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专题 19 立体几何综合小题必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积．
【详解】
正四棱锥的底面积为 ，正四棱锥的高为
因此，该正四棱锥的体积为 ．
故选：A．
2．已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【分析】
利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解
【详解】
选项A：有可能出现 的情况；
选项B： 和 有可能异面；
选项C： 和 有可能相交；
选项D：由 ， ，得直线 和平面 没有公共点，所以 ，
故选：D3．如图，空间四边形 中，点 在线段 上，且 ， 为 的中点，
，则 ， ， 的值分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【分析】
利用空间向量的基本定理求解.
【详解】
因为 ，
，
所以 ， ， .
故选：B.
4．已知 ， ， 是三个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【分析】利用空间中点线面之间的位置关系即可对每个选项做出判断，从而选出正确选项.
【详解】
对于选项A：若 ， ，则 与 平行或相交，故选项A不正确；
对于选项B：若 ， ，则 与 可平行、异面、或相交，故选项B不正确；
对于选项C：若 ， ，则 ，垂直于同一平面的两个直线平行，故选项C正确；
对于选项D：若 ， ，则 与 平行或相交，故选项D不正确.
故选：C
5．已知四棱锥 的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm）的正三角形，俯视图为正方形，则
该四棱锥的体积（单位： ）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据四棱锥 是正四棱锥求解.
【详解】
如图所示：
由题意知：四棱锥 是正四棱锥，
因为四棱锥 的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm）的正三角形，
所以 ，
则正四棱锥的高为： ，
又因为俯视图为正方形，所以 ，
故选：B
6．在正方体 中，则直线 与直线 所成角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设正方体的棱长为 ，连接 ，证明 可得 或其补角即为直线 与直线 所成角，在
中求 即可求解.
【详解】
设正方体 的棱长为 ，连接 ，
因为 且 ，所以四边形 是平行四边形，
可得 ，
所以 或其补角即为直线 与直线 所成角，
在 中， ，所以 ，
所以直线 与直线 所成角大小为 ，
故选：C.7．正方体 的棱长为 ， 为侧面 内动点，且满足 ，则 面积的最小
△
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
建立空间直角坐标系如图所示，设 由 ，得出点 的轨迹方程，由几何性质求得 ，
再根据垂直关系求出 面积的最小值．
【详解】 △
以点 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ， ，设
所以 ，得 ，所以
因为 平面 ，所以
故 面积的最小值为
△
故选：B
8．在直三棱柱 中， . 、 分别是 、 的中点， ，则
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以C为坐标原点，以CB、CA、 方向分别为x、y、z轴正方向，建立空间坐标系，如图，设
，分别求出 的坐标，根据空间向量的数量积求出 即可.
【详解】
以C为坐标原点，以CB、CA、 方向分别为x、y、z轴正方向，建立空间坐标系，
如图，设 ，则 ，
所以 ，
故选：D
9．如图，在正方体ABCD﹣A B C D 中，则以下结论错误的是（ ）
1 1 1 1
A．BD∥平面CB D B．AD⊥平面CB D
1 1 1 1
C．AC ⊥BD D．异面直线AD与CB 所成的角为45°
1 1
【答案】B
【分析】
利用直线与平面平移以及垂直的关系，结合异面直线所成角判断命题的真假即可.
【详解】
解：A，在正方体ABCD﹣ABC D 中，①BD∥BD，BD 平面CB D；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
BD 平面CB D；所以BD∥平面CB D；A正确； ⊂
1 1 1 1
⊄B，；AD∥AD，且 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ，
1 1
又平面 与平面CB D 不平行，所以AD与平面CB D 不平行，；B不正确；
1 1 1 1
C，AC 在底面ABCD上的射影AC，BD⊥AC；所以AC ⊥BD；C正确；
1 1
D，根据正方体的性质可得
所以异面直线AD与CB 所成的角即为直线 与CB 所成的角,
1 1
由 ，所以异面直线AD与CB 所成的角为45°；D正确
1
故选：B.
10．已知向量 ＝(2m＋1，3，m－1)， ＝(2，m，－m)，且 ，则实数m的值等于（ ）
A． B．－2
C．0 D． 或－2
【答案】B
【分析】
利用空间向量平行的坐标表示，即可求得结果.
【详解】
当m＝0时， =(1，3，－1)， ＝(2，0，0)，
与 不平行，∴m≠0，∵ ，
∴ ，解得m＝－2.
故选：B
11．正方体ABCD-A B C D 中，E，F分别是线段BC，CD 的中点，则直线A B与直线EF的位置关系是
1 1 1 1 1 1
（ ）
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
【答案】A
【分析】连接 与 交于点F，易得 是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线 与
直线 的位置关系.
【详解】
如图所示，连接 与 交于点F，
由题意，易得四边形 是平行四边形，
在平行四边形 中，E，F分别是线段 的中点，
∴ ，又 且 共面，则直线 与直线 相交.
故选：A.
12．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】
先用余弦定理求出 ，再由勾股定理可证 ，可所以 两两垂直，如图建立空间直
角坐标系，求出各点坐标以及 、 的坐标，利用空间向量夹角公式计算 即可求解.
【详解】
因为直三棱柱 中， ， ， ，在 中，由余弦定理可得： ，
所以 ，
所以 ，所以 ，进而可得 两两垂直，
所以以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ，
设异面直线 与 所成角的平面角为 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为： ，
故选：B.
13．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根
铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（ ）A． cm B．10 cm
C． cm D．30 cm
【答案】B
【分析】
判断出球心的位置，由此计算出球的半径.
【详解】
依题意可知该四棱锥是正四棱锥，且 平面 ，则 .
，
，
所以 ，
到 的距离都是 ，
在等腰直角三角形 中， 到 的距离为 ，
同理可得 到 的距离也是 .
所以 是皮球的球心，且皮球的半径为 .
故选：B14．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体P ABC中，设E，F分
别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF（此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（ ）
A．6个 B．8个
C．10个 D．12个
【答案】C
【分析】
由题设，若四面体P ABC为“鳖臑”，应用线面、面面垂直的判定、性质只需AE⊥EF、AE⊥PC、
EF⊥PC，即P AEF也是“鳖臑”，即可保证直角三角形最多，进而确定个数即可.
【详解】
为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体P ABC为“鳖臑”，
其中PA⊥面ABC，BC 面ABC，则PA⊥BC，
又AB⊥BC，AB PA = A，
∴CB⊥面PAB.
若AE⊥PB，EF⊥PC：
由CB⊥面PAB，BC 面PBC，则面PAB⊥面PBC，又AE 面PAB，面PAB∩面PBC=PB，
∴AE⊥面PBC，EF、PC 面PBC，则AE⊥EF且AE⊥PC，又EF⊥PC，
∴四面体P AEF也是“鳖臑”，则10个三角形全是直角三角形，故选：C.
15．在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，且 ，则四棱锥外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用勾股定理判断 平面 ，过正方形 的中心 作垂线，再过 中点作此垂线的垂线，交
点 即为外接球的球心，求出外接球半径，由表面积公式即可求解.
【详解】
由题意可知 ， ，
所以 ， ，
又 ，
所以 平面 ，
过正方形 的中心 作垂线，
再过 中点作此垂线的垂线，交点为 ，
此点即为外接球的球心，
则外接球半径 ，
所以四棱锥外接球的表面积 .
故选：C
二、多选题
16．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底B．已知向量 ，则 、 与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．已知空间向量 ， ，则
D．已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是
【答案】BD
【分析】
对选项A，B，根据空间向量基底概念即可判断A错误，B正确，对选项C，根据空间向量平行的坐标运算
即可判断C错误，对选项D，根据投影向量概念求解即可.
【详解】
对选项A，因为空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底，故A错误.
对选项B，因为 ，则 、 与任何向量都是共面向量，故B正确.
对选项C， ， ，
因为 ，所以 、 不平行，故C错误.
对选项D， ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .故D正确.
故选：BD
17．如图，正方体 的棱长为4，以下结论正确的是（ ）A．直线 与 是异面直线
B．直线 与 平行
C．直线 与 垂直
D．三棱锥 的体积为
【答案】AD
【分析】
A选项结合异面直线的定义即可判断；B证得 即可判断；C由直线 与 是矩形 的
两条对角线即可判断；D用正方体的体积减去四个三棱锥的体积即可求出结果判断.
【详解】
直线 在平面 内与 没有交点，所以直线 与 是异面直线，故A项正确；
因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边，因此 ，又因为 ，所以,故B项错误；
直线 与 是矩形 的两条对角线，不垂直，故C项错误；
．
故D项正确．
故选：AD.
18．如图，正方体 的棱长为1，点 是棱 上的一个动点（包含端点），则下列说法正
确的是（ ）
A．存在点 ，使 面
B．二面角 的平面角大小为
C． 的最小值是
D． 到平面 的距离最大值是
【答案】AC
【分析】
对于A，当 与 重合时可得结论，对于B，二面角 就是二面角 ，从而可求出结果，对于C，如图沿棱 展开面 为面 ，利用两点之间线段最短判断，对于D，当 与 重合时，
点 到面 的距离最大，从而可求得结果
【详解】
对于A，当 与 重合时， ，根据线面平行的判定，可得使 面 ，故正确；
对于B，二面角 就是二面角 ，其平面角大小为 .故错；
对于C，如图沿棱 展开面 为面 ，使点 ， ， ， ， ， 共面，则 的最小
值为 ，故正确；
对于D，当 与 重合时， 垂直平面 ，此时点 到面 距离最大值为 ，故错.
故选：AC.
19．已知 、 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】ACD
【分析】
对于A，利用线面平行的性质定理判断，对于B，利用线面平行的判定定理判断，对于C，利用线面垂直
的判定定理判断即可，对于D，利用面面平行的判定方法判断【详解】
由线面平行的性质定理可知，A正确；
若 ∥ ∥ ，则 ∥ 或 ，即B错误；
设 的法向量分别为 ，若 ，则 ，又 ，则 ∥ ， ∥ ，所以 ，
即C正确；
若 ，则 ∥ ，又 ∥ ，则 ∥ ，即D正确.
故选：ACD
20．在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A． ＝2 － － ； B． ；
C． ； D． ＋ ＋ ＋ ＝0；
【答案】ABD
【分析】
根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项．
【详解】
与 ， ， 一定共面的充要条件是 ，
对于A选项，由于 ，所以不能得出 共面，
对于B选项，由于 ，所以不能得出 共面，
对于C选项，由于 ，则 为共面向量，所以 共面，
对于D选项，由 得 ，而 ，所以不能得出
共面．
故选：ABD
21．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足
的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线 构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】
设正方体的棱长为 ，
对于A，如图（1）所示，连接 ，则 ，
故 （或其补角）为异面直线 所成的角，
在直角三角形 ， ， ，故 ，
故 不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取 的中点为 ，连接 ， ，则 ， ，由正方体 可得 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 平面 ，
又 平面 ， ，而 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，故B正确.
