文档内容
第 01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
模拟基础练............................................................................................................................................2
题型一：导数的定义及变化率问题............................................................................................................................2
题型二：导数的运算....................................................................................................................................................2
题型三：在点P处的切线............................................................................................................................................6
题型四：过点P的切线................................................................................................................................................7
题型五：公切线问题....................................................................................................................................................9
题型六：已知切线或切点求参数问题......................................................................................................................12
题型七：切线的条数问题..........................................................................................................................................14
题型八：利用导数的几何意义求最值问题..............................................................................................................16
题型九：牛顿迭代法..................................................................................................................................................19
题型十：切线平行、垂直、重合问题......................................................................................................................21
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题..............................................................................................................26
题型十二：切线斜率的取值范围问题......................................................................................................................27
重难创新练..........................................................................................................................................29
真题实战练..........................................................................................................................................39题型一：导数的定义及变化率问题
1．设 是定义在R上的可导函数，若 （ 为常数），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 .
故选：C.
2．对于函数 ，若 存在，求：
(1) ；
(2) ．
【解析】（1） 时，
（2）
又
题型二：导数的运算
3．求下列函数的导数：
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】（1）因为 ，
所以
.
（2）因为 ，
所以
.
（3）因为 ，
所以
.
（4）因为 ，
所以 .
（5）因为 ，
所以 .
（6）因为 ，
所以 .
4．求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .（3） ；
（4） ；
（5）y＝ .
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9）y＝ .
（10）
（11）
（12） .
【解析】（1）因为 ，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ；
（3）因为 ，
所以 ；
（4）因为 ，
所以 ；
（5）因为 ，
所以 ；
（6）因为 ，
所以 ；
（7）因为 ，所以 ；
（8）因为 ，
所以 ；
（9）因为 ，
所以y′＝ ＝
＝ ＝ ；
（10）因为 ，
所以 ；
（11）因为 ，
所以 ；
（12）因为 ，
所以 .
5．已知函数 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意知： ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为: .
6．（2024·河南·一模）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 的极
值点为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】D
【解析】对 进行求导，可得 ，将 代入整理， ①
将 代入 可得 ，即 ，
将其代入① ，解得： ，故得 .
于是 ，由 可得 或 ，因 ，
故当 时， ，当 时， ，
即 是函数 的极小值点，函数没有极大值.
故选：D.
题型三：在点P处的切线
7．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
，
曲线 在点 处的切线方程为：
，即 ，
故选：C．
8．（2024·黑龙江·二模）函数 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，
当 时 ，则 ，所以 ，
所以切点为 ，切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 .
故选：D
9．（2024·全国·模拟预测）函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
则 ，又 ，
则所求切线方程为 ，即 ．
故选：B．
10．下列函数的图象与直线 相切于点 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A． ，在 的切线斜率为0，不符合；
B． 在 的切线斜率为1，所以切线为 ，成立；
C．D．两个函数均不经过 ，不符合.
故选:B．
题型四：过点P的切线
11．过原点的直线 与 相切，则切点的坐标是 .
【答案】
【解析】由题意设切点坐标为 ，
由 ，得 ，故直线 的斜率为 ，
则直线l的方程为 ，
将 代入，得 ，
则切点的坐标为 ，
故答案为：
12．已知直线 为曲线 过点 的切线. 则直线 的方程为 .
【答案】 或
【解析】∵ ，∴ .
设直线 与曲线 相切于点 ，则直线 的斜率为 ，∴过点 的切线方程为 ，
即 ，又点 在切线上，
∴ ，整理得 ，
∴ ，
解得 或 ；
∴所求的切线方程为 或 .
故答案为： 或 .
13．已知函数 ，过点 作曲线 的切线，则其切线方程为 .
