)8y(cid:238)5(cid:240)0(cid:84)(cid:146)(cid:147) (cid:128)(cid:46)(cid:88)(cid:163)|PQ|(cid:34)(cid:51)(cid:233)(cid:52)(cid:133)((cid:241)(cid:241)) 9 18 29 29 A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126) 5 5 10 5 (cid:22)(cid:188)(cid:86)5-2(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:139)(cid:84)·(cid:135)(cid:212)·(cid:236)(cid:151)(cid:237)(cid:118)(cid:55)(cid:166)(cid:35)(cid:83)(cid:32)(cid:223)(cid:79)(cid:80)(cid:59)(cid:154)(cid:88)(cid:242)(cid:136) ={( )| + =0 }(cid:88)(cid:242)(cid:136) ={( )| = }(cid:88)(cid:40)(cid:41)(cid:46) (cid:88)(cid:46) (cid:88)(cid:132) (cid:243)(cid:244)(cid:33)(cid:151) (cid:152)(cid:113)(cid:34)(cid:51)𝐴(cid:233)(cid:52)𝑥(cid:88),𝑦(cid:163)𝑘𝑥(cid:34)−(cid:51)𝑦(cid:115)𝑘(cid:52)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝐵 A(cid:126)𝑥,𝑦2 𝑦 𝑘𝑥−1 B(cid:126) 3 𝑀∈𝐴 𝑁∈𝐵C(cid:126)1 𝑑 𝑀𝑁 D(cid:126) 2 𝑑 (cid:22)(cid:188)(cid:86)5-3(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:245)(cid:246)(cid:206)·(cid:208)(cid:154)(cid:55)(cid:247)(cid:248)(cid:13)(cid:11)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:174)(cid:10)“(cid:13)(cid:111)(cid:255)(cid:136)(cid:256)(cid:129)(cid:257)(cid:88)(cid:258)(cid:259)(cid:67)(cid:249)(cid:260)(cid:261) (cid:262)(cid:126)”(cid:261)(cid:156)(cid:84)(cid:88)(cid:50)(cid:263)(cid:106)(cid:264)(cid:13)(cid:47)(cid:21)(cid:138)(cid:107)(cid:265)(cid:16)(cid:133)(cid:98)(cid:266)(cid:47)(cid:21)(cid:121)(cid:107)(cid:76)(cid:267)(cid:88)(cid:268)(cid:10) ( )2+( )2(cid:138)(cid:107)(cid:265)(cid:16)(cid:133)(cid:35)(cid:83)(cid:84)(cid:46) 𝑥−𝑎 𝑦−𝑏 ( )(cid:37)(cid:46) ( )(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:126)(cid:255)(cid:136)(cid:84)(cid:269)(cid:270)(cid:46)(cid:88)(cid:138)(cid:271) = 2 +5+ 2 +25(cid:34)(cid:51)(cid:233)(cid:52)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝑀 𝑥,A𝑦(cid:126)2 1𝑁0𝑎,𝑏 B(cid:126)2 2 C(cid:126)𝑦 2+𝑥 −120𝑥 𝑥D(cid:126)−63𝑥+ 5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:46)(cid:53)(cid:54)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:3)(cid:56)(cid:46)(cid:57)(cid:58)(cid:28) (cid:22)(cid:178)6(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)·(cid:208)(cid:209)(cid:55)(cid:46) (1,2)(cid:166)(cid:32)(cid:33) (cid:84)(cid:88)(cid:32)(cid:33) (cid:37) (cid:3)(cid:56)(cid:46)(0,1)(cid:57)(cid:58)(cid:88)(cid:163)(cid:128)(cid:75)(cid:166)(cid:32)(cid:33) (cid:84)(cid:34) 1 1 (cid:46)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝑃 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 A(cid:126) 1 , 3 B(cid:126) 3 C(cid:126)( ) D(cid:126)(cid:53)1(cid:88)0(cid:55) 2 2 2 (cid:22)(cid:188)(cid:86)6-1(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)− ·(cid:206)1,(cid:234)(cid:171)(cid:272)·(cid:208)(cid:154)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)−1(cid:33),0 + =0(cid:37)(cid:32)(cid:33) + + =0(cid:3)(cid:56)(cid:46) (cid:57) (cid:58)(cid:88)(cid:163)(cid:156)(cid:13) (cid:34)(cid:52)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝑥 2𝑦−3 𝑎𝑥 4𝑦 𝑏 𝐴(1,0) A(cid:126)2 𝑏 B(cid:126)6 C(cid:126) D(cid:126) (cid:22)(cid:188)(cid:86)6-2(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:273)·(cid:208)(cid:154)(cid:55)(cid:46) −2 (cid:166)(cid:32)(cid:33) (cid:84)(cid:88)(cid:32)(cid:33) −(cid:37)6(cid:3)(cid:56)(cid:46)(0,1)(cid:57)(cid:58)(cid:88)(cid:163)(cid:128)(cid:75)(cid:166)(cid:32) 1 𝑃(1,2) 𝑙 𝑙 𝑙(cid:33) (cid:84)(cid:34)(cid:46)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 1 𝑙 13 3 1 A(cid:126)( , ) B(cid:126) ) C(cid:126) D(cid:126)( ,0) 22 2 2 (−1, (−1,0) (cid:22)(cid:188)(cid:86)6-3(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:128)(cid:219)·(cid:141)(cid:274)(cid:275)(cid:176)(cid:276)·(cid:208)(cid:209)(cid:55)(cid:37)(cid:32)(cid:33) +5=0(cid:3)(cid:56)(cid:79)(cid:80)(cid:145)(cid:46)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:133)(cid:53) (cid:55) A(cid:126) + =0 B(cid:126) +3𝑥−+4𝑦5=0 C(cid:126)3𝑥 4𝑦+−55=0 D(cid:126)3𝑥 4𝑦 =0 (cid:22)(cid:21)(cid:29)73 𝑥−(cid:46)4(cid:3)𝑦 (cid:56)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)(cid:28) 3𝑥−4𝑦−5 (cid:22)(cid:178)7(cid:28)(cid:53)2024·(cid:277)(cid:206)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:46)(1,2)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33) + =0(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:150)(cid:53) (cid:55) A(cid:126)(1,0) B(cid:126)(0,1) C(cid:126)(𝑥 𝑦−)2 D(cid:126)(2,1) (cid:22)(cid:188)(cid:86)7-1(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:278)(cid:279)(cid:139)(cid:280)·(cid:208)(cid:154)(cid:55)(cid:40)(cid:41)0(,−1 ) (0,3)(cid:88)(cid:96)(cid:46) ( )(cid:281)(cid:282)(cid:34)(cid:283)(cid:33)(cid:217)y(cid:172)(cid:284)(cid:281)(cid:87)(cid:32) (cid:33) (cid:84)(cid:88)(cid:285)(cid:217)(cid:174)(cid:32)(cid:33) (cid:284)(cid:281)(cid:87) (cid:46)(cid:88)(cid:163)(cid:283)(cid:33)(cid:205)(cid:217)(cid:174)𝐴(cid:34)−(cid:286)3,(cid:44)0 (cid:133),𝐵(cid:53) (cid:55) 𝑃 −1,0 𝐴𝐵A(cid:126)2 10 𝐴B𝐵(cid:126)6 𝑃 C(cid:126)2 5 D(cid:126)2 6 (cid:22)(cid:188)(cid:86)7-2(cid:28)(cid:53)2024·(cid:189)(cid:190)(cid:190)(cid:191)·(cid:128)(cid:182)(cid:55)(cid:287)(cid:264)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:34)(cid:288)(cid:292)(cid:275)(cid:96)(cid:293)(cid:36)(cid:294)(cid:295)(cid:276)(cid:30)(cid:296)(cid:254)(cid:10)“(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:198)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:88)(cid:303)(cid:304) (cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:45)(cid:179)”(cid:88)(cid:288)(cid:154)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:128)(cid:162)(cid:50)(cid:311)(cid:34)(cid:13)(cid:11)(cid:47)(cid:21)——“(cid:312)(cid:293)(cid:305)(cid:306)”(cid:47)(cid:21)(cid:88)(cid:313)(cid:312)(cid:293)(cid:166)(cid:270)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:169)(cid:314)(cid:96)(cid:198)(cid:315)(cid:219)(cid:316)(cid:317) (cid:282)(cid:318)(cid:88)(cid:319)(cid:87)(cid:179)(cid:204)(cid:305)(cid:306)(cid:314)(cid:320)(cid:321)(cid:87)(cid:293)(cid:322)(cid:88)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:69)(cid:327)(cid:328)(cid:286)(cid:44)(cid:51)(cid:161)(cid:329)(cid:166)(cid:35)(cid:83)(cid:32)(cid:223)(cid:79)(cid:80)(cid:59)(cid:154)(cid:88)(cid:137)(cid:293)(cid:322)(cid:205)(cid:166)(cid:34)(cid:60)(cid:61) (cid:133) ( )(cid:126)(cid:211)(cid:312)(cid:293)(cid:96)(cid:198)(cid:315)(cid:219)(cid:34)(cid:46) ( )(cid:317)(cid:282)(cid:318)(cid:88)(cid:179)(cid:330)(cid:33)(cid:205)(cid:166)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:133) +3=0(cid:88)(cid:163)“(cid:312)(cid:293)(cid:305)(cid:306)”(cid:34)(cid:51) (cid:161)𝐴(cid:328)(cid:286)−4(cid:44),1(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝐵 −3,2 