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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 14 讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精
讲）
①导数的定义
②导数的运算
③求在曲线上一点的切线方程
④求过一点的切线方程
⑤切线问题中求参数的值(范围)
一、必备知识整合
一、导数的概念和几何性质
1.概念 函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在
处的导数,记作 或 ．
注：增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之间距离要多近有
多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
2.几何意义 函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线的
斜率．
二、导数的运算
1.求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（c为常数）2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
3.复合函数求导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间关系为 ：
1.在点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
2.过点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几条切
线）
二、考点分类精讲【题型一 导数的定义】
求函数y=f (x) 在x=x 处导数的步骤
0
（1）求函数的增量Δy=f (x +Δx)−f (x )；
0 0
Δy f (x +Δx)−f (x )
（2）求平均变化率 = 0 0 ；
Δx Δx
lim Δy
（3）得导数 f ′(x )= Δx→0 ，简记作：一差、二比、三极限.
0 Δx
【典例1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知 是定义在 上的可导函数，若
，则 .
【答案】
【分析】借助导数定义计算即可得.
【详解】 ．
故答案为： ．
一、单选题
1．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由题意，根据求导公式和运算法则可得 ，结合导数的定义即可求解.
【详解】由题意知， ，则 .所以 .
故选：B
2．（2024高三·全国·专题练习）设 为R上的可导函数，且 ，则 ＝
（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】B
【分析】由导数的定义求出结果即可.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B．
3．（2023·上海青浦·一模）若函数 在 处的导数等于 ，则 的值
为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据导数的定义式化简求值.
【详解】由已知得
，
故选：C.
【题型二 导数的运算】【典例1】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导函数．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算.
【详解】（1）
；
（2） ；（3） ．
一、多选题
1．（2024高三·全国·专题练习）下列求导运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用导数的运算公式计算即可.
【详解】 ，故A不正确；
，故B不正确；
，故C不正确；
，正确．
故选:ABC．
2．（22-23高二下·甘肃天水·期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由求导运算法则 ，以及常见函数的导数公式即可求解.
【详解】对于A选项：因为 是常数，所以 ，故A选项正确.
对于B选项：由于 ，故B选项错误.对于C选项：由于 ，，故C选项正确.
对于D选项：由于 ，故D选项错误.
故选：AC.
3．（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AD
【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果.
【详解】对于 ， 的导数为 ，故选项 正确；
对于 ， 的导数为 ，故选项 错误；
对于 ， 的导数为 ，故选项 错误；
对于 ， 的导数为 ，故选项 正确，
故选：AD.
二、解答题
4．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ．
(5)
(6)
(7)
(8)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】根据导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数的导数公式求解，另外（6）还用了切换
弦，（7）还用了半角公式.
【详解】（1）
（2）（3）
（4）
（5） ．
（6） ，则
（7） ，则 ．
（8）
5．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用复合函数求导公式计算即可.
【详解】（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ．
【题型三 求在曲线上一点的切线方程】
已知切点A(x ，f (x ))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x )，再根据y－f (x )＝f ′(x )(x
0 0 0 0 0
－x )求解．
0
【典例1】（2024·贵州遵义·三模）已知 ，则 在 处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】求出切点处的导数值，再利用点斜式写出切线方程即可.
【详解】由题意得， ，
所以 ，
故切线为 ，即 .
故答案为： .
一、单选题
1．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】先对函数 求导，得到 ，再结合 ，即可得解．
【详解】 ，则 ，又 ，
则所求切线方程为 ，即 ．
故选：A．
2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）函数 在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的导数，把 代入即可得到切线的斜率，然后根据 与斜率写出切线方程即可.
【详解】由题可得： ，所以切线的斜率 ，根据点斜式，可得切线方程为：
故选：A
3．（2024·河南开封·二模）已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以所求切线方程为 ，即 .
故选：D
4．（2024·湖南·模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由题意， 的导函数 ，故曲线 在点 处的切线斜率为 ，
则切线方程 ，即 ，
故选：B.
5．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在
处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质求出当 时函数 的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解
即可.
【详解】当 时， ，函数 是偶函数，
当 时， ， ，
当 时， ，
，即曲线 在 处切线的斜率为-5.
而 ，所以曲线 在 处的切线方程为： .
所求即为 .
故选：A.
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A【分析】求出 的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程 ，再设与曲线 相切
的切点为 ，求得函数 的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得 的值，
进而得到 的值.
【详解】由曲线 ，得 ，
在 处的切线斜率为 ，当 时， ，
曲线 在 处的 ，即 ，
曲线 ，导数为 ，
设切点为 ，则 ，解得 ，切点在切线 上，
即有 ，得 .
故选：A.
【题型四 求过一点的切线方程】
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值
【典例1】（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线 ，过点 作曲线的切线，则切线
方程 ．
【答案】
【分析】设切点坐标为 ，求出切线方程，代入点 求出 ，从而可得切线方程.
【详解】设切点坐标为 ，由 ，得 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
因为切线过点 ，所以 ，解得 .
