文档内容
专题 3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 导数的定义及其应用】..............................................................................................................................2
【题型2 求（复合）函数的导数的方法】..............................................................................................................3
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】..............................................................................................................5
【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】.............................................................................6
【题型5 已知切线（斜率）求参数】......................................................................................................................8
【题型6 切线的条数问题】......................................................................................................................................9
【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】...................................................................................11
【题型8 与切线有关的最值问题】........................................................................................................................13
1、导数的几何意义与运算
导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运
算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义
也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的斜率；
0 0 0
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y+f'(x)(x-x).
0 0 0
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x,f(x))(不出现y)；
0 0 0
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x)+f'(x)(x-x)；
0 0 0
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 复合函数的导数】
1.复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 = ，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
3.求复合函数导数的步骤第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【题型1 导数的定义及其应用】
lim f(−2+Δx)−f(−2−Δx)
【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若Δx→0 =−2，则f′(−2)=
Δx
（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.
lim f(−2+Δx)−f(−2−Δx) lim f(−2+Δx)−f(−2)+[f(−2)−f(−2−Δx)]
【解答过程】Δx→0 = Δx→0
Δx Δx
lim f(−2+Δx)−f(−2) lim f(−2)−f(−2−Δx)
= Δx→0 + Δx→0 =2f′ (−2)=−2，
Δx Δx
所以f′(−2)=−1.
故选：B.
lim f(x −2Δx)−f(x )
【变式1-1】（2022·高二课时练习）设f(x)是可导函数，且Δx→0 0 0 =2，则f′ (x )=
0
Δx
（ ）
1
A． B．-1 C．0 D．-2
2
【解题思路】根据导数定义，即可求出．
lim f(x −2Δx)−f(x ) lim f(x −2Δx)−f(x )
0 0 0 0
【解答过程】因为Δx→0 =−2Δx→0 =−2f′ (x )=2，
Δx −2Δx 0
所以f′ (x )=−1，
0
故选：B.
【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一
个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积V(cm3)与时间t(s)的函数关系是V(t)，则函数y=V(t)的图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数变化的快慢以及切线斜率的几何意义即可得结果.
【解答过程】通过几何体的特征可得，
容器下半部分，“先小后大”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越快；
容器上半部分，“先大后小”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越慢；
即函数图象的切线斜率先增大后减小，
故选：A.
【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数f (x)在点x 处附近有定义，且
0
f (x +Δx)−f (x )=aΔx+b(Δx) 2,a,b为常数，则（ ）
0 0
A．f′(x)=a B．f′(x)=b C．f′ (x )=a D．f′ (x )=b
0 0
【解题思路】由导函数的定义可得选项.【解答过程】解：因为f (x +Δx)−f (x )=aΔx+b(Δx) 2,a,b为常数，所以
0 0
(f (x +Δx)−f (x ))
f' (x )= lim 0 0 = lim (a+bΔx)=a，
0 Δx
Δx→0 Δx→0
故选：C.
【题型2 求（复合）函数的导数的方法】
1
【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数f(x)=log 的导函数为（ ）
2 x
ln2 1 ln2 1
A．f′ (x)= B．f′ (x)= C．f′ (x)=− D．f′ (x)=−
x xln2 x xln2
【解题思路】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.
1
【解答过程】依题知， >0，即x>0，
x
1
由求导公式：log′ x= ，
a xlna
复合函数的求导法则：设u=g(x)，则f′(g(x))=f′(u)⋅g′(x)
f′(x)= 1 × (1) ′ = x × ( − 1 ) =− 1
得： 1 x ln2 x2 xln2，
ln2
x
故选：D.
【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（ ）
A．(3x ) ′=3xln3 B．(x2lnx) ′ =2xlnx+x
C． (cosx) ′ = xsinx−cosx D． (2ln(x2+1)) ′ = 2xln2 ⋅2ln(x2+1)
x x2 x2+1
【解题思路】根据求导运算法则得到答案.
