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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 14 讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精
讲）
题型目录一览
①导数的定义
②导数的运算
③导数中的切线问题Ⅰ-求在曲线上一点的切线方程
④导数中的切线问题Ⅱ-求过一点的切线方程
⑤导数中的切线问题Ⅲ-求参数的值(范围)
★【文末附录-导数的概念及其意义和导数的运算思维导图】
一、知识点梳理
一、导数的概念和几何性质
1.概念 函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在
处的导数,记作 或 ．
注：增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之间距离要多近有
多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
2.几何意义 函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线的
斜率．
二、导数的运算
1.求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（c为常数）2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
3.复合函数求导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间关系为 ：
【常用结论】
1.在点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
2.过点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几条切
线）
二、题型分类精讲题型 一 导数的定义
策略方法 对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数
定义直接写出.
【典例1】已知函数 在 处的导数 ，则 （ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意由导数的定义即可得答案．
【详解】根据题意，函数 在 处的导数为 ，
而 ，
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设 为 上的可导函数，且 ，则曲线
在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义，计算得到答案.
【详解】 .
故曲线 在点 处的切线斜率为 .
故选：C
2．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数 的导函数是 ，若 ，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据导数定义，将增量化成 即可得到.
【详解】因为
所以
故选：B
二、填空题
3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ，则 ______．
【答案】
【分析】求出导函数，建立 与 的方程，求出 ，利用极限的运算及导数的定义求解即可.
【详解】当 时， ，所以 ，
又 ，
则 ，解得 ，
由定义可知， .
故答案为：
题型二 导数的运算
策略方法 对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.
【典例1】求下列函数的导数．
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；
(5) （ 为常数）；
(6) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据导数的运算法则即可求得导数.
【详解】（1）由已知 ，所以
（2）由已知 ，所以（3）由已知 ，所以
（4）由已知
所以
（5）由已知 ，所以
（6）由已知 ，令 ， ，故
所以
所以
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
.
【分析】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出（1）（3）（4）的导数；利用二倍角公式化简
（2）中的函数解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.【详解】（1）因为 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ；
（3）因为 ，所以 ；
（4）因为 ，所以 .
2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
（3）因为 ，所以
（4）因为 ，所以
3．（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据复合函数求导公式及运算法则，结合基本函数求导公式求解即得.
【详解】（1）因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，；
（2）因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
；
（3）因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得， ，
又因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
所以
；
（4）函数 可化为
因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得， ，
所以；
（5）因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得， ，
又因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
所以
；
（6）函数 可化为 ，
因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得， ，
所以.
题型三 导数中的切线问题Ⅰ - 求在曲线上一点的切线方程
策略方法 已知切点A(x ，f (x ))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x )，再根据y－f
0 0 0
(x )＝f ′(x )(x－x )求解．
0 0 0
【典例1】设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数求解 ，由两直线平行斜率相等即可求解.
【详解】由 得 ，故 ，
由于点 处的切线与直线 平行，且直线 的斜率为 ，所以
，
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数 ，则 的图象在 处的切线方程为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对函数进行求导，求出在 处的切线的斜率，代入 ，求出 ，利用点斜
式方程求出切线方程.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，
即 .
故选：B.
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数 ，若 的图象在 处的切线与
坐标轴围成的三角形的面积为1，则 （ ）
A． B．2 C．±2 D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，再根据面积列式可求出结
果.
【详解】因为 ，所以 .
因为 ，所以 的图象在 处的切线方程为 .
因为切线与坐标轴能围成三角形，所以 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，所以 .
故选：D3．（2023·全国·模拟预测）已知 为实数，函数 是偶函数，则曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由偶函数的定义确定参数 的值，再根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.
【详解】因为 是偶函数，
所以 ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
故选：A.
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处
的切线互相垂直，则 ________．
【答案】
【分析】先利用导数的几何意义求出曲线 在点 处的切线斜率，进而可对函数 求导，
然后根据条件列方程求 .
【详解】由曲线 得 ， ，曲线 在点 处的切线斜率为 ，
曲线 得 ，
由已知可得 ，
解得 .
故答案为： .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在 处的切线在y轴上的截距为2，则
实数 ____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】函数 ，求导得： ， ，而 ，
因此函数 的图象在 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，于是 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
6．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数 ，则曲线 在点 处的切线
方程为__________.
【答案】
【分析】根据题意，求导可得 ，再由直线的点斜式即可得到结果.
【详解】由题意可得， ，则 ，
由直线的点斜式可得 ，化简可得 .
故答案为:7．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知函数 ，直线 ， 是 的两条切线， ，
相交于点 ，若 ，则 点横坐标的取值范围是________．
【答案】
【分析】记 ， ，不妨设 与 相切于点 ， 与
相切于点 ，则 ， ，利用导数求出 ，再求出直线 ， 的方程，
解方程求出 点的横坐标，再利用基本不等式得解.
【详解】记 ， ，
由函数 图象可知，不妨设 与 相切于点 ， 与 相切于点 ，则
， ．
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 ，所以 ，
∵ 的方程为 ， 的方程为 ，
两方程相减得点 的横坐标 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 点横坐标的取值范围是 ．
故答案为：三、解答题
8．（2023·北京东城·高三专题练习）已知函数 ，其中 .若曲线 在
处的切线过点 ，求 的值；
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求得曲线 在 处的切线 ，从而得到 ，求解即
可.
【详解】 ，
，
, 即在 处的切线斜率为0，
又当 时, ，
在 处的切线方程为 ，
整理得： ，
曲线 在 处的切线过点 ，
，又 ，
题型四 导数中的切线问题Ⅱ - 求过一点的切线方程策略方法
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值
【典例1】过原点且与函数 图像相切的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.
