文档内容
专题 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算【九大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:28)............................................................................................................................2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:28)............................................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:40)(cid:28)............................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:44)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:28)............................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:28)........................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:64)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:28)....................................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:66)(cid:67)(cid:58)(cid:68)(cid:69)(cid:63)(cid:21)(cid:28)....................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:63)(cid:21)(cid:28)............................................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:70)(cid:71)(cid:63)(cid:21)(cid:28)........................................................................................................................6
1(cid:58)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:35)(cid:74)(cid:33)(cid:58)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)
(cid:25)(cid:55)(cid:75)(cid:44) (cid:76)(cid:21)(cid:77)(cid:78) (cid:25)(cid:79)(cid:80)(cid:81)
2022(cid:104)(cid:23)(cid:105)(cid:106)I(cid:107)(cid:10)(cid:108)15(cid:21)(cid:93)
(1)(cid:82)(cid:83)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:72)(cid:73)(cid:58)(cid:84)(cid:85) 5(cid:80) (cid:30)(cid:13)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:13)(cid:11)(cid:31)(cid:113)(cid:25)(cid:114)(cid:115)(cid:93)(cid:30)(cid:13)
(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13) 2023 (cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:107)(cid:37)(cid:17)(cid:13)(cid:40)(cid:10) (cid:31)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:35)(cid:74)(cid:33)(cid:58)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:116)
(2)(cid:90)(cid:59)(cid:41)(cid:13)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:15)(cid:83)(cid:30) (cid:108)8(cid:21)(cid:93)5(cid:80) (cid:25)(cid:31)(cid:117)(cid:55)(cid:114)(cid:115)(cid:93)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:104)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:79)(cid:121)(cid:122)
(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33) 2024(cid:104)(cid:23)(cid:105)(cid:106)I(cid:107)(cid:10)(cid:108)13(cid:21)(cid:93) (cid:123)(cid:93)(cid:124)(cid:75)(cid:125)(cid:34)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:93)
(3)(cid:96)(cid:97)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:7)(cid:98)(cid:99)(cid:30) 5(cid:80) (cid:54)(cid:126)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:21)(cid:58)(cid:129)(cid:130)(cid:21)(cid:31)(cid:131)(cid:98)(cid:25)(cid:132)(cid:30)(cid:13)
(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:100)(cid:101)(cid:44)(cid:102)(cid:103)(cid:41)(cid:13) 2024 (cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:107)(cid:37)(cid:17)(cid:13)(cid:40)(cid:10) (cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:58)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:93)(cid:30)(cid:13)
(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:93)(cid:96)(cid:44)(cid:102)(cid:103)(cid:31)(cid:38)(cid:39) (cid:108)7(cid:21)(cid:93)5(cid:80) (cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:133)(cid:134)(cid:96)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:83)(cid:138)(cid:21)(cid:139)(cid:31)(cid:54)
(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13) 2024 (cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:107)(cid:37)(cid:15)(cid:13)(cid:40)(cid:10) (cid:63)(cid:140)(cid:67)(cid:25)(cid:141)(cid:93)(cid:142)(cid:21)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:139)(cid:146)(cid:147).
(cid:108)6(cid:21)(cid:93)5(cid:80)
(cid:22)(cid:148)(cid:149)(cid:55)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:56)(cid:100)(cid:150)(cid:151)(cid:28)
1.(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:56)(cid:100)(cid:150)(cid:151)
(1)(cid:44)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:75)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:41)(cid:13)(cid:156)(cid:80)(cid:157)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:99)(cid:58)(cid:158)(cid:58)(cid:159)(cid:58)(cid:160)(cid:93)(cid:161)(cid:162)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:100)(cid:101)(cid:44)(cid:30).
(2)(cid:163)(cid:92)(cid:41)(cid:13)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:71)(cid:112)(cid:3)(cid:167)(cid:93)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:171)(cid:172)(cid:44)(cid:83).
(3)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:36)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:176)(cid:177)(cid:44)(cid:30)(cid:93)(cid:113)(cid:75)(cid:178)(cid:75)(cid:140)(cid:67)(cid:179)(cid:180).
(cid:22)(cid:148)(cid:149)(cid:55)2 (cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:28)
1.(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
(cid:54)(cid:126)(cid:154)(cid:93)(cid:181)(cid:182)(cid:65)(cid:183)(cid:41)(cid:13)y=f(u)(cid:99)u=g(x)(cid:93)(cid:184)(cid:185)(cid:90)(cid:59)(cid:186)(cid:187)u,y(cid:134)(cid:127)(cid:188)(cid:189)(cid:157)x(cid:31)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:183)(cid:41)(cid:13)(cid:137)(cid:41)(cid:13)y=f(u)(cid:99)u=g(x)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:194)(cid:136)y=f(g(x)).
2.(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:30)(cid:100)(cid:101)
(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)y=f(g(x))(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:99)(cid:41)(cid:13)y=f(u),u=g(x)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:195)(cid:31)(cid:3)(cid:196)(cid:137) = (cid:93)(cid:197)y(cid:181)x(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:89)(cid:182)y
(cid:181)u(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:60)u(cid:181)x(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:198)(cid:159).