𝑥−𝑦 A(cid:126) 2 B(cid:126) 5 C(cid:126) 10 D(cid:126)2 3 (cid:22)(cid:188)(cid:86)7-3(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:277)(cid:206)(cid:331)(cid:332)·(cid:208)(cid:154)(cid:55)(cid:268)(cid:228)(cid:88)(cid:128)(cid:333)(cid:283)(cid:33)(cid:96) (1,0)(cid:282)(cid:318)(cid:88)(cid:217)(cid:32)(cid:33) + +1=0(cid:284)(cid:281)(cid:314)(cid:285) (cid:217)(cid:174)(cid:46) ( )(cid:88)(cid:163)(cid:283)(cid:33)(cid:96)A(cid:87)B(cid:325)(cid:174)(cid:34)(cid:286)(cid:44)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝐴 𝑥 𝑦 𝐵 6,−5 A(cid:126) 55 B(cid:126)2 14 C(cid:126) 58 D(cid:126)2 15 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:32)(cid:33)(cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:47)(cid:21)(cid:28) (cid:22)(cid:178)8(cid:28)(cid:53)2024·(cid:84)(cid:91)(cid:334)(cid:191)·(cid:192)(cid:182)(cid:55)(cid:137)(cid:32)(cid:33) =0(cid:37) (cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33) =0(cid:57)(cid:58)(cid:88)(cid:163)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:150) 1 2 2 (cid:53)(cid:241)(cid:241)(cid:55) 𝑙 :𝑥−2𝑦−2 𝑙 𝑙:2𝑥−𝑦−4 𝑙A(cid:126) + =0 B(cid:126) + +22=0 C(cid:126)11𝑥+ 2𝑦−2=20 D(cid:126)11𝑥+𝑦 =0 (cid:22)(cid:188)(cid:86)85-𝑥1(cid:28)(cid:53)𝑦−213-124(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:189)(cid:190)(cid:190)(cid:191)·(cid:208)(cid:154)(cid:55)(cid:137)(cid:32)1(cid:33)0𝑥 𝑦−22 =0(cid:88)(cid:32)(cid:33) =0(cid:88)(cid:163) (cid:3)(cid:56) (cid:57)(cid:58) 1 2 1 2 (cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝑙 :3𝑥−2𝑦−6 𝑙 :𝑥−𝑦−4 𝑙 𝑙 A(cid:126) + =0 B(cid:126) =0 C(cid:126)3𝑥+2𝑦−14=0 D(cid:126)2𝑥−3𝑦−14=0 (cid:22)(cid:188)(cid:86)83-𝑥2(cid:28)(cid:53)2𝑦2−3-624(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:335)(cid:94)(cid:336)(cid:337)·(cid:208)(cid:209)(cid:55)(cid:40)(cid:41)2(cid:283)𝑥−(cid:33)3(cid:96)𝑦−(cid:46)6 ( )(cid:281)(cid:282)(cid:88)(cid:217)(cid:32)(cid:33) +10=0(cid:284)(cid:281)(cid:88)(cid:134)(cid:284) (cid:281)(cid:283)(cid:33)(cid:205)(cid:166)(cid:32)(cid:33)(cid:174)(cid:46) (cid:88)(cid:163)(cid:284)(cid:281)(cid:283)(cid:33)(cid:205)(cid:166)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:44)𝐴(cid:150)−(cid:53)2, 1 (cid:55) 2𝑥−𝑦 A(cid:126) =0𝐵(−8,−3) B(cid:126) +21=0 C(cid:126)𝑥−+3𝑦−+117=0 D(cid:126)3𝑥−+𝑦 +15=0 (cid:22)(cid:188)(cid:86)8𝑥-3(cid:28)3(cid:53)𝑦23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:335)(cid:94)(cid:303)(cid:338)·(cid:236)(cid:151)(cid:237)(cid:118)(cid:55)3(cid:211)𝑥(cid:30)𝑦(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:33) (cid:10) + =0( >0)(cid:37) (cid:10) 1 2 + =0(cid:169)(cid:85)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:150)2 5(cid:88)(cid:163)(cid:32)(cid:33) (cid:3)(cid:56)(cid:32)(cid:33) (cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)𝑙 (cid:44)𝑥(cid:133)−(cid:53)2𝑦 (cid:55)𝑚 𝑚 𝑙 1 2 2𝑥 A𝑛(cid:126)𝑦−6 =0 𝑙 B(cid:126) 𝑙 +2=0 C(cid:126)𝑥−2𝑦−+143=0 