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专题 10 用公式法求解一元二次方程(基础题型)
1．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接根据一元二次方程根的判别式 的值的符号来判断即可．
【详解】
∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得， ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：① ，方程有两个
不相等的实数根；② ，方程有两个相等的实数根；③ ，方程没有实数根，解答
本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数．
2．如果关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】
根据题意可知 ，即
解得： ．
故选D．【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题关键．
3．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程根的判别式 ，解出c即可．
【详解】
根据题意得： ，
解得： ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式 有：（1）
当 ，方程有两个不相等的实数根；（2）当 ，方程有两
个相等的实数根；（3）当 ，方程没有实数根．
4．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】C
【分析】
计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．
【详解】
∵a＝１，b=-3，c=4而
∴一元二次方程没有实数根
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．
5．关于x的一元二次方程方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数解，则k的范围是
（ ）
A．k＞0 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式为正，可得关于k的一元一次不等
式，解不等式即可得结果．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4k＞0，
解得k＜1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的情况与判别式的关系，根据根的情况确定参数的取值范围，
题目简单．
6．求方程x2﹣x﹣6＝0的根的情况是（ ）
A．没有实根 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得：△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
7．下列关于 的一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
一元二次方程根的判别式： ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程有没有实数根，据此逐项分析解
题．
【详解】
A． ，方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B． 可化为 ， ，方程有两个不相等的实数根，故B
不符合题意；
C． ，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意；
D． ，方程没有实数根，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况，涉及根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌
握相关知识是解题关键．
8．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．kx2﹣x﹣k＝0
【答案】C
【分析】
分别计算出各项中方程根的判别式的值，找出小于0的选项即可．
【详解】A、∵ ， ， ，
∴ ，
此方程有两个相等的实数根，
B、∵ ， ， ，
∴ ，
此方程有两个不相等的实数根，
C、∵ ， ， ，
∴ ，
此方程没有实数根，
D、∵ ， ， ，
∴ ，
此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，即 ，解题的关键是熟练掌握：当
时，该方程有两个不相等的实数根；当 时，可得该方程有两个相等的实数根；当
时，原方程无实数根．
9．下列关于方程 的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的判别式来判断：当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
【详解】
∵a=1，b=-4，c=-7，且
∴方程有两个不相等的实数根
∴选项A正确
故选：A
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，题目简单．
10．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，当
a为正整数时，a的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．4
【答案】C
【分析】
关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式 ，计算出
的范围，根据要求取是正整数的值．
【详解】
解：由方程 ，
知 ，
要使方程 有两个不相等的实数根，
则 ，
即 ，
解得： ，要取正整数，
或 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：要求掌握，当 时，方程有两
个不等的实数根； 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
11．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+ ＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是
（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
【答案】D
【分析】
根据根的判别式和已知得出△≥0且k≠0，求出解集即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+ ＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4k• ≥0，k≠0，
解得：k≤4且k≠0，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据根的判别式得出关于k的不等式是
解此题的关键．
12．下列关于一元二次方程 的说法正确的是（ ）
A．该方程只有一个实数根
B．该方程只有一个实数根C．该方程的实数根为 ，
D．该方程的实数根为 ，
【答案】D
【分析】
用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，求出一元二次方程的解即可．
【详解】
解： ，
，
故原方程有两个不相等的实数根，
解得 ， ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二
次方程根的判别式，以及学会解一元二次方程．
13．下列关于一元二次方程 的说法正确的是
A．该方程只有一个实数根
B．该方程只有一个实数根
C．该方程的实数根为 ，
D．该方程的实数根为 ，
【答案】D
【分析】
用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，求出一元二次方程的解即可．
【详解】解： ，
△ ，
故原方程有两个不相等的实数根，
解得 ， ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二
次方程根的判别式，以及学会解一元二次方程．
14．不解方程，判定方程 的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】
先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断根的情况．
【详解】
解：方程化为一般形式为：x2+2x+2=0
∵△=22-4×1×2=-4＜0
∴方程无实数根，
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当
△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0
时，方程无实数根．
15．下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】
根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．
【详解】
A． ，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故A不符合题
意．
B． ，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故B不符
合题意．
C． ，所以该一元二次方程有一个实数根，故C不符合题意．
D． ，所以该一元二次方程无实数根，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，熟练运用一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程
根的情况是解答本题的关键．
16．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m−1≠0且△＝（2m−1）2−4（m−1）2＞0，然
后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得m−1≠0且△＝（2m−1）2−4（m−1）2＞0，
解得 且m≠1．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关
系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当
△＜0时，方程无实数根．
17．判断一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
直接利用根的判别式判断即可．
【详解】
解：在 中，
，
∵ ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式．熟记公式是解题关键．
18．关于x的方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【答案】D
【分析】
根据方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得 ，进而即可
求解．
【详解】
