文档内容
第 01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：导数的概念和几何意义.............................................................................................................................4
知识点2：导数的运算..................................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：导数的定义及变化率问题............................................................................................................................6
题型二：导数的运算....................................................................................................................................................9
题型三：在点P处的切线...........................................................................................................................................11
题型四：过点P的切线..............................................................................................................................................13
题型五：公切线问题..................................................................................................................................................15
题型六：已知切线或切点求参数问题......................................................................................................................19
题型七：切线的条数问题..........................................................................................................................................23
题型八：利用导数的几何意义求最值问题..............................................................................................................29
题型九：牛顿迭代法..................................................................................................................................................38
题型十：切线平行、垂直、重合问题......................................................................................................................42
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题..............................................................................................................47
题型十二：切线斜率的取值范围问题......................................................................................................................49
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................51
05课本典例·高考素材........................................................................................................................54
06易错分析·答题模板........................................................................................................................55
易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置..........................................................................................................55
答题模板：求曲线过点P的切线方程......................................................................................................................56考点要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷第6题，5分
2024年I卷第13题，5分
高考对本节内容的考查相对稳定，考查
（1）导数的定义
2023年甲卷第8题，5分 内容、频率、题型、难度均变化不大．重点
（2）导数的运算
2022年I卷第15题，5分 考查导数的计算、四则运算法则的应用和求
（3）导数的几何意义
2021年甲卷第13题，5分 切线方程为主．
2021年I卷第7题，5分
复习目标：
（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．知识点1：导数的概念和几何意义
1、概念
函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在
处的导数，记作 或 ．
知识点诠释：
①增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之间距离要多近有
多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
②当 时， 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即 ．
2、几何意义
函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线的斜率．
3、物理意义
函数 在点 处的导数 是物体在 时刻的瞬时速度 ，即 ； 在点 的导数
是物体在 时刻的瞬时加速度 ，即 ．
【诊断自测】设 为R上的可导函数，且 ，则 ＝（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 .故选：B．
知识点2：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（ 为常数）
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
3、复合函数求导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间关系为 ：
【诊断自测】求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ．
【解析】（1） .
（2）解题方法总结
1、在点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
2、过点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几
条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
3、高考常考的切线方程
（1） 是 的切线，同时 是 的切线，也是 和 的切线.
（2） 是 的切线， 是y=tan x的切线.
（3） 是 的切线， 是 的切线.
题型一：导数的定义及变化率问题
【典例1-1】若函数 在区间 内可导，且 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．0
【答案】B
【解析】由题意知，.
故选：B
【典例1-2】如图1，现有一个底面直径为 高为 的圆锥容器，以 的速度向该容器内注入
溶液，随着时间 （单位： ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，
则当 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设注入溶液的时间为 （单位： ）时，溶液的高为 ，
则 ，得 .
因为 ，
所以当 时， ，
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为 .
故选：C
【方法技巧】
利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解．
【变式1-1】（多选题）已知 ， 在R上连续且可导，且 ，下列关于导数与极限的说
法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD【解析】 ，故A错；
，故B对；
，由导数的定义知C对；
，故D对；
故选：BCD
【变式1-2】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整
改、设企业的污水排放量 与时间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内
企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正
确的命题是（ ）
A．在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在 ， ， 这三段时间中，在 的污水治理能力最强
【答案】D
【解析】设甲企业的污水排放量 与时间t的关系为 ，乙企业的污水排放量 与时间t的关系为
.
对于A选项，在 这段时间内，甲企业的污水治理能力 ，
乙企业的污水治理能力 .由图可知， ，
所以 ,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；对于B选项，由图可知， 在 时刻的切线斜率小于 在 时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在 时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；
对于C选项，在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；
对于D选项，由图可知，甲企业在 ， ， 这三段时间中，
在 时 的差值最大，所以在 时的污水治理能力最强，故D选项正确，
故选：D.
题型二：导数的运算
【典例2-1】求下列函数的导数．
(1)
(2) ；
(3)
(4) .
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
【典例2-2】已知函数 满足满足 ；求 的解析式
【解析】
令 得：
得：
【方法技巧】（1）对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求
导问题．
(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
【变式2-1】已知 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，
故答案为: .