3.(cid:44)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:13)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:199)(cid:200)
(cid:108)(cid:54)(cid:199)(cid:10)(cid:80)(cid:177)(cid:10)(cid:20)(cid:128)(cid:139)(cid:195)(cid:186)(cid:187)(cid:93)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:157)(cid:204)(cid:31)(cid:114)(cid:58)(cid:174)(cid:177)(cid:41)(cid:13)(cid:205)
(cid:108)(cid:206)(cid:199)(cid:10)(cid:80)(cid:207)(cid:44)(cid:30)(cid:10)(cid:80)(cid:207)(cid:44)(cid:208)(cid:177)(cid:41)(cid:13)(cid:181)(cid:209)(cid:36)(cid:186)(cid:187)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:205)
(cid:108)(cid:120)(cid:199)(cid:10)(cid:209)(cid:198)(cid:10)(cid:155)(cid:53)(cid:210)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:211)(cid:185)(cid:209)(cid:198)(cid:205)
(cid:108)(cid:212)(cid:199)(cid:10)(cid:186)(cid:187)(cid:213)(cid:214)(cid:10)(cid:155)(cid:139)(cid:195)(cid:186)(cid:187)(cid:214)(cid:213).
(cid:22)(cid:148)(cid:149)(cid:55)3 (cid:47)(cid:46)(cid:63)(cid:21)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)
1.(cid:44)(cid:45)(cid:46)“(cid:52)”(cid:219)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:10)
(1)(cid:44)(cid:202)(cid:41)(cid:13)y=f(x)(cid:52)x=x (cid:220)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:93)(cid:197)(cid:45)(cid:46)y=f(x)(cid:52)(cid:55)(x ,f(x ))(cid:220)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:205)
0 0 0
(2)(cid:52)(cid:221)(cid:148)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:99)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:31)(cid:64)(cid:223)(cid:224)(cid:93)(cid:44)(cid:225)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137)y=y +f'(x )(x-x ).
0 0 0
2.(cid:44)(cid:45)(cid:46)“(cid:59)”(cid:219)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:90)(cid:100)(cid:10)
(1)(cid:226)(cid:202)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)T(x ,f(x ))((cid:227)(cid:202)(cid:228)y )(cid:205)
0 0 0
(2)(cid:162)(cid:27)(cid:47)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:201)(cid:202)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:10)y=f(x )+f'(x )(x-x )(cid:205)
0 0 0
(3)(cid:229)(cid:221)(cid:148)(cid:64)(cid:223)(cid:214)(cid:230)(cid:231)(cid:139)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:44)(cid:83).
3.(cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:10)
(1)(cid:220)(cid:15)(cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:93)(cid:90)(cid:116)(cid:162)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:47)(cid:46)(cid:58)(cid:47)(cid:55)(cid:31)(cid:120)(cid:183)(cid:3)(cid:196)(cid:232)(cid:202)(cid:62)(cid:13)(cid:31)(cid:56)(cid:57)((cid:233))(cid:234)(cid:83)(cid:202)(cid:62)(cid:13)(cid:10)(cid:235)(cid:47)
(cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:112)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:205)
(cid:231)(cid:47)(cid:55)(cid:52)(cid:47)(cid:46)(cid:53)(cid:93)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:205)
(cid:239)(cid:47)(cid:55)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:93)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:45)(cid:46)(cid:56)(cid:57).
(2)(cid:162)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:94)(cid:95)(cid:74)(cid:33)(cid:44)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:178)(cid:93)(cid:4)(cid:74)(cid:162)(cid:27)(cid:13)(cid:131)(cid:211)(cid:39)(cid:93)(cid:16)(cid:240)(cid:60)(cid:241)(cid:16)(cid:31)(cid:171)(cid:172)(cid:56)(cid:100).
4.(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:63)(cid:21)(cid:31)(cid:83)(cid:21)(cid:171)(cid:242)
(cid:44)(cid:65)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:31)(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:184)(cid:185)(cid:243)(cid:178)(cid:25)(cid:244)(cid:65)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:60)(cid:69)(cid:46)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:245)(cid:246)(cid:135)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:93)(cid:137)(cid:82)(cid:250)(cid:171)(cid:242)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:93)(cid:54)(cid:126)