解：∵关于x的方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，解得：m＜4，
故选D．【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实
数根，则判别式大于零，是解题的关键．
19．若一元二次方程 没有实数根，则代数式 的值一定
是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1
【答案】B
【详解】
【解答】由题意，得 ，而
，
．∴代数式 的值一定是正数．
20．关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则一元二次方程
的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法判
断
【答案】A
【详解】
把 代入 得 ，解得 ，则一元二次方程
可化为 一元二次方
程 没有实数根．
21．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【详解】
∵ ，∴方程无实数根．
22．若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵关于x的一元二次方程 有实数根，∴
，解得 ．
23．一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【详解】
略
24．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取
值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【答案】C
【详解】
∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，∴ ，
，解得 且 ．25．对于函数 ，规定 ，
例如，若 ，则有 ．已知函数
，那么方程 的解的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】
根据规定将方程 转化为一般式，再由根的判别式判断即可．
【详解】
解：根据题意：
，
由： ，
故： ，
即： ，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将
函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可．
26．若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（
）
A． B． C． 且 D． 且【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公
共部分即可．
【详解】
解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当
△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0
时，方程无实数根．
27．当 时，关于 的一元二次方程 的根的情况为（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有实数根
【答案】D
【分析】
求出 ，即可得到 ，再根据根
的判别式的进行判断即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程有实数根．
故选：D．【点睛】
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
28．关于 的一元二次方程 有实根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△≥0，然后解不等式组，即可得到k
的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有实根，
∴k≠0，且△＝（−6）2−4k×3＝−12k＋36，
∵方程有实数解，
∴≥△0，
∴−12k＋36≥0，
∴k≤3，
∴k的取值范围是：k≤3且k≠0．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝
b2−4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数
根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
29．定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个
方程为“凤凰”方程． 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实
数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=c B．a=b C．b=c D．
【答案】A
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式 =b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入
b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关△系．
【详解】
解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
∴△=b2−4ac=0，
又a+b+c=0，即b=−a−c，
代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，
即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，
∴a=c
故选：A
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的
关系．
30．已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．4
【答案】C
【分析】
根据根的判别式即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：△=4-4a=0，
∴a=1，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题
型．
31．关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D．
【答案】B
【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求 的取值范围即可．
【详解】
解：∵关于 的方程 有实数根，
∴ ，且 ，
解得， 且 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中 ，熟悉一元
二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．
32．关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，则 的值为（
）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系可得 ，解得 ．将 代入原方程，利用根的判别式
验证方程是否有解，由此即可确定m的值．
【详解】
解：设方程的两根为x 和x ．
1 2
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
当m=1时，原方程为 ．判别式 ．
此时原方程没有实数根；
当m=-1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程有两个不相等的实数根．
∴符合条件的m=-1．
故选：B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知一元二次方程的
根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．
33．已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程 有实根，可得△＝（-2）2−4×（-1）m≥0且m≠0，解不
等式，即可得出结论．
【详解】
解：∵一元二次方程 有实根，
∴△＝（-2）2−4×（-1）m≥0且m≠0，
∴ 且 ，
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握 （a≠0）有实数根，则
△≥0，是解题的关键．34．关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部
分即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤ 且a≠-2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当
△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
当△＜0时，方程无实数根．
35．已知关于x的一元二次方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是
___．
【答案】 且
【分析】
根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得．
【详解】
解：由题意得： ，解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题
关键．
36．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m的方程，即可求解．
【详解】
解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，解得： ，
故答案是： ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则
，是解题的关键．
37．已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为
_______．
【答案】9
【分析】
直接利用根的判别式进行判断即可．【详解】
解：由题可知：“△=0”，即 ；
∴ ；
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记： >0时，
该方程有两个不相等的实数根； =0时，该方程有两个相等的实数根； <0时，△该方程无
实数根． △ △
38．若一元二次方程 无解，则c的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式的意义得到 ＜0，然后求出c的取值范围．
【详解】
解：关于x的一元二次方程 无解，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
39．解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ．
【分析】
(1)直接使用公式法即可求解；
(2)采用配方法变形为 即可求解．
【详解】
（1）∵ ， , ，
∴ .
∴ .
∴ ， .
（2）∵
∴
∴
∴
∴ ， .