D(cid:126)𝑥−2𝑦 =0 (cid:22)(cid:21)(cid:29)9𝑥 − 2(cid:32)𝑦(cid:33)(cid:59)(cid:43)(cid:44)(cid:28) 𝑥−2𝑦−6 (cid:22)(cid:178)9(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:225)(cid:226)·(cid:339)(cid:314)(cid:340)(cid:341)(cid:55)(cid:174)(cid:30)(cid:32)(cid:33) +4=0(cid:218) + +5=0(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:218)(cid:145)(cid:46)(cid:34)(cid:32)(cid:33) 1 2 (cid:43)(cid:44)(cid:133)(cid:53)(cid:241)(cid:241)(cid:55) 𝑙 :𝑥−3𝑦 𝑙 :2𝑥 𝑦 A(cid:126)3x-19y=0 B(cid:126)19x-3y=0 C(cid:126)19x+3y=0 D(cid:126)3x+19y=0 (cid:22)(cid:188)(cid:86)9-1(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:135)(cid:212)·(cid:236)(cid:151)(cid:237)(cid:118)(cid:55)(cid:217)(cid:174)(cid:32)(cid:33) + +6=0(cid:218) + =0(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:88)(cid:134)(cid:166)(cid:30)(cid:79) (cid:80)(cid:172)(cid:84)(cid:34)(cid:127)(cid:48)(cid:130)(cid:342)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 3𝑥 2𝑦 2𝑥 5𝑦−7 A(cid:126) + +1=0 B(cid:126) +1=0 C(cid:126)𝑥+𝑦+1=0(cid:54) + =0 D(cid:126)𝑥−𝑦+1=0(cid:54) + +1=0 (cid:22)(cid:188)(cid:86)9𝑥-2(cid:28)𝑦(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)3𝑥(cid:84)·(cid:335)4𝑦(cid:94)(cid:343)(cid:344)·(cid:236)(cid:151)(cid:237)(cid:118)(cid:55)𝑥(cid:174)−𝑦(cid:30)(cid:32)(cid:33) 𝑥 𝑦 =0(cid:218) + +1=0 (cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:134)(cid:174)(cid:145)(cid:46)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:133) (cid:126) 2023𝑥−2022𝑦−1 2022𝑥 2023𝑦 (cid:22)(cid:188)(cid:86)9-3(cid:28)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:191)(cid:235)(cid:306)(cid:345)(cid:198)·(cid:208)(cid:154)(cid:55)(cid:35)(cid:83)(cid:32)(cid:223)(cid:79)(cid:80)(cid:59) (cid:154)(cid:88)(cid:174)(cid:32)(cid:33) +1=0(cid:37) 1 2 + =0(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:88)(cid:134)(cid:166) (cid:172)(cid:84)(cid:127)(cid:48)(cid:133)1(cid:34)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:133) 𝑥𝑂(cid:126)𝑦 (cid:53)(cid:346)(cid:222)(cid:128)(cid:129)𝑙(cid:86):7(cid:55)𝑥−3𝑦 𝑙 :𝑥 4𝑦−3 𝑦 𝑙 (cid:128)(cid:42)(cid:347)(cid:20)(cid:21)1(cid:126)(cid:53)2024·(cid:245)(cid:246)(cid:206)(cid:348)(cid:349)(cid:350)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) + =0(cid:88)(cid:32)(cid:33) +( ) =0(cid:88)(cid:163)“ ”(cid:150) 1 2 1 2 “ =3(cid:54) = ”(cid:34)(cid:53) (cid:55) 𝑙 :𝑎𝑥 3𝑦−6 𝑙 :2𝑥 𝑎−1 𝑦−4 𝑙 ∥𝑙 𝑎 A(cid:126)(cid:183)𝑎(cid:67)(cid:114)−(cid:184)2 (cid:62)(cid:31)(cid:185) B(cid:126)(cid:184)(cid:62)(cid:114)(cid:183)(cid:67)(cid:31)(cid:185) C(cid:126)(cid:183)(cid:62)(cid:31)(cid:185) D(cid:126)(cid:186)(cid:114)(cid:183)(cid:67)(cid:187)(cid:114)(cid:184)(cid:62)(cid:31)(cid:185) 2(cid:126)(cid:53)2024·(cid:245)(cid:246)(cid:206)(cid:202)(cid:203)·(cid:192)(cid:182)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:33) (cid:10) + +1=0(cid:88) (cid:10) + =0(cid:169)(cid:85)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:150)(cid:53) (cid:55) 1 2 A(cid:126)1 B(cid:126) 2 𝑙 C(cid:126)𝑥2 𝑦2 𝑙 𝑥D(cid:126)𝑦2−1 3(cid:126)(cid:53)2024·(cid:179)(cid:180)(cid:351)(cid:272)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) + +1=0(cid:37)(cid:32)(cid:33) + =0(cid:88)(cid:163)“ ” 1 2 (cid:150)“ ”(cid:34)(cid:53) (cid:55) 𝑙 :𝑥 𝑚𝑦 𝑙 :𝑥 (1−2𝑚)𝑦−3 𝑚∈{1,−2} 1 2 A𝑙 (cid:126)⊥(cid:183)𝑙 (cid:67)(cid:114)(cid:184)(cid:62)(cid:31)(cid:185) B(cid:126)(cid:184)(cid:62)(cid:114)(cid:183)(cid:67)(cid:31)(cid:185) C(cid:126)(cid:183)(cid:62)(cid:31)(cid:185) D(cid:126)(cid:186)(cid:114)(cid:183)(cid:67)(cid:187)(cid:114)(cid:184)(cid:62)(cid:31)(cid:185) 4(cid:126)(cid:53)2024·(cid:135)(cid:212)·(cid:139)(cid:182)(cid:55)(cid:131)(cid:46) ( )(cid:87)(cid:32)(cid:33)l(cid:10)( +1) +( +1) ( +2)=0(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:115)(cid:119)(cid:88)(cid:156)(cid:13) (cid:34)(cid:52) (cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝑃 −1,0 3𝜆 𝑥 𝜆 𝑦− 4𝜆 𝜆 A(cid:126) B(cid:126)1 C(cid:126) D(cid:126)2 5(cid:126)(cid:53)20−214·(cid:135)(cid:212)(cid:352)(cid:353)(cid:354)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:137)(cid:32)(cid:33) + −2 =0(cid:88) (cid:128)(cid:333)(cid:283)(cid:33)(cid:96)(cid:145)(cid:46) (cid:282)(cid:318)(cid:355)(cid:281)(cid:33) = ( 0) (cid:356)(cid:32)(cid:33) (cid:281)(cid:282)(cid:88) (cid:217) (cid:284)(cid:281)(cid:314)(cid:37) (cid:172)(cid:45)(cid:56)(cid:46) 𝑙:𝑥 𝑦 (cid:88) − 1 (cid:320)(cid:357)(cid:217) (cid:172)(cid:284)(cid:281)(cid:314)(cid:37) 𝑂 (cid:172)(cid:45)(cid:56)(cid:46) . (cid:211) 𝑦 | 𝑘𝑥 | 𝑥 = ≥13(cid:88) 6 (cid:163) (cid:34) 𝑙 (cid:52)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝑙 𝑥 𝑀 𝑥 𝑦 𝑁 𝑀𝑁 𝑘 3 2 A(cid:126) B(cid:126) 2 3 1 1 C(cid:126) D(cid:126) 2 3 6(cid:126)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:135)(cid:212)(cid:358)(cid:206)·(cid:236)(cid:151)(cid:237)(cid:118)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:46) (2,3) (4,1),(cid:32)(cid:33) +4=0(cid:37) (cid:172)(cid:130)(cid:45)(cid:56)(cid:46) ,(cid:163) (cid:154) (cid:204)(cid:84)(cid:34)(cid:24) (cid:205)(cid:166)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:150)(cid:53) (cid:55) 𝐴 ,𝐵 𝑥−2𝑦 𝑦 𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵A(cid:126) + 𝐶𝐸 =0 B(cid:126) + +2=0 C(cid:126)𝑥 𝑦+−22=0 D(cid:126)𝑥 𝑦 =0 7(cid:126)(cid:53)20𝑥2−4𝑦·(cid:189)(cid:190)(cid:190)(cid:191)·(cid:128)(cid:182)(cid:55)(cid:287)(cid:264)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:34)(cid:288)(cid:292)(cid:275)𝑥−(cid:96)𝑦(cid:293)−2(cid:36)(cid:294)(cid:295)(cid:276)(cid:30)(cid:296)(cid:254)(cid:10)“(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:198)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:88)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:45) (cid:179)”(cid:88)(cid:288)(cid:154)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:128)(cid:162)(cid:50)(cid:311)(cid:34)(cid:13)(cid:11)(cid:47)(cid:21)——“(cid:312)(cid:293)(cid:305)(cid:306)”(cid:47)(cid:21)(cid:88)(cid:313)(cid:312)(cid:293)(cid:166)(cid:270)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:169)(cid:314)(cid:96)(cid:198)(cid:315)(cid:219)(cid:316)(cid:317)(cid:282)(cid:318)(cid:88)(cid:319) (cid:87)(cid:179)(cid:204)(cid:305)(cid:306)(cid:314)(cid:320)(cid:321)(cid:87)(cid:293)(cid:322)(cid:88)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:69)(cid:327)(cid:328)(cid:286)(cid:44)(cid:51)(cid:161)(cid:329)(cid:166)(cid:35)(cid:83)(cid:32)(cid:223)(cid:79)(cid:80)(cid:59)(cid:154)(cid:88)(cid:137)(cid:293)(cid:322)(cid:205)(cid:166)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:133) ( )(cid:88)(cid:211)(cid:312)(cid:293)(cid:96)(cid:198)(cid:315)(cid:219)(cid:34)(cid:46) ( )(cid:317)(cid:282)(cid:318)(cid:88)(cid:179)(cid:330)(cid:33)(cid:205)(cid:166)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:133) + =1(cid:88)(cid:163)“(cid:312)(cid:293)(cid:305)(cid:306)”(cid:34)(cid:51)𝐴(cid:161)(cid:328)(cid:286) (cid:44)−(cid:133)3,0(cid:53) (cid:55) 