(cid:112)(cid:155)(cid:65)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:80)(cid:254)(cid:25)(cid:244)(cid:93)(cid:255)(cid:80)(cid:81)(cid:35)(cid:139)(cid:54)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:60)(cid:69)(cid:46)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:161)(cid:80)(cid:81)(cid:256)(cid:54)(cid:64)(cid:45)(cid:46)(cid:60)(cid:69)(cid:46)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:69)(cid:46)(cid:60)(cid:257)(cid:14)(cid:46)
(cid:209)(cid:47)(cid:134)(cid:27)(cid:258)(cid:207)(cid:98)(cid:100).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:260)(cid:261)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)lim (2 )3 23 =(cid:37) (cid:40)
+Δ𝑥 −
Δ𝑥
A(cid:266)72 B(cid:266)12 Δ𝑥→0 C(cid:266)8 D(cid:266)4
( ) ( )
(cid:22)(cid:186)(cid:98)1-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:270)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:52) (cid:220)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:137) ( )(cid:93)(cid:101)lim 0 0 (cid:89)(cid:182)
0 0
𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 −𝑚𝛥𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝛥𝑥
(cid:37) (cid:40) 𝛥𝑥→0
1 1
A(cid:266) ( ) B(cid:266) ( ) C(cid:266) ( ) D(cid:266) ( )
0 0 0 0
𝑚𝑓′ 𝑥 −𝑚𝑓′ 𝑥 −𝑚𝑓′ 𝑥 𝑚𝑓′ 𝑥(1) ( )
(cid:22)(cid:186)(cid:98)1-2(cid:28)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:206)(cid:224)·(cid:267)(cid:268)(cid:271)(cid:272)·(cid:273)(cid:139)(cid:40)(cid:226) ( )(cid:274)(cid:52)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:275)(cid:237)(cid:238)lim = (cid:93)(cid:101)(cid:45)(cid:46)
2
𝑓 −𝑓 1−2Δ𝑥
𝑓 𝑥 Δ𝑥 −1
= ( )(cid:53)(cid:31)(cid:55)( (1))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137)(cid:37) (cid:40) Δ𝑥→0
𝑦 𝑓A(cid:266)𝑥 1,𝑓 B(cid:266) C(cid:266)1 D(cid:266)2
(cid:22)(cid:186)(cid:98)1−-31(cid:28)(cid:37)2024·(cid:260)(cid:261)(cid:276)−(cid:277)2(cid:278)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:279)(cid:32)(cid:33)(cid:52) (cid:53)(cid:31)(cid:41)(cid:13) (cid:237)(cid:238) = (cid:93)(cid:35)(cid:30)(cid:41)(cid:13) (cid:237)(cid:238)
′ ′
> >1(cid:93)(cid:101) 1 (cid:60) 1 (cid:280)(cid:281)(cid:3)(cid:196)(cid:54)(cid:32)(cid:112)(cid:37) (cid:40) 𝑅 𝑓(𝑥) 𝑓(0) −1 𝑓(𝑥) 𝑓
(𝑥) A(cid:266) 𝑘 1 𝑓 𝑘1−1 𝑘−1 B(cid:266) 1 1
C(cid:266) 𝑓 𝑘− 1 1 > ≥𝑘− 1 1 D(cid:266) 𝑓 𝑘− 1 1 ≤ < 𝑘− 1 1
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 𝑓 𝑘(cid:37)−1(cid:38)(cid:39) 𝑘 (cid:40) −1 (cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:28) 𝑓 𝑘−1 𝑘−1
(cid:22)(cid:259)2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:282)(cid:268)(cid:283)(cid:139)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= ( )( 22)( 23)( 24)( 25)( 26)(cid:93)(cid:101) (0)
′
=(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 2𝑥 𝑥−2 𝑥− 𝑥− 𝑥− 𝑥− 𝑥− 𝑓
A(cid:266)220 B(cid:266)221 C(cid:266)222 D(cid:266)223
(cid:22)(cid:186)(cid:98)2-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:282)(cid:284)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148) ( )(cid:137)(cid:32)(cid:33)(cid:52) (cid:53)(cid:31)(cid:285)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:226) ( )(cid:137) ( )(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:279) ( )= ( )
′
+ (cid:93)(cid:101) (2023)=(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑅 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 2−𝑥
′
4𝑥A−(cid:266)41 𝑓 B(cid:266) C(cid:266)2 D(cid:266)2023
(cid:22)(cid:186)(cid:98)2-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:286)(cid:287)(cid:267)−(cid:288)20(cid:289)2(cid:290)3 ·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:226) ( )=sin (cid:93) ( )= ( )(cid:93) ( )= ( )(cid:93) ( )=
1 2 1 +1
( )(cid:93) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 ⋯,𝑓𝑛 𝑥
𝑓
′𝑛
𝑥
2024
(cid:101) (cid:89)(cid:182)(cid:37) (cid:40)
=1 6
π
𝑓𝑖
A 𝑖 (cid:266)0 B(cid:266) 3 C(cid:266) 3 D(cid:266) 1
2 2 2
−1
(cid:22)(cid:186)(cid:98)2-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:23)(cid:291)(cid:292)(cid:293)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( ) ( )(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:294)(cid:295)(cid:137) ( )(cid:137) ( )(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:275) ( )+ ( )
′ ′
=2(cid:93) ( ) ( )=2(cid:93)(cid:279) ( )(cid:137)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:101)𝑓 𝑥(2,0𝑔23𝑥)+ (2024)+𝑅,𝑔(20𝑥25)𝑔=𝑥(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
′ ′ ′
A(cid:266)𝑓2𝑥 −𝑔 2−𝑥 B(cid:266)1 𝑔 𝑥 C(cid:266)𝑓 0 𝑔 D(cid:266)𝑔 -1