对于C，如图（3），连接 ，则 ，由B的判断可得 ，
故 ，故C正确.
对于D，如图（4），取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 或其补角为异面直线 所成的角，因为正方体的棱长为2，故 ， ，
， ，故 不是直角，
故 不垂直，故D错误.
故选：BC.
22．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点
与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）
A．该正方体的核长为2 B．该正方体的体对角线长为
C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为
【答案】BD
【分析】
设内外球半径分别为r，R，利用正方体的对角线求得 ，根据两球上点的距离最小值为 ，求
解后得到r，R，进而求得正方体的对角线和外接球的表面积.
【详解】
设内外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为 ，体对角线长为 ，∴ ，
又由题知 ，所以 ， ，∴正方体棱长为 ，体对角线长为 ，
∴外接球表面积为 ，
故选：BD.
23．在正三棱柱 中， ， ， 与 交于点 ，点 是线段 上的动点，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点 ，使得
C．三棱锥 的体积为
D．直线 与平面 所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】
A.利用空间向量运算求解判断；B. 利用空间向量运算求解判断；C.利用等体积法求解判断；D.利用线面角
的求解判断.
【详解】
由题意，画出正三棱柱 如图所示，向量 ，故A正确；
假设存在点 ，设 ， ，所以
.因为 ，所以
.解得 .故B错误；
因为正三棱柱 ，所以 ，所以
，所以 ，
故C正确；
设 中点为 ，所以 ，三棱柱 是正三棱柱，所以 平面 ，所以
即 与平面 所成的角， .故D错误.
故选：AC.
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2，M、N分别为BB 、BC的中点，则三棱锥N-DMC 的体积为
1 1 1 1 1 1
___________.
【答案】1
【分析】
利用等体法以及三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】.
故答案为：1
25．已知正三棱锥的底面边长是 ，侧棱与底面所成角为 ，则此三棱锥的体积为__．
【答案】
【分析】
过 作 平面 交于点 ，延长 交 于 ，在 中，求得 ，
根据 平面 ，得到 ，求得 ，结合体积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，过 作 平面 交于点 ，延长 交 于 ，
所以点 是 的中心，所以 是等边 的一条高，其中边长为 ，
所以 ，可得 ，
因为 平面 ，所以 ，
在直角 中，可得 ，
由 的边长为 ，可得 ，
所以三棱锥 的体积为 .
故答案为： .26．如图，在直三棱柱 中，∠ACB＝90°， ，则异面直线 与AC所成角
的余弦值是__________________．
【答案】
【分析】
由AC∥ ，知 是异面直线 与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线 与
AC所成角的余弦值．
【详解】
解：连结 ，∵AC∥ ，
∴ 是异面直线 与AC所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱 中，∠ACB＝90°， ，
∴ ， ， ， ，∴
∴异面直线 与AC所成角的余弦值为 ．
故答案为： ．
27．已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．
【答案】
【分析】
先画出圆台的轴截面，利用圆心到上底圆周上一点等于外接球半径，圆心到下底圆周上一点等于外接球半
径，建立方程，解出外接球半径，求出外接球表面积.
【详解】
如图所示，
设外接球半径为r，球心到上底的距离为h，则球心到下底的距离为
则有 ， ，解得 ， ．所以外接球的表面积为 ．
故答案为：
28．如图，已知平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形，侧棱 长为3，且，则 __.
【答案】
【分析】
由空间向量的加法法则有 ，然后平方，转化为数量积运算可得．
【详解】
平行六面体 中， ，
. .
故答案为： ．
29．如图，在空间四边形OABC中， ，点M在OA上，且 ，N为BC的中
点，则用向量 表示向量 ________．【答案】
【分析】
根据 ，由此能求出结果．
【详解】
∵在空间四边形OABC中， ，点M在OA上，且 ，N为BC的中点，
∴ ．
故答案为： ．
30．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面
ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，则球O的表面积为___________.
【答案】
【分析】
由题意，画出示意图，四棱锥P﹣ABCD的体积 ， ， ，
，球O的半径 ，进而求解.
【详解】
解：由题意，画出示意图如图：
则正方形ABCD面积S=4，
∵ 四棱锥P﹣ABCD的体积 ，∴ ，，
球O的半径
球O的表面积： .
故答案为：
任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．在三棱锥P－ABC中， ， PAB， PAC， PBC的面积分别记为 ，
△ △ △
且 ，则此三棱锥的内切球的半径为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形面积公式求出面积，联立方程求出棱长，再求出棱锥高得出棱锥体积，由等体积法求出内切球
的半径即可.
【详解】，
，
，
解得 ， ，
由余弦定理可得 ， ，
取 的中点 ，连接 ， ，如图，
可得 ， ， ， ， ，
所以 ，
所以 平面ABC，
内切球半径 ，
故选：B
2．在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到
了一些有趣的结论.已知直线 平面 ，直线 平面 ，F是棱BC上一动点，现有下列三个结论：①若 分别为棱 的中点，则直线 平面 ；
②在棱BC上存在点F，使 平面 ；
③当F为棱BC的中点时，平面 平面 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．③ B．①③ C．①② D．②③
【答案】A
【分析】
将正四面体放在正方体中，如图，由正方体的性质判断各选项．
【详解】
可将正四面体放在正方体中研究，如图，
对于①，由直线 平面 ，直线 平面 ，知平面 是与左右两个侧面平行的平面，
是前后两个侧面的中心（对角线交点），则直线 平面 或直线 平面 ，故①错误.
对于②，正方体的左、右两个侧面与平面 平行，因此，与平面 垂直的直线只能是与其四条侧棱平行或
重合的直线，故②错误.
对于③，平面 就是平面 ，由 与侧面垂直，得面面垂直，故③正确，
故选：A．3．已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A、B、C在下底面圆的圆周上，且 ，
点Р在上底面圆的圆周上，则 的最小值为（ ）
A．246 B．226 C．208 D．198
【答案】D
【分析】
问题可转化为三棱锥 且三棱锥有外接球，求 转化为求 的最值，
再转化为利用向量求解即可.
【详解】
如图，
ABC的外心是AC中点 ，点P到底面ABC的距离为7，设Р所在截面圆的圆心为 ，此截面与平面
ABC平行，球心 在 上，
，
则 ，
设P在平面ABC上的射影为Q，则Q在以 为圆心，3为半径的圆，因为PQ⊥平面ABC，所以PQ与平
面ABC内所有直线都垂直，PQ=7,
所以，
当 反向时， 取得最小值-12，
所以 的最小值
故选：D
4．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用
曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内
角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体
各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲
率为 ，故其总曲率为 ，则四棱锥的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．
【详解】
解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，
所以面角和为 ，
故总曲率为 ．
故选：B.
5．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点E，F，且 ，则三棱锥
的体积为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】
根据题意可知 平面 ，而 ， 在线段 上运动，则 平面 ，从而得出点 到直
线 的距离不变，求出 的面积，再根据线面垂直的判定定理可证出 平面 ，得出点 到
平面 的距离为 ，最后利用棱锥的体积公式求出三棱锥 的体积.
【详解】解：由题可知，正方体 的棱长为1，
则 平面 ，又 ， 在线段 上运动，
平面 ，
点 到直线 的距离不变，
A B C D
1 1 1 1
由正方体的性质可知 平面 ，则 ，
而 ， ，
故 的面积为 ，
又由正方体可知， ， ，且 ，
平面 ，则 平面 ，
设 与 交于点 ，则 平面 ，
点 到平面 的距离为 ，
.
故选：A.
6．如图已知正方体 ，点 是对角线 上的一点且 ， ，则（ ）A．当 时， 平面 B．当 时， 平面
C．当 为直角三角形时， D．当 的面积最小时，
【答案】D
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；
【详解】
解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， ， ，所以 ，因为 ，所以
，所以 ， ， ， ，设
平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以
对于A：若 平面 ，则 ，则 ，解得 ，故A
错误；
对于B：若 平面 ，则 ，即 ，解得 ，故B错误；
当 为直角三角形时，有 ，即 ，解得 或
（舍去），故C错误；设 到 的距离为 ，则 ，
当 的面积最小时， ，故 正确．
故选： ．
7．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，
则a2等于（ ）
A．2 • B．2 • C．2 • D．2 •
【答案】B
【分析】
由条件利用两个向量的数量积的定义，对各个选项中式子进行运算，可得结论．
【详解】
由题意可得，2 2a•a•cos（π﹣∠BAD）＝2a2•（﹣cos60°）＝﹣a2，故排除A．
∵2 • 2•a•a•cos60°＝a2，故B满足条件．∵2 • 2• •a•cosπ＝﹣a2，故排除C．
∵2 • 2• •a•cos60° ，故排除D，
故选：B
8．如图一，矩形 中， ， 交对角线 于点 ，交 于点 ．现将 沿
翻折至 的位置，如图二，点 为棱 的中点，则下列判断一定成立的是（ ）
A． B． 平面
C． 平面 D．平面 平面
【答案】D
【分析】
利用反证法可判断A选项；由二面角 的变化可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质
可判断C选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项.
【详解】
翻折前， ， ，
翻折后，对应地有， ， ，
，则 平面 ，
平面 ，故平面 平面 ，D选项一定成立；
对于B选项，由上可知，二面角 的平面角为 ，在翻折的过程中， 会发生变化，则 与 不一定垂直，
即 与平面 不一定垂直，故B选项不一定成立；
对于A选项，设 ，在图一中， ，
所以， ，可得 ， ，
因为 ，则 ，
故 ，所以， ，
在图二中，过点 在平面 内作 交 于点 ，连接 ，
则 ，故 ，则 ，
又因为 ，故 不为 的中点，
因为 ， ，则 ，
若 ，且 ，则 平面 ，
平面 ，则 ，
由于 、 平面 ，且 ，故 ，
由于 为 的中点，则 为 的中点，与已知条件矛盾，A选项不成立；
对于C选项，由A选项可知，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
若 平面 ， ，则平面 平面 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，则 ，
由于 为 的中点，则 为 的中点，与已知条件矛盾，C选项不成立.
