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专题 1.1 勾股数模型
1．如图，在 中，分别以 ， ， 为直径向外作三个半圆，其面积分别为
， ， ，若 ， ，则
A．18 B．20 C．22 D．24
【解答】解： ，
，
；
；
；
，
即 ．
， ，
，
故选： ．
2．如图①，在 中， ， ，这个直角三角形三边上分别有一
个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为 的直角三角形，
再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③
是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有 正 方 形 的 面 积 和 为
A．225 B．250 C．275 D．300
【解答】解：设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
的周长为12，
，
解得： ，
， ， ，
第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ，
第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ，
第 3 次 操 作 后 的 图 形 中 所 有 正 方 形 的 面 积 和 为 ：
，
第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ，
故选： ．3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中 ，
， ， ，则
A．54 B．52 C．48 D．36
【解答】解：如图，
根据勾股定理的几何意义，可知：
；
即 ；
故选： ．
4．如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若 ，则图中阴影部分的面积为
A．3 B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得： ，
则 ，
故选： ．
5．如图， 中， ，以 、 为边分别作等边三角形 、 ，
、 的面积分别为 、 ，若 ，那么
A． B． C．6 D．12
【解答】解：过点 作 ，如图，
是等边三角形，， ，
，
的面积为 ，
，
整理得： ，
同理可求 ，
， ，
，
，
解得： ．
故选： ．
6．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，
其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如
果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了 2022次后形成的图
形中所有正方形的面积之和为A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【解答】解：由题意得，正方形 的面积为1，
由勾股定理得，正方形 的面积 正方形 的面积 ，
“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023．
故选： ．
7．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形 、 、 、 的
边长分别是4、5、3、4，则最大正方形 的面积是
A．66 B．16 C．32 D．23
【解答】解：
根据勾股定理的几何意义，可得 、 的面积和为 ， 、 的面积和为 ，， ，
于是 ，
即可得 ．
故选： ．
8．如图，在四边形 中， ，分别以四边形的四条边为边向外作
四个正方形，若 ， ，则
A．184 B．86 C．119 D．81
【解答】解：由题意可知： ， ， ， ，
连接 ，在直角 和 中，
，
即 ，
因此 ，
故选： ．
9．如图， 中， ，分别以边 ， ， 向外作正方形，正方形
的面积为25，正方形 的面积为169，则正方形 的面积是A．194 B．144 C．122 D．110
【解答】解：在 中， ，
，
正方形 的面积为25，正方形 的面积为169，
， ，
，
正方形 的面积 ，
故选： ．
10．如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形 的面
积为
A．36 B．64 C．28 D．100
【解答】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为 64和36的正方形的
边长是8和6；
解图中直角三角形得 正方形的边长： ，所以 正方形的面积为100．故选： ．
11．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为 7，则正方形
、 、 、 的面积之和为 4 9 ．
【解答】解：如图，设正方形 ， ， ， ， ， 的边长分别为 ， ， ， ， ，
，
该图形是由直角三角形和正方形构成，
由勾股定理可得 ， ， ，
，
正方形 、 、 、 的面积之和为49，
故答案为：49．
12．如图，以正方形 的边 为直径作一个半圆，点 是半圆上一个动点，分别以
线段 、 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为 和 ，若正方形的面积为
10，随点 的运动 的值为A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定
【解答】解： 为半圆的直径，
，
，
， ，
．
故选： ．
13．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺
的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发
现如下图形：在 中， ，图中以 、 、 为边的四边形都是正方
形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、 ，则 的值为
A．25 B．175 C．600 D．625
【解答】解：在 中， ，
由勾股定理得： ，
，．
故选： ．
14．正方形 的边长为1，其面积记为 ，以 为斜边作等腰直角三角形，以该等
腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 ， 按此规律继续下去，则
的值为
A． B． C． D．
【解答】解：在图中标上字母 ，如图所示．
正方形 的边长为1， 为等腰直角三角形，
， ，
．观察，发现规律： ， ， ， ， ，
．
当 时， ，
故选： ．
15． 中， ，则三个半圆的面积关系是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可知，三个半圆的直径分别为 、 、 ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，
其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如
果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了 2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是
A．1 B．2021 C．2020 D．2019
【解答】解：由题意得，正方形 的面积为1，
由勾股定理得，正方形 的面积 正方形 的面积 ，
“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选： ．
17．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 、
、 的面积依次为6、10、24，则正方形 的面积为
A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：由题意： ， ，
正方形 、 、 的面积依次为6、10、24，
，
．
故选： ．
18．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为 、 、 ，
则 、 、 之间的关系是
A． B． C． D．
【解答】解：设直角三角形的三边从小到大是 ， ， ．
则 ， ， ．
又 ，则 ．
故选： ．
19．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边
长为 ，则图中所有的正方形的面积之和为
A． B． C． D．
【解答】解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
，
，
，
，
则
故选： ．20．如图，以 的三边向外作正方形，其面积分别为 ， ， 且 ， ，
则 12 ；以 的三边向外作等边三角形，其面积分别为 ， ， ，则 ，
， 三者之间的关系为 ．
【解答】解： ，
，
，
，
在 中， ，
．
设 ， ， ，
是直角三角形，
，
，
又 ， ， ，，
故答案为：12； ．