【变式2-2】设函数 ，则 的值为（ ）
A．10 B．59 C． D．0
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，
设 ，则 ，
所以
所以 .
故选：C.
【变式2-3】在等比数列 中， ，若函数 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
则 ， ，
所以， .
因为 是等比数列，且 ，
所以， ，
所以， ，所以， .
故选：A.
【变式2-4】若定义域都为R的函数 及其导函数 ，满足对任意实数x都有
，则 ．
【答案】2024
【解析】对 ，两边同时求导导数得 ，
则 ， ， ， ，
从而 ．
故答案为：2024
【变式2-5】求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
题型三：在点P处的切线
【典例3-1】（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， 的导函数 ，故曲线 在点 处的切线斜率为 ，则切线方程 ，即 ，
故选： .
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线为 ，则 在 轴上的截距
为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由 得 ，所以直线 的斜率 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，即 在 轴上的截距为 .
故选：B
【方法技巧】
函数 在点 处的切线方程为 ，抓住关键 ．
【变式3-1】曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
则 且 ，即切线的斜率为 ，切点坐标为 ，
所以切线方程为 .
故选：C.
【变式3-2】（2024·山东济宁·三模）已知函数 为偶函数，当 时， ，则曲线
在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 为偶函数，当 时， ，
则当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ，即 .
故选：A
【变式3-3】（2024·四川·三模）已知函数 ，则曲线 上一点 处
的切线方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
则 ，
所以曲线 上一点 处的切线方程为 ，即 .
故选：C.
题型四：过点P的切线
【典例4-1】已知函数 ，直线 过点 且与曲线 相切，则直线 的斜率为
（ ）
A．24 B． 或 C．45 D．0或45
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
设直线 与曲线 相切的切点为 ，
则 在 处的切线斜率为 ，
所以，切线方程为 ，
将点 的坐标代入并整理，得 ，
即 ，解得 或 ，
所以直线 的斜率为24或 .
故选：B.
【典例4-2】过点 可作 的斜率为1的切线，则实数 .
【答案】2-2ln2
【解析】由 ，设切点的横坐标为 ，由 ，解得 ，
故 ，由过点 且斜率为1的切线方程：
，令 得： .，即 .
故答案为： .
【方法技巧】设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．
【变式4-1】曲线 过点 的切线方程为 .
【答案】 或
【解析】 ，
因为点 不在曲线上，
所以设切线的切点是 ，则切线的斜率 ，
又切线过点 和 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，
因为 ，所以 或 .
所以 ，或 ，
所以所求切线方程是 或 ，
即 或 .
故答案为： 或 .
【变式4-2】过点 作曲线 的切线，则切线方程为 .
【答案】
【解析】设切点为 ，由 得 ，
则切点处的切线 ，
因为切线过点 ，所以 ，解得 ，所以切线方程为 即 .
故答案为：
【变式4-3】（2024·山西吕梁·二模）若曲线 在点 处的切线过原点 ，则
.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 在点 处的切线方程为 .
又切线过原点 ，则 ，所以 .
故答案为：
【变式4-4】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数 ，过原点作曲线
的切线 ，则切线 的斜率为 ．
【答案】
【解析】根据题意得， ，设切点坐标为 ，则 ，
所以切线 的方程为 ，
将点 代入，可得 ，整理得 ，
故 ，解得 ，
故 ，即切线 的斜率为 ．
故答案为： .
题型五：公切线问题
【典例5-1】若直线 与曲线 和曲线 同时相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设直线直线 与曲线 相切于 ，
与曲线 相切于点 ，
曲线 ，其导数 ，则有 ，
则在点 处切线的方程为 ，
即 ，曲线 ，其导数 ，则有 ，
则在 处切线的方程为 ，即 ，
则有 ，则有 ，
又由 ，则有 ，则 ，
则 ；
故选：A．
【典例5-2】（2024·湖南长沙·一模）若直线 与曲线 相切，直线 与曲线
相切，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解题思路】设出两个切点，根据导数几何意义得 ， ，再利用函数 的单调性
得到 ，最后代入计算即可.
【解析】设直线 与曲线 相切于点 ，
因为直线 与曲线 相切于点 ，
设 ， ，且直线 过定点 ，
则 ，且 ，所以 ，
设 ，则 ，则 ，且直线 过定点 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，则
，且 ，当 时， ，且 ，所以当 时， ，
因为 ， ，即 ，
所以 ， ，所以 ，故 .