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:40)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:300)·(cid:54)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:69)(cid:46) (cid:60)(cid:45)(cid:46) = 3 (cid:52)(cid:301)(cid:55)(cid:220)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
𝑙 3𝑦 𝑥 −𝑥 5 𝑙
A(cid:266) B(cid:266) C(cid:266) D(cid:266)
6 4 4 6
π π π π
(cid:22)(cid:186)(cid:98)3-1(cid:28)(cid:37)2024·(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:282)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:45)(cid:46) ( )=2 cos (cid:52) =0(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:137) (cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266)ln2 B(cid:266) ln2 C(cid:266)1 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥D(cid:266) 𝑙 𝑙
− −11
(cid:22)(cid:186)(cid:98)3-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:23)(cid:291)(cid:305)(cid:306)(cid:307)·(cid:54)(cid:262)(cid:40)(cid:279)(cid:69)(cid:46) = + (cid:60)(cid:45)(cid:46) =ln + (cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:101)k(cid:31)(cid:308)(cid:71)(cid:309)(cid:310)(cid:112)(cid:37) (cid:40)
𝑦 𝑘𝑥 𝑛 𝑦 𝑥 𝑥
A(cid:266) , 1 B(cid:266)[4,+ ) C(cid:266)[ + ) D(cid:266) 1 ,+
4 4
−∞ ∞ −4, ∞ ∞
(cid:22)(cid:186)(cid:98)3-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:311)(cid:272)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:226)(cid:55) (cid:112)(cid:41)(cid:13) ( )= 3 1 (1) + (2)(cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:31)(cid:312)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:93)(cid:55) (cid:220)(cid:47)(cid:46)
2
′ ′
(cid:31)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:137) (cid:93)(cid:101)(cid:51) (cid:31)(cid:308)(cid:71)(cid:309)(cid:310)(cid:112)(cid:37) (cid:40) 𝑃 𝑓 𝑥 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑓 𝑃
A(cid:266) 0, 3𝛼 𝛼 B(cid:266) 0, 3 , C(cid:266) , 3 D(cid:266) 0, 3 ,
4 2 4 2 4 2 4
π π π π π π π
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:44)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46) ∪ (cid:56)(cid:57)π(cid:58)(cid:59)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:28) ∪ π
(cid:22)(cid:259)4(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= 3 (1) ln +3(cid:93)(cid:101)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:52)( ( ))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:48)(cid:49)
′2
𝑓
(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑥 − ⋅ 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑒,𝑓 𝑒
A(cid:266) 2 1 B(cid:266)3 2 1 C(cid:266) 2 1 D(cid:266)3 2 1
(cid:22)(cid:186)(cid:98)4
𝑒
-1
−
(cid:28)
2
(cid:37)
𝑒
2024·(cid:302)(cid:313)(cid:314)(cid:315)
𝑒
·
−
(cid:262)
2𝑒
(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:45)(cid:46) =
𝑒 −
e
𝑒
+ (cid:52) =0(cid:220)(cid:31)
𝑒
(cid:47)
−
(cid:46)
𝑒
(cid:56)(cid:57)(cid:112)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266) + +2=0 B𝑦(cid:266) 𝑥+ 2+𝑥2−2=0𝑥
C(cid:266)3𝑥 𝑦 =0 D(cid:266)2𝑥 𝑦 =0
(cid:22)(cid:186)(cid:98)42-𝑥2−(cid:28)𝑦(cid:37)−22024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:59)(cid:301)(cid:55)(cid:134)(cid:127)(cid:136)3𝑥(cid:45)−(cid:46)𝑦−2= ( )= 2 | |+1(cid:31)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:193)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:56)
(cid:57)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 − 𝑥
A(cid:266) = (cid:99) = B(cid:266) = (cid:99) =
C(cid:266)𝑦=𝑥(cid:99)𝑦=−𝑥 D(cid:266)𝑦=−3𝑥(cid:99) 𝑦= 3𝑥
(cid:22)(cid:186)(cid:98)4𝑦-3(cid:28)𝑥(cid:37)2𝑦024−·(cid:303)3𝑥(cid:316)(cid:284)(cid:317)·(cid:54)(cid:262)(cid:40)(cid:59)(cid:222)(cid:106)(cid:301)(cid:55)(cid:136)𝑦(cid:45)(cid:46)−𝑥 =𝑦e 3𝑥+1(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
𝑥−2
1 𝑦
A(cid:266) = B(cid:266) = C(cid:266) = D(cid:266) =e
e2
𝑦 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:62)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)5(cid:28)(cid:37)2024·(cid:318)(cid:268)(cid:311)(cid:319)·(cid:120)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:45)(cid:46) = e +ln (cid:52)(cid:55)( e)(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) = + (cid:93)(cid:101)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266) =e(cid:93) = 𝑦 B𝑎(cid:266)𝑥 =e(cid:93)𝑥 =21,𝑎 𝑦 3𝑥 𝑏
C(cid:266)𝑎=e (cid:93)𝑏 =−2 D(cid:266)𝑎=e 𝑏(cid:93) =2