故选：D.9．点M是棱长为3的正方体 中棱 的中点， ，动点P在正方形 （包
括边界）内运动，且 平面 ，则 的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以D为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，设平面 与 于 ，取
中点F，在 上取点H，使 ，在 上取点G，使 ，可得截面 ，
【详解】
解：以D为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设平面 与 于 ，连接 ，由平面 平面 ， 是截面与这两个平面的交
线，因此 ，取 中点F，在 上取点H，使 ，在 上取点G，使 ，
连接 ，易得 ，所以 ，又 ，所以
，
所以 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
易知 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，所以
， 共面，
， ，所以 ，同理得 平面 ，
是平面 内两相交直线，则平面 平面 ，
∵动点P在正方形 （含边界）内运动，且 平面 ，∴P点的轨迹是线段 ，
又点C到线段 的距离
，
∴ 的长度的最小值为 ， ， ，
∴ 长度的最大值为 .
∵ 的长度范围为 ．
故选：B.10．如图，在正方体 中，点M在线段 (不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是（
）
① 平面 ； ②异面直线 与 所成角的取值范围是 ；
③ 平面 恒成立； ④三棱锥 的体积不是定值．
A．①③ B．①② C．①②③ D．②④
【答案】B
【分析】
根据给定条件证得平面 平面 可判断①；由 及正 可判断②；
取特殊位置说明 与 不垂直判断③；利用等体积法转化可判断④即可作答.
【详解】
在正方体 中，连接 ，如图，
因对角面ABCD 是矩形，则AD//BC ，而 平面ACD ， 平面ACD ，于是得BC //平面ACD ，
1 1 1 1 1 1 1 1
同理，AB//平面ACD ，
1 1而 ， 平面 ，因此，平面 平面 ，又 平面 ，故有
平面 ，①正确；
因 ，即异面直线 与 所成角即为 与 所成角，而 是正三角形，
点M在线段 (不包含端点)上运动时， 与 所成角范围为 ，②正确；
当M为 的中点时，直线 过点C， ，即此时 与 不垂直， 平面 不恒成
立，③错误；
因BC //平面ACD ，则 ，即三棱锥 的体积是定值，④错误.
1 1
故选：B
11．在四面体 中， 平面 ， ， ， ，则该四面体的外接
球的表面积是（ ）
A． B．100π C． D．20π
【答案】D
【分析】
由题知 ， ， ，设 为三角形 的外心，进而得 ，过 作三角形
的垂线 ，球心 在 上，且 ，进而得外接球半径 ，再计算表面积即可得答案.
【详解】
如图：因为 平面 ， ，
所以 ， ，
因为 ，由余弦定理可解得 ，
设 为三角形 的外心，
则由正弦定理得三角形 外接圆半径为2，即 ，
过 作三角形 的垂线 ，球心 在 上，则 ，
可求外接球半径 ，
故该四面体的外接球的表面积是 ，
故选：D.
12．已知圆锥 的母线长为 ，侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由圆锥侧面展开图的圆心角可构造方程求得圆锥底面半径 ，在 中，利用勾股定理可构造关
于圆锥外接球半径 的方程，解方程求得 ，根据球的表面积公式即可求得结果.
【详解】
设圆锥 的底面半径为 ，由题意得： ，解得： .
如图， 是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心 在 上，连接 ， ，设圆锥的外接球的半径为 ，则 ，
则 ，
，即 ，解得： ，
圆锥的外接球的表面积为 .
故选：C.
13．如图，四棱锥 的底面为矩形， 底面 ， ， ，点 是 的中点，
过 ， ， 三点的平面 与平面 的交线为 ，则下列结论中正确的有（ ）
（1） 平面 ；
（2） 平面 ；
（3）直线 与 所成角的余弦值为 ；
（4）平面 截四棱锥 所得的上、下两部分几何体的体积之比为 ．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个【答案】C
【分析】
对A，取 的中点 ，连接 ，证明 平面 ，即 平面 ，可判断A；对B，若 平面
，则 ，结合 ，可判断B；对C， 根据 ，故判断C；对D，连
接 ，分别求出两部分的体积即可判断D.
【详解】
对A，取 的中点 ，连接 ，则 ，即 ， ， ， 四点共面，即 为 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即 平面 ，故A正确；
对B：由 ，若 平面 ．则必有 ，即四边形 为平行四边形，则 ，因
为 ， ，所以矛盾，故B错误；
对C： 与 所成角，即 与 所成角，即 与 所成角，由 底面 得 ．则
，故C正确；
对D：连接 ，由A知截面 就是平面 ，下半部分分为四棱锥 和三棱锥 .， ，
由 底面 得 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面
，即 平面 .
所以 ，即下半部分体积为 .
所以上半部分体积与下半部分体积之比为 ，故D正确．
因此正确的结论有3个.
故选：C．
14．在四棱锥 中，平面 平面 ，且 是边长为2的正三角形， 是正方形，
则四棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F,取AD的中点E,在截面PEF中，利用勾股定理求出球的
半径，即可求四棱锥P-ABCD的外接球的体积.
【详解】
连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取AD的中点E,在截面PEF中，连结 ，如图，在等边 中，AD的中点为E，
所以 , 又平面 平面 , 是交线，
所以 平面 , 且 ，
设 ，外接球半径为R,
则在正方形 中， ，
在 中， ，
而在截面 中， ，
由 可得：
解得 ，
所以 ,
所以 .
故选：D
15．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为 ，则该
四面体内切球的体积为（ ）
A． π B． π
C．4 π D． π【答案】D
【分析】
首先设正四面体的棱长为 ，将侧面 和 沿 边展开成平面图形，根据题意得到 的
最小值为 ，从而得到 ，根据等体积转化得到内切球半径
，再计算其体积即可.
【详解】
设正四面体的棱长为 ，将侧面 和 沿 边展开成平面图形，如图所示：
则 的最小值为 ，
解得 .
如图所示： 为正四面体的高，
，正四面体高 .
所以正四面体的体积 .设正四面体内切球的球心为 ，半径为 ，如图所示：
则 到正四面体四个面的距离相等，都等于 ，
所以正四面体的体积 ，解得 .
所以内切球的体积 .
故选：D
16．在棱长为2的正方体 中，点 ， ， ， 分别为棱 ， ， ， 的中点，
若平面 平面 ，且平面 与棱 ， ， 分别交于点 ， ， ，其中点 是棱 的中
点，则三棱锥 的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件结合面面平行的性质定理可确定出 ，根据点 的位置可确定出 的位
置，由此可计算出三棱锥 的体积.
【详解】
如图所示，取 的中点 ，连接 ，由正方体结构特点可知： ，
所以 六点共面，
又因为平面 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，由 为所在边中点可知 为 中点，
同理可知： 为 的中点，
所以 ，且 ， ， 两两垂直，
所以三棱锥 的体积为 ，
故选：D.
17．已知球 ，过其球面上 ， ， 三点作截面，若点 到该截面的距离是球半径的一半，且
， ，则球 的表面积为（ ）（注：球的表面积公式
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件先计算出 外接圆的半径，然后根据球的半径、球心到截面的距离、 外接圆的半径构
成直角三角形的三边，由此列出方程可求外接球的半径，则球的表面积可求.【详解】
如图，
设球 的半径为 ， 是 的外心，外接圆的半径为 ，
则 平面 ，
在 中， ， ，则 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
在 中，有 ，得 ．
球 的表面积为 ．
故选：A．
18．如图，在正三棱柱ABC-A B C 中，AC=CC ，P是A C 的中点，则异面直线BC与AP所成角的余弦
1 1 1 1 1 1
值为（ ）
A．0 B． C． D．【答案】D
【分析】
取 的中点Q，连接 .先证明 即异面直线 与 所成的角或其补角. 在三角形APQ中，
由余弦定理求出异面直线BC与AP所成角的余弦值.
【详解】
如图，
取 的中点Q，连接 .
因为 ，所以 即异面直线 与 所成的角或其补角.
在正三棱柱ABC-ABC 中,
1 1 1
设 ，则 ，
在三角形APQ中，由余弦定理得： .
故选：D
19．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各
侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 、 、
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
由题设易知 ，设 利用正方形、正三角形的性质及勾股定理求出 、 、 ，即可知它们的比
例关系.
【详解】
设四棱锥为 ，三棱锥为 ，则三棱锥 为正四面体，四棱锥 为正四棱锥，
显然 ．
设 ，正方形 的中心为 ，正三角形 的中心为 ，
连接 ， ， ， ，则 ， ，
， ，即 ， ，
．
故选：C
20．如图，二面角 的大小是 ，线段 ． ， 与 所成的角为 ．直线 与平面
所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】
过点 作平面 的垂线，垂足为 ，在 内过 作 的垂线．垂足为 连接 ，由三垂线定理可知
，故 为二面角 的平面角为 ，在 即可得到答案；
【详解】
解：过点 作平面 的垂线，垂足为 ，在 内过 作 的垂线．垂足为 连接 ，
由三垂线定理可知 ，故 为二面角 的平面角为
又由已知，
连接 ，则 为 与平面 所成的角，
设 ，则 ， ，
直线 与平面 所成的角的正弦值 ．
故选： ．
二、多选题
21．如图，已知正方体 ，则四个推断正确的是（ ）
A． B．C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】BCD
【分析】
对于A， 与 成 角；对于B，由 ， ，得 ；对于C，由 ，
，得平面 平面 ；对于D，由 ， ，得平面 平面 ．
【详解】
在正方体 中，
对于A，由正方体的性质可知 ，
所以 即为异面直线 与 所成的角，
在 中显然 ，所以 与 成 角，故A错误；
对于B， ， ， ，故B正确；
对于C， ， ， 、 平面 ， 、 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，又 ，
平面 平面 ，故C正确；
对于D， ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面平面 平面 ，故D正确．
故选：BCD．
22．正方体 的棱长为2，E，F，G分别为 的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为 D．点C到平面 的距离为
【答案】BCD
【分析】
A. 设 ，易证 平面AEF判断； B.取 的中点 ，连接 ，证明平面 平
面AEF判断；C.接 ，易证 ，得到截面为等腰梯形 求解判断； D. 利用等体积法，
由 求解判断.
【详解】
A. 若 ，因为 平面ABCD，则 ，又 ，所以 平面AEF，则
，则 ，故错误；B.如图所示：
取 的中点 ，连接 ，易知 ，又 平面AEF， 平面AEF，所以 平面
AEF，同理 平面AEF，
又 ，所以平面 平面AEF，因为 平面 ，所以 平面AEF，故正确；
C.如图所示：
连接 ，因为E，F分别为 的中点，则 ，所以 共面，则截面为等腰梯
形 ，又 ，
等腰梯形的高为 ，所以等腰梯形的面积为 ，故正确；
D. 因为 ，且 ，所以点C到平面 的距离为 ，故正确.
故选：BCD
23．正四棱锥 的所有棱长为2，用垂直于侧棱 的平面 截该四棱锥，则（ ）
A．截面可以是三角形
B． 与底面 所成的角为
C． 与底面 所成的角为
D．当平面 经过侧棱 中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：1
【答案】ACD
【分析】
对于A：取PC的中点E，连结BE、DE、BD.可以证明 面BDE，即可判断A；
对于B、C：作为 与底面 所成的角.即可求得；
对于D：分别求出上下两部分几何体的体积，即可判断.