𝐵 −1,1 𝑥 𝑦 A(cid:126) 5 B(cid:126)3 C(cid:126) 13 D(cid:126)51 8(cid:126)(cid:53)2024·(cid:359)(cid:272)(cid:360)(cid:361)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:32)(cid:33) +(1+ ) = ( )(cid:88)(cid:32)(cid:33) = (cid:88)(cid:362)(cid:282)(cid:219)(cid:363)(cid:364)(cid:21)(cid:10) 1 2 2 R(cid:88)(cid:327)(cid:271) // (cid:116) R(cid:88) 𝑙 (cid:327) :𝑥 (cid:271) 𝑎(cid:116) 𝑦 1−𝑎 𝑎∈𝐑 𝑙 :𝑦 − 𝑥 1 2 1 2 ①∃𝑎∈R(cid:88) (cid:37)𝑙(cid:365)(cid:130)𝑙 (cid:45)(cid:116) ② ∃𝑎∈ R(cid:88)(cid:327)𝑙(cid:271)⊥(cid:145)𝑙(cid:46)(cid:87) (cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:133)2. 1 2 1 ③(cid:153)(cid:154)∀𝑎(cid:366)∈(cid:367)(cid:34)(cid:150)𝑙 (cid:53)𝑙 (cid:55) ④∃𝑎∈ 𝑙 A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126) (cid:192)(cid:42)(cid:106)(cid:20)①(cid:21)② ②③ ②④ ①④ 9(cid:126)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:368)(cid:369)(cid:297)(cid:370)·(cid:208)(cid:209)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) + =0(cid:88)(cid:32)(cid:33) :( ) + +3=0(cid:88)(cid:163)(cid:53) (cid:55) 1 2 A(cid:126)(cid:32)(cid:33) (cid:138)(cid:107)(cid:37) (cid:172)(cid:35)(cid:36) 𝑙B(cid:126):𝑥(cid:32)(cid:33)2𝑦−(cid:138)2 (cid:107)(cid:37) (cid:172)(cid:35)𝑙(cid:36) 𝑘−1 𝑥 𝑘𝑦 2 2 𝑙 𝑥 𝑙 𝑦 1 C(cid:126)(cid:131) (cid:119)(cid:88) =2 D(cid:126)(cid:131) (cid:119)(cid:88) = 1 2 1 2 3 𝑙 ∥ 𝑙 𝑘 𝑙 ⊥𝑙 𝑘 − 10(cid:126)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:139)(cid:84)·(cid:206)(cid:234)·(cid:236)(cid:151)(cid:237)(cid:118)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) (cid:217)(cid:174)(cid:46)(2,3)(cid:88)(cid:134)(cid:46) ( )(cid:88) ( )(cid:87)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:130)(cid:342)(cid:88) (cid:163)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:138)(cid:69)(cid:133)(cid:53) (cid:55) 𝑙 𝐴 −3,2 𝐵 5,−4 𝑙 A(cid:126)𝑙 =0 B(cid:126) + =0 C(cid:126)4𝑥−+𝑦−5 =0 D(cid:126)4𝑥 𝑦−+116=0 11(cid:126)(cid:53)2302𝑥4·(cid:371)4𝑦(cid:180)−(cid:372)18(cid:280)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:287)(cid:264)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:34)3(cid:288)𝑥−(cid:292)4(cid:275)𝑦(cid:96)(cid:293)(cid:36)(cid:294)(cid:295)(cid:276)(cid:30)(cid:296)(cid:10)“(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:198)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:88)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:306) (cid:307)(cid:45)(cid:179)”(cid:308)(cid:373)(cid:310)(cid:128)(cid:162)(cid:50)(cid:311)(cid:34)(cid:13)(cid:11)(cid:47)(cid:21)——“(cid:312)(cid:293)(cid:305)(cid:306)”(cid:88)(cid:313)(cid:316)(cid:312)(cid:293)(cid:270)(cid:300)(cid:374)(cid:301)(cid:302)(cid:375)(cid:169)(cid:314)(cid:96)(cid:198)(cid:315)(cid:34)(cid:316)(cid:317)(cid:282)(cid:318)(cid:88)(cid:319)(cid:376) (cid:179)(cid:204)(cid:305)(cid:306)(cid:88)(cid:320)(cid:377)(cid:321)(cid:293)(cid:322)(cid:88)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:69)(cid:327)(cid:328)(cid:286)(cid:44)(cid:51)(cid:161)?