【详解】因为 ，所以 ，
设所求切线的切点为 ，则 ，
由题知， ，解得 ，所以切线斜率为 ，
故所求切线方程为 .
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线 为曲线 的一条切线，则实数k的值是
（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值.
【详解】设直线 与曲线 相切于点 ，函数 的导函数为 ，则 ，解得 .
故选：C
2．（2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为 ，求得切线方程为 ，把原点 代入方程，得到
，解得 ，即可求得切线方程.
【详解】由函数 ，可得 ，
设切点坐标为 ，可得切线方程为 ，
把原点 代入方程，可得 ，即 ，
解得 ，所以切线方程为 ，即 .
故选：A.
3．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数 的图象，由图象观察得出结论．
【详解】作出函数 的图象，由图象可知点 在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切
线，
所以 ，故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）过坐标原点作曲线 的切线，则切线有（ ）条
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点为 ，利用导数的几何意义表示出切线方程，将 代入方程，即可求得答案.
【详解】由 可得 ，
过坐标原点作曲线 的切线，设切点为 ，则切线斜率为 ，
切线方程为 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即切线有1条.
故选：B.
二、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切点的横坐标为___________.
【答案】 或
【分析】设切点为 ，利用导数的几何意义表示出切线方程，将 代入，即可求得本题答案.
【详解】由 可得 ，设切点坐标为 ，所以切线斜率 ，又因为 ，
则切线方程为 ，
把 代入并整理可得 ，解得 或 .
故答案为： 或
6．（2023秋·广东梅州·高三平远县平远中学校考期末）已知直线 与曲线 相切，则
_________.
【答案】
【分析】已知曲线的切线过某定点，根据导数的几何意义求直线的斜率.
【详解】设切点为 ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ .
故答案为： .
7．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）过点 作曲线 的两条切线，则这两条切线的斜率之
和为______.
【答案】
【分析】考虑 与 时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将 代入，得到相应的斜率，相
加得到答案.
【详解】 时， ，设切点 ，
则 ，
切线 过 ，
，，
时， ，切点 ，
，
切线 过 ，
，
，
故 .
故答案为： .
8．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为
______.
【答案】
【分析】先设切点为 ，利用导数与切线斜率的关系表示出切线方程，再根据切线经过坐标原点，将
坐标原点代入切线方程所得方程有2个不同的根，即可求解.
【详解】设切点坐标为： ， ，
所以切线斜率为 ，
即切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，
整理得 ，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，
所以 ，解得
故答案为：题型五 导数中的切线问题Ⅲ - 求参数的值 ( 范围 )
策略方法 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等
式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【典例1】已知函数 在点 处的切线为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求导函数，结合条件列出方程组，解之即得．
【详解】∵函数 ，
∴ ， ，
∵ 在点 处的切线为 ，
∴ ，
解得 ， ，
∴ ．
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 在点P处的切线与直线 垂直，则点P
的横坐标为（ ）A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设P点坐标，求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程，求得答案.
【详解】设 ，点 ，
则 ，
由在点P处的切线与直线 垂直可得 ，即 ，
又 ，∴ ,
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 与 的图象在 处有相同的切
线，则 （ ）
A．0 B． C．1 D． 或1
【答案】C
【分析】求出两函数的导函数，利用 求解即可.
【详解】点 在两函数图象上，
， ，
根据题意可得 ，
即 .
故选：C
3．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若点P是函数 任意一点，则点P到直
线 的最小距离为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】当过点P的切线和 平行时，点P到 的距离最小，令函数的导数等于
的斜率求出切点，再求切点到 的距离即可.
【详解】解：当过点P的切线和 平行时，点P到 的距离最小，
的斜率为1，
令 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ， ，
所以曲线上和直线 平行的切线的切点为 ，
到直线 的距离为最小距离 ，
故选：A.
【点睛】考查求曲线上一点到给定直线的距离的最小值求法，基础题.
4．（2023·全国·高三专题练习）动直线 分别与直线 ，曲线 相交于 两点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当点 处的切线和直线 平行时， 的值最小，结合导数和解析式求得点 ，再由点到
直线距离公式即可求解.
【详解】设点 是直线 上任意一点﹐点 是曲线 上任意一点，当点 处的切线和直线 平行时，这两条平行线间的距离 的值最小﹐
因为直线 的斜率等于 ，
曲线 的导数 ，令 ，
可得 或 (舍去)，故此时点 的坐标为 ， ，
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的取
值范围是（）
A． B． C． D． ，
【答案】C
【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得 ，结合目标式有 ，构造
并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】函数 的导数为 ，则 ，
∴切点为 ，代入 ，得 ，
、 为正实数，即 ，
∴ ，令 且 ，则 ，即 为增函数，
．
故选：C．
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 在点 处的切线与 平行，曲线
在点 处的切线与直线 垂直，则 __________．
【答案】【分析】设 ， .求出 ， ，根据导数的几何意义即可求出
的值，进而得出答案.
【详解】设 ， .
则 ， .
直线 的斜率为 ，由导数的几何意义可得， ，所以 .
又 ， .
直线 的斜率为 ，由导数的几何意义可得， ，所以 .
所以 .
故答案为： .
7．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知直线 与曲线 相切，则 的最小值
为____________．
【答案】3
【分析】设切点为 ，求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得
，进而得到 ，消去 ，得到 的二次函数，即可得到所求最小值．
【详解】解：直线 与曲线 相切，则
设切点为 ，所以 可得 所以 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为3．故答案为：3.
【附录-导数的概念及其意义和导数的运算思维导图】