【详解】
对于A:取PC的中点E，连结BE、DE、BD.
因为正四棱锥 的所有棱长为2，所以△PBC、△PBC为正三角形，所以 又
,则 面BDE，即△BDE为截面.故A正确；
对于B、C:过P作 底面ABCD于O，则O为AC中点.则 即为 与底面 所成的角.
因为正四棱锥 的所有棱长为2，所以 ,
所以 ,所以 .故B错误，C正确；对于D:由A的推导过程可知：平面 经过侧棱 中点时，平面 即为平面BDE.
此时 .
因为 ,
所以 ,
所以 .故D正确
故选：ACD
24．如图，等腰直角三角形 的斜边 为正四面体 的侧棱， ，直角边 绕斜边 旋
转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）A．三棱锥 体积的最大值为
B．三棱锥 体积的最小值为
C．存在某个位置，使得
D．设二面角 的平面角为 ，且 ，则
【答案】AC
【分析】
是 的中点﹐点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动（圆锥的底面圆），作出图形，观察 到平面
距离的最大值和最小值，计算体积判断AB，把 去掉，作出图形，分析 与 所成角，
二面角 的大小判断CD．
【详解】
在图1中， 是 的中点， 是 的中点﹐点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
易知当 三点共线，且 在 之间时，三棱锥 的体积最大，当 运动到 的位置时，
的体积最小.
在 中， .
设 到平面 的距离分别为 ，则 ，所以三棱锥 体积的最大值为 ，最小值为 ，A正确，B错误.
如图2，因为直线 与旋转轴 所成的角为 ，母线 与旋转轴 所成的角为 ﹐
所以直线 与 所成角的范围为 ，即 ，
因为 ，所以存在夹角为 的情况，
又因为线线角的取值范围不包含钝角，所以直线 与 所成角的范围为 ，
即可得出 C正确.
如图2，当 运动到 时，二面角 的平面角为 ，
在 与 中，
所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，D错误.
故选：AC
25．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是
60°，下列说法中不正确的是（ ）A．
B． 平面
C．向量 与 的夹角是60°
D．直线 与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】
根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】
解：对于 ，
，
所以 ，选项 错误；
对于
，所以 ，即 ，
，所以 ，即 ，因为
， 平面 ，所以 平面 ，选项 正确；对于 ：向量 与 的夹角是 ，所以向量 与 的夹角也是 ，选项 错误；
对于 ，
所以 ，
，
同理，可得
，
所以 ，所以选项 正确．
故选：AC．
26．正方体 中， 是棱 的中点， 在侧面 上运动，且满足 平面 .以
下命题正确的有（ ）
A．侧面 上存在点 ，使得
B．直线 与直线 所成角可能为
C．平面 与平面 所成锐二面角的正切值为
D．设正方体棱长为1，则过点 ， ， 的平面截正方体所得的截面面积最大为
【答案】ACD
【分析】由面面平行的性质可得出点 的轨迹，再找出点 ，使得 可判断A；由异面直线所成的角的定
义求出角的范围可判断B；计算二面角的平面角可判断C；求出最大截面的面积可判断D，进而可得正确
选项.
【详解】
对于A:取 和 的中点分别为 ， ，连接 ， ， ，则 ， ，
， ，所以面 面 ，因为 在侧面 上运动，且满足 平面
，所以点 在线段 上，因为 是正方体，所以 ，若 为线段 的中
点，可得 ，因为 ，所以 ，故选项A正确；
对于B：因为 ，所以 与直线 所成角即为 与直线 所成角，则 即为异面直线
所成的角，设正方体的棱长为 ，在 中， ，若所成的角为 ，则
，而 最大为 ，所以 ，所以所成角不可能为 ，故选项B
不正确；
对于C：因为面 面 ，所以平面 与平面 所锐二面角，
即为平面 与平面 所成锐二面角，因为面 面 ， ，
，当 为线段 的中点，可得 ， ，所以 即为二面角的平面角，且 ， ，
所以 ，故选项C正确；
对于D:当 为 与 的交点时过点 ， ， 的平面截正方体所得的截面面积最大，取 的中点 ，
， ，则截面为菱形 ， ， ，其面积为
故选项D正确，
故选：ACD.
27．如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方
形对角线AC和BF上移动，且 .则下列结论中正确的有（ ）
A．当 时，ME与CN相交
B．MN始终与平面BCE平行
C．异面直线AC与BF所成的角为
D．当 时，MN的长最小，最小为
【答案】BD
【分析】
以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系.证明向量 不共面可判断选项A错误；判断 与平面BCE的法向量垂直可判断选项B；利用
向量法可求异面直线所成的角，从而判断选项C；利用两点间的距离公式及二次函数的性质可判断选项D.
【详解】
以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，
，
若ME与CN相交，则四点共面，
设 ，则 ，该方程无解，所以ME与CN不相交，故选项A错误；
平面BCE的法向量为 ，此时 ，
所以MN始终与平面BCE平行，故B正确；
，设异面直线AC与BF所成的角为 ，
所以 ，所以异面直线AC与BF所成的角为60°，故C错误；
，
所以当 时，MN的长最小，最小为 ，故D正确.故选：BD.
28．(多选)如图，ABCDA B C D 为正方体，下面结论正确的是（ ）
1 1 1 1
A．BD∥平面CB D
1 1
B．AC ⊥BD
1
C．AC ⊥平面CB D
1 1 1
D．异面直线AD与CB 所成的角为60°
1
【答案】ABC
【分析】
由 的射影 、 、 ，结合线面垂直的判定即可知B、C的正误；构建空间直
角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可得 ，结合C选项即可判断A的正误，再利用线
线角的向量求法求AD与CB 所成角.
1
【详解】
以D为坐标原点，分别以 所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由 在面 、面 、面 的射影 、 、 ，即 ，
， ，又 ，则AC ⊥面CB D，
1 1 1
∴B、C正确；
设正方体棱长为1，易知 ＝(－1,－1,0)， ＝(－1,1,1)，
∴ ，即BD∥面CB D，故A正确；
1 1
∵ ＝(－1,0,0)， ＝(1,0,1)，
∴ ，
∴AD与CB 所成的角为45°，故D错，
1
故选：ABC．
29．已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接
EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
【答案】ABC
【分析】根据题意，将几何体补形为正方体，进而建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算得到答案.
【详解】
由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．
以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设AD＝DC＝DG＝2，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1)．
对A， ，所以 ，
则 ，正确；
对B， ，设 所成角为 ，
所以 ，正确；
对C， ，
设 是平面DBF的一个法向量，所以 ，
令x=1，则 ，所以 ，则EC⊥平面DBF，正确；
对D，由题意，EA⊥平面ABCD，则EA⊥DB，易得：DB⊥AC，EA与AC交于A，
则DB⊥平面ACFE，则 是平面ACFE的一个法向量，设BF与平面ACFE所成的角为 ，
所以 ，错误.
故选：ABC.
30．下图中正方体 边长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 平面
B．正方体 外接球与正四面体 外接球半径相等均为
C．正四面体 内切球半径为
D．四面体 内切球半径为
【答案】BCD
【分析】
取 的中点 ，连接 和 ，计算二面角 的平面角 即可判断A；由正四面体
与正方体有同一个外接球可判断B，利用等体积求内切球的半径可判断CD，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：因为正方体的边长为 ，所以 ，
所以 和 是等边三角形，取 的中点 ，连接 和 ，则 ， ，所以 即为二面角 的平面角，
因为 ， ，因为 ，
所以 不等于 ，即二面角 的平面角不等于 ，所以平面 平面 不成立，
故选项A不正确；
对于B：正四面体 的四个顶点都是正方体的顶点，所以正四面体 与正方体
有同一个外接球，且外接球的半径为 ，故选项B正确；
对于C：正四面体 内切球半径为 ，正四面体 的高为
，
由体积相等可得： ，可得 ，故选项C正确；
对于D：设四面体 内切球半径为 ，
由体积相等可得： ，
即 ，解得： ，
故选项D正确；
故选：BCD.第II卷（非选择题）
三、填空题
31．空间四面体 中， ， ， ，直线 和 所成的角为 ，则该
四面体的外接球的表面积为 __.
【答案】 /11.5π
【分析】
将该四面体的六条棱看成某长方体的六个面的对角线，然后该长方体的外接球即为该四面体的外接球，最
后求出外接球的表面积
【详解】
如图所示，
因为 ， ， ，先将四面体 的六条棱看成该长方体如图所示的六条
面对角线，下面验证直线 和 所成的角为 ，易知 ， ，且 ， 互相平分于 点，所以 ，
设长方体的三边长为 ， ， ，则 ，解得 ，
故 是等边三角形，则 ，即直线 和 所成的角为 ，即 成立，
故四面体 的六条棱看成该长方体如图所示的六条面对角线，四面体的外接球即为该长方体的外接球，
所以外接球的直径 ，故外接球的表面积为 .
故答案为： .
32．如图，A、B、C、D、P是球O上5个点，ABCD为正方形，球心O在平面ABCD内， ，
，则PA与CD所成角的余弦值为______．
【答案】
【分析】
由题可得∠PAB即为所求，设球O的半径为r，则可得 ， ，在等腰三角形
PAB中，即得.
【详解】
∵ABCD为正方形，
∴AB∥CD，∴∠PAB即为异面直线PA与CD所成角，
设球O的半径为r，球心O在平面ABCD内，则O为正方形ABCD的中心，
由题可知 ，又 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
在等腰三角形PAB中， .
故答案为： .
33．已知圆锥、圆柱的底面半径和体积都相等，则它们的轴截面的面积之比的比值是___________
【答案】
【分析】
利用公式分别求出圆锥和圆柱的体积以及他们的轴截面面积，然后结合已知条件求出圆锥与圆柱的高的比
值，进而求出它们的轴截面的面积之比的比值.
【详解】
由题意，设圆锥、圆柱的底面半径为 ，高分别为 、 ，体积分别为 、 ，轴截面面积为 、 ，
从而 ， ， ， ，
因为圆锥、圆柱的体积相等，所以 ，即 ，
故 ，
从而圆锥、圆柱的轴截面的面积之比的比值是 .
故答案为： .
34．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左图是南北朝官员独孤信的印信，它是由正方
形和正三角形围成.右图是根据这只印信作出的直观图，直观图的所有顶点都在一正方体的表面上（如果一
个正八边形的八个顶点都在这个正方体同一个侧面的四条棱上，那么这个八边形的边长就等于这个直观图
的棱长）.若这个正方体的所有顶点都在半径为 的球面上，则这只印信的表面积为__________.
