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专题 17 一元二次方程的应用(重难题型)
1．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户
高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门
的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符
合题意的是（ ）
A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12
C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002
2．如图，在 中， ，动点P，Q分别从点A，B
同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 ，点Q的速度为 ，点Q
移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当 的面积为 时，则点P运动的
时间是（ ）
A． B． 或 C． D．
3．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）
余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
4．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，
求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增
长率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共
送了 张照片，如果全班有 名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干
和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
7．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡 张，设参加活动的同学有
人，根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
8．一个菱形两条对角线的长是方程 的两个根，则该菱形的面积为（ ）
A．12 B．6或12 C．8 D．6
9．如图，在长20米，宽12米的矩形ABCD空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边
垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面
积是40平方米，若设小路的宽是x米，根据题意列方程，正确的是（ ）A．32x+2x2＝40 B．x（32+4x）＝40
C．64x+4x2＝40 D．64x﹣4x2＝40
10．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛
90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A． x（x+1）＝90 B． x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
11．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，
设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
12．某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低 %，连续两次
降低后成本为64万元，则 的值为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，
这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
14．在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，如
果A，B两点关于原点对称，那么 的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．0或2
15．如图，某小区在一块长为 ，宽为 的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其
中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使
得花草区域占地面积为 ．设小路的宽度为 ，则下列方程：
① ；② ；
③ ．
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
16．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关
于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这
种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．某市 年投入教育经费 万元， 年投入教育经费比 年增加 万
元，若 年至 年该市投入教育经费的年平均增长奉为 则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均
每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
19．如图①，在矩形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，动点 由点
出发，沿 向点 运动．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ，
与 的函数关系图象如图②所示，则对角线 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
20．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有
81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染 人，则下列方程正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
21．国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务
收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长
率为x，根据题意可列出方程为（ ）
A．5000（1+2x）=7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
22．小明看到关于四川大凉山留守儿童的相关报道后，想为这些孩子献一份爱心，六一儿
童节当天他将三、四、五三个月挣得的800元零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣
得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方
程为（ ）
A．200（1＋2x）＝800 B．200×2（1＋x）＝800
C．200（1＋x）2＝800 D．200＋200（1＋x）＋200（1＋x）2＝800
23．欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，
BC＝ ，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（ ）A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
24．某商品的售价为100元，连续两次降价 后售价降低了36元，则 的值为（ ）
A．60 B．20 C．36 D．18
25．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为 元．若每份盒饭的售价为 元，每天可
卖出 份．市场调查反映：如调整价格，每涨价 元，每天要少卖出 份．若该餐厅想
让每天盒饭业务的利润达到 元，设每份盒饭涨价 元，则符合题意的方程是（ ）2-
1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
26．一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有 人感染，设每轮传染中平均一个
人传染了 个人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
27．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长 ，宽 的矩形作
品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为
，则 满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
28．为美化家园环境，提升城市形象，我市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评
为国家文明城 市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，
预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增
长率为（ ）A．4.4% B．12% C．20% D．24%
29．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价
为 元/瓶，经两次下调后价格变为 元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
30．双十一来临前，某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升，双十一那天商场
又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格为原价的
84%，则这个给定的百分比为（ ）
A．16% B．36% C．40% D．50%
31．某市2019年年底自然保护区覆盖率为15%，经过两年努力，预计该市2021年年底自
然保护区覆盖率将会达到21.6%，则该市这两年自然保护区面积的平均增长率为（ ）
A．25% B．20% C．6.6% D．3.3%
32．电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率
增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3 （1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
33．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减
少了19%，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
34．由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从10月份开始，平均每个月
生产量的增长率为 ，已知第四季度的生产量为2375万个，设10月份口罩的生产量为
x万个，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
35．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年
起到2020年累计投入5250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长
率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）A．1500 （1+x） 2＝5250
B．1500 （1+2x）＝5250
C．1500+1500x+1500x2＝5250
D．1500+1500 （1+x）+1500 （1+x） 2＝5250
36．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量
不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低
元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液
的瓶数是（ ）
A．200 B．150 C．150或200 D．200或300
37．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新
冠”，平均一个人传染（ ）个人．
A．14 B．16 C．18 D．20
38．《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在
云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，塞为
20m的矩形场地 （如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与 平行、