−1 −1
(cid:22)(cid:186)(cid:98)5𝑎-1(cid:28)(cid:37)202𝑏4·(cid:302)−(cid:313)2(cid:320)(cid:272)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:45)(cid:46) =𝑎ln + e𝑏 (cid:52)(cid:55) =1(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137) + =0(cid:93)(cid:101) =
−𝑥
(cid:37) (cid:40) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑎 𝑥 2𝑥−𝑦 𝑏 𝑏
A(cid:266)(cid:321)1 B(cid:266)(cid:321)2 C(cid:266)(cid:321)3 D(cid:266)0
(cid:22)(cid:186)(cid:98)5-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= 2+ ln (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:52)(cid:55)( (1))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:322)(cid:137)
= .(cid:101) (cid:31)(cid:71)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑥 1,𝑓
𝑦 3𝑥−1 𝑎−𝑏A(cid:266)1 B(cid:266)2 C(cid:266)3 D(cid:266)4
(cid:22)(cid:186)(cid:98)5-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:45)(cid:46) ( )= (cid:52)(cid:55) ( (0))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:133)(cid:112)(cid:45)(cid:46) ( )=ln( )(cid:31)(cid:54)
𝑥
(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:71)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 𝑒 𝑃 0,𝑓 𝑔 𝑥 𝑎𝑥
A(cid:266) 𝑎 B(cid:266) C(cid:266) 2 D(cid:266) 3
3 2 3
𝑒 𝑒 𝑒
𝑒
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:64)(cid:13)(cid:63)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:259)6(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:279)(cid:45)(cid:46) =( )e (cid:61)(cid:65)(cid:64)(cid:59)(cid:55) ( )(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:308)(cid:71)(cid:309)(cid:310)(cid:112)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266)( ) (3,+ ) 𝑦 1B−(cid:266)𝑥( ) 𝐴 𝑎,0 𝑎
C(cid:266)(−∞,−1)∪ ∞ D(cid:266)(−3,1 ) (1,+ )
(cid:22)(cid:186)(cid:98)6-−1(cid:28)∞,(cid:37)−32024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )−=∞,−33+∪ (cid:93)(cid:101)∞(cid:59)(cid:55)( )(cid:134)(cid:136)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:31)
(cid:64)(cid:13)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑓 𝑥 −𝑥 3𝑥 −3,−9 𝑦 𝑓 𝑥
A(cid:266)0 B(cid:266)1 C(cid:266)2 D(cid:266)3
(cid:22)(cid:186)(cid:98)6-2(cid:28)(cid:37)2021·(cid:109)(cid:110)·(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:21)(cid:40)(cid:279)(cid:59)(cid:55)( )(cid:134)(cid:127)(cid:136)(cid:45)(cid:46) =e (cid:31)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:37) (cid:40)
𝑥
A(cid:266)e < 𝑎B,𝑏(cid:266)e < 𝑦
𝑏 𝑎
C(cid:266)0< 𝑎1)(cid:60)(cid:45)(cid:46) =log >1)(cid:61)(cid:275)(cid:323)(cid:61)(cid:54)(cid:183)
𝑥
(cid:7)(cid:331)(cid:55)(cid:93)(cid:275)(cid:52)(cid:7)(cid:331)(cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:209)(cid:243)(cid:93)(cid:101)(cid:333)(cid:13) (cid:31)(cid:71)𝑓(cid:137)(𝑥(cid:37)) (cid:40)𝑎 (𝑎 𝑔(𝑥) 𝑎𝑥(𝑎
𝑎 1
A(cid:266)e B(cid:266)e2 C(cid:266)ee D(cid:266) e
(cid:22)(cid:186)(cid:98)8-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )=ln (cid:60) ( )(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:3)(cid:182)(cid:69)(cid:46) = (cid:181)(cid:192)(cid:93)(cid:69)(cid:46) (cid:60) ( ) ( )
=e +1 (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:295)(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:137)(cid:37) (cid:40)𝑓 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥 𝑙 𝑔 𝑥 ,ℎ 𝑥
𝑥
−1 𝑙
A(cid:266) B(cid:266) C(cid:266) D(cid:266)
6 4 3 4
𝜋 𝜋 𝜋 3𝜋
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:60)(cid:47)(cid:46)(cid:61)(cid:3)(cid:31)(cid:70)(cid:71)(cid:63)(cid:21)(cid:28)
1 2tan tan2
(cid:22)(cid:259)9(cid:28)(cid:37)2024·(cid:212)(cid:324)(cid:344)(cid:315)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= + 1 t 𝜔 a 2 𝑥 n − 2 𝜔 2 𝑥 𝜔 2 𝑥( >0)(cid:93)(cid:279) 0 π 4 , π 3 (cid:250)(cid:225) ( )(cid:31)(cid:91)
(cid:92)(cid:52)(cid:55)( ( ))(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:60) (cid:345)(cid:66)(cid:67)(cid:93)(cid:101) (cid:31)(cid:70) 𝑓 (cid:281)𝑥(cid:71)(cid:112)(cid:37) + (cid:40) 𝜔 ∃𝑥 ∈ − 𝑓 𝑥
0 0
𝑥 ,𝑓 𝑥 3 𝑥 𝜔 3
A(cid:266)2 B(cid:266) C(cid:266)1 D(cid:266)
2 4
(cid:22)(cid:186)(cid:98)9-1(cid:28)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:120)(cid:53)·(cid:328)(cid:329)·(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) = (cid:60) =ln +1(cid:274)(cid:52)(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:333)(cid:13)a(cid:31)