【答案】 /
【分析】
根据正方体外接球的半径可确定其棱长为 ；根据正八边形的八个顶点都在这个正方体同一个侧面
的四条棱上可构造方程求得正八边形的边长，即为直观图的棱长，进而根据直观图的构成可求得表面积.
【详解】
设正方体棱长为 ，
正方体的所有顶点都在半径为 的球面上，
，解得： ；
设正八边形的边长为 ，则 ，整理可得： ，解得： ，即直观图棱长为 ；
由直观图可知：印信是由 个正方形， 个等边三角形拼接而成，
印信的表面积 .
故答案为： .
35．如图，在直三棱柱 中， ， ，已知G与E分别为 和 的
中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若 ，则线段DF的长度的平方取
值范围为__________.
【答案】 .
【分析】
建立空间直角坐标系，根据题设条件可得 ，再表示出 ，利用二次函数的性质即可求得答案.
【详解】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，即为 ，显然线段DF长度的最大值是1，但不包括端点，故不能取1，
综上，线段DF长度的平方取值范围为 .
故答案为： .
36．如图，在长方体 中，已知 ，点 ， 分别在棱 ， 上.二面角
的大小为30°.若三棱锥 的体积为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
___________.【答案】
【分析】
由题条件可求 ，再利用长方体的性质可得三棱锥 的外接球的半径，即求.
【详解】
如图过D作DE⊥MN于E，连DE，则，
1
由长方体的性质可知，DD ⊥平面ABCD，
1
∴DD ⊥MN，DD ∩DE=D，
1 1
∴MN⊥平面DED
1
∴∠DED为二面角 的平面角，
1
∴∠DED ，又 ，
1∴ ，又三棱锥 的体积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设三棱锥 的外接球的半径为R，则
，
∴三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为：
37．异面直线a、b所成角为 ，直线c与a、b垂直且分别交于A、B，点C、D分别在直线a、b上，若
， ， ，则 ________．
【答案】 或
【分析】
过B作BE//AC且过D作DE⊥BE于E，连接BE、CE，要注意E、C在AB的同侧或异侧两种情况，结合
已知有 ，再过C作CF⊥BE于F，求出DE、EC的长度，在Rt DEC中应用勾股定理求 .
△
【详解】
由题意，过B作BE//AC且过D作DE⊥BE于E，连接BE、CE，如下示意图，∴由题设知：面ABEC为直角梯形且 ，
过C作CF⊥BE于F，则CF=AB=2， ，可得DE= ，BE= ，
∴如图1，易得EF= ，则EC= ，
在Rt DEC中，CD= .
△
如图2，易得EF= ，则EC= ，
在Rt DEC中，CD= .
△
故答案为： 或
38．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，SD⊥面ABCD，点M、N分别是AD、CD的中点，
P为SD上一点，且SD＝3PD＝3，H为正方形ABCD内一点，若SH∥面PMN，则SH的最小值为__．
【答案】
【分析】
取 为 中点，连结 ，可证明平面 平面 ，故当H在 上运动时，始终有SH∥面
PMN，由于 ，故当 在 中点 时， ，SH取得最小值，计算即得解
【详解】
连接BD,AC交于点O，MN交BD于Q,如图所示：四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以SD⊥BD；
由点M、N分别是AD、CD的中点，所以M⊂N∥AC；
取 为 中点，连结 ，交BD于E，故 ,
又SD＝3PD＝3，连接SE，
则 ＝ ＝ ，所以PQ∥SE；
又 ,故平面 平面 ,
故当H在 上运动时，始终有SH∥面PMN
由于 为 中点，故 ,
当 在 中点 时， ,
此时SH取得最小值为 ＝ ＝ ．
故答案为：
39．如图，在 中， ， ， 是棱 的中点，以 为折痕把 折
叠，使点 到达点 的位置，则当三棱锥 体积最大时，其外接球的表面积为___________.【答案】
【分析】
由已知求出 ，当 ，即 平面 ，三棱锥 体积最大，再利用模型法求出
外接球半径即得解.
【详解】
在 中，因为 ， ，
由余弦定理可得
，所以 ，
当 ，即 平面 ，三棱锥 体积最大，
此时 ､ ､ 两两垂直，可把三棱锥补形为一个长方体，
且长方体长､宽､高分别为： ，
所以三棱锥 的外接球半径为：
，
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
40．在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是 ，且平面 平面 ，活动弹子 分
别在正方形对角线 上移动，若 ，则 长度的最小值为__________．【答案】
【分析】
的最小值即为两条异面直线 间的距离 ，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设
异面直线 的公垂向量为 ，由距离公式 可求得答案.
【详解】
分别是异面直线 上的点， 的最小值即为两条异面直线 间的距离 ，
平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，
又 ， 两两垂直．以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
设异面直线 的公垂向量为 ，则 ,
令 ，则 ， ，
，即 的最小值为 ．
故答案为：任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．已知四面体ABCD的所有棱长均为 ，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的
动点．有下列结论：
①线段MN的长度为1；
②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；
③ 的余弦值的取值范围为 ；
④ 周长的最小值为 ．
其中正确结论的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D【分析】
将正四面体ABCD放置于正方体中，由M，N所处位置即可判断①；取AB，MN，CD中点F，G，E，探
讨它们的关系可判断②；
计算 可判断③；把正 与正 展开在同一平面内，计算即可判断④并作答.
【详解】
如图，在棱长为1的正方体上取顶点A，B，C，D，并顺次连接即可得四面体ABCD，其棱长均为 ，
因M，N分别为棱AD，BC的中点，则M，N恰为正方体相对面的中心，即MN=1，①正确；
取AB的中点F，MN的中点G，CD的中点E，由正方体的结构特征知F，G，E共线，即直线FG与直线
CD交于E，②不正确；
中， ， ，由余弦定理得：
，当点F无限接近于点B时， 无限接近于 ，③不
正确；
把四面体ABCD中的正 与正 展开在同一平面内，连接MN，MN必过AB的中点，在AB上任
取点 ，连 ，如图，
此时， ，当且仅当点 与线段AB中点重合时取“=”，则对AB上任意点F，
有最小值 ，
于是得在四面体ABCD中， 周长 有最小值 ，④正确，所以①④为正确的结论.
故选：D
2．已知三棱锥 ，其中 平面 ， ， ， .已知点 为棱
（不含端点）上的动点，若光线从点 出发，依次经过平面 与平面 反射后重新回到点 ，则光
线经过路径长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
依题意可知光线所构成的平面与平面 和平面 均垂直，即平面 . 问题等价于：光线从线段
（不含端点）上的点 出发，经过 反射后重新回到点 ，求光线经过路径长度的取值范围. 以 为
原点，以 为 轴建立平面直角坐标系，设 （ ），分别求得 关于 的对称点 和
关于 的对称点 ，根据几何光学知识可得光线经过路径长度为线段 的长度，进而可求得结果.
【详解】
依题意可知光线所构成的平面与平面 和平面 均垂直.
如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，又 平面 ，所以 ，因为
，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；因为 平面
，且 平面 ，所以平面 平面 .
所以平面 与平面 和平面 均垂直.因此，问题等价于：光线从线段 （不含端点）上的点 出发，经过 反射后重新回到点 ，求光
线经过路径长度的取值范围.
以 为原点，以 为 轴建立平面直角坐标系如图所示.
则 ， ，所以 的方程为 ，即 ，
设 （ ）关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
关于 的对称点为 ，
根据几何光学知识可得光线经过路径长度为线段 的长度.
因为 ，所以 .
故选：C.
3．如图，已知锐二面角 的大小为 ， ， ， ， ， ， ，C，D
为AB，MN的中点，若 ，记AN，CD与半平面 所成角分别为 ， ，则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】
根据面面角的定义求得 ，根据线面角的定义找到 ， ，通过比较 的正
弦值比较两角的大小，接着根据 的范围判断 的大小，根据线段长度的大小关系求得 的大
小关系.
【详解】
分别过点 和点 作 ， 的平行线相交于点 ，
因为 ，所以 ,所以 ，
过 点作 ，连接 ，所以 ，
所以 , ,由于 ，所以 ，
所以 ，又因为 都为锐角，所以 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 ；
取线段 中点为点 ，又C，D为AB，MN的中点，
所以 与 平行且相等，所以 ，
所以CD与半平面 所成角为 ，
显然 ，又因为 ，所以 ；
故选：A.
4．在棱长为2的正方体 中，点 是对角线 上的点（点 与 不重合），有以下
四个结论：①存在点 ，使得平面 平面 ；
②存在点 ，使得 平面 ；
③若 的周长为L，则L的最小值为 ；
④若 的面积为 ，则 ．
则正确的结论为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④
【答案】B
【分析】
根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正确；由面面平行的性质定理，可判定②正确；
将平面 与平面 展开到同一平面，由两点之间线段最短，可判定③正确；由三角形的面积公
式，可求得 的面积的范围，可判定④错误.
【详解】
解：
连接 ，设平面 与体对角线 交于点 ，
由 ， ， ,
平面 ，即 平面 ,平面 ，平面 平面 ，
存在点 ，使得平面 平面 ，故①对；
由 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理由 可得 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，
设平面 与 交于点M，则 平面 ，
所以 平面 ，故②对；
将平面 与平面 展开到同一平面，如图所示
则 ，所以 的周长为L的最小值为 ，故③对；
连接 交 于点O，过O作 ，
在正方体 中， 平面 ，
平面 ， ，
由 ，
则 ，即 ，
此时 面积为 ，
故④错；
故选：B．
5．在棱长为1的正方体 中，点P是正方体棱上一点，若满足 的点P的个数
为4，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求得正方体的8个顶点到 两点的距离之和，进而得到得到在棱上的运动时d的取值范围，然后再根
据点的个数为4取交集即可.
【详解】如图所示：
因为顶点 到 两点的距离之和分别为
所以当点 分别在棱 上运动时， 的取值范围是 ；
因为顶点 ，到 两点的距离之和分别为：
，
所以当点 分别在棱 上运动时， 的取值范围是 ；
因为顶点 到 两点的距离之和分别为：
， ， ， ，
所以当点 分别在棱 上运动时， 的取值范围是 ；
当点 分别在棱 上运动时，设 ，
易得 ，此式可看成点 与 间的距离，
所以
因为顶点 到 两点的距离之和分别为：， ，
所以当点 分别在棱 上运动时， 的取值范围是 .
由几何直观可知，点 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与 的值是一一对应的，
所以当 的点 的个数为4时，则 的取值范围是 ，
故选：C（无答案）
6．在三棱锥 中， ，点 在面 上的投影 是 的垂心，二面角
的平面角记为 ，二面角 的平面角记为 ，二面角 的平面角记为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先根据题意作出各二面角的平面角，再在每一个直角三角形中将角用三角函数表示出达，然后再通过比较
边长从而达到比较角的大小的目的.