【解答过程】A选项，(3x
)
′=3xln3，A正确；
B选项，(x2lnx) ′ =2xlnx+x2 ⋅ 1 =2xlnx+x，B正确；
x(cosx) ′ −xsinx−cosx
C选项， = ，C错误；
x x2
D选项， (2ln(x2+1)) ′ =2ln(x2+1)ln2⋅ 1 ⋅(x2+1) ′ = 2xln2 ⋅2ln(x2+1) ，D正确.
x2+1 x2+1
故选：C.
π π
【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数f(x)=f′ ( )cos2x+sinx，则f (x)在x= 处的导数
4 4
为（ ）
√2 √2 √2 √2
A． B． C． D．−
6 4 2 2
π π
【解题思路】对f (x)求导，将x= 代入求f′( ) 即可.
4 4
π
【解答过程】由已知可得f′(x)=−2f′( )sin2x+cosx，
4
π π π π π √2
所以f′( )=−2f′( )sin( 2× )+cos ，所以f′( )=
4 4 4 4 4 6
故选：A.
(x+1) 2+sinx
【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数f (x)= ，其导函数记为
x2+1
f′(x)，则f (389)+f′(389)+f (−389)−f′(−389)=（ ）
A．2 B．−2 C．3 D．−3
2x+sinx
【解题思路】函数f (x)=1+ ，分析其性质可求f (389)+f (−389)的值 ，再求f′(x)并讨论其性质
x2+1
即可作答.
2x+sinx
【解答过程】由已知得f (x)=1+ ，
x2+1
(2+cosx)(x2+1)−(2x+sinx)⋅2x
则f′(x)= ，显然f′(x)为偶函数.
(x2+1) 2
2x+sinx
令g(x)=f (x)−1= ，显然g(x)为奇函数.
x2+1
又f′(x)为偶函数，所以f′(389)−f′(−389)=0，f (389)+f (−389)=g(389)+1+g(−389)+1=2，
所以f (389)+f′(389)+f (−389)−f′(−389)=2.故选：A.
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线f (x)=2xcosx在x=0处的切线为l，则l的斜率为（ ）
A．ln2 B．−ln2 C．1 D．−1
【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.
【解答过程】对f (x)=2xcosx求导得，f′(x)=(ln2)×2x ⋅cosx−2x ⋅sinx，由题意曲线f (x)=2xcosx
在 处的切线 的斜率为 .
x=0 l k =f'(0)=(ln2)×20 ⋅cos0−20 ⋅sin0=ln2
l
故选：A.
1
【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线y=kx+n与曲线y=lnx+ 相切，则k的取值范围是
x
（ ）
( 1] [1 )
A． −∞, B．[4,+∞) C．[−4,+∞) D． ,+∞
4 4
【解题思路】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【解答过程】
y′=
1
−
1
=−
(1
−
1) 2
+
1
≤
1，
x x2 x 2 4 4
1
由导数的几何意义可知，k≤ .
4
故选：A.
【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数 在 处的切线如图所示，则
y=f (x) P(1,f (1))
f (1)+f′(1)=（ ）
1 3 1
A．0 B． C． D．-
2 2 2【解题思路】根据切线过 和 ，利用斜率公式求得 ，写出切线方程，再令 ，求得
(2,0) (0,−1) f' (1) x=1
f(1)即可.
0+1 1
【解答过程】因为切线过(2,0)和(0,−1)，所以f' (1)= = ，
2−0 2
1
所以切线方程为y= x−1，
2
1
令x=1，则y=− ，
2
1
所以f(1)=− ，
2
1 1
所以f(1)+f' (1)=− + =0.
2 2
故选：A.
1
【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点P是函数f (x)=x3− f′(1)x+f′(2)图象上的任意一点，
2
点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A． [ 0, 3π ) B． [ 0, π ) ∪ [3π ,π ) C． (π , 3π ) D．
4 2 4 2 4
[ 0, π ) ∪ (3π ,π )
2 4
【解题思路】求出f′(x)，令x=1后可求f′(x)，再根据导数的取值范围可得tanα的范围，从而可得α的取值
范围.