【答案】
【解析】设切点为 ，由 ，则 ，
则 ，
所以切线方程为 ，
又切线过点 ，所以 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为：
14．在平面直角坐标系 中，点 在曲线 上，且该曲线在点 处的切线经过点 （ 为自
然对数的底数），则点 的坐标是 ，切线方程为
【答案】
【解析】设点 ，则 .又 ，
当 时， ，
曲线 在点A处的切线方程为 ，即 ，
代入点 ，得 ，即 ，
记 ，当 时， ，当 时， ，且 ，当 时， 单调递增，
注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ，
故点 的坐标为 ，切线方程为 ，
故答案为： ，
题型五：公切线问题
15．经过曲线 与 的公共点，且与曲线 和 的公切线 垂直的直线方
程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，消去 整理得 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以方程组 的解为 ，
即曲线 与 的公共点的坐标为 ，
设 与 和 分别相切于 ， ，
而 ， ，
， ，
，解得 ，
，即公切线 的斜率为 ，
故与 垂直的直线的斜率为 ，
所以所求直线方程为 ，整理得 ．
故选：B．16．已知直线 是曲线 与曲线 的公切线，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知直线 是曲线 与曲线 的公切线，
设 是 图象上的切点， ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ①
令 ，解得 ，
即直线 与曲线 的切点为 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
当 时，①为 ，不符合题意，舍去，
所以 ，此时①可化为 ，所以 ，
故选：A
17．过原点的直线 与曲线 都相切，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，由 得 ，
设过原点的直线 分别与曲线 相切于点 ，
则由导数的几何意义得 ，且 ，故 ，所以直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
代入 得 .
故选：D
18．若曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】设公切线与函数 切于点 ，
由 ，得 ，所以公切线的斜率为 ，
所以公切线方程为 ，化简得 ，
设公切线与函数 切于点 ，
由 ，得 ，则公切线的斜率为 ，
所以公切线方程为 ，化简得 ，
所以 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上递减，
所以 ，
所以由题意得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：A
19．已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线相同，则
（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【答案】B
【解析】根据常用函数的导数可知： ， ，
则两函数在点 和 处的切线分别为： ，化简得
由题意可得： ，化简得 .
故选：B
20．设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切线，则 的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】由已知得 ，解得 ，
又 ，
所以 得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
题型六：已知切线或切点求参数问题
21．（2024·山东临沂·二模）若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数 的导数为 ，
设切点为 ，所以 ，则 ，即
又因为 在 上，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
当 趋近正无穷时， 趋近正无穷.
所以 的取值范围为： .故答案为： .
22．（2024·高三·云南楚雄·期末）若直线 与曲线 相切，则切点的横坐标为
.
【答案】
【解析】由 求导得 ，直线 斜率为 ，
代入导函数有： ，解得 .
故答案为：
23．（2024·湖北·二模） 是 在 处的切线方程，则 ．
【答案】
【解析】令 ， ，
则 ，则方程为 ，将 代入方程，得 ，解得 ，
故答案为：
24．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知直线 的斜率为2，且与曲线 相切，则 的方程为 .
【答案】
【解析】设 ，令 ，得 ，则切点为 ，
故所求 的方程为 .
故答案为： .
25．（2024·全国·模拟预测）若直线 与函数 的图象相切，则 的最小值为（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 ，设切点为 ，则切线方程为 ，即
依题意， ，故 ．
设 ， 则 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ，
单调递增，
故 的极小值为 ，也是最小值，即 的最小值为 ．
故选：C.26．（2024·四川绵阳·一模）设函数 ，直线 是曲线 的切线，则 的最
小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 的切点为 ，因为 ，
所以过切点的切线方程为 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时 恒成立，此时 单调递减，
当 时 恒成立，此时 单调递增，
所以 ，所以 ，
故选：C
题型七：切线的条数问题
27．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设切点为 ，由题得： ，故切线斜率为 ，切线方程为：
，
因切线经过点 ，则 ，故 有两个不同得实数根.
不妨设 ，则
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
故 ，则 ，即 .故选：D.
28．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【解析】设切点为 ，
由 可得 ，
则过坐标原点的切线的斜率 ，
故 ，即 ，
解得 ，故过坐标原点的切线共有1条．
故选：A．
29．已知函数 ，若过 可做两条直线与函数 的图象相切，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设过点 的直线与函数 的图象相切时的切点为 ，则 ，
因为 ，
所以切线方程为 ，又 在切线上，
所以 ，整理得 ，
则过点 的直线与函数 的图象相切的切线条数即为直线 与
曲线 的图象的公共点的个数，
因为 ，令 ，得 ，
所以，当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
因为 ，当 时 ，所以，函数 的图象大致如图：所以当 时，图像有两个交点，切线有两条.
故选：B.
30．（2024·宁夏银川·二模）已知点 不在函数 的图象上，且过点 仅有一条直线与
的图象相切，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】点 不在函数 的图象上，
则 ，即 ，
设过点 的直线与 的图象相切于 ，
则切线的斜率 ，整理可得 ，
则问题可转化为 只有一个零点，且 ，
令 ，可得 或 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
即当 时， 有极大值，当 时， 有极小值，
要使 仅有一个零点，
或
故选：B题型八：利用导数的几何意义求最值问题
31．（2024·陕西西安·二模）若 ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】由题意，设函数 ，直线 ，
设直线 与函数 的切点为
可得 ，可得 ，解得 ，可得 ，
即切点坐标为 ，则切点到直线 的距离为 ，
又因为 表示点 到直线 的距离为平方，
所以 的最小值为 .
