文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 14 讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精
讲）
题型目录一览
①导数的定义
②导数的运算
③导数中的切线问题Ⅰ-求在曲线上一点的切线方程
④导数中的切线问题Ⅱ-求过一点的切线方程
⑤导数中的切线问题Ⅲ-求参数的值(范围)
★【文末附录-导数的概念及其意义和导数的运算思维导图】
一、知识点梳理
一、导数的概念和几何性质
1.概念 函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在
处的导数,记作 或 ．
注：增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之间距离要多近有
多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
2.几何意义 函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线的
斜率．
二、导数的运算
1.求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（c为常数）2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
3.复合函数求导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间关系为 ：
【常用结论】
1.在点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
2.过点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几条切
线）
二、题型分类精讲题型 一 导数的定义
策略方法 对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数
定义直接写出.
【典例1】已知函数 在 处的导数 ，则 （ ）．
A． B．1 C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设 为 上的可导函数，且 ，则曲线
在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
2．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数 的导函数是 ，若 ，则
（ ）
A． B．1 C．2 D．4
二、填空题
3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ，则 ______．
题型二 导数的运算
策略方法 对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转
化为基本函数求导问题.【典例1】求下列函数的导数．
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；
(5) （ 为常数）；
(6) .
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；
3．（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
题型三 导数中的切线问题Ⅰ - 求在曲线上一点的切线方程
策略方法 已知切点A(x ，f (x ))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x )，再根据y－f
0 0 0
(x )＝f ′(x )(x－x )求解．
0 0 0
【典例1】设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 （ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数 ，则 的图象在 处的切线方程为
（ ）
A． B．C． D．
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数 ，若 的图象在 处的切线与
坐标轴围成的三角形的面积为1，则 （ ）
A． B．2 C．±2 D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知 为实数，函数 是偶函数，则曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处
的切线互相垂直，则 ________．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在 处的切线在y轴上的截距为2，则
实数 ____________．
6．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数 ，则曲线 在点 处的切线
方程为__________.
7．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知函数 ，直线 ， 是 的两条切线， ，
相交于点 ，若 ，则 点横坐标的取值范围是________．
三、解答题
8．（2023·北京东城·高三专题练习）已知函数 ，其中 .若曲线 在
处的切线过点 ，求 的值；题型四 导数中的切线问题Ⅱ - 求过一点的切线方程
策略方法
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值
【典例1】过原点且与函数 图像相切的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线 为曲线 的一条切线，则实数k的值是
（ ）
A．e B． C． D．
2．（2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）过坐标原点作曲线 的切线，则切线有（ ）条
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切点的横坐标为___________.6．（2023秋·广东梅州·高三平远县平远中学校考期末）已知直线 与曲线 相切，则
_________.
7．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）过点 作曲线 的两条切线，则这两条切线的斜率之
和为______.
8．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为
______.
题型五 导数中的切线问题Ⅲ - 求参数的值 ( 范围 )
策略方法 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等
式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【典例1】已知函数 在点 处的切线为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 在点P处的切线与直线 垂直，则点P
的横坐标为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 与 的图象在 处有相同的切
线，则 （ ）
A．0 B． C．1 D． 或13．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若点P是函数 任意一点，则点P到直
线 的最小距离为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）动直线 分别与直线 ，曲线 相交于 两点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的取
值范围是（）
A． B． C． D． ，
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 在点 处的切线与 平行，曲线
在点 处的切线与直线 垂直，则 __________．
7．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知直线 与曲线 相切，则 的最小值
为____________．【附录-导数的概念及其意义和导数的运算思维导图】
