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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.3等腰三角形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2019秋•道里区期末）如图， 为 角平分线， ， ，则图中共有等腰
三角形 个
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由 ，得出 是等腰三角形， ，证出 ，得出
是等腰三角形， ，证出 ，得出 是等腰三角形， 即可．
【解析】 ，
是等腰三角形， ，
为 角平分线，
，
，
，
是等腰三角形， ，
， ，
，
是等腰三角形， ，
图中共有等腰三角形3个，故选： ．
2．（2019秋•海港区期末）如图， ， ， ，则图中等腰三角形有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先计算出 ，再计算出 ，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【解析】 ，
，
为等腰三角形，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
为等腰三角形．
故选： ．
3．（2021春•金水区校级月考）如图，在 中， ， ， ，则图
中一定是等腰三角形的有A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据 ， 可得两个等腰三角形，再利用外角的性质可得 和
，进而可得答案．
【解析】
，
是等腰三角形；
，
是等腰三角形，
．
， ，
而 ，
，
是等腰三角形；
是等腰三角形和 是等腰三角形， ，
．
，
是等腰三角形．
故选： ．
4．（2020秋•兰山区期末）如图， ， 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1的正方形，
点 也在格点上，且 为等腰三角形，在图中所有符合条件的点 应该有 个．A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】分两种情况：① 为等腰三角形的底边；② 为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结
论．
【解析】如图所示：
① 为等腰三角形的底边，符合条件的点 的有5个；
② 为等腰三角形的一条腰，符合条件的点 的有3个．
所以符合条件的点 共有8个．
故选： ．
5．（2021秋•苏州期中）如图，在 的正方形网格中， ， 是两个格点，连接 ，在网格中找到一
个格点 ，使得 是以 为腰的等腰三角形，满足条件的格点 的个数是
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据网格结构，分别以 、 为圆心， 为半径作圆与网格线的交点即为点 ，即可得到点
的个数．【解析】如图，以 为等腰 其中的一条腰时，符合条件的 点有5个．
故选： ．
6．（2020春•海伦市校级期末）下面叙述不可能是等腰三角形的是
A．有两个内角分别为 ， 的三角形
B．有两个内角分别为 和 的三角形
C．有一个外角为 ，一个内角为 的三角形
D．有一个外角为 ，一个内角为 的三角形
【分析】根据等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，分别求出每个角的度数，再进行
判断即可．
【解析】 、有两个内角分别为 ， 的三角形，另一内角为 ，可以构成等腰三角形；
、有两个内角分别为 和 的三角形，另一内角为 ，不能构成等腰三角形，
、有一个外角为 ，一个内角为 的三角形，与外角相邻的内角是 ，第三个角是 ，可以构成
等腰三角形；
、有一个外角为 ，一个内角为 的三角形，与外角相邻的内角是 ，另外一个内角是 ，可
以构成等腰三角形．
故选： ．
7．（2021秋•莒南县期中）下列给出的5个图中，能判定 是等腰三角形的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据三角形内角和定理得 ，则 不是等腰三角形；
②证出 ，则 是等腰三角形；
③由平行线的性质得 ，则 ，得 是等腰三角形；④由平行线的性质得 ， ，则 ，得 是等腰三角形；
⑤先由平行线的性质得 ，再由三角形的外角性质得 ，则 ，得
是等腰三角形；即可得出结论．
【解析】图①中， ，
，
不是等腰三角形；
图②中， ， ，
，
，
是等腰三角形；
图③中， ，
，
，
，
是等腰三角形；
图④中， ，
， ，
，
，
是等腰三角形；
图⑤中， ，
，
，
，
，
是等腰三角形；
能判定 是等腰三角形的有4个，
故选： ．
8．（2014春•罗湖区校级期末）如图所示，共有等腰三角形A．4个 B．5个 C．3个 D．2个
【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰
三角形的个数．
【解析】根据三角形的内角和定理，得： ，
根据三角形的外角的性质，得
．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有 ， ， ， 和 ．
故选： ．
9．（2020秋•铁东区期中）如图，点 在直线 上，点 在直线 上方，点 为直线 上一动点，