1 1
【解答过程】∵f (x)=x3− f′(1)x+f′(2)，∴f′(x)=3x2− f′(1)，
2 2
1
∴f′(1)=3− f′(1)，∴f′(1)=2，∴f′(x)=3x2−1≥−1，
2
π 3π
∴tanα≥−1，∴0≤α< 或 ≤α<π.
2 4
故选：B.
【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】
【例4】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线y=x3+1在点(a,2)处的切线方程为（ ）
A．y=3x+3 B．y=3x−1
C．y=−3x−1 D．y=−3x−3【解题思路】应用导数的几何意义求解即可.
【解答过程】因为a3+1=2，所以a=1，即切点坐标为(1,2)，由f '(x)=3x2，所以f '(1)=3，所以
y=x3+1在点(1,2)处的切线方程为y−2=3(x−1)，即y=3x−1.
故选：B.
【变式4-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）过原点且与函数f (x)=ln(−x)图像相切的直线方程是
（ ）
2 1
A．y=−x B．y=− x C．y=− x D．y=−ex
e e
【解题思路】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.
1
【解答过程】因为f(x)=ln(−x)，所以f′(x)= ，
x
1
设所求切线的切点为(x ,f(x ))，则f′ (x )= ，
0 0 0 x
0
由题知， 1 f(x ) ln(−x )，解得 ，所以切线斜率为 1，
= 0 = 0 x =−e k=f′(−e)=−
x x x 0 e
0 0 0
1
故所求切线方程为y=− x.
e
故选：C.
1
【变式4-2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f (x)= −1，则曲线y=f (x)在点(−1,f (−1))处
ex
的切线方程为（ ）
A．ex+ y+1=0 B．ex−y+1=0
C．ex+ y−1=0 D．ex−y−1=0
【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.
1 1
【解答过程】由f (x)= −1，得f′(x)=− ，
ex ex
所以f′(−1)=−e，又f (−1)=e−1，
故曲线 在点 处的切线的方程为 ，即 .
y=f (x) (−1,f (−1)) y−(e−1)=−e(x+1) ex+ y+1=0
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x)=x3−x2+2x+1，则曲线y=f (x)过坐标原点的切
线方程为（ ）
A．y=x B．y=2x C．y=3x D．y=4x【解题思路】设切点为 ，利用导数写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出 的值，
(t,t3−t2+2t+1) t
即可得出所求切线的方程.
【解答过程】设切点为 ， ，则切线斜率为 ，
(t,t3−t2+2t+1) f′(x)=3x2−2x+2 f′(t)=3t2−2t+2
所以，所求切线方程为 ，
y−(t3−t2+2t+1)=(3t2−2t+2)(x−t)
将原点坐标代入所求切线方程可得 ，即 ，解得 ，
2t3−t2−1=0 (t−1)(2t2+t+1)=0 t=1
因此，所求切线方程为y=3x.
故选：C.
【题型5 已知切线（斜率）求参数】
a
【例5】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线y=x+ 相切，则实数a＝（ ）
x
1 4 3
A．0 B． C． D．
2 5 2
【解题思路】根据导数的几何意义可得¿，求解即可.
a a
【解答过程】由y=x+ 且x不为0，得y′=1−
x x2
设切点为 ，则 ，即 ，
(x ,y ) ¿ ¿
0 0
所以 x3 0 − x2 0 =x + x 0 ，可得 x =−2,a= 4.
x2+1 x2+1 0 x2+1 0 5
0 0 0
故选：C.
【变式5-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线y=xlnx+ae−x在点x=1处的切线方程为2x−y+b=0，
则b=（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
a
【解题思路】根据导数的几何意义可知切线斜率为1− =2，可得a=−e，计算出切点代入切线方程即可
e
得b=−3.
【解答过程】由题意可得y′=lnx+1−ae−x，
a
根据导数的几何意义可知，在点x=1处的切线斜率为1− =2，解得a=−e；
e所以切点为(1,−1)，代入切线方程可得2+1+b=0，解得b=−3.