【详解】
因为 为点 在平面 的投影，且 为 的垂心连接 交 于点 ，连接 ，可知 平
面 ，所以 ，可知 ，所以 在 上的投影为 ，过 作 ，连接 .连接
交 于 ，连接 .
这样 .
又因为 ,在 中， ,可得 .
在 中，,
,
，
又因为在 中， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以
而
所以 .
所以在 中， ，
所以在 中， ，
因为 ，所以 ，所以 .
由题意，可知 平面 ，所以 ，
又 为 的垂心，所以 ，且 ，
所以 平面 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 、 .
由于 为正三角形，所以 ，且 ，
所以 平面 ，因此 ，由于 为 的中点，所以 ，
又 ，所以三棱锥 为正三棱锥.
在分别 ， 中， ，而 ， ，
从而可知选项C正确.
故选：C.
7．已知正方体 的棱长为1， 是 的中点， 是棱 上一点（不包括端点），则下列
结论错误的是（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．存在点 ，使得直线 与直线 相交
C．当 是棱 的中点时，直线 与直线 所成的角为
D．平面 截正方体所得的截面是五边形
【答案】B
【分析】
对A用等体积转换可知其正确；对B用反证法可知其错误；对C用两异面直线所成的角可知其正确；对D
由作图可知其正确.
【详解】
对于选项A：如图，因为 ，所以A正确；对于选项B：若存在点 ，使得直线 与直线 相交，则 ， ， ， 四点共面，又平面
平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，所以 ，矛
盾. 所以B错误；
对于选项C：取 的中点 ，连接 ，则 ，则 或其补角 是异面直线 与 所成的角，
连接 ，易知 ，连接 ， ， ，由余弦定
理得 ，所以直线 与直线 所成的角为 ，所以C正确；对于选项D：过点 作 的平行线，交线段 于点 ，交直线 于点 ，连接 ，交 于点 ，
连接 ， ，则五边形 就是平面 截正方体表面所得的截面，所以D正确．
故选：B．
8．如图，在等边三角形 中， 分别是线段 上异于端点的动点，且 ，现将三角形
沿直线 折起，使平面 平面 ，当 从 滑动到 的过程中，则下列选项中错误的是（
）A． 的大小不会发生变化 B．二面角 的平面角的大小不会发生变化
C． 与平面 所成的角变大 D． 与 所成的角先变小后变大
【答案】C
【分析】
过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，可证明在三角形 沿直线 折起的过
程中， 平面 ，然后用 的值分别将各个选项中的角的相应三角函数表示出来，然后判断可得
答案.
【详解】
设等边三角形 的边长为1， ，则
在 中，由 ，则
过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，则
,所以 ，
在三角形 沿直线 折起的过程中， 始终满足.
由平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面
由 平面 ,则
在 中， ,
所以
所以
所以 大小不变，故选项A正确.过 作 交 于 点，由 ，则
由 平面 ，又 平面 ，则
由 ,所以 平面 ,
所以 为二面角 的平面角
在直角 中，
所以 大小不变，故选项B正确.
由 ,则 ，又 , 且
所以 平面 ，又 平面 ,所以
由 平面 ，由 平面 ,则
所以设点 到平面 的距离为 .
由等体积法可得 ,即
则
设 与平面 所成的角为 ，则
当 从 滑动到 的过程中， 的值从1变小到0，这一过程中 逐渐变大.
所以在这一过程中， 变小，则角 变小， 故选项C不正确.
由 ，则 (或其补角)为 与 所成的角.
由上可知： ，则
函数 的对称轴为
当 时，函数 单调递减.
当 时，函数 单调递增.
所以当 从1变到 的过程中， 变小，当 从 变到0的过程中， 变大，
所以选项D正确.
故选：C
9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的
球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的
表面上有四个点 ， ， ， 满足 ， ，则该“鞠”的表面积
为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本题实际上是求四面体外接球的面积问题. 设出球心，根据已知条件求出外接球半径即可.
【详解】
由已知得△ ，△ 均为等边三角形.如图所示，
设球心为 ，△ 的中心为 ，
取 的中点 ，连接 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，得 平面 ，
且可求得 ，
而 ，所以 .
在平面 中过点 作 的垂线，与 的延长线交于点 ，
由 平面 ，得 ，
故 平面 ，过点 作 于点 ，
则四边形 是矩形.则 ， ，
， .
设球的半径为 ， ，
则由 ， ，
得 ， ，
解得 ， .
故三棱锥 外接球的表面积 .
故选：B.
10．已知在 中，斜边 ， ，若将 沿斜边 上的中线 折起，使平面
平面 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意作出三棱锥 的外接球的球心，进而通过计算求得外接球半径，最终可求得外接球的表面积.
【详解】
依题意知，△ 是边长为1的等边三角形，设其外接圆半径为 ，由正弦定理易得 ；
△ 是腰长为1的等腰三角形，同理可得其外接圆半径 .
在三棱锥 中，分别过△ 和 的外心 、 作它们的垂线，二者交于点 ，则 是三棱锥
的外接球的球心.
取 的中点为 ，连接 ， ，由平面 平面 可知，四边形 为矩形.在直角△ 中， ， ，所以 ，所以
，在直角△ 中， ，
所以 .
故三棱锥 的外接球的表面积 .
故选：A.
11．如图，在长方体 中， ， ， ，点 是 的中点，点 为棱 上
的动点，则平面 与平面 所成的锐二面角正切的最小值是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
以A为原点， 分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
用向量法求解即可.
【详解】
以A为原点， 分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 、 、 、
、 其中 .
则 , .
设 是平面 的一个法向量，则 ，不妨设x=-1，则
，
显然 是面 的一个法向量.设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，则
，
要使平面 与平面 所成的锐二面角正切的最小，只需平面 与平面 所成的锐二面角最
小，只需平面 与平面 所成的锐二面角余弦最大.
所以当 时， 最小， 最大.
此时 ，
所以 .
故选：B
12．已知正方体 的棱长为 ，M，N为体对角线 的三等分点，动点P在三角形
内，且三角形 的面积 ，则点P的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先通过位置关系的证明说明 在平面 内，然后根据已知条件求解出 的长度，根据 的长度确定
出 在平面 内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.
【详解】
如图所示：
连接 ，因为四边形 是正方形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
同理可知： ，
又因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
根据题意可知： ，所以 为正三角形，所以 ，
所以 ，设 到平面 的距离为 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 即为 与平面 的交点，由题意可知： 平面 ，所以 ，
所以 ，再如下图所示：
在正三角形 中，高 ，
所以内切圆的半径 ，且 ，
取 的两个三等分点 ，连接 ，所以 ，
所以 是以 长度为边长的正三角形，所以 的轨迹是以 为圆心，半径等于 的圆，圆的周长
为 ，
在 内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为 ，所以对应的轨迹长度是圆周长的一半为
，
故选：B.
13．已知半球 与圆台 有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积
取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出图形，设 ， ，作 于点 ，延长 交球面于点 ，则由圆的相交弦
定理可得 ，从而可求得 ，进而可表示出圆台的侧面积，
求出其最大值，从而可得 的值，然后在 求出圆台母线与底面所成角的余弦值即可
【详解】
如图1所示，设 ， ，作 于点 ，延长 交球面于点 ，则 ，
，由圆的相交弦定理及图2得
，即 ，解得 ，
则圆台侧面积 ，
则 ，令 ，则 或 （舍去），
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得最大值．
当 时， ，则 ．
在轴截面中， 为圆台母线与底面所成的角，在 中可得 ，
故选：D．14．如图，等腰直角 中， ，点 为平面 外一动点，满足 ， ，给
出下列四个结论：
①存在点 ，使得平面 平面 ；
②存在点 ，使得平面 平面 ；
③设 的面积为 ，则 的取值范围是 ；
④设二面角 的大小为 ，则 的取值范围是 .
其中正确结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】
①当 时，结合条件，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判断；②取AP的中点M，
根据 ，得到 ，利用反证法判断；③由AP=4，AC=2，得到
，由点P在 平面上的极限位置判断；④根据 ，由点
在平面 内时 ，当点 运动时，设点A到平面 的距离为h，根据 ，由判断.
【详解】
如图所示：
①当 时，又 ，所以 平面ABC，所以 ，又
，所以 平面PBC，又 平面PAC，所以平面 平面 ，故正确；
②取AP的中点M，连接BM，CM，因为 ，所以 ，假设平面 平面 ，则
平面PAC，则 ，而BM=BC=2， ，不成立，故错误；
③因为AP=4，AC=2，所以 ，当点P在 平面上，且C，P在A，B
的异侧 ，当C，P在A，B的同侧时，A，C，P共线， ，因为点 为平面 外，
则 的取值范围是 ，故错误；
④因为 ，当点 在平面 内时 ，当点 运动时，设点A到平面 的距离为h，因
为 ，则 ，所以 ，所以 的取值范围是 ，故正确.
故选：B
15．已知AB、CD是圆O的两条直径，且 ，如图1，沿AB折起，使两个半圆面所在的平面垂直，折到点 位置，如图2．设直线 与直线OC所成的角为 ，则（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】
根据圆的性质知 ，过D作 于 ，连接CE、AC，设圆的半径为 ，有
，利用余弦定理、线面垂直的性质证 ，结合勾股定理判断 是否为
直角；再过 作 交 于 ，则F为 中点，连接 ，即直线 与直线OC所成的角为
，过F作 于 ，连接 ，利用勾股定理及余弦定理求 ，即可比较与60°的
大小.
【详解】
图1中过D作 于 ，连接CE、AC，设圆的半径为 ，
由 ，则 且 ，
∴在△ 中， ，而 ，∵图2中两个半圆面所在的平面垂直，它们交线为AB， 且 面 ，
∴ 面 ， 面 ，则 ，
∴在Rt△ 中， ，而
∴ ，故 ，
过 作 交 于 ，则F为 中点，连接 ，即直线 与直线OC所成的角为 ，
， ，
过F作 于 ，连接 ，且面 面 ， 面 ，
∴ 面 ， 面 ，则 ，
而在图1中， ， ， ，在△ 中，
，∴图2，在Rt△ 中， ，则在△ 中，
，
∴ .
