文档内容
专题 11 用公式法求解一元二次方程(重难题型)
1．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
3．定义：当关于 的一元二次方程 满足 时，称此方程为
“合理”方程．若“合理”方程 有两个相等的实数根，则下列等式正确
的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，下列结论正确
的是（ ）
A． B． C． D．
5．对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x
＋1）#3＝2的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．当 时，关于 的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
7．已知关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＞ C．k＜ 且k≠0 D．k＞ 且k≠0
8．若方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（ ）A．c=10 B．c=5 C．c=-5 D．c=4
9．若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2+m-1=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．以上都不对
10．一元二次方程（x-1）（x+5）=3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
11．定义一种新运算“ ”，对于任意实数 ， ， ，如
，若 （ 为实数）是关于 的方程，则它的根的情
况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
12．小明把分式方程 去分母后得到整式方程 ，由此他判断该分式
方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
13．小刚在解关于 的方程 时，只抄对了 ， ，解出其中
一个根是 ．他核对时发现所抄的 比原方程的 值小1，则原方程的根的情况是（
）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根
14．若关于x的一元二次方程 x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣
2）2＋2k（1﹣k）的值为（ ）A．3 B．﹣3 C． D．
15．关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ， ，且以 ， ，
6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则 的值为（ ）
A．24 B．25 C．24或25 D．无法确定
16．对于函数 ，我们定义 （ ， 为常数）．例如：
，则 ．已知： ，若方程 有两
个相等的实数根，则 的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
17．定义；如果一元二次方程 (a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为
“蜻蜓”方程．已知关于x的方程 (a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的
实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
18．关于x的一元二次方程 （a，b是常数，且 ）（ ）
A．若 ，则方程可能有两个相等的实数根 B．若 ，则方程可能没有实数根
C．若 ，则方程可能有两个相等的实数根D．若 ，则方程没有实数根
19．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
20．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤5
21．如果 和 是非零实数，使得 和 ，那么 的值是（ ）A．3 B． C． D．
22．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
23．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（
）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥ 且k≠1
24．已知关于x的一元二次方程标 有两个不相等的实数根，则
实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
25．若关于x的一元二次方程 有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
26．已知关于x的一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为_____；
27．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为_____．
28．解一元二次方程 ．
（1）请把方程左边变形，利用直接开方法求解；
（2）请利用公式法求解．29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，
求k的值．
30．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数 的值．
31．已知关于x的方程 有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
32．已知x ，x 是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．
1 2
（1）求a的取值范围；
（2）求使代数式（x +1）（x +1）值为负整数的实数a的整数值；
1 2
（3）如果实数a，b满足b＝ +50，试求代数式x 3+10x 2+5x ﹣b的值．
1 2 233．已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）总有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．
34．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣
1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．
35．关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．36．（1）计算： ；
（2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： ．
解： ．
．第一步
，第二步
．第三步
，第四步
，或 ．第五步
， ．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是______；
任务二：请你用“公式法”解该方程．37．关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，求出此时方程的根．
38．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的 的最小整数值，并求出此时方程的
根．
39．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．
（1）若方程有实根，求k的取值范围；
（2）若方程两根x ，x ，满足x 2＋x 2﹣4x x ＝1，求k的值．
1 2 1 2 1 2
40．按要求解方程：
（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；
（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．