当 为等腰三角形时，则满足条件的点 的个数为
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】分三种情况：① 时；② 时；③ 时；分别得出点 的个数，即可得出结
论．
【解析】分三种情况：
① 时，点 在 的垂直平分线上，满足条件的点 的为1个；
② 时，满足条件的点 有2个；
③ 时，满足条件的点 有1个；
综上所述，满足条件的点 的个数有4个，
故选： ．10．（2020秋•澄城县期中）如图，在 中， ， 是高， 是中线， 是角平分线，
交 于点 ，交 于点 ，下面说法正确的是
① 的面积等于 的面积；
② ；
③ ；
④ ．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得 ，利用三角形外角的性
质结合角平分线的定义可求解 ，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件
无法判定④．
【解析】 是 的中线，
，
的面积等于 的面积，故①正确；
是 的高线，
，
，
，
，
，
为 的角平分线，
，
， ，，故②正确；
，
，
，故③正确；
根据已知条件无法证明 ，故④错误，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
二．填空题（共8小题）
11．（2019秋•江夏区期末）如图， ， ， ，请写出图中有哪些等腰三角形？
， ， ．
【分析】先计算出 ，再计算出 ，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【解析】 ， ， ，
，
，
为等腰三角形，
，
而 ，
，
为等腰三角形，
，
，
为等腰三角形．
故答案为： ， ， ．
12．（2020秋•恩平市期中）若三角形三边长满足 ，则 的形状是 等腰三角形 ．【分析】根据已知的等式可三种情况进行分析，从而再根据等边三角形与等腰三角形的关系即可得到结论．
【解析】 三角形三边长满足
或 或 ，
或 或
这个三角形为等腰三角形或等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形
这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
13．（2018秋•宿松县期末）如图， 中， ， ，在射线 上找一点 ，使
为等腰三角形，则 的度数为 或 或 ．
【分析】分三种情形分别求解即可．
【解析】如图，有三种情形：
①当 时， ．
②当 时， ．
③当 时， ，
故答案为： 或 或
14．（2020秋•高安市期中）如图， ， 平分 ， 为射线 上一点，如果射线
上的点 ，满足 是等腰三角形，那么 的度数为 ， 或 ．
【分析】求出 ，根据等腰得出三种情况， ， ， ，根据等腰三角形性质
和三角形内角和定理求出即可．【解析】 ， 平分 ，
，
①当 在 时， ，
，
；
②当 在 点时， ，
则 ；
③当 在 时， ，
则 ；
综上所述： 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
15．（2018春•闵行区期末）有下列三个等式① ；② ；③ ．如果从这三个等式
中选出两个作为条件，能推出 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 ①② （或 ①③ 或 ②③
（写出一种即可）
【分析】依据条件判定 ，即可得到 ，进而得出 是等腰三角形．
【 解 析 】 当 ， ， 时 ， ， 故 ， 即
是等腰三角形；
当 ， ， 时， ，故 ，即 是等腰三
角形；当 ， ， 时， ，故 ，即 是等腰三角
形．
故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）
16．（2020秋•朝阳县期末）如图，在 中， ， ，点 从点 出发以每秒
速度向点 运动，点 从点 同时出发以每秒 速度向点 运动，其中一个动点到达端点，另一个
动点也随之停止，当 是以 为底的等腰三角形时，运动的时间是 4 秒．
【分析】设运动的时间为 ，则 ，当 是等腰三角形时， ，则 ，解得
即可．
【解析】设运动的时间为 ，
在 中， ， ，
点 从点 出发以每秒 的速度向点 运动，点 从点 同时出发以每秒 的速度向点 运动，
当 是等腰三角形时， ，
，
即 ，
解得 ．
故答案为：4．
17．（2021 春•吉安县期末）如图，已知点 是射线 上一动点 不与 重合）， ，
，当 或 或 时，以 、 、 中的任意两点和 点为顶点的三角形
是等腰三角形．【分析】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【解析】分为以下5种情况：
① ，
， ，
；
② ，
， ，
，
；
③ ，
， ，
，
；④ ，
， ，
，
；
⑤ ，
， ，
，
，
；
所以当 或 或 时，以 、 、 中的任意两点和 点为顶点的三角形是等腰三角形，
故答案为： 或 或 ．
18．（2021•顺城区二模）如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动 不与 、
重合），连接 ，作 ， 交线段 于 ，在点 的运动过程中， 的形状也在改
变，当 是等腰三角形时， 的度数是 或 ．
【分析】分为三种情况：①当 时， ，根据 ，得出此时不符合；