故选：A.
【方法技巧】
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式5-1】（2024·广东茂名·一模）曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两个函数求导分别为 ，
设 ， 图象上的切点分别为 ， ，
则过这两点处的切线方程分别为 ， ，
则 ， ，所以 ，
设 ， ， ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， .
故选：B.
【变式5-2】（2024·辽宁大连·一模）斜率为 的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数
的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】依题意得，设直线 的方程为 ，由直线和圆 相切可得， ，解得 ，
当 时， 和 相切，
设切点为 ，根据导数的几何意义， ，
又切点同时在直线和曲线上，即 ，解得 ，
即 和 相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
和 仍会保持相切状态，即 时， ，
综上所述， 或 .
故选：A
【变式5-3】若存在直线 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足
，则称此直线 为 和 的“隔离直线”.已知函数 ，
，若 和 存在唯一的“隔离直线”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 与 相切时，只有唯一的“隔离直线”，
且“隔离直线”为公切线.设切点为 ，
则 即 所以 .
故选：D.
【变式5-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若直线 是曲线 与曲线
的公切线，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 与曲线 相切于点 ，与 相切于点 ，
由 ，可得 的斜率 ，所以 ①，又由 ，可得 ，所以 ，即 ②，
又因为 ③，
将②③代入①中，可得 ，由③易知， ,则 ④，
将④代入③，可得 ，则 ，
令 ，则 ，当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．所以 ，当且仅当 时取等号，
故 ，可得 ，所以 ，
所以 的方程为 ，即 ．
故选：B．
题型六：已知切线或切点求参数问题
【典例6-1】若直线 与曲线 相切，则实数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设切点为 ，由 可得 ，则 ，
所以 ，解得 ，即 .
.故选：D.
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的最小值为
（ ）
A． B．－2 C．－1 D．0
【答案】C
【解析】设切点坐标为 ．由已知，得 ，则 ，
解得 ．又切点在切线 与曲线 上，
所以 ，所以 ．
令 ，则 ．
令 ，解得 ．当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减．
所以 ，即 ，所以 ，则 的最小值为－1．
故选：C．
【方法技巧】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处
的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
【变式6-1】已知直线 与函数 的图象相切，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】设切点为 ， ，所以切线的斜率 ，
则切线方程为 ，即 ，
故 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为：
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知直线 与曲线 相切于点 ，若 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以 ，∴ ．
又∵切点 在直线 上，
∴ ，解得 ．∴ ．
令 ，则 ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
可得 在 上单调递增，在 上单调递减，
时， ， 时， ，
当 趋近负无穷时， 趋近 ， ； ，
故 的取值范围为 ．
故选：B．
【变式6-3】已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，则
．
【答案】
【解析】函数 ， ，
若曲线 在 处的切线方程为 ，则切点坐标为 ，切线斜率 ，
则有 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： .
【变式6-4】（2024·四川·模拟预测）已知 ，直线 与曲线 相切，则
．
【答案】2
【解析】设切点坐标为 ，对函数 求导得 ，
则切线斜率 ，得 ，
所以 ，且 ，
则 ，即 ．
故答案为：2.
【变式6-5】对给定的实数 ，总存在两个实数 ，使直线 与曲线 相切，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由 得 ，设切点坐标为 ，则 ，
消去 可得 ，所以 ，
令 ，则 ，当 1时， 单调递增；
当 时，令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，因为 ，
所以当 时， ，即 单调递增.
因为当 趋近于0时， 趋近于负无穷大 ，当 从1左边趋近于1时， 趋近于正无穷大，
当 从1右边趋近于1时， 趋近于负无穷大，当 趋近于正无穷大时， 趋近于0，
作出 的大致图象，
所以若对给定的实数 ，总存在两个实数 ，使直线 与曲线 相切，
则 的取值范围为 .
故答案为：
题型七：切线的条数问题
【典例7-1】若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】设切点点 ，写出切线方程，将点 代入切线方程得 ，此方
程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【解析】在曲线 上任取一点 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令函数 ，
则 .
当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
所以 .