故选：C.
【变式5-2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 的图象在点 处的切线方桯
f (x)=ax2+blnx (1,f (1))
为y=3x−1.则a−b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】对函数求导，再求出x=1处的切线方程，即可求得a,b；
b
【解答过程】解：函数f (x)=ax2+blnx，则f′(x)=2ax+ ，函数f (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方桯
x
为y=3x−1，
所以¿，解得¿，则a−b=3.
故选：C.
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线y=axex+lnx在点(1,ae)处的切线方程为y=3x+b，
则（ ）
A．a=e，b=−2 B．a=e，b=2
C．a=e−1，b=−2 D．a=e−1，b=2
【解题思路】求出函数的导函数，依题意可得 ，即可求出 ，再将切点代入切线方程，即可求出
y′| =3 a
x=1
b；
1
【解答过程】解：y′=aex+axex+ ，k= y′| =ae+ae+1=2ae+1=3，
x x=1
1
∴ae=1，∴a= =e−1．将(1,1)代入y=3x+b得3+b=1，∴b=−2．
e
故选：C．
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x)=−x3+3x，则过点(−3,−9)可作曲线y=f (x)的切线
的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】设切点为 ，根据导数的几何意义求得在切点 处的切线方程，再将
(a,−a3+3a) (a,−a3+3a)
(−3,−9)代入，求得a的值，即可得解.
【解答过程】解：因为f (x)=−x3+3x，所以f′(x)=−3x2+3，设切点为 ，
(a,−a3+3a)
所以在切点 处的切线方程为 ，
(a,−a3+3a) y=−3(a2−1)(x−a)−a3+3a
又 在切线上，所以 ，
(−3,−9) −9=−3(a2−1)(−3−a)−a3+3a
即 ，
−9=3(a2−1)⋅(3+a)−a3+3a
9
整理得2a3+9a2=0，解得a =0或a =− ，
1 2 2
所以过点(−3,−9)可作曲线y=f (x)的切线的条数为2.
故选：C．
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)ex有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1)∪(3,+∞) B．(−3,1)
C．(−∞,−3) D．(−∞,−3)∪(1,+∞)
【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】设切点为 (x ,(1−x )ex 0) ，由已知得 y′=−xex ，则切线斜率 k=−x ex 0 ，
0 0 0
切线方程为 ．
y−(1−x )ex 0=−x ex 0(x−x )
0 0 0
∵直线过点 ，∴ ，
A(a,0) −(1−x )ex 0=−x ex 0(a−x )
0 0 0
化简得 ．∵切线有2条，
x2−(a+1)x +1=0
0 0
∴ ，则 的取值范围是 ，
Δ=(a+1) 2−4>0 a (−∞,−3)∪(1,+∞)
故选：D.
x+1
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）若过点P(m,0)与曲线f(x)= 相切的直线只有2条，则m的取值
ex
范围是（ ）
A．(−∞,+∞) B．(−∞,−3)∪(1,+∞)
C．(−1,3) D．(−∞,−1)∪(3,+∞)
x
【解题思路】求得f′ (x)=− ，求得切线PQ方程,结合题意，转化为方程t2+(1−m)t+1=0有2个不等
ex实根，根据二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】设过点 的直线与曲线 x+1相切于点 ( t+1)，
P(m,0) f(x)= Q t,
ex et
t+1
x+1 x −0
由f(x)= ，可得f′ (x)=− ，所以切线PQ的斜率 t et ，
ex ex k=− =
et t−m
整理得 ，
t2+(1−m)t+1=0
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程 有2个不等实根，
t2+(1−m)t+1=0
则 ，解得 或 ，
Δ=(1−m) 2−4>0 m>3 m<−1
所以m的取值范围是(−∞,−1)∪(3,+∞)．
故选：D．
【变式6-3】（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数 为 上的奇函数，
f(x)=x3+(a−1)x2−x+b R
( 1 )
过点P − ,1 作曲线y=f(x)的切线，可作切线条数为（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【解题思路】根据奇函数确定 ，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算 ，
f(x)=x3−x x =−1
0
计算切线得到答案.