另一条与 平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为 ，求道路的宽度、
若设道路的宽度为 ，则 满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
39．某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，
当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10
千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超
过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．40．如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点E在线段 上
（不与点A，B重合），过点E分别作 和 的垂线，垂足为C，D．当矩形 的
面积为1时，点E的坐标为_________．
41．如图，某小区规划在一个长为 、宽为 的矩形场地 上修建三条同样宽
的小路，使其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草．若草坪部分的总面
积为 ，则小路的宽度为________m．
42．为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在 一块正方形的空
地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“┛”带，鲜花带一边宽1m．另一边宽2m，
剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长 m，可列方程为_______．43．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌
溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的 和 ．去年，新丰收公司用各
100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 ，漫灌
试验田的面积减少了 ．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下
的每亩用水量都进一步减少了 ．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 ，求
的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道
维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．
在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是
否大于今年的以上两项投入之和？44．2020年春节期间人们积极响应政府关于疫情防控的号召，线上拜年、云聚会、春节视
频分享等活动成为主要娱乐互动方式，拉动了移动流量的攀升．据了解，2020年春节假期
期间，移动流量消费了约275万 ．而2018年春节假期期间我国移动流量共消费了约85
万 ．若每年移动流量的平均增长率相同．
（1）求每年移动流量的平均增长率约为多少？
（2）若按此增长率再增长一次，则增长后的移动流量消费量约为多少？
45．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生
产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件
A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业
互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下
产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单
价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 %．
求a的值．46．问题提出：
如果在一个平面内画出 条直线，最多可以把这个平面分成几部分？
问题探究：
为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进
到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．
探究一：
如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为 ．
探究二：
如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可
记为 ．
探究三：
当在平测内而2条使线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相
变（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多
2部分，该平面分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可
记为 ，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多
探究四：
当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图 5），该平面被分成6部分；若3
条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个
交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，该平面被分成7
部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为
．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．
探究五：
当在平面内画4条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3 个交点，该直线被3个交
点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11分．
因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为
．
探究六：
在平面内面5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解
答过程，不需画图）
__________
问题解决：
如果在一个平面内画出 条直线，最多可以把这个平面分成 部分．
应用与拓展：
（1）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至
多被分成 个部分．
（2）如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有 条．
（3）一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为 块．47．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出
经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面
（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”
小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该
面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 ．统
计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基
础上增加 ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 ．求a的值．
48．根据农业部提出“大力发展农村产业，实现乡村全面振兴”的方针，我市精准扶贫，
指导某县大力发展枇杷种，去年、今年枇杷产量连续获得大丰收．该县某种植户枇杷销售
采用线下销售和线上销售两种模式．
（1）今年该种植户枇杷产量为3600千克，全部售出．其中线上销量不超过线下销量的3
倍．求线下销量至少多少千克？
（2）该种植户去年枇杷线下销售均价为15元/千克，销售量为900千克．线上销售均价为
12元/千克，销售量为1800千克．今年线下销售均价上涨了 ，但销售量下降了 ，
线上销售均价上涨了 ，销售量与去年持平．今年枇杷的销售总金额比去年销售总金额减少了 ，求 的值．
49．巫山脆李又名巫山大李子，果形端正、质地脆嫩、汁多味香．某水果商将收购的巫山
脆李包装成 、 两种礼盒通过某网络平台进行销售， 礼盒每盒的售价比 礼盒每盒的
售价贵35元，5月份第一周售出了200盒 礼盒和300盒 礼盒，总销售额为73000元．
（1）求 、 两种礼盒的售价分别是多少元？
（2）进入6月份，各地李子大量上市，李子的价格受到一定冲击，该水果商决定将 礼盒
的售价保持不变， 礼盒的售价降低 ，销售一周， 、 两种礼盒的销量分别比5
月份第一周的销量减少了 、增加了 ，总销售额恰好不变，求 的值．
50．第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，
品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进 两种牡丹制品，若购进 种牡丹制
品5件， 种牡丹制品3件，共需450元；若购进 种牡丹制品10件， 种牡丹制品8件，
共需1000元．
（1）购进 两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的 两种牡丹制品，在销售中发现， 种牡丹制品售价为每件
80元，每天可销售100件，现在决定对 种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对 种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；
种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售 两种牡丹制品每天总获利
为10000元， 种牡丹制品每件降价多少元？
51．夏季是葡萄上市的季节，某超市7月购进巨玫瑰和金手指两个品种的葡萄进行销售．
已知巨玫瑰葡萄的售价为40元/千克，金手指葡萄的售价为50元/千克，统计发现，第一
周共卖岀两个品种的葡萄800千克．
（1）若卖出巨玫瑰葡萄的总销售额不低于金手指葡萄的 ，求至少卖岀巨玫瑰葡萄多少
千克；
（2）由于7月份第二周葡萄大量上市，该店决定对两ˆ品种的葡萄进行降价销售．巨玫瑰
葡萄降价 ，金手指葡萄降价 ，结果巨玫瑰葡萄的销量在（1）中的最小销量下
增加 ，而金手指葡萄的销量在（1）中最高销量基础上增加了 ，最终7月份第二
周的总销售额为36000元，求 的值．
52．每年的“双十二”接近寒冬，各商家抓住这一季节交替之际，许多商家利用这一契机
进行了打折销售活动．某淘宝网店推出了甲、乙两款取暖器，已知甲款取暖器每台的进价
为40元，标价为60元；乙款取暖器每台的进价为120元，标价为160元．（1）若该网店在去年“双十二”当天按标价销售，共卖了200台甲、乙两款取暖器，结果
发现利润不低于6400元，求乙款取暖器至少卖了多少台？
（2）现在正值销售旺季，为减少乙款取暖器的库存，该网店决定今年的“双十二”当天进
行促销活动．甲款取暖器的售价每台在标价的基础上提高 ，乙款取暖器售价每台在
标价的基础上降低 ，在实际销售过程中甲款取暖器销售量比（1）中的甲款最多销售
量增加了 ；乙款取暖器销售量比（1）中的乙款最少销售量增加了 ，最终乙款取
暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，求m的值．
53．我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需
要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2016年的单价是200元，今
年的单价为162元．
（1）求2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）购买期间发现该品牌足球在A、B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，
B店全场九折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
54．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去
年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总
额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价
为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180
千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费
用忽略不计）