设 ，
所以 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
的图象如图：由题意可知，直线 与 的图象有两个交点，则 .
故选：B
【典例7-2】若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点坐标为 ，
， 切线斜率 ， 在点 处的切线方程为： ；
切线过点 ， ，
过点 可以作曲线 的两条切线，
令 ，则 与 有两个不同交点，
，
当 时， ， 在 上单调递增，不合题意；
当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，即 ，
又 ， .
故选：C.
【方法技巧】
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值，有多少个解对应有多少条
切线．
【变式7-1】（2024·内蒙古·三模）若过点 可以作曲线 的两条切线，则 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导，得 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
由题意可知，点 在直线 上，可得 .
令 ，则 .
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，且当 时， ，当 时， ，
又直线 与曲线 的图象有两个交点，
所以 的取值范围为 .
故选：C
【变式7-2】若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，
又该切线过原点，所以 ，
整理得 ①，因为曲线 只有一条过原点的切线，
所以方程①只有一个解，故 ，解得 .
故选：A
【变式7-3】（2024·全国·二模）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
又切线过点 ，则 ，整理得 .
要使过点 的切线有3条，需方程 有3个不同的解，
即函数 图象与直线 在R上有3个交点，
设 ，则 ，
令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
且极小值、极大值分别为 ，如图，
由图可知，当 时，函数 图象与直线 在R上有3个交点，
即过点 的切线有3条.
所以实数a的取值范围为 .
故选：B.
【变式7-4】已知 ，如果过点 可作曲线 的三条切线.则下列结论中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为 ， ，∴切线斜率为 ，∴切线方程为 ，将 代入得方程 ，即
，
由题设该方程有3个不等实根.
令 ， ，
当 时, ,当 时, ,当 时, ,
所以 在 上递增,在 上递减,在 上递增,
所以 在 时取得极大值 ,在 时取得极小值 ,
由三次函数图象知 ,解得 ,
因为 可以推出, ，所以 也正确.
故选：D
【变式7-5】已知函数 ，若过点 可作两条直线与曲线 相切，则下列结论正
确的是（ ）．
A． B．
C． 的最大值为2 D．
【答案】A
【解题思路】由导数几何意义切线斜率 可得 （ ），进而将问题转化为方程
有两个不等的正实根，即可得 范围可判断A项、B项， ， ，可判断C项、
D项.
【解析】由 可得 ，设切点为 （ ），则 ，
又因为 ，即 ，
整理得 （ ），
因为过点 可作两条直线与函数 相切，
所以方程 有两个不等的正实根，
所以 ，解得 ，所以 ，故A项正确，B项错误；
对于C项、D项，取 ， ，满足 ，此时 ， ，故C项、D
项错误；
故选：A.
【变式7-6】过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意得 ，过点 作曲线 的两条切线，
设切点坐标为 ，则 ，即 ，
由于 ，故 ， ，
由题意可知 ， 为 的两个解，则 ， ，
故 .
故选：B
【变式7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若关于 的方程 （ 且 ）有实数解，则
的值可以为（ ）
A．10 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】对比选项可知我们只需要讨论 时，关于 的方程 的解的情况，
若关于 的方程 （ 且 ）有实数解，
即 与 的图像有交点，
因为 与 互为反函数，
所以 与 的图像关于直线对称，
如图所示：设函数 与直线 相切，切点为 ，
，则有 ，解得： ，
由图像可知，当 时，曲线 与直线 有交点，
即 与 的图像有交点，即方程 有解.
故选：D.
题型八：利用导数的几何意义求最值问题
【典例8-1】（2024·四川眉山·三模）若关于 的不等式 恒成立，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】将不等式化为 恒成立，即 的图象恒在 的图象的
上方，利用导数研究函数 ，依题意得出当直线 与 在点 处相切时 取得最大
值得结果.
【解析】依题意， ，不等式化为 ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，所以 在 处取得极大值，也即最大值 ，又 时， ，
由题知不等式 恒成立，所以 的图象恒在 的图象
的上方，显然 不符题意；当 时， 为直线 的横截距，
其最大值为 的横截距，再令 ，可得 ，且当直线 与
在点 处相切时，横截距 取得最大值，
此时，切线方程为 ，所以 取得最大值为 .
故选：C.