所以切线方程为 .
故答案为: .
一、填空题
1．（2024·山西吕梁·二模）若曲线 在点 处的切线过原点 ，则 .
【答案】
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入 求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 在点 处的切线方程为 .
又切线过原点 ，则 ，所以 .
故答案为：
2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）过原点的直线 与 相切，则切点的坐标是 .
【答案】
【分析】设切点坐标为 ，根据导数的几何意义求出切线方程，将 代入，即可求得答案.
【详解】由题意设切点坐标为 ，
由 ，得 ，故直线 的斜率为 ，则直线l的方程为 ，
将 代入，得 ，
则切点的坐标为 ，
故答案为：
3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线 为曲线 过点 的切线. 则直线 的方程为 .
【答案】 或
【分析】设切点为 ，由导数的几何意义求得切线方程，代入 点坐标求出 ，再回代得切线方程．
【详解】∵ ，∴ .
设直线 与曲线 相切于点 ，则直线 的斜率为 ，
∴过点 的切线方程为 ，
即 ，又点 在切线上，
∴ ，整理得 ，
∴ ，
解得 或 ；
∴所求的切线方程为 或 .
故答案为： 或 .
4．（23-24高三下·山东德州·开学考试）过点 与曲线 相切的直线与 轴的交点坐标
为 .【答案】
【分析】设切点坐标 ，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出 ，即可求出直线与 轴
的交点坐标.
【详解】设切点坐标为 ，
由 ，得 ，
则过切点的切线方程为 ，
把点 代入切线方程得， ，即 ，
因为 ，而 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 只有一个解，所以 ，
所以切线方程的斜率为 ，
所以切线方程为 ，令 ，解得 .
故过点 与曲线 相切的直线与 轴的交点坐标为 .
故答案为： .
5．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线 过原点的切线方程为 .
【答案】
【分析】设切点，求导，即可根据点斜式求解切线方程，进而根据直线过原点即可求解切点坐标，进而可
求解.
【详解】由 得
设切点为 ，则切线方程为由于切线经过原点，所以 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
故答案为：
【题型五 切线问题中求参数的值(范围)】
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等
式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【典例1】（23-24高三上·湖北武汉·期中）若直线 与曲线 相切，则
.
【答案】1
【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.
【详解】因为 ，则 ，
设切点坐标为 ，则 ，解得 .
故答案为：1.
一、单选题1．（2024·浙江绍兴·二模）函数 在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，依题意可得 ，即可得解．
【详解】 ，则 ，
因为函数 在点 处的切线与直线 平行，
所以 ，解得 ，
故选：A．
2．（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，
则 （ ）
A． B． C．-2 D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】 ，由题意可知，切线的斜率 ，则
，解得： ， ，
所以 .
故选：A
3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数
a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】求导 ， 与直线 垂直，求出 的值.【详解】由 ，求导 ，
则 在点 处的切线的斜率为 ，
而 在点 处的切线与直线 垂直,
则 ，故 .
故选：D
4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线 的一条切线方程为 ，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据切线的斜率的几何意义可知 ，求出切点，代入切线即可求出 .
【详解】设切点为
因为切线 ，
所以 ，
解得 （舍去）
代入曲线 得 ，
所以切点为
代入切线方程可得 ，解得 .
故选：D.
5．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数 的图象与 轴相切，则实数 的所有
可能的值之和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】设切点为 ，由题意可得 ，解方程即可得解.【详解】设切点为 ，
由 ，得 ，
由题意可得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以实数 的所有可能的值之和为 .
故选：C.
二、填空题
6．（2024·四川遂宁·三模）曲线 在点 处切线的斜率为3，则实数 ．
【答案】1
【分析】根据导数几何意义，求出在 处的导数即可得解.
【详解】 的导数为 ，
可得曲线 在点 处切线的斜率为 ，
解得 .
故答案为：1.
7．（23-24高二下·河南·阶段练习）过点 可作 的斜率为1的切线，则实数
.
【答案】2-2ln2
【分析】利用导数值为1求出切点横坐标，即可求出切线方程来解决问题.【详解】由 ，设切点的横坐标为 ，由 ，解得 ，
故 ，由过点 且斜率为1的切线方程：
，令 得： .，即 .
故答案为： .
8．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为
，则 ．
【答案】
【分析】利用导函数和切线斜率求出 的值，利用 解析式和切点坐标求出 的值，可得 .
【详解】函数 ， ，
若曲线 在 处的切线方程为 ，则切点坐标为 ，切线斜率 ，
则有 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： .
9．（22-23高三上·福建福州·阶段练习）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围为
．
【答案】 或
【分析】先利用导数求曲线 过坐标原点的切线方程，再列出关于 的不等式，进而求得 的取
值范围.
【详解】由 得 ，设切点坐标为 ，
则切线斜率 ，
切线方程为 ，又因为切线过坐标原点，所以 ，整理得 ，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，
所以 ，解得 或 ，
故答案为： 或