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．40．解方程： ．
【答案】 ，
【分析】
将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可．
【详解】
解：原方程可化为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
41．不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根
【分析】
（1）根据根的判别式即可判断；
（2）根据根的判别式即可判断；
【详解】
解：（1）由题得：
∴原方程没有实数根；
（2）由题得：∴原方程有两个不相等的实数根．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程方程根的情况判断，解题的关键是熟知根的判别式的性质特
点．
42．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．
【答案】（1） ；（2）当 时，
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即
可得到实数k的取值范围；
（2）根据（1）中k的取值范围，任取一k的值，然后解方程即可．
【详解】
（1）∵方程有两个不相等的实数根
∴
∴
（2）答案不唯一
当 时，
∴ 或
解得：
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；
也考查了直接开平方法解一元二次方程．
43．m为何值时，关于x的一元二次方程x2－x－3m=0有两个不相等的实数根？【答案】
【分析】
当△>0时，有两个不相等的实数根，据此可求得m．
【详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△>0，
∴△=b2-4ac=1+12m>0，
解得： ，
∴当 时，方程有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，解题的关键是了解根的判别式如何决定
一元二次方程根的情况．
44．下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 在 时
的求根公式的过程．
由于 ，方程 变形为
．……………………第一步
．第二步
．…………第三步
．……………第四步
．……………第五步
（1）嘉淇同学从第________步开始出现错误，直接写出一元二次方程在 时的求根公式．
（2）用配方法解方程 ．
【答案】（1）四， ；（2） ， ，见解析．
【分析】
（1）第四步开方时出错；
（2）根据配方法，解题即可．
【详解】
解：（1）由于 ，方程 变形为
故方程 在 时的求根公式为：
，
故答案为：四；
（2）．
【点睛】
本题考查解一元二次方程—公式法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
45．解方程： ．
【答案】 ， ．
【分析】
先把方程化为一般形式，再利用公式法进行求解即可．
【详解】
解：原方程化为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关
键．
46．解方程．
（1）x2﹣4x+1＝0；（配方法）
（2）2x2+x﹣1＝0．（公式法）【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先把方程化为 再两边都加上 可得 再利用直接开平方法
解方程，从而可得答案；
（2）由 可得 ＞ 再利用求根公式：
可得答案．
【详解】
解：（1）
移项：
或
（2）
＞【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法与公式法解一元二次方程是解题的关键．
47．已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根，求m的
1 2
取值范围．
【答案】m≥2
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个实数根，
∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，
∴m≥2．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关
键．
48．解下列方程：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ．
【分析】
（1）运用直接开平方法求解即可；
（2）方程化为一般形式得后运用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）2x2−8=0
移项，得2x2=8
二次项系数化为1得：x2=4
∴x =2， x =−2
1 2
（2）2x(x−1)=-(x−6)
方程化为一般形式得：2x2-x-6=0
∴a=2，b=-1，c=-6，△=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49＞0
∴x= =
解得，x =2，x =- ．
1 2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运用一元二次方程的解法．
49．已知关于 的一元二次方程有 两个不相等的实数根，求k的取值
范围．
【答案】 且 ．
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出
不等式的解集即可得到k的范围．
【详解】
解：∵原方程是一元二次方程，
∴ ，解得 ；
∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ；
∴使原方程有两个不相等的实数根， 的取值范围为 且 ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
50．解方程：
【答案】 ,【分析】
根据一元二次方程的系数的意义，利用公式法求解即可
【详解】
解：
∵ ， ，
∴ >0
∴
∴ ,
【点睛】
主要考查了方程的系数的意义和一元二次方程的解法，要会熟练运用公式法求得一元二次
方程的解．
51．解一元二次方程：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求
根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
52．已知 ， 是方程 的两根且 ，求代数式
的值．
【答案】-9
【分析】
先解一元二次方程求出方程的两个根，确定m与n的值，将代数式利用乘法公式，单项式
乘以多项式法则化简，代入m、n求值即可．
【详解】
解： ， 是方程 的两根，且 ，
∴△=b2-4ac=4+4=8
∴x=
则 ， ，
原式 ，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，整式化简求值问题，二次根式的混合运算，掌握公式法解
方程，整式乘法公式，单项式乘以多项式法则是解题关键．
53．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）若 是该方程的一个根，求k的值；
（2）请判定这个方程根的情况．
【答案】（1） ；（2）该方程有两个不相等的实数根
【分析】
（1）将 代入 ，解方程即可得出k的值；
（2）利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．
【详解】
解：（1）将 代入 得： ，
解得 ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程有两个不相等的实数根．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程解，根与系数的关系，根的判别式，熟悉相关性质是解答本