𝑥
(cid:70)(cid:281)(cid:71)(cid:37) (cid:40) 𝑓(𝑥) 𝑎𝑒 𝑔(𝑥) 𝑥
2 1 1 1
A(cid:266) B(cid:266) C(cid:266) D(cid:266)
𝑒 𝑒 2𝑒 3𝑒(cid:22)(cid:186)(cid:98)9-2(cid:28)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:52)(cid:66)(cid:350)(cid:69)(cid:51)(cid:222)(cid:106)(cid:196) (cid:139)(cid:93)(cid:226)(cid:45)(cid:46) = ( >1)(cid:52) =0(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:137) (cid:93)
e
𝑥+𝑎
𝑥
(cid:101) (cid:60)(cid:65)(cid:64)(cid:222)(cid:106)(cid:345)(cid:351)(cid:310)(cid:157)(cid:31)(cid:91)(cid:131)(cid:350)(cid:159)(cid:31)(cid:70)(cid:281)(cid:71)(cid:137)(cid:37) (cid:40) 𝑥𝑂𝑦 𝑦 𝑎 𝑥 𝑙
𝑙 3 5
A(cid:266)1 B(cid:266) C(cid:266)2 D(cid:266)
2 2
(cid:22)(cid:186)(cid:98)9-3(cid:28)(cid:37)2024·(cid:334)(cid:267)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:69)(cid:46) = + (cid:60)(cid:45)(cid:46) =ln(e )(cid:209)(cid:47)(cid:93)(cid:101) + (cid:31)(cid:70)(cid:281)(cid:71)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
1 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 𝑥 𝑎 𝑏
A(cid:266) B(cid:266)1 C(cid:266) 2 D(cid:266) 3
2
(cid:54)(cid:58)(cid:103)(cid:20)(cid:21)
1(cid:266)(cid:37)2024·(cid:352)(cid:303)(cid:353)(cid:315)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) = 2+ 1 (cid:93)(cid:101)lim =(cid:37) (cid:40)
2
𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)
𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 Δ𝑥
1 Δ𝑥→0
A(cid:266)1 B(cid:266) C(cid:266)2 D(cid:266)4
2
2(cid:266)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:206)(cid:224)·(cid:282)(cid:284)·(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:40)(cid:279)lim = (cid:93)(cid:101) ( )=(cid:37) (cid:40)
𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2−Δ𝑥)
′
Δ𝑥 −2 𝑓 −2
A(cid:266)1 B(cid:266)-1 Δ𝑥→0 C(cid:266)2 D(cid:266)-2
3(cid:266)(cid:37)2024·(cid:297)(cid:298)(cid:354)(cid:272)·(cid:120)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )=ln + ( )(cid:112)(cid:41)(cid:13) ( +1)(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:101) (0)=(cid:37) (cid:40)
A(cid:266)1 B(cid:266)2 𝑓 𝑥 C𝑥(cid:266)3𝑥,𝑔 𝑥 𝑓 2𝑥D(cid:266)4 𝑔
4(cid:266)(cid:37)2024·(cid:53)(cid:355)(cid:356)(cid:67)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:219)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:300)(cid:75)(cid:44)(cid:209)(cid:3)(cid:360)(cid:361)(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:15)(cid:93)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:106)(cid:31)(cid:360)(cid:361)(cid:75)(cid:371)(cid:273)(cid:372)(cid:373)(cid:58)(cid:226)(cid:360)
( ) ( )
(cid:361)(cid:31)(cid:364)(cid:365)(cid:367)(cid:368)(cid:187) (cid:60)(cid:178)(cid:195)t(cid:31)(cid:3)(cid:196)(cid:137) = ( )(cid:93)(cid:27) (cid:31)(cid:280)(cid:281)(cid:374)(cid:375)(cid:52)[ ](cid:193)(cid:347)(cid:178)(cid:195)(cid:114)(cid:360)(cid:361)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:15)(cid:96)
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
(cid:376)(cid:31)(cid:363)(cid:377)(cid:93)(cid:221)(cid:148)(cid:372) 𝑊 (cid:373)(cid:273)(cid:114)(cid:93)(cid:111)(cid:58)(cid:378)(cid:65) 𝑊 (cid:360)(cid:361) 𝑓 (cid:31)𝑡(cid:364)(cid:365)(cid:367) − (cid:368)(cid:187)(cid:60) 𝑏− (cid:178) 𝑎 (cid:195)(cid:31)(cid:3)(cid:196)(cid:184)(cid:224)(cid:91)𝑎(cid:351),𝑏(cid:189).(cid:101)(cid:224)(cid:232)(cid:379)(cid:153)(cid:31)(cid:380)(cid:21)(cid:112)(cid:37) (cid:40)
A(cid:266)(cid:52)[ , ](cid:193)(cid:347)(cid:178)(cid:195)(cid:114)(cid:93)(cid:111)(cid:360)(cid:361)(cid:31)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:15)(cid:96)(cid:376)(cid:247)(cid:378)(cid:360)(cid:361)(cid:377)(cid:205)
1 2
B(cid:266)(cid:52) 𝑡(cid:178)𝑡(cid:381)(cid:93)(cid:111)(cid:360)(cid:361)(cid:31)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:15)(cid:96)(cid:376)(cid:247)(cid:378)(cid:360)(cid:361)(cid:377)(cid:205)
2
C(cid:266)(cid:52)𝑡 (cid:178)(cid:381)(cid:93)(cid:111)(cid:58)(cid:378)(cid:65)(cid:360)(cid:361)(cid:31)(cid:364)(cid:365)(cid:367)(cid:368)(cid:327)(cid:227)(cid:370)(cid:106)(cid:205)
3
D(cid:266)(cid:111)𝑡(cid:360)(cid:361)(cid:52)[0, ](cid:93)[ , ](cid:93)[ , ](cid:193)(cid:120)(cid:347)(cid:178)(cid:195)(cid:139)(cid:93)(cid:52)[ , ](cid:31)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:15)(cid:96)(cid:376)(cid:70)(cid:363)