【解答过程】 ，故 ， ，
f(−x)=−x3+(a−1)x2+x+b=−f (x)=−x3−(a−1)x2+x−b a=1 b=0
， ，
f(x)=x3−x f′ (x)=3x2−1
y −1
f′ (x )=3x 2−1= 0
设切点为M(x ,y )，则 0 0 1，且f(x )=x3−x = y ，
0 0 x + 0 0 0 0
0 2
整理得到 ，解得 ， ，
(x +1)(4x2−x +1)=0 x =−1 f′ (−1)=2
0 0 0 0
故切线方程为y=2x+2，
故选：A.【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】
【例7】（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f (x)=ex与曲线
g(x)=lnx+2的公切线，则a+b等于（ ）
A．e+2 B．3 C．e+1 D．2
【解题思路】由f (x)求得切线方程，结合该切线也是g(x)的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求
得直线y=ax+b，从而求得正确答案.
【解答过程】设 是 图象上的一点， ，
(t,et) f (x) f′(x)=ex
所以 在点 处的切线方程为 ， ①，
f (x) (t,et) y−et=et(x−t) y=etx+(1−t)et
1
令g′(x)= =et，解得x=e−t，
x
，所以2−t−et ，
g(e−t)=lne−t+2=2−t =et
e−t−t
1−t=(1−t)et，所以t=0或t=1（此时①为y=ex，b=0，不符合题意，舍去），
所以t=0，此时①可化为y−1=1×(x−0),y=x+1，
所以a+b=1+1=2.
故选：D.
【变式7-1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）函数f (x)=x−alnx在区间(1,6)的图象上存在两条相
互垂直的切线，则a的取值范围（ ）
A．(1,6) B．(1,3) C．(3,4) D．(4,6)
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
a
【解答过程】设切点横坐标为x ，所作切线斜率为k，则k=f′ (x )=1− ，
0 0 x
0
a
当a≤0时，k=1− >0，故不存在k k =−1；
x 1 2
0
当a>0时，满足：¿.
所以：30，m<0，m=0三种情况讨论得g′(x)范围B，最后根据
f′ (x)
条件得A与B包含关系，计算得到答案.
1 [ 1]
【解答过程】由f (x)=2x−sinx，得f′(x)=2−cosx∈[1,3]，所以− ∈ −1,− =A，
2−cosx 3
由g(x)=mex+(m−2)x，得g′(x)=mex+m−2，设该导函数值域为B，
(1)当m>0时，导函数单调递增，g′(x)∈(m−2,+∞)，由题意得 ∀x ,∃x ,f′ (x )g′ (x )=−1∴g′ (x )=− 1 ∴A⊆B
1 2 1 2 2 f′ (x )
1
故m−2<−1，解得0− ，与m<0矛盾，舍去；
3
（3）当m=0时，不符合题意.
综上所述：m的取值范围为(0,1).
故选：D.
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（2023·广东广州·统考一模）若点P是曲线y=x2上一动点，则点P到直线y=2x−3的最小距离为
2√5
.
5
【解题思路】利用导数求出与直线y=2x−3平行且与曲线相切的直线l，切点到直线y=2x−3的距离即为
最小距离.
【解答过程】设 ， ，
f(x)=x2 f′ (x)=2x
设直线l与曲线y=x2相切，切点为P(x ,y )，且直线l与直线y=2x−3平行，
0 0
则有 ，得 ， ，即
f′ (x )=2 x =1 ∴y =1 P(1,1)
0 0 0
如图所示：
|2−1−3| 2√5
此时P到直线2x−y−3=0的距离最小，d= = .
√4+1 5
2√5
故答案为： .
5【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=alnx,g(x)=bex，若直线y=kx(k>0)与函数
1
f (x),g(x)的图象都相切，则4a+ 的最小值为 4e .
b
【解题思路】利用导数的几何意义可列出不等式组，得a=be2，再根据基本不等式即可求解.