题的关键．54．已知关于 的方程 ．
（1）当 取何值时，原方程没有实数根？
（2）对 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求此时这两个实
数根．
【答案】（1） ；（2） ， ，
【分析】
（1）根据方程没有实数根， ，列关于 的不等式，解不等式即可．
（2）由（1）可得 时，原方程没有实数根，则当 时，方程有两个不相等的
实数根，在 范围内，任取一个非零的整数代入原方程，解一元二次方程即可．
【详解】
（1）∵方程 没有实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，原方程没有实数根．
（2）由（1）可知，当 时，方程有两个不相等的实数根，且 为非零整数，∴选取 （不唯一），此时原方程变为 ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式： ，方程有两个不相等的实数根， 方程有
两个相等的实数根， 方程没有实数根，同时也考察了一元二次方程的解法，熟练掌
握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法是解题关键．
55．已知关于x的方程 ．
（1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程
的根 ．
【答案】（1）见解析；（2）n=4，m= 2，方程的根为x =x =1
1 2
【分析】
（1）先计算判别式得到 = ，根据非负数的性质得到 ＞0，然后根据判别式的意
△
义得到结论；
（2）取m=-2，n=4，则方程化为x2-2x+1=0，然后利用完全平方公式解方程．
【详解】
（1）证明： = ，
∴方程总有两个实数根；
（2）由题意可知，m≠0，
；即 ；
以下答案不唯一，如：当n=4，m= 2时，方程为x2-2x+1=0，
解得x =x =1．
1 2
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）的根与 =b -4ac有如下关
系：当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0时，方程有两个相等的实数根；当
＜0时，方程无实数根． △
56．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析
【分析】
（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第
一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴∴ ， ．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
57． 为实数，关于 的方程 有两个实数根 ， .
（1）求 的取值范围.
（2）若 ，试求 的值．
【答案】（1） （2）-2
【分析】
（1）将已知方程化为一般式，根据 可求解；
（2）由根与系数的关系得 ， ，把已知式子展开变形，
在代入求值即可；
【详解】
解：（1）将已知方程化为一般式
.
即 是一元二次方程，
由 ，得 .
即 的取值范围是 .
（2）由根与系数的关系， ， .，
.
.
即 .
.
解得 ， .
由（1），只取 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的知识点，对根的判别式与根与系数的关系准确应用是解题
的关键．
58．关于 的方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你选择一个合适的 的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．
【答案】（1）见解析．（2） ， ．
【分析】
（1）求出判别式的值，然后化简，说明判别式恒大于0即可；
（2）令 ，原方程化为 ，求解即可．
【详解】
（1）∴原方程总有两个实数根；
（2）当 时，原方程化为
解得 ， ．
（ 的值不唯一，满足题意解答正确即可）
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的判别式，掌握一元二次方程的性质是解题关
键．
59．已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1）m≤2；（2）2
【分析】
（1）根据方程有实数根知△≥0，据此列出关于m的不等式，解之可得；
（2）先根据m≤2且m为正整数得m=1或m=2，再分别代入求解可得．
【详解】
解：（1）根据题意知△＝42﹣4×2m＝16﹣8m≥0，
解得m≤2；
（2）由m≤2且m为正整数得m＝1或m＝2，
当m＝1时，方程的根不为整数，舍去；
当m＝2时，方程为x2+4x+4＝0，
解得x ＝x ＝﹣2，
1 2
∴m的值为2．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与
△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
60．已知方程 ．（1）当 时，求该方程的解；
（2）若方程有实数解，求 的取值范围．
【答案】(1) ， ．(2) ．
【分析】
（1）将k＝1代入方程，求出方程的解；
（2）若方程有实数解需分类讨论，该方程为一元一次方程，该方程为一元二次方程，为一
元二次方程时要注意 .
【详解】
解：（1）把 代入原方程得 ，解得 ， ．
（2）当 时，方程 有解；
当 时， ，解得 ．
综上可得 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ；当
，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没
有实数根．也考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解法以及分类讨论思想的运
用．
61．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】（1）n＞0；（2）x ＝0，x ＝﹣2．
1 2
【分析】
（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，然后解不等式即可；
（2）利用n的范围确定以n＝1，则方程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（1）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，
解得n＞0；
（2）因为n为取值范围内的最小整数，
所以n＝1，
方程化为x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x ＝0，x ＝﹣2．
1 2
【点睛】
此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式的运用与方程的求解方法．
62．已知：关于x的方程 .
（1）不解方程：判断方程根的情况；
（2）若方程有一个根为1，求m的值.
【答案】（1）有两个不等的实数根；（2）0，-2
【分析】
（1）找出方程a、b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x=1代入方程得到关于m的方程，.解之可得.
【详解】
（1） 由题意得，a=1，b=2m，c= ，
∵ ，
∴方程 有两个不相等的实数根.
（2）∵方程 有一个根是1，∴1+2m+ ，
解得m=0或m=-2.
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当 >0时，方
程有两个不相等的实数根”；（2）将x=1代入原方程求出m的值
