文档内容
考点 16 导数的概念及其意义、导数的运算（3 种核心题型
+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能
够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的
导数
【知识点】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数记作 或 .
0
f′(x)＝lim ＝ .
0
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝lim .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处的切线的 ，
0 0 0
相应的切线方程为 ．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝______
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ex f′(x)＝______
f(x)＝log x(a>0，且a≠1) f′(x)＝______
a
f(x)＝ln x f′(x)＝_____
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ ；
[f(x)g(x)]′＝ ；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ ．
5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝ ，即
x
y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)
【核心题型】
题型一 导数的运算
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则
求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元
【例题1】（2024·重庆·模拟预测） （ ）
A．72 B．12 C．8 D．4
【变式1】（2024·广西·二模）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，则曲线
的曲率 ．若函数为 ，则其曲率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）记函数 的导函数为 ，已知
，若数列 ， 满足 ，则（ ）
A． 为等差数列 B． 为等比数列
C． D．【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
题型二 导数的几何意义
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①
切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
命题点1 求切线方程
【例题2】（多选）（2024·河南郑州·模拟预测）过点 作直线l与函数 的
图象相切，则（ ）
A．若P与原点重合，则l方程为
B．若l与直线 垂直，则
C．若点P在 的图象上，则符合条件的l只有1条
D．若符合条件的l有3条，则
【变式1】（2024·贵州·模拟预测）过点 作曲线 的切线，请写出切线的
方程 .
【变式2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线 在点 处的切线过原点
，则 .
【变式3】（2024·四川成都·二模）已知函数 的图象在 处的切线经过
点 ．
(1)求 的值及函数 的单调区间；(2)若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求正实数 的取值
范围．
命题点2 求参数的值(范围)
【例题3】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线 在 处的切线与直线
垂直，则 （ ）
A．3 B． C．7 D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则
的最小值为（ ）
A． B．－2 C．－1 D．0
【变式2】（2024·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线与曲线 相切于
点 ，若 且 ，则实数 的值为 .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且曲线 在点
处的切线方程为 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)证明：函数 有两个零点．题型三 两曲线的公切线
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出
有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线
重合列方程组求解．
【例题4】（2023·山西·模拟预测）已知函数 若对任
意 ，曲线 在点 和 处的切线互相平行或重合，则实
数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象上存在不同的两点
，使得曲线 在点 处的切线都与直线 垂直，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·北京朝阳·一模）已知函数 .若曲线 在点
处的切线与其在点 处的切线相互垂直，则 的一个取值为
.
【变式3】（2023·江苏南通·模拟预测）已知函数
(1)若 ，证明：曲线 与曲线 有且仅有一条公切线；
(2)当 时， ，求a的取值范围．【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则曲线 在 处的
切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东·二模）函数 的定义域为 ，若 ，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若曲线 （ 且 ）有两条过坐标原点的
切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川·模拟预测）已知 ，则 （ ）A．48 B．192 C．128 D．72
5．（2024·湖南娄底·一模）若直线 是指数函数 且 图象的
一条切线，则底数 （ ）
A．2或 B． C． D． 或
二、多选题
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直
线为这些曲线的公切线，已知直线 ： 为曲线 ： 和 ：
的公切线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的图象在 轴的上方
B．当 时，
C．若 ，则
D．当 时， 和 必存在斜率为 的公切线
7．（2023·全国·模拟预测）若过点 最多可作 条直线与函数
的图象相切，则（ ）
A．当 时，切线方程为
B．当 时，
C．当 时，λ的值不唯一
D． 的值一定小于3
三、填空题
8．（2024·四川·模拟预测）已知 ，直线 与曲线 相切，
则 ．9．（2024·山东·一模）已知A，B分别为直线 和曲线 上的点，则 的
最小值为 ．
四、解答题
10．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 .
(1)若 的图象在点 处的切线与直线 垂直，求 的值;
(2)讨论 的单调性与极值.
11．（2024·广东深圳·二模）已知函数 ， 是 的导函数，且
．
(1)若曲线 在 处的切线为 ，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明： ．
综合提升练一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，过点 可作曲线 的切线
条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ，则曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·福建漳州·一模）若曲线 在点 处的切线方程为 ，
则 （ ）
A．3 B． C．0 D．1
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则函数 的图象在 处的
切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西上饶·一模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的导函数为 B． 在 上单调递减
C． 的最小值为 D． 的图象在 处的切线方程为
6．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 与曲线 相切于点 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．7．（2024·陕西西安·三模）已知函数 在点 处的切线均经过坐标原点，
其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·宁夏银川·一模）已知函数 与 （ 且 ）的图象只有一个
交点，给出四个值：① ；② ；③ ；④ ，则 的可能取值为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、多选题
9．（2024·浙江·二模）设定义在R上的函数 的导函数为 ，若 ，均有
，则（ ）
A． B． （ 为 的二阶导数）
C． D． 是函数 的极大值点
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若过原点可作函数的三条切线，
则（ ）
A． 恰有2个异号极值点 B．若 ，则
C． 恰有2个异号零点 D．若 ，则
11．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线 都相切，则
的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线方程为 ．
13．（2024·全国·模拟预测）设直线 与曲线 相切，则 ．
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 为
的图象的对称轴， 为 的零点.若 使得 的图象在
处的切线与 轴平行，则 的最小值为 ；若 在 上单调，则
的最大值为 ．
四、解答题
15．（2024·广西·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间与极值．
16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数 ，曲线 在点
处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求证： ．17．（2023·海南省直辖县级单位·三模）已知函数 ， ．
(1)证明：对于 ， ，都有 ．
(2)当 时，直线 ： 与曲线 和 均相切，求直线 的方程．
18．（2024·全国·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线与
直线 垂直．
(1)求 的值．
(2)判断 的单调性，并求极值．
19．（2024·天津·二模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线的斜率为2，求 的值；
(2)当 时，证明： ， ；
(3)若 在区间 上恒成立，求 的取值范围．拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川德阳·三模）已知函数 ，且 ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 ，若函数
有4个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·重庆·模拟预测）设点 (异于原点)在曲线 上，已知过 的直线
垂直于曲线 过点 的切线，若直线 的纵截距的取值范围是 ，则 （ ）A．2 B．1 C． D．
二、多选题
6．（2023·广东·二模）已知函数 的图象在点 处的切线为 ，则
（ ）
A． 的斜率的最小值为 B． 的斜率的最小值为
C． 的方程为 D． 的方程为
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）定义函数 的曲率函数 （
是 的导函数），函数 在 处的曲率半径为该点处曲率 的倒数，曲率
半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数 在 处的曲率半径为1
C．若圆 为函数 的一个曲率圆，则圆 半径的最小值为2
D．若曲线 在 处的弯曲程度相同，则
三、填空题
8．（2024·上海闵行·二模）函数 在 处的切线方程为 .
9．（2024·全国·模拟预测）曲线 与 的公切线方程为 .
四、解答题
10．（2024·河北·模拟预测）已知函数 在 处的切线为 轴．
(1)求 的值；
(2)求 的单调区间．11．（2023·贵州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最大值；
(2)当 时，求曲线 与 的公切线方程.
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 与 的公切线的条数；
(2)若 ，求 的取值范围.