故选：C.
32．（2024·广东·一模）设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，得 ，代入曲线 ，
所以 的最小值即为点 到直线 的距离 .
故选：B.
33．已知点P是曲线 上任意一点，点Q是直线 上任一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为全体正实数，
，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，函数图象如下图：
过点 的曲线 的切线与直线 平行时， 最小，
即有 ，
所以 ，
故选：A
34．（2024·高三·四川成都·期末）已知 为函数 图象上一动点，则
的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解题思路】先观察出函数关于 对称，在根据所求的式子可以判断 时比 的值要大，所以只需
研究 的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是
两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.
【解析】由函数解析式可知函数 关于 对称，设 ，不妨设
则 ，当 ， ，
即当 时 的值要大于 时 的值，所以只需研究 的情况即可，
当 时， ，设 ，
则 ，
根据复合函数单调性可知： 时， 递增，当 ， 递减.，所以 的几何意义是函数 上一点与点 的斜率，
设过点 的切线与函数 的交点坐标（即切点）为 ，
，
所以切线的斜率 ，切线方程为 ，把点 代
入切线方程整理得：
，所以 或 ，设 ， ，
所以 在 单调递增，所以 ，
即 不合题意，所以 ，此时切线的斜率 ，
如图：
根据数形结合思想可知 的范围为 ，所以当 时， 最大，
此时 .
故选：A
35．设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】 和 互为反函数，问题可以转化为直线 到 距离的两倍.
令 得 故切点为
由 ，所以 .
故选：C.题型九：牛顿迭代法
36．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数 有两个不相等的实根 ，
其中 ．在函数 图像上横坐标为 的点处作曲线 的切线，切线与x轴交点的横坐标为 ；
用 代替 ，重复以上的过程得到 ；一直下去，得到数列 ，记 ，且 ，下
列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是等差数列 D．数列 的前n项和
【答案】D
【解析】由 ，得 ，则 ，故A错误；
因为二次函数 有两个不等实数根 ，
所以不妨设 ，
因为 ，所以 ，
所以在横坐标为 的点处的切线方程为： ，
令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是公比为2，首项为1的等比数列，
所以 ，且 ，故BC错误；
由 ，所以 ，故D正确.
故选：D
37．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—1727）给出了牛顿法——用“作切
线”的方法求方程的近似解.如图，方程 的根就是函数 的零点r，取初始值 处的切线与x轴的交点为 ， 在 处的切线与x轴的交点为 ，一直这样下去，得到 ， ， ，…， ，它们越
来越接近r.若 ， ，则用牛顿法得到的r的近似值 约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.415 D．1.375
【答案】B
【解析】由题意，得 ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
令 ，得 .
又 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
令 ，解得 .
故选：B.
38．（2024·高三·四川成都·期中）科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，
其定义是：对于函数 ，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列，若函数
，数列 为牛顿数列且 ， ，则 的值是（ ）
A．9 B． C． D．7
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以数列 是以2为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故选:C.
题型十：切线平行、垂直、重合问题
39．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的图象经过 两点，且 的图象在
处的切线互相垂直，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，
构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
可知 的值域为 ，
由题意可知：存在 ，使得 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D.
40．已知函数 的图象在 两个不同点处的切线相互平行，则
的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D【解析】由 ，则 ，
则 ， ，
依题意可得 且 、 、 ，
所以 ，
所以 ，
经验证，当 、 分别取 、 时 满足题意.
故选：D
41．（2024·云南曲靖·一模）已知 ，若点 为曲线 与曲线 的交点，且
两条曲线在点 处的切线重合，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设点 的横坐标为 ，则由 可得 ，
又 可得 ，
且两条曲线在点 处的切线重合，
所以切线的斜率 ，解得 或 （舍去），
即点 的横坐标为 ，
由点 为曲线 与曲线 的交点，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，
令 可得 ，由 知，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，当 ，
则实数 的取值范围为 .
故选：C.
42．已知函数 的图象在 两个不同点处的切线相互平行，则
的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
则 ，
依题意可得 ，且 ，
整理得 ，
所以 ，所以 ，
经验证，当 分别取2， 时， 满足题意.