【解答过程】根据题意作出草图如下：
设直线y=kx与函数f (x)=alnx,g(x)=bex图像分别相切与点P和Q，
a
P(x ,bex 1)，Q(x ,alnx )，f′(x)= ，g′(x)=bex，
1 2 2 x
则有¿和¿，
解得：x =e，x =1，
2 1
因为k>0，所以a>0,b>0，
a
∴ k=be= ，得a=be2，
e
1 1
4a+ =4be2+ ≥2√4e2=4e，
b b
1 1
当且仅当4be2= ，即b= 时取等号.
b 2e
1
即4a+ 的最小值为4e.
b
故答案为：4e.
x
【变式8-2】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数f (x)=lnx− +lnm+3(m>1)，若曲线y=f (x)的
n
m
一条切线为直线l：4x−y+3=0，则 的最小值为 −4e ．
n【解题思路】根据题意，设切点为 ，将切点分别代入函数 以及切线 上，且 ，得到方
(x ,y ) f (x) l f′ (x )=4
0 0 0
m 1 4
程化简可得 =e(
−
)，从而求得其最小值.
n x2 x
0 0
【解答过程】设切点为 ， ，则 在l： 上，即 ①，
(x ,y ) x >0 (x ,y ) 4x−y+3=0 y =4x +3
0 0 0 0 0 0 0
x 1 1
因为f (x)=lnx− +lnm+3(m>1)，则f′(x)= − ，
n x n
又因为直线
l
的斜率为4，则
f′ (x )=
1
−
1
=4
，所以1
=
1−4x
0
③，
0 x n n x
0 0
x
因为(x ,y )在f (x)=lnx− +lnm+3(m>1)上，
0 0 n
x
所以y =lnx − 0+lnm+3②，
0 0 n
x
由①②可得4x +3=lnx − 0+lnm+3④，
0 0 n
x
将③代入④中可得，4x +3=lnx − 0 +lnm+3，
0 0 x
0
1−4x
0
e
化简可得lnm+lnx −1=0，即m= ⑤，
0 x
0
e
m x 1 4
由③⑤可得， = 0 =e( − ) ，
n x x2 x
0 0 0
1−4x
0
1
令 =t,t>0，则y=t2−4t=(t−2) 2−4,t>0，
x
0
1
当t=2时，即x = 时，y =22−4×2=−4，
0 2 min
1 (m)
所以当x = 时， =e⋅(−4)=−4e，
0 2 n
min
故答案为:−4e.
1 π
【变式8-3】（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知函数f (x)= sin( 2x+ ) 的图像在
2 3π
(x ,f (x ))处的切线与在(x f (x ))处的切线相互垂直，那么|x −x |的最小值是 .
1 1 2 2 1 2 2
π π
【解题思路】求出f′(x)，根据导数的几何意义得到cos(2x + )⋅cos(2x + )=−1，根据余弦函数
1 3 2 3
π π π π
的最值可得cos(2x + )=1且cos(2x + )=−1，或cos(2x + )=−1且cos(2x + )=1，分两种
1 3 2 3 1 3 2 3
情况求出 ，然后求出其最小值即可.
|x −x |
1 2
1 π
【解答过程】因为f(x)= sin ( 2x+ ) ，
2 3
1 π π
所以f′ (x)= cos(2x+ )×2=cos(2x+ )，
2 3 3
依题意可得 ，
f′ (x )⋅f′ (x )=−1
1 2
π π
所以cos(2x + )⋅cos(2x + )=−1,
1 3 2 3
π π
所以cos(2x + )=1且cos(2x + )=−1，
1 3 2 3
π π
或cos(2x + )=−1且cos(2x + )=1，
1 3 2 3
π π
当cos(2x + )=1且cos(2x + )=−1时，
1 3 2 3
π π
2x + =2k π，k ∈Z，2x + =2k π+π，k ∈Z，
1 3 1 1 2 3 2 2
π
所以x −x =(k −k )π− ，k ∈Z，k ∈Z，
1 2 1 2 2 1 2
π
所以|x −x |=|(k −k )π− |，k ∈Z，k ∈Z，
1 2 1 2 2 1 2
π
所以当k −k =0或k −k =1时，|x −x |取得最小值 .