故选：C
二、多选题
16．如图，底面ABCD为边长是4的正方形，半圆面 底面ABCD．点P为半圆弧 (不含A，D
点)一动点．下列说法正确的是（ ）
A．三梭锥P—ABD的每个侧面三角形都是直角三角形
B．三棱锥P—ABD体积的最大值为
C．三棱锥P—ABD外接球的表面积为定值
D．直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为
【答案】AC
【分析】
对于A，根据面面垂直和线面垂直的性质可证得 ，由平面几何知识可证得 ， ，，由此可判断；
对于B，当点P是半圆弧 的中点时，三棱锥P—ABD的底面积 取得最大值，由棱锥的体积公式计
算可判断；
对于C，取BD的中点O，则有点O为三棱锥P—ABD外接球的球心，由球的表面积公式计算可判断；
对于D，过点P作 于 ，连接HB，则有 就是直线PB与平面ABCD所成的角的平面角，
设 ，表示 ，令 ，由基本不等式可求得
，由此可判断.
【详解】
解：对于A，因为底面ABCD为边长是4的正方形，所以 ，
又半圆面 底面ABCD，半圆面 底面 ，所以 半圆面 ，所以 ，
所以 是直角三角形， ，
因为AD是圆的直径，所以 ，所以 是直角三角形， ；
因为 ，所以 是直角三角形， ，
所以在 中有 ，所以 ，所以
是直角三角形，所以三棱锥P—ABD的每个侧面三角形都是直角三角形，故A正确；
对于B，在三棱锥P—ABD中， 半圆面 ，所以AB是三棱锥P—ABD的高，当点P是半圆弧
的中点时，三棱锥P—ABD的底面积 取得最大值，三棱锥P—ABD的体积取得最大值
，故B不正确；
对于C，取BD的中点O，由A选项的解析得 ，所以点O为三棱锥P—
ABD外接球的球心，所以三棱锥P—ABD外接球的表面积为 ，故C正确；对于D，过点P作 于 ，连接HB，
又半圆面 底面ABCD，半圆面 底面 ，所以 面 ，
所以BH就是PB在面 内的射影，所以 就是直线PB与平面ABCD所成的角的平面角，
设 ，则 ， ，所以在直角三角形 中， ，
，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，且 ，所以 ，
又 ，当且仅当 ，即 （满足 ）时，取等号，
所以 ，所以 ，
所以 ，即直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为 ，故D不正确，
故选：AC.17．已知正方体 的棱长为2，动点 在正方形 内，则（ ）
A．若 ，则三棱锥的 的外接球表面积为
B．若 平面 ，则 不可能垂直
C．若 平面 ，则点 的位置唯一
D．若点 为 中点，则三棱锥 的体积是三棱锥 体积的一半
【答案】CD
【分析】
根据题意，建立空间直角坐标系并得出各点坐标，设 ，其中 ，由
，可知 ，设三棱锥的 的外接球的球心为 ，根据球心到球上
各点距离相等以及空间两点间的距离公式，可求出球心 的坐标，再利用球的表面积公式进行计算即可判
断A选项；利用空间向量求法向量的方法求出平面 的法向量，有条件得出 ，利用向量的数
量积运算得出 ，进而求出 ，可知当 时 ，从而可判断B选项；
根据 平面 ，得出 ，再利用向量的数量积运算即可求出 和 的值，即可判
断C选项；利用三棱锥体积公式和等体积法分别求出 和
，结合条件即可判断D选项.
【详解】
解：如图，建立空间直角坐标系：则 ，
由于动点 在正方形 内，可设 ，其中 ，
对于A选项，由于 ，则 为 的中点，此时 ，
设三棱锥的 的外接球的球心为 ，
则 ，即 ，
解得： ，所以 ，
则三棱锥的 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥的 的外接球表面积为 ，故A不正确；
对于B选项，设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，得 ，故 ，
而 ，若 平面 ，则 ，则 ，即 ，所以 ，
此时 ，而 ，
所以 ，
当 时， ，此时 ，则 ，故B不正确；
对于C选项，若 平面 ，则 ，
由于 ， ，
则 ，解得： 或 （舍去），
此时 ，即点 的位置唯一，使得 平面 ，故C正确；
对于D选项，点 为 中点，由正方体可知 平面 ，
三棱锥 的体积为： ，
由于 在正方形 内，则 到平面 为 ，
三棱锥 体积为： ，
而 ，所以 ，
所以三棱锥 的体积是三棱锥 体积的一半，故D正确.
故选：CD.
18．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯
由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为 ，托盘由边长为 的正三角形铜片沿各边中点
的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确（ ）A．经过三个顶点 的球的截面圆的面积为
B．异面直线 与 所成的角的余弦值为
C．多面体 的体积为
D．球离球托底面 的最小距离为
【答案】BCD
【分析】
根据球的体积，应用球体体积公式求其半径，A由已知条件求过A、B、C的截面圆半径，进而求其面积即
可；B过 作 且 ，找到异面直线的所成角，应用余弦定理求余弦值；C将多面体补全为
三棱柱，可知多面体为三棱柱去掉三个三棱锥，应用棱柱、棱锥的体积公式求体积即可；D由球体纵向轴
截面求球心到过A、B、C所在截面圆的距离 ，进而求球离球托底面 的最小距离.
【详解】
设球的半径为 ，则 ，解得 ，
A：经过A、B、C的球的截面圆，如下图即为等边△ 的外接圆，若其半径为 ，则
，所以面积为 ，故错误；B：如下图，过 作 且 ，则 为异面直线 与 所成角，且△ ，
为 中点， △
∴ ，故 ，故正确；
C：将几何体补全为直三棱柱，如下图示，
∴多面体 的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，
∴由下图知： ，故正确.
D：如下图为球体纵向轴截面， 为球面上过A、B、C的截面圆直径，则 ，
∴球离球托底面 的最小距离为 ，故正确.
故选：BCD19．已知边长为 的菱形 中， ，将 沿 翻折，下列说法正确的是（ ）
A．在翻折的过程中，直线 ， 始终不可能垂直
B．在翻折的过程中，三棱锥 体积最大值为
C．在翻折过程中，三棱锥 表面积最大时，其内切球表面积为
D．在翻折的过程中，点 在面 上的投影为 ， 为棱 上的一个动点， 的最小值为
【答案】BC
【分析】
直接利用平面图形翻折问题的应用，结合面面垂直、体积公式、异面直线的夹角逐项判断.
【详解】
如图，
在翻折过程中构成四面体D-ABC， 和 是正三角形，取AC中点O，连接BO，DO，
A.BO=DO= ，则在翻折过程中，BD的范围是 ，当 时，四面体D-ABC是正四面体，则
，故错误；
B. 三棱锥 的底面积为 ，因为 ，所以 平面
，
又 平面 ，则平面 平面BOD，过D作 ，平面 平面BOD=BO，则 平面ABC，
又 ， 当且仅当 与O重合时，等号成立，
所以体积最大值为 ，故正确；
C.三棱锥 中， ，而 ，
所以三棱锥 表面积为： ，
而在翻折过程中， 的范围是 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，因此三棱锥 表面积的最大值为 ，
此时， ，等腰 的底边BD上的高为
，则 ，
所以 ，
设内切球的半径为r，则 ，
当三棱锥 表面积取最大值 时， ，
此时内切球的表面积为 ，故正确；
D.在翻折的过程中，点 无限接近点B时，点 也无限接近点B，而E为棱CD上的动点，E接近于点D
时， 接近于0，故错误；
故选：BC20．如图， 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形， ， .现将
沿斜边 翻折成△ 不在平面 内）.若 ， 分别为 和 的中点，则在
翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A． 平面
B． 与 不可能垂直
C．二面角 正切值的最大值为
D．直线 与 所成角的取值范围为
【答案】AD
【分析】
对于A，由题得 ，从而判断 平面 ；对于B，由 ，则 ，当
时，且 ，此时满足 平面 ；对于C，作出二面角 的平面角 ，设
，所以 ，求得最值；对于D，作 ， 可以看成以 为轴线，以 为平
面角的圆锥的母线，从而求得 与 所成角的最大值和最小值.
【详解】
对于A选项：由 ， 分别为 和 的中点，则 ，由 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于B选项：由 ，则 ，当 时，且 ，此时满足 平面 ，因此
，所以B错误；
对于C选项：如图，取 的中点O，连接DO并延长到E，使DO=OE,
作 于 ，作 于 ，连接 ，
所以， 为二面角 的平面角，
设 ， ，
所以 ，所以C错误；
对于D选项：如图，作 ， 可以看成以 为轴线，以 为平面角的圆锥的母线，所以 与 夹角为 ， 与 夹角为 ，又 不在平面 内，
， ，
所以 与 所成角的取值范围 ，所以D正确，
故选：AD.
21．已知边长为 的菱形 中， ，将 沿 翻折，下列说法正确的是（ ）
A．在翻折的过程中，直线 ， 可能相互垂直
B．在翻折的过程中，三棱锥 体积最大值为
C．在翻折的过程中，三棱锥 表面积最大时，其内切球表面积为
D．在翻折的过程中，点 在面 上的投影为 ， 为棱 上的一个动点， 的最小值为
【答案】ABC
【分析】
直接利用平面图形翻折问题的应用，结合面面垂直、体积公式、异面直线夹角逐一判断各选项即可作答.
【详解】
如图，在翻折过程中构成四面体 ， 和 是正三角形，取AC中点O，连接BO，DO，对于A， ，则在翻折过程中，BD的范围是 ，当 时， 是正四面体，
此时 ，则A正确；
对于B，三棱锥 的底面积 是定值，因 ， ，则
平面BOD，
平面ABC，则平面 平面BOD，过D作 直线BO于 ，而平面 平面 ，
于是得 平面ABC，则有 ，当且仅当点 与点O重合时取“=”，
因此， ，B正确；
对于C，三棱锥 中， ，而 ，即三棱锥 的表面积
，
而在翻折过程中， 的范围是 ， ，当且仅
当 时取“=”，
因此得三棱锥 的表面积的最大值为 ，此时 ，
等腰 的底边BD上的高 ， ，从而得 ，设三棱锥 内切球半径为r，
由 得 取最大值 时的 ，此球的表面积为
，C正确；
对于D，在翻折过程中，当点D无限接近点B时，点 也无限接近点B，而E为棱CD上的动点，E接近
于点D时， 接近于0，D不正确.
故选：ABC
22．已知正方体 的棱长为2， 是底面 的中心， 是棱 上一点（不与端点重
合），则（ ）
A．平面 截正方体 所得截面一定是梯形
B．存在点 ，使得三棱锥 的体积为
C．存在点 ，使得 与 相交
D．当 是棱 的中点时，平面 截正方体 外接球所得截面圆的面积
【答案】ABD
【分析】
对于A选项，连接 ， ，过点 作 的平行线，交 于点 ，进而得四边形 就是平面
截正方体 所得的截面，即可判断；对于B选项，连接 ，在平面 中，过点
作 ，垂足为 ，故 ，即可判断；对于C选项，根据异面直线的定义容易判断；
A B C D
1 1 1 1
对于D选项，设平面 的中心为 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，当 是棱 的中点时，设 与 交于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，再根据几何关系求解平面
截正方体 外接球所得截面圆的半径即可.