(cid:166)(cid:35)(cid:83)(cid:32)(cid:223)(cid:79)(cid:80)(cid:59)(cid:154)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:179)(cid:378)m(cid:88)n(cid:88)(cid:153)(cid:43)(cid:44)(cid:67)(cid:143)(cid:133) =0(cid:88) =0(cid:88)(cid:312)(cid:293)(cid:34)(cid:282)(cid:318)(cid:46)(cid:150)(cid:46) (3,1)(cid:88)(cid:293)(cid:322)(cid:205)(cid:166)(cid:60)(cid:61)(cid:133) (6,3)(cid:88)(cid:163)(cid:219)(cid:363)(cid:254)(cid:78)(cid:379)(cid:380)(cid:34)(cid:150)(cid:53) (cid:55) 2𝑥−A𝑦(cid:126)(cid:211)(cid:312)𝑦(cid:293)(cid:319)(cid:376)(cid:179)(cid:378)m(cid:305)(cid:306)(cid:88)(cid:320)(cid:377)𝐴(cid:321)(cid:293)(cid:322)(cid:88)(cid:163)(cid:312)(cid:293)(cid:166)(cid:179)(cid:204)(cid:305)𝐵(cid:306)(cid:34)(cid:144)(cid:46)(cid:34)(cid:79)(cid:80)(cid:133)(1,2) B(cid:126)(cid:312)(cid:293)(cid:319)(cid:376)(cid:179)(cid:378)n(cid:305)(cid:306)(cid:88)(cid:320)(cid:377)(cid:321)(cid:293)(cid:322)(cid:34)(cid:51)(cid:161)(cid:286)(cid:44)(cid:150) 5 C(cid:126)(cid:312)(cid:293)(cid:319)(cid:376)(cid:179)(cid:378)m(cid:305)(cid:306)(cid:88)(cid:320)(cid:376)(cid:179)(cid:378)n(cid:305)(cid:306)(cid:88)(cid:51)(cid:314)(cid:377)(cid:321)(cid:293)(cid:322)(cid:34)(cid:51)(cid:161)(cid:286)(cid:44)(cid:150) 85 D(cid:126)(cid:312)(cid:293)(cid:319)(cid:376)(cid:179)(cid:378)n(cid:305)(cid:306)(cid:88)(cid:320)(cid:376)(cid:179)(cid:378)m(cid:305)(cid:306)(cid:88)(cid:51)(cid:314)(cid:377)(cid:321)(cid:293)(cid:322)(cid:34)(cid:51)(cid:161)(cid:286)(cid:44)(cid:150)2 13 (cid:139)(cid:42)(cid:109)(cid:110)(cid:21) 12(cid:126)(cid:53)2024·(cid:198)(cid:199)·(cid:192)(cid:182)(cid:55)(cid:174)(cid:32)(cid:33) + +1=0(cid:218) =0(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:88)(cid:381)(cid:72)(cid:223)(cid:133)45°(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:133) . 13(cid:126)(cid:53)2024·(cid:189)(cid:190)(cid:382)(cid:193)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)𝑥 (cid:40)𝑦(cid:41)(cid:32)(cid:33) 3𝑥−+𝑦(−3 ) +3=0(cid:37)(cid:32)(cid:33) = > >0(cid:88)(cid:211) 1 2 𝑙 :−2𝑥 𝑎−2 𝑦 𝑙 :𝑏𝑥−𝑦−1 0,𝑎 0,𝑏 (cid:88)(cid:163) (cid:34)(cid:51)(cid:115)(cid:52)(cid:133) . 1 2 𝑎𝑏 𝑙 ⊥𝑙 𝑎+2𝑏 14(cid:126)(cid:53)2024·(cid:214)(cid:215)(cid:222)(cid:365)·(cid:182)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) (cid:217)(cid:174)(cid:46) (cid:88)(cid:134)(cid:383)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:33) : 3 + +1=0(cid:218) : 3 1 2 + +5=0(cid:127)(cid:271)(cid:34)(cid:33)(cid:151)(cid:152)(cid:133)2 2(cid:88)(cid:163)(cid:32)(cid:33)𝑙(cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:133)𝑃( 0 , 1 ) (cid:126) 𝑙 𝑥 𝑦 𝑙 𝑥(cid:214)(cid:42)𝑦(cid:76)(cid:384)(cid:21) 𝑙15(cid:126)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:219)·(cid:214)(cid:215)(cid:385)(cid:191)·(cid:295)(cid:11)(cid:25)(cid:386)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) +( ) +1=0(cid:88)(cid:32)(cid:33) :( +4) + +3=0(cid:126) 1 2 (1)(cid:211) // (cid:88)(cid:39)(cid:156)(cid:13) (cid:34)(cid:52)(cid:116) 