②当 时，求出 ，求出 ，根据三角形的内角和定理求出 ，根据三
角形的内角和定理求出 即可；③当 时，求出 ，求出 ，根据三角形的内角和定理求出 ．
【解析】 ，
，
①当 时， ，
，
此时不符合；
②当 时，即 ，
，
；
；
③当 时， ，
，
；
当 是等腰三角形时， 的度数是 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•五常市期末）如图，点 、 在 的边 上， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，直接写出图中除 与 外所有的等腰三角形．
【分析】（1）首先过点 作 于点 ，由 ，根据三线合一的性质，可得 ，又由
，可得 ，然后由线段垂直平分线的性质，可证得 ．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解析】证明：（1）过点 作 于点 ，
，
，
，
，．
（2） ， ， ， ，
除 与 外所有的等腰三角形为： 、 、 、 ，
20．（2020秋•平阴县期末）如图 中， ， 的平分线交于点 ，过 点作 ，交 、
于 、 ，请写出图中线段 与 、 间的数量关系，并说明理由．
【分析】先根据两直线平行内错角相等及角平分线定义，得到 ，根据等角对等边得到
，同理 ，所以 ．
【解析】 ，
理由如下：
平分 ，
，
，
，
，
，
同理可得 ，
，
即 ．
21．（2020秋•蚌埠期末）如图，在 中，点 是边 上一点，点 在边 上，且 ，
， ．
（1）如图1，求证： 是等腰三角形；（2）如图2，若 平分 ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与 相等的角
除外）．
【分析】（1）根据平角的定义和三角形的内角和定理得到 ，根据全等三角形的判定定理即
可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，根据角平分线定义得到 ，等量代换得到结论．
【解析】（1） ， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2） ，
，
平分 ，
，
，
，
故图中所有与 相等的角有 ， ， ， ．
22．（2020秋•抚顺县期末） 中， ， ，点 在 边上运动 不与 、 重合），
连接 ，作 ， 交 于点 ．（1）如图1，当 时，判断 的形状并说明理由；
（2）在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 的度数；若
不可以，请说明理由．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求 ，由平行线的性质可求 ，
即可求解；
（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【解析】（1） 是直角三角形，
理由如下： ， ，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（2）当 时，
，
，
当 时，则 ，
，当 时，则 ，
不与 、 重合，
不存在，
综上所述： 或 ．
23．（2020•江干区二模）已知：如图，在 中， ， ，点 是 边上一点，且
，过点 作 于点 ，与 交于点 ．
（1）若 ，求：
① 的大小；
② 的大小；（用含 的式子表示）
（2）求证： ．
【分析】（1）①关键等腰三角形的性质即可得到结论；
②过点 作 于点 ，由等腰三角形的性质得出 ，求出
，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质得出 ，证出 ，即可得出结论
【解析】（1）解：① ， ，
，
②过点 作 于点 ，如图所示：
，
，
于点 ，
，，
即 ；
（2）证明： ， ，
，
， ， ， ，
，
．
24．（2021秋•潮安区期中）综合与实践：
问题情境：
已知在 中， ， ，点 为直线 上的动点（不与点 ， 重合），点
在直线 上，且 ，设 ．
（1）如图1，若点 在 边上，当 时，求 和 的度数；
拓广探索：
（2）如图2，当点 运动到点 的左侧时，其他条件不变，试猜想 和 的数量关系，并说明
理由；
（3）当点 运动点 的右侧时，其他条件不变，请直接写出 和 的数量关系．
【分析】（1）如图 1，将 ， 代入 ，求出 ．在
中 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 ， 根 据 三 角 形 外 角 的 性 质 得 出
，在 中利用三角形内角和定理求出 ，那么
；（ 2 ） 如 图 2 ， 在 和 中 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 ，
． 根 据 三 角 形 外 角 的 性 质 得 出 ， 再 由
得到 ，从而得出结论 ；
（ 3 ） 如 图 3 ， 在 和 中 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 ，
．根据三角形外角的性质得出 ，再由
得到 ，从而得出结论 ．
【解析】（1） ．
在 中， ， ，
，
．
，
．
，
．
．
（2） ．理由如下：
在 中， ，
．
在 中， ，
．
，
．
， ，
．
．
（3） ，理由如下：
如图③，在 中， ，
，．
在 中， ，
．
，
，
， ，
，
．