【典例8-2】（2024·四川凉山·二模）已知点 是曲线 上任意一点，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】
判断直线 与曲线的位置关系，利用式子 表示的几何意义，转
化为点 与点 确定的直线同直线 夹角正弦最值求解即可.
【解析】依题意， ，令直线 ，显然 过点 ，由 ，得 ，显然 ，
即直线 与曲线 相离，且 ，则曲线 上的点 在直线 上方，
过 作 于 ，则 ，而 ，
因此 ，
令过点 的直线与曲线 相切的切点为 ，由 ，求导得 ，
则此切线斜率 ，解得 ，即切点为 ，
而点 在曲线 的对称轴上，曲线 在过点 的两条切线所夹含原点的区域及内部，
当点 的坐标为 时，锐角 最大， 最大， 最大，
此时 ， ，
所以 的最大值为 .
故先：D
【方法技巧】
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
【变式8-1】（2024·湖北·模拟预测）设 ，其中 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ， ，则点 在函数 图象上， 在函数 的图象上，
容易知道 图象是抛物线 图象的上半部分，记抛物线焦点为 ，过 作抛物线的准线 的垂线，垂足为 ，如图所示：
则 ，
当且仅当 在线段 上时，取最小值.
设这时 点坐标为 ，又 ，
所以有 ，解得 ，即该点为 ，
所以 ，因此 .
故选：A.
【变式8-2】（2024·辽宁辽阳·一模）设曲线 在点 处的切线为l，P为l上一点，Q为圆
上一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，则l的方程为 ，即 ，
因为圆心 到l的距离为 ，
所以 的最小值为 .
故选：A
【变式8-3】（2024·宁夏银川·一模）已知实数 满足 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ，又 ，
表示点 与曲线 上的点之间的距离；
点 的轨迹为 ， 表示直线 上的点与曲线 上
的点之间的距离；
令 ，则 ，
令 ，即 ，解得： 或 （舍），
又 ，
的最小值即为点 到直线 的距离 ，
的最小值为 .
故选：B.
【变式8-4】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由 ，得： ， .
所以 与 互为反函数．
则它们的图象关于 对称．
要使 的距离最小，则线段 垂直直线 .
点 在曲线 上，点Q在曲线 上，
设 ， .
又P，Q的距离为P或Q中一个点到 的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线 的最短距离
所以当 ，即 时，d取得最小值 ，
则 的最小值等于 .故答案为：
【变式8-5】已知 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】设点 是函数 图象上的点，点 是直线 上的点，
则 可以转化为 ， 两点之间的距离，
即 ，所以 ，
因为 ，设函数 在点 的切线 与直线 平行，
则直线 的斜率为1，可得 ，整理得 ，
令 ，则 ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
且当 无限趋向于负无穷大时 无限趋近于 ， ， ，
当 无限趋向于正无穷大时 无限趋向于正无穷大，所以 有且仅有一个零点 ，
所以方程 有且仅有一个解 ，则 ，
故 的最小值为点 到直线 的距离 ，
即 的最小值为 .
故答案为： .
【变式8-6】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆 和曲线
上，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，即圆心 在 上，半径为 ，
故 的最小值等于 的最小值减去半径 ，
设 ，由于 与 关于 对称，的最小值等于 到直线 的距离的最小值的2倍，
由 ，可得 ，令 ，解得 ，
故 在点 处的切线与 平行，此时 到 的距离最小，
最小值为 ，
故 的最小值为 ，
则 的最小值等于 .
故答案为：
【变式8-7】（2024·河南·一模）记函数 的图象为 ，作 关于直线 的对称曲线得到 ，则曲
线 上任意一点与曲线 上任意一点之间距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意可知： ，设 为曲线 上的一点，
令过点A的切线斜率为 ，解得 ，
所以 ，所以点A到直线 的距离为 ，
所以曲线 上任意一点与曲线 上任意一点之间距离的最小值为 ．
故答案为： .
【变式8-8】已知函数 的图象与函数 的图象关于某一条直线 对称，若 ， 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 为函数 图象上任意一点，则 ， 关于直线 的对称点为 ，
又 ，即点 在函数 的图象上，
所以函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，
所以这 ， 两点之间距离的最小值等于点 到直线 距离最小值的 倍，
由 ，则 ，
函数 在点 处的切线斜率为 ，令 ，解得 ， ，
所以点 到直线 距离的最小值为 ，
所以这 ， 两点之间距离的最小值为 .