1 1 2 2 3 1 2
𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 3 𝑡 𝑡
5(cid:266)(cid:37)2024·(cid:302)(cid:313)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:45)(cid:46) = (cid:52)(cid:55)( )(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:137)(cid:37) (cid:40)
3
𝑥
𝑦 −2 −1,𝑎A(cid:266) + +4=0 B(cid:266) + =0
C(cid:266)3𝑥 3𝑦+4=0 D(cid:266) =0 3𝑥 3𝑦−4
6(cid:266)(cid:37)2032𝑥4−·(cid:282)3𝑦(cid:268)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)3(cid:221)𝑥−(cid:148)3𝑦(cid:41)−(cid:13)4 ( )=( ) 3+( ) 2+( ) + (cid:279)(cid:181)(cid:312)(cid:74) R(cid:93)(cid:45)(cid:46) = ( )
0
(cid:52)(cid:55)( ( ))(cid:99)( ( ))(cid:220)(cid:31)(cid:47)𝑓(cid:46)𝑥(cid:336)(cid:209)(cid:66)𝑎−(cid:67)3(cid:343)𝑥(cid:260)(cid:39)(cid:93)𝑎−(cid:101)2(cid:333)𝑥(cid:13) =𝑎−(cid:37)1 𝑥 (cid:40)𝑎 𝑥 ∈ 𝑦 𝑓 𝑥
0 0 0 0
A(cid:266)𝑥0,𝑓 𝑥 −𝑥 ,𝑓B(cid:266)−𝑥1 C(cid:266)2 𝑎 D(cid:266)3
1
7(cid:266)(cid:37)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:279)(cid:59)(cid:55)( )(cid:134)(cid:136)(cid:41)(cid:13) = + ( >0)(cid:91)(cid:92)(cid:31)(cid:65)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:113)(cid:61)(cid:37) (cid:40)
𝑚,𝑛 𝑦 2𝑥 𝑥 𝑥
1
A(cid:266)0< + < B(cid:266)0< <
2𝑚 𝑚 𝑛 𝑛 2𝑚
1
C(cid:266) < < + D(cid:266) <
8(cid:266)(cid:37)20 2 2 𝑚 4·(cid:340) 𝑛 (cid:326)(cid:340) 2 (cid:315) 𝑚 ·(cid:206)𝑚(cid:262)(cid:40)(cid:279)(cid:181)(cid:41)(cid:13) ( )= si 𝑛 n (cid:31) 2 (cid:91) 𝑚 (cid:92)(cid:53)(cid:312)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46) (cid:93)(cid:41)(cid:13) ( )= +( )
1
𝑥
(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:53)(cid:382)(cid:274)(cid:52)(cid:54)(cid:55)(cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46) (cid:93)(cid:250)𝑓(cid:225)𝑥 2𝑥(cid:93)−(cid:101) 𝑥(cid:31)(cid:308)(cid:71)(cid:309)(cid:310)(cid:112)(cid:37) (cid:40) 𝑙 𝑔 𝑥 𝑚𝑒 𝑚−2
2 1 2
𝑥 𝑙 𝑙 ⊥𝑙 𝑚
A(cid:266) ,0 B(cid:266) 0,
2 2
𝑒 𝑒
C(cid:266)( − ) D(cid:266)(0,1)
(cid:206)(cid:58)(cid:383)(cid:20)−(cid:21)1,0
9(cid:266)(cid:37)2024·(cid:352)(cid:313)·(cid:206)(cid:262)(cid:40)(cid:224)(cid:232)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:60)(cid:69)(cid:46) = +1(cid:209)(cid:47)(cid:31)(cid:61)(cid:37) (cid:40)
A(cid:266) =e B𝑦(cid:266) 𝑥=ln
𝑥
C(cid:266)𝑦=sin +1 D(cid:266)𝑦= 3𝑥+1
10(cid:266)(cid:37)2𝑦024·(cid:282)𝑥(cid:284)(cid:384)(cid:328)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )(cid:93)𝑦( )𝑥(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:294)(cid:137) (cid:93) ( )(cid:137) ( )(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13)(cid:93)(cid:275) ( )+ ( )
′ ′
=4(cid:93) ( ) ( )=4(cid:93)(cid:279) ( )(cid:137)(cid:296)(cid:41)(cid:13)(cid:93)𝑓 (cid:101)𝑥 (cid:37)𝑔 𝑥(cid:40) 𝑅 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
′
A(cid:266)𝑓 𝑥(4−)𝑔=43−𝑥 𝑔 𝑥 B(cid:266) (2)=0
′
C(cid:266)𝑓(1)+ (3)=8 D(cid:266)𝑔(1)= ( )
11(cid:266)(cid:37)2𝑓024·(cid:267)(cid:307)𝑓 (cid:313)(cid:90)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:59)(cid:66)(cid:350)(cid:114)(cid:54)(cid:55)P𝑓(cid:136)(cid:45)(cid:46)𝑓 =−3|ln |(cid:65)(cid:64)(cid:336)(cid:209)(cid:68)(cid:69)(cid:31)(cid:47)(cid:46) (cid:58) (cid:93)(cid:47)(cid:55)(cid:137) (cid:58)
1 2 1
( (cid:58) (cid:227)(cid:260)(cid:39))(cid:93)(cid:226)(cid:69)(cid:46) (cid:58) (cid:80)(cid:207)(cid:60)y(cid:345)(cid:385)(cid:182)(cid:55)A(cid:58)B𝑦(cid:93)(cid:101)(cid:37)𝑥 (cid:40) 𝑙 𝑙 𝑃
2 1 2 1 2
𝑃 𝑃A(cid:266)𝑃 (cid:58) (cid:65)(cid:55)(cid:31)(cid:386)(cid:222)(cid:106)𝑙 (cid:387)(cid:159)𝑙 (cid:137)(cid:32)(cid:71) B(cid:266)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:137)(cid:32)(cid:71)
1 2 1 2
C(cid:266)(cid:46)𝑃 (cid:347)𝑃AB(cid:31)(cid:388)(cid:144)(cid:137)(cid:32)(cid:71) D(cid:266) 𝑃 𝑃(cid:350)(cid:159)(cid:31)(cid:308)(cid:71)(cid:309)(cid:310)(cid:137)(0,1)
(cid:120)(cid:58)(cid:129)(cid:130)(cid:21) △𝐴𝐵𝑃
12(cid:266)(cid:37)2024·(cid:268)(cid:389)(cid:390)(cid:391)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )=
ln
(cid:93)(cid:279) (1)=2(cid:93)(cid:101) = .
𝑥+𝑎
′
13(cid:266)(cid:37)2024·(cid:392)(cid:313)(cid:393)(cid:394)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:45)(cid:46) 𝑓 =𝑥3 ln 𝑥(cid:52)(cid:55) 𝑓 (cid:220)(cid:31)(cid:47)(cid:46) 𝑎 (cid:60)(cid:222)(cid:106)(cid:345)(cid:310)(cid:157)(cid:31)(cid:91)(cid:131)(cid:31)(cid:350)(cid:159)(cid:137)
𝑓(𝑥) 𝑥 − 𝑥 (1,𝑓(1)).