【详解】
如图1，连接 ， ，过点 作 的平行线，交 于点 ，易知 与 平行且不相等，连接
，则四边形 就是平面 截正方体 所得的截面，由 ， 可得，
四边形 为梯形，A正确；
如图2，连接 ，在平面 中，过点 作 ，垂足为 ，则 平面 ，所以
，所以存在点 ，使得三棱锥 的体积为 ，所以B正
确；A B C D A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为 是平面 外一点， 在平面 内，直线 平面 ，且 直线 ，所以
与 一定异面，C错误；
A B C D
1 1 1 1
如图3，设平面 的中心为 ，连接 ，则 的中点 就是正方体 外接球的球
心，连接 ，当 是棱 的中点时，设 与 交于点 ，易知 为 的中点，连接 ，过点
作 ，垂足为 ，因为 ， ，所以 平面 ，所以 ，又
，所以 平面 ，易知 ，所以 ，又正方体
外接球的直径为 ，所以平面 截正方体 外接球所得截面圆
的半径 ，故所得截面圆的面积为 ，所以D正确．故选:ABD．
23．在四面体 中， ， ，直线 ， 所成的角为60°， ，
，则四面体 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
直线 ， 所成的角为60°，则△ 分顶角为 的等腰三角形、等边三角形两种情况，过 作
且 ，连接 、 、 ，且 与 交于O点，易证 面 ，进而得到面
面 ，根据矩形、等边或等腰三角形的性质，结合四面体 的外接球球心、半径与两个垂
直平面外接圆圆心、半径的关系，即可求外接球半径，进而求表面积.
【详解】
当四面体 如下图示，
过 作 且 ，连接 、 、 ，且 与 交于O点，则△ 为等边三角形，
为矩形且O点为 外接圆圆心，即 ，又 ， ，
∴ 面 ， 面 ，则面 面 ，过 为 中点，连接 、 ，若 为面 外接圆圆心， 为四面体 的外接球球心，则
， ，有 ，如下图示，
∴四面体 的外接球半径 ，则外接球表面积为 .
当四面体 如下图示，
过 作 且 ，连接 、 、 ，且 与 交于O点，则△ 为等腰三角形，
为矩形且O点为 外接圆圆心，即 ，又 ， ，
∴ 面 ， 面 ，则面 面 ，
过 为 中点，连接 ，若 为面 外接圆圆心， 为四面体 的外接球球心，则
， ，如下图示，∴四面体 的外接球半径 ，则外接球表面积为 .
故选：CD
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．已知一正三棱锥的体积为 ，设其侧面与底面所成锐二面角为 ，则当 等于______时，侧面积
最小．
【答案】
【分析】
画出正三棱锥，设底面边长为 ，高为 ，结合体积公式列出关系式，三角函数表示出 ，面积公式表
示出侧面积，结合函数与导函数性质即可求解.
【详解】
如图：设正三棱锥底面边长为 ，高为 ， 在底面投影为 ，则 ，化简得 ，由二
面角定义可知， 应为侧面与底面所成锐二面角的平面角， ，即 ，，
侧面积为： ，结合 得 ，代入侧面积公式得
，令 ，则 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单减， 时， ， 单增，故 ，此时侧面积有
最小值，即 ， ，此时 .
故答案为：
25．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A，B，
C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆
的劣弧分别为 ，由这三条劣弧围成的图形称为球面 ．已知地球半径为R，北极为点N，
P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且 ，则球面 的面积为________；若
，则球面 的面积为________．【答案】
【分析】
先证明“如果确定球面三角形的三个大圆所成的二面角分别为 ，则球面三角形的面积为
，其中 为球的半径”，再根据题设条件求出二面角的大小，从而可求球面面积的大小.
【详解】
现证明一个结论：如果确定球面三角形的三个大圆所成的二面角分别为 ，则球面三角形的面积为
，其中 为球的半径.
证明：如图，设 为 关于球心的对称点，则 均为球面上的点，
且 均为直径，我们用 表示球面三角形的面积.
设 ， ， ，
则 ，
同理 ， .
所以 ，
而 ，
故 ，又 ，
故 .
若P，Q在赤道上，因为 为极点且 ，故 ，
故确定球面三角形的三个大圆所成的二面角均为 ，故球面面积为 .
若 ，则 ，
同理 .过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，则 ，
因为 ，故 ，
故 ，而 ，故 ，
故 且
故 ，而 为三角形内角，
故 ，故 的大小为 ，
故根据对称性可知确定球面三角形的三个大圆所成的二面角均为 ，
故球面三角形的面积为 .
故答案为： ， .
26．如图，在矩形 中， 是边 的中点，将 沿直线 折成 ，使得
二面角 的平面角为锐角，点 在线段 上运动(包括端点)，当直线 与平面 所成角最
大时， 在底面 内的射影面积为___________.【答案】
【分析】
如图，设二面角 的平面角 ，则由已知条件可得 ，所以
为钝角，所以 ，即直线 与平面 所成角最大时，点 与点 重合，然后求出直线 与平
面 所成角的正弦值，利用基本不等式求出其最大值，即可得 ，从而可求出 在底面
内的射影面积
【详解】
解：如图所示，取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ，则由题意可知 ，
则 是二面角 的平面角，
因为 ，所以 在平面 上的投影在 上，记为
设二面角 的平面角 ，则
，
所以 ，即 ，
所以 为钝角，所以 ，即直线 与平面 所成角最大时，点 与点 重合，
因为在矩形 中， 是边 的中点，
所以 均为等腰直角三角形， ,
所以 ,即 ，
所以 到平面 的距离为 ，
所以此时直线 与平面 所成角的正弦值为，
令 ，则
，当且仅当 ，即 时取等号，即
，此时 ，
所以 在底面 内的射影面积为 ，
故答案为：
27．已知三棱锥 的三条侧棱两两垂直， 与底面 成 角， 是平面 内任意一点，则
的最小值是________.
【答案】
【分析】
作 ，再由 ，易得 ，从而 平面ABE，由面面垂直的判定定理得到平
面ABE 平面BCD，得到 与底面 成的角为 ,然后在 中，设 ，BA与
BP的夹角为 ，利用余弦定理得 ，根据直线与平面所成的角是平面内直线与该直线所成的角中最小的角，得到 ，再利用二次函数性质求解.
【详解】
如图所示：
作 ，垂足为E，连接BE，
因为 ,
所以 平面ACD，则 ，又 ，
所以 平面ABE，又 平面BCD，
所以平面ABE 平面BCD，
所以点A的射影在直线BE上，
所以 与底面 成的角为 ,
在 中，设 ，BA与BP的夹角为 ，
由余弦定理得 ，
两边同除以 得 ，
因为直线与平面所成的角是平面内直线与该直线所成的角中最小的角，
所以 ，
所以 ，当点 在BE上取等号，
又因为 ，所以 ，当 时，即点P在E处， 取得最小值 ，
所以 的最小值是 ，
故答案为；
A B C D
1 1 1 1
28．已知正方体 的棱长为2，点E是棱 的中点，点 在平面 内，若
， ，则 的最小值为_________．
【答案】 ．
【分析】
由已知求得F的轨迹，再由CE⊥BG分析得到，G的轨迹，然后数形结合即可求得|FG|的最小值．
【详解】
如图，取A D 的中点O，连接EO，FO，
1 1
则EO⊥平面A B C D ，连接OE，由 ，OE＝2，
1 1 1 1
可得OF＝1，则F在以O为圆心，以1为半径的圆上，
取CD中点K，连接BK，在正方形ABCD中，
由E为AD的中点，K为CD的中点，
可得CE⊥BK，取C D 的中点H，连接KH，B H，
1 1 1
由BB ∥KH，BB ＝KH，得四边形BB HK为平行四边形，则BK∥B H，得G在线段B H上．
1 1 1 1 1过O作OG⊥B H，交半圆弧于F，则|FG|为要求的最小值．
1
由已知可得 ，设|OG|＝h，
由等面积法可得， ，
可得h ，∴|FG|的最小值为 ．
故答案为: ．
29．在棱长为 的正方体 中，过对角线 的一个平面交 于 ，交 于 ，得四边形
，给出下列结论：
①四边形 有可能为梯形；
②四边形 有可能为菱形；
③四边形 在底面 内的投影一定是正方形；
④四边形 有可能垂直于平面 ；
⑤四边形 面积的最小值为 .
其中正确结论的序号是_____________
【答案】②③④⑤
【分析】利用面面平行的性质定理可判断①的正误；取 、 分别为 、 的中点，结合①可判断②的正误；
利用正投影的概念可判断③的正误；取 、 分别为 、 的中点，利用面面垂直的判定定理可判断
④的正误；利用二次函数的基本性质求出四边形 面积的最小值，可判断⑤的正误.
【详解】
对于①，因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以， ，同理可得 ，
所以，四边形 为平行四边形，①错误；
对于②，当 为 的中点时， ，同理可得 ，
又因为四边形 为平行四边形，此时，四边形 为菱形，②正确；
对于③，四边形 在底面 内的投影为正方形 ，③正确；
对于④，连接 、 、 、 、 ，
在正方体 中， 且 ， 、 分别为 、 的中点，
且 ，所以，四边形 为平行四边形， ，
因为四边形 为正方形，则 ，平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，此时，平面 平面 ，④正确；
对于⑤，取线段 的中点 ，设 ，其中 ，则 ， ，
由勾股定理可得 ，
，
由余弦定理可得 ，
所以，
，
当且仅当 时，等号成立；当点 在线段 上运动时，同理可知，四边形 面积的最小值为 .
综上可知，⑤正确.
故答案为：②③④⑤.
30．在棱长为4的正方体 中，E，F分别是 和 的中点，经过点A，E，F的平面把
正方体 截成两部分，则截面的周长为________.
【答案】
【分析】
首先通过线面之间的平行关系，画出过点A，E，F和正方体的截面五边形，再利用平行线相交的应用和成
比例问题的应用，求出截面五边形 的边长，进而求得周长得解.
【详解】
通过线面之间的平行关系，画出过点A，E，F的截面五边形 ，如图所示
如图，过点 作 交 于H，易知 ，故点H为 的4等分点，
在直角 中， ， ，由勾股定理知
在直角 中， ， ，由勾股定理知
连接AH，过点E作 交 于点P，则
，即 ，解得 ，在直角 中， ， ，由勾股定理知 ．
在直角 中， ， ，由勾股定理知 ．
在直角 中， ， ，由勾股定理知 ．
所以截面五边形 的周长为
故答案为： .