故选：D
【变式8-9】（2024·全国·模拟预测）若函数 ，点 是曲线 上任意一点，则点
到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 的定义域为 ，
由函数 ，可得 ，
令 ，可得 ，负值舍去，
又 ，
所以平行于直线 且与曲线 相切的直线与曲线 的切点坐标为 ．
点 到直线 的距离 ，即点 到直线 的距离的最小值为 .
故选：C．【变式8-10】若点 ，则 两点间距离 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】点 在直线 上，点 在曲线 上，
即求 的最小值等价于求直线 上的点到曲线 上的点的距离的最小值，
过 上的点 作 的切线，可得 ，
令 ，可得 ，故该切线为 ，
则直线 与 的距离即为 的最小值，
此时 ，即 .
故答案为： .
【变式8-11】实数 满足 ， , 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】化简已知 得，
，即 ，
令 ，原式化简为 ，
令 ，则 ，所以 在R上单调递增，
又 ，所以 有唯一零点 ，所以 ，此方程有唯一根为0，
即 ，即 ，
分别设 与 ，
则 表示曲线 上的点 到直线 的距离的平方，
下面求 上与 平行的切线，
因为 ，所以 ，
当 时， ，解得： ，所以切点为 ，
所以 到直线 距离为： ，
此距离即为曲线 上的点到直线 的距离的最小值，所以 的最小值为2.
故选：C.
【变式8-12】已知 是曲线 的一条切线，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，即 ，
所以 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
则 .
故选：B．
题型九：牛顿迭代法
【典例9-1】（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根
就是函数 的零点 ，取初始值 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为
的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，一直继续下去，得到 ，它
们越来越接近 ．设函数 ， ，用牛顿迭代法得到 ，则实数 （ ）
A．1 B． C． D．【答案】D
【解析】 ， ， ，
则 在 处的切线方程为 ，
由题意得，切线过 代入得， ，解得 ，
故选：D．
【典例9-2】已知函数 ，若曲线 在 处的切线交 轴于点 ，在 处的切线
交 轴于点 ，依次类推，曲线 在 处的切线交 轴于点 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，所以 ， ，
则函数在 处的切线为 ，令 ，解得 ，即 ，
同理可得曲线 在 处的切线方程为 ，
令 ，解得 ，即 ，
所以 ，即 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，则 ，
所以
.
故选：D
【方法技巧】
数形结合处理.
【变式9-1】（2024·湖北咸宁·模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一
Newton-Raphson method译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，
过点 做曲线 的切线 ： ，则 与 轴交点的横坐标为
，称 是 的一次近似值；重复以上过程，得 的近似值序列，其中，称 是 的 次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零
点大小，则函数 的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3位，参考数据：
）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【答案】C
【解析】易知 在定义域上单调递增， ，即函数的零点有
且只有一个，且在区间 上.
不妨取 作为初始近似值， ，
由题意知 .
故选：C.
【变式9-2】（2024·北京·模拟预测）给定函数 ，若数列 满足 ，则称数列
为函数 的牛顿数列．已知 为 的牛顿数列， ，且
，数列 的前 项和为 ．则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
，则两边取对数可得 .
即 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .
故选：A
【变式9-3】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列．如果函数 ，数
列 为牛顿数列，设 ，且 ， ．数列 的前 项和为 ，则 ．
【答案】 /
【解析】∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又
∴ ，
又 ，且 ，
所以 ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ 的前 项和为 ，则 .
故答案为： .
【变式9-4】令函数 ，对抛物线 ，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点 处
作抛物线的切线，交x轴于 ；在点 处作抛物线的切线，交x轴于 ；在点
处作抛物线的切线，交x轴于 ；……由此能得到一个数列 随着n的不断增大， 会越来越接近
函数 的一个零在点 ，因此我们可以用这种方法求 零点 的近似值. 设 ，则
①
；②用二分法求方程 在区间 上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到
牛顿切线法的求解速度 （快于､等于､慢于）二分法.