故选：D.
43．已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得曲线 在这两点处的切线
重合， 则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】解法一：设 ， ，根据题意分析可知 ，根据导数的几何意义分别求在 两点处的切线，由题意可得 ，化简可得 ，换元结合函
数单调性分析求解；解法二：根据题意结合图象分析可知 ，运算求解即可.
【解析】解法一：当 时，则 ，可知 在 内单调递增；
当 时，则 ，可知 在 内单调递减；
设 ， 为该函数图象上的两点，且 ，
若曲线 在 两点处的切线重合，则 ，
结合 的单调性可知 ，
则函数 在点 处的切线方程为：
，即 ；
函数 在点 处的切线方程为：
，即 ；
两直线重合的充要条件是 ，
消去 可得 ，
且
令 ，则 ，可得 在 为增函数，
所以 ，结合选项可知A正确；
解法二：由题意可知： 在区间 内单调递减，在 内单调递增，
根据公切线导数值相等的原理，可知公切线只会出现在单调性一致的区间，
故只能出现在区间 ，
由于函数在这两个区间属于凹函数，故可类比两圆相离的外公切线，且当 趋近于 ， 趋近于0，
由图象可知： ，解得 ，结合选项可知A正确；
故选：A.
44．（2024·山西·模拟预测）已知函数 若对任意 ，曲线
在点 和 处的切线互相平行或重合，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由函数 ，
可得 ，
因为曲线 在点 和 处的切线互相平行或重合，
可得 为偶函数，所以 ，解得 .
故选：C.
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题
45．已知奇函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 恒成立，则
．
【答案】1
【解析】奇函数 及其导函数 的定义域均为 ，
变形为 ，
令 ，则 ，
又 为奇函数，故 ，
故 为奇函数，故 ，
即 ，所以 ，又 ，故 ，
所以 的一个周期为4，
则 ，且 ，
其中 ，故 ，即 ，
由于 为R上的奇函数，故 ，
两边求导得 ，
令 得 ，解得 ，
故 .
故答案为：1
46．（2024·全国·模拟预测）已知函数 及其导函数 ，若 是偶函数， 是奇函
数，奇函数 满足 是偶函数，则关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】因为 是偶函数，所以 ，即 ①，
因为 是奇函数，所以 ，即 ②，
联立①②，得 ，
所以 （ 为常数）．
因为奇函数 满足 是偶函数，
所以 ， ，
即 ，
所以 在 上是减函数．
又 ，所以 ，即 ，
所以不等式 的解集为 ．
故答案为： .
47．已知函数 与偶函数 在交点 处的切线相同，则函数 在 处的切线方
程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】由函数 ，可得 ，所以 且 ，
因为函数 与偶函数 在交点 处的切线相同，
所以函数 与 相切于 ，且 ，
又因为 为偶函数，所以 ，且 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，即 ．
故选：D.
题型十二：切线斜率的取值范围问题
48．以正弦曲线 上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A． ∪ B．
C． D． ∪
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
∴切线的斜率范围是 ，
∴倾斜角的范围是 ∪ ，
故选：A.
49．点 在曲线 上移动，设点 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
所以点 处切线的斜率的取值范围为 ，即 ，
又 ，所以角 的范围是 .故选：C.
50．点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
，即 ，
当 时， ；
当 时， .
，
故选： .
1．（2024·浙江绍兴·二模）函数 在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，则 ，
因为函数 在点 处的切线与直线 平行，
所以 ，解得 ，
故选：A．
2．（2024·高三·江西赣州·期中）已知函数 （ ）在点 处的切线为直线 ，若直
线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，则实数 （ ）
A． B．1 C．2 D．【答案】C
【解析】易知 ， ，且 ，
所以直线 ，
它与两坐标轴的交点坐标分别为 和 ，
可得 ，又 ，
解得 .
故选：C
3．（2024·河南·模拟预测）函数 与直线 相切于点 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】设函数 与直线 相切于点 ，
直线 的斜率为 ，
，所以 ，所以 ．
故选：B．
4．若函数 的图像在点 处的切线恰为直线 ，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】函数 的导数为 ，
由题意可得，图像在点 处的切线恰为直线 ，
所以 ， ，解得 ， ，
即 ．
故选：D．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）过 且倾斜角为 的直线 与曲线 交于
两点，分别过 作曲线 的两条切线 ，若 交于 ，若直线 的倾斜角为 .则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】如图，设 ， ，
由于曲线 ，则 ，
所以在A点的切线方程为 ，
同理在B点的切线方程为 ，
由于N点是两切线的交点，所以 ，
则 为 ，且过 ，
且 ，设 ，
，
当且仅当 时“ ”成立，
故选：C.