14(cid:266)(cid:37)2024·(cid:212)(cid:324)(cid:157)(cid:327)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) = (cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:60)(cid:41)(cid:13) = (cid:37) >0(cid:275) 1(cid:40)(cid:31)(cid:91)(cid:92)(cid:52)(cid:7)(cid:331)(cid:55)(cid:220)(cid:61)
𝑥
(cid:209)(cid:243)(cid:31)(cid:47)(cid:46)(cid:93)(cid:101)(cid:7)(cid:331)(cid:55)(cid:222)(cid:106)(cid:137) . 𝑦 𝑥 𝑦 𝑎 𝑎 𝑎≠
(cid:212)(cid:58)(cid:83)(cid:138)(cid:21)
15(cid:266)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:206)(cid:224)·(cid:303)(cid:316)(cid:395)(cid:261)·(cid:273)(cid:396)(cid:40)(cid:44)(cid:224)(cid:232)(cid:41)(cid:13)(cid:31)(cid:30)(cid:41)(cid:13).
(1) = 2 e (cid:205)
𝑥
𝑓(𝑥) 𝑥log⋅
(2) = 2 (cid:205)
2
𝑥
𝑥
𝑓(𝑥)
sin
(3) = (cid:205)
1 cos
𝑥
𝑓(𝑥) + 𝑥
(4) =ln .
𝑓(𝑥) (1−2𝑥)
16(cid:266)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:206)·(cid:109)(cid:110)·(cid:397)(cid:398)(cid:348)(cid:349)(cid:40)(cid:37)1(cid:40)(cid:221)(cid:148) + = + + 2(cid:93)(cid:27)(cid:399)(cid:46)(cid:400)(cid:119)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:56)(cid:100)(cid:44)
′
(cid:205) 𝑓(𝑥 ℎ)−𝑓(𝑥) 2ℎ𝑥 5ℎ ℎ 𝑓
(cid:37)(𝑥)2(cid:40)(cid:221)(cid:148) + = 2+3 2 + 3(cid:93)(cid:27)(cid:399)(cid:46)(cid:400)(cid:119)(cid:47)(cid:46)(cid:31)(cid:56)(cid:100)(cid:44) (cid:266)
′
𝑔(𝑥 ℎ)−𝑔(𝑥) 3ℎ𝑥 ℎ 𝑥 ℎ 𝑔(𝑥)
17(cid:266)(cid:37)2024·(cid:297)(cid:298)(cid:401)(cid:272)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= 3 2 + ( 0)(cid:266)
(1)(cid:165) =1(cid:178)(cid:93)(cid:279)(cid:69)(cid:46) = + (cid:60)(cid:45)(cid:46) =𝑓 𝑥( )(cid:209)𝑎𝑥(cid:47)−(cid:93)2(cid:44)𝑥 −(cid:205)2𝑥 𝑎 𝑎≥
(2)(cid:279)𝑎(cid:69)(cid:46) = (cid:60)𝑦(cid:45)(cid:46)−3𝑥= 𝑏( )(cid:164)(cid:61)(cid:65)𝑦 (cid:183)𝑓(cid:7)𝑥(cid:331)(cid:55)(cid:93)(cid:44) (cid:266)𝑏
𝑦 −2𝑥−2 𝑦 𝑓 𝑥 𝑎
18(cid:266)(cid:37)2024·(cid:352)(cid:313)(cid:402)(cid:272)·(cid:120)(cid:262)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )= 2 + ( )=ln + ( ).
𝑓 𝑥 𝑥 −𝑎𝑥 1,𝑔 𝑥 𝑥 𝑎 𝑎∈𝑅(1)(cid:279) = ( )> ( )(cid:52)(cid:403)(cid:195)( )(cid:53)(cid:404)(cid:157)(cid:405)(cid:93)(cid:44)(cid:333)(cid:13) (cid:31)(cid:308)(cid:71)(cid:309)(cid:310)(cid:205)
(2)(cid:279)(cid:41)𝑎 (cid:13)1,𝑓( 𝑥)(cid:99) (𝑔)𝑥(cid:61)(cid:7)(cid:47)(cid:46)(cid:93)0,𝑡(cid:44)(cid:333)(cid:13) (cid:31)(cid:308)(cid:71)(cid:309)(cid:310).𝑡
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑎
19(cid:266)(cid:37)23-24(cid:24)(cid:206)(cid:224)·(cid:267)(cid:268)·(cid:273)(cid:139)(cid:40)(cid:221)(cid:148)(cid:41)(cid:13) ( )=( )2(cid:93) ( )= ( )2.
(1)(cid:165) =1(cid:178)(cid:93)(cid:44)(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:52) =0(cid:220)(cid:31)𝑓(cid:47)𝑥(cid:46)(cid:56)(cid:57)𝑥−. 𝑎 𝑔 𝑥 − 𝑥−𝑏
(2)(cid:279)𝑎+ =1(cid:93)(cid:112)(cid:406)(cid:274)𝑦(cid:52)(cid:69)𝑓 𝑥(cid:46) (cid:60)𝑥(cid:45)(cid:46) = ( )(cid:99) = ( )(cid:327)(cid:209)(cid:47)(cid:407)(cid:279)(cid:274)(cid:52)(cid:93)(cid:44)(cid:202)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:37)(cid:279)(cid:69)(cid:46) (cid:31)(cid:56)
(cid:57)(cid:408)(cid:62)𝑎(cid:13)𝑏(cid:93)(cid:101)(cid:27) (cid:188)(cid:189)(cid:40)(cid:205)(cid:279)(cid:227)𝑙(cid:274)(cid:52)(cid:93)𝑦(cid:409)(cid:410)𝑓(cid:411)𝑥(cid:15)(cid:173)𝑦. 𝑔 𝑥 𝑙 𝑙
𝑎