【答案】 快于
【解析】 ， ， ，所以切线方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，
二分法计算： ， ， ；
， ； ，
， ，
用切线逼近法：
， ， ，
， <0.0625，
因此牛顿切线法的求解速度快于二分法．
故答案为： ；快于．
题型十：切线平行、垂直、重合问题
【典例10-1】（2024·高三·广东深圳·期末）已知曲线 与 轴交于点 ，设 经过原点的切线为 ，
设 上一点 横坐标为 ，若直线 ，则 所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，求导得 ，设直线 与曲线 相切的切点坐标为 ，则直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，由直线 过原点 ，即 ，解得 ，
依题意，直线 的斜率为 ，而点 ，则直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，显然 是方程 的不为零的根，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
于是函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
显然 ，即 在 上有唯一零点0，而 ，则 在 上有唯一零点，即 ，又 ，
所以 所在的区间为 .
故选：D
【典例10-2】（2024·高三·广西·开学考试）曲线 在A点处的切线与直线 垂
直，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ， ，
设 ， ，则 ，
由题意可得，直线 的斜率为 ，所以曲线 在过点 处的切线的斜率为3，
所以 ，解得 ，
则可得切点 ，所以切线方程为 ，即 .
故选：D．
【方法技巧】
利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得
曲线 在点 处的切线都与直线 垂直，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据题意知 有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的
范围.
【解析】由题意知 ，因为切线与直线 垂直，
所以曲线 在点 处的切线斜率都是 ，
即关于 的方程 有两个不相等的正实数根，
化简得， 有两个不相等的正实数根，则 ，解得 .
故选：A.
【变式10-2】（2024·河北邢台·二模）已知函数 的图像在 ， 两个
不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到 的关系，在结合不等
式求 的取值范围即可.
【解析】因为 ， .
所以 ， .
由因为 在 ， 两个不同点处的切线相互平行，
所以 ，又 ，所以 ，故CD错误；
因为 且 ，所以 ，故A不成立；
当 时， .故B成立.
故选：B
【变式10-3】已知函数 ，过坐标原点O作曲线 的切线l，切点为A，
过A且与l垂直的直线 交x轴于点B，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】先设出切点 ，求出 ，根据点斜式写出切线l方程，根据切线l过原点求出切
点坐标和直线l的斜率；再根据已知条件求出直线 的方程，进一步求出点B坐标；最后根据三角形面积公
式表示出 面积，利用基本不等式求解即可.
【解析】因为 ，
所以 .
设切点 为 ，则 ， .
所以切线l方程为 .
因为切线l过坐标原点O，
所以将 代入切线方程，整理得 ，解得： .
所以 ，
则点 ， .
因为直线 过A且与直线l垂直，
所以 ，
则直线 的方程为 .
令 ，解得 ，
所以点B坐标为 .
所以 .
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成
立，
所以 .
故选：D
【变式10-4】已知函数 的图象上存在不同的两点 、 ，使得曲线 在这两
点处的切线重合，则点 的横坐标的取值范围可能是（ ）
A． ， B． C． ， D．
【答案】A
【解题思路】方法一：设 ， ，不妨设 ，利用导数的几何意义判断出
，写出函数 在 两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去 ，得，构造函数 ，由 ， ，可求出结果.
方法二：易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，
两区间一定属于同一单调区间，分析函数的单调区间即可得出结果.
【解析】解法一：
当 时， 的导数为 ；
当 时， 的导数为 ，
设 ， 为该函数图象上的两点，且 ，
当 ，或 时， ，故 ，
当 时，函数 在点 处的切线方程为 ；当 时，函数
在点 处的切线方程为 ．
两直线重合的充要条件是 ①， ②，
由 得 ，由①②可得 ，
设 ，由 ， ，可得 ， 可能；
由 ，B不正确；
由①可得 ，由②可得 ，即有 ，则C，D不正确．
解法二：
如图，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两
区间一定属于同一单调区间， 时， 属于单调增区间，故当 时， 的单调
增区间为 ，根据图像， 可以位于此区间，另一个点B所在区间 ，不好把握.
故选：A．题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题
【典例11-1】已知函数 ， 为 的导函数，则
.
【答案】8
【解析】设 ，显然 为奇函数，
又 为偶函数，
所以 .