6．（2024·江西南昌·一模）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 在第一象限部分上一点，若
，则抛物线 在点A处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
由 ，得 ，所以抛物线的准线方程 ，由抛物线的定义可得 ，得 代入 ，得 ，
又A是抛物线 在第一象限部分上一点，所以
由 ，得 ，所以 ，
所以抛物线 在点A处的切线方程斜率为 ，
所以抛物线 在点A处的切线方程为 ，即 ，
故选：A
7．（2024·陕西安康·模拟预测）若直线 是曲线 的一条切线，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设切点坐标为 ，则切点在直线上，也在曲线上，
所以
又切线斜率 且 ，
所以 ，代入可得 ，
故选： .
8．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点坐标为 ，由于 ，因此切线方程为 ，
又切线过点 ，则 ， ，
设 ，函数定义域是 ，
则直线 与曲线 有两个不同的交点， ，
当 时， 恒成立， 在定义域内单调递增，不合题意；
当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，所以 ，结合图象可知 ，即 .
故选：A.
9．（多选题）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线 相切的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】选项A中，若 与 相切，设切点为 ，
易知 ，则 ，解得 ，即切点为 ，切线为 ，A正确；
选项B中，若 与 相切，设切点为 ，
易知 ，则 ，解得 ，切点为 ，切线方程为 ，即B错误；
选项C中，若 与 相切，设切点为 ，
易知 ，则 ，解得 ，
当 时，切点为 ，切线方程为 ，C正确；
选项D中，易知 与 有三个交点， ，
又 ，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以 不是切线，D错误.
故选：AC
10．（多选题）（2024·河南郑州·模拟预测）过点 作直线 l与函数 的图象相切，则
（ ）
A．若P与原点重合，则l方程为
B．若l与直线 垂直，则
C．若点P在 的图象上，则符合条件的l只有1条
D．若符合条件的l有3条，则
【答案】AD
【 解 析 】 设 l 与 的 图 象 切 于 点 ， 当 点 与 点 不 重 合 时 ， 切 线 斜 率， 整 理 得 ： ， 当 点 与 点 重 合 时 ， 切 线 斜 率
，
对于A，若P与原点重合，点 在函数 图象上，则 ，此时 ， ，l即x轴，方
程为 ，A正确；
对于B，若l与直线 垂直，则 ， ，
当点 为切点时， 或 ，
当点 不为切点时，满足 ，整理得 ，
当 时 ， ，当 时 ， ，B错误；
对 于 C ， 当 点 P 在 的 图 象 上 时 ， ， ， 则 ， 即
，所以 或 ，故 有两解，符合条件的直线有两条， C错误；
对于 D，若符合条件的 l 有 3 条，则点 不在 图象上，设 l 与 的图象切于点
，则有 ，
设 ， ，
由 得 或 ，符合条件的l有3条， 有3个零点，
则 ，所以 ， ， ，D正确.
故选：AD．
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若过原点可作函数的三条切线，则
（ ）
A． 恰有2个异号极值点 B．若 ，则
C． 恰有2个异号零点 D．若 ，则
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 在 上单调递增，故AC错误；
设过原点的函数的切线的切点为 ，则切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，
即 ，因为过原点 ，所以 ，
化简得 ，即方程有3个不等实数根，
令 ，则 ，
当 时， 或 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 极大值 ，极小值为 ，如图，
所以 与 相交有三个交点需满足 ，故B正确；
同理，当 时，可知 极大值 ，极小值为 ，如图，
可得 时， 与 相交有三个交点，故D正确.
故选：BD
12．（多选题）（2024·湖南·一模）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐
标为 的点处作 的切线，切线与 轴交点的横坐标为 ；用 代替 重复上面的过程得到 ；一直
下去，得到数列 ，叫作牛顿数列.若函数 且 ，数列 的前
项和为 ，则下列说法正确的是（ ）A． B．数列 是递减数列
C．数列 是等比数列 D．
【答案】ACD
【解析】 ，所以 在点 处的切线方程为： ，
令 0，得 ，故A正确.
，故 ，即 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，
所以 ，D正确.
