文档内容
第 14 讲 拓展七：极值点偏移问题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
高频考点二：含参数的极值点偏移问题
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
第三部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、极值点偏移的含义
函数 满足对于定义域内任意自变量 都有 ，则函数 关于直线 对
称．可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 为单峰函数，则 必为
的极值点，如图(1)所示，函数 图象的顶点的横坐标就是极值点 ；
①若 的两根为 ， ，则刚好满足 ，则极值点在两根的正中间，也就是极值点
没有偏移（如图1）．
若 ，则极值点偏移．若单峰函数 的极值点为 ，且函数 满足定义域 左
侧的任意自变量 都有 或 ，则函数 极值点 左右侧变化快慢
不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数 定义域内任意不同的实数 ， ，满足 ，则与极值点 必有确定的大小关系：若 ，则称为极值点左偏如图（2）；若
，则称为极值点右偏如图（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或
；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关系，进
而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令 .）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.4．对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
2.5指数不等式法在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
3、极值点偏移问题的类型
（1）加法型 （2）减法型 （3）平方型 （4）乘积型 （5）商型
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
①对称化构造法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的极值.
(2)若 ， ，证明： .
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ．
（1）当 有极值时，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若在 定义域内存在两实数 满足 且 ，证明： ．
3．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ．（1）若函数 在定义域内单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若函数 存在两个极值点 ，求证： ．
4．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高三阶段练习）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）设方程 的两个根分别为 ， ，求证： .
②对数均值不等式法
1．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））已知函数 ．
(1)若 ，当 时，试比较 与 的大小；
(2)若 的两个不同零点分别为 、 ，求证： ．
高频考点二：含参数的极值点偏移问题
①对称化构造法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x－alnx(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若方程 有2个不等的实根 ，证明： .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求 的零点个数；
(3)若 有两个零点 ， ，证明： ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，当 时， 恒
成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若正实数 ， 满足 ，证明： ．
4．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）已知 ， （其中 为自然对数的底数）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，函数 有两个零点 ， ，求证： .5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求a的取值范围；
（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为 ，证明：
②利用韦达定理代换法令
1．（2022·广东·珠海市第一中学高二阶段练习）函数 .
(1)若 恒成立，求a的值；
(2)若 有两个不相等的实数解 ， ，证明 .
2．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知函数 .
(1)若 在定义域上单调递增，求ab的最小值；
(2)当 ， ， 有两个不同的实数根 ， ，证明： .3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，正实数 ， 满足 ，证明： ．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， ，令 ．
(1) ，研究函数 的单调性；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
(3) ，正实数 ， 满足 ，证明： ．
5．（2022·江西·南昌十中高三阶段练习（理））已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；（2）若 ，证明： .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 ，设函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 ， ，且 恒成立，求正实数k的
最大值．
7．（2022·江苏江苏·高三期末）设f(x)＝xex－mx2，m∈R.
(1)设g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数y＝g(x)的单调性；
(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点 ， ，证明：x＋x＞2.
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③比值代换法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证 .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）.
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）若函数 恰有两个极值点 ， （ ），且 ，求 的最大值.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个相异零点 ，求证： .
4．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，
(1)求 的单调区间；
(2)设 ，求证： ，恒有 .
(3)若 ，函数 有两个零点 ，求证 .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 分别是函数 的两个零点，求证： .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 有两个极值点 ，求证：
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： ；
(3)设函数 的两个零点 ， ，求证： .
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 .
(1)若 在定义域内单调递增，求 的最小值.
(2)当 时，若 有两个极值点 ，求证： .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（ ）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点 ， ，试证明xx＞e2．
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3．（2022·全国·高三专题练习）设函数 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 存在三个极值点 ， ， ，且 ，求k的取值范围，并证明： .
4．（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知函数 ， ．(1)讨论 极值点的个数．
(2)若 有两个极值点 ， ，且 ，证明： ．
5．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数 .
（1）当 时，试判断函数 在 上的单调性；
（2）存在 ， ， ，求证： .
6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若函数f（x）有三个极值点 ， ， ，且 ．证明： ．7．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高三阶段练习）已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，求证：
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
1、已知函数 （ 为常数）有两个不同的零点 ， （ 为自然对数的底数）请证明：
.第三部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
2．（2020·天津·高考真题）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