1 2 1 2 1 2 2
π π
当cos(2x + )=−1且cos(2x + )=1时，
1 3 2 3
π π
2x + =2k π+π，k ∈Z，2x + =2k π，k ∈Z，
1 3 1 1 2 3 2 2
π
所以x −x =(k −k )π+ ，k ∈Z，k ∈Z，
1 2 1 2 2 1 2π
所以|x −x |=|(k −k )π+ |，k ∈Z，k ∈Z，
1 2 1 2 2 1 2
π
所以当k −k =0或k −k =−1时，|x −x |取得最小值 .
1 2 1 2 1 2 2
π
综上所述：|x −x |的最小值是 .
1 2 2
π
故答案为： .
2
ex
(
e
)
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y= 在点 1, 处的切线方程为（ ）
x+1 2
e e e e e 3e
A．y= x B．y= x C．y= x+ D．y= x+
4 2 4 4 2 4
【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所
设方程即可求解.
ex ( e) e
【解答过程】设曲线y= 在点 1, 处的切线方程为y− =k(x−1)，
x+1 2 2
ex
因为y= ，
x+1
所以
ex(x+1)−ex xex
，
y′= =
(x+1) 2 (x+1) 2
e
所以k= y′| =
x=1 4
e e
所以y− = (x−1)
2 4
ex ( e) e e
所以曲线y= 在点 1, 处的切线方程为y= x+ .
x+1 2 4 4
故选：C.
2．（2021·全国·统考高考真题）若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．eb0，此时函数f (t)单调递增，
当t>a时，f′(t)<0，此时函数f (t)单调递减，
所以， ，
f (t) =f (a)=ea
max
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
y=b y=f (t) b0，当t>a+1时，f (t)<0，作出函数f (t)的图象如下图所示：
由图可知，当00 x<0 x>0 (x ,lnx )
0 0
的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x ，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
0
【解答过程】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而
x>0 x<0 x>0 (x ,lnx )
0 0
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x ，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
0
解： 因为y=ln|x|，
1 1
当x>0时y=lnx，设切点为(x ,lnx )，由y′= ，所以y′| = ，所以切线方程为
0 0 x x=x 0 x
0
1
y−lnx = (x−x )，
0 x 0
0
1 1 1
又切线过坐标原点，所以−lnx = (−x )，解得x =e，所以切线方程为y−1= (x−e)，即y= x；
0 x 0 0 e e
0
1 1
当x<0时y=ln(−x)，设切点为(x ,ln(−x ))，由y′= ，所以y′| = ，所以切线方程为
1 1 x x=x 1 x
1
1
y−ln(−x )= (x−x )，
1 x 1
1
1 1
又切线过坐标原点，所以−ln(−x )= (−x )，解得x =−e，所以切线方程为y−1= (x+e)，即
1 x 1 1 −e
1
1 1 1
y=− x；故答案为：y= x；y=− x
e e e
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
1 1
当x>0时y=lnx，设切点为(x ,lnx )，由y′= ，所以y′| = ，所以切线方程为
0 0 x x=x 0 x
0
1
y−lnx = (x−x )，
0 x 0
0
1 1 1
又切线过坐标原点，所以−lnx = (−x )，解得x =e，所以切线方程为y−1= (x−e)，即y= x；
0 x 0 0 e e
0因为y=ln|x|是偶函数，图象为：
1 1
所以当x<0时的切线，只需找到y= x关于y轴的对称直线y=− x即可.