故选；ACD
13．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线 是曲线 和 的公切线，则实数a=
．
【答案】3
【解析】设直线l与曲线 相切于点 ，
由 ，得 ，因为l与曲线 相切，
所以 消去 ，得 ，解得 ．
设l与曲线 相切于点 ，由 ，得 ，即 ，
因为 是l与曲线 的公共点，
所以 消去 ，得 ，即 ，解得 ．
故答案为：3.14．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点 仅可作曲线 的两条切线，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设切点为： ，
，
所以切线方程为 ，
又因为切线过点 ，
所以 ，
即 ，
令 ，
则 ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
，
当 时，则 ，且 ；
当 时，则 ，
所以 的图象如图所示：
因为过点 仅可作曲线 的两条切线，
所以 与 的图象有两个交点，
则 或 .
故答案为： .
15．（2024·安徽·三模）已知曲线 与曲线 在第一象限交于点A，记两条曲线在点A处的切线的倾斜角分别为 ，则 ．
【答案】 /
【解析】 ，解得 ， ，故 ，
设曲线 在点A处的切线为 ，即 ，
曲线 在点A处的切线为 ，
由 可得其圆心为 ，半径为 ，
则有 ，即 ，解得 ，
对 ，有 ，则 ，则 ，
即 ， ，
则 .
故答案为： .
16．（2024·福建宁德·三模）已知曲线 和圆 有2个交点，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【解析】当 时，由图象的变换可得， 与 一定有两个交点，
当 ， 过点 ，
求导可得 ， ，所以 在 处的切线方程为 ，此时 的圆心到直线 的距离 ，
所以直线与圆只有一个公共点 ，
此时 与 只有一个交点，
当 向左移动时，即 时， 与 一定没有交点，
当 时， 与 一定有两个交点，
故曲线 与 有两个交点时 的取值范围为 .
故答案为： .
17．（2024·河南·二模）若两个函数 和 存在过点 的公切线，设切点
坐标分别为 ，则 .
【答案】9
【解析】 ，设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
切线方程为 ，将 代入得 ，
即 .
，设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
切线方程为 ，将 代入得 ，
即 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
，
所以 .
故答案为：91．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切
线，则 .
【答案】
【解析】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
2．（2024年北京高考数学真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
【解析】（1） ，
当 时， ；当 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增.
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .（2） ，切线 的斜率为 ，
则切线方程为 ，
将 代入则 ，
即 ，则 ， ，
令 ，
假设 过 ，则 在 存在零点.
， 在 上单调递增， ，
在 无零点， 与假设矛盾，故直线 不过 .
（3） 时， .
，设 与 轴交点 为 ，
时，若 ，则此时 与 必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知 .所以 ，
则切线 的方程为 ，
令 ，则 .
，则 ，
，记 ，
满足条件的 有几个即 有几个零点.
，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；因为 ，
，
所以由零点存在性定理及 的单调性， 在 上必有一个零点，在 上必有一个零点，
综上所述， 有两个零点，即满足 的 有两个.
3．（2021年全国新高考I卷数学试题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .故选：D.
4．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若函数 的图象上存在
两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具有 性质．下列函数中具有 性质的
是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；
当y＝lnx时，y′ 0恒成立，不满足条件；
当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；
当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选A．
考点：导数及其性质.
5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））设函数 ．
若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出切线的
斜率 ，进而求得切线方程.
因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，化简可得 ，故选D.
6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线 在点 处的切线方
程为 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
，
将 代入 得 ，故选D．
7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l
的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数 的图像在点 处的切
线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .故选：B.
9．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ，
．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即
；故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：
所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.[方法三]：
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即
；
故答案为： ； .
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 ，函数 的图象在点
和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是
．
【答案】
【解析】由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
11．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线 在点 处的切线方程为 ．【答案】
【解析】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
12．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，
则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
【答案】4.
【解析】当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点Q即为点P到直线 的距离最小.
由 ，得 ， ，
即切点 ，
则切点Q到直线 的距离为 ，
故答案为 ．
13．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处
的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【答案】 .
【解析】设点 ，则 .又 ，
当 时， ，
点A在曲线 上的切线为 ，
即 ，
代入点 ，得 ，
即 ，
考查函数 ，当 时， ，当 时， ，
且 ，当 时， 单调递增，注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ，
故点 的坐标为 .
14．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线 在点 处的切线方程
为 ．
【答案】 .
【解析】
所以，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
15．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线 的一条切线的斜率为2，
则该切线的方程为 .
【答案】
【解析】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
