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专题 01 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
题型一： 导数的概念.......................................................................................................................3
题型二： 导数的运算.......................................................................................................................4
题型三： 导数的几何意义——求切线方程..................................................................................6
题型四： 导数的几何意义——求切点坐标..................................................................................9
题型五： 导数的几何意义——求参数的值................................................................................10
题型六： 公切线问题的求法——判断公切线的条数................................................................11
题型七： 公切线问题的求法——求两曲线的公切线................................................................11
题型八： 公切线问题的求法——求参数的值或范围................................................................11
知识点总结
知识点一、导数的概念及其意义
(1)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称
y＝f (x)在x＝x 处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x 处的导数(也称为瞬时变化
0 0
率)，记作 f ′( x )或y′| ，即f ′(x)＝lim ＝lim .
0 x＝x0 0
(2)导数的几何意义：函数y＝f (x)在点x 处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点
0
P(x，f (x))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x，f (x))处的切线的斜率是f
0 0 0 0
′( x )．相应的切线方程为 y － y ＝ f ′ ( x )( x － x )．
0 0 0 0
(3)导函数的概念：当x＝x 时，f ′(x)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f ′(x)就
0 0
是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即
f ′(x)＝y′＝lim .
知识点二、导数的运算(1)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝ αx α － 1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos_x
f (x)＝cos x f ′(x)＝ － s i n_x
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ a x l n _a
f (x)＝ex f ′(x)＝ e x
f (x)＝log x(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
a
f (x)＝ln x f ′(x)＝
(2)导数的四则运算法则
运算法则
和差 [f (x)±g(x)]′＝ f ′( x )± g ′( x )
[f (x)g(x)]′＝ f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ，
积
特别地，[cf (x)]′＝ cf ′( x )
′＝
商
(g(x)≠0)
(3)简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，
那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ f ( g ( x )) ．它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y ′ ＝ y ′ · u ′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的
x u x
导数的乘积．
例题精讲
题型一：导数的概念
【要点讲解】 求函数y=f(x)在点x 处导数的步骤
0
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)得导数 ,简记作:一差、二比、三极限.
函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|
f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
【例1】（2023春•儋州校级月考）已知函数 ，则
A．3 B．5 C．7 D．6
【变式训练1】（2023春•民勤县校级月考）已知 ，则
A． B． C．1 D．4
【变式训练2】（2023春•江西月考）若 ，则
A．1 B．2 C． D．
【例2】（2023春•青岛期中）质点 按规律 做直线运动（位移单位： ，
时间单位： ，则质点 在 时的瞬时速度为A． B． C． D．
【变式训练1】（2023春•江西月考）已知函数 ，当自变量 由1变到1.1时，
的平均变化率为
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
【变式训练2】（2023 春•驻马店月考）已知某质点的位移 与时间 的关系式是
，则质点在 时的瞬时速度为
A． B． C． D．
题型二：导数的运算
【要点讲解】(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
【例3】（2023春•天祝县校级月考）函数 的导函数是
A． B．
C． D．
【变式训练1】（2023春•青铜峡市校级期中）下列求导数运算中正确的是
A． B．
C． D．【变式训练2】（2023春•高新区校级月考）已知 ，则
A． B． C． D．
【例4】（2023春•深圳校级月考）已知函数 （2），其中 是
的导函数，则 （2）
A．12 B．20 C．10 D．24
【变式训练1】（2023春•葫芦岛月考）已知函数 （1） ，则 （1）
A． B．4 C． D．2
【变式训练2】（2023春•濮阳期末）已知函数 ，则 （2）
A． B． C． D．
【例5】（2023春•河池月考）已知 ，若 ，则 等于
A． B． C． D．
【变式训练1】（2023春•梅河口市校级月考）设 ，若 ，则
A．1 B． C．3 D．
【变式训练2】（2023 春•定远县校级期中）设 ，若 在 处的导数，则 的值为
A．0 B． C．3 D．6
题型三：导数的几何意义——求切线方程
【要点讲解】求曲线y=f(x)过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x,y)是切点时,切线方程为y-y=f'(x)(x-x);
0 0 0 0 0
(2)当点P(x,y)不是切点时,可分以下几步完成:
0 0
第一步:设出切点坐标P'(x,f(x));
1 1
第二步:写出过点P'(x,f(x))的切线方程y-f(x)=f'(x)(x-x);
1 1 1 1 1
第三步:将点P的坐标(x,y)代入切线方程求出x;
0 0 1
第四步:将x 的值代入方程y-f(x)=f'(x)(x-x)可得过点P(x,y)的切线方程.