e e
[方法三]：
因为y=ln|x|，
1 1
当x>0时y=lnx，设切点为(x ,lnx )，由y′= ，所以y′| = ，所以切线方程为
0 0 x x=x 0 x
0
1
y−lnx = (x−x )，
0 x 0
0
1 1 1
又切线过坐标原点，所以−lnx = (−x )，解得x =e，所以切线方程为y−1= (x−e)，即y= x；
0 x 0 0 e e
0
1 1
当x<0时y=ln(−x)，设切点为(x ,ln(−x ))，由y′= ，所以y′| = ，所以切线方程为
1 1 x x=x 1 x
1
1
y−ln(−x )= (x−x )，
1 x 1
1
1 1
又切线过坐标原点，所以−ln(−x )= (−x )，解得x =−e，所以切线方程为y−1= (x+e)，即
1 x 1 1 −e
1
1
y=− x；
e
1 1
故答案为：y= x；y=− x.
e e
2x−1
4．（2021·全国·统考高考真题）曲线y= 在点(−1,−3)处的切线方程为 5x−y+2=0 ．
x+2
【解题思路】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【解答过程】由题，当x=−1时，y=−3，故点在曲线上．求导得： 2(x+2)−(2x−1) 5 ，所以 ．
y′= = y′| =5
(x+2) 2 (x+2) 2 x=−1
故切线方程为5x−y+2=0．
故答案为：5x−y+2=0．
5．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x): f (x)=x4 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
f (x x )=f (x )f (x ) x∈(0,+∞) f′ (x)>0 f′ (x)
1 2 1 2
【解题思路】根据幂函数的性质可得所求的f (x).
【解答过程】取 ，则 ，满足①，
f (x)=x4 f (x x )=(x x ) 4=x4x4=f (x )f (x )
1 2 1 2 1 2 1 2
f′(x)=4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，
f′(x)=4x3的定义域为R，
又f′(−x)=−4x3=−f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）.
f (x)=x4 f (x)=x2n(n∈N∗)
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
y=(x+a)ex
(−∞,−4)∪(0,+∞) ．
【解题思路】设出切点横坐标x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x 的方
0 0
程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.
【解答过程】∵ ，∴ ，
y=(x+a)ex y′=(x+1+a)ex
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
(x ,y ) y =(x +a)ex 0 k=(x +1+a)ex 0
0 0 0 0 0
切线方程为： y−(x +a)ex 0=(x +1+a)ex 0(x−x ) ,
0 0 0
∵切线过原点，∴ −(x +a)ex 0=(x +1+a)ex 0(−x ) ,
0 0 0
整理得： ,
x2+ax −a=0
0 0
∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0,解得a<−4或a>0,
∴a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞),
故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞).7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点
f(x)=|ex−1|,x <0,x >0 f(x)
1 2
|AM|
A(x ,f(x ))和点B(x ,f(x ))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是
1 1 2 2 |BN|
(0,1) ．
【解题思路】结合导数的几何意义可得x +x =0，结合直线方程及两点间距离公式可得
1 2
， ，化简即可得解.
|AM|=√1+e2x 1⋅|x | |BN|=√1+e2x 2⋅|x |
1 2
【解答过程】由题意，f(x)=|ex−1|={
1−ex,x<0
，则f′ (x)={
−ex,x<0
，
ex−1,x≥0 ex,x>0
所以点 和点 ， ,
A(x ,1−ex 1) B(x ,ex 2−1) k =−ex 1,k =ex 2
1 2 AM BN
所以 ，
−ex 1⋅ex 2=−1,x +x =0
1 2
所以 ，
AM:y−1+ex 1=−ex 1(x−x ),M(0,ex 1x −ex 1+1)
1 1
所以 ，
|AM|=√x2+(ex 1x ) 2=√1+e2x 1⋅|x |
1 1 1
同理 ,
|BN|=√1+e2x 2⋅|x |
2
所以 |AM| = √1+e2x 1⋅|x 1 | = √1+e2x 1 = √ 1+e2x 1 =ex 1∈(0,1) .
|BN| √1+e2x 2⋅|x | 1+e2x 2 1+e−2x 1
2
故答案为：(0,1).