故答案为：8
【典例11-2】（2024·海南海口·二模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时，
，则曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】因为 是偶函数，所以函数 的图象关于 对称，则 ，
当 时， ，
，
，则 ，
，即曲线 在点 处切线的斜率为2.
故选：C.
【方法技巧】
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
【变式11-1】（2024·北京·模拟预测）记函数 的最小正周期为T，
为 的导函数．若 ， 为偶函数，则 的最小值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由 且 ，则 ，又 ，故 ，则 ，得 ，
由 为偶函数，即 为偶函数，
所以 且 ，则 ， ，
当 时 的最小值为2.
故选：B
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，
为 的导函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以 ，得 ．
由 为奇函数可得 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
故 ，
故选：A.
【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知 为奇函数，且当 时， ，其中 为自然对数
的底数，则曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】由题设，当 时， ，故 时， ，
所以 ，而 ，
故切线方程为 ，即 ．
故答案为：
题型十二：切线斜率的取值范围问题
【典例12-1】过函数 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
因为 ，所以 ，即切线的斜率 ，
设切线的倾斜角为 ，则
又因为 ，所以 或 ，
即切线的倾斜角的范围为 .
故选：B.
【典例12-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数 ，设曲线 在
点 处切线的斜率为 ，若 均不相等，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】18
【解析】由于 ，
故 ，
故 ， ，
则
，
由 ，得 ，
由 ，即 ，知 位于 之间，
不妨设 ，则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故则 的最小值为18，
故答案为：18
【方法技巧】
利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.
【变式12-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 恒在曲线 的上方，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线 与曲线切于点 ，
则 ，
所以切线方程为 ，
所以 ， ，
所以 ，
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 .
故选：A.
【变式12-2】点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，
则 ，
则 ，
又 ，所以 ，
故选：D.
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，所以 ，故切线方程为 ，
故切线的横截距为 ，纵截距为 ，故切线与坐标轴围成的面积为
故选：A.
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数 ，则曲线 在 处的切线
与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
则 ，
即该切线方程为 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 .
故选：A.3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，
所以 ，
所以
所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：C
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【解析】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
1．在高台跳水运动中， 时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是 ．高度
h关于时间t的导数是速度v，速度v关于时间t的导数 的物理意义是什么？试求v， 关于时间t的函数
解析式．
【解析】高度 关于时间 的导数是速度 ， 关于时间 的导数是瞬时加速度.
，
.
2．求下列函数的导数；(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】（1）因为 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ；
（3）因为 ，所以 ；
（4）因为 ，所以 ；
（5）因为 ，所以
（6）因为 ，所以
3．设函数 的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程．
【解析】令 得 ，则点 的坐标为 .
∵ ，∴ .
∴曲线在点 处的切线方程为 ，即 .
4．已知函数 满足 ，求 在 的导数．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
解得
5．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直．求a的值．
【解析】 ，，
所以在点（0,1）处的切线斜率为 ，
又因为切线与直线 垂直，
，
.
易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置
易错分析：对导数的几何意义理解错误，切线的斜率 k是在切点处的导数．解题时，要注意所给的点
是否是切点．
答题模板：求曲线过点P的切线方程
1、模板解决思路
求函数图象过某点的切线方程，关键是求该函数的导函数，先设出切点坐标，再将切点的横坐标代入，
即可得切线的斜率，最后根据切点及斜率写出切线方程．
2、模板解决步骤
第一步：设切点 ，则以 为切点的切线方程为 ；
第二步：根据题意点 在切线上，点 在曲线 上，得到方程组
，从而求出切点 ，代入方程 ，即可求得切
线方程．
【易错题1】（2024·高三·山东德州·开学考试）过点 与曲线 相切的直线与 轴的交
点坐标为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为 ，由 ，得 ，
则过切点的切线方程为 ，
把点 代入切线方程得， ，即 ，
因为 ，而 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 只有一个解，所以 ，
所以切线方程的斜率为 ，
所以切线方程为 ，令 ，解得 .
故过点 与曲线 相切的直线与 轴的交点坐标为 .
【易错题2】已知曲线方程为 ，则过点 且与曲线相切的直线方程为 .
【答案】
【解析】因为 ，
又点 在曲线 上，
所以 ，∴所求切线的斜率 ，
故所求切线的方程为 ，即 .
故答案为： .