1 1 1 1 0 0
【例6】（2023春•武功县期中）函数 的图象如图所示，则下列关系正确的是
A． （2） （3） （3） （2）
B． （2） （3） （2） （3）
C． （3） （3） （2） （2）
D． （3） （2） （3） （2）
【变式训练1】（2023•麒麟区校级模拟）已知函数 与 的部分图象如图所示，则A． B．
C． （3） （3） D． （3） （3）
【变式训练2】（2023春•通州区期中）已知函数 的图象如图所示，则下列结论正确的
是
A． （3） （2） （1） B． （1） （2） （3）
C． （1） （2） （3） D． （3） （2） （1）
【变式训练3】（2023春•恩阳区 期中） 的图象如图所示，下列数值的排序正确
的是A． （2） （3） （3） （2）
B． （3） （3） （2） （2）
C． （3） （2） （3） （2）
D． （3） （2） （3） （2）
【例7】（2022秋•衡水月考）已知函数 ，则曲线 在点 ，
（1） 处的切线方程为 ．
【变式训练1】（2022•辽宁三模）已知函数 的图象经过坐标原点，则曲
线 在点 ， 处的切线方程是 ．
【变式训练2】（2021春•昌邑市校级月考）曲线 ，在点 处的切线方程为
．
【变式训练3】（2021春•石首市校级月考）已知曲线 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求过点 并与曲线 相切的直线方程．题型四：导数的几何意义——求切点坐标
【要点讲解】求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从
而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方
程,已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.
【例8】（2023春•海淀区校级期中）若曲线 的一条切线的斜率为4，则切点的横坐
标为
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1】（2021秋•开封期末）如图，函数的图象在 点处的切线方程是 ，
若点 的横坐标是5，则 （5） （5）
A． B．1 C．2 D．0
【变式训练2】（2020•沈阳三模）过点 作曲线 的切线，则切点坐
标为 ．
【变式训练3】（2023•鹰潭一模）已知曲线 在点 ， 处的瞬时变化率
为 ，则点 的坐标为 ．题型五：导数的几何意义——求参数的值
【要点讲解】利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不
等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
【例9】（2023春•扬中市校级月考）点 在曲线 上移动，设点 处切线
的倾斜角为 ，则角 的范围是
A． B． C． D．
【变式训练1】（2022•呼和浩特模拟）若过点 可以作三条直线与曲线 相
切，则 的取值范围是
A． ， B． C． D．
【变式训练2】（2021春•临渭区期末）设点 是曲线 上的任意一点，点
处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是
A． B． ， ， C． D．
【变式训练3】（2022•新高考Ⅰ）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取
值范围是 ．【变式训练4】若曲线 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则
值可以是
A． B． C．0 D．1
题型六：公切线问题的求法——判断公切线的条数
【要点讲解】解题关键.
(1)导数的几何意义:切线的斜率k等于导函数在切点处的函数值;
(2)两个等量关系:切点在切线上,又在曲线上.
求公切线的思路:先解决切线和第一条曲线相切,然后再解决切线和第二条切线相切即可.
【例10】（2023•广东模拟）曲线 与 的公共切线的条数为 ．
【变式训练1】（2023秋•镇江期末）曲线 与曲线 公切线（切线相同）
的条数为 ．
题型七：公切线问题的求法——求两曲线的公切线
【要点讲解】
【例11】（2023 秋•岳阳楼区校级月考）已知 为自然对数的底数），
，直线 是 与 的公切线，则直线 的方程为 ．
【变式训练1】（2023春•涪城区校级期中）若 与 两个函数的图
象有一条与直线 平行的公共切线，则 ．
【变式训练2】（2020春•丽江期末）若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 ．题型八：公切线问题的求法——求参数的值或范围
【例12】（2023春•靖江市校级月考）已知曲线 与曲线 存在公共切线，则
实数 的取值范围为 ．
【变式训练1】（2023•唐山三模）已知曲线 与 有公共切线，则实数
的取值范围为 ．
【变式训练2】（2022秋•安徽月考）若函数 与 的图象存在公共
切线，则实数 的最大值为
A． B． C． D．
【变式训练3】（2022秋•淅川县校级月考）若函数 与 的图象存
在公共切线，则实数 的最大值为
A． B． C． D．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为 ．假设
“绿巨人”开出站一段时间内，速度 与行驶时间 的关系为 ，则出
站后“绿巨人”速度首次达到 时加速度为A． B． C． D．
2．一质点做直线运动，其位移 与时间 的关系为 ，设其在 ， 内的平均
速度为 ，在 时的瞬时速度为 ，则
A． B． C． D．
3．若函数 在 处的导数为2，则
A．2 B．1 C． D．6
4．已知函数 ，当自变量 由1变到1.1时， 的平均变化率为
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
5．已知函数 的部分图象如图所示，且 是 的导函数，则
A． （1） （2）
B． （2） （1）
C． （2） （1）
D． （2） （1）
6．一个质点 沿直线运动，位移 （单位： 与时间 （单位： 之间的关系
，则质点 在 时的瞬时速度为A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．如图所示物体甲、乙在时间0到 范围内路程的变化情况，下列说法正确的是
A．在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在 时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
8．在 附近，取△ ，下列函数中平均变化率为负数的是
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
9．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深 ，上口宽 ，若以
的匀速往杯中注水，当水深为 时，酒杯中水升高的瞬时变化率 ．
10．函数 在 ， 处的切线与直线 垂直，则实数 的值
为 ．11．曲线 的一条切线经过点 ，则该切线的斜率为 ．
12．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4
银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次
滑雪训练中滑行的路程 （单位： 与时间 （单位： 之间的关系为 ，则
当 时，该运动员的滑雪瞬时速度为 ．
四．解答题（共2小题）
13．已知质点按照规律 （距离单位： ，时间单位： 运动，求：
（1）质点开始运动后 内的平均速度；
（2）质点在 到 内的平均速度；
（3）质点在 时的瞬时速度．
14．求函数 在区间 ， 上的平均变化率．
