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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 14 讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精
讲）
①导数的定义
②导数的运算
③求在曲线上一点的切线方程
④求过一点的切线方程
⑤切线问题中求参数的值(范围)
一、必备知识整合
一、导数的概念和几何性质
1.概念 函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在
处的导数,记作 或 ．
注：增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之间距离要多近有
多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
2.几何意义 函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线的
斜率．
二、导数的运算
1.求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（c为常数）2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
3.复合函数求导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间关系为 ：
1.在点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
2.过点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几条切
线）
二、考点分类精讲【题型一 导数的定义】
求函数y=f (x) 在x=x 处导数的步骤
0
（1）求函数的增量 ；
Δy=f (x +Δx)−f (x )
0 0
（2）求平均变化率Δy f (x +Δx)−f (x )；
= 0 0
Δx Δx
lim Δy
（3）得导数 ，简记作：一差、二比、三极限.
f ′(x )= Δx→0
0 Δx
【典例1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知 是定义在 上的可导函数，若
，则 .
一、单选题
1．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2024高三·全国·专题练习）设 为R上的可导函数，且 ，则 ＝
（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
3．（2023·上海青浦·一模）若函数 在 处的导数等于 ，则 的值
为（ ）.
A． B． C． D．
【题型二 导数的运算】【典例1】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导函数．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
一、多选题
1．（2024高三·全国·专题练习）下列求导运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·甘肃天水·期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C．若 ，则
D．若 ，则
二、解答题
4．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
(5)
(6)
(7)
(8)
5．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)【题型三 求在曲线上一点的切线方程】
已知切点A(x ，f (x ))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x )，再根据y－f (x )＝f ′(x )(x
0 0 0 0 0
－x )求解．
0
【典例1】（2024·贵州遵义·三模）已知 ，则 在 处的切线方程是 ．
一、单选题
1．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）函数 在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南开封·二模）已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖南·模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在
处的切线方程为（ ）A． B． C． D．
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【题型四 求过一点的切线方程】
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值
【典例1】（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线 ，过点 作曲线的切线，则切线
方程 ．
一、填空题
1．（2024·山西吕梁·二模）若曲线 在点 处的切线过原点 ，则 .
2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）过原点的直线 与 相切，则切点的坐标是 .
3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线 为曲线 过点 的切线. 则直线 的方程为 .
4．（23-24高三下·山东德州·开学考试）过点 与曲线 相切的直线与 轴的交点坐标
为 .
5．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线 过原点的切线方程为 .【题型五 切线问题中求参数的值(范围)】
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等
式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【典例1】（23-24高三上·湖北武汉·期中）若直线 与曲线 相切，则
.
一、单选题
1．（2024·浙江绍兴·二模）函数 在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，
则 （ ）
A． B． C．-2 D．
3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数
a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线 的一条切线方程为 ，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．25．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数 的图象与 轴相切，则实数 的所有
可能的值之和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
二、填空题
6．（2024·四川遂宁·三模）曲线 在点 处切线的斜率为3，则实数 ．
7．（23-24高二下·河南·阶段练习）过点 可作 的斜率为1的切线，则实数
.
8．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为
，则 ．
9．（22-23高三上·福建福州·阶段练习）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围为
．