𝑙 :2𝑥 𝑎−1 𝑦 𝑙 𝑎 𝑥 3𝑦 1 2 (2)(cid:211)𝑙 𝑙 (cid:88)(cid:39)(cid:156)(cid:13)𝑎(cid:34)(cid:52)(cid:126) 1 2 𝑙 ⊥𝑙 𝑎 16(cid:126)(cid:53)2024·(cid:189)(cid:190)(cid:190)(cid:191)·(cid:192)(cid:182)(cid:55)(cid:76)(cid:384)(cid:219)(cid:363)(cid:47)(cid:21). (1)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33) + =0(cid:37)(cid:32)(cid:33) + =0(cid:130)(cid:45)(cid:88)(cid:45)(cid:46)(cid:79)(cid:80)(cid:133)(1,2)(cid:88)(cid:39) (cid:34)(cid:52)(cid:116) 1 2 (2)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:33)𝑙(cid:174):𝑎(cid:46)𝑥−3𝑦 (cid:88)4𝑏(cid:134)(cid:46) 𝑙(cid:87):2(cid:32)𝑥(cid:33)𝑏(cid:34)𝑦−(cid:48)2(cid:49)𝑎(cid:133)1(cid:88)(cid:39)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:43)(cid:44). 𝑎,𝑏 𝑙 𝑃(2,3) 𝑀(3,1) 𝑙 𝑙 17(cid:126)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:277)(cid:206)(cid:387)(cid:250)·(cid:208)(cid:154)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:32)(cid:33) =0, + =0. 1 2 (1)(cid:39)(cid:174)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:88)(cid:134)(cid:38)(cid:32)(cid:56)(cid:32)(cid:33) + =𝑙 :03(cid:34)𝑥−(cid:32)𝑦(cid:33)−1(cid:43)(cid:44)(cid:116)𝑙 :𝑥 2𝑦−5 (2)(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:46) ( ) (0,2)(cid:88)(cid:388)(cid:46) (cid:166)3(cid:32)𝑥(cid:33)4𝑦(cid:389)−(cid:388)5(cid:88)(cid:39)| |+| |(cid:34)(cid:51)(cid:233)(cid:52). 1 𝐴 −1,1 ,𝐵 𝑃 𝑙 𝑃𝐴 𝑃𝐵 18(cid:126)(cid:53)24-25(cid:24)(cid:192)(cid:84)·(cid:84)(cid:91)·(cid:390)(cid:391)(cid:237)(cid:118)(cid:55)(cid:268)(cid:228)(cid:88)(cid:40)(cid:41) (6,6 3)(cid:88) (0,0)(cid:88) (12,0)(cid:88)(cid:32)(cid:33) (cid:10)( + 3) =0(cid:126) 𝐴 𝐵 𝐶 𝑙 𝑘 𝑥−𝑦−2𝑘 (1)(cid:39)(cid:32)(cid:33) (cid:217)(cid:174)(cid:34)(cid:75)(cid:46)(cid:79)(cid:80)(cid:116) 𝑙(2)(cid:211) (2,2 3)(cid:88)(cid:290)(cid:392)(cid:393)(cid:394)(cid:166)(cid:46) (cid:27)(cid:395)(cid:283)(cid:396)(cid:397)(cid:282)(cid:128)(cid:333)(cid:283)(cid:33)(cid:88)(cid:398)(cid:357)(cid:399) (cid:53)(cid:284)(cid:281)(cid:46)(cid:133) (cid:55)(cid:42) (cid:53)(cid:284)(cid:281)(cid:46)(cid:133) (cid:55)(cid:284)(cid:281) (cid:314)(cid:88)(cid:283)𝑃(cid:400)(cid:401)(cid:166) (cid:46)(cid:88)(cid:39)(cid:402)(cid:281)(cid:283)(cid:33)𝑃 (cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:43)(cid:44)(cid:126) 𝐵𝐶 𝐾 𝐴𝐶 𝐼 𝑃 𝑃𝐾 19(cid:126)(cid:53)23-24(cid:24)(cid:192)(cid:219)·(cid:84)(cid:91)·(cid:236)(cid:151)(cid:237)(cid:118)(cid:55)(cid:40)(cid:41) (cid:34)(cid:139)(cid:162)(cid:403)(cid:46)(cid:34)(cid:79)(cid:80)(cid:67)(cid:143)(cid:150)(cid:46) 、 (cid:37) (cid:88)(cid:32) (cid:33) + + + =0 △. 𝐴𝐵𝐶 𝐴(5,1) 𝐵(4,3) 𝐶(0,−1) (1)𝑚(cid:39):((cid:204)𝑘 AC2)(cid:205)𝑥(cid:166)(cid:32)(𝑘−(cid:33)1)𝑦(cid:34)(cid:381)𝑘(cid:72)−1(cid:223)(cid:218)(cid:204) (𝑘AC∈(cid:84)𝑅)(cid:34)(cid:24)(cid:205)(cid:166)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:43)(cid:44); 1 2 (2)(cid:132) (cid:133)(cid:46) (cid:87)(cid:32)(cid:33) 𝑙(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:88)(cid:386)(cid:47): (cid:150)(cid:404)(cid:405)(cid:166)(cid:51)(cid:115)(cid:52)?(cid:211)𝑙(cid:405)(cid:166)(cid:88)(cid:39)(cid:282) (cid:34)(cid:51)(cid:115)(cid:52):(cid:211)(cid:114)(cid:405)(cid:166)(cid:88)(cid:254)(cid:280)(cid:15)(cid:399); 𝑑 𝐴 𝑚 𝑑 𝑑